chủ đề các phương pháp tìm nguyên hàm

CHỦ ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM
1.ĐỊNH NGHĨA:
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) nếu với mọi x
∈
(a;b),ta có: F
’
(x) = f(x)
*Nếu thay khoảng (a;b) là đoạn [a;b] thì ta phải thêm F
’
(a
+
)=f(a) và F
’
(b
-
)=f(b)
2.ĐỊNH LÍ:
F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a;b) thì F(x) + C là họ nguyên hàm của f(x) trên
(a;b)
Ta viết :
( ) ( )f x dx F x C= + ⇔
∫
f(x)= F
’
(x)
3.CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM :
a)
( )
'
( ) ( )f x dx f x=
∫

b)
( ) ( )af x dx a f x dx=
∫ ∫
,(a
≠
0)
c)
∫
[f(x)+g(x)]dx=
∫
f(x)dx+
∫
g(x)dx
d)
∫
f(t)dt= F(t) + C
⇒
∫
f(u)du= F(u) +C
4.SỰ TỒN TẠI NGUYÊN HÀM :
ĐỊNH LÍ :Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó
5.BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm số hợp
1.
∫
dx= x+C
2.
∫
1
1

x
x dx
α
α
α
+
=
+
+C
3.
∫
dx
x
= ln
x
+C
4.
∫
e
x
dx= e
x
+ C
5.
∫
a
x
dx =
ln
x

a
a
+C , (0 < a
≠
1)
6.
∫
cosx dx= sinx +C
7.
∫
sinxdx = -cosx +C
8.
2
cos
dx
x
∫
= tgx +C
9.
2
sin
dx
x
∫
=-cotgx+C
10.
ln
sin 2
dx x
tg

x
=
∫
+C
11.
ln (
cos 2 4
dx x
tg
x
π
= +
∫
+C
12.
∫
tgxdx= -ln
cos x
+C
1.
∫
du= u+C
2.
∫
1
1
u
u du
α
α

α
+
=
+
+C
3.
∫
du
u
= ln
u
+C
4.
∫
e
u
du= e
u
+ C
5.
∫
a
u
du =
ln
u
a
a
+C , (0 < a
≠

1)
6.
∫
cosudu= sinu +C
7.
∫
sinudu = -cosu +C
8.
2
cos
du
u
∫
= tgu +C
9.
2
sin
du
u
∫
=-cotgu+C
10.
ln
sin 2
du u
tg
u
=
∫
+C

11.
ln (
cos 2 4
du u
tg
u
π
= +
∫
+C
12.
∫
tgudu= -ln
cosu
+C
Trang 1
13.
∫
cotgxdx= ln
sin x
+C
14.
2 2
1
ln
2
dx x a
x a a x a
−
=

− +
∫
+C
15.
2 2
2 2
ln
dx
x x a
x a
= + ±
±
∫
+C
16.
2 2 2 2
2
x
x a dx x a± = ± ±
∫

2
2 2
ln
2
a
x x a± + ±
+C
17.
2 2

arcsin
dx x
C
a
a x
= +
−
∫
18.
2 2
1dx x
arctg C
a x a a
= +
+
∫
19.
2 2 2 2
2
x
a x dx a x− = − +
∫

2
arcsin
2
a x
C
a
+ +

13.
∫
cotgudu= ln
sin u
+C
14.
2 2
1
ln
2
du u a
u a a u a
−
=
− +
∫
+C
15.
2 2
2 2
ln
du
u u a
u a
= + ±
±
∫
+C
16.
2 2 2 2

2
u
u a du u a± = ± ±
∫

2
2 2
ln
2
a
u u a± + ±
+C
17.
2 2
arcsin
du u
C
a
a u
= +
−
∫
18.
2 2
1du u
arctg C
a u a a
= +
+
∫

19.
2 2 2 2
2
u
a u du a u− = − +
∫

2
arcsin
2
a u
C
a
+ +
Chứng minh một số công thức cơ bản :
10.
ln
sin 2
dx x
tg
x
=
∫
+C
11.
ln (
cos 2 4
dx x
tg
x

π
= +
∫
+C
Chứng minh :
10. Ta có :
2 2
sin cos sin cos
1 1
2 2 2 2
sin
2sin cos 2sin cos 2cos 2sin
2 2 2 2 2 2
x x x x
x x x x x x
x
+
= = = +
sin cos (cos ) (sin )
1 1
2 2 2 2
2 2
cos sin cos sin
2 2 2 2
ln cos ln sin ln
2 2 2
x x x x
d d
I dx dx
x x x x

x x x
C tg C
⇒ = + = − +
= − + + = +
∫ ∫ ∫ ∫
11.Ta có :cosx= sin(x+
2
π
)=
2sin( )cos( )
2 4 2 4
x x
π π
+ + ⇒
kết quả
14.
2 2
1
ln
2
dx x a
x a a x a
−
=
− +
∫
+C
Trang 2
Ta có :
2 2

1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1
( )( ) 2 ( )( ) 2
x a x a
x a x a x a a x a x a a x a x a
 
+ − −
 
= = −
 
 
− − + − + − +
 
 
Do đó :I=
1 ( ) ( ) 1
ln
2 2
d x a d x a x a
C
a x a x a a x a
− + +
 
− = +
 
− + −
 
∫ ∫
15.
2 2
2 2

ln
dx
x x a
x a
= + ±
±
∫
+C
Ta đặt :

2
2
2 2
2
2
2
(1 )
ln ln
x x x a
t x x a dt dx dx
x a x a
x a dx dt dt
dx dt I t C x x a C
t t t
x a
 
+ +
= + + ⇒ = + =
 ÷
 ÷

+ +
 
+
⇒ = ⇒ = ⇒ = = + = + + +
+
∫
16.
2 2 2 2
2
x
x a dx x a± = ± ±
∫

2
2 2
ln
2
a
x x a+ ±
+C

Ta đặt:
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
( )
xdx
du

u x a
x a
dv dx
v x
x dx x a a dx
I x x a x x a
x a x a

=

 
= +
⇒
+
 
=



=

+ −
⇒ = + − = + −
+ +
∫ ∫
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2

ln
ln
2 2
dx
x x a x a dx a
x a
x x a I a x x a
x a
I x a x x a C
= + − + +
+
= + − + + +
⇒ = + + + + +
∫ ∫
VẤN ĐỀ 1 :TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH
DẠNG 1 :
I=
( )
;( 0)x ax b dx a
α
+ ≠
∫
( )
2
,( 0)
x dx
K a
ax b
α
= ≠

+
∫
*Sử dụng đồng nhất thức :x=
[ ]
1 1
( )ax ax b b
a a
= + −
Hoặc :
*
[ ]
2
2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1
( ) ( ) 2 ( )x a x ax b b ax b b ax b b
a a a
 
= = + − = + − + +
 
VD1 :Tính I=
( )
2002
1x x dx−
∫
Trang 3
Cách 1 :Sử dụng cách đồng nhất thức :x=1-(1-x)
[ ]
2002 2002 2002 2002 2003
(1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )x x x x x x x⇒ − − = − − − = − − −

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2002 2003 2002 2003
2003 2004
1 1 1 (1 ) 1
1 1
1 1
2003 2004
I x dx x dx x d x x dx
x x C
⇒ = − − − = − − − + −
= − − + − +
∫ ∫ ∫ ∫
Cách 2 :Đổi biến số :
Đặt t=1-x
( ) ( )
2002 2002 2003
2003 2004
2003 2004
1
(1 )
1 1 1 1
1 1
2003 2004 2003 2004
x t dx dt
I t t dt t dt t dt
t t C x x C
⇒ = − ⇒ = −
⇒ = − − = − +
= − + + = − − + − +

∫ ∫ ∫
VD2 :Tính J=
( )
2005
1x x dx+
∫
Tương tự :
VD3 : Tính K=
2
4 3
dx
x x− +
∫
HD :
Ta có :
2
1 1 1 ( 1) ( 3) 1 1 1
4 3 ( 1)( 3) 2 ( 1)( 3) 2 3 1
1 ( 3) 1 ( 1) 1 1 1 3
ln 3 ln 1 ln
2 3 2 1 2 2 2 1
x x
x x x x x x x x
d x d x x
K x x C
x x x
 
− − −
 
= = = −

 
 
− + − − − − − −
 
 
− − −
⇒ = − = − − − = +
− − −
∫ ∫
Cách 2 :
Ta có :
( )
2
2
1 3
ln
4 3 2 1
2 1
dx dx x
K C
x x x
x
−
= = = +
− + −
− −
∫ ∫
VD4 : Tính J =
( )
3

1 3
xdx
x+
∫
HD :
Sử dụng đồng nhất thức : x=
( )
( )
( )
( )
3 3
1 3 1
1 1
1 3 1
3 3
1 3 1 3
x
x
x
x x
 
+ −
+ − ⇒ = =
 
+ +
 
 
2 2
2 3
2 3

1 2
1 1 1
3 (1 3 ) (1 3 )
1 (1 3 ) 1 (1 3 ) 1 1
(1 3 ) (1 3 ) (1 3 ) (1 3 )
9 (1 3 ) 9 (1 3 ) 9 9
1 1
(1 3 ) (1 3 )
9 18
x x
d x d x
I x d x x d x
x x
x x C
− −
− −
 
−
 
+ +
 
+ +
⇒ = − = + + − + +
+ +
= − + + + +
∫ ∫ ∫ ∫
VD 5 :Tính K=
2
2
dx

x x− −
∫
Trang 4
HD :
Sử dụng đồng nhất thức :
2
1 1 1 ( 1) ( 2) 1 1 1
2 ( 1)( 2) 3 ( 1)( 2) 3 2 1
1 1 1 1 1 2
ln
3 2 3 1 3 1
x x
x x x x x x x x
x
K dx dx C
x x x
 
+ − −
 
= = = −
 
 
− − + − + − − +
 
 
−
⇒ = − = +
− + +
∫ ∫
VD 6 : Tính H =

4 2
4 3
dx
x x+ +
∫
HD :
Sử dụng đồng nhất thức :
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 ( 3) ( 1) 1 1 1
( 1)( 3) 2 ( 1)( 3) 2 ( 1) ( 3)
1 1
2 1 2 3
x x
x x x x x x
dx dx
H
x x
 
 
+ − +
= = −
 
 
+ + + + + +
 
 
⇒ = −
+ +

∫ ∫
( đã về dạng công thức ; nếu tích phân xác định thì ta đặt x= tgt với x thoả đk )
VD 7 : Tính A=
3
10
( 1)
x dx
x −
∫
HD :
Cách 1 :Sử dụng đồng nhất thức :x
3
= ((x-1)+1)
3
=(x-1)
3
-3(x-1)
2
+3(x-1)-1
3
10 7 8 9 10
7 8 9 10
6 7 8 9
1 3 3 1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
3 3
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1 1 3 1 3 1 1 1
6 ( 1) 7 ( 1) 8 ( 1) 9 ( 1)
x

x x x x x
dx dx dx dx
A
x x x x
C
x x x x
⇒ = − + −
− − − − −
⇒ = − + −
− − − −
= − + − + +
− − − −
∫ ∫ ∫ ∫
Cách 2 : Dặt t= x-1 ta có : x= t+1 nên dx= dt
( )
3
3 2
7 8 9 10
10 10
1
( 3 3 1)
3 3
t dt
t t t dt
A t dt t dt t dt t dt
t t
− − − −
+
+ + +
= = = + + +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

6 7 8 9
1 1 3 1 3 1 1 1
6 ( 1) 7 ( 1) 8 ( 1) 9 ( 1)
C
x x x x
= − + − + +
− − − −
VD8 : Tính B=
( )
2
39
1
x dx
x−
∫
HD :
Cách 1 :Sử dụng đông nhất thức : x
2
= [(1-x)-1]
2
=(1-x)
2
-2(1-x)+1
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2

39 39 37 38 39
1 2(1 ) 1
1 2 1
1 1 1 1 1
x x
x
x x x x x
− − − +
⇒ = = − +
− − − − −
Trang 5
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
37 38 39
36 37 38
1 1 1
2
1 1 1
1 1 2 1 1 1
36 37 38
1 1 1
B dx dx dx
x x x
C
x x x
= − +
− − −
= + − + +
− − −
∫ ∫ ∫

Cách 2 :
Đặt : t= 1-x
( )
2
39 39 38 37
38 37 36
1
1
1 1 1
2
1 1 2 1 1 1
38 37 36
x t dx dt
t dt
B dt dt dt
t t t t
C
t t t
⇒ = − ⇒ = −
−
⇒ = − = − + −
= − + +
∫ ∫ ∫ ∫
VD 9 :Tính C =
5 3
dx
x x+
∫
HD :
Cách 1 :Sử dụng dồng nhất thức :1= x

2
+1-x
2
( )
2 2 2 2
3 2 3 2 3 2 3 2
3 2
2
3 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
( 1) ( 1) ( 1) 1
1
1 1 1 1 1
ln ln 1
1 2 2
x x x x x
x x x x x x x x x x x
x x
x
C dx dx dx x x C
x x x x
+ − + −
⇒ = = − = − = − +
+ + + +
+
= − + = − − + + +
+
∫ ∫ ∫
VD 10 : Tính D=
7 5

dx
x x+
∫
HD :
Sử dụng dồng nhất thức :1= x
2
+1-x
2
( )
2 2 2 2
5 2 5 3 2 5 3 2 5 3 2
5 2
2 2
5 3 2 5 3 2
2
5 3 2 4 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1
1 1 1 1 1 1
( 1) ( 1)
1 1 1 1 1 1 1
ln ln 1
1 4 2 2
x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x
x x x
x x x x x x x x
x

D dx dx dx dx x x C
x x x x x x
+ − + −
⇒ = = − = − = − +
+ + + +
+
+ −
= − + = − + −
+ +
⇒ = − + − = − + + − + +
+
∫ ∫ ∫ ∫
VD 11 : Tính E =
( )
2001
1002
2
1
x
dx
x +
∫
HD :
Ta phân tích :
( ) ( ) ( ) ( )
1000
2001 2000 2
1002 1000 2 2
2
2 2 2 2

1
1 1 1 1
x x x x x
x
x x x x
 
= =
 ÷
+
 
+ + + +
Đặt : t=
2
2
1
x
x +
Trang 6
( )
2
2
1000 1001
2 2 2
2 2 2
2
1
1 1
2 1 1 2002 1
x
dt dx

x
x x x
E d C
x x x
⇒ =
+
     
⇒ = = +
 ÷  ÷  ÷
+ + +
     
∫
VẤN ĐỀ 2 :NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
DẠNG 1 :
sin( )sin( )
dx
I
x a x b
=
+ +
∫
Cách giải :
Bước 1 :Đồng nhất thức :
[ ]
[ ]
sin ( ) ( )
sin( ) 1
1 sin( )cos( ) cos( )sin( )
sin( ) sin( ) sin( )
x a x b

a b
a x b x a x b x
a b a b a b
+ − +
−
= = = + + − + +
− − −
Bước 2 :Biến đổi đưa về kết quả
°Lưu ý :Dạng
1
cos( )cos( )
I dx
x a x b
=
+ +
∫

Ta sử dụng :
[ ]
[ ]
sin ( ) ( )
sin( ) 1
1 sin( )cos( ) cos( )sin( )
sin( ) sin( ) sin( )
x a x b
a b
a x b x a x b x
a b a b a b
+ − +
−

= = = + + − + +
− − −
1
sin( )cos( )
K dx
x a x b
=
+ +
∫
Ta sử dụng :
[ ]
[ ]
cos ( ) ( )
cos( ) 1
1 cos( )cos( ) sin( )sin( )
cos( ) cos( ) cos( )
x a x b
a b
a x b x a x b x
a b a b a b
+ − +
−
= = = + + + + +
− − −
VD 1 : Tính
sin cos( )
4
dx
I
x x

π
=
+
∫
HD :
Cách 1 : Ta có
Trang 7
cos
cos
4
4
1 2 cos 2[cos( )cos sin( )sin ]
4 4 4
2
cos
4
2
sin( )
1 cos
4
2
sin
sin cos( ) cos( )
4 4
x x
x x x x x x
x
x
x
x x x

π
π
π π π
π
π
π π
 
 
+ −
 ÷
 
 
 
 
 
= = = + − = + + +
 ÷
 
 
 
 
+
 ÷
⇒ = +
 ÷
 ÷
+ +
 
cos( )
(sin ) sin

4
2 2 2 ln sin 2 ln cos( ) 2 ln
sin 4
cos( ) cos( )
4 4
d x
d x x
I x x C
x
x x
π
π
π π
 
+
 ÷
 
⇒ = − = − + = +
+ +
∫ ∫
Cách 2 : Dựa vào đặt thù của hàm số đã cho ta có :
2
(cot 1)
2 2 2 2 ln cot 1
sin (cos sin ) sin (cot 1) cot 1
dx dx d gx
I gx C
x x x x gx gx
−
= = = = − − +

− − −
∫ ∫ ∫
DẠNG 2 :
sin sin
dx
I
x
α
=
+
∫
Cách giải :-Sử dụng công thức :sinx +sin
α
=
2sin cos
2 2
x x
α α
+ −
-Đưa về dạng 1 để giải
°Lưu ý :Dạng

1
2 3
;( 1)
sin
; ;( 1)
cos cos cos
dx
I m

x m
dx dx
I I m
x x m
α
= ≤
+
= = ≤
+ +
∫
∫ ∫
Làm tương tự.
VD 1 : Tính
2sin 1
dx
A
x
=
+
∫
HD :
Ta có :
1 1 1 1
1 6 6
2sin 1
2(sin ) 2(sin sin ) 4sin cos )
2 6 12 12
x x
x
x x

π π π
= = =
+ −
+
+ +
Sử dụng đồng nhất thức :
cos
2 6 6 2 6 6 6 6
6
1 cos cos cos sin sin
12 12 12 12 12 12
3 3
cos
6
x x x x x x
π
π π π π π π
π
   
+ − + − + −
           
= = − = +
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
   
           
   
Trang 8
6 6
cos sin
1 1

12 12
6 6
2 3 2 3
sin cos
12 12
6 6
sin cos
12 12
1 1 1 6 1 6
ln sin ln cos
6 6
12 12
3 3 3 3
sin cos
12 12
x x
A dx dx
x x
x x
d d
x x
C
x x
π π
π π
π π
π π
π π
+ −
   

 ÷  ÷
   
⇒ = +
+ −
   
 ÷  ÷
   
   
+ −
   
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ −
   
   
   
= − = − +
 ÷  ÷
+ −
   
   
 ÷  ÷
   
∫ ∫
∫ ∫
VD 2 : Tính K=
2cos 1
dx
x +
∫

HD :
Ta có :
1 1 1 1
1 3 3
2cos 1
2(cos ) 2(cos cos ) 4(cos cos )
2 3 6 6
x x
x
x x
π π π
= = =
+ −
+
+ +
Do :
sin
2 2 3 3 2 3 3 3 3
3
1 sin sin sin cos cos sin
3 6 6 6 6 6 6
3 3 3
sin
3
x x x x x x
π
π π π π π π π
π
+ − + − + −
   

= = = − = +
   
   
1 1 3 1 3
cot t
2cos 6 6
2 3 2 3
1 1 3 1 3
cot t
2cos 1 6 6
2 3 2 3
x x
g g
x
x x
K dx g dx g dx
x
π π
π π
+ −
   
⇒ = −
 ÷  ÷
   
+ −
   
⇒ = = −
 ÷  ÷
+
   

∫ ∫ ∫
3
sin
1 3 1 3 1
6
ln sin ln cos ln
3
6 6
3 3 3
cos
6
x
x x
K C C
x
π
π π
π
+
+ −
= − + = +
−
DẠNG 3 :
( )
( ) ( )
( ) ( )
I tgxtg x dx
K tg x cotg x dx
H cotg x cotg x dx
α

α β
α β
= +
= + +
= + +
∫
∫
∫
Cách giải :
Ta biến đổi :
sin sin( ) cos cos( ) sin sin( )
( ) 1
cos cos( ) cos cos( )
x x x x x x
tgxtg x
x x x x
α α α
α
α α
+ + + +
+ = = −
+ +
Đưa về dạng 1 để giải.
Trang 9
VD 1 : Tính
( )
4
I tgxtg x
π
= +

∫
HD :
Cách 1 :
Ta có :
sin sin( ) cos cos( ) sin sin( ) cos( )
4 4 4 4
( ) 1 1
4
cos cos( ) cos cos( ) cos cos( )
4 4 4
2 1
1
2
cos cos( )
4
x x x x x x
tgxtg x
x x x x x x
x x
π π π π
π
π π π
π
+ + + + −
+ = = − = −
+ + +
= −
+
Khi đó xét :
cos cos( )

4
dx
K
x x
π
=
+
∫
Sử dụng đồng nhất thức :
sin
4
1 2 sin ( ) 2 sin( )cos cos( )sin
4 4 4
sin
4
x x x x x x
π
π π π
π
   
= = + − = + − +
   
   
1
2 ( ) 2 ( )
4
cos cos( )
4
2 ( ) 2 2 ln cos( ) 2 ln cos
4 4

tg x tg x
x x
K tg x dx tgxdx x x C
π
π
π π
⇒ = + −
+
= + + = − + + +
∫ ∫
cos
2 ln
cos( )
4
x
I x C
x
π
⇒ = − +
+
Cách 2 :
2
2 2
cos (cos sin ) cos (1 )
cos cos( )
4
(1 )
2 2 ln 1
1
2 ln 1

dx dx dx
K
x x x x tgx
x x
d tgx
tgx C
tgx
I tgx x C
π
= = =
− −
+
−
= − = − − +
−
⇒ = − − − +
∫ ∫ ∫
∫
DẠNG 4 :
I=
sin cos
dx
a x b x+
∫
Cách giải :
Trang 10
Sử dụng công thức : asinx +bcosx=
2 2 2 2
sin( ) 2 sin( )cos( )
2 2

x x
a b x a b
α α
α
+ +
+ + = +
2 2 2 2 2 2
2
( ( ))
1 1 1
2
ln ( )
2
2 2 2
( )cos ( ) ( )
2 2 2
x
d tg
dx x
I tg C
x x x
a b a b a b
tg tg
α
α
α α α
+
+
⇒ = = = +
+ + +

+ + +
∫ ∫
Cách 2 : Ta có
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 sin( ) 1 (cos( ))
sin( ) sin ( ) cos ( ) 1
2 2 2
1 cos( ) 1
ln
cos( ) 1
2
dx x dx d x
I
x x x
a b a b a b
x
C
x
a b
α α
α α α
α
α
+ +
= = = −
+ + + −
+ + +
+ −

= − +
+ +
+
∫ ∫ ∫
Cách 3 : Có thể sử dụng phương pháp đại số hoá đặt :t= tgx/2
VD 1 : Tính
2
3 sin cos
dx
I
x x
=
+
∫
HD :
Ta có :
6 6
3 sin cos 2sin( ) 4sin cos
6 2 2
x x
x x x
π π
π
   
+ +
 ÷  ÷
+ = + =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   

2
6
( )
2
1
6
ln
2 2
6 6 6
cos
2 2 2
x
d tg
x
dx
I tg C
x x x
tg tg
π
π
π π π
 
+
 ÷
 ÷
 
 ÷
+
 ÷
 

= = = +
 ÷
     
 ÷
+ + +
 ÷  ÷  ÷
 
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
     
∫ ∫
DẠNG 5 :
( )
1 1
2
2 2
sin cos
sin cos
a x b x
I dx
a x b x
+
=
+
∫
Cách giải :
Sử dụng đồng nhất thức :a
1
sinx+b
1

cosx= A(a
2
sinx+b
2
cosx)+B(a
2
cosx+b
2
sinx)
Để ý :a
2
sinx+b
2
cosx=
2 2
2 2
sin( )a b x
α
+ +
Kết hợp dạng 3-4 để giải.
VD 1: Tính
8cos
2 3sin 2 cos 2
x
I dx
x x
=
+ −
∫
HD:

Biến đổi:
Trang 11
( )
2 2
2
8cos 8cos 8cos
2 3 sin 2 cos 2 1 3 sin 2 (1 cos2 ) 3sin 2 3sin cos cos
8cos
3 sin cos
x x x
x x x x x x x x
x
x x
= =
+ − + + − + +
=
+
Phân tích :
8cos ( 3 sin cos ) ( 3 cos sin ) ( 3 )sin ( 3)cosx A x x B x x A B x A B x= + + − = − + +
Đồng nhất đẳng thức :
2
3 0
2 3
3 8
A
A B
B
A B

=


− =
 
⇒
 
=

+ =



( ) ( )
2 2
2
8cos 2 2 3( 3 cos sin )
3 sin cos
3 sin cos 3 sin cos
2 ( 3sin cos ) 1 2 3
2 3 ln
2 2 12
3 sin cos ( 3sin cos ) 3 sin cos
x x x
x x
x x x x
dx d x x x
I tg C
x x x x x x
π
−
⇒ = −

+
+ +
+
 
⇒ = − = + − +
 ÷
+ + +
 
∫ ∫
VD 2: Tính
sin
1 sin 2
x
K dx
x
=
+
∫
HD:
Ta có:
( )
2
sin sin
1 sin 2
sin cos
x x
x
x x
=
+

+
Đồng nhất thức :sinx= A(sinx+cosx)+B(cosx-sinx)= (A-B)sinx+(A+B)cosx
1
1
2
0 1
2
A
A B
A B
B

=

− =


⇒ ⇒
 
+ =


= −


( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
1 1

sin (sin cos ) (cos sin )
2 2
sin 1 1 cos sin
2(sin cos ) 2
sin cos sin cos
sin 1 1 1 (sin cos )
2 (sin cos ) 2
sin cos sin cos
x x x x x
x x x
x x
x x x x
x d x x
K dx dx
x x
x x x x
⇒ = + − −
−
⇒ = −
+
+ +
+
⇒ = = −
+
+ +
∫ ∫ ∫
1 1 1 1 1 1
4
ln
2 sin cos 2 8 2 sin cos

2 2 2 2
sin
4
d x
x
K tg C
x x x x
x
π
π
π
 
+
 ÷
 
 
= + = + + +
 ÷
+ +
 
 
+
 ÷
 
∫
DẠNG 6 :
Trang 12
I=
sin cos
dx

a x b x+
∫
HD :
TH1 :
2 2
c a b= +
Ta biến đổi :
( )
2
2 2
1 1 1 1
sin cos 2
1 cos
cos
2
1 1 1
2
2 2
cos cos
2 2
x
a x b x c
c x
x
d
dx x
I tg C
x x
c c c
α

α
α
α
α α
= =
−
+
   
+ −
 
 ÷
 
−
 
 ÷
−
 
 
⇒ = = = +
 ÷
− −
   
 
 ÷  ÷
   
∫ ∫
TH2 :
2 2
c a b= − +
Ta biến đổi :

( )
2
2 2
1 1 1 1
sin cos 2
1 cos
sin
2
1 1 1
2
2 2
sin sin
2 2
x
a x b x c
c x
x
d
dx x
I cotg C
x x
c c c
α
α
α
α
α α
= =
−
+

   
− −
 
 ÷
 
−
 
 ÷
−
 
 
⇒ = = = +
 ÷
− −
   
 
 ÷  ÷
   
∫ ∫
TH3 :
2 2 2
c a b≠ +
Ta thực hiện phép đặt :
2
x
t tg=
2
2 2 2
2 1
2 ;sin ;cos

1 1 1
dt t t
dx x x
t t t
−
⇒ = = =
+ + +
Sau đó thực hiện tính nguyên hàm bằng các biểu thức đại số
VD 1 : Tính
2
2sin cos 1
dx
I
x x
=
− +
∫
HD :
Ta thấy :
2 2 2
c a b≠ +
(vì :
2 2 2
1 2 1≠ +
)
Đặt :
2
x
t tg=

2
2 2 2
2 1
2 ;sin ;cos
1 1 1
dt t t
dx x x
t t t
−
⇒ = = =
+ + +
( )
2
2
( 1)
2
2 2 ln ln
2 2
1 1
2
2
x
tg
dt d t t
I C C
x
t t t
t
tg
+

⇒ = = = + = +
+ +
+ −
+
∫ ∫
Trang 13
VD 2 : Tính
sin cos 2
dx
K
x x
=
− +
∫
HD :
Ta thấy :
2 2
c a b= +
(vì :
2 2
2 1 1= +
)
Ta biến đổi :
2
2 2
1 1 1 1
sin cos 2 2 2
sin
2 1 cos
2 8

4
1 1 1
2 8
2 8
2 2 2 2
sin sin
2 8 2 8
x
x x
x
x
d
dx x
I cotg C
x x
π
π
π
π
π π
= =
   
− +
 
+
− +
 ÷
 ÷
 
 

 
 
 
+
 ÷
 
 
⇒ = = = − + +
 ÷
   
 
+ +
 ÷  ÷
   
∫ ∫
VD3 : Tính
sin cos 2
dx
K
x x
=
+ +
∫
HD :Tương tự VD2
DẠNG 7 :
I=
1 1 1
2 2 2
sin cos
sin cos

a x b x c
dx
a x b x c
+ +
+ +
∫

Cách giải :
Biến đổi :a
1
sinx+b
1
cosx+c
1
= A(a
2
sinx+b
2
cosx+c
2
)+B(a
2
cosx-b
2
sinx)+c
Sau đó đưa về dạng quen thuộc để giải.
VD 1: Tính
5sin
2sin cos 1
x

I dx
x x
=
− +
∫
HD:
Ta phân tích :5sinx= A(2sinx-cosx+1)+B(2cosx+sinx)+C
=(2A+B)sinx+(2B-A)cosx+A+C
2 5 2
2 0 1
0 2
A B A
b A B
A C C
+ = =
 
 
⇒ − = ⇒ =
 
 
+ = = −
 
5sin 2cos sin 2
2
2sin cos 1 2sin cos 1 2sin cos 1
(2sin cos 1)
2 2
2sin cos 1 2sin cos 1
2 ln 2sin cos 1 2
x x x

x x x x x x
d x x dx
I dx
x x x x
x x x K
+
⇒ = + −
− + − + − +
− +
⇒ = + −
− + − +
= + − + −
∫ ∫ ∫
Tính :
2sin cos 1
dx
K
x x
=
− +
∫
Đặt :
2
x
t tg=

Trang 14
2
2 2 2
2 1

2 ;sin ;cos
1 1 1
dt t t
dx x x
t t t
−
⇒ = = =
+ + +
( )
2
2
( 1)
2
2 2 2 ln ln
2 2
1 1
2
2
x
tg
dt d t t
K C C
x
t t t
t
tg
+
⇒ = = = + = +
+ +
+ −

+
∫ ∫
Vậy :
2
2 ln 2sin cos 1 ln
2
2
x
tg
I x x x C
x
tg
= + − + − +
+
DẠNG 8 :
I=
2 2
1 1 1
2 2
sin sin cos cos
sin cos
a x b x x c x
dx
a x b x
+ +
+
∫

HD :
Biến đổi :a

1
sin
2
x+b
1
cosxsinx+c
1
cos
2
x= (Asinx+Bcosx)(a
2
sinx+b
2
cosx)+c(sin
2
x+cos
2
x)
Đưa về dạng quen thuộc để giải.
VD 1:Tính
2
4sin 1
3 sin cos
x
I dx
x x
+
=
+
∫

HD:
Ta phân tích :4sin
2
x+1= 5sin
2
x+cos
2
x=
2 2
2 2
( sin cos )( 3sin cos ) (sin cos )
( 3 )sin ( 3)sin cos ( )cos
3 5
3
3 0 1
1 2
A x B x x x C x x
A C x A B x x B C x
A C
A
A B B
B C C
= + + + + =
= + + + + +

+ =

=




⇒ + = ⇒ = −
 
 
+ = =



Trang 15
2
2
4sin 2
3 sin cos
3 sin cos 3 sin cos
3 cos sin
2 1
*
2
3 sin cos
6 6
sin cos
2 2
6
2
1
2
6 6 6
cos
2 2 2
x

x x
x x x x
I x x K
dx
K dx
x x
x x
x
d tg
dx
x x x
tg tg
π π
π
π π π
= − +
+ +
⇒ = − − +
= =
   
+
+ +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
 
 
+
 ÷

 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
= =
     
+ + +
 ÷  ÷ 
 ÷  ÷ 
 ÷  ÷ 
     
∫ ∫
6
ln
2
x
tg C
π
 
+
 ÷
= +
 ÷
 ÷
÷
 

÷
÷
∫ ∫
6
3 cos sin ln
2
x
I x x tg C
π
 
+
 ÷
= − − + +
 ÷
 ÷
 
VD2 : Tính I=
2
cos
sin 3 cos
x
dx
x x+
∫
HD :
Ta phân tích :cos
2
x= (Asinx+Bcosx)(sinx+
3
cosx)+C(sin

2
x+cos
2
x)=
= (
3
B+C)cos
2
x+(B+
3
A)sinxcosx+(A+C)sin
2
x
1
4
3 1
3
3 0
4
0
1
4
A
B C
B A B
A C
C

= −



+ =


 
⇒ + = ⇒ =
 
 
+ =



=


2
cos 1 3 1
sin cos
4 4
sin 3 cos 4(sin 3 cos )
1 3 1
cos sin
4 4 4
sin 3 cos
x
x x
x x x x
dx
I x x
x x

⇒ = − + +
+ +
⇒ = + +
+
∫
Tính :
sin 3 cos
dx
K
x x
=
+
∫
Trang 16
1 1
ln
2 2 2 6
sin( )
3
1 3 1
cos sin ln
4 4 8 2 6
dx x
K tg C
x
x
I x x tg C
π
π
π

 
= = + +
 ÷
 
+
 
⇒ = + + + +
 ÷
 
∫
DẠNG 9 :
I=
2 2
sin sin cos cos
dx
a x b x x c x+ +
∫

Cách giải :
Biến đổi :
I=
2 2
cos ( )
dx
x atg x btgx c+ +
∫

Đặt : t=tgx
2
1

cos
dt dx
x
⇒ =
2
dt
I
at bt c
⇒ =
+ +
∫
Dạng quen thuộc giải được
VD1 : Tính I=
2 2
3sin 2sin cos cos
dx
x x x x− −
∫

HD :
Ta có : 3sin
2
x-2sinxcosx-cos
2
x = cos
2
x(3tg
2
x-2tgx-1)
2 2

cos (3 2 1)
dx
I
x tg x tgx
⇒ =
− −
∫

Đặt :t=tgx
2
1
cos
dt dx
x
⇒ =

2
1 1
1
3 2 1
3( 1)( )
3
I dt dt
t t
t t
⇒ = =
− −
− +
∫ ∫
Ta phân tích :

1
( ) ( 1)
1 1 1 1 1 1
3
1 1 1
4 4 ( 1) 4
3( 1)( ) ( 1)( ) ( )
3 3 3
t t
t
t t t t t
 
+ − −
 
 
= = −
−
− + − + +
1 1 1 1 1 1 1
ln 1 ln ln
1 1
4 1 4 4 4 3 4
3 3
dt dt t
I t t C C
t
t t
−
⇒ = − = − − + + = +
−

+ +
∫ ∫
Vậy :
1 3 3
ln
4 3 1
tgx
I C
tgx
−
= +
+
DẠNG 10 :
Trang 17
( )
2 2 2 2
sin cos
sin cos
x x
I dx
a x b x
α
=
+
∫
Cách giải :
Để ý rằng :
2 2 2 2
2 2
1

sin cos ( sin cos )
2( )
x xdx d a x b x
a b
= +
−
TH 1 :
1
α
=
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 ( sin cos ) 1
ln sin cos
2( ) sin cos 2( )
d a x b x
I a x b x C
a b a x b x a b
+
⇒ = = + +
− + −
∫
TH2 :
1
α
≠
( )
( )
2 2 2 2

1
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1 ( sin cos ) 1
sin cos
2( ) 2( )(1 )
sin cos
d a x b x
I a x b x C
a b a b
a x b x
α
α
α
−
+
⇒ = = + +
− − −
+
∫
VD 1 :Tính
2 2
sin cos
2sin cos
x x
I dx
x x
=
+

∫
HD :
Ta phân tích :
( )
2 2
1
sin cos 2sin cos
2
x xdx d x x= +
( )
2 2
2 2
2 2
2sin cos
1 1
ln 2sin cos
2 2sin cos 2
d x x
I x x C
x x
+
⇒ = = + +
+
∫
VD 2 :Tính
2 2
sin cos
2sin 3cos
x x
I dx

x x
=
+
∫
HD :
Ta phân tích :
( )
2 2
1
sin cos 2sin 3cos
2
x xdx d x x= − +
( )
( )
2 2
2
2 2
2 2
2sin 3cos
1 1 1
2 2sin 3cos 4
2sin 3cos
d x x
I C
x x
x x
+
⇒ = − = +
+
+

∫
DẠNG 11 :
SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI KHÁC NHAU RỒI MỚI ĐỔI BIẾN SỐ
VD 1 :Tính
sin 3 sin 4
cot 2
x x
I dx
tgx g x
=
+
∫
HD :
Ta biến đổi :
sin cos2 sin 2 sin cos 2 cos cos 1
cot 2
cos sin 2 sin 2 cos sin 2 cos sin 2
x x x x x x x
tgx g x
x x x x x x x
+
+ = + = = =
( )
sin 4 sin 3 1
sin 4 sin3 sin 2 cos cos7 sin 2
cot 2 2
x x
x x x x x x
tgx g x
⇒ = = −

+
( )
1 1 1
sin 2 cos sin 2 cos7 sin 3 sin sin9 sin 5
2 2 4
x x x x x x x x= − = + − +
Trang 18
( )
1 1 1 1 1
sin 3 sin sin9 sin 5 cos3 cos cos9 cos5
4 12 4 36 20
I x x x x dx x x x x C⇒ = + − + = − − + − +
∫
VD2 : Tính
cos sin cos
2 sin
x x x
K dx
x
+
=
+
∫
HD :
Ta biến đổi :
cos sin cos
2 sin
x x x
K dx
x

+
=
+
∫
=
cos (1 sin )
2 sin
x x
dx
x
+
+
∫
Đặt : t=sinx
⇒
dt= cosxdx
1 2 1
ln 2 sin ln sin 2
2 2 2
t t dt
K dt dt dt t t C x x C
t t t
+ + −
⇒ = = = − = − + + = − + +
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
VD3 :Tính
3
sin cos
dx

A
x x
=
∫
HD :
Ta biến đổi :
3
sin cos
dx
A
x x
=
∫
=
4
cos
dx
tgx x
∫
Đặt : t= tgx
2
1
cos
dt dx
x
⇒ =
2
2 2
1 1 1
ln ln

2 2
t dt
A dt tdt t t C t gx tgx C
t t
+
⇒ = = + = + + = + +
∫ ∫ ∫
VD3 :Tính
3 8
4
cos
dx
B
tg x x
=
∫
HD :
Ta biến đổi :
3 8
4
cos
dx
B
tg x x
=
∫
2 3
4
cos
dx

x tg x
=
∫
Đặt : t= tgx
2
1
cos
dt dx
x
⇒ =
3
4
4
4
3
4
4 4
dt
B t dt t C tgx C
t
−
⇒ = = = + = +
∫ ∫
Trang 19