LUẬN VĂN THẠC SỸ VỀ XẤP XỈ TCHEBYCHEFF BẰNG CÁC ĐA THỨC giáo viên hướng dẫn tiến sĩ Mai Xuân Thảo

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC


LÊ THỊ DUNG
XẤP XỈ TCHEBYCHEFF BẰNG
CÁC ĐA THỨC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên nghành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02
Người hướng dẫn khoa học: TS. Mai Xuân Thảo
THANH HÓA, NĂM 2014
Mở đầu
1
Như chúng ta đều biết: chuẩn xác định trên không gian các
hàm liên tục bị chặn trên một tập S theo công thức

sup ( )
x S
f f x
∞
∈
=
được gọi là chuẩn đều ( chuẩn Tchebycheff). Bài toán tìm đa
thức gần một tập hợp cho trước theo nghĩa chuẩn đều được gọi là
xấp xỉ Tchebyshew.
Khi xét xấp xỉ hàm liên tục
f
xác định trên đoạn
[ ]
,a b

bằng đa
thức
1
1 0
( )
n n
n n
P x c x c x c
−
−
= + + +
ta quan tâm vào đánha giá sai
số xấp xỉ nhỏ nhất

ax ( ) ( )
a x b
m f x P x
≤ ≤
−
(1)
hoặc
1
ax ( ) ( )
i i
i m
m f x P x
≤ ≤
−
(2)
Tổng quát hơn, ta thay các đơn thức

2
1, , , ,
n
x x x
bằng các hàm
xác định
0 1
, , ,
n
g g g
với đa thức tổng quát có dạng
1
n
i i
i
c g
=
∑
Như vậy, bài toán xấp xỉ có dạng

1
1 2 3 4
( ) log cos ( 2)
x
f x c x c x c e c x
−
≈ + + + −
Trường hợp đặc biệt xét biểu diễn (2) trên
( 1)n +
điểm thì bài

toán xấp xỉ luôn có nghiệm.
Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, kết luận và ba chương
Luận văn tìm hiểu về sự tồn tại, tính duy nhất và đánh giá sai
số xấp xỉ của xấp xỉ Tchebyshew bằng đa thức.
Chương 1: Trình bày về xấp xỉ Tchebyshew bằng đa thức, một số
2
vấn đề về nội suy (công thức Lagrange, công thức sai số, đa thức
Tchebyshew, nội suy Hermite), định lý Weierstrass, đa thức
Bernstein, định lý Fejér .
Chương 2: Trình bày kiến thức về xấp xỉ Tchebyshew bằng đa
thức tổng quát, điều kiện Haar, hệ Markoff, định lý de La Vallée
Poussin, định lý Freud, các định lý hội tụ.
Chương 3: Trình bày về sai số, xét sai số trên không gian metric
compact tùy ý và trên một không gian metric compact cụ thể, bất
đẳng thức Markoff và bất đẳng thức Bernstein.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng chắc chắn luận văn khó
tránh khỏi những khiếm khuyết nhất định. Vậy tôi rất mong nhận
được sự góp ý của các thầy cô giáo và những người quan tâm đến
vấn đề này.
3
Chương 1. Xấp xỉ Tchebycheff bằng đa thức
1.1. Nội suy
Định lý 1.1. ( Định lý nội suy )
Tồn tại duy nhất đa thức có bậc
≤
n nhận giá trị cho trước
tại n + 1 điểm phân biệt.
Định lí 1.2. Nếu
f
có đạo hàm liên tục đến cấp n trên đoạn

[ ]
;a b
, giả sử
P
là đa thức của
f
tại n nút
i
x
có bậc
n<
nội
suy trong đoạn
[ ]
;a b
và giả sử
W( ) ( )
i
x x x= −
∏
thì ta có:

( )
1
W
!
n
f P f
n
− ≤

Từ định lý 1.2 một câu hỏi hết sức tự nhiên là chúng ta có
thể tìm các nút để cận sai số là nhỏ nhất. Do các nút được đưa
vào trong công thức của hàm
W
, nên chúng ta sẽ cố gắng làm W
nhỏ nhất.
Định lí 1.3.
1
W( ) ( )
n
i
i
x x x
=
= −
∏
là nhỏ nhất trên đoạn [-1;1] khi

(2i-1)
os[ ]
2
i
x c
n
π
=
Định lí 1.4.( Nội suy Hermite)
Tồn tại duy nhất đa thức
P
có bậc

≤
2n -1 sao cho
P
và
đạo hàm của nó
'P
nhận các giá trị cho trước tại
n
điểm.
1.2. Định lý Weierstrass
1.2.1 Đa thức Bernstein
Với mỗi
[ ]
0,1f C∈
, một dãy các đa thức gọi là đa thức
Bernstein
n
B f
được xác định bởi công thức
4
0
( )( ) ( ) (1 )
n
k n k
n
k
n
k
B f x f x x
k

n
−
=
 
= −
 ÷
 
∑
(1)
ở đây
n
k
 
 ÷
 
là hệ số tổ hợp,
!
( )! !
n
n
k
n k k
 
=
 ÷
−
 
.
Công thức (1) cũng xác định với mỗi n, một toán tử
n

B
. Như vậy
với mỗi phần tử
[ ]
0;1f C∈
, có tương ứng một phần tử khác
n
B f
của
[ ]
0;1C
được xác định như ở trên sao cho điều kiện
tuyến tính được thỏa mãn, đó là

( ) ( )
n n n
B af bg aB f bB g+ = +
(2)
Các toán tử
n
B
có thêm tính chất quan trọng, đó là với mọi
[ ]
; 0;1f g C∈
mà
f g≥
thì
n n
B f B g≥
(3)

Chúng ta thấy rằng
f g≥
kéo theo
( ) ( )f x g x≥
với mọi
[ ]
;x a b∈
, Khi đó các toán tử
n
B
được gọi là các toán tử đơn
điệu. Một sự kiểm tra của chứng minh của Bernstein tiết lộ rằng
mấu chốt của vấn đề là sự xác minh của toán tử này có tính chất
hội tụ
n
B f f→
với
2
( ) 1; ;f x x x=
(4)
Dĩ nhiên kết luận của chứng minh này là
n
B f f→
với mọi
[ ]
0;1f C∈
; sự hội tụ ở đây là hội tụ theo chuẩn đều.
[ ]
0;1
ax ( )

x
f m f x
∈
=
Sự mở rộng nổi bật về định lí của Benstein hiện tại đã được đưa
ra bởi Bohman và Korovkin, ở đó các tính chất (2),(3),(4) là đủ
5
cho bất kỳ dãy toán tử
n
L
nào có tính chất
n
L f f→
với mọi
[ ]
0;1f C∈
Định lí 1.5 Với mỗi dãy các toán tử tuyến tính đơn điệu
{ }
n
L
trên
[ ]
;C a b
, các điều kiện sau là tương đương
(i)
n
L f f→
( hội tụ đều) với mọi
[ ]
;a b

f C∈
(ii)
n
L f f→
với ba hàm
2
( ) 1; ;f x x x=
(iii)
1 1
n
L →
và
( )( ) 0
n t
L t
φ
→
đều theo t, ở đây
2
( ) ( )
t
x t x
φ
≡ −
1.2.2. Định lý Weierstrass
Định lí 1.6. ( Định lí xấp xỉ Weierstrass)
Cho
f
là một hàm liên tục xác định trên đoạn
[ ]

;a b
, với
mỗi
0
ε
>
có
tương ứng một đa thức P sao cho
f P
ε
− <
và do đó
( ) ( )f x P x
ε
− <
với mọi
[ ]
;x a b∈
.
Trong công thức Hermite, chúng ta thấy
( )
i i
y f x=
và
'
0
i
y =
, các
toán tử kết quả sẽ được gọi là toán tử Fejér-Hermite, nó có dạng

1
( )( ) ( ) ( )
n
i i
i
Lf x f x A x
=
=
∑


' 2
1
( )[1 2( ) ( )]l ( )
n
i i i i i
i
f x x x l x x
=
= − −
∑
(5)
Với mục đích của định lí Fejér, nó là tiện lợi để biểu diễn toán tử
ở (5) theo các số hạng của hàm
W( ) ( )
i
x x x= Π −
, như các mục
trước đó chúng ta vẫn có

6

( )
( )
( ) '( )
i
i i
W x
l x
x x W x
=
−

Nếu chúng ta tính đạo hàm và sử dụng quy tắc L’Hospital để ước
lượng dạng không xác định thì ta nhận được
'
W"(x )
1
( )
2 W'(x )
i
i i
i
l x =
Như vậy từ (5) ta có dạng thay thế
2
( ) "( )
( )
( )( ) ( ) 1
'( ) ( ) '( )

i i
i
i i i
x x W x
W x
Lf x f x
W x x x W x
   
−
= −
   
−
   
∑

Định lí 1.7. (Định lí Fejér)
Cho
n
L
là toán tử Fejér-Hermite với các nút tại các không
điểm của đa thức Tchebycheff
n
T
bậc n. Khi đó
n
L f f→
với
mọi
[ ]
1,1f C∈ −

.

7
Chương 2. Xấp xỉ Tchebycheff bằng đa thức tổng quát
2.1. Sự tồn tại của xấp xỉ tốt nhất
Ở các phần trước chúng ta đã xem xét việc xấp xỉ của các hàm
số bởi các đa thức thường có bậc
n≤
, dĩ nhiên những đa thức
này là đơn giản chúng là các tổ hợp tuyến tính đơn giản của các
hàm
2
1; ; ; ;
n
x x x
.
Điều hết sức tự nhiên là cần mở rộng khái niệm về đa thức để bao
gồm tổ hợp tuyến tính của các hàm cho trước, đó là
1 2
, , ,
n
g g g
Chúng ta luôn giả sử những hàm như thế là liên tục trên một
không gian metric compact
X
cho trước. Tổ hợp tuyến tính của
chúng
1
( )
n

i i
i
c g x
=
∑
được dùng với thuật ngữ là đa thức tổng quát .
Định lí 2.1. Điều kiện cần và đủ để
1
n
i i
i
r c g f
=
≡ −
∑
nhỏ nhất (
theo chuẩn đều ) là gốc của n không gian phải nằm trong bao lồi
của tập điểm
{ }
ˆ
( ) : ( )r x x r x r=
ở đây
, 1,
i
c i n=
là các hệ số,
x
ˆ
là ký hiệu của bộ
[ ]

1
( ), , ( )
n
g x g x
.
Chú ý định lí trên có thể mở rộng trong trường hợp phức, tập
điểm
{ }
ˆ
( ) : ( )r x x r x r=
được viết lại là
{ }
ˆ
( ) : ( )r x x r x r=
Ở đây
( )r x
là liên hợp phức của
( )r x
.
Với những loại cụ thể của các đa thức tổng quát, đặc trưng của
xấp xỉ tốt nhất có thể đưa ra theo một dạng tiện lợi hơn rất nhiều
8
đó là điều kiện Haar.
Điều kiện Haar. Hệ các hàm
{ }
n
gg , ,
1
là thỏa mãn điều kiện
Haar nếu mỗi g

i
là liên tục và nếu mỗi tập gồm n véc tơ dạng
[ ]
1
ˆ
( ), , ( )
n
x g x g x=
là độc lập tuyến tính.
Nói cách khác, mỗi định thức
[ ]
1 1 1
1
1
( ) ( )
, , 0
( ) ( )
n
n
n n n
g x g x
D x x
g x g x
= ≠

trong đó
1 2
, , ,
n
x x x

là các điểm phân biệt.
Hệ Tchebycheff : Một hệ hàm thỏa mãn điều kiện Haar được
gọi là hệ Tchebycheff nếu có ít nhất
n
nghiệm trên [a;b].
Chú ý rằng hệ
{ }
1 2
; ; ;
n
g g g
thỏa mãn điều kiện Haar nếu và
chỉ nếu 0 là hàm duy nhất có dạng
1
0
n
i i
i
c g
=
=
∑
,
Bổ đề 2.1. Cho
{ }
1 2
; ; ;
n
g g g
là các phần tử của

[ ]
,C a b
thỏa
mãn điều kiện Haar . Giả sử
0 1

n
a x x x b≤ < < < ≤
và
0
, ,
n
λ λ
là các hằng số
0
≠
. Khi đó để 0 nằm trong bao lồi của
bộ :
0 0
ˆ ˆ
; ;
n n
x x
λ λ


thì điều kiện cần và đủ là
i
λ
đan dấu, tức là

1
0
i i
λ λ
−
<

với mọi
1, ,i n=
Định lí 2.2. ( Định lí đan dấu )
Cho
{ }
1
, ,
n
g g
là các phần tử của
[ ]
,C a b

thỏa mãn điều kiện
Haar, giả sử
X là tập con đóng bất kỳ của
[
a,b
]
. Điều kiện cần và đủ để đa
9
thức
1

n
i i
i
P c g
=
=
∑
là xấp xỉ tốt nhất của f trên X là
r f P= −
xác
định trên X và
1
( ) ( )
i i
r x r x r
−
= − = ±
với
0

n
x x< <
;
i
x X∈
;
ax ( )
x X
r m r x
∈

=
Định lý trên là rất quan trọng cho sự xác định bằng số cho xấp xỉ
tốt nhất , ví dụ nếu chúng ta hi vọng xấp xỉ sin
2
x
π
bởi đa thức
0 1
( )P x c c x= +
trên [0,1] thì hàm sai số
f P−
cần phải đổi dấu
ít nhất 3 lần. Từ phác thảo dưới đây, ta giả sử 3 điểm đổi dấu là
0,
ξ
,1 , ở đây
ξ
là điểm chưa biết. Cho
f P
ε
= −

Khi đó :
(0) (0)f P
ε
− = −

( ) ( )f P
ξ ξ ε
− = +

(1) (1)f P
ε
− = −
Vì
( ) sin
2
x
f x
π
=
và
0 1
( )P x c c x= +
, lúc đó ta có các phương
trình

0
c
ε
=

0 1
sin
2
c c
πξ
ξ ε
+ = −

0 1
1c c
ε
+ = +
Nếu chúng ta biết
ξ
, chúng ta có thể tính được
0 1
; ;c c
ε
.
Tại
ξ
, sai số giữa
f
và
P
là lớn nhất. Do vậy
'( ) '( ) 0f P
ξ ξ
− =
10
Hay
1
os
2 2
c c
π πξ
=
. Do

1
c
= 1 nên
ξ
=
ξ
2
cos
1−
(
π
2
) =
0.56050850
và do vậy
0
1
( sin ) 0,10533467
2 2
c
πξ
ξ ξ
= = − + =
. Một tình huống
nảy sinh đó là nếu chúng ta biết được vị trí của các cực trị của
đường cong sai số thì chúng ta có thể dễ dàng dành được đa thức
bởi việc giải quyết một vài phương trình tuyến tính. Tuy nhiên sự
định vị của những cực trị này hầu như luôn luôn xoáy vào nghiệm
của phương trình phi tuyến.
Như một ứng dụng thú vị của định lí đan dấu, chúng ta có thể

chứng minh một “ định lí không tồn tại ”. Đầu tiên, ta định nghĩa
một hệ Markoff.
Hệ Markoff. Hệ có thứ tự vô hạn (hoặc hữu hạn) các hàm liên
tục
{ }
, ,
21
gg
trên đoạn
[ ]
ba,
được gọi là hệ Markoff nếu mọi
đoạn đầu
{ }
n
ggg , ,
21
thỏa mãn điều kiện Haar.
Chẳng hạn các đơn thức
2
1; ; ; x x
có dạng hệ Markoff trên
đoạn bất kỳ.
Định lý 2.3. Cho
{ }
1 2
, ,
n
g g g
là một hệ Markoff vô hạn trên

[a,b]. Cho
M
là không gian con tuyến tính đóng của
[ ]
,a b
C
được
sinh bởi các phần tử
i
g
khi đó với mọi điểm nằm ngoài M thì sẽ
không tồn tại điểm nằm trong M để sai số là bé nhất
Chứng minh . Giả sử ngược lại là tồn tại
g
là một điểm của
M
gần nhất đối với
f
và
0f g
ε
− = >
. Khi đó 0 là điểm gần nhất
của
M
đối với
f g−
. Cho không gian con hữu hạn chiều sinh
11
ra bởi

1
, ,
n
g g
. Lúc này 0 là điểm của
n
M
và gần
f g−
nhất.
Theo định lý đan dấu
f g−
thể hiện ít nhất n+1 dao động với
biên độ
ε
. Điều này là đúng với mọi n, do vậy
f g−
không thể
liên tục, suy ra
g
không liên tục mâu thuẫn với giả thiết là
g M∈
. Từ đây ta có điều phải chứng minh.
Sau đây là một ứng dụng khác của định lý đan dấu, chúng ta lấy
X
là tập tùy ý của n+2 điểm trên đường thẳng thực. Chúng ta
có hệ quả sau:
Hệ quả 2.1. Cho
P
và

Q
là các đa thức có bậc
1n
≤ +
được
xác định bởi điều kiện
( ) ( )
i i
P x f x=
và
( ) ( 1)
i
i
Q x = −
, ở đây
0 1 1

n
x x x
+
< < <
. Khi đó đa thức có bậc
n≤
là xấp xỉ tốt nhất
của
f
trên
{ }
i
x

là
P Q
λ
−
, ở đây
λ
được chọn sao cho
P Q
λ
−
có bậc
n≤
. Sai số trong xấp xỉ này là
λ
Chứng minh. Sự tồn tại của
P
và
Q
được đảm bảo bởi tính chất
nội suy. Vì
Q
là thay đổi dấu tại điểm
i
x
đồng thời có
( )
1n +
nghiệm và do đó nó có bậc
( )
1n +

. Suy ra
λ
tồn tại. Ta có
( ) ( ) ( ) ( 1)
i
i i i
f x p x Q x
λ λ
− + = −
. Khi đó theo định lí luân phiên
P Q
λ
−
là xấp xỉ tốt nhất cho
f
Trong định lí tiếp theo ta sử dụng các hệ các hàm liên tục
{ }
n
ggg , ,
21
thoả mãn điều kiện Haar. Ta kí hiệu
( ) infE f P f= −
, ở đây
P
thuộc tập hợp các đa thức tổng quát
có dạng
i i
P c g=
∑
12

Định lí 2.4. (Định lí de La Vallée Poussin).
Nếu
P
là một đa thức sao cho giá trị
f P−
đổi dấu luân
phiên tại n+1 điểm liên tiếp
i
x
của [a;b] thì
1
( ) min ( ) ( )
i i
i n
E f f x P x
≤ ≤
≥ −
Như trong nội dung của những phần trước, chúng ta giả
sử hệ các hàm liên tục, độc lập tuyến tính
{ }
1 2
, , ,
n
g g g
trên
một đoạn [a,b]
chúng ta đã trình bày một số định lý đặc trưng về xấp xỉ của
f
bởi một đa thức tổng quát ,
i i

c g
∑
với mục đích làm nhỏ nhất
chuẩn
ax ( ) ( )
i i i i
a x b
f c g m f x c g x
≤ ≤
− = −
∑ ∑
Một câu hỏi được đặt ra là khi nào xấp xỉ tốt nhất như thế là duy
nhất chúng ta cùng trình bày tiếp cùng với các định lý quan trọng
sau
2.2. Tính duy nhất của xấp xỉ tốt nhất
Định lý 2.5. ( Định lý duy nhất )
Nếu các hàm
1 2
, ,
n
g g g
là liên tục trên đoạn [a,b] và
thỏa mãn điều kiện Haar thì khi đó xấp xỉ tốt nhất của mỗi hàm
liên tục bởi một đa thức tổng quát
i i
c g
∑
là duy nhất
Chứng minh. Ta giả sử
P

và
Q
là hai đa thức tổng quát phân
biệt của xấp xỉ tốt nhất cho
f
cho trước. Nhờ bất đẳng thức tam
giác ta nhận được
( )
1
2
P Q+
cũng là đa thức xấp xỉ tốt nhất của
f
. Thật vậy nếu ta ký hiệu
ρ
là tập hợp tất cả các đa thức tổng
13
quát. Khi đó ta có

min
g
P f g f
ρ
∈
− = −

min
g
Q f g f
ρ

∈
− = −
suy ra
1 1 1
( ) ( ) ( )
2 2 2
P Q f P f Q f+ − = − + −

1 1
min
2 2
g
P f Q f g f
ρ
∈
≤ − + − = −
Do đó khẳng định
( )
1
2
P Q+
cũng là xấp xỉ tốt nhất cho
f
là đúng
Nhờ định lí xấp xỉ luân phiên, tồn tại các điểm
0 1

n
x x x< < <
trong đoạn

[ ]
,a b
sao cho
1
( ) ( )( ) ( 1)
2
i
i i
f x P Q x
ε
− + = −
, ở đây
f P
ε
= −

ở đây
1 1
[ ( ) ( )]+ [ ( ) ( )] ( 1)
2 2
i
i i i i
f x P x f x Q x
ε
− − = −

Vì các số trong ngoặc vuông có độ lớn không vượt quá
ε
,
chúng ta nhìn thấy rằng

( )( ) ( )( ) ( 1)
i
i i
f P x f Q x
ε
− = − = −
.
Nhưng
P
và
Q
khi đó là như nhau tại (n+1) điểm
i
x
, điều này là
không thể. Bởi vì hệ
{ }
1 2
; ; ;
n
g g g
thỏa mãn điều kiện Haar thì
không thể tồn tại đa thức tổng quát không tầm thường có nhiều
hơn n – 1 nghiệm. □
Có hai hướng trong định lí có thể được cải tiến. Hướng
thứ nhất chúng ta chứng minh định lí ngược cho điều kiện Haar.
14
Nếu đa thức của xấp xỉ tốt nhất cho
f
là duy nhất cho

∀
f
thì
tập các hàm
{ }
1 2
; ; ;
n
g g g
là thỏa mãn điều kiện Haar. Trong
hướng thứ hai chúng ta có thể nhận được một vài thông tin chi
tiết về
f P−
tăng nhanh như thế nào khi
P
dần xa xấp xỉ tốt
nhất. Ở đây ta có thể làm nhẹ X là một khoảng bằng một không
gian metric compact bất kỳ.
Định lí 2.6 ( Định lý duy nhất mạnh )
Cho tập các hàm
{ }
1 2
; ; ;
n
g g g
thỏa mãn điều kiện Haar,
giả sử
0
P
là đa thức xấp xỉ tốt nhất của hàm

f
liên tục cho
trước. Khi đó tồn tại hằng số
γ
>0 phụ thuộc vào
f
sao cho với
bất kỳ đa thức
P
, ta có

0 0
f P f P P P
γ
− ≥ − + −
Chứng minh. Nếu
0
o
f P
− =
thì
1
γ
=
vì
o
P P P f− ≤ −
Do vậy ta có thể giả sử rằng
0
o

f P− >
. Nhờ định lí đặc trưng,
nên tồn tại các điểm
0
, ,
K
x x
và dấu
0
,
K
σ σ
sao cho
0 0
( ) ( )
i i i
f x P x f P
σ
− = −
sao cho gốc của n không gian nằm
trong bao lồi của bộ n
[ ]
( ), , ( )
i i i n i
g x g x
σ
.
Do vậy phương trình

0

0 ( )
k
i i j i
i
g x
θ σ
=
=
∑
là phù hợp với
0>
i
θ
và
1; ;j n=
nhờ điều kiện Haar, ta có
k n
≥
và điều kiện Carathe’odory có
15
k n
≤
. Do vậy
k n
=
. Cho
Q
là đa thức tổng quát sao cho
1=Q
. Chúng ta có

0
( ) 0
n
i i i
i
Q x
θ σ
=
=
∑
Nhờ điều kiện Haar, các số
( )
i i
Q x
σ
không thể bằng số 0 với
mọi
i
.
Vì
0
i
θ
>
nên chúng ta suy rằng ít nhất có một số
1
( )
i
Q x
σ

là
dương
khi đó biểu diễn
1 1
ax ( )
i
m Q x
σ
là một hàm dương của
Q
.
Lúc này
min(max ( )) 0
i i
Q
i
Q x
γ σ
= >
, đồng thời là giá trị nhỏ nhất
của hàm dương liên tục trên một tập compact. Bây giờ cho
P
là
một đa thức tổng quát tuỳ ý. Nếu
0
P P=
thì bất đẳng thức cần
chứng minh trong định lí là tầm thường, trong trường hợp
0
P P≠

thì đa thức tổng quát
0
0
P P
Q
P P
−
=
−
có chuẩn bằng 1, khi đó có
một chỉ số
i
với
( )
i i
Q x
σ γ
≥
chúng ta có

( )( )
i i
f P f P x
σ
− ≥ −
0 0
( )( ) ( )( )
i i i i
f P x P P x
σ σ

= − + −

0 0
f P P P
γ
≥ − + −
Vậy định lí được chứng minh hoàn toàn. □
Định lí 2.7. ( Định lí duy nhất Haar)
Xấp xỉ tốt nhất của hàm liên tục
f
bởi một đa thức
i i
c g
∑
là duy nhất nếu và chỉ nếu
{ }
1 2
; ; ;
n
g g g
thoả mãn
16
điều kiện Haar.
Một trong những ứng dụng thú vị của định lí liên tục mạnh là
nếu
f
thay đổi không đáng kể thì đa thức xấp xỉ tổng quát của
nó cũng thay đổi không đáng kể. Để diễn đạt điều này một cách
chính xác, giả xử rằng hệ các hàm thỏa mãn điều kiện Haar trên
{ }

1
: , ,
n
X g g
. Với mỗi
[ ]
f C X∈
, cho
Jf
là đa thức tổng
quát của xấp xỉ tốt nhất cho
f
. Khi đó
J
là toán tử liên tục, hơn
thế nữa nó còn thỏa mãn điều kiện Lipschitz, đó là
Định lí 2.8. ( Định lí Freud)
Với mỗi
0
f
có tương ứng một số
λ
>0 sao cho với
mọi
f
ta có:

0 0
Jf Jf f f
λ

− ≤ −
17
Chương 3. Sai số
Bài toán tính xấp xỉ tốt nhất trên một đoạn thường được
thay bằng một tập hữu hạn các điểm và tìm xấp xỉ tốt nhất trên
tập này. Việc thay thế tính liên tục bằng một tập rời rạc được gọi
là rời rạc hóa. Trong chương này ta sẽ xét sai số rời rạc trong
không gian metric compact và áp dụng đối với không gian metric
compact
[ ]
1,1X = −
với metric thông thường.
3.1. Sai số trên không gian metric compact tùy ý
Giả sử
( , )X d
là một không gian metric compact, ta đặc
biệt quan tâm trường hợp
[ ]
1,1X = −
và
( ; )d x y x y= −
, hoặc
1 1
2
( ; ) os osd x y c x c y
π
− −
= −

Với mọi tập con

Y
của
X
chúng ta cần một độ đo để
Y
lấp đầy
X
. Với mục đích này, chúng ta định nghĩa tính trù mật của
Y
trong
X
bởi phương trình

axinf ( , )
y Y
x X
Y m d x y
∈
∈
=
Từ tính trù mật được dùng ở đây vì
0Y →
khi
Y
trở nên “ trù
mật ”.
Ví dụ một tập
Y
có n+1 điểm cách đều nhau trong [-1;1] có mật
độ

n
1
nếu điểm kết thúc được bao gồm trong
Y
và nếu
( , )d x y x y= −
Tương ứng với tập con
Y
bất kỳ, chúng ta có thể định nghĩa một
nửa chuẩn trong
[ ]C X
bởi
sup ( )
y Y
f f y
γ
∈
=
18
Với khái niệm này, chuẩn ban đầu trong
[ ]
C X
là
.
x
vì ở đây sẽ thường xuyên tồn tại hàm khác không liên tục và triệt
tiêu trên
Y
nên có thể
0f

γ
=
và
0f ≠
. Do vậy nó là không
thể để có bất đẳng thức có dạng
x Y
f k f≤
.
Tuy nhiên trong trường hợp đặc biệt, bất đẳng thức như thế là có
thể , điều này được thể hiện bởi bổ đề sau
Bổ đề 3.1 . Cho
{
1
, , }
n
g g
là tập bất kỳ các hàm liên tục trên
không gian metric compact
X
. Với mỗi
1
α
>
có tương ứng
δ
>0 sao cho
P P
γ
α

<
với mọi đa thức
i i
P c g=
∑
và với mọi
tập
Y
thỏa mãn
Y
δ
<
Nếu
f
là hàm nhận giá trị thực và bị chặn đồng thời xác
định trên một không gian metric
X
thì độ đo về tính liên tục của
nó được cho bởi hàm
ω
, xác định với
0
≥
δ
và phuơng trình :

( ) ( ) ( )
( , )
sup
d x y

f x f y
δ
ω δ
≤
= −
.
Hàm
ω
xác định như trên đuợc gọi là modul liên tục của
f
. Ví
dụ, nếu đồ thị của
f
có một buớc nhảy độ lớn bằng 1 thì
( )
0→
δω
khi
0
→
δ
.Thực vậy, cho
0
ε
>
tồn tại hàm liên tục
đều và một số
0
δ
>

sao cho : với mọi
x
và
y


( )
,
( ) ( )
x y
d f x f y
δ ε
≤ ⇒ − ≤
Bất đẳng thức này là tương đương với
( )
εδω
≤
Bổ đề 3.2. Cho X là không gian metric compact và
1
, , ,
n
f g g
là các phần tử tuỳ ý của C
[ ]
X
. Khi đó với mỗi đa thức
ii
gcP ∑=
, nửa chuẩn
Y

f P−
hội tụ tới
X
f P−
nếu
19
0Y
δ
< →
, theo bất đẳng thức
( )
( )
Y
f P f P P
ω δ β δ
− < − + + Ω
ở đây
β
là không phụ
thuộc vào
f
và
P
,
ω
là modul liên tục của
f
,
Ω
là modul liên

tục khớp.
Định lí 3.1. Cho
X
là một không gian metric compact và
1
, , ,
n
f g g
là các phần tử của
[ ]
C X
,với mỗi
XΥ ⊂
, cho
P
Υ
là kí hiệu của một đa thức
Y i i
P c g= ∑
là xấp xỉ tốt nhất cho
f
trên
Y
. Khi đó :
Y
f P f P
Χ
− → −
khi
0→Υ

Để diễn đạt các kết quả tiếp theo, chúng ta cần đến khái niệm
của một tập cơ bản. Một tập G trong
[ ]
C X
được gọi là một tập
cơ bản nếu với mỗi phần tử của
[ ]
C X
có thể được xấp xỉ tốt tùy
ý bởi một tổ hợp tuyến tính của các phần tử của
G
, nghĩa là với
mỗi
[ ]
f C X∈
và
0
ε
>
, cần tồn tại
i
g G∈
và các hệ số
i
c
sao
cho
1
n
i i

i
f c g
ε
=
− <
∑
chẳng hạn tập các hàm
{ }
2
1; ; ; x x
là tập
cơ bản trong
[ ]
;C a b
nhờ định lí Weierstrass.
Định lí 3.2. Cho
X
là một không gian metric compact và
{ }
1 2
; ; g g
là một tập cơ bản trong
[ ]
C X
. Khi đó ta có thể biểu
diễn dãy các tập con hữu hạn
{ }
n
Y
của

X
sao cho với mọi
[ ]
f C X∈
xấp xỉ tốt nhất
( )
1
n
n
n i i
i
P c g
=
=
∑
của
f
trên
n
Y
hội tụ
đều tới
f
khi
n → ∞
20
Định lý 3.3. Cho
X
là không gian metric compact và
1

; ; ;
n
f g g
là phần tử của
[ ]
C X
. Nếu
f
có duy nhất đa thức
X i i
P c g=
∑
là xấp xỉ tốt nhất trên
X
thì xấp xỉ tốt nhất
y
P
của nó trên tập
con
Y
hội tụ tới
X
P
khi
0Y →

( )
Y X
f P f P
δ ε

− − − <
Chúng ta quan sát thấy rằng nếu tập các hàm của chúng ta
{ }
1
; ;
n
g g
thỏa mãn điều kiện Haar thì từ định lí duy nhất mạnh
chúng ta có bất đẳng thức

1
( ) 2 ( )
y X
P P f
γ ω δ αβ δ
−
− ≤  + Ω 
 
(*)
Ở đây hằng số
γ
phụ thuộc vào
f
nhưng không phụ thuộc vào
β
3.2. Sai số trong không gian metric compact
[ ]
1,1X = −
Mục này ta sẽ áp dụng các kết quả của mục trước cho không
gian metric compact

[ ]
1,1X = −
(với metric thông thường ) và
hàm cơ sở
n
xxx , ,,1
2
. Do vậy bất đẳng thức (*) ở mục 3.1 bảo
đảm xấp xỉ tốt nhất
0
n
k
Y k
k
P c x
=
=
∑
cho hàm
f
xác định trên
Y X⊂
sẽ hội tụ tới
X
P
khi
oY →
Bồ đề 3.3. Với bất kì đa thức
P
có bậc

1−≤ n
ta có

( ) ( )
2
1 1 1 1
ax ax 1
x x
m P x m n x P x
− ≤ ≤ − ≤ ≤
≤ −
Bổ đề 3.4. Nếu
S
là một đa thức lượng giác lẻ có bậc
n≤
thì

( )
ax . ax ( )
sin
S
m n m S
π θ π π θ π
θ
θ
θ
− ≤ ≤ − ≤ ≤
≤
Bất đẳng thức Bernstein
21

Với bất kì đa thức lượng giác
S
có bậc
≤
n, ta có

( ) ( )
max ' maxS n S
π θ π π θ π
θ θ
− ≤ ≤ − ≤ ≤
≤
Bất đẳng thức Markoff
Với đa thức
P
bất kì có bậc
≤
n , ta có
( ) ( )
2
1 1 1 1
max ' max
x x
P x n P x
− ≤ ≤ − ≤ ≤
≤

Bổ đề 3.5. Cho
P
là đa thức đại số, bậc

n≤
xác định trên
[ ]
1;1X = −
Khi đó các biểu thức bị chặn dưới cho
Y
P
P
:
)i

Yn
2
1−
. khi
ax min
y Y
x X
Y m x y
∈
∈
= −
)ii

Yn−1
. khi
( )
1 1
ax min cos cos
y Y

x X
Y m x y
− −
∈
∈
= −
)iii

2
2
1
2
n
Y−
khi
1 1
ax min cos cos
y Y
x X
Y m x y
− −
∈
∈
= −
Định lí 3.4. Cho
[ ]
1;1X = −
;
[ ]
f C X∈

,
[ ]
1,1Y ⊂ −
và
Y
P
là
đa thức đại số bậc
n≤
xấp xỉ tốt nhất cho
f
trên
Y
Khi đó
Y X
P P→
khi
0Y →
và
(i)
( )
( )
1
1 2 2
2 1
X Y
P P n f n
γ ω δ δ δ
−
−

 
− ≤ + −
 
 
,
ở đây
2
ax min
y Y
x X
m x y n
δ
−
∈
∈
= − <
( ii )
( ) ( )
1
1
2 1
X Y
P P n f n
γ ω δ δ δ
−
−
 
− ≤ + −
 
,

ở đây
δ
thỏa mãn

1 1 1
ax min cos cos
y Y
x X
m x y n
δ
− − −
∈
∈
= − <
22
Nhận xét: Vì bất đẳng thức
( )
ii
là thuận lợi hơn bất đẳng thức
( )
i
nên chúng ta có thể dành được ưu thế rõ ràng về sự phân bố
các điểm rời rạc cho xấp xỉ đa thức theo cách không đều. Mặc dù
định lí này không làm lộ rõ sự phân bố tối ưu của các điểm là gì,
nhưng nó đã cho thấy nếu chúng ta có m điểm ở sự sắp đặt của
chúng ta trên đoạn
[ ]
1;1−
thì chúng ta nên đặt
(2 1)

os
2
i
i
y c
m
π
−
=
;
1;2; ;i m=
Lúc này:
1 1
ax min os os
2
y
x
m c x c y
m
π
δ
− −
= − =
Giả sử
.
2
m n
π
>
khi đó (2) được viết như sau

1
2
( )
2 2
X Y
n
P P f
m m n
π π
γ ω
π
−
 
− ≤ +
 
−
 
Để làm tối ưu giới hạn trong (i) chúng ta nên chọn
(2 1)
1
i
i
y
m
−
= − +
Do vậy
1
ax min
y

x
m x y
m
δ
= − =
Giả thiết
2
m n>
; (i) được viết dưới dạng
2
1
2
1 2
( )
X Y
n
P P f
m m n
γ ω
−
 
− ≤ +
 
−
 
Định lí 3.5. Với mỗi n cho
n
Y
là tập hợp con của X = [-1;1] sao
cho:

1 1 1
,
ax min cos cos
n
x X y Y
m x y n
δ λ
− − −
∈ ∈
= − ≤
với
λ
<
2
23
Khi đó đa thức
n
P
với bậc
n≤
là xấp xỉ tốt nhất của
[ ]
1;1f C∈ −
trên
n
Y
hội tụ đều tới
f
khi

n → ∞
24
Kết luận
Trong luận văn này đã trình bày những nghiên cứu về xấp xỉ
Tchebyshew bằng đa thức. Kết quả chính được trình bày là :
1. Xấp xỉ Tchebycheff bằng đa thức, công thức Lagrange, công
thức sai số, đa thức Tchebycheff, nội suy Hermite, định lý
Weierstrass, đa thức Bernstein, định lý Fejér .
2. Xấp xỉ Tchebyshew bằng đa thức tổng quát, điều kiện Haar,
hệ Markoff , chứng minh các định lý về tồn tại và duy nhất
của xấp xỉ tốt nhất : định lý tồn tại, định lý duy nhất, định lý
duy nhất mạnh, định lý Haar, định lý de La Vallée Poussin,
định lý Freud.
3. Xét sai số xấp xỉ trên không gian metric compact
[ ]
1,1X = −
với metric thông thường bất đẳng thức Markoff , bất đẳng
thức Bernstein.
25