giúp học sinh phát hiện và tránh những sai lầm trong khi giải toán về tích phân

TÊN SÁNG KIẾN
GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN VÀ TRÁNH NHỮNG SAI LẦM
TRONG KHI GIẢI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN

PHẦN I. MỞ ĐẦU
I – Lý do chọn đề tài :
Như chúng ta đã biết trong thế kỷ 21 này, đầu các thập kỷ của thế kỷ
này muốn công nghiệp hoá và hiện đại hoá đất nước thì phải nhanh chóng
tiếp thu khoa học và kỹ thuật hiện đại của thế giới. Do sự phát triển như vũ
bão của khoa học, kỹ thuật và công nghệ, kho tàng kiến thức của nhân loại
tăng lên nhanh chóng. Cái mà hôm nay còn là mới thì ngày mai đã trở thành
lạc hậu. Nhà trường không thể nào luôn luôn cung cấp cho học sinh những
hiểu biết cập nhật được. Điều quan trọng là phải trang bị cho các em năng
lực tự học, tự tiếp thu kiến thức để có thể tự mình tìm kiếm những kiến thức
khi cần thiết trong tương lai.
Sự phát triển của nền kinh tế thị trường, sự xuất hiện nền kinh tế tri
thức trong tương lai đòi hỏi người lao động phải thực sự năng động, sáng tạo
và có những phẩm chất thích hợp để bươn chải vươn lên trong cuộc cạnh
tranh khốc liệt này. Việc thu thập thông tin, dữ liệu cần thiết ngày càng trở
lên dễ dàng nhờ các phương tiện truyền thông tuyên truyền, máy tính, mạng
internet .v.v. Do đó, vấn đề quan trọng đối với con người hay một cộng đồng
không chỉ là tiếp thu thông tin, mà còn là xử lý thông tin để tìm ra giải pháp
tốt nhất cho những vấn đề đặt ra trong cuộc sống của bản thân cũng như của
xã hội.
Như vậy yêu cầu của xã hội đối với việc dạy học trước đây nặng về
việc truyền thụ kiến thức thì nay đã thiên về việc hình thành những năng lực
hoạt động cho học sinh. Để đáp ứng yêu cầu mới này cần phải thay đổi đồng
bộ các thành tố của quá trình dạy học về mục tiêu, nội dung, phương pháp,
hình thức tổ chức, phương tiện, cuối cùng là khâu kiểm tra đánh giá.
- Hiện nay mục tiêu giáo dục cấp THPT đã được mở rộng, các kiến
thức và kỹ năng được hình thành và củng cố để tạo ra 4 năng lực chủ yếu :

+ Năng lực hành động
+ Năng lực thích ứng
+ Năng lực cùng chung sống và làm việc
- 1 -
+ Năng lực tự khẳng định mình.
Trong đề tài này tôi quan tâm để đi khai thác đến 2 nhóm năng lực
chính là "Năng lực cùng chung sống và làm việc" và "Năng lực tự khẳng
định mình" vì kiến thức và kỹ năng là một trong những thành tố của năng
lực học sinh.
Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp một số năm học, tôi đã phát
hiện ra rằng còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán còn kém
trong đó có rất nhiều học sinh(45
→
55 %) chưa thực sự hiểu kỹ về khái niệm
và làm bài toán về nguyên hàm - tích phân và trong khi thực hiện các phép
toán về tích phân rất hay có sự nhầm lẫn hiểu sai đầu bài, thực hiện sai mục
đích, tôi thấy học sinh nhận đề bài khi làm về tích phân được các thầy cô
giáo phát đề song thường có thói quen đọc qua loa là làm ngay tức khắc,
miễn là áp dụng đúng công thức là được, điều đó là tình trạng trung của học
sinh ngày nay, khi gặp những bài toán về tích phân không theo công thức
nào, một dạng nào cả thì học sinh hết sức lúng túng .Việc giúp học sinh phát
hiện và nhìn nhận ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránh được sự nhầm lẫn đó
là một công việc vô cùng cần thiết và cấp bách nó mang tính đột phá và
mang tính thời cuộc rất cao, giúp các em có một năng lực thực sự am hiểu
vững chắc về lượng kiến thức tích phân tạo nền móng để tiếp tục nghiên cứu
các dạng toán cao hơn sau này.
II – Mục đích nghiên cứu :
- Do thời gian có hạn nên tôi nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này với mục
đích như sau :
+ Giúp giáo viên toán THPT quan tâm hơn đến một phương pháp dạy

học tích cực rất dễ thực hiện.
+ Giúp giáo viên toán THPT nói chung và giáo viên dạy toán 12 THPT
nói riêng có thêm thông tin về Phương pháp dạy học tích cực này nhằm giúp
họ dễ ràng phân tích để đưa ra biện pháp tối ưu khi áp dụng phương pháp
vào dạy học và trong sáng kiến này cũng tạo cơ sở để các Giáo viên khác
xây dựng sáng kiến khác có phạm vi và quy mô xuyên suốt hơn.
+ Qua sáng kiến này tôi muốn đưa ra một số lỗi mà học sinh hay mắc
phải trong quá trình lĩnh hội kiến thức ở chương NGUYÊN HÀM – TÍCH
PHÂN để từ đó có thể giúp học sinh khắc phục các lỗi mà các em hay mắc
phải trong quá trình giải bài tập hoặc trong thi cử, kiểm tra
…
Cũng qua sáng
kiến này tôi muốn giúp Giáo viên toán 12 có thêm cái nhìn mới sâu sắc hơn,
chú ý đến việc rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán về nguyên hàm – tích
phân cho học sinh để từ đó khai thác hiệu quả và đào sâu suy nghĩ tư duy
- 2 -
lôgic của học sinh giúp học sinh phát triển khả năng tiềm tàng trong con
người học sinh.
+ Qua sáng kiến này tôi cũng tự đúc rút cho bản thân mình những kinh
nghiệm để làm luận cứ cho phương pháp dạy học mới của tôi những năm
tiếp theo.
III – Phạm vi nghiên cứu:
Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số “Nhóm sai lầm” mà học sinh
thường mắc phải trong quá trình làm bài tập về tích phân và ứng dụng của
tích phân trong chương III – Giải tích 12.
Phát hiện sai lầm trong một số bài toán cụ thể để học sinh thấy được
những lập luận sai hoặc thiếu chặt chẽ dẫn tới bài giải không chính xác.
Từ đó định hướng cho học sinh phương pháp giải bài toán về tích phân
và ứng dụng.
Cho nên khi cầm bút viết đề tài này tôi cũng còn rất nhiều nỗi băn

khoăn trăn trở và còn nhận thấy ở điều nữa là :
+ Các bạn học sinh thấy đó trong đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao
đẳng, Trung cấp chuyên nghiệp của các năm bài toán tích phân hầu như
không thể thiếu, nhưng đối với học sinh THPT bài toán tích phân là một
trong những bài toán khó vẫn cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa,
các tính chất, các phương pháp tính của tích phân ( đổi biến số - từng
phần ).Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc
đó là: tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định
nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích
phân từng phần mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số, tìm
được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay
không? phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không?
Phép biến đổi hàm số có tương đương không? Vì thế trong quá trình tính
tích phân học sinh thường mắc phải những sai lầm dẫn đến lời giải sai. Qua
thực tế, giảng dạy nhiều năm tôi nhận thấy rất rõ yếu điểm này của học sinh
vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến: “GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN
VÀ TRÁNH NHỮNG SAI LẦM TRONG KHI GIẢI TOÁN VỀ TÍCH
PHÂN ”. Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ
đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán tích phân nói riêng và đạt kết quả
cao trong quá trình học tập nói chung.
+ Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung, tính phức tạp hóa gây nên sự
trở ngại cho học sinh trong quá trình tiếp cận với tích phân. Cùng với sự tích
luỹ kinh nghiệm có được của bản thân qua một số năm giảng dạy. Kết hợp
với những kiến thức mà tôi đã lĩnh hội được trong chương trình học Đại học
- 3 -
Toán mà đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của các thầy cô giáo ; sự học hỏi
từ phía các đồng nghiệp trong cơ quan. Mặt khác tích phân là khái niệm chỉ
xuất hiện ở lớp 12, tức là cuối chương trình phổ thông trung học mà học sinh
được học ở môn toán, khái niệm rất là mới, sách giáo khoa trình bày rất là
trừu tượng , lúc đầu học sinh rất lúng túng về cách hiểu, cộng với công thức

phải học thuộc vận dụng vào bài tập rất nhiều, kiến thức thì đa dạng , nhiều
bài tập đòi hỏi tư duy rất cao, có những bài tập phối hợp các kiến thức phổ
thông trước đây. Chúng tôi từng dậy những em học lực trung bình , yếu kết
quả thu được học ở nguyên hàm - tích phân gặp rất nhiều khó khăn, vì
những đối tượng học sinh này hầu như đã quên, hỏng kiến thức.
- 4 -
PHẦN II. NỘI DUNG
* Phần lý thuyết cần nêu tóm tắt như sau:
- Khi dạy học về khái niệm tích phân hoặc các bài về tích phân, các thầy - cô
giáo rất là băn khoăn về dạy khái niệm thế nào để học sinh của mình hiểu,
nắm chắc kiến thức cần truyền đạt. Đó cũng là mục đích nhỏ mà tôi muốn
khai thác một phần – chỉ một phần thôi. Như các thầy cô đã biết kiến thức
tích phân là rất rộng , mà lại còn khó dạy, học sinh có em tiếp thu được
ngay, bên cạnh có những em thầy dạy rồi nhưng khi hỏi lại thì rất lúng túng
trả lời. Chính vì lẽ đó tôi nêu một phần lý thuyết giảng dạy như sau :
Trong thực tiễn ta thường gặp những hình phẳng được giới hạn bởi những
đường cong, chẳng hạn bờ biển cong, cánh cổng có vòm parabol, Vấn đề
đặt ra là tính diện tích những hình phẳng đó như thế nào, để quy về tính diện
tích một hình thang cong như thế nào ?
+) Tiếp cận phương pháp giải quyết vấn đề:
Xét một trường hợp cụ thể : hình thang cong được giới hạn bởi các đường :
2
0; 1; 0y y x x= = + =
và x = 4.
- Tính gần đúng diện tích của nó bằng các
cách sau:
Cách 1 : Thay cạnh cong của nó bằng cạnh thẳng.
Cách 2 : Chia đôi hình thang cong bằng đường
trung bình song song với trục tung Oy và tính
mỗi nửa của nó theo cách 1.

Cách 3 : Chia đôi tiếp mỗi nửa ở trên, lặp lại
cách 2.
- Trong ba cách trên, kết quả nào
phản ánh chính xác hơn diện tích hình thang cong cần tính?
- Có thể tính kết quả chính xác hơn nữa được không, bằng
cách nào?
+) Giải quyết vấn đề:
- Theo tôi khi dạy học bài tích phân, cần chia ra các hoạt động nhỏ như sau:
+ Hoạt đông 1: Gợi vấn đề. Đó là diện tích hình thang cong
Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường ( Nhấn mạnh đã nêu một phần
ở nguyên hàm )
y = f (x) > 0; y = 0; x = a; x = b ( a < b ), kí hiệu là
[ ]
;a b
T
. Trong đó f(x) là
hàm số liên tục, đồng biến trên khoảng
( )
;a b
.Với mỗi điểm
[ ]
;x a b∈
, gọi
S(x) là diện tích hình thang cong
[ ]
;a x
T
. Xét hai điểm x ,
( )
0

;x a b∈
ta có :
( )
( ) ( )
( )
0
0
0
S x S x
f x f x
x x
−
< <
−
Suy ra :
( ) ( )
( )
0
0
0
0
lim
x x
S x S x
f x
x x
→
−
=
−

, hay
( ) ( )
0 0
'S x f x=
.
- Phát biểu kết quả tìm được:
- 5 -
y=x
2
+1
17
10
5
2
4
3
2
1
O
y
x
Vậy S(x) là một nguyên hàm của f(x)
Từ đó ta có diện tích của
[ ]
;a b
T
là S(b) – S(a), kí hiệu là
( )
x
b

a
f x d
∫
+ Hoạt động 2 (Kiểm nghiệm) : Kiểm nghiệm bằng diện tích hình chữ nhật,
hình thang, nửa đường tròn.
Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên đoạn
[ ]
;a b
. Khi đó diện tích S
của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành Ox và
hai đường thẳng x = a, x= b là
S =
( )
x
b
a
f x d
∫
+ Hoạt động 3 : Định nghĩa tích phân như sau
Cho hàm số f(x) liên tục trên K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F(x) là
một nguyên hàm của f(x) trên K thì hiệu số
F(b) – F(a)
được gọi là tích phân của f(x) từ a đến b và kí hiệu là
( )
x
b
a
f x d
∫
a < b, ta gọi

( )
x
b
a
f x d
∫
là tích phân của f (x) trên đoạn
[ ]
;a b
Dùng kí hiệu
( )
b
a
F x
để chỉ hiệu số F(b) – F(a) . Như vậy nếu F(x) là một
nguyên hàm của f(x) trên K thì
( )
x
b
a
f x d
∫
=
( )
b
a
F x
Vì
( )
xf x d

∫
là một nguyên hàm bất kỳ của f(x) nên ta có

( )
x
b
a
f x d
∫
= (
( )
xf x d
∫
)
b
a
Trong đó : a, b là hai cận tích phân, số a là cận dưới, số b là cận trên, f(x) là
hàm số dưới dấu tích phân, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và x là
biến số lấy tích phân.
• Chú ý:
( ) ( ) ( )
; ;
b b b
a a a
f t dt f u du f y dy
∫ ∫ ∫
đều là một số và số đó bằng
F(b) – F(a)
⇒
tính chất: tích phân không phụ thuộc vào biến số lấy tích phân

+ Hoạt động 4: Nêu các tính chất của tích phân như sau
Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên K và a, b, c là ba số bất kỳ thuộc
K . Khi đó ta có
1) Tính chất 1:
( )
x 0
a
a
f x d =
∫
- 6 -
2) Tính chất 2 :
( ) ( )
x x
b a
a b
f x d f x d= −
∫ ∫
3) Tính chất 3 :
( ) ( ) ( )
x x x
b c c
a b a
f x d f x d f x d+ =
∫ ∫ ∫
với a < b < c
4) Tính chất 4 :
( ) ( ) ( ) ( )
x x x
b b b

a a a
f x g x d f x d g x d
 
+ = +
 ∫ ∫ ∫
5) Tính chất 5 :
( ) ( )
. x x
b b
a a
k f x d k f x d=
∫ ∫
với k
∈¡
+ Hoạt động 5 : Các phương pháp tính tích phân
1) Phương pháp đổi biến số
Cơ sở của phương pháp đổi biến số là công thức sau đây
Trong đó hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y = f(u) liên
tục và sao cho hàm hợp
( )
f u x
 
 
xác định trên K; a và b là hai số thuộc K.
Cách 1: Giả sử ta cần tính
( )
.
b
a
g x dx

∫
. Nếu ta viết được g(x) dưới dạng
( ) ( )
. 'f u x u x
 
 
, thì theo công thức (1) ta có:

( ) ( )
( )
( )
.
u b
b
a u a
g x dx f u du=
∫ ∫
Vậy bài toán quy về tính
( )
( )
( )
u b
u a
f u du
∫
Cách 2 : Giả sử ta cần tính
( )
.f x dx
β
α

∫
. Đặt x = x(t) (
t K∈
) và a, b
∈
K thỏa
mãn
( ) ( )
,x a x b
α β
= =
thì công thức (1) cho ta :

( ) ( ) ( )
. ' .
b
a
f x dx f x t x t dt
β
α
 
=
 ∫ ∫
Vậy bài toán quy về tính
( )
.
b
a
g t dt
∫

( ở đó
( ) ( ) ( )
. 'g t f x t x t
 
=
 
)
2) Phương pháp tích phân từng phần
Cơ sở của phương pháp này là công thức sau đây
- 7 -
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
' . . ' 2
b
b b
a a
a
u x v x dx u x v x v x u x dx
 
= −
 ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
' . . 1
u b
b
a u a
f u x u x dx f u du
 

=
 
∫ ∫
Trong đó các hàm số u, v có đạo hàm liên tục trên K và a, b là hai số thuộc
K.
Công thức (2) gọi là công thức tích phân từng phần và còn được viết dưới
dạng:

( )
. . .
b
b b
a a
a
u dv u v v du= −
∫ ∫
Đó là một phần lý thuyết gợi mở để học sinh các em có phần hứng thú của
mình hơn. Đặc biệt làm cho đề tài này tôi viết càng được tâm đắc hơn nữa
giúp ích cho công việc học lý thuyết gắn kết với thực hành ở dưới đây như
sau. Cụ thể tôi muốn dẫn dắt :
* Phần thực hành làm rõ cho đề tài như sau :
I/ Vấn đề I : Phát hiện các dạng sai lầm khi tính các tích phân:
1- Tránh những câu hỏi đáp của giáo viên và học sinh khi dạy và học
1.1.Bài toán 1: Tính tích phân sau đây
2
0
sinx
x
sinx osx
d

c
π
+
∫
*Phát hiện vấn đề như sau :
- Dưới dấu tích phân gồm những hàm số nào ? ( Câu hỏi bình thường )
- Có nhận xét gì về hàm số dưới dấu tích phân ? ( Câu hỏi khó, không rõ
ràng, học sinh biết nhận xét thế nào ?)
- Nếu đổi biến số: x =
π
- t, ta được tích phân nào ? (Câu hỏi theo cách “dắt
tay chỉ việc”)
* Giúp học sinh sửa lại cho đúng là : Nếu tính được tích phân “liên kết” với
tích phân này, nghĩa là nếu tính được tích phân
2
0
cos
x
sinx osx
x
d
c
π
+
∫
( tổng hai
hàm số dưới dấu tích phân bằng 1 ) thì có tính được tích phân đã cho hay
không ? Ngoài tính chất liên kết nói trên, hãy phát hiện hai tích phân này còn
có quan hệ gì khác.
* Lời giải bài toán : Học sinh có thể tự giải

Suy ra: kết luận
2 – Phát hiện đổi biến số nhưng không đổi cận
- 8 -
2.1.Bài toán 2: Tính tích phân sau đây
dxxI
∫
−=
π
0
2
1
+ Hướng dẫn :
• Phát hiện lời giải sai của học sinh là : Đặt x = sint suy ra dx = cost.dt
Do đó
4
1
82
2cos1
cos.cos.sin11
4
0
4
0
2
4
0
2
0
2
+=

+
==−=−=
∫∫∫∫
π
πππ
π
dt
t
tdtdtttdxxI
• Giúp học sinh có lời giải đúng như sau : Đặt x = sint suy ra dx =
cost.dt
+ Đổi cận số của tích phân :





=⇒=
=⇒=
tx
tx
4
arcsin
4
00
ππ
• Dođó







+=
+
==−=
−=
∫∫∫
∫
4
arcsin2sin
4
1
4
arcsin
2
1
2
2cos1
cos.cos.sin1
1
4
arcsin
0
4
arcsin
0
2
4
arcsin

0
2
4
0
2
ππ
πππ
π
dt
t
tdtdtttI
dxxI
Kết luận: Học sinh cần nhớ các bước giải tích phân: đổi biến số, tính vi
phân, đổi cận
3 – Phát hiện khi đổi biến không tính vi phân
3.1.Bài toán 3 : Tính tích phân sau đây
( )
∫
+
=
1
0
2
12x
dx
I
+ Hướng dẫn :
• Phát hiện lời giải sai của học sinh là : Đặt t = 2x + 1
- Đổi cận của tích phân :




=⇒=
=⇒=
10
31
tx
tx
Do đó
( )
81
20
1
3
1
4
1
4
12
4
3
1
4
3
1
5
1
0
2
=







−−=−==
+
=
−
∫∫
t
t
dt
x
dx
I
• Giúp học sinh có lời giải đúng như sau : Đặt t = 2x + 1 suy ra dt =
2.dx
- Đổi cận của tích phân :



=⇒=
=⇒=
10
31
tx
tx
Do đó

( )
81
10
1
3
1
8
1
82
1
12
4
3
1
4
3
1
5
1
0
2
=






−−=−==
+

=
−
∫∫
t
t
dt
x
dx
I
4 – Phát hiện tính nguyên hàm sai , hiểu sai bản chất công thức
4.1.Bài toán 4 : Tính tích phân sau đây
dxexI
x
∫
=
2
0
.
- 9 -
+ Hướng dẫn :
• Phát hiện lời giải sai của học sinh là : Đặt :



=
=
⇒




=
=
xx
ev
u
ev
xu 1'
'
Từ đó
1
2
2
0
2
0
2
0
+=−==
∫∫
edxeexdxexI
xxx
• Giúp học sinh có lời giải đúng như sau : Đặt :



=
=
⇒




=
=
xx
ev
dxdu
edv
xu
Từ đó
1
2
2
0
2
0
2
0
+=−==
∫∫
edxeexdxexI
xxx
+ Kết luận: Trong bài toán trên học sinh sai ở ký hiệu
'
x x
v e dv e dx= → =
5– Phát hiện học sinh cách hiểu giới hạn của hàm số chưa rõ ràng
5.1.Bài toán 5 : Tính tích phân
0
1 s
dx

I
inx
π
=
+
∫
• Phát hiện sai lầm thường gặp ở học sinh
Đặt
( )
2
2
2
2 1 1
tan ;
2 1 1 sin
1
x dt t
t dx
t x
t
+
= ⇒ = =
+ +
+

( )
( ) ( )
2
2
2 2

2 1 1
1 sin 1
1
dx dt
t d t C
x t
t
−
⇒ = = + + = − +
+ +
+
∫ ∫ ∫
0
0
2 2 2
1 sin tan 0 1
tan 1 tan 1
2 2
dx
I
x
x
π
π
π
− −
⇒ = = = − −
+ +
+ +
∫

Do
tan
2
π
không xác định nên tích phân trên không tồn tại .
• Phát hiện nguyên nhân sai lầm ở học sinh là : Do tích phân là giới hạn
của tổng vô hạn các hạng tử nên
2 2
0
tan 1
2
π
− −
= =
∞
+
vẫn được thừa nhận .
• Giúp học sinh có lời giải đúng như sau :
- 10 -
•
0
2
0 0 0
2 4
tan tan tan 2
1 sin 2 4 4 4
1 cos( )
2
2 4
x

d
dx dx x
I
x
x
x
cos
π π π
π
π
π π π
π
π
 
−
 ÷
   
 
= = = = − = − − =
 ÷  ÷
+
 
   
+ −
−
 ÷
 
∫ ∫ ∫
*Những điều chú ý đối với học sinh :
Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số

liên tục và có đạo hàm liên tục trên
[ ]
ba;
.
6 – Phát hiện phép biến đổi hàm số dưới dấu tích phân là không tương
đương
6.1.Bài toán 6 : Tính tích phân sau
4
2
0
6 9.I x x dx= − +
∫
• Phát hiện sai lầm thường gặp ở học sinh :
( ) ( ) ( )
( )
2
4 4 4
4
2
2
0
0 0 0
3
1 9
6 9 3 3 3 4
2 2 2
x
I x x dx x dx x d x
−
= − + = − = − − = = − = −

∫ ∫ ∫
• Phát hiện nguyên nhân sai lầm ở học sinh là :
Phép biến đổi
( )
2
2
6 9 3 3x x x x− + = − = −
với
[ ]
0;4x∈
là không tương
đương .
• Giúp học sinh có lời giải đúng như sau :
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
4 4 4
2
2
0 0 0
2 2
3 4
4
3
0
3
0 3
6 9 3 3 3
3 3
3 3 3 3

2 2
9 1
5
2 2
I x x dx x dx x d x
x x
x d x x d x
= − + = − = − −
− − −
= − − − + − − = + 
 
= + =
∫ ∫ ∫
∫ ∫
* Những điều chú ý đối với học sinh :
( )( ) ( )
xfxf
n
n
=
2
2

( )
Nnn ∈≥ ,1
- 11 -
I =
( )( )
=
∫

b
a
n
n
xf
2
2
( )
dxxf
b
a
∫
ta phải xét dấu hàm số f(x) trên
[ ]
ba;
rồi dùng tính
chất tích phân tách I thành tổng các phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối.
6.2. Bài toán 7. Tính tích phân sau đây
2
0
1 sinx.dx
π
+
∫
* Phát hiện lời giải sai lầm từ phía học sinh:
Ta có
2
0
1 sinx.dx
π

+
∫
=
( )
2
2
2 2 2
0 0 0
0
sin os . sin os . 2 sin os 2 os sin
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 1 4
x x x x x x x x x
c dx c dx c d c
π
π π π
         
= + = + = + = − +
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
         
= + =
∫ ∫ ∫
* Giúp học sinh phân tích sai lầm: Lời giải sai lầm khi biến đổi biểu thức
2
3
2
2
3
0
2

sin os sin os
2 2 2 2
2 2 os 2 2 os
2 4 2 4
2 2 2 2 2 2 4 2
x x x x
c c
x x
c c
π
π
π
π π
 
+ = +
 ÷
 
   
= − + + +
 ÷  ÷
   
= + − + =
7 – Phát hiện học sinh còn thiếu xót trong áp dụng công thức
7.1.Bài toán 8 : Tính tích phân sau đây :
0
2
1
2 2
dx
I

x x
−
=
+ +
∫
• Phát hiện việc thiếu sót thường gặp ở học sinh :

( )
( )
( )
0 0
0
2
2
1
1 1
1
arctan 1 arctan1 arctan 0
2 2 4
1 1
d x
dx
I x
x x
x
π
−
− −
+
= = = + = − =

+ +
+ +
∫ ∫
• Nguyên nhân thiếu sót trong bài làm của học sinh :
Trong cách tính nguyên hàm ta đã áp dụng kết quả biểu diễn theo arctan là
khái niệm không có trong sách giáo khoa lớp 11 nhưng một vài năm trở lại
đây ký hiệu trên lại được dùng trở lại.
- 12 -
• Giúp học sinh có lời giải đúng : Đặt u = x + 1 = tan t
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2
0 1
4 4
4
2
2 2
0
1 0 0 0
1 tan 1
1
1
1 1 4
1 1
du t dt u dt
u dt
d x

du
I dt t
u u
x
π π
π
π
−
⇒ = + = +
+
+
⇒ = = = = = =
+ +
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
7.2.Bài toán 9 : Tính tích phân sau
8
2
4
16x
I dx
x
−
=
∫

*Phát hiện việc thiếu sót thường gặp ở học sinh:

8 8
2 2

2
4 4
16 16x x x
I dx dx
x x
− −
= =
∫ ∫

+ Đổi cận:
4 0x t= → =
và
8 4 3x t= → =
Đặt:

2
2
8 4 3 4 3
2 2
4 3
2 2 2
0
4 0 0
16
16
16 16 1 4
1 4arctan 4 3
16 16 4 3
xdx
t x dt xdx tdt

x
x x t dt
I dx dt t
x t t
π
= − ⇒ = ⇒ =
−
−
   
= = = − = − = −
 ÷
 
+ +
   
∫ ∫ ∫
• Phát hiện nguyên nhân thiếu sót trong bài làm của học sinh : Trong cách
tính nguyên hàm ta đã dùng kết quả biểu diễn theo arctan là khái niệm
không còn trong sách giáo một vài năm, mấy năm nay lại được dùng trở
lại.
• Ta cũng có một cách chuyển dạng làm như sau:
• Giúp học sinh có lời giải đúng như sau : Đặt
2
4 4.sin
cos
t
x dx dt
t cos t
= ⇒ =
+ Đổi cận:
4 0x t= → =

và
8
3
x t
π
= → =
( )
[ ]
3 3 3
3
2 2
2
0
2
0 0 0
4sin 1
. 16 1 . 4 tan 4 1 tan 1 4 tan
4
.
cos
t
I dt tdt t dt t t
cos t
cos t
t
π π π
π
 
 
= − = = + − = −

 ÷
 
 
∫ ∫ ∫
4
4 3
3
I
π
= −
- 13 -
7.3. Bài toán 10: Tính tích phân
2
2
0
1
1
x
I dx
x
+
=
−
∫
• Phát hiện việc thiếu sót thường gặp ở học sinh :
• Đặt
( )
2
2
2

2
2
1 1 4
1 1
1
x t tdt
t x dx
x t
t
+ −
= ⇒ = ⇒ =
− +
+
+ Đổi cận:
0 1x t= → =
và
2
1 2
2
x t= → = +
Khi đó : I =
( )
1 2
2
2
2
1
4
1
t

dt
t
+
+
∫
.Đặt
( )
( )
2
2
2
.
1
2 1
1
u t
du dt
t dt
dv
v
t
t
=

=



−
⇒

 
=
=
 
+
+


( )
( )
( )
1 2 1 2
2
1 2 1 2
2
2
2
2
1 1
1 1
2
4 4 2 1 2arctan
1 2
2 1
1
2 2 3 2
1 2 arctan 1 2 1 1 2 1
2 2 8 4 4 2
t t dt
I dt t

t
t
t
I arc
π π π
+ +
+ +
 
−
 
⇒ = = + = − +
+
+
 
+
 
 
 
= − + + − = − + − = + −
 ÷
 
 
∫ ∫
• Phát hiện nguyên nhân thiếu sót trong bài làm của học sinh : Trong cách
tính nguyên hàm ta đã dùng kết quả biểu diễn theo arctan là khái niệm đã
bị bỏ một vài năm, bây giờ lại dùng trở lại ký hiệu đó.
• Ta cũng có một cách chuyển dạng làm như sau:
• Giúp học sinh có lời giải đúng như sau : Đặt
cos sinx t dx tdt= ⇒ = −
+ Đổi cận:

0
2
x t
π
= → =
và
2
2 4
x t
π
= → =
Do đó
( ) ( )
4 2
2
4
2 4
1 cos 2
.sin 1 cos sin 1
1 os 4 2
t
I tdt t dt t t
c t
π π
π
π
π π
π
+
= − = + = + = + −

−
∫ ∫
* Những điều chú ý đối với học sinh :
Các khái niệm arcsinx, arctanx bị bỏ trong một vài năm. Học sinh có thể đọc
thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một số sách tham khảo, vì
các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000). Từ năm 2000
đến 2009 do các khái niệm này không có trong sách giáo khoa nên học sinh
- 14 -
không được áp dụng phương pháp này nữa. Vì vậy khi gặp tích phân dạng
∫
+
b
a
dx
x
2
1
1
ta dùng phương pháp đổi biến số đặt t = tanx hoặc t = cotx

∫
−
b
a
dx
x
2
1
1
thì đặt x = sint hoặc x = cost

8 – Phát hiện cách đặt ẩn phụ chưa hợp lý với đổi cận tích phân
8.1.Bài toán 11: Tính tích phân :I =
∫
−
4
1
0
2
3
1
dx
x
x
* Phát hiện học sinh suy luận sai lầm: Đặt x= sint , dx = costdt
3 3
2
sin
.cos
cos
1
x t
dx tdt
t
x
=
−
∫ ∫
Đổi cận: với x = 0 thì t = 0
với x=
4

1
thì
1
arcsin
4
t =
* Phát hiện nguyên nhân sai lầm:
Khi gặp tích phân của hàm số có chứa
2
1 x−
thì thường đặt x = sint nhưng
đối với tích phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x =
4
1
không
tìm được chính xác
1
arcsin
4
t =
* Giúp học sinh có lời giải đúng như sau :
Đặt t =
2
1 x−
⇒
dt =
2
1
x
dx tdt xdx

x
−
⇒ = −
−
Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; với x =
4
1
thì t =
4
15
- 15 -
I =
∫
−
4
1
0
2
3
1
dx
x
x
I=
( )
( )
15 15
2
15
3

4 4
2
4
1
1 1
1
15 15 15 2 33 15 2
1
3 4 192 3 192 3
t t dt
t
t dt t
t
−
 
 
− = − − = − − = − − + = − +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
∫ ∫
* Những điều chú ý đối với học sinh :
Khi gặp tích phân của hàm số có chứa
2
1 x−
thì thường đặt x = sint hoặc
gặp tích phân của hàm số có chứa 1+x
2

thì đặt x = tant nhưng cần chú ý đến
cận của tích phân đó.Vì nó không cho ta số cụ thể nếu có phương pháp giải
nào hay thì ưu tiên phương pháp đó được giải trước.
9 – Phát hiện học sinh chưa biết tận dụng công thức sau đây :
( ) ( )
'f x dx f x C= +
∫
9.1.Bài toán 12: Tính tích phân sau đây I =
∫
−
+
−
1
1
4
2
1
1
dx
x
x
* Phát hiện sai lầm thường mắc ở học sinh : I =
∫ ∫
− −
−







+






−
=
+
−
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
dx
x

x
x
x
x
x
Đặt t = x+
dx
x
dt
x






−=⇒
2
1
1
1
Đổi cận với x = -1 thì t = -2 ; với x=1 thì t=2;
I =
∫
−
−
2
2
2
2t

dt
=
dt
tt
)
2
1
2
1
(
2
2
−
−
+
∫
−
=(ln
2+t
-ln
2−t
)
2
2
2
2
2
2
ln
−−

−
+
=
t
t
= ln
22
22
ln2
22
22
ln
22
22
−
+
=
−−
+−
−
−
+
* Phát hiện nguyên nhân sai lầm:
2
2
2
4
2
1
1

1
1
1
x
x
x
x
x
+
−
=
+
−
là sai vì trong
[ ]
1;1−
chứa
x = 0 nên không thể chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được
- 16 -
* Giúp học sinh có lời giải đúng như sau :
Xét hàm số F(x) =
12
12
ln
22
1
2
2
++
+−

xx
xx

F
’
(x) =
1
1
)
12
12
(ln
22
1
4
2
2
2
+
−
=
′
++
+−
x
x
xx
xx
Do đó I =
∫

−
+
−
1
1
4
2
1
1
dx
x
x
=
12
12
ln
22
1
2
2
++
+−
xx
xx
ln
2
1
1
1
=

−
22
22
+
−
*Những điều chú ý đối với học sinh :
Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho x cần để ý rằng
trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0 .
10- Phát hiện các sai lầm thông thường ở học sinh khi giải các bài toán
sau:
Đó là những sai lầm liên quan tới sự hiểu biết không đúng các khái niệm và
vận dụng sai các định lý, quy tắc.
10.1. Bài toán 13. Tính tích phân sau đây
( )
0
2
2
1x dx
−
+
∫
* Phát hiện lời giải sai lầm từ phía học sinh:
Đặt
( ) ( )
( )
2
1 2 1
2 1
2
du du

u x du x dx dx
x
u
= + ⇒ = + ⇒ = =
+
Với x = - 2 thì u = 1; x = 0 thì u = 1. Do đó
( )
0 1 1
2
2 1 1
1
1 0
2
2
udu
x dx udu
u
−
+ = = =
∫ ∫ ∫
* Giúp học sinh phân tích sai lầm: Lưu ý
( )
2
1u x= +
không phải hàm số đơn
điệu trên
[ ]
2;0−
nên không thể đổi biến, đổi cận như lời giải ở trên được.
Nếu muốn đổi biến thì phải viết tích phân cần tính thành tổng của hai tích

phân mà
( )
2
1u x= +
đơn điệu. Lời giải trên còn sai lầm khi viết
( )
2 1
2
du du
dx
x
u
= =
+
, như vậy từ
( )
2
1u x= +
suy ra
1x u+ =
, điều này chỉ
được viết khi
1x ≥ −
.
- 17 -
10.2. Bài toán 14. Với 0 <
α
<
π
, tính tích phân sau đây

1
2
1
2 . os 1
dx
x x c
α
−
− +
∫
* Phát hiện lời giải sai lầm từ phía học sinh:
Ta có
( )
1 1 1
2 2 2
2
2
1 1 1
os
1 1
sin
sin sin
os sin os os
1 1
sin sin
x c
d
dx dx
I
x c x c x c

α
α
α α
α α α α
α α
− − −
−
 
 ÷
 
= = =
− + − −
   
+ +
 ÷  ÷
   
∫ ∫ ∫
1
1
1 os
arctan
sin sin
x c
I
α
α α
−
−
 
=

 ÷
 
1 1 os 1 os
arctan arctan
sin sin sin
c c
I
α α
α α α
 − − − 
   
= −
 ÷  ÷
 
   
 
* Giúp học sinh phân tích sai lầm: Lời giải chưa thể dừng lại ở kết quả trên,
tức là nếu dừng lại như thế học sinh đang còn nợ bài toán rút gọn. Cần tiếp
tục lời giải sau đây:
1 1
arctan tan arctan cot arctan tan arctan tan
sin 2 2 sin 2 2 2
I
α α α π α
α α
 
   
       
= + = + −
 

 ÷  ÷  ÷  ÷
 ÷
 
       
   
 
Vì
; 0;
2 2 2 2
α π α π
 
− ∈
 ÷
 
do
0
α π
< <
nên
1
sin 2 2 2 2sin
I
α π α π
α α
 
= + − =
 ÷
 
.
* Qua việc khai thác các bài toán nêu ở trên cho thấy chúng tôi đi phân

tích các nguyên nhân dẫn tới sai lầm của học sinh lớp 12 khi giải toán về
tích phân
Chúng tôi chủ yếu nghiên cứu những nguyên nhân về kiến thức của học sinh
đã dẫn tới sai lầm.
1.1.Nguyên nhân 1: Hiểu không đầy đủ và chính xác các thuộc tính của các
khái niệm toán học
Chúng tôi xin lưu ý tới nguyên nhân này vì nếu giáo viên không có các biện
pháp sư phạm kịp thời thì chính từ đó sẽ gây ra hậu quả lớn cho học sinh, thể
- 18 -
hiệnquasơđồ sau:
- 19 -
Không nắm vũng
nội hàm
Không nắm vững các thuộc tính
khái niệm
Không nắm vững ngoại diện
Học sinh
Nhận dạng sai
T



H
Ể

H
I
Ệ
N
S

A
I
Biến đổi sai
Kí hiệu sai
Chứng minh sai
Vẽ hình sai
Diễn đạt sai
Giáo viênKhông phát hiện
Không phân tích
Không củng cố
Không phân loại
1.2.Nguyên nhân 2 : Không nắm vững cấu trúc lôgic của định lý
Nhiều học sinh lớp 12 vẫn dùng định lý Newton - Leibnitz để tính tích phân
1
2
2
dx
x
−
∫
mặc dù hàm số không xác định và liên tục tại x = 0 thuộc đoạn
[ ]
2;1−

để có đáp số sai là - 1,5, thực ra tích phân này không tồn tại.
1.3. Nguyên nhân 3. Thiếu các kiến thức cần thiết về lôgic.
Suy luận là một hoạt động trí tuệ đặc biệt của phán đoán - một trong các
hình thức của tư duy. Hoạt động suy luận khi giải toán dựa trên cơ sở của
lôgic học. Học sinh thiếu các kiến thức cần thiết về lôgic sẽ mắc sai lầm
trong suy luận và từ đó dẫn đến các sai lầm khi giải toán.

1.4. Nguyên nhân 4. Học sinh không nắm vững phương pháp giải các bài
toán cơ bản
- Học sinh không nắm vững phương pháp giải của các bài toán cơ bản thì
dẫn tới sai lầm trong lời giải.
- Không nắm vững phương pháp giải, học sinh không nghĩ được đủ các khả
năng cần xét và dẫn tới đặt điều kiện sai.
- Không nắm vững phương pháp giải, học sinh sẽ biện luận không đủ các
trường hợp xảy ra của bài toán.
- Không nắm vững phương pháp giải, học sinh sẽ áp dụng không đúng phạm
vi và dẫn tới bế tắc không đi tới lời giải.
Các dạng bài tập tương tự : Tính các tích phân sau đây
+ Bài tập 1:
1 )
1
2
1
2
2
0
2 2
.
2 2
2 2
x x x dx
I
x x
x x x
− − +
=
− +

+ + +
∫
2 )
( )
1 2
2
2
2
1 3
1 . 2 3
xdx
I
x x x
−
−
=
− − + +
∫
- 20 -
Không phân loại
3 )
0
2
3
2
1
3 2
x dx
I
x x

−
=
− −
∫
4 )
1
4
2
0
9 5
4 4 4
x
I dx
x x
−
=
+ +
∫
+ Bài tập 2 : Tính các tích phân sau:
1/
∫
−
5
0
4
)4(x
dx
.
2/
dxxx

2
1
3
2
2
)1( −
∫
−
.
3/
dx
x
xex
x
∫
−
+−
1
1
3
23
.
+ Bài tập 3 : Tính các tích phân sau
1/ I =
∫
−
π
0
2sin1 x
dx ;

2/ I =
∫
+−
3
0
23
2 xxx
dx
3/ I =
∫






−+
2
2
1
2
2
2
1
x
x
dx
4/ I =
∫
−+

3
6
22
2cot
π
π
xgxtg
dx
5/ I =
∫
−
8
4
2
16
dx
x
x
6/ I =
dx
x
xx
∫
+
++
1
0
2
3
1

322
7/ I =
∫
−
3
1
0
8
3
1 x
dxx
8/ I =
dx
x
x
∫
+
7
0
2
3
1
- 21 -
9/ I =
∫
+
2
1
2
1xx

dx
II/ Vấn đề II : Phát hiện các dạng sai lầm khi chứng minh đẳng thức
tích phân
Bài toán 15 : Cho n
∈
N . CMR
( )
∫
=+=
π
2
0
0.sinsin dxnxxI
+ Hướng dẫn :
* Phát hiện lời giải sai của học sinh là : Xét f(x) = sin(sinx + nx ) trên đoạn
[ ]
π
2;0
ta có :
f(x) là hàm số liên tục trên đoạn
[ ]
π
2;0
và f( - x ) = sin( sin ( - x ) – nx ) = - f
( - x ) . Vậy f(x) là hàm số lẻ .Từ đó I = 0
• Phát hiện nguyên nhân sai lầm là ở chỗ: Học sinh hiểu sai định lý : “ Nếu
hàm số f(x) là hàm số lẻ liên tục trên đoạn
[ ]
aa;−
thì

( )
0=
∫
−
a
a
dxxf
”
• Giúp học sinh có lời giải đúng như sau: Đặt x =
π
+ y
Suy ra
( ) ( ) ( ) ( )
∫ ∫ ∫
− −
−−=++=+=
π π
π
π
π
π
2
0
.sinsin1.sinsin.sinsin dxynydxnnyydxnxxI
n
Mặt khác ta lại có : g(y) = sin ( ny – siny ) xác định trên
[ ]
ππ
;−
là hàm liên

tục và g(-y) = sin ( - ny – sin(-y)) = - sin(ny – siny ) = - g(y) suy ra g(y) là
hàm lẻ . Vậy thì I = 0 .
Bài toán 16: Cho hàm số f liên tục trên đoạn
[ ]
π
;0
. Hãy so sánh
( )
∫
=
π
0
sin dxxxfI
và
( )
∫
=
π
0
sin dxxfJ
+ Hướng dẫn :
• Phát hiện lời giải sai của học sinh là:
• Tích phân từng phần :
( ) ( )



−=
=
⇒




=
=
xfv
dxdu
dxxfdv
xu
cossin
- 22 -
Suy ra hàm số f liên tục trên đoạn
( ) ( ) ( )
∫∫
+−==
π
π
π
0
0
0
coscossin dxxfxxfdxxxfI
Do hàm số f liên tục trên đoạn
[ ]
π
;0

⇒

( ) ( ) ( )

∫
=⇒==
π
π
0
cos00cos dxxfIff

( 1 ) Mà
( )
∫
=
π
π
0
sin
2
dxxfJ
( 2 ) . Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có I
≠
J
• Phát hiện nguyên nhân sai lầm do : Học sinh không hiểu về hàm số liên
tục , tích phân và vi phân .
• Giúp học sinh có lời giải đúng như sau : Đặt x =
π
- t ta có
•
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
∫ ∫
∫ ∫ ∫∫

=⇒=⇒
−=−−−==
−
π π
π
π ππ
π
π
πππ
0 0
0
0 00
sin
2
sin2
sin.sinsinsin
dxxfIdxxfI
dxxfxdxxfdttftdxxxfI

Vậy ta có I = J.
Bài toán 17: Cho hàm số f liên tục trên đoạn
[ ]
ba;
. CMR tồn tại ít nhất một
điểm c
∈

[ ]
ba;
thỏa mãn:

( ) ( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
∫ ∫
−=−
c
a
b
c
dxxfcfdxcfxf
+ Hướng dẫn :
f(x) – f(c) /
[ ]
cb;
vậy ta có:
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
∫ ∫∫
−=−=−
c
a
b
c
c
b

dxxfcfdxcfxfdxcfxf
• Phát hiện nguyên nhân sai lầm là ở chỗ: Không hiểu về hàm số liên tục
lên tính tích phân sai.
• Giúp học sinh có lời giải đúng như sau : Áp dụng định lý về giá trị trung
bình của tích phân
∃⇒
ít nhất một điểm c
∈

[ ]
ba;
sao cho :
( ) ( )( )
( )
∫∫
=−=
b
a
b
a
dxcf
abcfdxxf

- 23 -
4
2
-2
-4
-5
5

1
3
-
3
2
-2
O
Suy ra
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
0=−+−=−
∫ ∫∫
b
a
b
c
c
a
dxcfxfdxcfxfdxcfxf
Hay ta có :
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
∫ ∫
−=−

c
a
b
c
dxxfcfdxcfxf
( đpcm ).
III/ Vấn đề III : Phát hiện các dạng sai lầm khi tính diện tích hình
phẳng bằng tich phân
III.1. Vấn đề : Phát hiện sai lầm khi tính diện tích hình phẳng bằng tich
phân
1.Kiến thức chung
- Cho hàm số f(x) khả tích trên đoạn
[ ]
ba;
. Khi đó diện tích hình phẳng giới
hạn bởi : Ox ,
y = f(x) và x = a , x = b là :
( )
dxxfS
b
a
∫
=
2. Phát hiện những sai lầm thường gặp sau đây
2.1. Phát hiện thấy giải bài toán chưa hợp lý
2.1. Bài toán 18 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường
cong
2
2
4 ;

3
x
y x y= − =
y
+ Hướng dẫn :
* Lời giải như sau : N M x
Giao điểm của hai đường có A
tọa độ là (
±
3
; 1), nên diện tích S của
hình phẳng cần tính bằng
3
2
2
0
2 4 x
3
x
x d
 
− −
 ÷
 
∫
Tính
3
2
1
0

4 xI x d= −
∫
bằng cách đổi biến số : x = 2sint ta được
( )
3
3 3
3
2 2
1
0
0 0 0
1 3
4 x os d 2 1 os2 . 2 sin 2 2
2 3 4
I x d c t t c t dt t t
π π
π
π
 
 
= − = = + = + = +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
∫ ∫ ∫

Tính
3

2
2
0
3
x
3 3
x
I d= =
∫
Vậy
( )
1 2
4 3
2
3 3
S I I
π
= + = +
• Phát hiện vấn đề lời giải cho hợp lý để cho các em nhận biết được :
- 24 -
8
6
4
2
-2
-4
-6
-10
-5
5

10
3
1
O
Thay cho việc tính
1
I
ta thấy : các giao điểm của hai đường là
( )
3;1M
và
( )
3;1N −
.
Gọi O (0;0), A(2;0) thì tan
∠
MOA =
1
3
nên
∠
MOA
=
0
30
. Diện tích hình
quạt tròn MON bằng
1
3
diện tích hình tròn , bằng

4
3
π
. Diện tích hình phẳng
giới hạn bởi cung OM và ( P )
2
3
x
y =
là:
3
2
0
1 3 3 3
. x
3 2 3 6
3
x
x d
 
− = − =
 ÷
 
∫
Vậy diện tích hình phẳng là
4 3
3 3
S
π
= +

( đvdt )
2.2. Phát hiện sử dụng còn sai công thức
2.2. Bài toán 19 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :



===
−=
4;1;0
9
2
xxy
xy
+ Hướng dẫn : y

• Phát hiện lời giải sai của học sinh là :
- Diện tích hình phẳng là :
( )
7
3
1
99
4
1
3
4
1
2
=







−=−=
∫
xxdxxS
* Phát hiện nguyên nhân sai lầm là : Áp dụng sai công thức
tính diện tích x
* Giúp học sinh có lời giải đúng như sau:
- Diện tích hình phẳng là :
( )
( )
∫∫ ∫
−
+−=−=
4
3
2
4
1
3
1
22
9
99
dxx
dxxdxxS
3

38
9
2
65
9
3
1
3
1
9
4
3
3
3
1
3
=−=






−+







−= xxxxS
( đvdt )
2.3. Phát hiện xác định không chính xác hình cần tính giới hạn
2.3.Bài toán 20 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :



=−=
==
0;1
1;0
2
xxy
yy
+ Hướng dẫn :
* Phát hiện lời giải sai của học sinh là :



−−=
−=
⇒−=
1
1
1
2
xy
xy
xy
y = 0

⇒
x = 1
- 25 -