Về hàm phân hình chung nhau hai tập hợp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGÔ LAN HƯƠNG

VỀ HÀM PHÂN HÌNH CHUNG NHAU
HAI TẬP HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thái Ngun - Năm 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGÔ LAN HƯƠNG

VỀ HÀM PHÂN HÌNH CHUNG NHAU
HAI TẬP HỢP

Chun ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS HÀ TRẦN PHƯƠNG

Thái Nguyên - Năm 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




i

Mục lục
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Các hàm Nevanlinna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Định lý cơ bản thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3. Định lý cơ bản thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4. Định lý 5 điểm của Nevanlinna . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Chương 2. VỀ HÀM PHÂN HÌNH CHUNG NHAU HAI
TẬP HỢP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1. Một số khái niệm và kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2. Tập xác định duy nhất các hàm phân hình . . . . .

21

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1

MỞ ĐẦU

Vấn đề nghiên cứu sự xác định duy nhất của các hàm hay ánh xạ phân
hình thơng qua ảnh ngược của một tập hữu hạn thu hút được sự quan
tâm nghiên cứu của nhiều nhà Toán học trong và ngồi nước: G.Pólya,
R.Nevanlinna, F. Gross,... và thu được nhiều kết quả quan trọng. Năm
1926, R.Nevanlinna đã chứng minh: Nếu hai hàm phân hình f và g chung
nhau 5 giá trị phân biệt, tức là tồn tại các giá trị phân biệt a1 , a2 , . . . , a5 ∈
C = C ∪ {∞} sao cho

f −1 (aj ) = g −1 (aj )

với mọi j = 1, 2, . . . , 5

thì f ≡ g . Kết quả này của Nevanlinna cho thấy một hàm phân hình phức
được xác định một cách duy nhất bởi ảnh ngược, khơng kể bội, của 5 giá
trị phân biệt. Cơng trình này của Ơng được xem là khởi nguồn cho các
cơng trình nghiên cứu về sự xác định duy nhất hàm hay ánh xạ phân hình.
Một vấn đề tự nhiên được đưa ra bởi F. Gross (xem [4]), đó là khơng
xét ảnh ngược của các điểm rời rạc mà xét ảnh ngược của một tập hợp
điểm. Từ đó đến nay, vấn đề này được nghiên cứu một cách liên tục và
mạnh mẽ với những kết quả của H. Fujimoto, W. Stoll, L. Smiley, M. Ru,
Z. Tu, C. C. Yang, G. Frank, M. Reinders,. . . .
Kí hiệu F là một họ hàm nào đó xác định trên C lấy giá trị trên C. Với

f ∈ F và S ⊂ C, đặt

{(z, n) ∈ C × N : f (z) = a với bội n}.

E(S, f ) =
a∈S

Tập S ⊂ C được gọi là tập xác định duy nhất (kể cả bội), kí hiệu là URS,
cho họ hàm F nếu với hai hàm khác hằng f, g ∈ F thỏa mãn điều kiện

E(S, f ) = E(S, g) thì f ≡ g .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




2

Kí hiệu A(C) là vành các hàm nguyên và M(C) trường các hàm phân
hình trên trên C. Năm 1982, F. Gross và C.C. Yang đã đưa ra ví dụ đầu
tiên về URS (xem [5]) cho các hàm nguyên. Năm 1994, H. Yi (xem [8]) tìm
ra URS cho các hàm nguyên có hữu hạn phần tử. Năm 1998, G. Frank và
M. Reinders (xem [2]) đã đưa ra URS cho M(C) gồm 11 phần tử và đó là
URS cho M(C) với số phần tử ít nhất được tìm thấy cho đến nay. Thời
gian gần đây nhiều tác giả tập chung vào nghiên cứu URS theo hai hướng:
Tìm các tập xác định duy nhất với số phần tử ít nhất có thể và tìm các
đặc trưng của tập xác định duy nhất.
Luận văn "Về hàm phân hình chung nhau hai tập hợp" là một
trong những nghiên cứu theo hướng trên. Trong luận văn này chúng tơi
sẽ trình bày một số kết quả nghiên cứu về sự xác định duy nhất của hàm
phân hình qua ảnh ngược của hai tập hữu hạn. Luận văn gồm hai chương:

Chương 1: Kiến thức cơ sở, trình bày những kiến thức cơ bản, cần
thiết cho việc chứng minh những kết quả trong chương 2 như: hàm phân
hình, lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna.
Chương 2: Về hàm phân hình chung nhau hai tập hợp, trình bày những
kết quả về các tập xác định duy nhất cho các hàm phân hình, một trong
những ứng dụng quan trọng của lý thuyết phân bố giá trị.
Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn, tôi đã nhận được sự dạy
bảo tận tình của các thầy cơ giáo ở trường ĐHSP Thái Nguyên, ĐHSP
Hà Nội, Viện Toán học. Đặc biệt là sự chỉ bảo, hướng dẫn trực tiếp của
thầy giáo TS Hà Trần Phương. Ngoài ra, việc tạo điều kiện thuận lợi và
sự động viên, khích lệ kịp thời của BGH và các bạn đồng nghiệp trường
THPT Chuyên Thái Nguyên cũng đã giúp tơi rất nhiều trong việc hồn
thành khóa học.
Qua đây, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Hà Trần
Phương, tới các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi trong
suốt thời gian qua. Luận văn chắc chắn không tránh khỏi nhiều thiếu sót,
rất mong được các thầy cơ và các bạn quan tâm, góp ý.
Ngơ Lan Hương
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




3

Chương 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Các hàm Nevanlinna
Cho f là một hàm xác định trên mặt phẳng phức C, lấy giá trị trên C,

D ⊂ C là một miền. Ta nói f chỉnh hình tại z0 ∈ C nếu tồn tại một lân
cận U của z0 sao cho
∞

cn (z − z0 )n

f (z) =
n=0

với mọi z ∈ U , trong đó cn ∈ C là các hằng số. Hàm f (z) được gọi là
chỉnh hình trên D nếu nó chỉnh hình tại mọi z ∈ D.
Định nghĩa 1.1. Hàm f (z) được gọi là hàm ngun nếu nó chỉnh hình
trong toàn mặt phẳng phức C.
Với hàm f : C −→ C, một điểm z0 ∈ C được gọi là điểm bất thường cô
lập của hàm f (z) nếu f (z) chỉnh hình trong một lân cận nào đó của z0 ,
trừ ra tại chính z0 . Điểm bất thường cơ lập z0 của hàm f (z) được gọi là:
i) Điểm bất thường khử được của hàm f (z) nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

lim f (z) .

z→z0

ii) Cực điểm của hàm f (z) nếu lim f (z) = ∞.
z→z0

iii) Điểm bất thường cốt yếu của hàm f (z) nếu không tồn tại lim f (z) .
z→z0

Định nghĩa 1.2. Hàm f (z) được gọi là hàm phân hình trong miền D ⊂ C
nếu nó chỉnh hình trong miền D, trừ ra một số hữu hạn các điểm bất thường

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




4

cực điểm. Nếu D = C thì ta nói f (z) là hàm phân hình trên C, hay đơn
giản là hàm phân hình.
Nhận xét. Nếu f (z) là hàm phân hình trên D thì trong mỗi lân cận của

z ∈ D hàm f (z) biểu diễn được dưới dạng thương của hai hàm chỉnh hình.
Định nghĩa 1.3. Điểm z0 được gọi là không điểm cấp m ≥ 0 của hàm f (z)
nếu trong lân cận của z0 , hàm f (z) có biểu diễn f (z) = (z − z0 )m .h(z),
trong đó h(z) chỉnh hình trong lân cận của z0 và h(z0 ) = 0. Điểm z0 được
gọi là cực điểm cấp m ≥ 0 của hàm f (z) nếu z0 là không điểm cấp m của
1
hàm
.
f (z)
Với hàm phân hình f , ta kí hiệu


nếu z0 là khơng điểm cấp m của f (z)

m

ordf z0 =

0


−m

nếu f (z0 ) = 0, ∞

nếu z0 là cực điểm cấp m của f (z).

Nhận xét. Nếu f (z) là hàm phân hình trên D thì f (z) cũng là hàm phân
hình trên D. Hàm f (z) và f (z) có cùng cực điểm, đồng thời, nếu z0 là
cực điểm cấp m > 0 của f (z) thì nó là cực điểm cấp m + 1 của f (z). Hơn
nữa, hàm f (z) có khơng q đếm được các cực điểm trên D.
Bây giờ ta định nghĩa hàm đếm, hàm xấp xỉ và hàm đặc trưng Nevanlinna của một hàm phân hình.
Với mỗi số thực dương x ∈ R∗+ , kí hiệu

log+ x =

log x nếu x ≥ 1
0
nếu 0 < x < 1.

Như vậy

log+ x = max {log x, 0}
và

1
log x = log+ x − log+ .
x

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




5

Cho f : C −→ C là một hàm phân hình, với một số thực R > 0, ta có
2π

1
2π

2π

log f Reiϕ

1
dϕ =
2π

0

2π

1
dϕ−
2π

log+ f Reiϕ

log+

0

1
dϕ.
f (Reiϕ )

0

Định nghĩa 1.4. Hàm
2π

1
m (R, f ) =
2π

log+ f Reiϕ dϕ
0

được gọi là hàm xấp xỉ của hàm phân hình f .
Kí hiệu n(t, f ) (tương ứng n(t, f )) là số cực điểm kể cả bội (tương ứng
không kể bội) của hàm f (z) trong đĩa {|z| < t} và n(0, f ) = lim n(t, f )
t−→0

(tương ứng n(0, f ) = lim n(t, f )). Khi đó, nếu f (0) = ∞, ta có
t−→0
R

R
log dn (t, f ) =
t
0

N

R
,
bν

log
ν=1

trong đó bν , ν = 1, 2, . . . , N, là các cực điểm của hàm f trong đĩa {|z| ≤ R} .
Thật vậy, trước hết, bằng phương pháp tích phân từng phần ta có
R

R
R
log dn (t, f ) = log .n (t, f )
t
t
0

R

R

−

n (t, f ) d log

0

R
t

0
R

=

n (t, f )

dt
.
t

0

Do hàm f chỉ có hữu hạn cực điểm trong {|z| ≤ R} nên hàm n(t, f )
chỉ nhận một số hữu hạn giá trị nguyên không âm và tăng theo t. Gọi

r1 , r2 , . . . , rn−1 ∈ {|bν |, ν = 1, . . . , N } và r0 , rn là các số thực không âm
sao cho 0 = r0 < r1 < r2 < · · · < rn−1 < rn = R và trên mỗi hình vành
khăn {rj < |z| ≤ rj+1 } hàm n(t, f ) không đổi. Khi đó
R

dt
n (t, f ) =
t
0

r1

dt
n (t, f ) +
t

r0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

r2

r1

dt
n (t, f ) + ... +
t

rn

n (t, f )

dt
.
t

rn−1




6

Giả sử



0



α
1
n(t, f ) =

...




αn−1 = N

nếu t ≤ r1
nếu r1 < t ≤ r2
nếu rn−1 < t ≤ rn = R.

Khi đó ta có
R

dt
n(t, f ) =
t

r1

r0

0

r2

dt
0. +
t

dt
α1 . + · · · +
t

r1

= α1 log t

r2
r1

R
log =
=
rν
ν=1

αn−1 .

dt
t

rn−1

+ α2 log t

N

rn

N

log
ν=1

r3
r2

R

+ ... + αn−1 log t

rn−1

R
,
|bν |

trong đó mỗi cực điểm được tính một số lần bằng bội của nó.
N

Định nghĩa 1.5. Hàm N (R, f ) =
ν=1

log |bRν | được gọi là hàm đếm (còn

gọi là hàm đếm tại các cực điểm) của hàm f .
Tương ứng với hàm N (R, f ) ta có hàm N (R, f ) là hàm đếm tại các
cực điểm của hàm f nhưng mỗi cực điểm chỉ được tính đúng một lần.
Định nghĩa 1.6. Hàm

T (R, f ) = m (R, f ) + N (R, f )
được gọi là hàm đặc trưng của hàm f (còn được gọi là hàm đặc trưng
Nevanlinna).

Một số tính chất
Sử dụng tính chất
K

log

+

K

log+ |ai |

ai ≤
i=1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

i=1




7

và
K

log

+

K

ai ≤ log

+

log+ |ai | + log K,

K max {|ai |} ≤
1≤i≤K

i=1

i=1

với a1 , . . . , aK là các số phức, áp dụng cho các hàm phân hình fj ,

j = 1, . . . , p, ta thu được




p

fj  ≤

1) m R,
j=1



p

p

j=1



j=1
p

p

m (R, fj ).
j=1



p

fj  ≤

4) N R,
j=1
p

N (R, fj ).
j=1



p

fj  ≤

5) T R,
j=1



N (R, fj ).

fj  ≤

3) m R,



p

fj  ≤
j=1



m (R, fj ) + log p.
j=1



2) N R,


p

p

T (R, fj ) + log p.
j=1



p

fj  ≤

6) T R,
j=1

T (R, fj ).
j=1

1.2. Định lý cơ bản thứ nhất
Định lý 1.1 (Công thức Poisson-Jensen). Giả sử f (z) là hàm phân hình
trong đĩa {|z| ≤ R} , 0 < R < +∞. Giả sử a1 , . . . , aM là các không điểm kể
cả bội và b1 , . . . , bN là các cực điểm kể cả bội của f (z) trong đĩa {|z| ≤ R}.
Giả sử z = reiθ là một điểm thuộc đĩa {|z| ≤ R} sao cho f (z) = 0, ∞.
Khi đó

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not

read....