Nghiên cứu một số phương pháp nội suy và sấp xỉ hàm số

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
ĐÀM VĂN MẠNH
NGHIÊN CỨU MỘT SỐ
PHƯƠNG PHÁP
NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Thái Ngun - 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu />ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGHIÊN CỨU MỘT SỐ
PHƯƠNG PHÁP
NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Chun ngành : PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP
Mã số : 60 46 46
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS ĐẶNG THỊ OANH
THÁI NGUN - 2013
1
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Mục lục
Bảng ký hiệu 5
Danh mục bảng và hình vẽ 6
1 Kiến thức cơ sở 9
1.1 Hệ phương trình đại số tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính 10
1.2.1 Chuẩn của ma trận, chuẩn của vectơ . . . . . . . . 10
1.2.2 Phương pháp Gauss (Phương pháp khử) . . . . . . . 11
1.2.3 Phương pháp lặp đơn (phương pháp lặp Jacobi) . . . 14
1.3 Bài tốn nội suy hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1 Bài tốn nội suy hàm số . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.2 Sự tồn tại duy nhất của đa thức nội suy . . . . . . . 16
1.4 Khái niệm sai phân và tỉ sai phân . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1 Sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.2 Tỉ sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Cơ sở của bài tốn nội suy với dữ liệu phân tán . . . . . . . 19
1.5.1 Nội suy hàm số với dữ liệu phân tán . . . . . . . . . 19
1.5.2 Ma trận xác định dương . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.3 Hàm xác định dương . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.4 Hàm cơ sở bán kính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.5 Hàm bán kính xác định dương . . . . . . . . . . . . 21
2 Một số phương pháp nội suy và xấp xỉ hàm số 22
2.1 Phương pháp nội suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.1 Thiết lập đa thức nội suy Lagrange . . . . . . . . . 22
2.1.2 Đánh giá sai số đa thức nội suy Lagrange . . . . . . 23
2.2 Chọn mốc nội suy tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Đa thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.2 Chọn các mốc nội suy tối ưu . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Phương pháp nội suy Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.1 Nội suy trên lưới khơng đều . . . . . . . . . . . . . . 27
2
Số hóa bởi trung tâm học liệu />2.3.2 Nội suy trên lưới cách đều . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Phương pháp bình phương bé nhất . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.1 Trường hợp y phụ thuộc tuyến tính vào các tham số 31
2.4.2 Trường hợp y phụ thuộc phi tuyến vào các tham số . 33
2.5 Phương pháp nội suy RBF . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5.1 Nội suy hàm cơ sở bán kính (RBF) . . . . . . . . . . 34
2.5.2 Vấn đề tham số hình dạng tối ưu đối với nội suy hàm
cơ sở bán kinh (RBF) . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.3 Nội suy với độ chính xác đa thức . . . . . . . . . . . 36
2.5.4 Sai số, ổn định và hội tụ của hàm nội suy theo bán

kính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Ứng dụng của phương pháp nội suy 40
3.1 Tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Tính tích phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.1 Cơng thức hình chữ nhật trung tâm . . . . . . . . . 42
3.2.2 Cơng thức hình thang . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.3 Cơng thức Simson (cơng thức Parabol) . . . . . . . 46
3.2.4 Cơng thức cầu phương Gauss . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.5 Cơng thức Newton - Cotet . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Giải phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.1 Bài tốn Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.2 Phương pháp Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.3 Phương pháp Euler-Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.4 Phương pháp Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.5 Vấn đề xác định nghiệm gần đúng với sai số cho trước 57
3.4 Ứng dụng nội suy RBF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.1 Bài tốn Dirichlet với phương trình Poisson trong
miền giới nội Ω ⊂ R
d
và vectơ trọng số . . . . . . . 58
3.4.2 Vectơ trọng số từ nội suy hàm cơ sở bán kính . . . . 59
3.4.3 Lược đồ RBF – FD giải phương trình poisson . . . . 61
Kết luận 62
Tài liệu tham khảo 63
3
Số hóa bởi trung tâm học liệu />LỜI CẢM ƠN
Trong q trình hồn thành luận văn "Nghiên cứu một số phương
pháp nội suy và xấp xỉ hàm số" tơi đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ,
động viên của những cá nhân và tập thể. Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu

sắc tới tất cả các cá nhân và tập thể đã tạo điều kiện và giúp đỡ tơi trong
q trình học tập và nghiên cứu.
Trước hết tơi xin cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường, các thầy cơ Trường
Đại học khoa học – ĐHTN, các thầy cơ giáo Viện tốn học Việt Nam đã
tạo mọi điều kiện giúp đỡ tơi hồn thành chương trình học tập và nghiên
cứu.
Có được kết quả này tơi vơ cùng biết ơn và tỏ lòng kính trọng sâu sắc
đối với TS Đặng Thị Oanh – Giảng viên Trường Đại học cơng nghệ thơng
tin và truyền thơng – ĐHTN người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi
trong suốt q trình thực hiện luận văn này.
Tơi cũng xin cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp và những người thân trong
gia đình đã động viên, chia sẻ, giúp tơi vượt qua những khó khăn trong
q trình học tập và nghiên cứu.
Thái Ngun, ngày 20 tháng 08 năm 2013
Người thực hiện
Đàm Văn Mạnh
4
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Bảng ký hiệu
const Hằng số
RBF Radianl Basis Funtion
Gauss Hàm Gaussian
MQ Hàm Multiquadric
IMQ Hàm Inverse Multiquadric
M
k
Giá trị lớn nhất của đạo hàm cấp k
E Sai số tích phân
||A|| Chuẩn của A
∀x Với mọi x
∃x Tồn tại x

∈ thuộc
∆ Sai phân tiến
∇ Sai phân lùi
L
n
(x) Đa thức nội suy bậc khơng q n
f(x
i
, x
i+1
, , x
i+n
) Tỉ sai phân cấp n của hàm f(x) tại các
điểm x
i
, x
i+1
, , x
i+n
P f Hàm xấp xỉ hàm f
R
d
Khơng gian thực d chiều
R
n
(x) Sai số đa thức nội suy bậc khơng q n
max Giá trị lớn nhất
min Giá trị nhỏ nhất
I
CN

Xấp xỉ tích phân xác định bằng cơng thức
hình chữ nhật trung tâm
I
ht
Xấp xỉ tích phân xác định bằng cơng thức
hình thang
I
sim
Xấp xỉ tích phân xác định bằng cơng thức
sim son
Ξ Bộ tâm phân tán
Ξ
int
Tập các tâm nằm trong
∂Ξ Tập các tâm nằm trên biên
Σ Tổng

Tích
Ω Bao đóng tập Ω
x, y Tích vơ hướng của x và y
N
Φ
(Ω) Khơng gian được sinh bởi Φ
Cond(A) Số điều kiện của ma trận A
5
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Danh mục bảng và hình vẽ
Bảng 1.1 Bảng tỉ sai phân
Bảng 1.2 Bảng một số hàm cơ sở bán kính với tham số hình dạng
ε > 0
Hình 2.1 Hình biểu diễn các điểm M(t

i
, log k) trong hệ trục Oxy
Hình 2.2 Đồ thị hàm cơ sở bán kính Gauss
Hình 2.3 Đồ thị hàm cơ sở bán kính MQ
Hình 2.4 Đồ thị hàm cơ sở bán kính IMQ
Hình 2.5 Đồ thị hàm cơ sở bán kính Cơsi (CauChy)
Hình 3.1 Hình biểu diễn xấp xỉ hình thang cong bởi các hình chữ
nhật trung tâm trên mỗi đoạn chia
Hình 3.2 Biểu diễn xấp xỉ hình thang cong bởi hình thang trên
mỗi đoạn chia
6
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Mở đầu
Bài tốn nội suy và xấp xỉ hàm số có vị trí đặc biệt quan trọng trong
tốn học khơng chỉ như là những đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng
vai trò như là một cơng cụ đắc lực của các mơ hình liên tục cũng như các
mơ hình rời rạc của giải tích trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp
xỉ, lý thuyết biểu diễn nghiệm [5].
Bài tốn nội suy được mơ tả như sau [4]:
Cho D ⊂ R
n
, đối với hàm số f : D → R
m
đã xác định được một
tập dữ liệu

x
k
, y
k


N
k=1
trong đó x
k
∈ R
n
, y
k
∈ R
m
(k = 1, , N) và
f(x
k
) = y
k
(∀k = 1, , N), hàm số f có thể chưa xác định được biểu
thức giải tích hoặc biểu thức giải tích q phức tạp đối với u cầu đặt ra
cho bài tốn. Cần tìm tìm hàm Pf “đủ tốt” có biểu thức giải tích cụ thể
thỏa mãn hệ điều kiện Pf(x
k
) = y
k
(∀k = 1, , N), và tại những điểm
x ∈ D khơng trùng với x
k
thì P f(x) ≈ f(x).
Từ lâu các nhà tốn học đã quan tâm đến việc xây dựng các phương
pháp, thuật tốn nội suy cũng như tìm kiếm các ứng dụng của nó trong
thực tiễn. Một số phương pháp nội suy đã tìm được nhiều ứng dụng phải
kể đến như: phương pháp nội suy Lagrange, phương pháp nội suy Newton,

phương pháp nội suy hàm cơ sở bán kính (Radial Basis Function – RBF),
phương pháp bình phương bé nhất.
Sử dụng hàm đa thức làm hàm nội suy cùng với thuật tốn đơn giản,
hai phương pháp nơi suy Lagrange và phương pháp Newton đã giải quyết
khá đầy đủ bài tốn nội suy hàm một biến. Đối với bài tốn nội suy hàm
nhiều biến cả hai phương pháp này đều cho thấy sự phức tạp trong thuật
tốn và kết quả khơng tốt.
Phương pháp nội suy RBF là một phương pháp nội suy dựa trên các
hàm cơ sở bán kính và được đề xuất bởi Powell vào năm 1987. Thuật tốn
được sử dụng trong phương pháp là phức tạp, khối lượng tính tốn lớn
nhưng kết quả thu được là tốt, đặc biệt trong các bài tốn nội suy hàn
nhiều biến. Việc giải quyết các u cầu của bài tốn trên hàm một biến
thường đơn giản hơn rất nhiều khi thực hiện trên hàm nhiều biến, vì thế
ưu thế lớn nhất của phương pháp là chuyển bài tốn hàm nhiều biến về
bài tốn của hàm một biến. Các bài tốn thực tiễn như: Bài tốn dự báo
7
Số hóa bởi trung tâm học liệu />thời tiết, trí tuệ nhân tạo, trắc địa, giải số phương trình vi phân, khơi phục
hình ảnh, mạng nơron nhân tạo, nhận dạng chữ viết tay, là những bài
tốn trong khơng gian nhiều chiều. Việc giải quyết những bài tốn này cần
đến những phương pháp nội suy hàm nhiều biến. Một số cơng trình nghiên
cứu của Đặng Thị Thu Hiền, Trần Đức Thụ, Lê Tiến Mười,. . . cho thấy:
Sử dụng nội suy bằng hàm cơ sở bán kính (Radial Basis Function-RBF)
khi giải quyết các bài tốn trên cho kết quả tốt. Phương pháp cho thấy sự
độc lập của nó đối với sự phân bố của các nút nội suy. Vì vậy đây là một
phương pháp nội suy phù hợp với các nút nội suy phân tán. Mặc dù khối
lượng tính tốn lớn, nhưng với sự phát triển mạnh mẽ của máy tính điện
tử, hiện nay phương pháp nội suy RBF đã được ứng dụng cho nhiều bài
tốn trong nhiều lĩnh vực.
Trong luận văn này chúng tơi trình bày một số phương pháp nội suy
và xấp xỉ hàm số và một số ứng dụng của chúng.

Nội dung luận văn bao gồm:
Chương 1: Kiến thức cơ sở
Nội dung của chương là hệ thống các kiến thức cơ sở cho các phương
pháp nội suy và xấp xỉ hàm số như: Hệ phương trình đại số tuyến tính và
một số phương pháp giải, khái niệm bài tốn nội suy, khái niệm sai phân,
tỉ sai phân, cơ sở của bài tốn nội suy với dữ liệu phân tán
Chương 2: Một số phương pháp nội suy và xấp xỉ hàm số
Nội dung của chương bao gồm: phương pháp nội suy Lagrange, phương
pháp nội suy Newton, phương pháp nội suy RBF và phương pháp bình
phương bé nhất.
Chương 3: Ứng dụng phương pháp nội suy
Trong chương này chúng tơi trình bày một số ứng dụng của phương
pháp nội suy như: tính đạo hàm, tính tích phân số, giải phương trình
vi phân thường và giải phương trình poisson trên miền giới nội với biên
Dirichlet.
8
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Chương 1
Kiến thức cơ sở
Trong chương này chúng tơi trình bày một số kiến thức cơ sở cho bài
tốn nội suy và xấp xỉ hàm số, khái niệm hệ phương trình đại số tuyến
tính và một số phương pháp giải như: phương pháp Gauss, phương pháp
lặp đơn. Các khái niệm nội suy như: bài tốn nội suy hàm số, sự tồn tại
duy nhất của đa thức nội suy hàm một biến, khái niệm nội suy với dữ liệu
phân tán, ma trận xác định dương, hàm xác định dương, hàm bán kính,
hàm cơ sở bán kính.
1.1 Hệ phương trình đại số tuyến tính
Hệ phương trình đại số tuyến tính n ẩn là hệ có dạng
Ax = b (1.1)
trong đó
A =




a
11
a
12
a
1n
a
21
a
22
a
2n

a
n1
a
n2
a
nn



; b =



b

1
b
2

b
n



; x =



x
1
x
2

x
n



Với a
ij
; b
i
(i = 1, n, j = 1, n) là những số thực đã biết, x
i
(i = 1, n) là ẩn

số phải tìm, A là ma trận hệ số.
Nếu ma trận A khơng suy biến nghĩa là detA = 0 thì hệ (1.1) có nghiệm
duy nhất x = A
−1
b.
9
Số hóa bởi trung tâm học liệu />1.2 Một số phương pháp giải hệ phương trình đại
số tuyến tính
1.2.1 Chuẩn của ma trận, chuẩn của vectơ
a) Chuẩn của ma trận [1]
Cho ma trận A =



a
11
a
12
a
1n
a
21
a
22
a
2n

a
n1
a

n2
a
nn



.
Chuẩn của ma trận A là một số thực ký hiệu là ||A|| thỏa mãn điều kiện
sau:
i) ||A|| ≥ 0; ||A|| = 0 ⇔ A = 0;
ii) ||αA|| = |α|.||A|| với α là một số thực và || − A|| = ||A||;
iii)||A + B|| ≤ ||A|| + ||B||;
4i) ||A.B|| ≤ ||A||.||B||.
trong đó B là ma trận cấp m × n.
Ta thường dùng các chuẩn sau:
||A||
1
= Max
j

i
|a
ij
| chuẩn cột. (1.2)
||A||
2
=




i,j
|a
ij
|
2


1
2
chuẩn Ơclit. (1.3)
||A||
∞
= Max
i

j
|a
ij
| chuẩn hàng. (1.4)
b) Chuẩn vectơ [1]
Trong R
n
cho vectơ x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ta có thể biểu diễn x là ma trận
chỉ có một cột

x =



x
1
x
2

x
n



Ta có
||x||
1
=
n

i=1
|x
i
| (1.5)
10
Số hóa bởi trung tâm học liệu />||x||
2
=

n


i=1
|x
i
|
2

1
2
(1.6)
||x||
∞
= max
i
|x
i
| (1.7)
1.2.2 Phương pháp Gauss (Phương pháp khử)
a) Nội dung phương pháp
Xét hệ phương trình đại số tuyến tính







a
11
(0)

x
1
+ a
12
(0)
x
2
+ + a
1n
(0)
x
n
= b
1
(0)
a
21
(0)
x
1
+ a
22
(0)
x
2
+ + a
2n
(0)
x
n

= b
2
(0)

a
n1
(0)
x
1
+ a
n2
(0)
x
2
+ + a
nn
(0)
x
n
= b
n
(0)
(1.8)
Thực hiện khử dần các ẩn số trong hệ phương trình (1.8) để đưa hệ về
dạng hệ "tam giác" tương đương






x
1
+ a
(1)
22
x
2
+ a
(1)
23
x
3
+ + a
(1)
2n
x
n
= b
(1)
1
x
2
+ a
(2)
23
x
3
+ + a
(2)
2n

x
n
= b
(2)
2
x
n
= b
(n)
n
• Q trình khử các ẩn số (q trình thuận)
Khử x
1
: Giả sử a
(0)
11
= 0 (a
(0)
11
gọi là trụ thứ nhất.
Chia cả hai vế của phương trình thứ nhất trong (1.8) cho a
(0)
11
ta được
phương trình
x
1
+ a
(1)
12

x
2
+ + a
(1)
1n
x
n
= b
(1)
1
(1.9)
Với a
(1)
1j
=
a
0
1j
a
11
; j = 2, 3, , n.
Dùng phương trình (1.9) khử x
1
trong n −1 phương trình còn lại của (1.8)
ta được hệ phương trình



a
(1)

22
x
2
+ a
(1)
23
x
3
+ + a
2n
(1)
x
n
= b
2
(1)

a
(1)
n2
x
2
+ a
(1)
n3
x
3
+ + a
nn
(1)

x
n
= b
n
(1)
(1.10)
Với a
(1)
ij
= a
(0)
ij
−a
(0)
i1
a
(1)
1j
, i = 2, 3, , n; j = 2, 3, , n và b
(1)
i
= b
(0)
i
−b
(0)
1
a
(1)
1j

.
Khử x
2
: Giả sử a
(1)
22
= 0 (a
(1)
22
gọi là trụ đứng thứ hai).
Chia cả hai vế của phương thứ nhất của (1.10) cho a
(1)
12
ta được
x
2
+ a
(2)
23
x
3
+ + a
(2)
2n
x
n
= b
(2)
2
(1.11)

11
Số hóa bởi trung tâm học liệu />trong đó a
(2)
2j
=
a
(1)
2j
a
(1)
22
; b
(2)
2
=
b
(1)
2
a
(1)
22
với j = 2, 4, 5, , n.
Sử dụng (1.11) khử x
2
trong n − 2 phương trình còn lại của (1.10) q
trình tiến hành cho đến khi ta được một phương trình x
n
= b
(n)
n

với các
trụ a
(0)
11
; a
(1)
22
; a
(2)
33
; ; a
(n−1)
nn
khác khơng.
Thì hệ (1.8) tương đương với hệ phương trình "tam giác" sau







x
1
+ a
(1)
12
x
2
+ a

(1)
13
x
3
+ + a
(1)
1n
x
n
= b
(1)
1
x
2
+ a
(2)
23
x
3
+ + a
(2)
2n
x
n
= b
(2)
2

x
n

= b
(n)
n
(1.12)
• Q trình tìm ẩn (q trình ngược)
Giải hệ (1.12) từ dưới lên trên ta tìm được







x
n
= b
(n)
n
x
n−1
= b
(n−1)
n−2
− a
(n−1)
n−1n
x
n

x

1
= b
(1)
1
− a
(1)
12
x
2
− a
(1)
13
x
3
− −a
(1)
1n
x
n
Chú ý rằng điều kiện áp dụng phương pháp Gauss là các phần tử trụ là
khác khơng.
Phân tích q trình áp dụng phương pháp Gauss ta thấy để đưa hệ (1.1)
về hệ tam giác tương đương ta chỉ cần tính các hệ số a
(k)
ij
.
b) Khối lượng tính
Căn cứ vào những cơng thức tính của phương pháp Gauss ta đếm được
S
n

các phép tốn cộng, trừ, nhân, chia trong đó có
•
n(n −1)(2n + 5)
6
phép nhân.
•
n(n + 1)
2
phép chia.
•
n(n −1)(2n + 5)
6
phép cộng hoặc trừ.
Vậy S
n
=
4n
3
+ 9n
2
− 7n
6
phép tính. (1.13)
So với phương pháp Cramer thì phương pháp Gauss có khối lượng tính
tốn ít hơn nhiều nhất là khi n lớn.
Nếu ma trận hệ số của hệ phương trình đối xứng thì khối lượng tính giảm
đi một nửa.
12
Số hóa bởi trung tâm học liệu />c) Sai số của phương pháp Gauss
Nếu các phép tính cộng, trừ, nhân, chia là đúng hồn tồn và khơng

phải làm tròn thì phương pháp Gauss cho nghiệm đúng của hệ phương
trình (1.1). Vì vậy phương pháp Gauss là một phương pháp đúng. tuy
nhiên trong tính tốn khơng tránh khỏi sai số làm tròn nên trong thực tế
khi dùng phương pháp Gauss cũng chỉ cho ta nghiệm gần đúng.
d) Phương pháp Gauss có trụ lớn nhất
Một trong những hạn chế của phương pháp Gauss là phần tử trụ phải
khác khơng. Khi có các phần tử trụ bằng khơng thì khơng thực hiện được
bằng phương pháp Gauss. Mặt khác nếu định thức của ma trận hệ số khác
khơng nhưng một vài phần tử trụ có giá trị tuyệt đối rất nhỏ so với các
phần tử trong cùng hàng thì khi chia cho phần tử trụ sai số làm tròn ở
các hệ số trong hàng là lớn. Vì thế nghiệm tìm được thiếu chính xác. Để
khắc phục những hạn chế trên người ta thường dùng phương pháp Gauss
có tìm trụ lớn nhất. Nội dung phương pháp như sau:
• Khử x
1
trong sơ đồ Gauss ta tìm số lớn nhất về giá trị tuyệt đối trong
các số a
(0)
11
; a
(0)
21
; ; a
(0)
n1
làm trụ thứ nhất và hốn vị hàng chứa trụ lớn
nhất thứ nhất với hàng thứ nhất. Trụ thứ nhất là số lớn nhất trong
các hệ số của x
1
q trình khử x

1
tiến hành như phương pháp Gauss.
• Khử x
2
trong hệ phương trình n − 1 ẩn thu được sau khi khử x
1
, ta
tìm hệ số lớn nhất về trị tuyệt đối trong các số a
(1)
22
; a
(1)
32
; ; a
(1)
n2
làm
trụ thứ hai và hốn vị hàng chứa trụ thứ hai về đúng vị trí a
(1)
22
và
tiến hành khử x
2
như trong phương pháp Gauss.
• Q trình tiến hành như trên cho đến ẩn cuối cùng.
f) Phương pháp Gauss - Gioocdang
Phương pháp Gauss - Gioocdang có thể xem là một biến dạng của
phương pháp Gauss. Để đơn giản cho việc trình bày ta xét hệ 3 phương
trình 3 ẩn sau:






a
(0)
11
x
1
+ a
(0)
12
x
2
+ a
(0)
13
x
3
= b
(0)
1
a
(0)
21
x
1
+ a
(0)
22

x
2
+ a
(0)
23
x
3
= b
(0)
2
a
(0)
31
x
1
+ a
(0)
32
x
2
+ a
(0)
33
x
3
= b
(0)
3
(1.14)
13

Số hóa bởi trung tâm học liệu />Nội dung phương pháp là khử dần các ẩn số đưa về hệ "chéo" tương đương





x
1
= b
(3)
1
x
2
= b
(3)
2
x
3
= b
(3)
3
(1.15)
Phương pháp đưa (1.14) về (1.15)
Bước 1: Khử x
1
ở phương trình thứ hai và thứ ba ở (1.14) ta được hệ sau.






x
1
+ a
(1)
12
x
2
+ a
(1)
13
x
3
= b
(1)
1
a
(1)
22
x
2
+ a
(1)
23
x
3
= b
(1)
2
a

(1)
32
x
2
+ a
(1)
33
x
3
= b
(1)
3
(1.16)
Bước 2: Khử x
2
trong phương trình nhất và thứ ba của (1.16) ta được hệ
phương trình sau.





x
1
+ a
(2)
13
x
3
= b

(2)
1
x
2
+ a
(2)
23
x
3
= b
(2)
2
a
(2)
33
x
3
= b
(2)
3
(1.17)
Bước 3: Khử x
3
trong phương trình thứ nhất và thứ hai trong (1.17) ta
được hệ (1.15)
Nhận xét:
* Cách khử ẩn trong phương pháp Gauss - Gioocdang giống cách khử ẩn
trong phương pháp Gauss.
* Điều kiện áp dụng phương pháp Gauss - Gioocdang là các phần tử trụ
a

(0)
11
, a
(1)
22
, a
(2)
33
phải khác khơng.
1.2.3 Phương pháp lặp đơn (phương pháp lặp Jacobi)
Là phương pháp tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình đại số tuyến
tính với độ chính xác cho trước
a) Nội dung phương pháp
Xét hệ phương trình: Ax = b (1.1)
Ta đưa hệ về dạng
x = β + αx. (1.18)
trong đó
α =



α
11
α
12
α
1n
α
21
α

22
α
2n

α
n1
α
n2
α
nn



14
Số hóa bởi trung tâm học liệu />β =



β
1
β
2

β
n



sau đó chọn một vectơ xấp xỉ đầu x
(0)

(thường chọn x
(0)
= β) và tính
x
(k+1)
theo cơng thức
x
(k+1)
= β + αx
(k)
, k = 0, 1, 2 (1.19)
x
(k)
gọi là vectơ lặp thứ k.
Nếu dãy x
(0)
, x
(1)
, , x
(k)
, có giới hạn là
x
∗
= lim
k→+∞
x
(k)
thì giới hạn ấy là nghiệm đúng của hệ (1.18) và cũng là nghiệm đúng của
(1.1).
Thật vậy lim

k→+∞
x
(k+1)
= lim
k→+∞
(β + αx
(k)
) = β + α lim
k→+∞
x
(k)
hay x
∗
= β + αx
∗
.
b) Sự hội tụ của phương pháp
Người ta chứng minh được q trình lặp đơn hội tụ đến nghiệm duy
nhất của hệ (1.1)khơng phụ thuộc vào việc chọn x
(0)
ban đầu nếu
||α||
p
< 1 (1.20)
(||α||
p
có thể dùng ||α||
1
hoặc ||α||
2

hoặc ||α||
∞
)
c) Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng
Để đánh giá độ lệch giữa nghiệm gần đúng x
(k)
, nhận được bằng phương
pháp lặp đơn và nghiệm đúng x
∗
của hệ (1.1), người ta đã chứng minh
được cơng thức sau:
||x
(k)
− x
∗
||
p
≤
||α||
p
1 −||α||
p
||x
(k)
− x
(k−1)
||
p
(1.21)
và

||x
(k)
− x
∗
||
p
≤
(||α||
p
)
k
1 −||α||
p
||x
(1)
− x
(0)
||
p
(1.22)
Sự hội tụ của phương pháp lặp đơn càng nhanh nếu ||α||
p
càng nhỏ. Cơng
thức (1.22) cho phép xác định được số lần lặp cần tiến hành K() để nhận
được nghiệm gần đúng x
(k)
với độ chính xác .
Trong trường hợp ||α||
p
≤

1
2
đánh giá (1.21) có dạng đơn giản sau
||x
(k)
− x
∗
||
p
≤ ||x
(k)
− x
(k−1)
||
p
.
15
Số hóa bởi trung tâm học liệu />1.3 Bài tốn nội suy hàm số
Trong thực tế, ta thường gặp những hàm số y = f(x) mà khơng biết
biểu thức giải tích cụ thể của chúng. Thơng thường ta chỉ biết các giá
trị y
0
, y
1
, , y
n
của hàm số lần lượt tại các điểm khác nhau x
0
, x
1

, , x
n
của một đoạn [a; b], các giá trị này có thể nhận được trong q trình thí
nghiệm, đo đạc, Khi sử dụng hàm số trên nhiều khi ta cần biết giá trị
hàm số tại một số điểm x = x
i
(i = 0, n) trên đoạn [a; b]. Vấn đề đưa ta
đến bài tốn sau:
1.3.1 Bài tốn nội suy hàm số
Bài tốn 1.1 [5]
Trên [a; b] cho n giá trị khác nhau x
0
, x
1
, , x
n
và biết giá trị của hàm
số y = f(x) tương ứng tại các điểm x
i
là y
i
(i = 0, n) tức là ta có y
i
=
f(x
i
) (i = 0, n). Tìm đa thức L
n
(x) có bậc khơng q n. Thỏa mãn điều
kiện

L
n
(x) = y
i
(i = 0, n) (1.23)
L
n
(x) gọi là đa thức nội suy của hàm f(x); các điểm x
i
(i = 0, n) gọi là
các nút nội suy.
1.3.2 Sự tồn tại duy nhất của đa thức nội suy
Định lý 1.3.1. Đa thức L
n
(x) thỏa mãn điểu kiện của bài tốn (1.1) nếu
có thì duy nhất.
Chứng minh.
Giả sử từ những điều kiện (1.23) ta xây dựng được hai đa thức nội suy
L
n
(x) và P
n
(x) với P
n
(x
i
) = L
n
(x
i

) = y
i
, (i = 0, n).
Khi đó Q(x) = L
n
(x) −P
n
(x) là một đa thức có bậc khơng q n.
Vì Q(x
i
) = L
n
(x
i
) − P
n
(x
i
) = 0, (i = 0, n) nên Q(x) có n + 1 nghiệm
phân biệt. Điều này chỉ xảy ra khi Q(x) ≡ 0 hay P
n
(x) ≡ L
n
(x).
Vậy L
n
(x) là duy nhất.
1.4 Khái niệm sai phân và tỉ sai phân
1.4.1 Sai phân
a) Định nghĩa 1.4.1. [7] Cho hàm số y = f(x) xác định bởi bảng số

sau
x x
0
x
1
x
2
x
i
x
i+1

y y
0
y
1
y
2
y
i
y
i+1

16
Số hóa bởi trung tâm học liệu />trong đó y
i
= f(x
i
), (i = 0, 1, 2, )
Và các nút x

i
cách đều nhau 1 khoảng bằng h > 0 tức là x
i
= x
0
+ ih
với i = 0, 1, 2,
∆y
i
= y
i+1
−y
i
gọi là sai phân tiến cấp một của hàm f(x) tại điểm x
i
.
∆
2
y
i
= ∆y
i+1
− ∆y
i
gọi là sai phân tiến cấp hai của hàm số f(x) tại
điểm x
i
.
Tổng qt, ta có sai phân tiến cấp n của hàm số y = f(x) tại điểm x
i

là
∆
n
y
i
= ∆
n−1
y
i+1
− ∆
n−1
y
i
.
Ta định nghĩa sai phân lùi
∇y
i
= y
i
− y
i−1
gọi là sai phân lùi cấp một của hàm f(x) tại điểm x
i
.
∇
2
y
i
= ∇(∇y
i

) = ∇y
i+1
− ∇y
i
gọi là sai phân lùi cấp hai của hàm số
f(x) tại điểm x
i
.
Tổng qt, ta có sai phân lùi cấp n của hàm số y = f(x) tại điểm x
i
là
∇
n
y
i
= ∇(∇
n−1
y
i
) = ∇
n−1
y
i
− ∇
n−1
y
i−1
.
b) Tính chất:
Tính chất 1: ∆(y

1i
+ y
2i
) = ∆y
i
+ ∆y
2i
.
Tính chất 2: ∆(αy
i
) = α∆y
i
.
Tính chất 3: Sai phân cấp m của đa thức bậc n có tính chất:
i) Nếu m = n thì sai phân cấp m là hằng số.
ii) Nếu m > n thì sai phân cấp m bằng 0.
Tính chất 4: Giả sử f ∈ C
n
[a;b]
và (x
i
; x
i
+ nh) ⊂ [a; b]. Khi đó
∆
n
y
i
h
n

= f
(n)
(x
i
+ εnh) với ε ∈ (0; 1).
Tính chất 5: Nếu f ∈ C
n
[a;b]
và khi h đủ nhỏ thì f
(n)
(x
i
) ≈
∆
n
f(x
i
)
h
n
.
1.4.2 Tỉ sai phân
a) Định nghĩa 1.4.2. [7]
Cho hàm số y = f(x) xác định bởi bảng số sau
x x
0
x
1
x
2

x
i
x
i+1

y y
0
y
1
y
2
y
i
y
i+1

trong đó y
i
= f(x
i
), (i = 0, 1, 2, ) và ∆x
i
= x
i+1
− x
i
= 0, i = 0, 1, 2,
Ta gọi f(x
i
, x

i+1
) =
f(x
i+1
) −f(x
i
)
x
i+1
− x
i
=
y
i+1
− y
i
x
i+1
− x
i
; (i = 1, 2, ) là tỉ
sai phân cấp 1 của hàm số y = f(x) tại điểm x
i
và x
i+1
.
f(x
i
, x
i+1

, x
i+2
) =
f(x
i+1
, x
i+2
) −f(x
i
, x
i+1
)
x
i+2
− x
i
; (i = 1, 2, )
17
Số hóa bởi trung tâm học liệu />là tỉ sai phân cấp hai của hàm số y = f(x) tại điểm x
i
, x
i+1
, x
i+2
Tổng qt ta có tỉ sai phân cấp n của hàm số y = f(x) tại điểm x
i
, x
i+1
, ,
x

i+n
được tính thơng qua tỉ sai phân cấp n − 1 bằng cơng thức truy hồi
sau
f(x
i
, x
i+1
, , x
i+n
) =
f(x
i+1
, x
i+2
, , x
i+n
) −f(x
i
, x
i+1
, , x
i+n−1
)
x
i+n
− x
i
(n = 1, 2, và i = 0, 1, 2, ).
Thơng thường trong thực hành ta thường dùng bảng sau để tính tỉ sai
phân

x y f(., .) f(., ., .) f(., ., ., .) f(., ., ., ., .)
x
0
y
0
f(x
0
, x
1
)
x
1
y
1
f(x
1
, x
2
) f(x
0
, x
1
, x
2
)
x
2
y
2
f(x

2
, x
3
) f(x
1
, x
2
, x
3
) f(x
0
, x
1
, x
2
, x
3
)
x
3
y
3
f(x
3
, x
4
) f(x
2
, x
3

, x
4
) f(x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) f(x
0
, x
1
, x
2
, x
3
, x
4
)
x
4
y
4
f(x
3
, x
4
)

Bảng 1.1: Bảng tỉ sai phân
b) Tính chất
Tính chất 1:
Tỉ sai phân cấp k của tổng hai hàm số bằng tổng hai tỉ sai phân cùng cấp
của hai hàm số đó.
(f + g)(x
i
, x
i+1
, , x
i+k
) = f(x
i
, x
i+1
, , x
i+k
) + g(x
i
, x
i+1
, , x
i+k
).
Tính chất 2: Tính chất đối xứng
i) f(x
i−1
, x
i
) = f(x

i
, x
i−1
), (i = 1, n).
ii) f(x
i−2
, x
i−1
, x
i
) = f(x
i
, x
i−1
, x
i−2
).
iii)f(x
0
, x
1
, , x
n
) = f(x
n
, x
n−1
, , x
0
).

Tính chất 3:
i) Tỉ sai phân của hằng số bằng 0.
ii) Tỉ sai phân cấp m của đa thức bậc n có tính chất
Nếu m = n thì tỉ sai phân cấp m là hằng số
Nếu m > n thì tỉ sai phân cấp m bằng khơng.
c) Quan hệ giữa sai phân và tỉ sai phân
Giả sử x
1
, x
2
, , x
i
, x
i+1
, là các nút nội suy cách đều của hàm số
18
Số hóa bởi trung tâm học liệu />y = f(x) và y
i
= f(x
i
)(i = 0, 1, 2, ) là giá trị hàm số tương ứng tại x
i
.
Khi đó ta có cơng thức liên hệ giữa sai phân và tỉ sai phân như sau:
i) f(x
0
, x
1
) =
∆y

0
h
=
∇y
1
h
.
ii) f(x
0
, x
1
, x
2
) =
∆
2
y
0
2!h
2
=
∇
2
y
2
2!h
2
.
iii) f(x
0

, x
1
, , x
n
) =
∆
n
y
0
n!h
n
=
∇
n
y
n
n!h
n
.
1.5 Cơ sở của bài tốn nội suy với dữ liệu phân tán
1.5.1 Nội suy hàm số với dữ liệu phân tán
Bài tốn 1.2. [8]
Cho bộ dữ liệu (x
i
; y
i
), i = 1, 2, , n, x
i
∈ R
d

; y
i
∈ R. Trong đó x
i
là các
vị trí đo; y
i
là kết quả đo được tại vị trí x
i
. B
1
, B
2
, , B
n
là các hàm cơ
sở của khơng gian tuyến tính của các hàm liên tục d biến. Ký hiệu là:
F = span{B
1
, B
2
, , B
n
} =

n

k=1
c
k

B
k
; c
k
∈ R

(1.24)
Tìm hàm P
f
∈ F sao cho
P
f
(x
i
) = y
i
; i = 1, 2, , n (1.25)
vì P
f
∈ F nên ta có
P
f
(x) =
n

k=1
c
k
B
k

(x), x ∈ R
d
. (1.26)
Từ (1.25) và (1.26) ta có
Ac = y, (1.27)
trong đó
A =



B
1
(x
1
) B
2
(x
1
) B
n
(x
1
)
B
2
(x
1
) B
2
(x

2
) B
n
(x
2
)

B
n
(x
1
) B
n
(x
2
) B
n
(x
n
)



(1.28)
c = [c
1
, c
2
, , c
n

]
T
; y = [y
0
, y
1
, , y
n
]
T
.
Bài tốn 1.2 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi ma trận A khơng suy biến,
tức là detA = 0.
Trường hợp d = 1 (trong khơng gian một chiều) ta có thể chọn cơ sở như
19
Số hóa bởi trung tâm học liệu />sau:
{B
1
, B
2
, , B
n
} = {1, x, x
2
, , x
n−1
}
Tuy nhiên khi d ≥ 2 ta có kết quả sau:
Định lý 1.5.1. [3](Mairhuber - Curtis) Nếu Ω ⊂ R
d

, d ≥ 2 và chứa
một điểm trong thì khơng tồn tại khơng gian Haar các hàm liên tục trên
Ω.
Khơng gian Haar được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.5.2. Cho Ω ⊂ R
d
, và F ⊂ C(Ω) là khơng gian tuyến tính
hữu hạn chiều có cơ sở là {B
1
, B
2
, , B
n
}. Ta nói F là khơng gian Haar
trên Ω nếu detA = 0 với mọi bộ tâm phân biệt {x
1
, x
2
, , x
n
} trong Ω.
Trong đó ma trận
A = (A
jk
)
n×n
; A
jk
= B
k

(x
j
); j, k = 1, 2, , n
Định lí Mairhuber-Curtis cho thấy rằng nếu muốn giải được bài tốn
nội suy dữ liệu phân tán nhiều biến thì cơ sở cần phụ thuộc vào các vị trí
dữ liệu. Để thu được các khơng gian xấp xỉ phụ thuộc dữ liệu, chúng ta
cần xét các hàm xác định dương và ma trân xác định dương.
1.5.2 Ma trận xác định dương
Định nghĩa 1.5.3. [4] Ma trận giá trị thực đối xứng A được gọi là xác
định dương nếu dạng tồn phương tương ứng là khơng âm:
n

j=1
n

k=1
c
j
c
k
A
jk
≥ 0 với c = (c
1
, c
2
, , c
n
)
T

∈ R
n
Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi c = (0, 0, , 0)
T
.
Tính chất quan trọng của ma trận xác định dương là nó có tất cả các
giá trị riêng đều dương và khơng suy biến.
Nếu hệ cơ sở {B
k
}
n
k=1
, trong bài tốn 1.2 làm cho ma trận nội suy A xác
định dương thì hệ (1.27) có nghiệm duy nhất.
1.5.3 Hàm xác định dương
Định nghĩa 1.5.4. [3] Hàm liên tục Φ : R
d
−→ R là xác định dương trên
R
d
khi và chỉ khi nó là hàm chẵn và với mọi bộ tâm phân biệt từng đơi
một
X = {x
1
, x
2
, , x
n
}, n ∈ N
20

Số hóa bởi trung tâm học liệu />và mọi vectơ c = (c
1
, c
2
, c
n
) ⊂ R
n
thì dạng tồn phương
n

j=1
n

k=1
c
j
c
k
Φ(x
j
− x
k
) ≥ 0 (1.29)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c = (0, 0, , 0).
Từ định nghĩa trên và tính chất của ma trận xác định dương ta thấy
có thể sử dụng các hàm xác định dương B
n
= Φ(x − x
k

) là hệ hàm cơ sở
và khi đó ta có
P
f
(x) =
n

k=1
c
k
Φ(x −x
k
) (1.30)
Ma trận nội suy A = [A
jk
]
n×n
với A
jk
= B
k
(x
j
) = Φ(x
j
− x
k
); j, k =
1, , n. Tuy nhiên việc giải bài tốn nội suy trong khơng gian nhiều chiều
là khó khăn, do đó thay vì sử dụng hàm nhiều biến Φ(x) bởi hàm một

biến φ cho tất cả số chiều d.
1.5.4 Hàm cơ sở bán kính
Định nghĩa 1.5.5. [3] Hàm Φ : R
d
→ R được gọi là hàm bán kính nếu
tồn tại hàm số một biến φ : [0; ∞) → R thỏa mãn:
Φ(x) = φ(r) với r = ||x||, ||.|| là một chuẩn nào đó trong R
d
(ta thường
dùng chuẩn Euclidean).
φ được gọi là hàm cơ sở bán kính.
1.5.5 Hàm bán kính xác định dương
Cho hàm Φ : R
d
→ R với hàm cơ sở tương ứng là φ.
Ta nói φ xác định dương trên R
d
khi và chỉ khi Φ xác định dương trên R
d
.
21
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Chương 2
Một số phương pháp nội suy và xấp
xỉ hàm số
Trong chương này chúng tơi trình bày một số phương pháp nội suy và
xấp xỉ hàm số cụ thể như: phương pháp nội suy Lagrange, phương pháp
nội suy Newton, phương pháp bình phương bé nhất và phương pháp nội
suy hàm cơ sở bán kính RBF.
2.1 Phương pháp nội suy Lagrange
2.1.1 Thiết lập đa thức nội suy Lagrange

Giả sử trên [a; b], cho n+1 giá trị khác nhau của đối số x
0
, x
1
, , x
n
và
đối với hàm số y = f(x) biết những giá trị tương ứng y
i
= f(x
i
), i = 0, n.
Ta xây dựng đa thức nội suy L
n
(x) có bậc khơng q n thỏa mãn điều
kiện L
n
(x
i
) = y
i
, i = 0, n .
Trước hết ta xây dựng đa thức L
i
(x) thỏa mãn điều kiện sau:
L
i
(x
j
) =


1 nếu j = i
0 nếu j = i
(2.1)
Vì đa thức L
i
(x
i
) triệt tiêu tại n điểm x
0
, x
1
, , x
i−1
, x
i+1
, , x
n
nên L
i
(x)
có thể viết dưới dạng
L
i
(x) = C
i
(x −x
0
)(x −x
1

) (x −x
i−1
)(x −x
i+1
) (x −x
n
) (2.2)
trong đó C
i
là hằng số cần tìm.
Thay x = x
i
vào (2.2) và sử dụng điều kiện (2.1) ta được
C
i
=
1
(x
i
− x
0
)(x
i
− x
1
)(x
i
− x
2
) (x

i
− x
i−1
)(x
i
− x
i+1
) (x
i
− x
n
)
Thay vào (2.2) ta được
L
i
(x) =
(x −x
0
)(x −x
1
) (x −x
i−1
)(x −x
i+1
) (x −x
n
)
(x
i
− x

0
)(x
i
− x
1
) (x
i
− x
i−1
)(x
i
− x
i+1
) (x
i
− x
n
)
. (2.3)
22
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Đa thức bậc L
i
(x) có bậc n gọi là đa thức Lagrange cơ bản. Bây giờ ta
xét đa thức
L
n
(x) =
n

i=0

L
i
(x)y
i
(2.4)
Ta thấy:
i) Bậc của L
n
(x) khơng q n.
ii) L
n
(x
j
) =
n

i=0
L
i
(x
j
)y
i
= L
j
(x
j
)y
j
= y

j
; j = 0, n.
Vậy L
n
(x) xác định bởi (2.3) là đa thức nội suy phải tìm.
Thay biểu thức L
i
(x) từ (2.3) vào (2.4) ta được
L
n
(x) =
n

i=0
(x −x
0
)(x −x
1
) (x −x
i−1
)(x −x
i+1
) (x −x
n
)
(x
i
− x
0
)(x

i
− x
1
) (x
i
− x
i−1
)(x
i
− x
i+1
) (x
i
− x
n
)
.y
i
(2.5)
là đa thức nội suy Lagrange.
Ta xét hai trường hợp đặc biệt của đa thức nội suy Lagrange.
a) Nội suy bậc nhất hay nội suy tuyến tính
Khi n=1 ta có hai nút nội suy x
0
và x
1
với giá trị hàm số tương ứng là y
0
và y
1

. Khi đó
L
1
(x) =
x −x
1
x
0
− x
1
y
0
+
x −x
0
x
1
− x
0
y
1
. (2.6)
y = L
1
(x) là phương trình đường thẳng đi qua M
0
(x
0
; y
0

) và M
1
(x
1
; y
1
).
b) Nội suy bậc hai
Khi n = 2 ta có ba nút nội suy x
0
, x
1
, x
2
và
L
2
(x) =
(x −x
1
)(x −x
2
)
(x
0
− x
1
)(x
0
− x

2
)
y
0
+
(x −x
0
)(x −x
2
)
(x
1
− x
0
)(x
1
− x
2
)
y
1
+
(x −x
0
)(x −x
1
)
(x
2
− x

0
)(x
2
− x
1
)
y
2
(2.7)
phương trình y = L
2
(x) là phương trình Parabol đi qua ba điểm M
0
(x
0
; y
0
);
M
1
(x
1
; y
1
); M
2
(x
2
; y
2

).
2.1.2 Đánh giá sai số đa thức nội suy Lagrange
Định lý 2.1.1. [7] Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp n+1
trên [a; b] chứa tất cả các nút nội suy x
0
, x
1
, , x
n
thì sai số nội suy
R
n
(x) = f(x) − L
n
(x) có dạng sau
R
n
(x) =
f
n+1
(c)
(n + 1)!
π
n+1
(x). (2.8)
trong đó c phụ thuộc vào x và c ∈ [a; b];
π
n+1
(x) = (x − x
0

)(x −x
1
) (x −x
n
).
23
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Chứng minh. Xét hàm số phụ sau:
U(x) = f(x) − L
n
(x) −kπ
n+1
(x) (2.9)
trong đó k là hằng số nào đó.
Dễ thấy U(x
i
) = 0, i = 0, n, ta chọn k sao cho U(x) triệt tiêu tại điểm
thứ n + 2 bất kỳ nhưng cố định x của [a; b] và khơng trùng với các nút nội
suy. Muốn vậy ta chỉ cần cho f(x) −L
n
(x) −kπ
n+1
(x) = 0 vì π
n+1
(x) = 0
nên:
k =
f(
x) −L
n
(x)

π
n+1
(x)
(2.10)
Với giá trị k xác định bởi (2.10) thì U(x) bằng 0 tại n+2 điểm x
0
, x
1
, , x
n
, x
trên [a; b]. Áp dụng định lý Rơn thì đạo hàm U(x) có khơng ít hơn n+1
nghiệm trên [a; b]. Lại áp dụng định lý Rơn vào hàm U

(x) thì U

(x) có
khơng ít hơn n nghiệm trên [a; b]. Tiếp tục lập luận như trên, ta thấy
rằng trên [a; b] đạo hàm U
(n+1)
(x) có ít nhất một nghiệm c, có nghĩa là
U
n+1
(c) = 0.
Vì L
(n+1)
n
(x) = 0 và π
(n+1)
n+1

(x) = (n + 1)! nên theo (2.9) ta có
U
(n+1)
(x) = f
(n+1)
(x) −k(n + 1)! hay k =
f
(n+1)
(c)
(n + 1)!
(2.11)
Từ (2.10) và (2.11) ta suy ra
f(x) − L
n
(x)
π
n+1
(x) =
f
(n+1)
(c)
(n + 1)!
và
f(x) − L
n
(x) =
f
(n+1)
(c)
(n + 1)!

π
n+1
(x). (2.12)
Vì x là một điểm bất kỳ của [a; b] khơng trùng với các nút nội suy nên có
thể viết (2.12) dưới dạng
R
n
(x) = f(x) − L
n
(x) =
f
(n+1)
(c)
(n + 1)!
π
n+1
(x) (2.13)
trong đó: c phụ thuộc vào x nằm trên [a; b]. Đó là cơng thức xác định số
hạng dư của đa thức nội suy L
n
(x).
Cơng thức (2.13) đúng với mọi điểm của [a; b] kể cả những điểm nút nội
suy.
Đặt M
n+1
= max
a≤x≤b


f

(n+1)
(x)


ta có đánh giá sai số tuyệt đối của đa thức
nội suy Lagrange:
|R
n
(x)| = |f(x) −L
n
(x)| ≤
M
n+1
(n + 1)!
|π
n+1
(x)| (2.14)
24
Số hóa bởi trung tâm học liệu />