tiếp tuyến của đồ thị hàm số p4

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1







DẠNG 2. TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC (tiếp theo)
Ví dụ 1: Cho hàm số
2 1
,
1
−
=
−
x
y
x
có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao
cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM.
Đ/s: M(0; 1) và M(2; 3).
Ví dụ 2: Cho hàm số
2
,
2
=
−

x
y
x
có đồ thị là (C).
Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị sao cho tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại các điểm A, B với
2
=
AB OA

Đ/s: d: x + y – 8 = 0
Ví dụ 3: Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 có
đồ thị là (C
m
); (m là tham s
ố).
Xác định m để (C
m
) c
ắt đường thẳng: y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (C
m
) t
ại D và
E vuông góc với nhau.
Đ/s:
9 65
8

−
=m
Ví dụ 4:
(Trích
đề
thi
Đạ
i h
ọ
c kh
ố
i A n
ă
m 2011)

Cho hàm s
ố

1
,
2 1
− +
=
−
x
y
x
có
đồ
th

ị
là (C). Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
đườ
ng th
ẳ
ng d: y = x + m luôn c
ắ
t
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m
phân bi
ệ
t A, B v
ớ
i m
ọ
i giá tr
ị

c
ủ
a m. G
ọ
i k
1
; k
2
là h
ệ
s
ố
góc c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i A, B. Tìm k
để
t
ổ

ng
1 2
+
k k

đạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t.
Đ
/s:
(
)
1 2
min
1; 2
= − + = −
m k k
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:
Cho hàm s
ố

1
,
2

+
=
−
x
y
x
có
đồ
th
ị
là (C). G
ọ
i I là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a
đồ
th
ị
(C).
Tìm

đ
i
ể
m M trên
đồ
th
ị
sao cho ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
t
ạ
i M vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng IM.
Bài 2:
Cho hàm s
ố

( )
2 1
, .
1
−
=
+
x
y C
x

Tìm
đ
i
ể
m M thu
ộ
c
đồ
th
ị
(C)
để
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t

ạ
i M v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua M và giao
đ
i
ể
m hai
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n có
tích h
ệ
s
ố
góc b
ằ
ng
−
9.
Bài 3:

Cho hàm s
ố

3 2
2 3.
= − + −
y x x
M
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua M(1 ; −2) và có h
ệ
s
ố
góc k.
a) Tìm k
để

đườ
ng th
ẳ
ng d và
đồ
th
ị

hàm s
ố

đ
ã cho c
ắ
t nhau t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t M(1 ; −2) ; A và B.
b) Tim k
để
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
t
ạ
i hai

đ
i
ể
m A, B vuông góc v
ớ
i nhau.
Bài 4:
Cho hàm s
ố

3
– 3 1
= +
y x x
có
đồ
th
ị
là (C) và
đườ
ng th
ẳ
ng d: y = mx + m + 3.
Xác
đị
nh m
để
d c
ắ
t (C) t

ạ
i M(−2; 3), N, P sao cho các ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i N và P vuông góc v
ớ
i nhau.
Bài 5:
Cho hàm s
ố

3 2
– 3 4
= +
y x x
có
đồ
th
ị
là (C) và
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ

i qua A(2; 0) có h
ệ
s
ố
góc k.
Xác
đị
nh k
để
d c
ắ
t (C) t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B, C sao cho ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i B và C vuông góc v
ớ
i nhau.

Bài 6:
Cho hàm s
ố

3 2
2 5
( 1) (3 2)
3 3
= − + − + − −
y x m x m x có
đồ
th
ị

),(
m
C
m là tham s
ố
.
Tìm m
để
trên
)(
m
C
có hai
đ
i
ể

m phân bi
ệ
t
1 1 1 2 2 2
( ; ), ( ; )
M x y M x y
th
ỏ
a mãn
1 2
. 0
>
x x
và ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
)(
m
C
t
ạ
i m
ỗ
i
đ
i

ể
m
đ
ó vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
: 3 1 0.
− + =
d x y

Bài 7:
Cho hàm s
ố

3 2
(1 2 ) (2 ) 2
= + − + − + +
y x m x m x m
(1) v
ớ
i m là tham s
ố
.
Tài liệu bài giảng:

01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P4

Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2

Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + 7 = 0 góc α, biết
1
cos
α .
26
=
Bài 8:
Cho hàm số
3
1
−
=
+
x
y
x
có
đồ
th
ị
là (C). Vi
ế
t ph
ươ

ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
, bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n
đ
ó c
ắ
t tr
ụ
c
hoành t
ạ
i A, c
ắ
t tr

ụ
c tung t
ạ
i B sao cho OA = 4OB.
Bài 9: Cho hàm s
ố

3 2
( ) 6 9 3
= = + + +
y f x x x x (C).
Tìm tất cả các giá trị k, để tồn tại 2 tiếp tuyến với (C) phân biệt và có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua
các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho
OA OB
2011.
=
.
Đ/s:
9
; 6039.
2
= =k k
HƯỚNG DẪN GIẢI, ĐÁP SỐ
Bài 1:
Cho hàm số
1
,
2
+
=

−
x
y
x
có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị (C).
Tìm điểm M trên đồ thị sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại M vuông góc với đường thẳng IM.
Ta có
2
1 2 3 3 3
1
2 2 2
( 2)
+ − +
′
= = = + → = −
− − −
−
x x
y y
x x x
x

G
ọ
i
( )
( )
3 3
; 1 ;1 .
2 2

 
∈ ⇒ = + → +
 
− −
 
o o o o
o o
M x y C y M x
x x

Ta có
2
1
lim
2
1
lim 1
2
→
→∞
+

= ∞


−

+

=


−

x
x
x
x
x
x
, từ đó đường x = 2 là tiệm cận đứng và y = 1 là tiệm cận ngang.
Điểm I là giao của hai tiệm cận nên I(2 ; 1).

Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là
( )
2
3
( 2)
′
= = −
−
tt o
o
k y x
x


Đườ
ng th
ẳ
ng IM có h

ệ
s
ố
góc
2
3
1 1
2
3
2
( 2)
 
− +
 
−
−
 
= = =
− −
−
o
I M
IM
I M o
o
x
y y
k
x x x
x

 Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i M vuông góc v
ớ
i
đườ
ng IM khi
2 2
3 3
. 1 . 1
( 2) ( 2)
= − ⇔ − = −
− −
tt IM
o o
k k
x x

2
2 3 2 3
( 2) 3
2 3 2 3
 
− = = +
⇔ − = ⇔ ⇔

 
− = − = −
 
 
o o
o
o o
x x
x
x x

+ V
ớ
i
( )
3 3
2 3 1 1 1 3 2 3;1 3
2
3
= +
⇒
= + = + = + → + +
−
o o
o
x y M
x

+ V
ớ

i
( )
3 3
2 3 1 1 1 3 2 3;1 3
2
3
= −
⇒
= + = + = − → − −
−
−
o o
o
x y M
x

V
ậ
y có hai
đ
i
ể
m M th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán.
Bài 2:
Cho hàm s
ố

( )
2 1
, .
1
−
=
+
x
y C
x

Tìm
đ
i
ể
m M thu
ộ
c
đồ
th
ị
(C)
để
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ

a (C) t
ạ
i M v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua M và giao
đ
i
ể
m hai
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n có
tích h
ệ
s
ố
góc b
ằ
ng
−
9.

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
Ta có
( )
2
3
.
1
′
=
+
y
x
G
ọ
i
( )
2 1
;
1
−
 
∈
 
+

 
a
M a C
a

Ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i (C) t
ạ
i M có h
ệ
s
ố
góc:
( )
2
3
( ) .
1
′
= =
+
tt
k y a
a
Giao

đ
i
ể
m hai
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n I(−1; 2).
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
3

Đường thẳng IM có hệ số góc là
( )
2
3
.
1
−
−
= =
−
+
M I
IM
M I
y y

k
x x
a

Theo bài ta có
( ) ( )
( )
4
2 2
0
3 3
. 9 . 9 1 1
2
1 1
=

−
= − ⇔ = − ⇔ + = →

= −
+ +

tt IM
a
k k a
a
a a

V
ậ

y có 2
đ
i
ể
m M th
ỏ
a mãn
đề
bài là M(0;
−
3), M(
−
2; 5).
Bài 3:
Cho hàm s
ố

3 2
2 3.
= − + −
y x x
M
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua M(1 ; −2) và có h

ệ
s
ố
góc k.
a)
Tìm k
để

đườ
ng th
ẳ
ng d và
đồ
th
ị
hàm s
ố

đ
ã cho c
ắ
t nhau t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t M(1 ; −2) ; A và B.

b)
Tim k
để
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m A, B vuông góc v
ớ
i nhau.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
a)

Đườ
ng th
ẳ
ng d qua M(1 ; −2
)
và có h
ệ
s
ố
góc k nên có d
ạ
ng d : y = k(x − 1) − 2.
Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đồ
th
ị
:
3 2 3 2
2 3 ( 1) 2 2 1 ( 1)

− + − = − − ⇔ − + − = −
x x k x x x k x

2
2 2
1
( 1)( 1) ( 1)
1 ( ) 1 0, (1)
=

⇔ − − + + = − ⇔

− + + = ⇔ = − + − =

x
x x x k x
x x k g x x x k

Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i ba
đ
i
ể

m phân bi
ệ
t khi (1) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t và khác 1.
Ta có
đ
i
ề
u ki
ệ
n
5
0 1 4( 1) 0
4
(1) 0 (1) 1 0
1

∆ > − − >
<
 

⇔ ⇔
  
≠ = − ≠
 

≠


k
k
g g k
k

V
ậ
y v
ớ
i
4
5
1

<



≠

k
k
thì hai
đồ
th
ị

đ
ã cho c

ắ
t nhau t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t, trong
đ
ó có
đ
i
ể
m M(1 ; −2).
b)
G
ọ
i A(x
1
; y
1
), B(x
2
; y
2
)
⇒
x

1
; x
2
là hai nghi
ệ
m c
ủ
a g(x) = 0, theo
đị
nh lí Vi-ét ta có
1 2
1 2
1
1
+ =


= −

x x
x x k

Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i A, B l
ầ

n l
ượ
t có h
ệ
s
ố
góc là
( )
( )
2
1 1 1
2
2 2 2
3 4
3 4

′
= = − +


′
= = − +


A
B
k y x x x
k y x x x

Ti

ế
p tuy
ế
n t
ạ
i A và B vuông góc v
ớ
i nhau khi
(
)
(
)
2 2
1 1 2 2
. 1 3 4 3 4 1
= − ⇔ − + − + = −
A B
k k x x x x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
9 12 16 1 9 1 12 1 16 1 1 9 14 14 0
⇔ − + + = − ⇔ − − − + − = − ⇔ − + =
x x x x x x x x k k k k k
Ph
ươ
ng trình trên vô nghi
ệ
m, v

ậ
y không có giá tr
ị
k nào th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán.
Bài 4:
Cho hàm s
ố

3
– 3 1
= +
y x x
có
đồ
th
ị
là (C) và
đườ
ng th
ẳ
ng d: y = mx + m + 3.
Xác
đị
nh m
để
d c

ắ
t (C) t
ạ
i M(−2; 3), N, P sao cho các ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i N và P vuông góc v
ớ
i nhau.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :

• Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể

m c
ủ
a (C) và (d):
3
– ( 3) – – 2 0
+ =
x m x m
2
2
1 3
( 1)( – – – 2) 0
( ) 2 0
= − ⇒ =

⇔ + = ⇔

= − − − =

x y
x x x m
g x x x m

d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
( )
9
1;3 , , , 0
4
M N P m m
− ⇔ > − ≠

Khi đó x
N
; x
P
là các nghiệm của phương trình
2
1
2 0
2
+ =

− − − = ⇒

= − −

N P
N P
x x
x x m
x x m

Hệ số góc của tiếp tuyến tại N, P lần lượt là k
1
và k
2
thỏa mãn
2
1
2
2

3 3
3 3

= −

= −

N
P
k x
k x

Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau khi
2
1 2
3 2 2
3
. 1 9 18 1 0
3 2 2
3

− +
=


= − ⇔ + + = ⇔
− −

=



m
k k m m
m

Đố
i chi
ế
u v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n ta
đượ
c
3 2 2
3
m
− ±
= là các giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
4

Bài 5: Cho hàm số
3 2
– 3 4
= +
y x x
có
đồ
th
ị
là (C) và
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua A(2; 0) có h
ệ
s
ố
góc k.
Xác
đị
nh k
để
d c
ắ
t (C) t

ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B, C sao cho ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i B và C vuông góc v
ớ
i nhau.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
Ph
ươ
ng trình
đườ
ng th

ẳ
ng (d): y = k(x
−
2).
Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (C) và d:
3 2 2
3 4 ( 2) ( 2)( 2 ) 0
x x k x x x x k
− + = − ⇔ − − − − =

( )
2
2
( ) 2 0, 1
A
x x
g x x x k
= =

⇔


= − − − =


Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt, khác 2
0
9
0
(2) 0
4
k
f
∆ >

⇔ ⇔ − < ≠

≠

(*)
Theo định lí Viet ta có:
1
2
M N
M N
x x
x x k
+ =


= − −



Các ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i M và N vuông góc v
ớ
i nhau khi
( ) ( )
. 1 . 1
M N
M N x x
k k y y
′ ′
= − ⇔ = −

⇔
2 2 2
3 2 2
(3 6 )(3 6 ) 1 9 18 1 0
3
M M N N
x x x x k k k
− ±
− − = − ⇔ + + = ⇔ =
Đố
i chi

ế
u v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n (*) ta
đượ
c
3 2 2
3
m
− ±
= là các giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
Bài 6:
Cho hàm s
ố

3 2
2 5
( 1) (3 2)
3 3
= − + − + − −

y x m x m x có đồ thị
),(
m
C
m là tham số.
Tìm m để trên
)(
m
C
có hai điểm phân biệt
1 1 1 2 2 2
( ; ), ( ; )
M x y M x y
thỏa mãn
1 2
. 0
>
x x
và tiếp tuyến của
)(
m
C
tại mỗi
điểm đó vuông góc với đường thẳng
: 3 1 0.
− + =
d x y

Hướng dẫn giải:
Ta có hệ số góc của

1
: 3 1 0 .
3
− + = ⇒ =
d
d x y k Do đó
1 2
,
x x
là các nghiệm của phương trình
' 3
= −
y , hay
2 2
2 2( 1) 3 2 3 2 2( 1) 3 1 0
− + − + − = − ⇔ − − − − =
x m x m x m x m (1)
Yêu c
ầ
u bài toán t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i ph
ươ
ng trình (1) có hai nghi
ệ
m

1 2
,
x x
th
ỏ
a mãn
1 2
0
>
x x

2
3
' ( 1) 2(3 1) 0
1
3 1
1 .
0
3
2
 < −

∆ = − + + >


⇔ ⇔

− −

− < < −

>




m
m m
m
m

V
ậ
y k
ế
t qu
ả
c
ủ
a bài toán là
3
< −
m và
1
1 .
3
− < < −
m
Bài 7:
Cho hàm s
ố

3 2
(1 2 ) (2 ) 2
= + − + − + +
y x m x m x m
(1) v
ớ
i m là tham s
ố
.
Tìm m
để

đồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố
(1) có ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
o v
ớ
i
đườ

ng th
ẳ
ng d: x + y + 7 = 0 góc
α
, bi
ế
t
1
cos
α .
26
=
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến, suy ra tiếp tuyến có véctơ pháp
1
( ; 1)
= −

n k
Đường thẳng d có véctơ pháp tuyến là
2
(1;1)
=


n
Ta có
1
1 2
2
2
1 2
2
3
.
1
1
2
cos
α
12 26 12 0
2
26
2 1
3

=

−
= ⇔ = ⇔ − + = ⇔


+
=



 
 
k
n n
k
k k
n n
k
k

Yêu c
ầ
u c
ủ
a bài toán th
ỏ
a mãn ⇔ ít nh
ấ
t m
ộ
t trong hai ph
ươ
ng trình:
1
'
=
y k
(1) và
2

'
=
y k
(2) có nghi
ệ
m x
⇔
2
2
3
3 2(1 2 ) 2
2
2
3 2(1 2 ) 2
3

+ − + − =



+ − + − =


x m x m
x m x m
⇔
/
1
/
2

0
0

∆ ≥

∆ ≥



có nghi
ệ
m
có nghi
ệ
m
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
5

⇔
2
2
8 2 1 0
4 3 0

− − ≥

− − ≥



m m
m m
⇔
1 1
;
4 2
3
; 1
4

≤ − ≥



≤ − ≥


m m
m m
⇔
1
4
≤ −
m hoặc
1
.
2
≥
m

Bài 8: Cho hàm số
3
1
−
=
+
x
y
x
có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó cắt trục
hoành tại A, cắt trục tung tại B sao cho OA = 4OB
Hướng dẫn giải:
Ta có OA = 4OB nênn ∆OAB có
1
tan
4
= =
OB
A
OA
⇒
tiếp tuyến AB có hệ số góc là
1
4
= ±
k
Phương trình
2
3
4 1

'
5
4
( 1)
=

= ⇔ = ⇔ ⇔

= −
+

x
y k
x
x

+ với x = 3 ⇒ y = 0, tiếp tuyến có phương trình
1
( 3)
4
= −
y x
+ với x = -5 ⇒ y = 2, tiếp tuyến có phương trình
1 1 13
( 5) 2
4 4 4
= + + ⇔ = +y x y x