hướng dẫn học sinh khai thác sử dụng công thức nghiệm

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Giải toán là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp
giảng dạy môn toán, bởi lẽ giải toán là việc mà cả người học lẫn người dạy
thường phải làm, đặc biệt là đối với học sinh bậc THCS thì việc giải toán là
một trong những hình thức chủ yếu của việc học toán. Thực tế có một số
lượng bài toán đáng kể trong SGK đã gây cho học sinh gặp những khó
khăn nhất định trong việc đi tìm lời giải dẫn đến tâm lý sợ và ngại, thiếu tự
tin vào khả năng của mình. Đây là trở ngại lớn cho ý chí tiến thủ vươn lên
trong học tập của học sinh. Chính vì vậy trong quá trình giảng dạy toán ở
bậc THCS ngoài việc truyền thụ những kiến thức lý thuyết cơ bản trong
SGK, thì người thầy phải có cách nhìn bao quát mở rộng cho từng phần
kiến thức, đi sâu nghiên cứu, tìm tòi khai thác và hướng dẫn học sinh khai
thác sử dụng linh hoạt từng phần kiến thức cơ bản đó áp dụng vào giải các
dạng toán. Trên cơ sở đó xây dựng phương pháp giải cho từng dạng toán
cũng như rèn cho các em phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận
trong việc tìm lời giải một bài toán.
Mặt khác đối với khối lớp 9, lớp cuối cấp chuẩn bị thi tốt nghiệp kết
thúc chương trình THCS thì việc chuẩn bị tốt các kiến thức nói chung cũng
như việc rèn kỹ năng giải thành thạo, linh hoạt các bài toán nói riêng lại
càng trở nên hết sức cần thiết.
Hơn thế nữa việc học tốt môn Toán giúp các em học tốt các môn tự
nhiên khác cũng như học tốt môn Toán trong những năm học sau này.
Trong sách Đại số 9, phần giải phương trình bậc 2, là một trong
những phần kiến thức cơ bản của môn Toán 9. Nắm chắc phương pháp giải
phương trình bậc 2 không những giải quyết một số lượng lớn bài tập ở
phần này mà còn là nền tảng quan trọng trong việc “Giải bài toán bằng
cách lập phương trình” ở phần tiếp theo. Chính vì những lý do đó tôi suy
nghĩ, trăn trở và mạnh dạn đưa ra phương pháp: “Hướng dẫn học sinh
1
khai thác sử dụng công thức nghiệm”, sau khi thực hiện thì thu được kết

quả khá khả quan.
II. PHẠM VI VÀ THỜI GIAN THỰC HIỆN:
1. Phạm vi của đề tài
Trong khuôn khổ đề tài này tôi chỉ đề cập đến cách khai thác sử dụng
công thức nghiệm để giải toán trong chương trình đại số lớp 9.
Đối tượng để tôi thể nghiệm đề tài này là học sinh lớp 9A trường
THCS Xxx .
2. Thời gian thực hiện:
Đề tài này tôi đã áp dụng trong năm học 2004 - 2005 ở lớp 9A
trường THCS Xxx và thu được kết quả cao.
2
B. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI:
I. THỰC TRẠNG TÌNH HÌNH QUA KHẢO SÁT :
Qua thực tế kiểm tra 37 em học sinh lớp 9A trong thời gian 20 phút
với đề bài sau: (Khi chưa thực hiện đề tài)
Bài 1: Giải các phương trình bậc 2 sau: (Bằng công thức nghiệm)
a. - 2x
2
+ 5x + 3 = 0
b. 3x
2
+ 12x - 66 = 0
Bài 2: Không tính ∆, hãy giải thích tại sao phương trình sau có 2
nghiệm phân biệt:
3
x
2
- 2 (
2
+

3
) x + -
3
=0
Kết quả bài làm của học sinh như sau :
Số học sinh
dự khảo sát
Kết quả
Yếu TB Khá Giỏi
37
6
= 16,3%
18
= 48,6%
11
= 29,7%
2
= 5,4%
Qua bài làm của học sinh, tôi thấy một số em còn lúng túng chưa vận
dụng tốt và linh hoạt công thức nghiệm dẫn đến kết quả bài làm còn thấp,
chất lượng điểm khá giỏi chưa cao (chỉ đạt 35,1%). Do vậy bản thân tôi
thấy cần thiết phải hướng dẫn cho các em cách khai thác sử dụng linh hoạt
công thức nghiệm, từ đó hình thành phương pháp giải các dạng toán cơ bản
của phần kiến thức này giúp các em giải nhanh và chính xác các bài toán.
II. NỘI DUNG CHỦ YẾU VÀ BIỆN PHÁP THỰC HIỆN
* Phần 1. Trước hết tôi củng cố và khắc sâu thêm cho các em về
công thức nghiệm:
- Công thức nghiệm của phương trình bậc 2: ax
2
+ bx + c = 0

∆ = b
2
- 4ac
+ Nếu ∆ < 0: Phương trình vô nghiệm
3
- b
+ Nếu ∆ = 0: Phương trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
2a
-b ±
∆

+ Nếu ∆ > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x
1,2
=
2a
(Chú ý: Nếu ac < 0 thì ∆ = b
2
- 4ac > 0 => PT chắc chắn có hai nghiệm
phân biệt )
- Công thức nghiệm thu gọn: (áp dụng khi b chẵn)
Đặt b = 2b’; ∆’ = b’
2
- ac
+ Nếu ∆’ < 0 : Phương trình vô nghiệm
-b’
+ Nếu ∆’ = 0 : Phương trình có nghiệm kép: x

1
= x
2
=
a
-b’±
'∆
+ Nếu ∆’ > 0 : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x
1,2
=
a
* Phần 2. Giới thiệu; Hướng dẫn và rèn cho các em cách khai thác
sử dụng công thức nghiệm vào giải một số dạng toán cụ thể:
Dạng 1: Giải phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0)
Phương pháp giải:
- Khi giải phương trình bậc 2 trước hết biến đổi phương trình đã cho
về phương trình có hệ số đơn giản nhất tương đương với phương trình đó
để việc tính toán gọn hơn.
- Nếu phương trình có hệ số a < 0 thì nhân cả hai vế của phương
trình với - 1 để có hệ số a > 0.
- Đối với phương trình bậc hai đủ thì sử dụng công thức nghiệm tổng
quát và công thức nghiệm rút gọn.
- Đối với phương trình bậc 2 khuyết b, c ta không sử dụng công thức
nghiệm của phương trình:
+ Đối với PT bậc hai khuyết c (c = 0)
ax

2
+ bx = 0 <=> x (ax +b) = 0
4
PT có hai nghiệm x
1
= 0, x
2
= -b/a
+ Đối với PT bậc hai khuyết b (b = 0)
ax
2
+ c = 0 <=> x
2
= -
• Nếu >0 (Hay a và c cùng dấu) => PT vô nghiệm
• Nếu <0 (hay a và c trái dấu) => PT có hai nghiệm là
x
1
= - và x
2
=
Ví dụ:
Giải các phương trình bậc hai sau:
a) x
2
- 10x + 21 = 0
b) -x
2
- 5x + 14 = 0
c) x

2
- 2(1 +
2
) x + 4 + 3
2
= 0
d) 4x
2
- 2 (1+
3
)x +
3
= 0
Hướng dẫn giải:
a) Hệ số a = 1, b = -10, c = 21, b’ = - 5, ∆’ = 25 - 21 = 4 > 0
-> Phương trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
= 5 + 2 = 7
x
2
= 5 - 2 = 3
b) - x
2
- 5x + 14 = 0 <-> x
2
+ 5x - 14 = 0
Hệ số a = 1, b = 5, c = -14, ∆ = 25 + 56 = 81 > 0
-> Phương trình có hai nghiệm phân biệt
-5 + 9

x
1
= =2
2
-5 - 9
x
2
= =-7
2
c) x
2
- 2(1 +
2
) x + 4 + 3
2
= 0
Hệ số a = 1, b = -2 (1 +
2
), c = 4 + 3
2
∆’ = -2 -
2
<0 => phương trình vô nghiệm
d) 4x
2
- 2 (1+
3
)x +
3
= 0

5
a
c
a
c
a
c
c
a
−
c
a
−
Hệ số a = 4, b = - 2 (1+
3
), c =
3
, b’ = - (1+
3
)
∆’ = (
3
- 1)
2
> 0 => phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
3
1
x
1
= ; x

2
=
2 2
Bài tập tự luyện
Giải các phương trình sau: (Dùng công thức nghiệm)
a) x
2
- 4x + 1 = 0
b) 3x
2
+ 7x + 2 = 0
c) (x +1)(x+2) = 70
Dạng 2: Xác định số nghiệm của phương trình bậc hai
ax
2
+bx + c= 0(a≠0)
Phương pháp giải:
- Xác định các hệ số a, b, c của phương trình ax
2
+ bx + c (a≠0)
- Tính ∆ = b
2
-4ac hoặc ∆’ = (b’)
2
- ac
+ Nếu ∆ <0 (∆’ <0) phương trình vô nghiệm
+ Nếu ∆ =0 (∆’ =0) phương trình có nghiệm kép
+ Nếu ∆ > 0 (∆’ > 0) phương trình có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ:
Xác định hệ số a, b, c và số nghiệm của các phương trình sau:

a) 2x
2
+ 3x + 1 = 0
b) 3x
2
+ 2x + 5 = 0
c) 4x
2
- 4x + 1 = 0
d) 3x
2
- 2
3
x- 2 = 0
Hướng dẫn giải:
a) Hệ số a= 2, b = 3, c = 1, ∆ = 9 - 8 = 1 -> Phương trình có hai
nghiệm phân biệt
b) Hệ số a = 3,b =2,c =5,∆ = 4-60 = -56 <0 -> Phương trình vô nghiệm
6
c) Hệ số a = 4, b = -4, c =1, ∆=16 - 16 = 0-> phương trình có nghiệm kép
d) Hệ số a = 3, b = - 2
3
, c= 5, ∆ = 12 + 24 = 36>0 -> Phương trình
có hai nghiệm phân biệt
Bài tập tự luyện:
Không giải phương trình, hãy xác định số nghiệm của các phương
trình sau:
a) x
2
+ 3x - 10 = 0

b) 3x
2
- 7x + 1 = 0
c) 4 x
2
- 12 x + 9 = 0
Dạng 3: Không tính
∆
, chứng minh phương trình bậc hai có hai nghiệm
phân biệt
Phương pháp giải:
- Xác định các hệ số a, b, c của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠0)
- Nếu ac<0 thì phương tình có hai nghiệm phân biệt vì ∆ =b
2
-4ac >0
Ví dụ:
Hãy giải thích tại sao không cần tính ∆ mà có thể kết luận ngay mỗi
phương trình sau có hai nghiệm phân biệt.
a) (1 -
2
) x
2
- 2 (1 +
2
) x+1+
2
= 0
b) mx

2
- 2(m+1)x-2m = 0 (m ≠ 0)
Hướng dẫn giải :
a) (1 -
2
)x
2
- 2 (1 +
2
) x+1+
2
= 0
Hệ số a = (1 -
2
), b = - 2 (1 +
2
), c = 1+
2
=> a < 0, c > 0 <=> ac < 0
-> Phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) mx
2
- 2(m+1)x - 2m = 0 (m ≠ 0)
Hệ số a = m, b = -2(m+1), c = -2m
=> ac - 2m
2
< 0 ∀ m ≠ 0
-> Phương trình có hai nghiệm phân biệt
7
Bài tập tự luyện:

Không tính ∆, hãy chứng minh các phương trình bậc hai sau có hai
nghiệm phân biệt.
a) 3x
2
- 5x - 8 = 0
x
2
4 1
b) + x- = 0
3 5 12
c)x
2
- 2 (
3
- 1 ) x - 2
3
= 0
Dạng 4: Định tham số để phương trình bậc hai thoả mãn điều kiện về
nghiệm số
Phương pháp giải:
- Cho phương trình ax
2
+bx +c = 0 (a ≠ 0) (1)
(1) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 (∆’ ≥ 0)
(1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 (∆’ >0)
(1) có nghiệm kép ⇔ ∆ = 0 (∆’ = 0)
(1) vô nghiệm ⇔ ∆ < 0 (∆’ < 0)
(1) Có 2 nghiệm cùng dấu ⇔ ∆ > 0
c
> 0

a
c
(1) Có 2 nghiệm trái dấu ⇔ < 0
a
Ví dụ 1:
Với giá trị nào của m phương trình sau vô nghiệm:
a) 3x
2
- 4x + 2m = 0
b) m
2
x
2
+ mx + 5 = 0
Hướng dẫn giải:
8
a) 3x
2
- 4x + 2m = 0 vô nghiệm ⇔ ∆’ < 0
∆’ = 4 - 6m <0 ⇔ m > 2/3
Phương trình vô nghiệm khi m >2/3
b) m
2
x
2
+ mx + 5 = 0 (m ≠ 0) vô nghiệm ⇔ ∆ <0
∆ = m
2
- 4.5m
2

= -19m
2
<0 ∀ m ≠ 0
Phương trình vô nghiệm với mọi m ≠ 0
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng phương trình x
2
- 10x - m
2
= 0 luôn có 2 nghiệm
trái dấu với mọi giá trị của m ≠ 0.
Hướng dẫn giải:
Phương trình x
2
- 10x - m
2
= 0 có a = 1, c = - m
2
c
=> = - m
2
< 0 với mọi m ≠ 0
a
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m ≠ 0.
Ví dụ 3: Tìm giá trị của m để phương trình:
(m + 1) x
2
- 2 (m - 1) x+m - 3 = 0 có 2 nghiệm cùng dấu
Hướng dẫn giải:
Phương trình đã cho 2 nghiệm cùng dấu

∆ > 0
c
⇔ > 0
a
⇔ (m -1)
2
- (m + 1) (m - 3) > 0 ⇔ m
2
- 2m + 1 - m
2
+2m+3 = 4>0
m - 3 m - 3 > 0
> 0 m + 1 > 0
m + 1 m - 3< 0
m + 1 ≠ 0 m + 1 < 0
m ≠ - 1
⇔ m > 3
m >- 1
m < 3
m <- 1
m ≠ - 1
⇔ m > 3
9
m < - 1
Vậy với m > 3 hoặc m < - 1 thì phương trình có 2 nghiệm cùng dấu
Bài tập tự luyện:
1. Tìm có giá trị của k để phương trình 10x
2
+ 40x + k = 0
a) có hai nghiệm phân biệt

b) Có nghiệm kép
c) Vô nghiệm
2. Tìm giá trị của m để PT: (m + 1) x
2
+ 5 x + m
2
-1 = 0
Có hai nghiệm trái dấu
3. Tìm giá trị của m để PT: (m + 1) x
2
-2(m - 1)x + m - 3 = 0 có 2
nghiệm cùng dấu.
Dạng 5: Giải và biện luận phương trình ax
2
+ bx + c = 0
Phương pháp giải:
- Nếu a = 0 phương trình trở thành bx + c = 0
+ Nếu b ≠ 0 thì phương trình có một nghiệm x = -c/b
+ Nếu b = 0 và c ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm
+ Nếu b = 0 và c = 0 thì phương trình có vô số nghiệm
- Nếu a ≠ 0 phương trình trở thành phương trình bậc hai
∆ = b
2
- 4ac
+ Nếu ∆ < 0 Phương trình vô nghiệm
- b
+ Nếu ∆ = 0 Phương trình có nghiệm kép x
1
=x
2

=
2a
+ Nếu ∆ > 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt
- b ±
∆
x
1, 2
=
2a
Ví dụ:
Giải và biện luận phương trình sau:
10
( m- 2)x
2
- 2(m+1)x + m = 0
Hướng dẫn giải:
* Nếu m - 2 = 0 hay m = 2 thì phương trình trở thành - 6x + 2 = 0
<=> x = 1/3
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = 1/3
* Nếu m - 2 ≠ 0 hay m ≠ 2
Khi đó ta có:
∆’ = (m +1)
2
- m (m-2) = 4m + 1
+ Nếu ∆’ < 0 ⇔ 4m + 1 < 0 ⇔ m < -1/4⇔ phương trình vô nghiệm
+ Nếu ∆’ = 0 ⇔ 4m + 1 = 0 ⇔ m = -1/4 ⇔ phương trình có
nghiệm kép x
1
= x
2

= -1/3
+ Nếu ∆’ > 0 ⇔ 4m + 1 > 0 ⇔ m > -1/4 ⇔ phương trình có nghiệm
phân biệt:
m + 1 ±
14 +m
x
1, 2
=
m - 2
Vậy: + Nếu m = 2, PT đã cho có 1 nghiệm x = 1/3
+ Nếu m < -1/4, PT đã cho vô nghiệm
+ Nếu m = -1/4, PT đã cho có nghiệm kép x
1
=

x
2
= -1/3
+ Nếu m > -1/4, m ≠ 2, PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt
m + 1 ±
14 +m
x
1, 2
=
m - 2
Bài tập tự luyện
Giải và biện luận các PT sau:
a) x
2
+ 2 (m+1)x + m

2
= 0
b) (m + 1) x
2
+ 5x + m
2
- 1 = 0
c) (m + 1) x
2
- 2 ( 2m - 1) x + m - 5 = 0
C. KẾT QUẢ THU ĐƯỢC: (Có so sánh đối chứng)
Sau khi thực hiện đề tài này để kiểm tra việc tiếp thu kiến thức của
học sinh tôi đã yêu cầu các em làm bài kiểm tra trong thời gian 20 phút với
đề bài sau:
11
Bài 1:
Cho PT: x
2
+ (2m + 1)x + m
2
+ 3m = 0
a) Giải PT với m = -2
b) Tìm m để PT luôn có 2 nghiệm phân biệt
Bài 2: Tìm giá trị của m để PT: (5m
2
- 4m - 1)x
2
+ (3m -1)x - 2 = 0
có 2 nghiệm trái dấu.
Nhận xét bài làm của học sinh tôi thấy:

Hầu hết các em đã có chuyển biến rõ rệt trong việc sử dụng linh hoạt
công thức nghiệm vào giải toán. Chính vì vậy kết quả điểm của các em đạt
được khá cao: Tỷ lệ điểm yếu và TB giảm, tỷ lệ điểm khá giỏi tăng lên
rõ rệt (Tăng 35,2%).
Để thấy rõ hiệu quả phương pháp sử dụng tôi đã lập bảng so sánh đối chứng sau:
Thời điểm
khảo sát
Số học
sinh dự
khảo
sát
KẾT QUẢ
Yêú TB Khá Giỏi
SL TL % SL TL % SL TL % Sl TL %
Trước khi
thực hiện
đề tài
37 6 16,3 18 48,6 11 29,7 2 5,4
Sau khi
thực hiện
đề tài
37 0 0 11 29,7 19 51,4 7 18,9
Diễn biến
chất lượng
Giảm 6 h/s
(= 16,3%)
Giảm 7 h/s
(= 18,9%)
Tăng 8 h/s
(= 21,7%)

Tăng 5 h/s
(= 13,5%)
D. BÀI HỌC KINH NGHIỆM
Kiến thức sách giáo khoa là cơ bản và tổng quát song chưa thể
“lột tả” hết các “ngõ ngách” kiến thức, vì thế người thầy phải biết khai
thác từng đơn vị kiến thức để tạo chiều sâu cho bài giảng. Người thầy tránh
bắt học sinh giải nhiều bài tập nhưng ít hiệu quả làm cho học sinh coi việc
giải toán là gánh nặng mà phải chú ý việc lựa chọn một hệ thống bài tập đa
dạng, đầy đủ; đặc biệt hướng dẫn cho các em về phương pháp giải từ đó
kích thích được hứng thú học tập bộ môn toán.
12
Khai thác sử dụng linh hoạt các đơn vị kiến thức cơ bản trong sách
giáo khoa (mà phần trình bày trong bản sáng kiến kinh nghiệm này chỉ là
một thí dụ) là một biện pháp thường xuyên tôi thực hiện nhiều năm nay,
mỗi năm ở mỗi phần kiến thức hay ở từng dạng toán đều được bổ sung
thêm sâu sắc hơn, phong phú hơn trong cách khai thác. Tôi nghĩ rằng đây
cũng chính là phương pháp tự bồi dưỡng, rèn luyện, tự nghiên cứu khoa
học để nâng cao vốn kiến thức cũng như trình độ chuyên môn của mỗi giáo
viên, qua đó càng kích thích người thầy yêu nghề, mến trò, say mê nghiên
cứu.
E. NHỮNG ĐỀ NGHỊ VÀ KIẾN NGHỊ
Từ kết quả thu được của các đề tài, chuyên đề tôi càng thấy việc thực
hiện các chuyên đề, đề tài là rất cần thiết, không phải chỉ đối với trò mà còn
rất có ý nghĩa đối với thầy. Đây là một trong những hình thức tự bồi dưỡng
chuyên môn nghiệp vụ cũng như tạo cơ hội học hỏi đồng nghiệp rất có giá
trị. Do đó tôi xin đề nghị với các cấp lãnh đạo ngành thường xuyên tổ chức
các chuyên đề để mọi người có điều kiện học hỏi kinh nghiệm, đặc biệt
những đề tài có giá trị thực tiễn cần đem phổ biến tới các trường để nâng
cao hơn nữa chất lượng giáo dục.
* Kết kuận:

Trên đây là nội dung biện pháp thực hiện, kết quả và những bài học
kinh nghiệm của đề tài mà bản thân đã rút ra trong quá trình giảng dạy. Nội
dung cơ bản của đề tài này là củng cố, khắc sâu thêm công thức nghiệm
cho các em, qua đó hướng dẫn cách khai thác sử dụng linh hoạt công thức
nghiệm vào giải toán. Đặc biệt đã hình thành và rèn cho các em phương
pháp giải một số dạng toán cơ bản về phương trình bậc 2 mà trong đó cách
giải có sử dụng công thức nghiệm. Đồng thời qua đó cũng đã dạy cho các
em biết cách suy nghĩ tìm ra con đường hợp lý để giải một bài toán, điều đó
có ý nghĩa to lớn trong việc vun đắp lòng say mê học toán của các em.
Mặc dù đã rất cố gắng khi thực hiện đề tài này nhưng tôi cảm thấy
vẫn còn thiếu sót. Vậy tôi mong được sự trao đổi, góp ý của các đồng
nghiệp, các giáo viên có kinh nghiệm, Hội đồng khoa học trường THCS
Xxx và Hội đồng Khoa học Phòng giáo dục - đào tạo để đề tài được hoàn
thiện hơn và đạt hiệu quả cao hơn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn./.
13