phép biến đổi tích phân kiểu tích chập fourier cosine với hàm trọng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (465.69 KB, 34 trang )
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
i
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHAN DUY THANH
PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP
FOURIER COSINE VỚI HÀM TRỌNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên – 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
ii
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHAN DUY THANH
PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP
FOURIER COSINE VỚI HÀM TRỌNG
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
TS Nguyễn Minh Khoa
Thái Nguyên – 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
iii
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu do tôi tự hoàn thành. Các
kết quả chính của luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trên
bất kỳ một tạp chí nào.
Tác giả
Phan Duy Thanh
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
iv
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình học Cao học và viết Luận văn tốt nghiệp, tác giả đã nhận
được nhiều sự ủng hộ của Phòng giáo dục và đào tạo huyện Tam Nông – Phú
Thọ, lãnh đạo và đồng nghiệp trường THCS Dị Nậu, sự giúp đỡ quý báu của
trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên. Tác giả còn nhận được sự
chia sẻ, động viên của các bạn đồng nghiệp và người thân.
Trong quá trình thực hiện Luận văn thạc sĩ Toán học, tác giả đã nhận
được sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Nguyễn Minh Khoa về chuyên môn.
Thầy luôn nhiệt tình, tận tâm chỉ bảo, truyền đạt cho tác giả nhiều kiến thức
và cung cấp nhiều tài liệu quý báu. Thầy đã chỉ dẫn cho tác giả trình bày
những kiến thức thu được qua học tập và ngiên cứu một cách có hệ thống
trong luận văn này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn tất cả mọi người về sự giúp đỡ và động viên
quý báu này.
Thái Nguyên, tháng 3 năm 2014
Tác giả
Phan Duy Thanh
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
v
MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa…………………………………………………… .
Lời cam đoan…………………………………………………… i
Lời cảm ơn……………………………………………………. ii
Mục lục……………………………………………………………. . iii
MỞ ĐẦU 1
NỘI DUNG…………………………………………………………… 5
Chương 1. Phép biến đổi tích phân Fourier cosine. Tích chập Fourier cosine
với hàm trọng
( ) cosy ay
5
1.1. Phép biến đổi tích phân Fourier cosine 5
1.2. Tích chập Fourier cosine với hàm trọng
( ) cosy ay
9
Chương II. Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier cosin với hàm
trọng 13
(2-1) Định nghĩa 13
(2-2) Định lý kiểu Watson. Bổ đề 2.1 13
(2-3) Định lý kiểu Plancherel 19
Định lý 3.4 19
(2-4) Các ví dụ 22
KẾT LUẬN 26
TÀI LIỆU THAM KHẢO .27
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
vi
CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN
Các không gian hàm được dùng trong luận văn
:0x R x
()L
là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên
0,
sao cho
0
()f x dx
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
1
MỞ ĐẦU
1) Lý do chọn đề tài
Phép biến đổi tích phân là một trong những vấn đề trụ cột của giải tích
toán học, ra đời và không ngừng phát triển trong khoảng hai trăm năm qua.
Phép biến đổi tích phân đóng vai trò quan trọng trong toán học cũng như
trong nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác như quang học, điện, cơ lượng
tử, y sinh học, âm thanh,
Các phép biến đổi tích phân ra đời sớm nhất có vai trò đặc biệt trong lý
thuyết cũng như ứng dụng, trước hết là các phép biến đổi Fourier, Fourier
sine, Fourier cosine, Laplace, Mellin, sau đó là các phép biến đổi tích phân
Hilbert, Hankel, Kontorovich-Lebedev, Stieltjes,
Xuất phát từ bài toán thực tế nghiên cứu về quá trình truyền nhiệt năm
1807 Fourier đã hoàn thành công trình về phép biến đổi tích phân Fourier
6
Phép biến đổi tích phân Fourier có dạng (Xem
2
).
1*
1
( ) ( ) , ( )
2
iyx
Ff y e f x dx f L
; (0.1)
1
( ) ( ) , ( )
2
N
iyx
P
N
N
Ff y Lim e f x dx f L
. (0.2)
Trong trường hợp đối với f là hàm số chẵn hoặc lẻ ta nhận được phép biến
đổi Fourier cosine và Fourier sine có dạng sau (xem
6,10
):
1
0
2
( ) ( ) os( ) , ( )
C
F f y f x c xy dx f L
; (0.3)
1
0
2
( ) ( )sin( ) , ( )
S
F f y f x xy dx f L
. (0.4)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
2
Và
1
2
( ) ( ) os( ) , ( )
N
CP
N
N
F f y Lim f x c xy dx f L
; (0.5)
1
2
( ) ( )sin( ) , ( )
N
SP
N
N
F f y Lim f x yx dx f L
. (0.6)
Ở đây các giới hạn được hiểu theo chuẩn trong không gian
()
P
L
. Các định
nghĩa trên trùng nhau
1
( ) ( )
P
f L L
. Cùng với sự phát triển lý thuyết
các phép biến đổi tích phân, một hướng phát triển mới của lý thuyết các phép
biến đổi tích phân là tích chập của các phép biến đổi tích phân xuất hiện vào
khoảng đầu thế kỷ 20.
Tích chập đầu tiên được xây dựng là tích chập đối với phép biến đổi tích phân
Fourier, cụ thể là tích chập của hai hàm f, g đối với phép biến đổi Fourier có
dạng sau (Xem
7
):
1
( *g)(x) (y) ( )dy,x
2
F
f f g x y
. (0.7)
Tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
1
( *g)( ) ( )( ).( )( ), ; , ( )
F
F f y Ff y Fg y y f g L
. (0.8)
Năm 1951, Sneddon I.N xây dựng tích chập của hai hàm f, g đối với phép
biến đổi Fourier cosine (Xem
7
):
0
1
( *g)(x) (y) ( ) ( ) dy, x 0
2
C
F
f f g x y g x y
. (0.9)
Tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa và Đẳng thức Parseval sau
(Xem
7
):
1
( *g)( ) ( )( ).( )( ), 0; , ( )
C C C
F
F f y F f y F g y y f g L
; (0.10)
2
( *g)( ) ( )( ).( )( ) ( ), 0; , ( )
c c c
F
f x F F f y F g y x x f g L
. (0.11)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
3
Vào năm 2004 các tác giả Nguyễn Xuân Thảo, Nguyễn Minh Khoa đã
xây dựng tích chập với hàm trọng
( ) cosyy
của hai hàm f, g thuộc
1
()L
đối với phép biến đổi Fourier cosine (Xem
8
):
0
1
* ( ) ( ) 1 1 1
22
c
F
f g x f y g x u g x u g x u
1 du, x > 0g x u
. (0.12)
Tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
* ( ) cos .( )( ).( )( ), 0
c
c c c
F
F f g y y F f y F g y y
. (0.13)
Đối với bất kỳ tích chập nào của hai hàm f, g khi cố định một hàm, chẳng
hạn hàm g và cho hàm f thay đổi trong một không gian hàm nào đó ta nhận
được phép biến đổi tích phân kiểu tích chập.
Phép biến đổi tích phân với thống nhất xây dựng theo hướng này là phép
biến đổi Watson dựa trên tích chập Melin và phép biến đổi Melin.
Gần đây một số các phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập và
tích chập suy rộng đã được khảo sát (Xem
3,5,9,11
).
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Trong luận văn của mình, tác giả xét tích chập với hàm trọng
1
( ) cosy ay
đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine. Dựa trên tích chập này và tích
chập (0.9) để xây dựng và nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập
tương ứng nhận được diều kiện cần và đủ để phép biến đổi xây dựng được là
unita trong không gian
2
()L
. Định lý kiểu Plancherel và tính bị chặn của
phép biến đổi mới xây dựng trong không gian
()
P
L
đã được chứng minh.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu tích chập, tích chập với hàm trọng và phép biến đổi tích phân
kiểu tích chập.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
4
Sử dụng các phép biến đổi tích phân, các tích chập đã biết và các kết quả giải
tích, giải tích hàm.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
5
CHƢƠNG I.
PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER COSINE .
TÍCH CHẬP FOURIER COSINE VỚI HÀM TRỌNG
( ) cosy ay
1.1. Phép biến đổi tích phân Fourier cosine
Định nghĩa 1.1.1. Cho hàm
()fL
, hàm
()
c
Ff
xác định như sau:
0
2
ˆ
( ) ( )( ) ( )cos(yx)
cc
f y F f y f x dx
(1.1)
được gọi là biến đổi Fourier cosine của hàm f.
Ta có công thức nghịch đảo:
0
2
ˆˆ
( ) ( )( ) ( )cos(yx)
cc
f x F f x f y dy
. (1.2)
Ví dụ 1. Tìm biến đổi Fourier cosine của hàm
( ) , x 0
x
f x e
.
Ta có:
0
(1 ) (1 )
0
2
( )( ) cos(yx)
12
2
x
c
iy x iy x
F f x e dx
e e dx
2
1 2 1 1
2 1 1
21
.
1
iy iy
y
Ví dụ 2. Tìm biến đổi Fourier cosine của hàm:
()
, 0
0,
fx
m x a
xa
.
Ta có:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
6
0
2 2 sin
( )( ) . . cos(yx) . .
a
c
ya
F f y m dx m
y
.
1.1.2. Các tính chất của phép biến đổi Fourier cosine
Tính chất 1. Phép biến đổi tích phân Fourier cosine là phép biến đổi tuyến
tính.
Chứng minh. Với mọi:
, ( ), ,f g L
Ta có:
0
00
( ) ( ) ( )
2
( ) ( ) .cosyxdx
22
( ).cosyxdx g( ).cosyxdx
( f)( ) ( g)( ) .
c
cc
F f x g x y
f x g x
f x x
F y F y
Vậy
c
F
là phép biến đổi tuyến tính.
Tính chất 2. Với a > 0, đặt
( ) (ax)
a
f x f
. Khi đó ta có:
1
( )( ) (( )( )
c a c
y
F f y F f
aa
.
Chứng minh. Thật vậy:
0
0
2
( )( ) (ax).cosyxdx
12
(ax).cos( ax)dx
ca
F f y f
y
f
aa
0
12
(t).cos( t)dt(t )
12
( )( ) .
c
y
f ax
aa
y
Ff
aa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
7
Định nghĩa 1.1.2. Cho
, g ( )fL
; tích chập của hai hàm f, g đối với phép
biến đổi tích phân Fourier cosine có dạng:
0
1
( *g)(x) (y) ( ) .dy, x 0
2
c
F
f f g x y g x y
. (1.3)
Tính chất 3. (Định lý tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosine )
Tích chập (1.3) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau:
F ( *g)(y) ( )( ).( )(y), y 0
c
c c c
F
f F f y F g
. (1.4)
Chứng minh. Ta có:
00
00
0 0 0
22
( )( ).( )(y) (u).cos . g(v).cos
2 1 2
(u). g(v) cos( ) cos(v u)
2
11
( ) ( )cos (u+v)dvdu+ ( ) ( )cos (v-u)dvdu.
cc
F f y F f f yudu yvdv
f u v y dvdu
f u g v y f u g v y
Đổi biến: t=u+v ta nhận được:
00
( ) ( )cos (u+v)dvduf u g v y
0 0 0
( ) cos dtdu - ( ) cos dtdu
v
v
f u g u t yt f u g u t yt
. (1.5)
Đổi biến t=v-u ta có:
00
0
( ) ( )cos (v-u)dvdu
( ) cos dtdu
u
f u g v y
f u g u t yt
0 0 0
= ( ) cos dtdu - ( ) cos dtdu
u
f u g u t yt f u g u t yt
. (1.6)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
8
Mặt khác ta thấy:
0
0
( ) cos(yt)dtdu
u
f u g u t
00
= ( ) cos dtdu
u
f u g u t yt
. (1.7)
Từ (1.5), (1.6), (1.7) ta nhận được:
00
1
( )( ).( )(y) ( ) ( ) cos dtdu
cc
F f y F g f u g u t g u t yt
00
11
( ) ( ) g cos
2
F *g (y).
c
c
F
f u g u t u t ytdtdu
f
Ta chứng minh xong tính chất 3.
Tính chất 4 (Biến đổi Fourier cosine của đạo hàm).
Giả sử f(x) liên tục và khả tích tuyệt đối trên (0, +
), f’(x) liên tục từng khúc
trên mọi đoạn hữu hạn của
và
0fx
khi
x
. Khi đó:
2
' ( ) ( ) (0)
cs
F f y y F f y f
.
Chứng minh. Tích phân từng phần ta nhận được:
0
0
0
2
' ( ) (x).cos dx
22
( ).cos (x).sin dx
2
(0) ( ).
c
s
F f y f yt
f x yx y f yx
f y F f y
1.2. Tích chập Fourier cosine với hàm trọng :
( ) cosy ay
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
9
Định nghĩa 1.2.1. Tích chập Fourier cosine với hàm trọng
( ) cosy ay
của
hai hàm f,g được xác định bởi:
0
1
* ( ) ( )
22
c
F
f g x f t g x a t g x a t g x a t
g x a t dt
(1.8)
Định lý 1.2.2. Giả sử các hàm f và g
()L
. Khi đó tích chập Fourier
cosine
Với hàm trọng
( ) cosy ay
cũng thuộc
()L
và có đẳng thức nhân tử hóa
* ( ) cos .( )( ).( )( ), 0
c
c c c
F
F f g y ay F f y F g y y
. (1.9)
Chứng minh. Theo định nghĩa 1.2.1 ta có:
0 0 0
0 0 0
1
* ( ) ( ).
22
1
( ).
22
c
c
F
F f g x dx f t g x a t g x a t
g x a t g x a t dtdx
f t g x a t dx g x a t dx
00
g x a t dx g x a t dx dt
. (1.10)
Mặt khác:
00
( ) ( )
t a t a
g x a t dx g x a t dx
g u du g u du
0 0 0
( ) ( ) ( ) 2 ( )
ta
ta
g u du g u du g u du g u du
. (1.11)
Không giảm tính tổng quát ta có thể giả sử t > a, khi đó:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
10
00
( ) ( )
a t t a
g x a t dx g x a t dx g u du g u du
0 0 0
( ) ( ) ( ) 2 ( )
ta
ta
g u du g u du g u du g u du
. (1.12)
Từ (1.11) và (1.12) ta nhận được:
0
g x a t g x a t g x a t g x a t dtdx
0
4 ( )g u du
. (1.13)
Từ (1.10) và (1.13) dẫn tới
0 0 0
2
* ( ) ( ) ( )
c
F
f g x dx f t dt g u du
. (1.14)
Hay
* ( ) ( )
c
F
f g x L
Ta tiếp tục chứng minh đẳng thức nhân tử hóa (1.9).
Xuất phát từ:
00
2
cos .(F )( ).(F )( ) cos .cos .cos . ( ). ( ) ud
cc
ay f y g y ay yu yv f u g v d v
.
Vì :
1
cos .cos .cos cos ( ) cos( ) cos( )
4
ay yu yv y u a v u a v u a v
cos( )u a v
.
Ta có:
00
1
cos .(F )( ).(F )( ) cos ( ) cos( )
2
cc
ay f y g y y u a v u a v
cos( ) cos( ) ( ) ( )u a v u a v f u g v dudv
. (1.15)
Bằng phép đổi biến đổi t=u, x=u+a+v, ta có:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
11
00
1
cos ( ) ( ) ( )
2
y u a v f u g v dudv
0 0 0
11
cos . ( ).g(x-t-a) cos . ( ).g(t+a-x)
22
ta
ta
yx f t dxdv yx f t dxdt
. (1.16)
Bằng phép đổi biến đổi t=u, x=-(u+a-v), ta có:
00
0
1
cos ( ) ( ). ( )
2
1
cos . ( ). ( )
2
ta
y u a v f u g v dudv
yx f t g x t a dudv
00
1
cos . ( ). ( )
2
ta
yx f t g x t a dxdt
0
0
1
cos . ( ). ( )
2
ta
yx f t g x t a dxdt
. (1.17)
Hơn nữa, nếu đổi biến
x
, ta được:
0
0
0
0
cos . ( ). ( )
cos . ( ). ( )
ta
ta
yx f t g x t a dxdt
y f t g t a d dt
00
cos . ( ). ( )
ta
yx f t g t a x dxdt
. (1.18)
Từ (1.16), (1.17), (1.18) ta nhận được:
00
1
cos ( ) cos ( ) cos ( ))
2
y u a v y u a v y u a v dudv
00
1
cos . ( ) ( ) ( )
2
yx f t g x t a g x t a dtdx
. (1.19)
Tương tự ta nhận được:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
12
00
1
cos ( ) cos ( )
2
y u a v y u a v dtdx
00
1
cos . ( ) ( ) ( )
2
yx f t g x t a g x t a dtdx
. (1.20)
Vậy từ (1.18), (1.19), (1.20) ta nhận được
00
1
cos ( ) ( ) cos ( )
2
* ( ) .
c
cc
c
F
ay F f y F g y yx f t g x a t g x a t
g x a t g x a t dt dx
F f g y
Định lý đã được chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
13
CHƢƠNG II.
PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP FOURIER COSINE
VỚI HÀM TRỌNG
( ) cosy ay
.
Trong chương này ta xét một lớp các phép biến đổi tích phân liên quan đến
tích chập Fourier cosine và tích chập Fourier cosine với hàm trọng
( ) cosy ay
.
(2-1) Định nghĩa: Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier cosine và
tích chập Fourier cosine với hàm trọng
( ) cosy ay
có dạng như sau:
2
1 1 1
2
0
0
( ) ( 1) a ( )
n
j
j
j
d
g x f u k x u a k x u a k x u a
dx
1 2 2
0
( ) ) , 0k x u a du f u k x u k x u du x
. (2.1)
(2-2) Định lý kiểu Watson. Bổ đề 2.1.
Giả sử
2
, ( ),f g L
khi đó ta có công thức Parseval sau:
0
()f u g x u a g x u a g x u a g x u a du
2 2 cos . ( ) ( ), 0
cc
F ay F g y x x
. (2.2)
Chứng minh. Từ giả thiết
2
, ( )f g L
, ta có
2
. ( )f g L
. Từ tính chất
phép biến đổi Fourier cosine là đẳng cấu trong
2
()L
và cosay là bị chặn, ta
có
2
cos ( ) ( ) ( )
cc
ay F f y F g y L
. Sử dụng công thức (1.1.3) trong
4
ta
có:
2
1
( )cos ( ) ( ) ( ) , ( )
2
c c c
F h x ax y Fh y a F h y a h L
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
14
Và sử dụng đẳng thức Parseval của tích chập Fourier cosine trong
2
()L
ta
có:
2 2 cos . ( ) ( ) ( )
2 2 cos * ( ) ( )
2 * ( ) * ( ) .
c c c
cc
F ay F f y F g y x
F ayF f g y x
f g x a f g x a
Từ đẳng thức trên ta nhận được đẳng thức (2.2).
Bổ đề được chứng minh.
Định lý 2.2.
Giả thiết
1 2 2
, ( )k k L
và
0
1a
,
j
a
sao cho
2
2
0
1
()
n
j
j
j
L
ay
.
Khi đó điều kiện:
12
2
0
1
2cos ( ) ( )
2
n
cc
j
j
j
ay F k y F k y
ay
(2.3)
là điều kiện cần và đủ để phép biến đổi tích phân:
2
1 1 1
2
0
0
( ) ( 1) ( )
n
j
j
j
j
j
fg
d
g x a f u k x u a k x u a k x u a
dx
1 2 2
0
( ) , 0k x u a du f u k x u k x u du x
(2.4)
là unita trên
2
()L
và phép biến đổi ngược có dạng:
2
1 1 1
2
0
0
( ) ( 1) ( )
n
j
j
j
j
j
d
f x a g u k x u a k x u a k x u a
dx
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
15
1 2 2
0
( ) , 0k x u a du g u k x u k x u du x
(2.5)
Chứng minh.
Điều kiện cần: Như đã biết
2
2
h y , yh y , y h y ( )L
nếu và chỉ nếu
2
2
2
( ); ( ); ( ) ( )
dd
Fh x Fh x Fh x L
dx dx
(Định lý 68,
10
). Hơn nữa
2
2
2
( ) ( ) ( )
d
Fh x F iy h y x
dx
. (2.6)
Đặc biệt, nếu h là hàm chẵn sao cho
2
2
0
( ) ( )
n
j
j
j
a y h y L
thì có đẳng
thức sau:
2
2
2
00
( 1) ( ) ( ) ( )
nn
j
jj
j c c j
j
jj
d
a F h x F a y h y x
dx
. (2.7)
Giả sử rằng
1 2 2
, ( )k k L
thỏa mãn điều kiện (2.3). Sử dụng bổ đề 2.1 và
đẳng thức nhân tử hóa cho các tích chập ta có:
2
1
2
0
2
2
12
0
( ) ( 1) 2 2 cos ( ) ( )
2 ( ) ( ) ( )
2 2cos . ( ) ( ) . ( ) ( ).
n
j
j
j c c c
j
j
cc
n
j
c j c c c
j
d
g x a F ay F k y F f y
dx
F k y F f y x
F a y ay F k y F k y F f y x
Điều kiện (2.3) chỉ ra:
2
1 2 2
0
2 2cos . ( ) ( ). ( ) ( )
n
j
j c c c
j
a y ay F k y F k y F f y L
.
Do đó
2
()gL
.
Hơn nữa theo đẳng thức Parseval đối với phép biến đổi Fourier cosine:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
16
2
()
c
L
f F f
và từ điều kiện (2.3) ta nhận được:
2
2
22
2
12
()
0
()
( ) ( )
2 2cos . ( ) ( ) . ( )
.
n
j
j c c c
L
j
L
c
LL
g a y ay Fk y F k y F f y
F f f
Điều đó chỉ ra phép biến đổi (2.4) là unita.
Bên cạnh đó, từ
2
1 2 2
0
2 2cos . ( ) ( ) . ( ) ( )
n
j
j c c c
j
a y ay F k y F k y F f y L
,
ta có:
2
12
0
( ) 2 2cos . ( ) ( ) . ( ).
n
j
c j c c c
j
F g y a y ay F k y F k y F f y
Do đó
2
12
0
( ) 2 2cos . ( ) ( ) . ( )
n
j
c j c c c
j
F f y a y ay F k y F k y F f y
.
Lại do điều kiện (2.3):
2
1 2 2
0
2 2cos . ( ) ( ) . ( ) ( )
n
j
j c c c
j
a y ay F k y F k y F g y L
.
Công thức (2.7) dẫn đến:
2
12
0
2
12
2
0
( ) 2 2cos . ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ).
n
j
c j c c c
j
n
j
j
j c c c c c
j
j
f x F a y ay F k y F k y F g y x
d
a F F k y F g y F k y F g y x
dx
Sử dụng công thức (2.7) và bổ đề 2.1 ta có:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
17
2
1 1 1
2
0
0
22
0
( ) ( 1) ( )
( ) , 0.
n
j
j
j
j
j
d
f x a g u k x u a k x u a k x u a du
dx
g u k x u k u x du x
Do đó phép biến đổi (2.4) là unita trên
2
()L
, và biến đổi ngược được xác
định bởi công thức (2.5).
Điều kiện đủ. Giả sử phép biến đổi (2.4) là unita trên
. Khi đó do tích
đẳng cự trên
2
()L
của phép biến đổi Fourier cosine
2
2
()
()
c
L
L
f F f
dẫn đến:
2
2
22
2
12
()
0
()
( ) ( )
2 2cos ( ) ( ) ( )
.
n
j
j c c c
L
j
L
c
LL
g a y ay F k y F k y F f y
F f f
Ở đây
1 2 2
, ( )k k L
. Do đó, toán tử nhân
.M
với
2
12
0
( ) 2 2cos ( ) ( )
n
j
j c c
j
y a y ay F k y F k y
là Unita trên
2
()L
. Điều này tương đương với
( ) 1y
trên
. Tức là:
2
12
0
2 2cos ( ) ( ) 1, 0
n
j
j c c
j
a y ay F k y F k y y
.
Như vậy k
1
, k
2
thỏa mãn (2.3).
Chứng minh cho định lý 2.2 được hoàn thành.
Nhận xét:
1) Chúng ta lưu ý rằng điều kiện
2
2
0
1
()
n
j
j
j
L
ay
thỏa mãn nếu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
18
2
0
()
n
j
j
j
P y a y
không có nghiệm thực.
2) Bây giờ ta chỉ ra sự tồn tại của các hàm k
1
, k
2
thỏa mãn điều kiện (2.3).
Giả sử
( 1, )
j
a j n
là các số thực sao cho đa thức
2
0
n
j
j
j
ay
không có nghiệm
thực, và
1 2 2
, ( )h h L
thỏa mãn đẳng thức sau:
12
22
0
1
( ) ( )
1 os
n
cc
j
j
j
F h y F h y
c ay a y
. (2.8)
Sự tồn tại của các hàm
12
,hh
thỏa mãn (2.8) luôn được đảm bảo. Cụ thể, ta
lấy:
1( )
1
22
0
( ) ( )
1 os
iy
c
n
j
j
j
e
h x F x
c ay a y
;
2( )
2
22
0
( ) ( )
1 os
iy
c
n
j
j
j
e
h x F x
c ay a y
.
Ở đây
,
là các số dương thỏa:
1
.
Đặt
1 1 2
1
( ) * ( )
2
c
F
k x h h x
;
2 1 2
1
( ) * ( )
2
c
F
k x h h x
.
Dễ dàng chứng minh được
1 2 2
, ( )k k L
. Hơn nữa:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
19
12
2
1 2 1 2
2
12
2
0
2cos ( ) ( )
21
os ( ). ( ) ( ) ( )
2 2 2
1
( ) ( ) (1 os )
2
1
.
2
cc
c c c c
cc
n
j
j
j
ay F k y F k y
c ay F h y F h y F h y F h y
F h y F h y c ay
ay
Vì vậy
12
,kk
thỏa mãn điều kiện (2.3).
(2-3) Định lý kiểu Plancherel.
Định lý 3.1. Cho
12
,kk
là hai hàm khả vi trong
2
()L
thỏa mãn điều kiện
(2.3) và giả sử
2
11
2
0
( ) ( 1) . ( )
n
j
j
j
j
j
d
K x a k x
dx
;
2
22
2
0
( ) ( 1) . ( )
n
j
j
j
j
j
d
K x a k x
dx
là bị chặn
địa phương.
Cho
2
()fL
, và với mỗi số dương N bất kỳ. Ta đặt:
1 1 1 1
0
22
0
( ) ( )
( ) , 0.
N
N
N
g x f u K x u a K x u a K x u a K x u a du
f u K x u K x u du x
Khi đó ta có:
1)
2
()
N
gL
và khi
,
N
Ng
hội tụ trong
2
()L
đến hàm
2
()gL
.
Hơn nữa
22
( ) ( )LL
gf
.
2) Nghịch đảo
