Bài tập hình học giải tích

LUYN THI I HC CP TC 2013 MoonTV Thy ng Vit Hựng
Tham gia khúa TON t c 8 im Toỏn tr lờn!
05. TA PHNG OXY
Bi 1: Trong mt phng Oxy cho cỏc im
(
)
(
)
(
)
(
)
A 1;0 , B 2; 4 , C 1; 4 , D 3;5

v ng thng
d :3x y 5 0
=
. Tỡm im M trờn d sao cho hai tam giỏc MAB, MCD cú din tớch bng nhau.
Li gii:
- M thuc d thi M(a;3a-5 )
- Mt khỏc :
( ) ( )
1
3;4 5, : 4 3 4 0
3 4
x y
AB AB AB x y

= = = + =

( ) ( )
1 4
4;1 17; : 4 17 0
4 1
x y
CD CD CD x y
+
= = = =


- Tớnh :
( )
(
)
(
)
1 2
4 3 3 5 4 4 3 5 17
13 19 3 11
, ,
5 5
17 17
a a a a
a a
h M AB h
+

= = = = =
- Nu din tich 2 tam giỏc bng nhau thỡ :

1 2
11
13 19 3 11
5.13 19 17. 3 11
1 1
. .
12
13 19 11 3
2 2 5
17
8
a a
a a
a
AB h CD h
a a
a

=

=


= =


=

=

- Vy trờn d cú 2 im :
( )
1 2
11 27
; , 8;19
12 12
M M





Bi 2:
Cho hỡnh tam giỏc ABC cú di

n tớch b

ng 2. Bi

t A(1;0), B(0;2) v trung

i

m I c

a AC n

m trờn

ng th

ng y = x. Tỡm to





nh C
Li gii:
- N

u C n

m trờn d : y=x thỡ A(a;a) do

ú suy ra C(2a-1;2a).
- Ta cú :
( )
0 2
, 2
2
d B d

= =
.
- Theo gi

thi

t :
( ) ( ) ( )
2 2
1 4
. , 2 2 2 2 0
2
2
S AC d B d AC a a= = = = +

2 2
1 3
2
8 8 8 4 2 2 1 0
1 3
2
a
a a a a
a


=


= + =

+
=

- V

y ta cú 2

i

m C :
1 2
1 3 1 3 1 3 1 3
; , ;
2 2 2 2
C C

+ +




Bi 3:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với )5;2(,)1;1(

BA , đỉnh C nằm trên đờng thẳng
04
=

x
, và trọng tâm G của tam giác nằm trên đờng thẳng
0632
=

+

yx
. Tính diện tích tam giác
ABC.
Li gii:
- T

a

C cú d

ng : C(4;a) ,
( )
( )
5
3;4
1 1
: 4 3 7 0
3 4
AB
AB
x y
AB x y
=


=

= + =




- Theo tớnh chỏt trng tõm ;
1 2 4
1
3 3
1 5 6
3 3
3
A B C
G G
A B C
G
G
x x x
x x
y y y a a
y
y
+ +
+


= = =

+ + + + +

= =
=





- Do G n
m trờn : 2x-3y+6=0 , cho nờn :
6
2.1 3 6 0 2
3
a
a
+

+ = =


.
LUYN THI I HC CP TC 2013 MoonTV Thy ng Vit Hựng
Tham gia khúa TON t c 8 im Toỏn tr lờn!
- Vy M(4;2) v
( ) ( )
4.4 3.2 7
1 1 15

, 3 . , 5.3
2 2 2
16 9
ABC
d C AB S AB d C AB
+
= = = = =
+
(vdt)
Bi 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với )2;1(,)1;2(


BA , trọng tâm G của tam giác
nằm trên đờng thẳng 02
=

+
yx . Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng 13,5 .
Li gii:
- Ta cú : M l trung im ca AB thỡ
M
3 1
;
2 2




. G

i C(a;b) , theo tớnh ch

t tr

ng tam
tam giỏc :
3
3
3
3
G
G
a
x
b
y
+

=





=



- Do G n

m trờn d :
( )
3 3
2 0 6 1
3 3
a b
a b
+
+ = + =
- Ta cú :
( ) ( ) ( )
3 5
2 1
1;3 : 3 5 0 ,
1 3
10
a b
x y
AB AB x y h C AB


= = = =


- T

gi

thi

t :
( )
2 5 2 5
1 1
. , 10. 13,5
2 2 2
10
ABC
a b a b
S AB h C AB

= = = =

2 5 27 2 32
2 5 27
2 5 27 2 22
a b a b
a b
a b a b
= =

=

= =


- K

t h

p v

i (1) ta cú 2 h

:
( )
1 2
20
6 6
3
2 32 3 38 38
38 20
; , 6;12
3
3 3
6 6
12
2 22 3 18
6
b
a b a b
a b a
a
C C
a b a b
b
a b a
a

=


+ = + =





= =





=






+ = + =





=

= =





=



Bi 5: Trong mt phng oxy cho
ABC

cú A(2;1) . ng cao qua nh B cú phng trỡnh x- 3y - 7 = 0
.ng trung tuyn qua nh C cú phng trỡnh : x + y +1 = 0 . Xỏc nh ta B v C . Tớnh din tớch
ABC

.
Li gii:
- ng thng (AC) qua A(2;1) v vuụng gúc vi ng cao k qua B , nờn cú vộc t ch phng
( ) ( ) ( )
2
1; 3 :
1 3
x t
n AC t R
y t
= +

=

=



- Ta C l giao ca (AC) vi ng trung tuyn k qua
C :
2
1 3
1 0
x t
y t
x y
= +


=


+ + =


Gii ta c : t=2 v C(4;-5). Vỡ B nm trờn ng cao k
qua B suy ra B(3a+7;a) . M l trung im ca AB
3 9 1
;
2 2
a a
M

+ +




.
- M
t khỏc M nm trờn ng trung tuyn k qua C :
( )
3 9 1
1 0 3 1; 2
2 2
a a
a B
+ +
+ + = =

A(2;1)
B(1;-2)
C
M(
3 1
;
2 2

)
G d:x+y-2=0
A(2;1)
B
C

x+y+1=0
x-3y-7=0
M
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên!
- Ta có :
( ) ( ) ( )
12
2 1
1; 3 10, : 3 5 0, ;
1 3
10
x y
AB AB AB x y h C AB
− −
= − − ⇔ = = ⇔ − − = =


- Vậy :
( )
1 1 12
. , 10. 6
2 2
10
ABC
S AB h C AB
= = =
(đvdt).
Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường trung trực

cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam
giác ABC
Lời giải:
- Gọi B(a;b) suy ra M
5 2
;
2 2
a b
+ +
 
 
 
. M n
ằ
m trên trung tuy
ế
n
nên : 2a-b+14=0 (1).
- B,B
đố
i x
ứ
ng nhau qua
đườ
ng trung tr
ự
c cho nên :
( ) ( )
:
x a t

BC t R
y b t
= +

∈

= +

.
T
ừ

đ
ó suy ra t
ọ
a
độ
N :
6
2
3 6
2
6 0
6
2
a b
t
x a t
a b
y b t x

x y
b a
y
− −

=

= +


− −
 
= + ⇒ =
 
 
+ − =

+ −

=



3 6 6
;
2 2
a b b a
N
− − + −
 

⇔
 
 
. Cho nên ta có t
ọ
a
độ
C(2a-b-6;6-a )
- Do C n
ằ
m trên
đườ
ng trung tuy
ế
n : 5a-2b-9=0 (2)
- T
ừ
(1) và (2) :
( ) ( )
2 14 0 37
37;88 , 20; 31
5 2 9 0 88
a b a
B C
a b b
− + = =
 
⇒
⇔
⇒

= − −
 
− − = =
 

Bài 7:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy cho hai
đườ
ng th
ẳ
ng
∆
:
3 8 0
x y
+ + =
,
':3 4 10 0

x y
∆ − + =
và
điểm A(-2 ; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng
∆
, đi qua điểm A và tiếp xúc với
đường thẳng
∆
’.
Lời giải:
- Gọi tâm đường tròn là I , do I thuộc
( )
2 3
: 2 3 ; 2
2
x t
I t t
y t
= − +

∆ ⇒ − + − −

= − −


- A thuộc đường tròn
( ) ( )
2 2
3 3
IA t t R

⇒ = + + =
(1)
- Đường tròn tiếp xúc với
(
)
(
)
3 2 3 4 2 10
13 12
'
5 5
t t
t
R R
− + − − − +
+
∆ ⇒ = ⇔ =
. (2)
- Từ (1) và (2) :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
13 12
3 3 25 3 3 13 12
5
t
t t t t t
+
 
+ + = ⇔ + + = +
 

Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn
2 2
( ): – 2 – 2 1 0,
C x y x y+ + =
2 2
( '): 4 –5 0
C x y x
+ + =
cùng đi qua M(1; 0). Viết phương trình
đường thẳng qua M cắt hai đường tròn
( ), ( ')
C C
lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB
Lời giải:
* Cách 1.
- G
ọi d là đường thẳng qua M có véc tơ chỉ phương
( )
1
; :
x at
u a b d
y bt
= +

= ⇒

=




- Đường tròn
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1 2 2 2
: 1;1 , 1. : 2;0 , 3
C I R C I R
= − =
, suy ra :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2
1 2
: 1 1 1, : 2 9
C x y C x y
− + − = + + =

A(5;2)
B C
x+y-6=0
2x-y+3=0
M
N

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên!
- Nếu d cắt
(
)
1
C
tại A :
( )
2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
0
2 2
2 0 1 ;
2
t M
ab b
a b t bt A
b
a b a b
t
a b
= →

 

⇒ + − = ⇔ ⇒ +
 


+ +
=
 
+


- Nếu d cắt
(
)
2
C
tại B :
( )
2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
0
6 6
6 0 1 ;
6
t M
a ab
a b t at B
a
a b a b
t
a b
= →


 

⇒ + + = ⇔ ⇔ − −
 

+ +
= −
 
+


- Theo giả thiết : MA=2MB
(
)
2 2
4 *
MA MB⇔ =

- Ta có :
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 6 6
4
ab b a ab
a b a b a b a b
 
   

   
+ = +
 
   
   
+ + + +
   
 
   
 

2 2
2 2
2 2 2 2
6 :6 6 0
4 36
4. 36
6 :6 6 0
b a d x y
b a
b a
b a d x y
a b a b
= − → + − =

⇔ = ⇔ = ⇔

= → − − =
+ +


* Cách 2.
- Sử dụng phép vị tự tâm I tỉ số vị tự k=
1
2
−
. (Họ
c sinh t
ự
làm )
Bài 9:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ

Oxy
, hãy vi
ế
t ph
ươ
ng trình các c

ạ
nh c
ủ
a tam giác
ABC
bi
ế
t tr
ự
c tâm
(1;0)
H , chân đường cao hạ từ đỉnh B là
(0; 2)
K , trung điểm cạnh AB là
(3;1)
M .
Lời giải:
- Theo tính chất đường cao : HK vuông góc với AC cho nên (AC)
qua K(0;2) có véc tơ pháp tuyến
(
)
(
)
(
)
1; 2 : 2 2 0 2 4 0
KH AC x y x y
= −
⇒
− − = ⇔ − + =


.
- B nằm trên (BH) qua H(1;0) và có véc tơ chỉ phương
(
)
(
)
1; 2 1 ; 2
KH B t t
= −
⇒
+ −

.
- M(3;1) là trung điểm của AB cho nên A(5-t;2+2t).
- Mặt khác A thuộc (AC) cho nên : 5-t-2(2+2t)+4=0 , suy ra t=1 . Do
đó A(4;4),B(2;-2)
- Vì C thuộc (AC) suy ra C(2t;2+t) ,

(
)
(
)
2 2;4 , 3;4
BC t t HA
= − + =
 
. Theo tính chất đường cao kẻ từ A :
(
)

(
)
. 0 3 2 2 4 4 0 1
HA BC t t t
⇒
=
⇒
− + + = → = −
 
. Vậy : C(-2;1).
- (AB) qua A(4;4) có véc tơ chỉ phương
( ) ( ) ( )
4 4
2;6 // 1;3 :
1 3
x y
BA u AB
− −
= = ⇒ =
 

3 8 0
x y
⇔ − − =

- (BC) qua B(2;-2) có véc tơ pháp tuyến
(
)
(
)

(
)
(
)
3;4 :3 2 4 2 0
HA BC x y
=
⇒
− + + =


3 4 2 0
x y
⇔ + + =
.

Bài 10: Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho đường tròn (
T
):
x
2
+
y
2
– 9
x
–
y

+ 18 = 0 và hai điểm
A
(1; 4),
B
(−1; 3). Gọi
C
,
D
là hai điểm thuộc (
T
) sao cho
ABCD
là một hình bình hành. Viết phương trình đường
thẳng
CD
.
Lời giải:
Ta có
( 2; 1), 5
AB AB= − − =

; (C) có tâm
9 1
;
2 2
I
 
 
 
và bán kính

10
2
R =
ABCD là hình bình hành nên CD = AB và ph
ươ
ng trình CD: x – 2y + m = 0
7 2
( , )
2 5
m
d I CD
+
=
;
2 2
2 ( , )
CD R d I CD
= −
2
2
5 (7 2 )
5 2 7 6 0 1; 6
2 20
m
m m m m
+
⇔ = − ⇔ + + = ⇔ = − = −

V
ậ

y ph
ươ
ng trình CD: x – 2y − 1 = 0; x – 2y − 6 = 0

H(1;0)
K(0;2)
M(3;1)
A
B
C
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên!
Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (T): (x – 1)
2
+ (y + 2)
2
= 10 và hai điểm B(1; 4),
C(−3; 2). Tìm tọa độ điểm A thuộc (T) sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 19.
Lời giải:
Giả sử A(x; y) ∈ (C) ⇒ (x – 1)
2
+ (y + 2)
2
= 10 Ta có:
2 5
BC = và phương trình BC: x – 2y + 7 = 0
2 7
( , )
5
x y

d A BC
− +
=
Diện tích tam giác ABC:
1
. ( , ) 19
2
ABC
S BC d A BC
= =

⇔
2 12
2 7
1
.2 5. 19
2 26
2
5
x y
x y
x y
= +
− +

= ⇔

= −


TH1: x = 2y + 12 th
ế
vào (1), ta
đượ
c
2
23
5 48 115 0 5;
5
y y y y+ + = ⇔ = − = −
+ v
ớ
i
5 2
y x
= − ⇒ =

+ với
23 14
5 5
y x
= −
⇒
=

TH2: x = 2y – 26 thế vào (1), ta được 5y
2
– 104y +723 = 0 (vô nghiệm) .Vậy
(2; 5)
A

−
;
14 23
;
5 5
A
 
−
 
 

Bài 12:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
độ
Oxy, cho tam giác ABC cân t
ạ
i
đỉ
nh A, ph
ươ
ng trình AB: x + 2y – 4 = 0,
BC: 3x + y – 7 = 0. Tìm t
ọ
a

độ
các
đỉ
nh A và C, bi
ế
t r
ằ
ng di
ệ
n tích tam giác ABC b
ằ
ng
5
2
và
đ
i
ể
m A có
hoành
độ
d
ươ
ng.
Lời giải:
Nh
ậ
n xét: Góc gi
ữ
a hai

đườ
ng th
ẳ
ng BC và AB là 45
0
và ∆ABC cân t
ạ
i A nên ∆ABC vuông cân t
ạ
i A
A ∈ AB ⇒ A(4 − 2a; a); C ∈ BC ⇒ C(c; 7 − 3c)
(2 4; 3 7)
AC a c a c
= + − − − +

, vtcp của AB là
1
(2; 1)
u
= −


1
. 0 3
AC u c a
= ⇔ = −


(1)
Tọa độ B là nghiệm hệ phương trình

2 4 0 2
3 7 0 1
x y x
x y y
+ − = =
 
⇔
 
+ − = =
 

⇒
B(2;1)
Diện tích tam giác ABC:
2
1 5
2 2
ABC
S AB
= =
⇔
2 2 2
0
(2 2) (1 ) 5 2 0
2
a
a a a a
a
=


− + − = ⇔ − = ⇔

=

.
Do x
A
> 0 nên chỉ nhận a = 0
⇒
c = 3. Suy ra A(4; 0) và C(3;−
−−
−2)
Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng
: 2 5 0
x y
∆ − + =
và đường tròn
2 2
( ): 2 4 5 0
C x y x y
+ − + − =
. Qua điểm M thuộc ∆, kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B là các tiếp
điểm). Tìm tọa độ điểm M, biết độ dài đoạn
2 5
AB = .
Lời giải:
M ∈ ∆
⇒
M(2m − 5; m);
(C) có tâm I(1; −2), bán kính

10
R =
Gọi H là trung điểm AB
⇒

5
AH = và AH ⊥ MI
Tam giác AIM vuông tại A có AH là đướng cao nên:
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
10
5 10
AM
AH AM AI AM
= + ⇔ = +
⇒
= và
2 2
2 5
IM IA MA= + =

2
20
IM
⇒
=
⇔
2 2 2
(2 6) ( 2) 20 4 4 0 2
m m m m m

− + + = ⇔ − + = ⇔ =

Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết phương trình các đường thẳng chứa các
cạnh AB, BC lần lượt là 4x + 3y – 4 = 0; x – y – 1 = 0. Phân giác trong của góc A nằm trên đường thẳng x +
2y – 6 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Lời giải:
Tọa độ của A nghiệm đúng hệ phương trình:
( )
4 3 4 0 2
2;4
2 6 0 4
x y x
A
x y y
+ − = = −
 
⇔
⇒
−
 
+ − = =
 

Tọa độ của B nghiệm đúng hệ phương trình
( )
4 3 4 0 1
1;0
1 0 0
x y x
B

x y y
+ − = =
 
⇔
⇒
 
− − = =
 

H
I
B
M
A
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên!
Đường thẳng AC đi qua điểm A(-2;4) nên phương trình có dạng:
(
)
(
)
2 4 0 2 4 0
a x b y ax by a b
+ + − = ⇔ + + − =

Gọi
1 2 3
: 4 3 4 0; : 2 6 0; : 2 4 0
x y x y ax by a b
∆ + − = ∆ + − = ∆ + + − =

Từ giả thiết suy ra
( )

( )

2 3 1 2
; ;
∆ ∆ = ∆ ∆
. Do đó
( )

( )

( )
2 2
2 3 1 2
2 2
|1. 2. | | 4.1 2.3|
cos ; cos ; | 2 | 2
25. 5
5.
0
3 4 0
3 4 0
a b
a b a b
a b
a
a a b

a b
+ +
∆ ∆ = ∆ ∆ ⇔ = ⇔ + = +
+
=

⇔ − = ⇔

− =


+ a = 0
0
b
⇒ ≠
. Do
đ
ó
3
: 4 0
y
∆ − =

+ 3a – 4b = 0: Có th
ể
cho a = 4 thì b = 3. Suy ra
3
: 4 3 4 0
x y
∆ + − =

(trùng v
ớ
i
1
∆
).
Do v
ậ
y, ph
ươ
ng trình c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng AC là y - 4 = 0.
T
ọ
a
độ
c
ủ
a C nghi
ệ
m
đ
úng h
ệ
ph

ươ
ng trình:
( )
4 0 5
5;4
1 0 4
y x
C
x y y
− = =
 
⇔ ⇒
 
− − = =
 

Bài 15:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
to
ạ

độ
Oxy, cho tam giác ABC có hai

đỉ
nh






− 1;
4
1
),4;2( CA
và tâm
đườ
ng tròn n
ộ
i ti
ế
p tam giác là






2
3
;
2
1

I
. Tìm to
ạ

độ

đỉ
nh B.
Lời giải:
pt
đườ
ng th
ẳ
ng AC là: 4x+3y-4=0. bán kính c
ủ
a
đườ
ng tròn n
ộ
i ti
ế
p là
2
1
),( == ACIdr
pt AB là: 3x+4y-10=0
pt BC là: y-1=0
To
ạ

độ

đỉ
nh B là B(2;1)