Một số dạng toán về đồ thị hàm số

T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ

8.1 Cho hàm số




3
2 1 1
f x x m x
   
có đồ thị là


,
m
C m
là tham số .
8.1.1 Với giá trị nào của
m
, đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt ?. Khảo sát
sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với
2
m

.

Hướng dẫn :
Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm phương trình

     
 
   
3 2
2
1
2 1 1 0 1 1 1 2 0
1 2 0 2
x
x m x x x x m
g x x x m

 
          

    





Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình


1
có ba nghiệm
phân biệt hay phương trình


2

có hai nghiệm phân biệt khác
1

, tức là
 
8 3 0
3 3
1 3 2 0
8 2
m
m
g m

   

  

  



8.1.2 Với giá trị nào của
m
, đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ :
1
) 2
a x
 

2

) 1
a x
 

3
) 1 0
a x
  


8.2.1 Tìm giao điểm của đồ thị


C
của hàm số


3 2
3 3 2
f x x x x
   
và parabol




2
: 4 2
P g x x x
  

. Xét vị trí tương đối của đường cong


C
và parabol


P
( tức là xác định
mỗi khoảng trên đó


C
nằm phía trên hoặc dưới


P
).
8.2.2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số


3
4 3 3
f x x x
  
. Với giá trị nào của
m
,
phương trình
3

4 3 2 3 0
x x m
   
có nghiệm duy nhất ?.
8.2.3 Cho hàm số




3 2
3 3 2 1 1
f x x mx m x
    
có đồ thị là


,
m
C m
là tham số .
)
a

Chứng tỏ rằng với mỗi giá trị của
m
, đồ thị


m
C

của hàm số đã cho và đường thẳng


2 4 3
m
d y mx m
  

luôn có một điểm chung cố định .
)
b

Tìm các giá trị của
m
sao cho đường thẳng


m
d
và đường cong


m
C
cắt nhau

1
)
b

Tại ba điểm phân biệt

2
)
b

Tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương .
)
c

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi
1
m


Hướng dẫn :
)
a



2 4 3
m
d y mx m
  

luôn đi qua điểm cố định


2;3

A
và




2 3
m
f A C
  
.Để giải quyết
dạng này học sinh xem lại lý thuyết hàm số sách đại số 7 và đại số 10 .
)
b

       
2
1
0
2 3 2 1 2 0 )
4 9
9 8
m m
m
d C x x m x m b
m



 

       
 

 


:
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

8.2.4 Cho hàm số






3 2
1 2 1 2
f x x m x m x m
      
có đồ thị là


,
m
C m
là tham số .
)
a

Chứng minh rằng với mỗi giá trị của
m
, đồ thị


m
C
của hàm số đã cho luôn đi qua một điểm cố
định .
)
b

Chứng minh rằng mọi đường cong


m
C
tiếp xúac nhau tại một điểm. Viết phương trình tiếp tuyến
chung của các đường cong


m
C
tại điểm đó .
8.3.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số


4 2
4 3
f x x x

  
.Tìm các giá trị của
m
sao cho
phương trình
4 2
4 3 2 1 0
x x m
    
có 8 nghiệm?.
8.3.2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số


4 2
2 3
f x x x
   
.Với giá trị nào của
m
,
đường thẳng
8
y x m
 
là tiếp tuyến của đồ thị.
8.4 Cho hai hàm số
       
2 2
1 1
à 1

4 4
P f x x x v C g x x x
      
: :
8.4.1 Chứng minh rằng đồ thị




à
P v C

tiếp xúc nhau tại điểm
A
có hoành độ
1
x

.
8.4.2 Viết phương trình tiếp tuyến cung


t
của




à
P v C

tại điểm
A
. Chứng minh rằng


P
nằm
phía dưới đường thẳng


t
và


C
nằm phía trên


t
.
8.5.1 Chứng minh rằng các đồ thị hàm số
     
2
1
3 4, 1 à 4 6
f x x x g x v k x x x
x
        tiếp
xúc nhau tại một điểm.

8.5.2 Chứng minh rằng parabol




2
: 3 1
P f x x x
  
tiếp xúc với đồ thị


C
của hàm số
 
2
2 3
1
x x
k x
x
  


. Viết phương trình tiếp tuyến chung của




à

P v C

tại tiếp điểm của chúng.
8.5.3 Chứng minh rằng có hai tiếp tuyến của parabol




2
: 3
P f x x x
 
đi qua điểm
3 5
;
2 2
A
 

 
 
và
vuông góc nhau.
8.6 Cho hàm số
 
1
; , 1
mx
f x m m
x m


 

có đồ thị là


,
m
G m
là tham số .
8.6.1 Chứng minh rằng với mỗi
1
m

, đường cong


m
G
luôn đi qua hai điểm cố định
,
A B
.
8.6.2 Gọi
M
là giao điểm của hai đường tiệm cận của


m
G

. Tìm tập hợp của các điểm
M
khi
m
thay
đổi .
8.7.1
)
a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
   
4
2
x
f x H
x



.
)
b

Chứng minh rằng parabol


2
: 2
P y x

 
tiếp xúc với đường cong


H
. Xác định tiếp điểm và viết
phương trình tiếp tuyến chung của




à
P v H

tại điểm đó.
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

)
c

Xét vị trí tương đối cuả




à
P v H

( tức là xác định mỗi khoảng trên đó



P
nằm phía trên hay
phía dưới


H
?.
8.7.2

)
a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
   
2
1
x
f x H
x



.
)
b

Chứng minh rằng với mọi
0
m


, đường thẳng
3
y mx m
 
cắt đường cong


H
tại hai điểm phân
biệt , trong đó ít nhất một giao điểm có hoành độ lớn hơn 1.
8.8.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
 
2
3 1
x x
f x
x
 
 . Với giá trị nào của
m
, đồ thị
của hàm số cắt đường thẳng
y m

tại hai điểm phâ biệt
,
A B
. Tìm tập hợp trung điểm
M

của đoạn
thẳng
AB
khi
m
thay đổi .
8.8.2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
 
2
2 3
2
x x
f x
x
 


.Tìm các giá trị của
m
sao cho
đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt
,
A B
. Tìm tập hợp trung điểm
M
của đoạn thẳng
AB
khi
m
thay đổi .

8.8.3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
   
2
2 3 3
1
x x
f x C
x
 


.Tùy theo giá trị của
m
, biện luận số giao điểm của


: 3
d y mx m
  
và


C
. Với giá trị nào của
m
, đường thẳng


: 3
d y mx m

  
cắt đường cong


C
tại hai điểm thuộc hai nhánh của


C
.
8.9.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
 
2
1
1
x x
f x
x
 


. Với giá trị nào của
m
, phương
trình
2
1
1
x x
m

x
 


có 4 nghiệm?.
8.9.2 Cho hàm số
   
2
, 1
1
m
x m
f x m C
x

  


)
a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi
1
m

.
)
b

Với giá trị nào của

m
, đường thẳng
7
y x
  
tiếp xúc với đường cong


m
C
.
)
c

Khi
2
m

. Với giá trị nào của
a
,thì phương trình


2
2 1
x x a a
  
có 4 nghiệm phân biệt?.