Đối ngẫu của bài toán tối ưu lồi luận án thạc sĩ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
TỐNG THỊ LIỄU
ĐỐI NGẪU CỦA BÀI TOÁN TỐI
ƯU LỒI
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số:60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đỗ Văn Lưu
Thái Nguyên: 08/2013
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
MỤC LỤC
Mục lục
Mở đầu 2
Chương 1. LIÊN HỢP CỦA HÀM LỒI 4
1.1. Chính quy hóa Gamma 4
1.2. Hàm liên hợp 7
1.3. Định lý H¨ormander 12
1.4. Bổ đề Farkas suy rộng 14
Chương 2. ĐỐI NGẪU CỦA CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU
LỒI 19
2.1. Đối ngẫu dưới ngôn ngữ hàm Lagrange 19
2.2. Đối ngẫu Lagrange và các hàm khả vi Gâteaux 26
2.3. Đối ngẫu của bài toán biên 29
2.4. Đối ngẫu dưới ngôn ngữ hàm liên hợp 35
Kết luận 46
Tài liệu tham khảo 47
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
MỞ ĐẦU
Lý thuyết đối ngẫu là một bộ phận quan trọng của lý thuyết tối ưu

hóa và có nhiều ứng dụng trong tối ưu hóa và toán ứng dụng. Với một
bài toán tối ưu, người ta thường nghiên cứu một bài toán liên quan chặt
chẽ với nó mà ta gọi là bài toán đối ngẫu. Nếu bài toán xuất phát là bài
toán cực tiểu thì bài toán đối ngẫu là bài toán cực đại. Người ta mong
muốn bài toán đối ngẫu dễ xử lý hơn bài toán xuất phát. Các loại bài
toán đối ngẫu thường được nghiên cứu là đối ngẫu Lagrange, đối ngẫu
Wolfe và đối ngẫu Mond-Weir với các định lý đối ngẫu yếu và mạnh.
Các định lý đối ngẫu mạnh cho ta các điều kiện để giá trị hàm mục tiêu
của bài toán xuất phát và bài toán đối ngẫu bằng nhau.
Lý thuyết đối ngẫu cho các bài toán tối ưu lồi được nhiều tác giả trong
và ngoài nước quan tâm nghiên cứu và thu được nhiều kết quả đẹp (xem
chẳng hạn [5], [2], [4] và các tài liệu tham khảo trong các công trình đó).
Chính vì vậy mà em chọn đề tài "Đối ngẫu của bài toán tối ưu lồi". Đề
tài này có tính thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm
nghiên cứu.
Luận văn tập trung trình bày lý thuyết đối ngẫu cho các bài toán tối
ưu lồi bao gồm định lý đối ngẫu Lagrange, định lý đối ngẫu tổng quát,
các định lý đối ngẫu cho bài toán với các hàm khả vi Gâteaux, đối ngẫu
của bài toán giá trị biên, đối ngẫu dưới ngôn ngữ hàm giá trị và hàm
nhiễu.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục
các tài liệu tham khảo.
Chương 1. Liên hợp của hàm lồi
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Trình bày một số kết quả về liên hợp của hàm lồi. Kết quả chỉ ra rằng
một hàm lồi nửa liên tục dưới là bao đóng trên của các hàm afine liên
tục. Khái niệm hàm liên hợp (liên hợp Fenchel) được trình bày cùng với
định lý song liên hợp, định lý về liên hợp của tổng hai hàm qua tổng
chập infimal của hai hàm liên hợp. Chương này cũng trình bày định lý

H¨ormander mô tả một tập trong E
∗
qua các phiếm hàm dưới tuyến tính,
nửa liên tục dưới trên E, định lý về song cực, bổ đề Farkas suy rộng.
Chương 2. Đối ngẫu của các bài toán tối ưu lồi
Trình bày lý thuyết đối ngẫu cho bài toán tối ưu lồi bao gồm định lý
đối ngẫu Lagrange cho bài toán lồi với hữu hạn ràng buộc tập, định lý
đối ngẫu tổng quát, các định lý đối ngẫu cho bài toán với các hàm khả
vi Gâteaux, đối ngẫu của bài toán giá trị biên, đối ngẫu dưới ngôn ngữ
hàm giá trị và hàm nhiễu.
Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS
Đỗ Văn Lưu, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành bản
luận văn này. Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa toán,
phòng đào tạo sau đại học trường Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên cùng các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy khóa học. Xin
chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên
trong lớp cao học toán K5 đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi
trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn.
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2013
Tác giả
Tống thị Liễu
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1
LIÊN HỢP CỦA HÀM LỒI
Chương 1 trình bày một số kết quả về liên hợp của hàm lồi. Kết quả chỉ
ra rằng một hàm lồi nửa liên tục dưới là bao đóng trên (upper envelope)
của các hàm afine liên tục. Khái niệm hàm liên hợp được trình bày cùng
với các định lý về song liên hợp, định lý về liên hợp của tổng hai hàm
qua tổng chập infimal của hai hàm liên hợp. Chương này cũng trình bày

định lý H¨ormander về việc mô tả một tập trong E
∗
qua các hàm dưới
tuyến tính, nửa liên tục dưới trên E, định lý về song cực và bổ đề Farkas
suy rộng. Các kết quả trình bày trong chương này được tham khảo trong
các tài liệu [5], [1], [6].
1.1 Chính quy hóa Gamma
Trong chương này ta kí hiệu (E, E
∗
) là cặp đối ngẫu của các không
gian lồi địa phương. Trong phần này, ta sẽ chỉ ra rằng một hàm lồi nửa
liên tục dưới là bao trên của các hàm affine liên tục.
Định nghĩa 1.1.1
Với f : E → R = R ∪ {±∞}, ta đặt
A(f) :=

a : E → R|a là hàm affine liên tục, a ≤ f

.
f
Γ
: E →
R được định nghĩa bởi
f
Γ
(x) := sup {a(x)|a ∈ A(f)} , x ∈ E
được gọi là chính quy hóa Gamma của hàm f. Ta quy ước sup ∅ := −∞.
Cho hàm f : M ⊆ E → R. Miền hữu hiệu (effective domain) của f được
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

định nghĩa như sau (xem [1]):
domf = {x ∈ M|f(x) < +∞} .
Hàm f được gọi là chính thường (proper) nếu domf = ∅ và f(x) >
−∞(∀x ∈ M).
Mệnh đề 1.1.1
Nếu f : E → R là hàm chính thường, thì các phát biểu dưới đây là
tương đương:
(a) f = f
Γ
;
(b) f là liên tục nửa dưới và lồi .
Chứng minh
(a) ⇒ (b) : Hiển nhiên.
(b) ⇒ (a): Rõ ràng là f
Γ
≤ f. Bây giời giả sử rằng với x
0
nào đó thuộc E
và một k nào đó thuộc R, ta có f
Γ
(x
0
) < k < f(x
0
). Ta chỉ ra rằng tồn
tại a ∈ A(f) thỏa mãn k < a(x
0
) thì dẫn đến một mâu thuẫn f
Γ
(x

0
) > k.
Bởi vì f là nửa liên tục dưới, cho nên epif đóng. Hơn nữa epif lồi và
(x
0
, k) ∈ epif. Theo định lý tách mạnh 1.5.9[5], áp dụng với A := epif
và B := {(x
0
, k)}, tồn tại ω ∈ (E × R)
∗
và α ∈ R sao cho
ω(x, t) ≤ α, ∀(x, t) ∈ epif và ω(x
0
, k) > α. (1.1)
Chúng ta có
ω(x, t) = x
∗
, x + ct, trong đó x
∗
, x := ω(x, 0), c := ω(0, 1). (1.2)
Rõ ràng là x
∗
∈ E
∗
. Hơn nữa, bởi vì (x, t) ∈ epif kéo theo (x, t

) ∈ epif,
với mỗi t

> t, ta có

c ≤
α − x
∗
, x
t

, ∀t

> max {0, t} .
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Do đó, cho t

→ +∞, ta nhận được c ≤ 0. Bây giờ chúng ta phân biệt
hai trường hợp.
Trường hợp 1. Giả sử rằngf(x
0
) < +∞. Khi đó, (1.1) với t := f(x
0
)
và (1.2) kéo theo
x
∗
, x
0
 + cf(x
0
) ≤ α < x
∗
, x

0
 + ck.
Bởi vì k < f(x
0
), ta suy ra c < 0. Hàm số a : E → R xác định bởi
a(x) :=
α
c
−
1
c
x
∗
, x , x ∈ E
là hàm affine liên tục. Nếu x ∈ domf, từ (1.1) ta có
a(x) :=
1
c
(α − ω(x, f(x))) + f(x) ≤ f(x).
Nếu x /∈ domf, thì a(x) < +∞ = f(x). Vì vậy, a ∈ A(f). Hơn nữa, ta
có
a(x
0
) =
1
c
(α − x
∗
, x
0

) > k.
Trường hợp 2: Giả sử rằng f(x
0
) = +∞. Nếu c < 0, thì ta định nghĩa
hàm số a như trong trường hợp 1. Bây giờ giả sử rằng c = 0. Bởi vì f là
hàm chính thường, tồn tại y
0
∈ domf. Theo trường hợp 1, với y
0
thay
cho x
0
, tồn tại a
0
∈ A(f). Định nghĩa a : E → R như sau
a(x) := a
0
(x) + ρ(x
∗
, x − α) trong đó ρ :=
|k − a
0
(x
0
)|
x
∗
, x
0
− α

+ 1.
Khi đó a là hàm affine liên tục. Hơn nữa, ta có a(x) ≤ a
0
(x) ≤ f(x), với
mỗi x ∈ domf. Như vậy, a ∈ A(f).
Cuối cùng, lưu ý rằng
a
0
(x
0
) + |k − a
0
(x
0
)| ≥ k và x
∗
, x
0
 > α.
Khi đó, ta có
a(x
0
) = a
0
(x
0
) + |k − a
0
(x
0

)| + x
∗
, x
0
 − α > k.
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chứng minh được hoàn thành. 
1.2 Hàm liên hợp
Khái niệm về hàm liên hợp có nguồn gốc từ phép biến đổi của tích
các phép biến đổi Legendre trong phép tính biến phân sẽ rất quan trọng
cho lý thuyết đối ngẫu trong tối ưu lồi.
Định nghĩa 1.2.1
Cho f : E → R. Hàm số f
∗
: E
∗
→ R định nghĩa bởi
f
∗
(x
∗
) := sup
x∈E
(x
∗
, x − f(x)), x
∗
∈ E
∗

,
được gọi là liên hợp Fenchel (hay ngắn gọn là liên hợp) của hàm f.
Nếu f là hàm chính thường, định nghĩa kéo theo bất đẳng thức Young
x
∗
, x ≤ f(x) + f
∗
(x
∗
), ∀x ∈ E, ∀x
∗
∈ E
∗
. (1.3)
Ví dụ 1.2.1
Cho p ∈ (0, +∞), định nghĩa f : R → R bởi f(x) :=
|x|
p
p
. Ta tính
f
∗
. Cho E = R, ta có E
∗
= R. Với mỗi x
∗
∈ R cố định, đặt ϕ(x) :=
x
∗
x − f(x). Hàm ϕ : R → R là hàm lõm (nghĩa là −ϕ là hàm lồi)

và khả vi. Do đó, ϕ có một cực đại duy nhất x
0
thỏa mãn ϕ

(x
0
) =
0, tức là x
∗
− sgn(x
0
)|x
0
|
p−1
= 0. Ta suy ra
f
∗
(x
∗
) = ϕ(x
0
) =
|x
∗
|
q
q
, trong đó
1

q
+
1
p
= 1.
Như vậy, trong trường hợp này, bất đẳng thức Young(1.3) chỉ là bất
đẳng thức Young cổ điển cho các số thực:
x
∗
x ≤
|x

|
p
p
+
|x
∗
|
p
q
.
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mệnh đề 1.2.1
Nếu f : E → R, thì các phát biểu dưới đây đúng :
(a) f
∗
là hàm lồi nửa liên tục dưới.
(b) Nếu domf = ∅, thì f

∗
(x
∗
) > −∞ với mọi x
∗
∈ E
∗
.
(c) Nếu f là hàm chính thường, lồi và nửa liên tục dưới, thì f
∗
là hàm
chính thường, lồi và nửa liên tục dưới.
Chứng minh
(a) Dễ dàng thấy rằng f
∗
lồi. Để chứng minh khẳng định thứ hai, chú ý
rằng với mỗi x ∈ E, các hàm số ϕ
x
(x
∗
) := x
∗
, x − f(x), x
∗
∈ E
∗
liên
tục, và như vậy f
∗
= sup

x∈E
ϕ
x
là nửa liên tục dưới.
(b) Hiển nhiên.
(c) Bởi vì f là hàm chính thường, ta có A(f) = ∅. Do đó, tồn tại x
∗
∈
E
∗
và c ∈ R sao cho x
∗
, x + c ≤ f(x), với cho mỗi x ∈ E. Từ đó suy
ra
f
∗
(x
∗
) = sup
x∈E
(x
∗
, x − f(x)) ≤ −c < +∞.
Do đó x
∗
∈ domf
∗
. 
Cho g : E
∗

→ R, hàm liên hợp g
∗
: E → R được định nghĩa tương tự
bởi
g
∗
(x) := sup
x
∗
∈E
∗
(x
∗
, x − g(x
∗
)), x ∈ E.
Bây giờ giả sử f : E → R. Với g := f
∗
, ta có hàm song liên hợp
f
∗∗
: E → R của f:
f
∗∗
(x) = sup
x
∗
∈E
∗
(x

∗
, x − f
∗
(x
∗
)) , x ∈ E.
Định lý 1.2.1
Cho f : E → R.
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(a) Ta có f
∗∗
= f
Γ
≤ f.
(b) Nếu f là hàm chính thường, thì f
∗∗
= f nếu và chỉ nếu f là lồi và
nửa liên tục dưới.
Chứng minh
(a) Rõ ràng f
Γ
≤ f. Ta chỉ ra rằng f
∗∗
= f
Γ
. Với x
∗
∈ E
∗

và c ∈ R, ta
có
x
∗
, x + c ≤ f(x), ∀x ∈ E ⇔ f
∗
(x
∗
) = sup
x∈E
(x
∗
, x − f(x)) ≤ −c.
Như vậy,
f
Γ
(x) = sup {x
∗
, x + c|x
∗
∈ E, c ∈ R, c ≤ −f
∗
(x
∗
)} (1.4)
Nếu f
∗
(x
∗
) > −∞, ∀x

∗
∈ E
∗
, thì
f
Γ
(x) =
(2.4)
sup {x
∗
, x − f
∗
(x
∗
)|x
∗
∈ E
∗
} = f
∗∗
(x), ∀x ∈ E
Nếu f
∗
(x
∗
) = −∞ với x
∗
nào đó thuộc E
∗
, thì

f
Γ
(x) = +∞ = f
∗∗
(x), ∀x ∈ E.
(b) Được suy ra từ (a) và mệnh đề 1.1.1. 
Ví dụ 1.2.2
Cho hàm chỉ δ
A
của một tập hợp con khác rỗng A của E. Ta có
δ
∗
A
(x
∗
) = σ
A
(x
∗
), ∀x
∗
∈ E
∗
,
Trong đó δ
A
: E
∗
→
R là hàm tựa của A. Nếu E là không gian véctơ

định chuẩn và A = B
E
(hình cầu đơn vị đóng trong E), thì
δ
∗
B
E
(x
∗
) = σ
B
E
(x
∗
) = sup
||x||≤1
x
∗
, x = ||x
∗
||, ∀x
∗
∈ E
∗
.
Ví dụ 1.2.3
Cho E là một không gian véctơ định chuẩn và f(x) = ||x||, x ∈ E.
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Xét cặp đối ngẫu sau (E[||.||], E

∗
[σ(E
∗
, E)]). Xác định f
∗
:
(I) Cho x
∗
∈ E
∗
, ||x
∗
|| ≤ 1. Khi đó, x
∗
, x ≤ ||x
∗
||||x|| ≤ ||x||, ∀x ∈
E và x
∗
, 0 = 0 = ||0||. Do đó
f
∗
(x
∗
) = sup
x∈E
(x
∗
, x − ||x||) = 0
(II) Cho x

∗
∈ E
∗
, ||x
∗
|| > 1. Khi đó, tồn tại x
0
∈ E sao cho α := x
∗
, x
0
−
||x
0
|| > 0. Với mỗi ρ > 0 ta có x
∗
, ρx
0
 − ||ρx
0
|| = αρ. Cho ρ → +∞
ta thấy rằng f
∗
(x
∗
) = +∞. Do đó f
∗
= δ
B
E

∗
. Vì vậy,
||x|| = f(x) = f
∗∗
(x) = δ
∗
B
E
∗
(x) = sup
||x
∗
||≤1
x
∗
, x , ∀x ∈ E.
Ở đây dấu bằng thứ hai suy ra từ định lý 1.2.1 và dấu bằng cuối cùng
suy ra bằng cách áp dụng ví dụ 1.2.2 cho E
∗
thay cho E. Như một hệ
quả của định lý Hahn-Banach cận trên đúng đạt được, nghĩa là
||x|| = max
||x
∗
||≤1
x
∗
, x , ∀x ∈ E.
Định nghĩa 1.2.2
Cho f

0
, f
1
: E → R là hàm chính thường. Hàm f
0
⊕ f
1
: E → R định
nghĩa bởi
f
0
⊕ f
1
(x) := inf
y∈E
(f
0
(x − y) + f
1
(y)), ∀x ∈ E
được gọi là tổng chập infimal của f
0
và f
1
.
Định lý 1.2.2[1]
Cho f
0
, f
1

: E → R là các hàm chính thường.
(a) Ta có
f
∗
0
+ f
∗
1
= (f
0
⊕ f
1
)
∗
và (f
0
+ f
1
)
∗
≤ f
∗
0
⊕ f
∗
1
.
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(b) Giả thiết thêm rằng f

0
và f
1
lồi và tồn tại x ∈ domf
0
∩intdomf
1
sao
cho f
1
là liên tục tại x. Khi đó ta có
(f
0
+ f
1
)
∗
= f
∗
0
⊕ f
∗
1
.
Hơn nữa, mỗi x
∗
∈ dom(f
0
+f
1

)
∗
tồn tại x
∗
i
∈ domf
∗
i
, với i = 0, 1 sao
cho
x
∗
= x
∗
0
+ x
∗
1
và (f
0
+ f
1
)
∗
(x
∗
) = f
∗
0
(x

∗
0
) + f
∗
1
(x
∗
1
), (1.5)
tức là, cận dưới đúng trong (f
∗
0
⊕ f
∗
1
)(x
∗
) đạt được.
Như một ứng dụng đơn giản của hàm liên hợp, ta dẫn một công thức
đối ngẫu của lý thuyết xấp xỉ. Nhớ lại rằng nếu A ⊆ E ta gọi d
A
là hàm
khoảng cách : d
A
(x) := inf
y∈A
||x − y||.
Mệnh đề 1.2.2
Nếu A ⊆ E khác rỗng và lồi, thì
d

A
(x) := max
||x
∗
||≤1
(x
∗
, x − sup
y∈E
x
∗
, y), ∀x ∈ E.
Chứngminh
Đặt f
0
(x) := ||x|| và f
1
(x) := δ
A
(x), ta có
(f
0
⊕ f
1
)(x) = inf
y∈E
(||x − y|| + δ
A
(y)) = d
A

(x).
Hơn nữa đặt B := B
E
∗
. Bởi vì hàm khoảng cách x → d
A
(x) là hàm chính
thường, lồi và liên tục trên E, ta nhận được
d
A
(x) = (f
0
⊕ f
1
)
∗∗
(x) = (f
∗
0
+ f
∗
1
)
∗
(x)
= sup
x
∗
∈E
∗

(x
∗
, x − (δ
B
(x
∗
) + sup
y∈A
x
∗
, y)).
= sup
x
∗
∈B
(x
∗
, x − sup
y∈A
x
∗
, y).
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Bởi vì với tôpô σ(E
∗
, E), B là compact (Định lý Alaoglu) và các hàm
x
∗
→ x

∗
, x − sup
y∈A
x
∗
, y là nửa liên tục trên, cho nên cận trên đúng
trên B đạt được và là giá trị lớn nhất. 
1.3 Định lý H¨ormander và định lý về song cực
Nhớ lại rằng hàm tựa σ
M
của tập M ⊆ E
∗
được định nghĩa bởi
σ
M
(x) := sup
x
∗
∈E
x
∗
, x , ∀x ∈ E.
Định lý 1.3.1( Định lý H¨ormander )
(a) Cho M là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của E
∗
. Khi đó, hàm tựa
σ
M
là hàm chính thường, dưới tuyến tính và nửa liên tục dưới, và
M = {x

∗
∈ E
∗
| x
∗
, x ≤ σ
M
(x), ∀x ∈ E} . (1.6)
(b) Cho p : E → R là hàm chính thường, dưới tuyến tính, và nửa liên
tục dưới. Khi đó, tập
M
p
:= {x
∗
∈ E
∗
| x
∗
, x ≤ p(x), ∀x ∈ E} ,
khác rỗng, lồi, đóng và ta có σ
M
p
= p.
(c) Nếu M
1
và M
2
là các tập con khác rỗng, lồi và đóng của E
∗
, thì

M
1
⊆ M
2
⇔ σ
M
1
(x) ≤ σ
M
2
(x), ∀x ∈ E.
Chứng minh
(a) Dễ thấy rằng σ
M
là hàm chính thường, dưới tuyến tính và nửa liên
tục dưới. Ta chỉ ra (1.6) đúng.Theo định lý 1.2.1 và ví dụ 1.2.2 (với
E
∗
thay cho E) chúng ta nhận được
σ
M
= (σ
∗
M
)
∗
= σ
∗
M
,

12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
σ
∗
M
(x
∗
) = sup
x∈E
(x
∗
, x − σ
M
(x)) = δ
M
p
(x
∗
), ∀x
∗
∈ E
∗
,
ở đây p := σ
M
. Vì vậy δ
M
= δ
M
p

và như vậy M = M
p
.
(b) (I) M
p
= ∅ : Bởi vì p là nửa liên tục dưới và p(0) = 0, tồn tại một
lân cận U của 0 trong E sao cho −1 < p(x) với mỗi x ∈ U. Định nghĩa
q : E → R bởi q(x) := 1 với x ∈ U và q(x) := +∞ với x ∈ E\U.
Theo định lý 1.5.2 [5] tồn tại x
∗
∈ E
∗
và c ∈ R thỏa mãn
x
∗
, x + c ≤ p(x), ∀x ∈ E,
và
−1 ≤ x
∗
, x + c, ∀x ∈ U.
Bởi vì p là dưới tuyến tính, ta suy ra x
∗
, x ≤ p(x), với mỗi x ∈ E và
như vậy x
∗
∈ M
p
.
(II) M
p

đóng : ∀x ∈ E đặt ϕ
x
(x
∗
) := x
∗
, x , x
∗
∈ E
∗
. Khi đó, ϕ
x
liên
tục. Do đó, tập hợp
M
x
:= {x
∗
∈ E
∗
| x
∗
, x ≤ p(x)} = ϕ
−1
x
(−∞, p(x)]
đóng, và như vậy là M
p
=


x∈E
M
x
.
(III) σ
M
p
= p. Chúng ta có
p
∗
(x
∗
) := sup
x∈E
(x
∗
, x − p(x)) = δ
M
p
.
Theo định lý 1.2.1 và ví dụ 1.2.2 ta có
p = p
∗∗
= δ
∗
M
p
= σ
M
p

.
(c) Suy luận ” ⇒ ” đúng theo định nghĩa, và suy luận ” ⇐ ” là một hệ
quả của (1.6) 
Nếu A ⊆ E là khác rỗng, thì nón cực của tập A:
A
◦
:= {x
∗
∈ E
∗
| x
∗
, x ≤ 0, ∀x ∈ A}
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
là một nón lồi. Hơn nữa, nón song cực của A là
A
◦◦
:= {x ∈ E| x
∗
, x ≤ 0, ∀x
∗
∈ A
◦
} .
Chúng ta ký hiệu ccA là giao của tất cả các nón lồi đóng chứa A.
Bổ đề 1.3.1[5]
(a) Nếu A ⊆ E khác rỗng, thì (ccA)
◦
= A

◦
.
(b) Nếu A ⊆ E là khác rỗng và lồi, thì
ccA = cl(∪
λ≥0
λA).
Mệnh đề 1.3.1(Định lý song cực)
Nếu A ⊆ E khác rỗng, thì A
◦◦
= ccA.
Chứng minh
Đặt C := ccA.Từ định lý 1.3.1(a) với vai trò của E và E
∗
được tráo
đổi, chúng ta có
C = {x ∈ E| x
∗
, x ≤ σ
C
(x
∗
), ∀x
∗
∈ E
∗
} .
Bởi vì C là một nón chứa 0, ta có σ
C
= δ
◦

C
. Do đó, C = C
◦◦
, và bổ đề
1.3.1(a) cho thấy rằng C
◦◦
= A
◦◦

1.4 Bổ đề Farkas suy rộng
Trong phần này ta đặc trưng nghiệm của hệ các phương trình và bất
phương trình. Ta đưa vào các giả thiết sau đây:
(H) (E, E
∗
) và (F, F
∗
) là các cặp đối ngẫu các không gian lồi địa phương.
P ⊆ E và Q ⊆ F là các nón lồi, đóng.
T : E → F là ánh xạ tuyến tính liên tục.
Nhắc lại rằng các ánh xạ liên hợp T
∗
: F
∗
→ E
∗
của T được xác định
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
bởi
T

∗
y
∗
, x = y
∗
, T x , ∀x ∈ E, ∀y
∗
∈ F
∗
.
Bổ đề 1.4.1
Ta có
cl(P
◦
+ T
∗
(Q
◦
)) = (P ∩ T
−1
(Q))
◦
.
Chứng minh
Với bất kỳ x ∈ E ta có
x ∈ (P
◦
+ T
∗
(Q

◦
))
◦
⇔ y

, x + z
∗
, T x ≤ 0, ∀(y

, z
∗
) ∈ P
◦
× Q
◦
⇔ (x, T x) ∈ (P
◦
× Q
◦
)
◦
.
Bởi vì (P
◦
× Q
◦
)
◦
= P
◦◦

× Q
◦◦
= P × Q (theo định lý song cực) ta có
(P
◦
+ T
∗
(Q
◦
))
◦
= P ∩ T
−1
(Q),
và áp dụng định lý song cực ta suy ra khẳng định này. 
Một hệ quả trực tiếp của bổ đề 1.4.1 là :
Mệnh đề 1.4.1 (Bổ đề Farkas suy rộng)
Nếu P
◦
+ T
∗
(Q
◦
) đóng, thì với mỗi x
∗
∈ E
∗
các phát biểu dưới đây
là tương đương:
(a) ∃z

∗
∈ Q
◦
: x
∗
− T
∗
z
∗
∈ P
◦
.
(b) ∀x ∈ P : Tx ∈ Q ⇒ x
∗
, x ≤ 0.
Kết quả thường được phát biểu dưới ngôn ngữ phủ định của (b) là:
(b) ∃x ∈ P : Tx ∈ Q và x
∗
, x > 0.
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Nhận xét 1.4.1
Mệnh đề 1.4.1 nói rằng (a) hoặc (b) đúng. Trong công thức này kết
quả được gọi là định lý thay thế.
Đặc biệt, nếu P = E, như vậy P
◦
= {0}, thì mệnh đề 1.4.1 cho ta
điều kiện cần và đủ để phương trình toán tử tuyến tính T
∗
z

∗
= x
∗
có
một nghiệm z
∗
thuộc nón Q
◦
.
Ta có điều kiện đủ để P
◦
+ T
∗
(Q
◦
) là đóng sau đây.
Mệnh đề 1.4.2
Nếu E và F là các không gian Banach và T (E) − Q = F, thì P
◦
+
T
∗
(Q
◦
) là σ(E
∗
, E) - đóng.
Chứng minh
Chú ý rằng tôpô σ(E
∗

, E) trong E
∗
được gọi là tôpô yếu *. Ta chỉ ra
rằng với bất kỳ ρ > 0, tập hợp
K := (P
◦
+ T
∗
(Q
◦
)) ∩ B
E
∗
(0, ρ)
là đóng trong B
E
∗
(0, ρ). Sau đó khẳng định sẽ được đưa ra bởi định lý
Krein - Smulian (Định lý 1.6.8[5]). Giả sử (z
∗
α
) là một lưới (dãy suy rộng)
trong K hội tụ tới z
∗
nào đó thuộc B
E
∗
(0, ρ). Khi đó, tồn tại các lưới
(x
∗

α
) trong P
◦
và (y

α
) trong Q
◦
sao cho z
∗
α
= x
∗
α
+ T
∗
y

α
với α bất kỳ.
Cho z ∈ F . Bởi vì T (P ) − Q = F , tồn tại x ∈ P và y ∈ Q thỏa mãn
z = Tx − y. Do đó, với bất kỳ α ta có

y

α
, z

=


y

α
, T x

−

y

α
, y

≥

T
∗
y

α
, x

= z
∗
α
, x − x
∗
α
, x ≥ z
∗
α

, x ≥ −ρ||x||.
Tương tự, tồn tại x ∈ P sao cho

y

α
, −z

≥ −ρ||x||, ∀α.
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Do đó, lưới (y

α
) bị chặn điểm. Vì vậy, theo định lý Banach - Steinhaus
lưới đó bị chặn chuẩn trong F
∗
. Theo định lý Alaoglu tồn tại lưới con
(y

α

) của (y

α
có giới hạn y

. Bởi vì Q
◦
đóng, ta có y


∈ Q
◦
. Bởi vì
x
∗
α

= z
∗
α

− T
∗
y

α

và z
∗
α

→ z
∗
,
ta suy ra (x
∗
α

) hội tụ tới z

∗
− T
∗
y

. Như vậy, z
∗
− T
∗
y

∈ P
◦
. Vì vậy
z
∗
∈ K. 
Ta trình bày một điều kiện đủ khác để T (P ) − Q = F .
Bổ đề 1.4.2
Nếu T(P ) ∩ intQ = ∅, thì
T (P ) − Q = F.
Chứng minh
Theo giả thiết, tồn tại x
0
∈ P sao cho T x
0
∈ intQ. Lấy V là một
lân cận của 0 trong F thỏa mãn T x
0
+ V ⊆ Q. Lấy y ∈ F . Khi đó,

ρ(−y) ∈ V với ρ > 0 nào đó, và vì vậy, z := T x
0
− ρy ∈ Q. Từ đó ta suy
ra
y = T(
1
ρ
x
0
) −
1
ρ
z ∈ T(P ) − Q.

Xét trường hợp:
E = P = R
m
, F = R
n
, Q = −R
n
+
.
Hơn nữa, giả sử A là biểu diễn ma trận của T : R
m
→ R
n
theo cơ sở
thông thường. Khi đó, T
∗

Q
◦
= A

R
n
+
là một nón đa diện (bao không
âm của các véctơ cột của A), và do đó, T
∗
Q
◦
đóng. Do đó, từ mệnh đề
1.4.1 ta suy ra hệ quả sau.
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Hệ quả 1.4.1(Bổ đề Farkas cổ điển)
Cho A là (n, m) - ma trận. Khi đó, với mỗi x
∗
∈ R
m
, các phát biểu dưới
đây là tương đương:
(a) ∃z
∗
∈ R
n
+
: A


z
∗
= x
∗
;
(b) ∀x ∈ R
m
: Ax ∈ −R
n
+
⇒ x
∗
, x ≤ 0 .
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 2
ĐỐI NGẪU CỦA CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU LỒI
Chương 2 trình bày lý thuyết đối ngẫu của bài toán tối ưu lồi bao
gồm định lý đối ngẫu Lagrange cho bài toán có ràng buộc bất đẳng thức
và ràng buộc tập, định lý đối ngẫu tổng quát, các định lý đối ngẫu cho
bài toán với hàm khả vi Gâteaux, đối ngẫu của bài toán giá trị biên, đối
ngẫu dưới ngôn ngữ hàm giá trị và hàm nhiễu. Các kết quả trình bày
trong chương này được tham khảo trong [5].
2.1 Đối ngẫu dưới ngôn ngữ hàm Lagrange
Giả sử rằng
A ⊆ E là một tập không rỗng lồi,
f, g
1
, , : A → R là các hàm lồi,
M := {x ∈ A | g

i
(x) ≤ 0(i = 1, , m))} , x ∈ M.
Ta tiếp tục nghiên cứu bài toán cực tiểu hàm f trên M. Đặt
α := inf
x∈M
f(x). (2.1)
Chúng ta định nghĩa hàm Lagrange L : A × R
m
+
→ R của bài toán (2.1):
L(x, q) := f(x) +
m

i=1
q
i
g
i
(x), ∀x ∈ A, ∀q = (q
1
, q
2
, , q
m
) ∈ R
m
+
. (2.2)
Khi đó, ta có
sup

q∈R
m
+
L(x, q) =



f(x), nếu x ∈ M,
+∞, nếu x ∈ A\M.
19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Vì vậy, chúng ta nhận được
α := inf
x∈A
sup
q∈R
m
+
L(x, q). (2.3)
Bây giờ ta xét
β := sup
q∈R
m
+
inf
x∈A
L(x, q). (2.4)
Bài toán cực tiểu gốc được mô tả bởi (2.1) và do đó bởi (2.3), được
gọi là bài toán xuất phát. Bài toán mô tả bởi (2.4) được gọi là bài toán
đối ngẫu. Chúng ta nói rằng

x ∈ A là một nghiệm của bài toán xuất
phát (2.3) nếu x ∈ M và f(x) = α, và như vậy, nếu
sup
q∈R
m
+
L(x, q) = inf
x∈A
sup
q∈R
m
+
L(x, q).
Tương tự, q ∈ R
m
+
, được gọi là một nghiệm của bài toán đối ngẫu
(2.4) nếu
inf
x∈A
L(x, q) = sup
q∈R
m
+
inf
x∈A
L(x, q).
Định lý 2.1.1 sẽ thiết lập mối quan hệ giữa hai bài toán này. Chúng ta
đưa vào điều kiện Slater:
∃x

0
∈ A : g
i
(x
0
) < 0, với i=1, ,m. (2.5)
Định lý 2.1.1 (Đối ngẫu Lagrange)
Giả sử rằng E là không gian phản xạ, tập hợp con A khác rỗng,
đóng và lồi và các hàm f, g
1
, g
2
, , g
m
là nửa liên tục dưới và lồi. Giả
thiết thêm rằng điều kiện Slater (2.5) thỏa mãn. Khi đó,
(i) α = β và bài toán đối ngẫu (2.4) có một nghiệm q ∈ R
m
+
.
(ii) Với
x ∈ M, các phát biểu sau đây là tương đương:
(a) x là một nghiệm của bài toán xuất phát (2.3).
20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(b) Hàm Lagrange L có một điểm yên ngựa (x, q) trên A × R
m
+
.
(iii) Nếu (b) đúng, thì q là một nghiệm của bài toán đối ngẫu

(2.4) và
q
i
g
i
(x) = 0, với i = 1, 2, , m.
Nhận xét 2.1.1
(a) So sánh định lý 2.1.1 và Định lý 5.2.1[5] chúng ta thấy rằng" biến
đối ngẫu "q chính là véctơ nhân tử Lagrange, tức là ta có q
i
= µ
i
với
i = 1, 2, , m.
(b) Nếu điều kiện Slater không thỏa mãn, thì sự sai khác đối ngẫu có
thể xuất hiện, có nghĩa là ta có α > β. Một ví dụ đơn giản là E =
R, A = [−1, +∞], f(x) = −x, g(x) = 1, trong đó ta có α = +∞ và
β = −∞.
Bây giờ ta thay thế hàm Lagrange L(2.2) bởi một hàm tùy ý L :
A × B → R, và xét
∝:= inf
x∈A
sup
q∈B
L(x, q) (bài toán xuất phát), (2.6)
β := sup
q∈B
inf
x∈A
L(x, q) (bài toán đối ngẫu). (2.7)

Định lý 2.1.2 ( Định lý tính đối ngẫu tổng quát )
Giả sử E, F là các không gian Banach phản xạ, và A ⊆ E và B ⊆ F
là khác rỗng, đóng và lồi, và L : A × B → R thỏa mãn
x → L(x, q) là nửa liên tục dưới và lồi trên A với mỗi q ∈ B,
q → −L(x, q) là nửa liên tục dưới và lồi trên B với mỗi x ∈ A.
Khi đó,
(i) Ta có α ≥ β (tính đối ngẫu yếu).
(ii) Với (x, q) ∈ A × B, các mệnh đề sau đây là tương đương:
21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(a) x là một nghiệm của (2.6), q là một nghiệm của (2.7) và có
α = β (tính đối ngẫu mạnh).
(b) (x, q) là một điểm yên ngựa của L trên A × B
(iii) Giả sử thêm A bị chặn hoặc là L(x, q
0
) → +∞ khi ||x|| → +∞,
x ∈ A với q
0
nào đó thuộc B. Giả sử thêm rằng α < +∞. Khi đó,
bài toán xuất phát (2.6) có một nghiệm x ∈ A và α = β.
(iv) Giả thiết thêm: B bị chặn hoặc là −L(x
0
, q) → +∞ khi ||q|| →
+ ∞, q ∈ B với x
0
nào đó thuộc A. Giả sử thêm rằng β > −∞.
Khi đó bài toán đối ngẫu (2.7) có một nghiệm q ∈ B và α = β.
Chứng minh
Chứng minh bao gồm hai bước chính. Bước 1: kết quả được kiểm
chứng vói giả thiết thêm rằng A và B bị chặn. Trong trường hợp này,

Định lý minimax Neumann có thể được áp dụng. Định lý được chứng
minh bằng cách sử dụng định lý điểm bất động của Brouwer. Bước
hai: trường hợp tổng quát được quy về trường hợp thứ nhất. Nếu A là
không bị chặn, thì ta thay thế A bởi A
n
:= {x ∈ A|||x|| ≤ n} và L bởi
L
n
(x, q) := L(x, q) +
1
n
||x||
2
. Chứng minh có thể xem trong Zeidler [6].

Chứng minh định lý 2.1.1. Đặt F := R
m
, B := R
m
+
và chú ý rằng
điều kiện Slater (2.5) kéo theo
L(x
0
, q) = f(x
0
) +
m

i=1

q
i
g
i
(x
0
) → −∞, khi ||q|| → +∞, ||q|| ∈ R
m
+

Từ định lý 2.1.2, chúng ta có thể thiết lập một nguyên lí đối ngẫu
tổng quát
22
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
• Nguyên lí đối ngẫu tổng quát
Cho bài toán cực tiểu f(x) → min, x ∈ M, tìm các tập hợp A, B và một
hàm L : A × B → R sao cho
inf
x∈M
f(x) = inf
x∈A
sup
q∈B
L(x, q),
và xét bài toán đối ngẫu sau
sup
q∈B
inf
x∈A
L(x, q).

• Trường hợp đặc biệt
Ở đây chúng ta áp dụng nguyên lí đối ngẫu cho các bài toán có dạng:
α := inf
x∈E
(f(x) + h(T x − a)). (2.8)
Dưới đây chúng ta sẽ thấy bài toán tối ưu tuyến tính có dạng này. Liên
quan với bài toán (2.8), chúng ta đưa vào các giả thiết sau đây:
(A) E và F là không gian Banach phản xạ, f : E → R và h : F → R
là các hàm chính thường, lồi và nửa liên tục dưới , T : E → F là
tuyến tính và liên tục, a ∈ F.
Đặt
A := domf, B := domh
∗
,
L(x, q) := f(x) + q, T x − a − h
∗
(q), ∀x ∈ A, ∀q ∈ B. (2.9)
Ta có
α = inf
x∈A
sup
q∈B
L(x, q). (2.10)
Theo nguyên lí đối ngẫu tổng quát, đối ngẫu của (2.10), và vì vậy của
(2.8), là
β := sup
q∈B
inf
x∈A
L(x, q). (2.11)

23
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ta có
β = sup
q∈B
(−f
∗
(−T
∗
q) − h
∗
(q) − q, a). (2.12)
Chú ý rằng h
∗
là ký hiệu liên hợp của hàm h, còn T
∗
là liên hợp của
toán tử T .
Mệnh đề 2.1.1
Với giả thiết (A), bài toán đối ngẫu của (2.8) là (2.12). Do đó, tất cả
các phát biểu của định lý 2.1.2 đúng cho (2.8) và (2.12).
Chứng minh
(I) Từ định lý 2.2.4[5] ta có h = h
∗∗
, và do đó,
h(T x − a) = h
∗∗
(T x − a) = sup
q∈F
∗

(q, T x − a − h
∗
(q)).
Khi đó,
α = inf
x∈E
sup
q∈F
∗
(f(x) + q, T x − a − h
∗
(q))
= inf
x∈A
sup
q∈B
(f(x) + q, T x − a − h
∗
(q)).
(II) Chúng ta nhận được
inf
x∈A
L(q, x) = − sup
x∈A
(− T
∗
q, x − f(x) + h
∗
(q) + q, a)
= −f

∗
(−T
∗
, q) − h
∗
(q) − q, a .
Điều này chỉ ra rằng (2.11) trùng với (2.12). 
Ví dụ 2.1.1
Bây giờ chúng ta áp dụng mệnh đề 2.1.1 cho bài toán tối ưu tuyến
tính:
α := inf {c, x |x ∈ P
E
, T x − a ∈ P
F
} (2.13)
24
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên