Nghiệm suy rộng của phương trình MONGE AMFÈRE

Số hóa bởi trung tâm học liệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC






BÙI VĨNH AN







NGHIỆM SUY RỘNG CỦA
PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE






LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
BÙI VĨNH AN
NGHIỆM SUY RỘNG CỦA
PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE
LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC
Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.01.12
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN
THÁI NGUN - NĂM 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu />1
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 Một lớp nghiệm suy rộng của phương trình Monge-Ampère
elliptic 3
1.1 Dưới vi phân của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Các tính chất của dưới vi phân . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Nghiệm suy rộng của phương trình Monge-Ampère elliptic . 9

1.2.1 Khái niệm nghiệm suy rộng của phương trình Monge-
Ampere elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Ngun lý cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Ngun lý cực đại Aleksandrov . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Ngun lý cực đại Aleksandrov-Bakelman-Pucci . . . 14
1.4 Ngun lý so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Bài tốn Dirichlet đối với phương trình Monge-Ampère
elliptic 20
2.1 Trường hợp phương trình thuần nhất . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Trường hợp phương trình khơng thuần nhất . . . . . . . . . 23
2.3 Lớp nghiệm nhớt của phương trình Monge-Ampère elliptic . 30
2.3.1 Định nghĩa nghiệm nhớt . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.2 Quan hệ với nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . 32
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Số hóa bởi trung tâm học liệu />2
Mở đầu
Phương trình Monge-Ampère elliptic là một phương trình đạo hàm
riêng cổ điển. Nó thuộc lớp phương trình cấp hai phi tuyến hồn tồn,
song có nhiều ứng dụng trong lý thuyết và thực tế.
Nghiệm cổ điển của phương trình này thuộc lớp C
2
, song nghiệm này
khơng tồn tại khi vế phải được mở rộng. Người ta đã đưa vào lớp nghiệm
suy rộng của phương trình trong đó nghiệm chỉ cần đòi hỏi là một hàm lồi
và liên tục.
Luận văn trình bày về lớp nghiệm suy rộng này. Tài liệu chủ yếu dựa
trên Chương I của tài liệu [1] Luận văn gồm hai chương.
Chương I trình bày khái niệm dưới vi phân của hàm lồi, từ đó xây dựng

độ đo Borel sinh ra bởi hàm lồi, khái niệm nghiệm suy rộng của phương
trình Monge-Ampère elliptic. Nghiệm suy rộng này chỉ cần là một hàm lồi
liên tục mà độ đo Borel sinh ra bởi dưới vi phân của nó trùng với độ đo
sinh ra bởi hàm số ở vế phải của phương trình. Chương này cũng trình
bày các Ngun lí cực đại và Ngun lí so sánh đối với nghiệm suy rộng.
Chương II trình bày các định lý về tồn tại và duy nhất của nghiệm
suy rộng đối với bài tốn Dirichlet cho các trường hợp phương trình thuần
nhất và phương trình khơng thuần nhất. Luận văn đã trình bày lớp nghiệm
nhớt của phương trình này, đồng thời chứng minh rằng lớp nghiệm nhớt
trùng với lớp nghiệm suy rộng được đưa vào xét trong chương I. Nghiệm
nhớt của phương trình Monge-Ampère elliptic cũng được đòi hỏi là một
hàm liên tục và cần phải thỏa mãn các bất phương trình tương ứng đối
với các hàm thử là các hàm số bậc hai lồi chặt.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />3
Chương 1
Một lớp nghiệm suy rộng của
phương trình Monge-Ampère
elliptic
1.1 Dưới vi phân của hàm lồi
Cho Ω là tập con mở của R
n
và u(x) là hàm số xác định trên Ω và
nhận giá trị thực. Cho x
0
∈ Ω. Một siêu phẳng tựa của hàm u tại điểm
(x
0
, u(x
0
)) là hàm afin l(x) = u(x

0
) + p.(x −x
0
), sao cho u(x) ≥ l(x) với
mọi x ∈ Ω.
1.1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Dưới vi phân của hàm u tại điểm x
0
∈ Ω là tập hợp
được định nghĩa bởi
∂u(x
0
) = {p ∈ R
n
; u(x) ≥ u(x
0
) + p.(x − x
0
), ∀x ∈ Ω}.
Cho E ⊂ Ω, ta định nghĩa ∂u(E) = ∪
x∈E
∂u(x).
Tập ∂u(x
0
) có thể rỗng. Đặt S = {x ∈ Ω : ∂u(x) = ∅}. Nếu u ∈ C
1
(Ω)
và x
0
∈ S, thì ∂u(x

0
) = Du(x
0
) là gradient của u tại x
0
, nghĩa là nếu
u khả vi tại x
0
thì dưới vi phân của nó chính là gradient Du(x
0
). Nếu
u ∈ C
2
(Ω) và x ∈ S thì ma trận Hessian của u là xác định khơng âm, do
đó D
2
u(x) ≥ 0. Điều này có nghĩa là nếu u là C
2
, thì S là tập hợp mà
trên đó đồ thị của u là lồi. Thật vậy, theo Định lý Taylor
u(x
0
+ h) = u(x
0
) + Du.h +
1
2

D
2

u(ξ)h, h

,
Số hóa bởi trung tâm học liệu />4
trong đó ξ nằm trong đoạn x
0
đến x
0
+ h. Từ đó
u(x
0
+ h) ≥ u(x
0
) + Du(x
0
).h
với mọi h đủ bé, nên Du(x
0
) ∈ ∂u(x
0
).
Ví dụ 1.1. Chúng ta sẽ tính tốn dưới vi phân của hàm u có đồ thị là
hình nón trong R
n+1
. Cho Ω = B
R
(x
0
) = {x ∈ R
n

; |x − x
0
|< R} trong
R
n
, h > 0 và u(x) = h
|x−x
0
|
R
. Đồ thị của u với x ∈ Ω là hình nón tròn xoay
hướng lên trên trong R
n+1
. Ta có
∂u(x) =



h
R
x−x
0
|x−x
0
|
, 0 < |x − x
0
| < R,
B
h/R

(0), x = x
0
.
Thật vậy, nếu 0 < |x − x
0
| < R, thì giá trị của ∂u có được bằng cách
tính gradient. Theo định nghĩa dưới vi phân, p ∈ ∂u(x
0
) nếu và chỉ nếu
h
R
|x − x
0
| ≥ p.(x−x
0
), ∀x ∈ B
R
(x
0
). Nếu p = 0 và ta chọn x = x
0
+ R
p
|p|
,
thì |p| ≤
h
R
. Rõ ràng là từ |p| ≤
h

R
suy ra p ∈ ∂u(x
0
).
1.1.2 Các tính chất của dưới vi phân
Bổ đề 1.1. Nếu Ω ⊂ R
n
là mở, u ∈ C(Ω) và K ⊂ Ω là compact thì
∂u(K) là compact.
Chứng minh. Cho {p
k
} ⊂ ∂u(K) là một dãy. Ta khẳng định rằng p
k
là bị
chặn. Với mỗi k sẽ tồn tại x
k
∈ K sao cho p
k
∈ ∂u(x
k
), đó là
u(x) ≥ u(x
k
) + p
k
.(x − x
k
), ∀x ∈ Ω.
Do K là compact, K
δ

= {x : dist(x, K) ≤ δ} là compact và chứa trong
Ω với mọi δ đủ nhỏ, ta có thể giả thiết cho dãy con x
k
→ x
0
. Khi đó
x
k
+ δω ∈ K
δ
và u(x
k
+ δω) ≥ u(x
k
) + δp
k
.ω với mọi |ω| = 1 và với mọi
k. Nếu p
k
= 0 và ω =
p
k
|p
k
|
thì ta được max
K
δ
u(x) ≥ min
K

u(x) + δ
|p
k
|
với
mọi k. Do u là bị chặn địa phương, suy ra điều khẳng định được chứng
minh. Do đó tồn tại p
k
m
→ p
0
. Ta khẳng định rằng p
0
∈ ∂u(x
0
). Ta có
u(x) ≥ u(x
k
m
) + p
k
m
.(x −x
k
m
) với mọi x ∈ Ω và do u liên tục, bằng cách
cho m → ∞ ta được u(x) ≥ u(x
0
) + p
o

.(x −x
0
) với mọi x ∈ Ω. Vậy ta dã
chứng minh được Bổ đề.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />5
Chú ý 1.1. Chúng ta lưu ý là chứng minh ở trên cho thấy nếu u chỉ là bị
chặn địa phương trong Ω, thì ∂u(E) là bị chặn bất cứ khi nào E bị chặn
với E ⊂ Ω.
Chú ý 1.2. Chúng ta lưu ý là với x
0
∈ Ω, tập hợp ∂u(x
0
) là lồi. Tuy
nhiên, nếu K là lồi và K ⊂ Ω thì tập ∂u(K) khơng nhất thiết là lồi. Một
ví dụ là cho u(x) = e
|x|
2
và K = {x ∈ R
n
: |x
i
| ≤ 1, i = 1, , n}. Tập
∂u(K) là tập hợp đối xứng hình sao quanh gốc tọa độ là khơng lồi.
(xem Hình 1.1.)
Hình 1.1
Bổ đề 1.2. Nếu u là hàm lồi trong Ω và K ⊂ Ω là compact, thì u
là Lipschitz đều trong K, tức là tồn tại hằng số C = C(u, k) sao cho
|u(x) − u(y)| ≤ C |x −y| với mọi x, y ∈ K.
Chứng minh. Từ u lồi, u có siêu phẳng tựa tại bất kỳ x ∈ Ω. Cho
C = sup{|p| : p ∈ ∂u(K)}. Từ Bổ đề 1.1, C < ∞. Nếu x ∈ K thì

u(y) ≥ u(x) + p.(y − x) với p ∈ ∂u(x) và với mọi y ∈ Ω trường hợp nếu
y ∈ K, thì u(y) − u(x) ≥ −|p||y − x|. Bằng cách đảo ngược vai trò x, y
ta suy ra được Bổ đề.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />6
Bổ đề 1.3. ([3], trang 81) Nếu Ω mở và u là liên tục Lipschitz trong Ω
thì u là khả vi hầu khắp nơi trong Ω.
Bổ đề 1.4. Nếu u là lồi hoặc lõm trên Ω, thì u là khả vi hầu khắp nơi
trên Ω.
Chứng minh. Suy trực tiếp từ bổ đề 1.2 và 1.3.
Chú ý 1.3. Kết quả sâu sắc hơn của Busemann-Feller-Aleksandrov khẳng
định hàm lồi bất kỳ trong Ω có đạo hàm cấp 2 hầu khắp nơi.
Định nghĩa 1.2. Biến đổi Legendre của hàm u : Ω → R là hàm
u
∗
: R
n
→ R định nghĩa bởi
u
∗
(p) = sup
x∈Ω
(x.p − u(x))
Chú ý 1.4. Nếu Ω bị chặn và u bị chặn trong Ω, thì u
∗
là lồi trong R
n
.
Bổ đề 1.5. Nếu Ω là mở và u là hàm liên tục trong Ω, thì tập hợp các
điểm trong R
n

thuộc ảnh tạo bởi dưới vi phân của hơn một điểm của Ω có
độ đo Lebesgue bằng khơng. Vậy là, tập hợp
S = {p ∈ R
n
; x, y ∈ Ω, x = y, p ∈ ∂u(x) ∩∂u(y)}
có độ đo khơng. Điều này cũng nghĩa là tập hợp siêu phẳng tiếp xúc với đồ
thị của u ở hơn một điểm có độ đo khơng.
Chứng minh. Chúng ta có thể cho rằng Ω là bị chặn, bởi vì nếu khơng
thì ta viết Ω = ∪
k
Ω
k
, trong đó Ω
k
⊂ Ω
k+1
là mở và Ω
k
là compact. Nếu
p ∈ S, thì tồn tại x, y ∈ Ω, x = y và
u(z) ≥ u(x) + p.(z − x), u(z) ≥ u(y) + p.(z −y) với mọi z ∈ Ω.
Từ Ω
k
tăng, x, y ∈ Ω
m
với m nào đó và rõ ràng bất đẳng thức trước vẫn
đúng với z ∈ Ω
m
. Như vậy, nếu
S

m
= {p ∈ R
n
: x, y ∈ Ω, x = y và p ∈ ∂(u |Ω
m
)(x) ∩ ∂(u |Ω
m
)(y)}
ta có p ∈ S
m
, tức là, S ⊂ ∪
m
S
m
thì ta sẽ chứng minh rằng mỗi S
m
có đọ
đo khơng.
Cho u
∗
là biến đổi Legendre của u. Theo Chú ý 1.4 và Bổ đề 1.4, u
∗
là
khả vi hầu khắp nơi. Cho E = {p : u
∗
là khơng khả vi tại p}. Chúng ta sẽ
chứng minh rằng
Số hóa bởi trung tâm học liệu />7
{p ∈ R
n

: ∃x, y ∈ Ω, x = y, p ∈ ∂u(x) ∩ ∂u(y)} ⊂ E.
Thật vậy, nếu p ∈ ∂u(x
1
) ∩ ∂u(x
2
), x
1
= x
2
, thì u
∗
(p) = x
i
.p − u(x
i
),
i = 1, 2. Ta cũng có u
∗
(z) ≥ x
i
.z −u(x
i
) và u
∗
(z) ≥ u
∗
(p) + x
i
.(z −p) với
mọi z, i = 1, 2. Do đó nếu u

∗
khả vi tại p ta sẽ có Du
∗
(p) = x
i
, i = 1, 2.
như vậy Bổ đề đã được chứng minh.
Định lý 1.1. Nếu Ω là mở và u ∈ C(Ω), thì tập hợp
S = {E ⊂ Ω : ∂u(E) là đo được}
là σ-đại số Borel.
Giả sử hàm Mu : S → R được định nghĩa bởi
Mu(E) = |∂u(E)|, (1.1)
trong đó |∂u(E)| là độ đo Lebesgue của tập ∂u(E). Khi đó Mu là độ đo
hữu hạn trên các compact, và được gọi là độ đo Monge-Ampère liên kết với
hàm u.
Chứng minh. Từ Bổ đề 1.1, lớp S chứa tồn bộ các tập hợp con compact
của Ω. Cũng vậy nếu E
m
là dãy bất kỳ của tập con của Ω thì
∂u(∪
m
E
m
) = ∪
m
∂u(E
m
).
Do đó, nếu E
m

∈ S, m = 1, 2, . . . , thì ∪
m
E
m
∈ S. Đặc biệt, ta có thể viết
Ω = ∪
m
K
m
với K
m
compact và có được Ω ∈ S. Để chứng minh S là σ-đại
số ta cần chứng minh rằng nếu E ∈ S, thì Ω\E ∈ S. Chúng ta dùng cơng
thức sau có hiệu lực cho bất kỳ tập E ⊂ Ω:
∂u(Ω\E) = (∂u(Ω)\∂u(E)) ∪ (∂u(Ω\E) ∩∂u(E)). (1.2)
Từ Bổ đề 1.5, |∂u(Ω\E) ∩∂u(E)| = 0 cho tập hợp E bất kỳ. Từ (1.2) ta
được Ω\E ∈ S khi E ∈ S.
Giờ ta thấy rằng Mu là σ cộng tính. Cho {E
i
}
∞
i=1
là dãy các tập rời nhau
trong S và tập ∂u(E
i
) = H
i
. Chúng ta phải chứng minh
|∂u(∪
∞

i=1
E
i
)| =
∞

i=1
|H
i
|.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />8
Do ∂u(∪
∞
i=1
E
i
) = ∪
∞
i=1
H
i
, sẽ cho ta thấy
|∪
∞
i=1
H
i
| =
∞


i=1
|H
i
|. (1.3)
Ta có E
i
∩ E
j
= ∅, i = j. Từ Bổ đề 1.5, |H
i
∩ H
j
| = 0, i = j. Ta viết
∪
∞
i=1
H
i
= H
1
∪ (H
2
\H
1
) ∪ (H
3
\(H
2
∪ H
1

)) ∪ (H
4
\(H
3
∪ H
2
∪ H
1
)) ∪
Khi đó các tập ở bên phải là rời nhau. Bây giờ
H
n
= [H
n
∩ (H
n−1
∪ H
n−2
∪ ∪H
1
)] ∪ [H
n
\(H
n−1
∪ H
n−2
∪ ∪H
1
)].
Theo Bổ đề 1.5 |H

n
∩ (H
n−1
∪ H
n−2
∪ ∪H
1
)| = 0 và ta được
|H
n
| = |H
n
\(H
n−1
∪ H
n−2
∪ ∪H
1
)|.
Vì vậy theo (1.3), chứng minh định lý hồn tất.
Định lý 1.2. Nếu u ∈ C
2
(Ω) là hàm lồi, thì độ đo Monge-Ampère Mu
liên kết với u thỏa mãn
Mu(E) =

E
det D
2
u(x)dx (1.4)

với mọi tập hợp Borel E ⊂ Ω.
Chứng minh. Để chứng minh (1.4), chúng ta dùng kết quả của Định lý
Sard 1.3 bên dưới.
Thứ nhất ta chú ý rằng từ u là lồi và thuộc C
2
(Ω) thì Du là ánh xạ
một-một trên tâp A = {x ∈ Ω : D
2
u(x) > 0}. Thực vậy, cho x
1
, x
2
∈ A
với Du(x
1
) = Du(x
2
). Do tính lồi, u(z) ≥ u(x
i
) +Du(x
i
).(z −x
i
) với mọi
z ∈ Ω, i = 1, 2. Từ đó u(x
1
)−u(x
2
) = Du(x
1

).(x
1
−x
2
) = Du(x
2
)(x
1
−x
2
).
Theo cơng thức Taylor ta có thể viết
u(x
1
) =
u(x
2
)+Du(x
2
)(x
1
−x
2
)+

1
0
t

D

2
u(x
2
+ t(x
1
− x
2
))(x
1
− x
2
), x
1
− x
2

dt.
Do đó tích phân là khơng và hàm lấy tích phân phải triệt tiêu với 0 ≤ t ≤ 1.
Từ x
2
∈ A, kéo theo x
2
+ t(x
1
− x
2
) ∈ A với t nhỏ. Do vậy x
1
= x
2

. Nếu
u ∈ C
2
(Ω) thì g = Du ∈ C
1
(Ω). Ta có Mu(E) = |Du(E)| và
Du(E) = Du(E ∩ S
0
) ∪ Du(E\S
0
).
Số hóa bởi trung tâm học liệu />9
Do E ⊂ R
n
là tập Borel, E ∩ S
0
và E\S
0
cũng là tập Borel. Do đó, bằng
cơng thức của đổi biến số và Định lý Sard,
Mu(E) = Mu(E ∩S
0
) + Mu(E\S
0
) =

E\S
0
det D
2

u(x)dx =

E
det D
2
u(x)dx,
từ đó suy ra (1.4)
Định lý 1.3. ( Định lý Sard, [4]) Cho Ω ⊂ R
n
là tập mở và g : Ω → R
n
là C
1
trong Ω. Nếu S
0
= {x ∈ Ω : det g

(x) = 0}, thì |g(S
0
)| = 0, trong
đó g

(x) là ma trận Jacobi của ánh xạ.
Ví dụ 1.2. Nếu u(x) là hình nón của Ví dụ 1.1, thì độ đo Monge-Ampère
liên kết với u là Mu =


B
h/R



δ
x
0
, trong đó kí hiệu δ
x
0
là hàm Dirac tại
x
0
, và



B
h
R



là thể tích hình cầu trong R
n
bán kính
h
R
.
1.2 Nghiệm suy rộng của phương trình Monge-Ampère
elliptic
1.2.1 Khái niệm nghiệm suy rộng của phương trình Monge-
Ampere elliptic

Định nghĩa 1.3. Cho ν là một độ đo Borel xác định trên Ω, là tập con
lồi mở trong R
n
. Hàm lồi u ∈ C(Ω) gọi là nghiệm suy rộng, hay là nghiệm
Aleksandrov của phương trình Monge-Ampère
det D
2
u = ν,
nếu độ đo Monge-Ampère Mu liên kết với u được định nghĩa trong (1.1)
bằng độ đo ν.
1.2.2 Các tính chất
Mệnh đề dưới đây nói rằng khái niệm nghiệm suy rộng là đóng đối với
giới hạn đều. Đó là, nếu u
k
là nghiệm suy rộng của det D
2
u = ν trong Ω
và u
k
→ u đều trên tập con compact của Ω, thì u cũng là nghiệm suy rộng
của det D
2
u = ν trong Ω.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />10
Mệnh đề 1.1. Cho u
k
∈ C(Ω) là hàm lồi sao cho u
k
→ u đều trên các
tập con compact của Ω.

Khi đó:
(i) Nếu K ⊂ Ω là compact, thì
lim sup
k→∞
∂u
k
(K) ⊂ ∂u(K),
và từ Định lý Fatou suy ra
lim sup
k→∞
|∂u
k
(K)| ≤ |∂u(K)|.
(ii) Nếu K là compact và U là mở sao cho K ⊂ U ⊂ U ⊂ Ω, thì
∂u(K) ⊂ lim inf
k→∞
∂u
k
(U),
trong đó bao hàm thức giữ đúng đối với hầu hết điểm của tập hợp bên trái,
và từ Định lý Fatou suy ra
|∂u(K)| ≤ lim inf
k→∞
|∂u
k
(U)|.
Chứng minh. (i) Nếu p ∈ lim sup
k→∞
∂u
k

(K), thì với mỗi n tồn tại k
n
và
x
k
n
∈ K sao cho p ∈ ∂u
k
n
(x
k
n
). Bằng chọn dãy con x
j
của x
k
n
ta có thể
giả thiết rằng x
j
→ x
0
∈ K. Mặt khác,
u
j
(x) ≥ u
j
(x
j
) + p.(x − x

j
), ∀x ∈ Ω,
và bằng việc cho j → ∞, từ sự hội tụ đều của u
j
trên compact ta được
u(x) ≥ u(x
0
) + p.(x − x
0
), ∀x ∈ Ω,
do đó p ∈ ∂u(x
0
).
(ii) Cho S = {p : p ∈ ∂u(x
1
) ∩ ∂u(x
2
), x
1
, x
2
∈ Ω, x
1
= x
2
}. Từ
Bổ đề 1.5, |S| = 0. Cho K ⊂ Ω là compact và ta xét tập ∂u(K)\S.
Nếu p ∈ ∂u(K)\S, thì tồn tại duy nhất x
0
∈ K sao cho p ∈ ∂u(x

0
) và
p /∈ ∂u(x
1
) với mọi x ∈ Ω, x
1
∈ Ω, x
1
= x
0
. Cho U là mở thỏa mãn các
giả thiết. Nếu x
1
∈ Ω và x
1
= x
0
, thì u(x
1
) > u(x
0
) + p.(x
1
− x
0
). Nếu
khác đi thì u(x
1
) = u(x
0

) + p.(x
1
− x
0
) và từ p ∈ ∂u(x
0
) ta có
Số hóa bởi trung tâm học liệu />11
u(x) ≥ u(x
0
) + p.(x − x
0
), ∀x ∈ Ω
= u(x
1
) − p.(x
1
− x
0
) + p.(x − x
0
)
= u(x
1
) + p.(x − x
1
), ∀x ∈ Ω,
tức là, p ∈ ∂u(x
1
) và điều đó là khơng thể vì ta tách S ra khỏi ∂u(K). Ta

giả sử U là compact. Cho
l(x) = u(x
0
) + p.(x − x
0
)
và tập
δ = min{u(x) − l(x) : x ∈ ∂U} > 0.
Ta thấy rằng |u(x) − u
k
(x)| < δ/2 với mọi x ∈ U và mọi k ≥ k
0
. Bây giờ
ta đặt
δ
k
= max
x∈U
{l(x) − u
k
(x) + δ/2}.
Cực đại này đạt được tại một vài x
k
∈ U. Do δ
k
> 0 và u
k
(x)−l(x) > δ/2
với x ∈ ∂U, ta nhận được rằng x
k

/∈ ∂U. Ta khẳng định rằng p là độ dốc
của siêu phẳng tựa của u
k
tại điểm (x
k
, u(x
k
)). Thật vậy,
δ
k
= u(x
0
) + p.(x
k
− x
0
) − u
k
(x
k
) + δ/2,
và do vậy
u
k
(x) ≥ u
k
(x
k
) + p.(x − x
k

)∀x ∈ U. (1.5)
Vì u
k
là lồi trong Ω và U mở, (1.5) là đúng với mọi x ∈ Ω, tức là
p ∈ ∂u
k
(x
k
) với mọi k ≥ k
0
.
Điều này suy ra rằng p ∈ lim
k→∞
inf ∂u
k
(U).
Mệnh đề 1.2. Nếu u
k
là hàm lồi trong Ω sao cho u
k
→ u đều trên các
tập con compact của Ω, thì độ đo Monge-Ampère Mu
k
hội tụ yếu đến Mu,
tức là

Ω
f(x)dMu
k
(x) →


Ω
f(x)dMu(x),
với mọi f liên tục với giá compact trong Ω.
Chứng minh. Được suy ra từ Mệnh đề 1.1.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />12
1.3 Ngun lý cực đại
Trong phần này chúng ta chứng minh Ngun lý cực đại và Ngun lý
so sánh cho phương trình Monge-Ampère elliptic.
Chúng ta bắt đầu với bổ đề sau.
Bổ đề 1.6. Cho Ω ⊂ R
n
là tập mở bị chặn, và u, v ∈ C(Ω). Nếu u = v
trên ∂Ω và v ≥ u trong Ω, thì
∂v(Ω) ⊂ ∂u(Ω).
(xem Hình 1.2.)
Hình 1.2
Chứng minh. Cho p ∈ ∂v(Ω). khi đó tồn tại x
0
∈ Ω sao cho
v(x) ≥ v(x
0
) + p.(x − x
0
), ∀x ∈ Ω.
Đặt
a = sup
x∈Ω
{v(x
0

) + p.(x − x
0
) − u(x)}.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />13
Do v(x
0
) ≥ u(x
0
), dẫn đến a ≥ 0. Ta khẳng định rằng v(x
0
)+p.(x−x
0
)−a
là một siêu phẳng tựa của hàm u tại một số điểm trên Ω. Thật vậy, từ Ω
là bị chặn, suy ra tồn tại x
1
∈
Ω sao cho a = v(x
0
) + p.(x − x
0
) − u(x
1
)
và do đó
u(x) ≥ v(x
0
) + p.(x − x
0
) − a = u(x

1
) + p.(x − x
1
); ∀x ∈ Ω (1.6)
Ta có
v(x
1
) ≥ v(x
0
) + p.(x
1
− x
0
) = u(x
1
) + a.
Do vậy nếu a > 0 thì x
1
/∈ ∂Ω và từ (1.6) suy ra p ∈ ∂u(Ω). Nếu a = 0
thì
u(x) ≥ v(x
0
) + p.(x − x
0
) ≥ u(x
0
) + p.(x − x
0
)
dẫn đến u(x

0
) + p.(x − x
0
) là một siêu phẳng tựa của u tại x
0
, và do đó
p ∈ ∂u(Ω).
1.3.1 Ngun lý cực đại Aleksandrov
Định lý 1.4. (Ngun lý cực đại Aleksandrov) Nếu Ω ⊂ R
n
là tập mở, bị
chặn và lồi với đường kính ∆, và u ∈ C(Ω) là lồi với u = 0 trên ∂Ω thì
|u(x
0
)|
n
≤ C
n
∆
n−1
dist(x
0
, ∂Ω) |∂u(Ω)|,
với mọi x
0
∈ Ω, trong đó C
n
là hằng số chỉ phụ thuộc n.
Chứng minh. Cho x
0

∈ Ω và hàm lồi v có đồ thị là hình nón quay xuống
với đỉnh (x
0
, u(x
0
)) và cơ sở Ω, v = 0 trên ∂Ω. Do u là lồi, v ≥ u. Theo
Bổ đề 1.6 có
∂v(Ω) ⊂ ∂u(Ω).
Để chứng minh định lý, ta ước lượng cận dưới đối với độ đo của ∂v(Ω).
Thứ nhất ta khẳng định tập ∂v(Ω) là lồi. Thật vậy, nếu p ∈ ∂v(Ω) thì
tồn tại x
1
∈ Ω sao cho p = ∂v(x
1
). Nếu x
1
= x
0
, do đồ thị của v là hình
nón nên v(x
1
) + p.(x − x
1
) là siêu phẳng tựa tại x
0
, suy ra p ∈ ∂v(x
0
).
Như vậy ∂v(Ω) = ∂v(x
0

) do ∂v(x
0
) là lồi, nên ta có được điều khẳng định.
Thứ hai ta thấy có p
0
∈ ∂v(Ω) sao cho |p
0
| =
−u(x
0
)
dist(x
0
,∂Ω)
. Thực vậy, ta
thấy x
1
∈ ∂Ω sao cho |x
1
− x
0
| = dist(x
0
, ∂Ω) và H là siêu phẳng tựa đến
Số hóa bởi trung tâm học liệu />14
Ω tại x
1
. Siêu phẳng trong R
n+1
được tạo bởi H và điểm (x

0
, u(x
0
)) là
siêu phẳng tựa tới v có độ dốc mong muốn.
Bây giờ ta chú ý rằng hình cầu B với tâm là gốc tọa độ và bán kính
−u(x
0
)
∆
chứa trong ∂v(Ω), và |p
0
| ≥
−u(x
0
)
∆
. Do đó bao lồi của B và p
0
chứa
trong ∂v(Ω) và có độ đo
C
n
(
−u(x
0
)
∆
)
n−1

|p
0
|,
định lý được chứng minh.
Chú ý 1.5. Ước lượng trong Định lý 1.4 chỉ có ý nghĩa nếu
|∂u(Ω)| = M
u
(Ω) < ∞.
Nếu ví dụ như
u(x) =

−
√
x; 0 ≤ x ≤ 1/2,
−
√
1 − x; 1/2 ≤ x ≤ 1,
thì ∂u((0, 1)) = (−∞, ∞). Ta nhận thấy rằng ước lượng của u theo quan
điểm khoảng cách đến biên của (0,1) khơng có hiệu lực.
1.3.2 Ngun lý cực đại Aleksandrov-Bakelman-Pucci
Ta xét u ∈ C(Ω) với Ω lồi và lớp các hàm
F(u) = {v : v(x) ≤ u(x); ∀x ∈ Ω, v lồi trong Ω},
G(u) = {ω : ω(x) ≥ u(x); ∀x ∈ Ω, ω lồi trong Ω}.
Cho
u
∗
(x) = sup
v∈F (u)
v(x), u
∗

(x) = inf
ω∈G(u)
ω(x). (1.7)
Ta có u
∗
là lồi và u
∗
lõm trong Ω. Ta gọi u
∗
và u
∗
lần lượt là bao lồi và
bao lõm của u trong Ω, và ta có bất đẳng thức
u
∗
(x) ≤ u(x) ≤ u
∗
(x), ∀x ∈ Ω.
Ta cũng có
F(−u) = −G(u)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />15
do đó
−(u
∗
)(x) = (−u)
∗
(x). (1.8)
Xét tập hợp các điểm chung
C
∗

(u) = {x ∈ Ω : u
∗
(x) = u(x)}, C
∗
(u) = {x ∈ Ω : u
∗
(x) = u(x)},
suy ra
C
∗
(u) = C
∗
(−u). (1.9)
Do u
∗
là lồi, dẫn đến u
∗
có siêu phẳng tựa tại x
0
với x
0
∈ C
∗
(u). Do
u
∗
(x
0
) = u(x
0

), siêu phẳng này cũng là siêu phẳng tựa của u tại x
0
. Ta có
∂(u
∗
)(x
0
) ⊂ ∂u(x
0
); x
0
∈ C
∗
(u),
do đó
∂(u
∗
)(C
∗
(u)) ⊂ ∂u(C
∗
(u)).
Nếu x
0
/∈ C
∗
(u) thì ∂u(x
0
) = ∅. Nếu A, B là các tập hợp thì
∂u(A ∪B) = ∂u(A) ∪∂u(B).

Do đó
∂u(Ω) = ∂u(C
∗
(u) ∪ (Ω\C
∗
(u)))
= ∂u(C
∗
(u)) ∪ ∂u(Ω\C
∗
(u))
= ∂u(C
∗
(u)).
Theo định nghĩa của u
∗
ta có
∂u(C
∗
(u)) ⊂ ∂(u
∗
)(C
∗
(u)).
Do đó
∂u(Ω) = ∂u(C
∗
(u)) = ∂(u
∗
)(C

∗
(u)). (1.10)
Đặt
Φ
u
(x
0
) = {p : u(x
0
) ≤ u(x
0
) + p.(x − x
0
), ∀x ∈ Ω}.
Chú ý rằng Φ
−u
(x
0
) = −∂u(x
0
).
Số hóa bởi trung tâm học liệu />16
Bổ đề 1.7. Giả sử u ∈ C(Ω) sao cho u(x) ≤ 0 trong ∂Ω và x
0
∈ Ω với
u(x
0
) > 0. Khi đó
Ω(x
0

, u(x
0
)) ⊂ Φ
u
∗
(C
∗
(u)),
trong đó Ω(x, t) = {y : y.(ξ −x) + t > 0, ∀ξ ∈ Ω}.
Chứng minh. Giả sử y ∈ Ω(x
0
, u(x
0
)), khi đó
y.(ξ − x
0
) + u(x
0
) > 0, ∀ξ ∈ Ω.
Đặt
λ
0
= inf{λ : λ + y.(ξ −x
0
) ≥ u(ξ), ∀ξ ∈ Ω},
do tính liên tục ta có
λ
0
+ y.(ξ −x
0

) ≥ u(ξ), ∀ξ ∈ Ω. (1.11)
Ta xét cực tiểu
min
ξ∈Ω
{λ
0
+ y.(ξ −x
0
) − u(ξ)}.
Cực tiểu này đạt được tại một số điểm ξ ∈ Ω, và ta có
λ
0
+ y.(ξ −x
0
) − u(ξ) = 0,
vì nếu ngược lại thì
λ
0
+ y.(ξ −x
0
) − u(ξ) ≥ ε > 0, ∀ξ ∈ Ω,
và λ
0
sẽ khơng là infimum.
Ta khẳng định ξ ∈ Ω. Từ u|
∂Ω
≤ 0, điều khẳng định sẽ được chứng
minh nếu ta chứng tỏ được u(ξ) > 0. Bằng việc lấy ξ = x
0
trong (1.11) ta

được u(x
0
) ≤ λ
0
, và vì vậy
y.(ξ − x
0
) + λ
0
> 0, ∀ξ ∈ Ω;
đặc biệt, khi ξ = ξ, thì
u(ξ) = y(ξ − x
0
) + λ
0
> 0.
Do vậy ta đã chứng minh rằng nếu y ∈ Ω(x
0
, u(x
0
)) thì tồn tại điểm ξ ∈ Ω
sao cho
u(ξ) = y.(ξ − x
0
) + λ
0
,
Số hóa bởi trung tâm học liệu />17
và
u(ξ) ≤ (ξ −x

0
) + λ
0
, ∀ξ ∈ Ω.
Điều này có nghĩa là λ
0
+ y.(ξ −x
0
) là siêu phẳng tựa của u tại ξ. Do u
∗
là
cực tiểu, ta có u(ξ) ≤ u
∗
(ξ) ≤ y.(ξ −x
0
)+λ
0
, ξ ∈ Ω. Đặc biệt u(ξ) = u
∗
(ξ)
và y.(ξ −x
0
) + λ
0
là siêu phẳng tựa của u
∗
tại ξ, tức là y ∈ Φ
u
∗
(ξ).

Do vậy, dưới các giả thiết của Bổ đề 1.7 ta có được
Ω(x
0
, u(x
0
)) ⊂ Φ
u
∗
(C
∗
(u)) = −∂(−(u
∗
))(C
∗
(u)) = −∂((−u)
∗
)(C
∗
(−u)).
Ta cũng có ước lượng
|Ω(x
0
, t)| ≥
ω
n
t
n
(diam(Ω))
n
. (1.12)

Để chứng minh (1.12), ta chú ý rằng
Ω(x
0
, t) = tΩ(x
0
, 1),
có được bằng cách viết y.(ξ − x
0
) + t = t(
y
t
.(ξ − x
0
) + 1). Mặt khác nếu
x
0
∈ Ω thì
B
1/diam(Ω)
(0) ⊂ Ω(x
0
, 1). (1.13)
Thật vậy, giả sử ξ ∈ Ω và y ∈ B
1/diam(Ω)
(0) và ta có
y.(ξ − x
0
) + 1 = |y||ξ −x
0
|cos φ + 1

= |y|diam(Ω)
|ξ−x
0
|
diam(Ω)
cos φ + 1
≥ −|y|diam(Ω)
|ξ−x
0
|
diam(Ω)
+ 1 > 0
và từ đó suy ra (1.13).
Do đó, nếu u thỏa mãn các giả thiết của Bổ đề 1.7, thì ta được
ω
n
u(x
0
)
n
(diam(Ω))
n
≤ |−∂((−u)
∗
)(C
∗
(−u))| (1.14)
Ta có ngun lý cực đại sau:
Số hóa bởi trung tâm học liệu />18
Định lý 1.5. (Ngun lý cực đại Aleksandrov-Bakelman-Pucci)

Nếu u ∈ C(Ω) và u ≤ 0 trong ∂Ω thì
max
Ω
u(x) ≤ ω
n
−1/n
diam(Ω)|∂((−u)
∗
)(C
∗
(−u))|
1/n
. (1.15)
Nếu thêm giả thiết u ∈ C
2
(Ω) (và khơng có giả thiết nào về dấu của u
trên ∂Ω), thì
max
Ω
u(x) ≤ max
∂Ω
u(x) + ω
n
−1/n
diam(Ω)(

C
∗
(−u)



det D
2
u(x)


dx)
1/n
.
(1.16)
Chứng minh. Từ (1.14) suy ra (1.15). Ta sẽ chứng minh (1.16). Bằng
cách bớt u(x) một đại lượng bằng giá trị lớn nhất của nó trên ∂Ω, ta
có thể giả thiết rằng u ≤ 0 trên ∂Ω. Từ (1.8), (1.9), và (1.10) ta có
∂((−u)
∗
)(C
∗
(−u)) = −∂(−u)(C
∗
(−u)). Nếu u ∈ C
2
và z ∈ C
∗
(−u), thì
D
2
(−u)(z) ≥ 0. Do đó, bằng cơng thức đổi biến số ta được
|∂(−u)(C
∗
(−u))| ≤


C
∗
(−u)


det D
2
u(x)


dx,
và định lý được chứng minh.
1.4 Ngun lý so sánh
Định lý 1.6. Giả sử u, v ∈ C(Ω) là hàm lồi sao cho
|∂u(E)| ≤ |∂v(E)|, với mọi tập Borel E ⊂ Ω.
Khi đó
min
x∈Ω
{u(x) − v(x)} = min
x∈∂Ω
{u(x) − v(x)}.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng. Đặt
a = min
x∈Ω
{u(x) − v(x)},
b = min
x∈∂Ω
{u(x) − v(x)},
và giả sử a < b. Như vậy tồn tại x

0
∈ Ω sao cho a = u(x
0
) − v(x
0
). Chọn
δ > 0 đủ bé sao cho δ(diamΩ)
2
<
b−a
2
, và đặt
Số hóa bởi trung tâm học liệu />19
ω(x) = v(x) + δ|x − x
0
|
2
+
b+a
2
.
Xét tập G = {x ∈ Ω : u(x) < ω(x)}, ta có x
0
∈ G. Ngồi ra, G ∩∂Ω = ∅.
Thật vậy, nếu x ∈ G ∩ ∂Ω, thì u(x) − v(x) ≥ b và
ω(x) ≤ u(x) + δ|x −x
0
|
2
−

b−a
2
≤ u(x) + δ(diamΩ)
2
−
b−a
2
< u(x).
Do đó ω(x) < u(x) với x ∈ ∂Ω. Điều này suy ra rằng
∂G = {x ∈ Ω : u(x) = ω(x)}.
Theo Bổ đề 1.6 ta đạt được ∂ω(G) ⊂ ∂u(G). Ngồi ra
∂ω = ∂(v + δ|x −x
0
|
2
),
và ta có bất đẳng thức



∂(v + δ|x −x
0
|
2
)(G)



≥ |∂v(G)| +




∂(δ|x − x
0
|
2
)(G)



. (1.17)
Để chứng minh (1.17), ta chú ý rằng, nếu A và B là ma trận đối xứng
khơng âm, thì
det(A + B) ≥ det A + det B.
Do đó, nếu v ∈ C
2
thì ta được (1.17). Trường hợp v khơng trơn ta có
thể xấp xỉ v bằng dãy v
k
∈ C
2
của các hàm lồi hơi tụ đều trên tập con
compact của Ω. Điều này có thể đạt được bằng cách lấy hàm trơn φ ≥ 0
với giá trong B
1
(0) và

φ = 1 rồi đặt v
ε
= v  φ

ε
. Do đó (1.17) được suy
ra từ Mệnh đề 1.1. vì vậy
|∂u(G)| ≥ |∂ω(G)| ≥ |∂v(G)|+



∂(δ|x − x
0
|
2
)(G)



= |∂v(G)|+ (2δ)
n
|G|,
trái với giả thiết của đinh lý. Như vậy Định lý được chứng minh.
Hệ quả 1.1. Nếu u, v ∈ C(Ω) là hàm lồi sao cho |∂u(E)| = |∂v(E)| với
mọi tập Borel E ⊂ Ω và u = v trên ∂Ω, thì u = v trong Ω.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />20
Chương 2
Bài tốn Dirichlet đối với phương
trình Monge-Ampère elliptic
2.1 Trường hợp phương trình thuần nhất
Định nghĩa 2.1. Tập mở Ω ⊂ R
n
là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ Ω, khoảng
mở nối x và y nằm trong Ω.

Định lý 2.1. Giả sử Ω ⊂ R
n
là bị chặn và lồi chặt, và g : ∂Ω → R là
hàm liên tục. Khi đó tồn tại duy nhất một hàm lồi u ∈ C(Ω) là nghiệm
suy rộng của phương trình
det D
2
u = 0 trong Ω,
u = g trên ∂Ω.
Chứng minh. Đặt
F = {a(x) : a là hàm affine và a ≤ g trên ∂Ω}.
Từ g là liên tực và F = ∅. Ta đặt
u(x) = sup{a(x) : a ∈ F}.
Do u là supremum của các hàm lồi, nên u là lồi và u(x) ≤ g(x) với x ∈ ∂Ω.
Trước hết ta chứng minh u = g trên ∂Ω. Cho ξ ∈ ∂Ω, ta thấy
u(ξ) ≥ g(ξ). Với ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho |g(x) −g(ξ)| < ε với
|x − ξ| < δ, x ∈ ∂Ω. Cho P (x) = 0 là phương trình của siêu phẳng tựa
của Ω tai điểm ξ, và giả sử Ω ⊂ {x : P (x) ≥ 0}. Từ Ω là lồi chặt, tồn tại
η > 0 sao cho S = {x ∈ Ω : P (x) ≤ η} ⊂ B
δ
(ξ).
Số hóa bởi trung tâm học liệu />21
Đặt
M = min{g(x) : x ∈ ∂Ω, P (x) ≥ η}
và xét
a(x) = g(ξ) −ε − AP (x), (2.1)
trong đó A là hằng số thỏa mãn
A ≥ max{
g(ξ)−ε−M
η

, 0}.
Ta có a(ξ) = g(ξ) −ε − AP (ξ) = g(ξ) −ε, và nếu x ∈ ∂Ω ta khẳng định
rằng a(x) ≤ g(x). Thật vậy, nếu x ∈ ∂Ω∩S thì g(ξ)−ε ≤ g(x) ≤ g(ξ)+ε,
nên g(x) ≥ g(ξ) −ε − AP (x) + AP (x) ≥ g(ξ) − ε − AP (x) = a(x). Nếu
x ∈ ∂Ω ∩S
c
thì P(x) > η và theo định nghĩa M và việc chọn A ta có
g(x) ≥ M = a(x) + M −g(ξ) + ε + AP (x)
≥ a(x) + M − g(ξ) + ε + Aη
≥ a(x).
Do đó a ∈ F, và đặc biệt u(ξ) ≥ a(ξ) = g(ξ) −ε với mỗi ε > 0 và do vậy
u(ξ) ≥ g(ξ).
Bước thứ hai là ta chứng minh rằng u là liên tục trong Ω. Do u là lồi
trong Ω, u liên tục trong Ω. Để chứng minh tính liên tục trên ∂Ω, ta cho
ξ ∈ ∂Ω, {x
n
} ⊂ Ω với x
n
→ ξ. Ta chứng minh u(x
n
) → g(ξ). Nếu a là
hàm được xây dựng như trên, thì u(x) ≥ a(x), đặc biệt u(x
n
) ≥ a(x
n
) và
dẫn đến
lim inf u(x
n
) ≥ lim inf a(x

n
) = lim inf(g(ξ) − ε − AP (x
n
)) = g(ξ) −ε
với mọi ε > 0. Do đó lim inf u(x
n
) ≥ g(ξ). Bây giờ ta chứng minh rằng
lim sup u(x
n
) ≤ g(ξ). Do Ω lồi, tồn tại h điều hòa trong Ω sao cho
h ∈ C(Ω) và h|
∂Ω
= g. Nếu a là hàm affine bất kỳ sao cho a ≤ g trên
∂Ω, thì a là điều hòa và theo ngun lý cực đại có a ≤ h trong Ω. Bằng
cách lấy supremum như trên ta đạt được u(x) ≤ h(x) với x ∈ Ω. Do
u(x
n
) ≤ h(x
n
) suy ra lim sup u(x
n
) ≤ lim sup h(x
n
) = g(ξ).
Số hóa bởi trung tâm học liệu />22
Bước thứ ba là chứng minh
∂u(Ω) ⊂ {p ∈ R
n
: tồn tại x, y ∈ Ω, x = y và p ∈ ∂u(x) ∩∂u(y)} (2.2)
và do đó theo Bổ đề 1.5, |∂u(Ω)| = 0.

Nếu p ∈ ∂u(Ω), thì tồn tại x
0
∈ Ω sao cho
u(x) ≥ u(x
0
) + p.(x − x
0
) = a(x) với mọi x ∈ Ω.
Từ u = g trên ∂Ω, ta có g(x) ≥ a(x) với mọi x ∈ ∂Ω. Tồn tại ξ ∈ ∂Ω sao
cho g(ξ) = a(ξ). Thật vậy, nếu khơng tồn tại ξ như vậy thì, tồn tại ε > 0
sao cho g(x) ≥ a(x) + ε với mọi x ∈ ∂Ω và dẫn đến u(x) ≥ a(x) + ε với
mọi x ∈ Ω, đặc biệt u(x
0
) ≥ a(x
0
) + ε = u(x
0
) + ε là mâu thuẫn. Do Ω
là lồi, khoảng mở I nối x
0
và ξ là chứa trong Ω. Bây giờ u(x
0
) = a(x
0
) và
u(ξ) = a(ξ). Nếu z ∈ I thì z = tx
0
+ (1 −t)ξ và do tính lồi
u(z) ≤ tu(x
0

) + (1 − t)u(ξ) = ta(x
0
) + (1 − t)a(ξ) = a(z).
Tuy nhiên u(x) ≥ a(x) với mọi x ∈ Ω do vậy a là siêu phẳng tựa của u
tại bất bỳ điểm nào trên khoảng I, suy ra p ∈ ∂u(z) với mọi z ∈ I và
theo (2.2) ta có được điều phải chứng minh.
Tính duy nhất được suy ra từ Hệ quả 1.1. Tuy nhiên để minh họa rõ
điều này ta xem xét chứng minh tiếp theo.
Cho v ∈ C(
Ω), v lồi và v = g trên ∂Ω. Lấy x
0
∈ Ω, tồn tại siêu phẳng
tựa a(x) tại điểm (x
0
, v(x
0
)), tức là, v(x) ≥ a(x) với mọi x ∈ Ω. Dẫn
đến g(x) = v(x) ≥ a(x) với x ∈ ∂Ω, và a ∈ F và u(x) ≥ a(x); đặc biệt
u(x
0
) ≥ a(x
0
) = v(x
0
). Do đó u ≥ v trong Ω và suy ra u là hàm lồi lớn
nhất bằng g trên ∂Ω. Ta chứng minh u ≤ v. Ta giả sử rằng tồn tại x
0
∈ Ω
sao cho u(x
0

) > v(x
0
). Ta sẽ cho thấy rằng điều này suy ra |∂u(Ω)| > 0.
Cho ε = u(x
0
) −v(x
0
) > 0 và cho a(x) = u(x
0
) + p.(x −x
0
) là siêu phẳng
tựa của u tại x
0
, như vậy là u(x) ≥ a(x) với mọi x ∈ Ω. Xét siêu phẳng
của u dạng u(x
0
) + q.(x − x
0
) −
ε
2
. Ta sẽ chỉ ra rằng với q trong hình cầu
nhỏ với tâm là p thì họ các siêu phẳng này nằm dưới đồ thị của u. Thực
vậy, ta có
Số hóa bởi trung tâm học liệu />