PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CB

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Dạng sinx = sinα và sinx = m
a. Dạng sinx = sinα
Ví dụ 1: Giải phương trình sinx = sin 30
o
. Biểu diễn nghiệm trên đường tròn LG
Suy nghĩ:
- Ta có thể suy được ra ngay x = 30
o
là một nghiệm. Mặt khác, các góc x’ = bằng 30
o
±
360
o
, 30
o
± 720
o
, 30
o
± 1080
o
cũng có sinx’ = sin 30
o
( vì cùng điểm ngọn với 30
o
trên
đường tròn lượng giác). Như vậy ta có một “họ nghiệm” là x = 30
o
+ k360
o

, k
∈
Z (1)
- Theo tính chất “ sin bù”, góc x =150
o
cũng là nghiệm ( sin 150
o
= sin 30
o
, đúng ). Mặt
khác, các góc 150
o
± 360
o
, 150
o
± 720
o
, 150
o
± 1080
o
cũng là nghiệm ( vì cùng điểm
ngọn với góc 150
o
trên đường tròn lượng giác). Như vậy, ta có họ nghiệm nữa là x =150
o

+ k’360
o

, k’
∈
Z (2)
Thử lại như sau:
Thay (2) vào (1),
⇔
sin (30
o
+ k360
o
)= sin 30
o
, cho k =1,2, -100, 1000 Dùng máy tính
thử, đượcVT = 0.5 = VP, đúng
Thay (3) vào (1),
⇔
sin (150
o
+ k360
o
)= sin 30
o
, cho k =1,2, -100, 1000 Dùng máy
tính thử, đượcVT = 0.5 = VP, đúng
Kết luận ngắn gọn:
o o
o
o o
x 30 k360
sinx sin 30 , '

x 150 k’360
k k Z

= +
= ⇔ ∈

= +

Biểu diễn nghiệm: Hình vẽ
Áp dụng: Giải phương trình và biểu diễn trên ĐTLG: sinx = sin80
o
, sin2x = sin
2
x
π
 
−
 ÷
 
;
Tổng quát:
o
360
sinx sin , '
(180 - ) ’360
o o
o o o
x k
k k Z
x k

α
α
α

= +
= ⇔ ∈

= +

Nếu đơn vị đo là radian, ta dễ dàng suy ra công thức tương tự:
2
sinx sin , '
( - ) 2
o
x k
k k Z
x k
α π
α
π α π
= +

= ⇔ ∈

= +

b. Dạng sinx = m
Nếu m >1 thì phương trình vô nghiệm ( do kết luận ở phần trước)
Nếu m ≤ 1 thì phương trình có nghiệm.
Nếu m là giá trị đặc biệt, ta suy ngược ra góc.

Ví dụ 1: GPT sin x =
3
2
. , biểu diễn nghiệm trên ĐTLG
Ta biết
3
2
= sin 60
o
nên viết lại phương trình thành sinx =
sin60
o
, giải được x =60
o
+ k360
o
hoặc x = 120
o
+ k’360
o
Biểu diễn nghiệm: hình vẽ:
0,866
Ta đưa m về sinα
o
(độ) hoặc sinα (radian) bằng cách ấn shift sin(m) trên máy. Sau đó giải
tiếp
Ví dụ 2: GPT sin x =
2
3
, biểu diễn nghiệm

Ta đưa
2
3
về sinα
o
(độ) hoặc sinα (radian) bằng cách ấn shift sin(m) trên
máy. ấn shift sin(
2
3
)
Có thể ghi nghiệm như sau (nếu không dùng máy tính): x = arcsin
2
3
+ k2π ,
x = π - arcsin
2
3
+ k2π
0,666
Áp dụng: Giải phương trình và biểu diễn trên ĐTLG: sinx = 0,7; sin 2x =
3
7
; sin 5x =
1
3
2. Dạng cosx = cosα và cosx = m
a. cosx = cosα
Ví dụ 1: Giải phương trình cosx = sin 30
o
(1), biểu diễn trên ĐTLG

Suy nghĩ:
- Ta có thể suy được x = 30
o
là một nghiệm. Mặt khác, các góc x’ = bằng 30
o
± 360
o
, 30
o
±
720
o
, 30
o
± 1080
o
cũng có sinx’ = sin 30
o
( vì cùng điểm ngọn với 30
o
trên đường tròn
lượng giác). Như vậy ta có một “họ nghiệm” là x = 30
o
+ k360
o
, k
∈
Z (1)
- Theo tính chất “ cos đối”, góc x =-30
o

cũng là nghiệm ( cos (-30
o
) = cos 30
o
, đúng ). Mặt
khác, các góc -30
o
± 360
o
, -30
o
± 720
o
, -30
o
± 1080
o
cũng là nghiệm ( vì cùng điểm
ngọn với góc -30
o
trên đường tròn lượng giác). Như vậy, ta có họ nghiệm nữa là x =-30
o

+ k’360
o
, k’
∈
Z (2)
Thử lại như sau:
Thay (2) vào (1),

⇔
cos (30
o
+ k360
o
)= cos 30
o
, cho k =1,2, -100, 1000 Dùng máy
tính thử, đượcVT = 0,866 = VP, đúng
Thay (3) vào (1),
⇔
cos (-30
o
+ k360
o
)= cos 30
o
, cho k =1,2, -100, 1000 Dùng máy
tính thử, đượcVT = 0,866 = VP, đúng
Kết luận:
o o
o
o o
x 30 k360
cosx cos 30 , '
x 30 k’360
k k Z

= +
= ⇔ ∈


= − +

Biểu diễn nghiệm: Hình vẽ
Áp dụng: Giải phương trình và biểu diễn nghiệm : cosx = cos 10
o
; cosx = cos
2
3
x
π
 
−
 ÷
 
;
Tổng quát:
( )
o
cosx cos 360
o o
x k k Z
α α
= ⇔ = ± + ∈
Nếu đơn vị đo là radian, ta có công thức tương tự:
( )
cosx os 2c x k k Z
α α π
= ⇔ = ± + ∈
b. Dạng cosx = m

Nếu m >1 thì phương trình vô nghiệm ( giống tính chất của sinx )
Nếu m ≤ 1 thì phương trình có nghiệm.
Ví dụ 1: GPT cos x =
3
2
.
Ta biết
3
2
= cos 30
o
nên phương trình là cosx = cos30
o
, giải được x =±30
o
+ k360
o

Ví dụ 2: GPT cos x =
3
4
, biểu diễn nghiệm
- Ta đưa
3
4
về cosα
o
(độ) hoặc cosα (radian)
- Cũng có thể ghi nghiệm như sau : x = ±arccos
3

4
+ k2π,
Áp dụng: Giải phương trình và biểu diễn nghiệm: cosx=0,1; cos(-3x) =
3
10
; cos( 2-x) =
1
3
3. Dạng tanx = tanα và tanx =m, cotx = cotα và cotx =m
a. tanx = tanα, cotx = cotα
Theo tính chất hai góc hơn pi thì tan và cot bằng nhau(tan và cot pi), ta có kết luận như
sau:
tanx = tanα
⇔
x = α
o
+ k180
o
( hoặc x = α + kπ)
cotx = cotα
⇔
x = α
o
+ k180
o
( hoặc x = α + kπ)
Ví dụ: Giải phương trình tan3x = tan 30
o
PT
⇔

3x = 30
o
+ k180
o

⇔
x =
o
o
o
30 k180
= 10 k60
3
o
+
+

b. tanx =m, cotx =m.
Ví dụ:
tanx =1
⇔
tanx =tan45
o
⇔
x = 45
o
+ k180
o

tanx =5

⇔
x = arctan5 + kπ ( hoặc x = arctan5 + k180
o
)
Chú ý : phương trình tanx =m, cotx =m có nghiệm với mọi m
Áp dụng: hãy giải các phương trình sau: tanx = tan
2
3
x
π
 
+
 ÷
 
; tan3x = 1; cotx = 2
4. Các dạng đưa được về dạng cơ bản
Ta hay gặp các dạng sau: sin α = - sinβ; sin α = cos β ; sin α = -cos β; tanα = cotβ ; tan α
= -cotβ; tan α.tanβ = 1
Ví dụ 1. Giải phương trình sin x = - sin2x
Ta có – sin2x = sin (-2x) ( theo tính chất góc đối). Do đó phương trình viết lại thành
sin x = sin (-2x). Phương trình trên được giải dễ dàng
Ví dụ 2. Giải phương trình sinx = cos3x
Ta có cos3x = sin (90
o
-3x) ( theo tính chất góc phụ). Do đó phương trình viết lại thành
sin x = sin (90
o
-3x) Phương trình trên được giải dễ dàng
Ví dụ 3. Giải phương trình tan2x + cot3x =0
Ta có tan2x + cot3x =0

⇔
tan2x = - cot3x
⇔
tan2x = cot(-3x)
⇔
tan2x = tan[90
o
–(-
3x)]

⇔
tan2x = tan(90
o
+3x). Phương trình cuối là cơ bản nên giải dễ dàng
Áp dụng: Giải các phương trình:
sin7x + cos5x = 0; sin x
6
x
π
 
+
 ÷
 
+ sin
3
x
π
 
+
 ÷

 
= 0; sin
6
x
π
 
−
 ÷
 
= cos
3
2
x
π
 
−
 ÷
 
;
sin
2
6
x
π
 
+
 ÷
 
= cos
2

2
3
x
π
 
+
 ÷
 
; tan
2
x
π
 
−
 ÷
 
+ cot3x =0; tan
2
2
x
π
 
−
 ÷
 
- cot
2
2x =0;
tan
2

x
π
 
−
 ÷
 
.cot2x =1; tan
2
3
x
π
 
+
 ÷
 
.tanx =1;
5. Sự thống nhất giữa nhiều cách giải
Ví dụ 1: GPT sinx = cos2x
Cách 1: PT
k2
x +
-x 2x +k2
6 3
2
cos -x cos2x
2
-x -2x+k2
+k2
2
2

x
π π
π
π
π
π
π
π
π


=
=


 
⇔ = ⇔ ⇔


 ÷
 


=
= −




Cách 2. PT

k2
x -2x +k2
x +
2
6 3
sinx sin -2x
2
x - -2x +k2
+k2
2
2
x
π
π π
π
π
π
π
π π
π


=
=


 

⇔ = ⇔ ⇔


 ÷
 
 


=
= −
 ÷



 

Cách 3:
x +2x +k2
+k2
2
2
sinx sin +2x
k2
2
x - +2x +k2
x +
2
6 3
x
PT
π
π
π

π
π
π
π π
π π


=
= −


 

⇔ = ⇔ ⇔

 ÷
 
 


=
=
 ÷



 

Nhận xét: ta thấy cả ba cách giải đều cho nghiệm giống nhau