Đề thi thử đại học môn Toán Vĩnh Phúc

1

TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán 12. Khối B
−
D
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (8,0 điểm)
Câu I. (2,5 điểm) Cho hàm số
3 2
3 4
y x x
= − − +

(
)
1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
(
)
1
.
2. Vớ
i nh
ữ
ng giá tr
ị
nào c
ủ

a
m
thì
đườ
ng th
ẳ
ng n
ố
i hai c
ự
c t r
ị

đồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố

(
)
1
ti
ế
p xúc v
ớ
i
đườ

ng tròn
(
)
(
)
(
)
2 2
: 1 5
C x m y m
− + − − =
Câu II. (2,5 điểm)
1. Giải phương trình:
(
)
(
)
2
3 2cos cos 2 sin 3 2cos 0
x x x x
+ − + − =
2. Giải hệ phương trình:
2 2
3 2
8 12
2 12 0
x y
x xy y
+ =



+ + =


( , )
x y
∈
ℝ
Câu III. (1,0 điểm) Tìm giới hạn:
2
3
1
7 5
lim
1
x
x x
L
x
→
+ − −
=
−

Câu IV. (1,0 điểm)
Cho tứ diện
ABCD
có
AD
vuông góc với mặt phẳng

(
)
ABC
,
3 ; 2 ; 4 ,
AD a AB a AC a
= = =

0
60
BAC
=
.Gọi
,H K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
B
trên
AC
và
CD
. Đường thẳng
HK
cắt đường thẳng
AD
tại
E
.Chứng minh rằng
BE
vuông góc với
CD

và tính thể tích khối tứ
diện
BCDE
theo a.
Câu V. (1,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2 1 4
1 2
x x
y
x x
− − +
=
+ − +
PHẦN RIÊNG (2,0 điểm).Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a. (1,0 điểm) Cho tam giác
ABC
có
( 2 ; 1 )
B
−
, đường thẳng chứa cạnh
AC
có phương trình:
2 1 0
x y
+ + =
, đường thẳng chứa trung tuyến
AM

có phương trình:
3 2 3 0
x y
+ + =
. Tính diện tích của
tam giác
ABC
.
Câu VII.a. (1,0 điểm) Tính tổng:
0 1 2 3 2012
2012 2012 2012 2012 2012
2 3 4 2013
S C C C C C
= + + + + +
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ
Oxy
, cho điểm
(
)
1 ; 0
E −
và đường tròn
(
)
2 2
: 8 4 16 0
C x y x y
+ − − − =
. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm

E
cắt đường tròn
(
)
C
theo dây cung
MN
có độ dài ngắn nhất.
Câu VIIb. (1,0 điểm)
Đề chính thức
(Đề thi gồm 01 trang)
2

Cho khai triển Niutơn
(
)
2
2 2 2 *
0 1 2
1 3 ,
n
n n
x a a x a x a x n
− = + + + + ∈
⋯ ℕ
.Tính hệ số
9
a
biết
n

thoả
mãn h ệ thức:
2 3
2 14 1
.
3
n n
C C n
+ =
Hết

ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
KỲ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG THI ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán; Khối:B+ D
(Đáp án – thang điểm: gồm 05 trang)
Câu
Đáp án
Điểm
1. (1,0 điểm)

3 2
3 4
y x x
= − − +
+ Tập xác định:
D
=
ℝ
+ Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:

2
2
' 3 6 , ' 0
0
x
y x x y
x
= −

= − − = ⇔

=

Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng
(
)
; 2
−∞ −
và
(
)
0 ;
+∞
, đồng
biến trên khoảng
(
)
2 ; 0
−
.

0,25
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại
C (0)
0 ; 4
Đ
x y y
= = =
Hàm số đạt cực tiểu tại
CT ( 2)
2 ; 0
x y y
−
= − = =
- Giới hạn:
l i m ; li m
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = −∞

0,25
- Bảng biến thiên:
x
−∞
-2 0
+∞
,
y

−

0

+


0

−
y
+∞

0
4

−∞

0,25
+ Đồ thị
0,25
2. (1,0 điểm)
I
(2,0 điể m)
Đồ
thị hàm số (1) có cực tiểu
(
)
2 ; 0
A −
,cực đại

(
)
0 ; 4
B
.Phương trình đường

0,50
3

th
ẳng nối hai cực trị của hàm số (1) là:
( )
: 1
2 4
x y
AB
+ =
−
(
)
:2 4 0
AB x y
⇔ − + =
(
)
(
)
(
)
2 2

: 1 5
C x m y m
− + − − =
có tâm
(
)
; 1
I m m
+
bán kính
5
R =

Đường thẳng
(
)
AB
tiếp xúc với đường tròn
(
)
(
)
(
)
;
C d I AB R
⇔ =
(
)
( )

2
2
2 1 4
8
5 3 5
2
2 1
m m
m
m
m
− + +
= −

⇔ = ⇔ + = ⇔

=

+ −
0,50
Đáp số :
8
m
= −
hay
2
m
=
Câu II
1.( 1,25điểm)

(2,5điểm
)
Pt:
(
)
(
)
2
3 2cos cos 2 sin 3 2cos 0
x x x x
+ − + − =
(
)
2
2 3 1 sin 3cos 2 3 3sin 2sincos 0
x x x x x
⇔ − + − + − =
(
)
(
)
3sin 3 2sin co s 3 2sin 0
x x x x
− + − =
0,50
( )( )
3 2sin 0
3 2sin 3sincos 0
3sincos 0
x

x x x
x x

− =
− + = ⇔

+ =


0,25
2
3
3
sin
2
2
2
3
1
tan
3
6
x k
x
x k
x
x k
π

= + π




=

π


⇔ = + π


= −


π


= − + π



(
)
k
∈
Z
0,25
Phương trình có ba họ nghiệm
2
2 ; 2 ;

3 3 6
x k x k x k
π π π
= + π = + π = − + π

(
)
k
∈
Z
0,25
2.( 1,25 điểm)
Hệ phương trình
(
)
( )
2 2
3 2
8 12 *
2 12 0 **
x y
x xy y
+ =



+ + =


Thế (*) vào (**) ta được:

(
)
3 2 2 2
2 8 0
x xy x y y
+ + + =
0,25
(
)
(
)
(
)
3 3 2 2
8 2 0 2 2 4 0
x y xy x y x y x xy y xy
⇔ + + + = ⇔ + − + + =
0,25
Trường hợp 1:
2 0 2
x y x y
+ = ⇔ = −
thế vào (*) ta được
2 2
12 12 1 1 2
y y y x
= ⇔ = ⇔ = ± ⇒ =
∓
0,25
4

Trường hợp 2:
2
2
2 2
0
15
4 0 0
2 4
0
2
y
y y
x x y y x
y
x
=


 
− + = ⇔ − + = ⇔

 
− =
 



0
x y

⇒ = =
không thoả mãn (*) hệ vn
0,25
Đáp số:
(
)
(
)
(
)
; 2 ; 1 , 2 ; 1
x y
= − −
0,25
Câu III
(1,0 điểm)
2 2
3 3
1 1 1
7 5 7 2 2 5
li m li m li m
1 1 1
x x x
x x x x
L
x x x
→ → →
+ − − + − − −
= = +
− − −

0,25
( ) ( )
(
)
( )
(
)
2 2
3
2
2
1 1
3
3
2 5
7 2
lim lim
1 2 5
1 7 2 7 4
x x
x
x
x x
x x x
→ →
− −
+ −
= +
 
− + −

− + + + +
 
 
0,25
( )
(
)
22
1 1
3
3
1 1 1 1 7
lim lim
12 2 12
2 5
7 2 7 4
x x
x
x
x x
→ →
+
= + = + =
 
+ −
+ + + +
 
 
0,25
Vậy :

7
12
L
=
0,25
Câu IV
(1,0 điểm)
Vì
(
)
;
BH AC BH AD BH ACD BH CD
⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
mà
(
)
BK CD CD BHK CD BE
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

0,25
Từ gt ta có
0 2 2
1 1 3
sin60 8 2 3
2 2 2
ABC
S AB AC a a
∆
= ⋅ ⋅ = =

0
1
cos 60 2 .
2
AH AB a a
= = =
0,25
Vì
(
)
CD BHK CD KE AEH ACD
⊥
⇒
⊥
⇒
∆ ∆
∼
do đó
4 4 13
3
3 3 3
AE AH AH AC a a a
AE DE a
AC AD AD
⋅
= ⇒ = = ⇒ = + =
0,25
3
2
. .

1 1 13 26 3
2 3
2 3 3 9
BCDE D ABC E ABC ABC
a a
V V V DE S a
∆
⋅
= + = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

0,25
Câu V
(1,0 điểm)
2 1 4
1 2
x x
y
x x
− − +
=
+ − +
Tập xác định của hàm số là
[
]
0 ; 1
D =

Đặ
t
c os

0 ;
2
1 sin
x t
t
x t

=
π
 

 
∈

 
 
 
 
− =


0,25
Khi
đ
ó
( )
2cos sin 4
c os sin 2
t t
y f t

t t
− +
= =
+ +
v
ớ
i
0 ;
2
t
π
 
∈
 
 
0,25
5

xét hàm số
( )
2cossin 4
cos sin 2
t t
f t
t t
− +
=
+ +
với
0 ;

2
t
π
 
∈
 
 
( )
( )
'
2
3 6cos
0 0 ;
2
sin cos 2
t
f t t
t t
− −
π
 
= < ∀ ∈
 
+ +
 
vậy hàm số
(
)
f t
liên tục và

nghịch biến trên đoạn
0 ;
2
π
 
 
 
0,25
do đó
( ) ( ) ( )
0 0 ; 1 2 0 ;
2 2 2
f f t f t f t t
π π π
     
≤ ≤ ∀ ∈ ⇔ ≤ ≤ ∀ ∈
 
   
     
giá trị lớn nhất của
(
)
(
)
m a x 0 2 0 0
y f t f t x
= = = ⇔ = ⇔ =
giá trị nhỏ nhất của
( )
m i n 1 1

2 2
y f t f t x
π π
 
= = = ⇔ = ⇔ =
 
 
0,25
câu VIA
(1,0 điểm)
Do
:
C dt
∈
2
2 1 0 ( , 2 1 ) ,
2
a
x y C a a M a
−
 
+ + = ⇒ − − ⇒ −
 
 
:
M dt∈
3 2 3 0 0 (0, 1 )
x y a C
+ + =
⇒

=
⇒
−
.
Toạ độ
A
là nghiệm h ệ
3 2 3 0
( 1 , 3 ) ( 1 , 2 ) 5
2 1 0
x y
A AC AC
x y
+ + =

⇒ − ⇒ − ⇒ =

+ + =

   
0,50
Kẻ
( )
BH AC H AC⊥ ∈
4 1 1
2 1
( , ) . 1
2
5 5
ABC

BH d B AC S AC BH
− + +
= = = ⇒ = =
(dvdt).
Vậy
1
ABC
S
=
(dvdt).
0,50
Câu 7A
(1,0điểm )
0 1 2 3 2012
2012 2012 2012 2012 2012
2 3 4 2013
S C C C C C
= + + + + +

Ta có
( )
( )
1
2012 2012 2012 2012 2011 2012
2012!
1 2012
! 2012 !
k k k k k k
k C kC C k C C C
k k

−
+ = + = + = +
−
với
0,1,2, ,2012
k
∀ =
0,25
6

(
)
(
)
0 1 2011 0 1 2012
2011 2011 2011 2012 2012 2012
2012S C C C C C C= + + + + + + +⋯ ⋯

0,25
(
)
(
)
2011 2012
2011 2012 2012
2012 1 1 1 1 2012 2 2 1007 2
S = + + + = ⋅ + = ⋅
0,25
Vậy
2012

1007 2
S
= ⋅

0,25
Câu VI B
(1,0 điểm)
Đường tròn
( )C
có bán kính
6
R
=
và tâm
(4;2)
I

Khi đó:
29 6 ,
IE R
= < =
suy ra
điểm
E
nằm trong hình tròn
( )C
.
Giả sử đường thẳng
∆
đi qua

E
cắt
( )
C
tại
M
và
N
. Kẻ
IH
⊥ ∆
.
Ta có
( , )
IH d I IE
= ∆ ≤
.
0,50
Như vậy để
MN
ngắn nhất
IH
⇔
dài nhất
H E
⇔ ≡ ⇔ ∆
đi qua
E
và
vuông góc với

IE
0,25
Ta có
(5; 2)
EI
=
  
nên đường thẳng
∆
đi qua
E
và vuông góc với
I E
có
phương trình là:
5( 1 ) 2 0 5 2 5 0
x y x y
+ + = ⇔ + + =
.
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình:
5 2 5 0
x y
+ + =
.
0,25
Câu 7B
(1,0 điểm )
….
(
)

2
2 2 2 *
0 1 2
1 3 ,
n
n n
x a a x a x a x n
− = + + + + ∈
⋯ ℕ
.
Tính hệ số
9
a
biết
n
thoả mãn hệ thức:
2 3
2 14 1
.
3
n n
C C n
+ =
Điều kiện
*
, 3
n n
∈
≥ℕ
( ) ( )

( ) ( )( )
2 14 1 4 28 1
! !
1 1 2
3
2! 2 ! 3 ! 3 !
GT
n n
n n n n n n n
n n
⇔ + = ⇔ + =
− − −
− −
0,50
2
3
9
7 18 0
n
n
n n
≥

⇔ ⇔ =

− − =

0,25
Từ đó
( )

( )
18
18
2
18
0
1 3 1 3
k
k
k k
k
x C x
=
− = −
∑

Do đó hệ số của
9
9 18
81 3 3938220 3
a C= − = −
0,25
Lưu ý khi chấm bài:
-Đáp án trình bày một cách giải gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh.
Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
7

-Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
-Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không
được điểm.

-Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
Hết