slide bài giảng lý thuyết xác suất – thống kê toán

Bài Giảng
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT –
THỐNG KÊ TOÁN HỌC
PROBABILITY THEORY AND MATHEMATICAL STATISTICS
Chương 1
CÁC KHÁI NiỆM
CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN
§1. PHÉP THỬ - BIẾN CỐ -
KHÔNG GIAN MẪU
1. CÁC KHÁI NiỆM
2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ
3. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ
4. KHÔNG GIAN MẪU
5. CÁC TÍNH CHẤT
1. CÁC KHÁI NiỆM

Phép thử được xem là việc thực
hiện một số điều kiện nhất định
nào đó, một quan sát hay một thí
nghiệm, một quá trình làm phát
sinh dữ liệu…

Thường ta xét một phép thử có
nhiều kết cục, mỗi kết cục của
phép thử được gọi là một biến cố.
1. CÁC KHÁI NiỆM
Các loại biến cố
• Biến cố chắc chắn, ký hiệu Ω, là biến cố
nhất thiết xảy ra khi phép thử được thực
hiện.

• Biến cố không thể có, ký hiệu Ø, là biến cố
nhất thiết không xảy ra khi phép thử được
thực hiện.
• Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra
cũng có thể không xảy ra, ta thường dùng
các ký tự A, B, C… để ký hiệu các biến cố
này.
CÁC KHÁI NiỆM
Phép thử ngẫu nhiên là phép
thử mà ta không biết chắc
kết cục nào xảy ra trước khi
thực hiện phép thử (mặc dù
có thể biết được tất cả các
kết cục có thể xảy ra của
nó)
2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC
BIẾN CỐ
Xét phép thử , A, B là biến cố.
• Tổng của hai biến cố A và B là
một biến cố, ký hiệu là A U B (hoặc
A + B ), biến cố này xảy ra khi (và
chỉ khi) có ít nhất một trong hai
biến cố A, B xảy ra.
• Tích của hai biến cố A và B là
một biến cố, ký hiệu là A ⋂ B (hoặc
A.B), biến cố này xảy ra khi (và chỉ
khi) A xảy ra và B xảy ra.
τ
2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC

BIẾN CỐ
Ví dụ
Xem hai xạ thủ bắn vào một bia, mỗi người bắn
một viên.
Gọi A là biến cố “xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia”
A’ là biến cố “xạ thủ thứ nhất bắn không trúng
bia”
B là biến cố “xạ thủ thứ hai bắn trúng bia”
B’ là biến cố “xạ thủ thứ hai bắn không trúng
bia”
Khi đó:
A U B là biến cố “bia trúng đạn”.
A’ ⋂ B’ là biến cố “bia không trúng đạn”
3. SỰ LIÊN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ
Xét phép thử ; A, B là biến cố.

Biến cố A được gọi là kéo theo
biến cố B, ký hiệu A ⊂ B, nếu A
xảy ra thì B xảy ra.

Biến cố A và B được gọi là
tương đương, ký hiệu A = B,
nếu A kéo theo B và B kéo theo
A.
τ
3. SỰ LIÊN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ

Hai biến cố A và B được gọi là xung
khắc nhau nếu A ⋂ B = Ø


Biến cố đối lập với biến cố A, ký
hiệu là , nếu A xung khắc
và
A U = Ω (biến cố chắc chắn)

Đôi khi ta sử dụng ký hiệu A\B để
chỉ biến cố A ⋂
A
A
A
B
3. SỰ LIÊN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ
Ví dụ Xét phép thử là tung một con
xúc xắc và xem mặt nào xuất hiện.
Khi đó:

Biến cố “mặt 2 xuất hiện” và biến
cố “mặt 5 xuất hiện” xung khắc với
nhau.

Biến cố “mặt chẵn xuất hiện” và
biến cố “mặt lẻ xuất hiện” đối lập
với nhau.
4. KHÔNG GIAN MẪU
Xét phép thử

Ta gọi không gian mẫu là tập hợp các
biến cố đơn giản nhất của phép thử, mà
mỗi biến cố này không thể phân nhỏ
thành các biến cố khác, và ta gọi mỗi

biến cố như vậy là biến cố sơ cấp. Khi
phép thử được thực hiện, nhất thiết
một trong các biến cố sơ cấp xảy ra.

Ta thường ký hiệu không gian mẫu là
S.
τ
4. KHÔNG GIAN MẪU
Ví dụ Một nhà đầu tư quan sát chỉ số VN-
index trong một ngày để so sánh với VN-
index của ngày hôm qua.
Gọi
A là biến cố “VN-index tăng so với VN-
index ngày hôm qua”
B là biến cố “VN-index bằng VN-index
ngày hôm qua”
C là biến cố “VN-index giảm so với VN-
index ngày hôm qua”
Không gian mẫu của phép thử này là
S = {A, B, C}
4. KHÔNG GIAN MẪU
Ví dụ Tung một con xúc xắc để
xem mặt nào xuất hiện.

Gọi A
i
là biến cố “mặt i xuất
hiện” (i = 1, 2, …, 6)

Không gian mẫu của phép thử

này là S = {A
1
, A
2
, A
3
, A
4
, A
5
,
A
6
}
5. CÁC TÍNH CHẤT
Xét phép thử có không gian mẫu S;A, B, C là các biến cố

• A U B = B U A
• A ⋂ B = B ⋂ A
• A U (B U C) = (A U B) U C = A U B U C
• A ⋂ (B ⋂ C) = (A ⋂ B) ⋂ C = A ⋂ B ⋂ C
• A U (B ⋂ C) = (A U B) ⋂ (A U C)
• A ⋂ (B U C) = (A ⋂ B) U (A ⋂ C)
•
•
∪ ∩A B = A B
∩ ∪A B = A B
§2. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT
1. Định nghĩa xác suất
theo cách cổ điển

2. Định nghĩa xác suất
theo thống kê
Xét phép thử và A là biến cố.
n : số trường hợp đồng khả năng có thể

xảy ra.
m : số trường hợp đồng khả năng thuận
lợi cho biến cố A.
Xác suất của biến cố A được xác định là
τ
m
P(A) =
n
1. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT
THEO CÁCH CỔ ĐIÊN
1. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT
THEO CÁCH CỔ ĐIỂN
Ví dụ 1 Một lô hàng có 10
sản phẩm trong đó có 8
sản phẩm tốt. Lấy ngẫu
nhiên một sản phẩm từ lô
hàng này. Tính xác suất để
lấy được sản phẩm tốt.
VÍ DỤ 2
Một cửa hàng có 30 máy vi tính,
trong đó có 20 máy do công ty SN
sản xuất và 10 máy do công ty IB
sản xuất. Một khách hàng đến cửa
hàng mua 2 máy vi tính. Giả sử
khả năng được mua của mỗi máy

là như nhau. Tính xác suất để
khách hàng này mua 1 máy của
công ty SN và 1 máy của công ty
IB.
VÍ DỤ 3
Một nhà phân tích thị trường chứng
khoán đưa ra một danh sách cụ thể 5
loại cổ phiếu. Giả sử xếp được bảng
thứ tự tăng trưởng của 5 loại cổ phiếu
này vào năm tới và các khả năng xếp
hạng đều như nhau. Tính xác suất để
dự đoán đúng 3 loại cổ phiếu xếp ở
đầu bảng này.
a) Không yêu cầu theo thứ tự.
b) Đúng theo thứ tự 1, 2, 3.
VÍ DỤ 4
Một công ty tuyển 3 nhân viên
cho 3 vị trí giám đốc tiếp thị, trợ
lý giám đốc, trưởng phòng kinh
doanh. Biết có 50 người dự tuyển
trong đó có 20 người là nữ. Tính
xác suất để trong 3 người được
tuyển có trợ lý giám đốc là nữ.

2. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT
THEO THỐNG KÊ
Ví dụ
• Người ta tung một đồng xu cân đối
hơn 10.000 lần thì tính được tần
suất của biến cố mặt ngửa xuất hiện

gần bằng 0,5.
• Trong khoảng từ năm 1974 đến
1981, mỗi năm quan sát hơn 3 triệu
em bé sinh ra ở Hoa Kỳ người ta tính
được tần suất của biến cố sinh ra bé
trai gần bằng 0,513.
§3. CÁC CÔNG THỨC TÍNH
XÁC SUẤT
CÔNG THỨC CỘNG
XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
CÔNG THỨC NHÂN
CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ
CÔNG THỨC BAYES
1. CÔNG THỨC CỘNG
Cho không gian mẫu S, và đã
định nghĩa biến cố, xác suất của
biến cố (trong các phần sau ta
không lặp lại giả thiết này); A, B
là biến cố. Khi đó:
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A
⋂ B)
1. CÔNG THỨC CỘNG
Ví dụ Một khách sạn được lắp 2 hệ thống
chuông báo động phòng cháy. Một hệ
thống báo khi phát hiện lửa và một hệ
thống báo khi phát hiện khói. Qua thực
nghiệm thấy xác suất chuông báo lửa
là 0,96, xác suất chuông báo khói là
0,93, xác suất cả hai chuông báo là
0,9. Tính xác suất để có ít nhất một

chuông báo khi có hỏa hoạn.