SKKN: Rèn luyện năng lực huy động kiến thức trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh ở trường THPT thể hiện qua chủ đề Hình giải tích trong không gian

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1. Trong xu thế hội nhập và phát triển thì Giáo dục & Đào tạo lại càng được
Đảng và nhà nước ta đặc biệt quan tâm, điều đó đã thể hiện rõ trong luật giáo dục
Việt Nam: “ Mục tiêu của giáo dục Trung học Phổ thông nhằm giúp HS củng cố
và phát triển những kết quả của giáo dục Trung học cơ sở, hoàn thiện học vấn
phổ thông và những hiểu biết thông thường về kỹ thuật và hướng nghiệp để tiếp
tục học Đại học, Cao đẳng, Trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc
sống lao động” (Luật Giáo dục, chương 2, điều 23)”. Để đạt được mục tiêu đó thì
GV là người được giao phó trọng trách tiếp thu những kiến thức, những phương
pháp dạy học tiến tiến, hiện đại; Những hiểu biết của mình để truyền đạt, giáo
dục cho HS phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ
năng cơ bản.
Người GV phải thực sự tâm huyết với nghề, phải luôn biết trăn trở để tìm
ra những giải pháp tích cực, có hiệu quả cao trong giảng dạy đồng thời giáo dục
cho HS phát huy ý thức tổ chức quá trình tự học, tự tìm tòi khám phá tri thức để
tự hoàn thiện bản thân. Và một trong những vấn đề mà giáo dục đang quan tâm
nữa là làm sao để HS phải biết vân dụng kiến thức đã có của mình vào thực tiễn.
Để làm được điều đó thì trước hết phải đào tạo cho họ có trình độ và một năng
lực nhất định, và năng lực đó cần phải được bồi dưỡng thường xuyên.
2. Hiện nay năng lực HĐKT trong dạy học toán ở các trường THPT chưa
được quan tâm đúng mức, học sinh còn gặp một số khó khăn trong việc phát hiện
cách giải quyết vấn đề. Dạy toán không chỉ đơn thuần là dạy kiến thức mà còn
dạy cho học sinh cách huy động kiến thức sao cho phù hợp để khi đứng trước một
vấn đề các em có thể biết cách lựa chọn tri thức phù hợp và đúng đắn. Song áp
dụng như thế nào còn phụ thuộc vào năng lực HĐKT của chính các em. Với yêu
cầu đổi mới dạy học toán ở trường THPT hiện nay đòi hỏi học sinh phải hoạt
động tích cực để tự chiếm lĩnh tri thức cho bản thân.
- 1 -
TT GDTX Q10
Phương pháp dạy học Phát hiện và giải quyết vấn đề giúp học sinh vừa nắm
được tri thức mới, vừa nắm được phương pháp chiếm lĩnh tri thức đó phát triển tư

duy tích cực, sáng tạo; Đồng thời chuẩn bị cho học sinh một năng lực thích ứng
với xã hội, phát hiện kịp thời và giải quyết hợp lý các vấn đề nảy sinh trong học
tập, trong cuộc sống cá nhân, gia đình và xã hội.
3. Chúng tôi quan niệm các năng lực huy động kiến thức để giải quyết vấn
đề tuỳ mức độ khác nhau được vận dụng trong nhiều phương pháp dạy học tích
cực, dạy học theo quan điểm phát hiện. Từ nhu cầu thực tế đó nên cũng đã có một
số công trình nghiên cứu về năng lực huy động kiến thức và cách huy động kiến
thức có hiệu quả, nhưng để làm sáng tỏ vào chủ đề cụ thể Hình giài tích trong
không gian thì chưa được nghiên cứu.
Vì những lí do nói trên chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: Rèn luyện
năng lực huy động kiến thức trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề của
học sinh ở trường THPT thể hiện qua chủ đề: “ Hình giải tích trong không
gian ”.
- 2 -
TT GDTX Q10
Chương 1
MỘT SỐ CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Khái niệm về năng lực HĐKT, các dạng năng lực HĐKT và sự cần
thiết phải bồi dưỡng năng lực HĐKT cho HS THPT
1.1.1 Khái niệm về năng lực, năng lực HĐKT
Năng lực là một khái niệm tích hợp ở chỗ nó bao hàm cả những nội dung,
những hoạt động cần thực hiện và những tình huống trong đó diễn ra các hoạt
động. Garard và Roegies đã định nghĩa: “Năng lực là một tích hợp những kĩ năng
cho phép nhận biết một tình huống và đáp ứng với tình huống đó tương đối thích
hợp và một cách tự nhiên”.
Năng lực huy động kiến thức là gì? Chúng ta có thể hiểu nó như sau: Năng
lực huy động kiến thức là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con người, đáp
ứng việc nhớ lại có chọn lọc những kiến thức mà mình đã có thích ứng với một
vấn đề đặt ra trong vốn tri thức của bản thân.Toán học là một môn khoa học có
tính logic, hệ thống và kế thừa rất cao. Mọi kiến thức toán học đều xây dựng chặt

chẽ và có cơ sở rất rõ ràng. Tri thức trước chuẩn bị cho tri thức sau, tri thức sau
dựa vào tri thức trước, chúng liên kết lại với nhau như những mắt xích.
Một kiến thức toán học mới hay một bài tập toán được đưa ra thì nó luôn
nằm trong hệ thống toán học đó, nó không thể tách rời, không tự sinh ra một cách
độc lập mà có những cơ sở nhất định nằm trong hệ thống kiến thức đã có trước
đó. Để giải quyết được vấn đề chúng ta nhất thiết phải dựa vào những kiến thức
cũ. Song để coi kiến thức nào là phù hợp với vấn đề đặt ra, kiến thức cũ sẽ sử
dụng thế nào, đó chính là năng lực huy động kiến thức. Tất cả chúng ta - những
người thầy luôn phải đưa ra những lời khuyên kịp thời và có ích để khuyến khích
HS tìm tòi phát hiện. Có thể bắt đầu từ những câu hỏi của G.Polya như “Ta đã
gặp bài toán này lần nào chưa? Hay là ta đã gặp nó dưới một dạng hơi khác” [1].
Còn người giải toán phải biết sắp xếp, lưu trữ kiến thức trong đầu sao cho hợp lý
để khi cần huy động được chính xác,
- 3 -
TT GDTX Q10
đầy đủ và phải biết giữ trong trí nhớ cái bản chất của những kiến thức toán học
dưới dạng định lý đã chứng minh.
Như vậy có thể khẳng định: Không HĐKT thì không thể giải được bài tập
toán và cao hơn nữa là không thể kiến tạo tri thức cho bản thân.
Ví dụ1: Chứng minh rằng ba cạnh a,b,c của một tam giác bất kì thoả mãn
bất đẳng thức:
a + b + c <2(ab+bc+ca)
Bài toán đề cập mối quan hệ giữa ba cạnh của tam giác.Hãy huy động
những định lý đã biết, tính chất đã biết về quan hệ giữa các cạnh của tam giác:
a > b-c (1)
a < b+c (2)
a = b + c -2bc cosA (3)
a+ b = + 2m (4)
Để chọn lọc những kiến thức thích hợp, trước hết ta hãy loại (3) và (4) vì
chúng đề cập mối quan hệ đẳng thức chứ không phải bất đẳng thức như điều phải

chứng minh, ta thấy mỗi cạnh phải có bậc hai, trong đó mỗi cạnh được tính bình
phương một lần. Hãy thử với (1), ta bình phương 2 vế:
a > b + c - 2bc
Tương tự ta có:
b > a + c - 2bc
c > a + b - 2bc
Cộng theo từng vế và ước lượng ta sẽ đi đến điều phải chứng minh.
1.1.2 Vai trò và sự cần thiết phải bồi dưỡng năng lực HĐKT trong dạy học
toán
Ta đã biết năng lực định hướng là tìm tòi cách thức giải quyết vấn đề, tìm
tòi lời giải các bài toán được xác định trên cơ sở các khả năng của HS như: khả
năng phát hiện các đối tượng và quan hệ trong mối liên hệ tương tự; Khả năng
phát hiện ý
- 4 -
TT GDTX Q10
tưởng nhờ nắm quan hệ giữa kết quả và nguyên nhân ; Khả năng nhìn nhận một
vấn đề theo nhiều quan điểm khác nhau; Khả năng nhận dạng và thể hiện các
phương pháp. Nhưng năng lực HĐKT còn đòi hỏi ở mức độ cụ thể cao hơn so với
năng lực định hướng và nó bao trùm lên năng lực định hướng.
Năng lực HĐKT không phải là điều bất biến, một bài toán nếu đặt vào thời
điểm này có thể không giải được, hoặc giải được, chứng minh được một cách rất
máy móc, dài dòng, nhưng đặt trong thời điểm khác (có thể không xa lắm), nếu
có năng lực huy động kiến thức tốt, học sinh có thể giải quyết vấn đề một cách rất
độc đáo, hay.
Ví dụ 2: Giải bất phương trình:
+ < 9 (*)
Với bài toán này nếu ra cho HS lớp 10 chắc chắn các em sẽ liên tưởng đến
tri thức cội nguồn: khử hết căn bậc 2 của bất phương trình (*). Hướng suy nghĩ
đó hoàn toàn đúng và nó phù hợp trong một chừng mực khi kiến thức về đạo hàm
các em chưa được trang bị. Đối với HS lớp 12( học theo chương trình chưa phân

ban) hoặc HS lớp 11(học theo chương trình phân ban) sẽ giải quyết bài này bằng
cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
(*) ⇔ f(x)= + - 9< 0 Tập xác định D=[ )
f
’
(x)= + > 0, ∀x .
Nhận thấy f(11) = + - 9 = 0.
Vậy (*) ⇔
3
2
11
x
x

≥ −



<

Tóm lại: Tập nghiệm của (*) là: - ,11 .
Như vậy nếu biết HĐKT cộng năng lực giải quyết vấn đề tốt thì cách giải
sẽ gọn gàng hơn nhiều. HS mà liên tưởng kém thì bài toán sẽ trở nên khó khăn
hoặc là giải rất dài dòng. Trong quá trình giải một bài toán cụ thể nào đó, người
- 5 -
TT GDTX Q10
giải chỉ cần sử dụng một phần kiến thức mà mình đã có. Cần sử dụng kiến thức
nào, cần xem xét những mối liên hệ nào điều đó phụ thuộc vào khả năng chọn lọc
của người giải. Do vậy việc thu nhận, lưu trữ kiến thức một cách khoa học cũng
là một yếu tố quan trọng cho việc HĐKT, mỗi một dạng toán, một đơn vị kiến

thức nếu biết cách sắp xếp theo một trật tự thích hợp như chúng ta phân loại sách
trên giá thì khi cần đến có thể dễ dàng huy động nó.
Trong các thành phần của cấu trúc năng lực toán học, cần thiết phải rèn
luyện cho học sinh năng lực liên tưởng, năng lực HĐKT và đặc biệt là ứng dụng
kiến thức vào giải quyết các bài toán, chẳng hạn khi giải một phương trình bậc
hai đối với tan và cot thì HS phải liên tưởng ngay đến việc đặt ẩn phụ để đưa về
giải phương trình bậc hai đối với ẩn phụ đó. Việc rèn luyện các năng lực cũng
như HĐKT làm sao cho đúng mà hiệu quả là việc làm thường xuyên của GV đối
với HS hoặc chính bản thân HS.
Khi bồi dưỡng năng lực HĐKT cần yêu cầu các em phải tìm và hiểu sâu sắc
kiến thức cội nguồn của vấn đề. Việc làm này vừa có tác dụng củng cố, vừa có
tác dụng kiểm tra khả năng tư duy của HS để trong trường hợp nếu hiểu sai bản
chất sẽ được uốn nắn và bổ sung kịp thời.
Ví dụ 3: Tìm m để biếu thức
có nghĩa với mọi x.
HS đã hiểu sai dẫn đến việc huy động kiến thức sai như sau:
Biểu thức có nghĩa với mọi x ⇔ f(x)= (m+1)x
2
- 2(m-1)x +3m-3 ≥ 0 ∀x
`
⇔
0
x 0
a >


∆ ≤

⇔
( ) ( ) ( )

2
m 1 0
m 1 3 m 1 m 1 0
+ >



− − − + ≤


⇔
( ) ( )
m 1
2 m 1 m 2 0
> −



− + ≤


⇔ ⇔ m ≥ 1
Ta có kết quả m ≥ 1.
Đúng là: f(x)= ax
2
+bx+c .
Lời giải xét thiếu trường hợp a = 0.
- 6 -
TT GDTX Q10
Cái sai ở đây là tri thức cội nguồn nắm không vững dẫn đến là xét thiếu

trường hợp. Hoặc đôi khi hiểu một cách máy móc, áp dụng vấn đề không linh
hoạt cũng dẫn đến việc HĐKT sai.
HĐKT là một trong những thành tố quan trọng của hoạt động toán học nó
giải quyết những mâu thuẫn trong quá trình giải toán cũng như những nhu cầu
của toán học. Việc bồi dưỡng năng lực HĐKT là nhiệm vụ quan trọng trong dạy,
học toán. Nó đóng góp vào quá trình đổi mới phương pháp dạy học hiện nay.
HĐKT có thể xem là một chuỗi các hoạt động như: HĐ lựa chọn các công
cụ thích hợp, HĐ dự đoán vấn đề, HĐ qui lạ về quen nhờ biến đổi đối tượng, HĐ
chuyển đổi ngôn ngữ. Nếu thành thạo các HĐ này chính là đã làm tốt năng lực
HĐKT học sinh sẽ hiểu sâu sắc kiến thức toán học ở trường phổ thông, thấy được
mối quan hệ biện chứng giữa những nội dung kiến thức của từng chương, mục
trong SGK, đóng góp vào sự phát triển tư duy logic, tư duy biện chứng, khả năng
kiến tạo tri thức cho bản thân.
1.2. Một số dạng biểu hiện cơ bản của năng lực HĐKT
1.2.1 Năng lực dự đoán vấn đề
Để có năng lực dự đoán, phát hiện vấn đề thì điều kiện tiên quyết là HS
phải giải thật nhiều dạng toán, phải biết tích luỹ kinh nghiệm. Họ cần phải được
rèn luyện các năng lực thành tố như: Năng lực xem xét các đối tượng Toán học,
năng lực tư duy biện chứng; năng lực so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá,
tổng quát hoá; năng lực liên tưởng các đối tượng, quan hệ đã biết với các đối
tượng tương tự, quan hệ tương tự
1.2.2 Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ
Đứng trước một vấn đề, HS có thể gặp khó khăn khi tìm cách giải quyết
hoặc là muốn có nhiều cách giải quyết khác nhau. Một trong những phương án có
thể đáp ứng được nhu cầu đó là năng lực chuyển đổi ngôn ngữ của bài toán.
Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ là một trong những năng lực quan trọng để
huy động kiến thức đối với việc giải toán. Nó được thể hiện qua các HĐ như:
- 7 -
TT GDTX Q10
- HĐ chuyển đổi ngôn ngữ nhìn nhận một nội dung toán học theo mối liên

hệ liên môn: đại số hoá, hình học hoá, lượng giác hoá,
- HĐ chuyển đổi ngôn ngữ trong nội tại hình học: từ phương pháp tổng hợp
sang phương pháp giải tích (gồm có phương pháp véc tơ và phương pháp toạ độ),
hoặc phương pháp biến hình.
1.2.3 Năng lực qui lạ về quen nhờ biến đổi về dạng tương tự
Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó, trong toán học hai bài toán được
gọi là tương tự nhau nếu hoặc chúng có cùng phương pháp giải; hoặc cùng giả
thiết, hoặc cùng kết luận; hoặc được đề cập đến những vấn đề giống nhau, những
đối tượng có tính chất giống nhau. Khai thác chức năng của bài tập tương tự là
một trong những việc làm quan trọng trong dạy học bởi nó có vai trò khắc sâu
kiến thức đã học, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo.
1.2.4 Năng lực nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau
Nếu đứng trước một vấn đề mỗi người làm toán có thói quen nhìn nhận theo
nhiều góc độ khác nhau dựa trên những tri thức, những kinh nghiệm đã có thì sẽ
hình thành dần nên trong họ một tư duy nhạy bén, sắc xảo một niềm tin sẽ giải
quyết được vấn đề bởi lẻ bài toán đang giải đó nó còn ẩn tàng những cách giải ở
những góc độ nào đó mà chúng ta phải khám phá ra.
1.3. Phát triển năng lực HĐKT cho HS thông qua việc vận dụng phương
pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
Then chốt của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là GV
thiết kế được những tình huống gợi động cơ, gợi vấn đề, những tình huống có vấn
đề, khai thác được những nội dung bài học một cách triệt để, có những sáng tạo
trong xây dựng những bài toán. Mỗi một bước thực hiện là HS đã phải trãi
nghiệm qua hàng loạt kiến thức khi được huy động và họ phải phân tích, chọn lựa
để tìm ra kiến thức nào là phù hợp, là đúng đắn.
- 8 -
TT GDTX Q10
Chương II
MỘT SỐ PHƯƠNG THỨC TĂNG CƯỜNG NĂNG LỰC HUY ĐỘNG
KIẾN THỨC CỦA HS TRONG QUÁ TRÌNH DẠY GIẢI TOÁN.

2.1 Các định hướng xây dựng và thực hiện các phương thức sư phạm
Dạy học giải toán là một trong những vấn đề trọng tâm của chương trình
giảng dạy trong nhà trường. Đối với HS thì giải toán là hình thức chủ yếu của HĐ
toán học nhằm thực hiện tốt chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng
phát triển, chức năng trí tuệ và chức năng kiểm tra. Đối với GV, dạy học giải toán
là một trong những vấn đề quan trọng của quá trình dạy học, GV không dừng lại
- 9 -
TT GDTX Q10
ở mức độ hướng dẫn HS trình bày một lời giải đúng đắn, đầy đủ và có căn cứ
chính xác mà phải biết cách hướng dẫn HS thực hành giải bài tập theo hướng tìm
tòi, tự nghiên cứu lời giải. Để từ những bài toán cơ bản có thể phát triển nên
những bài toán mới, đa dạng.
Từ đó chúng tôi đã có những định hướng sau đây cho việc xây dựng và thực
hiện một số phương thức sư phạm nhằm phát triển năng lực HĐKT cho HS trong
dạy học giải toán ở trường phổ thông.
Định hướng 1: Các biện pháp sư phạm được xây dựng phải dựa trên nền
tảng tri thức chuẩn của sách giáo khoa Toán hiện hành.
Định hướng 2: Các biện pháp sư phạm cần bảo đảm tạo ra khó khăn đúng
mức, nhằm làm cho học sinh được tham gia vào quá trình hình thành tri thức và
kỹ năng.
Định hướng 3: Hệ thống các biện pháp phải đảm bảo sự kích thích hứng thú
học tập, nhằm phát huy tính tích cực và năng lực trí tuệ của học sinh.
Định hướng 4: Các biện pháp sư phạm được đề xuất phải dựa trên vốn kiến
thức của học sinh và việc liên tưởng, huy động các kiến thức một cách hợp lý sẽ
góp phần giải quyết các vấn đề Toán học.
Định hướng 5: Các biện pháp sư phạm được đề xuất phải đảm bảo tính khả
thi, và thông qua các biện pháp, học sinh phải thấy được vai trò của năng lực huy
động kiến thức trong dạy học giải toán.
Sau đây là một số các phương thức sư phạm nhằm tăng cường năng lực HĐKT
của HS trong quá trình dạy học giải toán.

2.2. Phương thức 1: Rèn luyện cho HS biến đổi bài toán theo nhiều hình
thức khác nhau để lựa chọn cách huy động kiến thức đã có thích hợp cho lời
giải bài toán
2.2.1.Rèn luyện cho HS biến đổi bài toán theo nhiều góc độ khác nhau để phát
huy được năng lực HĐKT
Bài toán 1: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(3 ; -2; -2 ), B(3 ; 2; 0 ),
- 10 -
TT GDTX Q10
C(0 ; 2 ; 1 ), D(-1 ; 1; 2 ). Chứng tỏ rằng ABCD là một tứ diện. Tính V
ABCD.
Góc độ 1: Nhìn bài toán dưới góc dộ hình không gian
Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm bất kỳ trong 4 điểm đã cho,
chẳng hạn viết pt mặt phẳng ( BCD):
.Vectơ pháp tuyến của mp (BCD):
n
=
[ ]
BDBC ;
Với .
=BC
( -3 ; 0 ; 1 )
= ( 1; 2; 3 ) .
=BD
( -4 ; -1 ; 2 )
.Phương trình mặt phẳng (BCD) qua C ( 0; 2; 1) có dạng:
x + 2y + 3z -7 = 0
. ABCD là một tứ diện khi và chỉ khi A không thuộc mặt phẳng (BCD)
( Thế A(3 ; -2; -2 ) vào pt mp (BCD))
3 +(-4)+3(-2) -7 = 0
⇔

-14 = 0 ( Vô lý )
⇔
A
∉
(BCD) Hay ABCD là một tứ diện
. Thể tích tứ diện ABCD :
V
ABCD
=
hB.
3
1
(1)
+ B = S
BCD
=
2
1
[ ]
BDBC ;
=
2
1
14
+ h = d[A, (BCD)] =
14
(1)
⇒
V
ABCD

=
hB.
3
1
=
3
7

Góc độ 2: Nhìn bài toán hoàn toàn trong hệ trục tọa độ decac vuông góc
trong không gian.
. ABCD là một tứ diện
⇔

[ ]
BDBC;
.
BA
0
≠

⇔
-14
0
≠
- 11 -
TT GDTX Q10
Với .
=BC
( -3 ; 0 ; 1 )
.

=BD
( -4 ; -1 ; 2 )
.
=BA
( 0 ; -4 ; -2 )
. Thể tích ABCD : V
ABCD
=
6
1
[ ]
3
7
.;
=
BABDBC
Qua nghiên cứu lý luận và thực tiễn cho thấy khi nhìn nhận bài toán dưới
những góc độ khác nhau tương ứng có những cách HĐKT khác nhau đều phải
dựa trên sơ đồ tri thức đã có, kinh nghiệm đã có của HS. HS được thể hiện tri
thức và kinh nghiệm trong quá trình giải quyết vấn đề, nếu tri thức và kinh
nghiệm đó không đủ hoặc chưa phù hợp với nhu cầu đặt ra thì buộc họ phải tạo
nên sơ đồ kiến thức mới để hiểu vấn đề mới, cấu trúc lại kiến thức cho phù hợp
với môi trường.
Bài toán 2: Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng
(d):



=+−−
=−+−

)2(01523
)1(05
zyx
zyx
lên mặt phặng (P) : -2x -3y +z -4 = 0
Góc độ 1: Mặt phẳng (Q) chứa (d) và chiếu d’ của d lên mặt phẳng (P)
có dạng( Sử dụng phương pháp chùm mặt phẳng):
(Q) : (m + 3n)x – ( m+2n)y +(m –n)z -5( m- 3n) = 0 Trong đó m
2
+n
2
> 0
Mà (P)
⊥
(Q)
⇔
-2((m + 3n) + 3( m+2n) +( m- 3n) = 0

⇔
2m – n = 0 (*)
Ta chọn trong (*) : m = 1 ; n = 2
Phương trình đường thẳng (d’) = (P)
∩
(Q) là:
(d’):



=+−+
=+−−

0432
05257
zyx
zyx

Góc độ 2: Gọi d’ là hình chiếu vuông góc của d lên mp (P) và (Q) là
mp chứa d và vuông góc với d
Vectơ chỉ phương của (d)
.
21
nna
d
∧=
= ( 1 ; -1; 1 ) ^ ( (3; -2; -1) = ( 3 ; 4 ; 1)
- 12 -
TT GDTX Q10
Vectơ pháp tuyến của (P)
.
n
=( -2 ; -3; 1)
Véc tơ pháp tuyến của (Q) vuông góc với (d) ,vuông góc với VTPT
n
của (P) nên:
== ];[
PQ
nan
( 7 ; -5 ; -1)
Vì (Q) chứa d nên chọn M( ( -25; -30; 0) thuộc d
Mặt phẳng (Q) qua M có VTPT
== ];[

PQ
nan
( 7 ; -5 ; -1) có phương trình:
7x -5y –z + 25 = 0
Phương trình đường thẳng (d’) = (P)
∩
(Q) là:
(d’):



=+−+
=+−−
0432
05257
zyx
zyx

Góc độ 3: Ta xem hình chiếu vuông góc (d’) của d lên mặt phăng (P) là
đưởng thẳng đi qua hai điểm phân biệt A, B:
Trong đó A là giao điểm của d và mặt phảng (Q), B ( B
≠
A ) là hình
chiếu vuông góc của một điểm bất kỳ trên d lên mặt phẳng (P)
2.2.2 Rèn luyện cho HS biến đổi bài toán theo hướng liên tưởng đến những
vấn đề quen thuộc
Những vấn đề quen thuộc ở đây có thể là những khái niệm, tính chất, định lý, hệ
quả, có cùng kết luận hay có kết luận tương tự với bài toán ta đang xét hoặc có
thể là những bài toán có cùng ẩn hay có ẩn tương tự với nó.
Bài toán 3: Cho mặt phẳng (P): 6x + 3y +2z -6 = 0

Tìm tọa độ hình chiếu của điểm A ( 0 ; 0; 1 ) lên mặt phẳng (P)
Lời giải:
Cách 1:
Gọi H ( x
0
; y
0
; z
0
) là hình chiếu của A( 0 ; 0; 1 ) lên mặt phẳng (P)
. Lúc đó: AH
⊥
(P) và
AH
= ( x
0
; y
0
; z
0
-1) cùng phương với pháp vecto
n
=( 6 ; 3; 2) của (P)
- 13 -
TT GDTX Q10
∃
k
≠
0:
AH

= k
n
⇔






+=
=
=
12
3
6
0
0
0
kz
ky
kx
. Áp đặt H
∈
(P)
⇔
6(6k) + 3(3k) + 2(2k+1) -6 = 0
⇔
k =
49
4

Do đó H (
49
24
;
49
12
;
49
57
)
Cách 2:
Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với (P):
⇒
Vecto chỉ phương của d là:
a
= ( 6 ; 3; 2 )
Pt tham số của d:





+=
=
=
tz
ty
tx
21
3

6
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (P)
⇒
H = d
∩
(P)
Thế tọa độ điểm H vào pt mp(P):
⇔
6(6t) + 3(3t) + 2(2t+1) -6 = 0
⇔
t =
49
4

Do đó H (
49
24
;
49
12
;
49
57
)
2.3 Phương thức 2: Rèn luyện cho học sinh năng lực HĐKT thông qua dạy
học chuỗi bài toán
Khi học chuỗi bài toán sẽ giúp HS nắm bắt các tri thức một cách có hệ
thống, bồi dưỡng tư duy biện chứng và phát triển nhận thức toán học:
Bài toán 4:
Lập phương trình của đường thẳng đi qua điểm A ( -1 ; 2; -3) vuông góc

với vecto
n
=( 6 ; -2; -3) và cắt đường thẳng d có phương trình
- 14 -
TT GDTX Q10
d:





−=
+−=
+=
tz
ty
tx
53
21
31
(*)
Đứng trước bài toán này học sinh sẽ dễ dàng giải được nếu giáo viên
trang bị cho học sinh chuỗi các bài toán sau:
Bài toán 4.1: Viết phương trình mặt phẳng qua M( 2 ; -1; 1) và vuông
góc với đường thẳng
∆
:






−=
=
=
tz
ty
x
4
1
(1)
Giải :
Mặt phẳng
( )
α
qua M và vuông góc với đường thẳng
∆
nên:
=≡
an
α
( 0 ; 1; - 1)
Phương trình tổng quát của đường thẳng
∆
là:
( )
α
: 0( x – 2) +1(y + 1) -1( z -1) = 0
( )
α

: y – z + 2 = 0
Bài toán 4.2: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng
∆
:





−=
=
=
tz
ty
x
4
1
(1) và mp
( )
α
: y – z + 2 = 0 (2)
Giải :

Tọa độ giao điểm I của
∆
và mp
( )
α
là nghiệm của hệ hai phương
trình (1) và (2)

Thay (1) vào (2)
⇒
t - (4-t) + 2 = 0
⇔
t = 1
⇒
I( 1 ; 1; 3 )
Bài toán 4.3: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm P, Q,
biết P( -1 ; -1; 4), Q ( 0 ; 2; 1).
Giải :


Đường thẳng PQ nhận
=PQ
( 1 ; 3; -3) làm vec tơ chỉ phương
Phương trình tham số của đường thẳng PQ qua Q:
- 15 -
TT GDTX Q10
(PQ) :





−=
∈+=
=
tz
Rtty
tx

31
)(32
Từ chuỗi các bài toán: 4.1, 4.2, 4.3 Học sinh thực hiện giải bài toán 4 như
sau: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với
n
(P): 6(x +1 ) -2(y -2)-3(z+3) = 0
⇔
(P): 6x -2y -3z + 1 = 0 (**)
Tìm giao điểm B của đường thẳng d và mặt (P):
Thế (*) vào (**)
⇒
6(1+3t) -2( -1+2t) -3(3 -5t) + 1 = 0
⇔
t = 0
Thế t = 0 vào(*) ta được B ( 1 ; -1; 3)
Phương trình đường thẳng AB qua A ( -1; 2; -3) nhận
AB
= ( 2 ; -3; 6) làm vecto
chỉ phương ( AB
( )
∆≡
)
⇒
( )
∆
:






+−=
∈−=
+−=
tz
Rtty
tx
63
)(32
21
Các bài toán tương tự

:
Bài 1. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(-2 ; 1; 0 ),B(3 ; 1; -2 ), C(1 ; 4
; -1 ), D(2 ; 3; 1 )
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) . Suy ra 4 điểm A, B, C, D không
đồng phẳng.
b) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD).
c) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng
(BCD)
d) Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên (BCD). Suy ra tọa độ điểm A’ đối xứng
với A qua mp(BCD).
Bài 2. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d và mp
( )
α
- 16 -
TT GDTX Q10
( )
Rt
tz

ty
tx
d ∈





+=
+=
+=
1
39
412
:
và
( )
α
:3x + 5y – z -2 = 0
( )
α
a) Chứng tỏ rằng d cắt
( )
α
. Tìm tọa độ giao điểm I của chúng.
b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d lên
( )
α
.
Bài 3. Cho mp(P) : x +3 y + 2 z + 2 = 0 và đường thẳng

1
2
2
1
1
:
−
=
−
=
zyx
d
a) Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P).
b) Viết pt chính tắc của đường thẳng qua điểm M( 2 ; 2 ;4 ), song song với
mp (P) và cắt đường thẳng d.
Trong phần này chúng tôi đưa ra các định hướng để đề xuất các phương thức
sư phạm nhằm rèn luyện và phát triển năng lực HĐKT cho HS THPT trong dạy
học chủ đề “ Hình giải tích trong không gian”. Kèm theo các biện pháp sư phạm
chúng tôi đã nghiên cứu đề xuất các ví dụ điển hình nhằm minh hoạ tính thực thi
của các biện pháp đó.
Bên cạnh đó, chúng tôi đã thực hiện mở rộng bài toán theo nhiều hướng
khác nhau dựa trên việc khai thác các chuỗi bài toán tương tự nhau với độ khó
tăng dần. Việc làm này giúp cho HS có thói quen xâu chuỗi kiến thức khi đọc
sách và trong học tập, phát triển cho HS năng lực huy động kiến thức để giải
quyết vấn đề trên cơ sở vận dụng các năng lực huy động kiến thức
Chương III
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
1) Tổ chức thực nghiệm.
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành với học sinh lớp 12 Trường TT
GDTX Q10

+) Lớp thực nghiệm: 12C1có 44 học sinh.
+) Lớp đối chứng: 12C2 có 42 học sinh.
- 17 -
TT GDTX Q10
Trình độ hai lớp tương đối đồng đều.
2) Tiến trình thực nghiệm.
+) Ở lớp thực nghiệm:
- Tác giả nghiên cứu đề tài trực tiếp giảng dạy các tiết bài tập theo nội dung
đã trình bày ở chương III bằng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề, có
chọn lọc cho phù hợp với thời gian quy định và trình độ học sinh.
- Quan sát hoạt động học tập của học sinh và đánh giá.
- Tiến hành kiểm tra 1 bài 15 phút và 1 bài 1 tiết.
+) Ở lớp đối chứng:
- Giáo viên dạy thực nghiệm quan sát hoạt động của học sinh ở lớp đối
chứng được giáo viên khác dạy học không theo hướng bồi dưỡng năng lực HĐKT
đã có của HS.
- Tiến hành kiểm tra cùng đề với lớp thực nghiệm.
3) Nội dung và kết quả kiểm tra.
3.3.3.1. Nội dung kiểm tra.
* Bài kiểm tra số 1:

(thời gian 15’, kiểm tra sau khi dạy bài phương trình
mặt phẳng và bài phương trình đường thẳng trong không gian)
Bài 1. ( 6 điểm) Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
trong các trường hợp sau:
a)
( )
α

là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB biết A(5 ; -1; 2 ), B(3 ; -7;
0 )
b)
( )
α
qua M(2 ; -3 ; 4 ) và song song với mặt phẳng (P) : 4x – 3y +2z -5 = 0
c)
( )
α
qua A(4 ; -1 ; 1 ), B(3 ; 1; -1 ) và vuông góc với mặt phẳng (P) : 3x +
2y -4z +1 = 0
Bài 2. ( 4 điểm) Viết phương trình tham số của đường thẳng d biết :
- 18 -
TT GDTX Q10
a) d qua A( 3; 2; 1 ) và song song với
( )
Rt
tz
ty
tx
∈





−=
=
−=
∆

23
3
21
:
b) d qua M( 2; -3; 4 ) và vuông góc
( )
α
: 3x -2y + z +12 = 0
. Kết quả kiểm tra.
Bài kiểm tra số 1:
Điể
m
Lớp
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Số
bài
TN
(12C1)
0 0 2 4 5 5 6 10 7 5 44
ĐC
(12C2)
0 2 3 7 4 6 6 5 6 3 42
Kết quả: Lớp TN có: 38/44 (86,36%) đạt trung bình trở lên, trong đó 28/44
(63,63%) đạt khá giỏi.
Lớp đối chứng có 30/42 (71,42%) đạt trung bình trở lên, 20/42 (46,61%)
đạt khá giỏi.
Bài kiểm tra số 2:
Bài 1. ( 3 điểm) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
( )
Rt

tz
ty
tx
d ∈





−=
+=
+=
4
2
21
:

và mặt phẳng (P) : 2x + 2y + z = 0
a) Tìm tọa độ giao điểm A của (P) và d.
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A và vuông góc với đường thẳngd
Bài 2. ( 5 điểm) Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(3 ; -2; -2 ), B(3 ; 2; 0 ),
C(0 ; 2 ;1), D(-1 ; 1; 2 )
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện. Tính
V
ABCD.
b) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua mp(BCD)
- 19 -
TT GDTX Q10
c) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với mp(BCD).
Bài 3. ( 2 điểm)

Cho mp(P) : x +3 y + 2 z + 2 = 0 và đường thẳng
1
2
2
1
1
:
−
=
−
=
zyx
d
a) Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P).
b) Viết pt chính tắc của đường thẳng qua điểm M( 2 ; 2 ;4 ), song song với
mp (P) và cắt đường thẳng d.
. Kết quả kiểm tra.
Bài kiểm tra số 2: (thời gian 45’, kiểm tra sau khi dạy bài phương trình mặt
phẳng và bài phương trình đường thẳng trong không gian)
Điể
m
Lớp
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Số
bài
TN
(12C1)
0 0 1 2 2 9 12 10 5 3 44
ĐC
(12C2)

0 0 4 2 7 10 9 7 3 0 42
Kết quả: Lớp TN có: 41/44 (93,18%) đạt trung bình trở lên, trong đó 30/44
(68,18%) đạt khá giỏi.
Lớp đối chứng có 36/42 (85,71%) đạt trung bình trở lên, 19/42 (45,23%)
đạt khá giỏi.
3.4.2. Kết luận về thực nghiệm sư phạm.
Qua quan sát hoạt động dạy học và kết quả thu được qua đợt thực nghiệm
sư phạm, cho thấy:
- Tính tích cực hoạt động của học sinh lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối
chứng
- 20 -
TT GDTX Q10
- Nâng cao trình độ nhận thức, khả năng tư duy cho học sinh trung bình và
một số yếu ở lớp thực nghiệm tạo hứng thú và niềm tin cho các em, trong khi
điều này chưa có ở lớp đối chứng.
- Khả năng phát hiện, giải quyết vấn đề của học sinh lớp thực nghiệm cao
hơn lớp đối chứng thể hiện qua kết quả các bài kiểm tra. Số học sinh đạt trung
bình hoặc khá giỏi ở lớp thực nghiệm thường cao hơn lớp đối chứng, nhất là
những bài kiểm tra về sau. Nguyên nhân là học sinh ở lớp thực nghiệm ngoài việc
luôn học tập trong hoạt động còn thường xuyên được rèn luyện các tri thức
phương pháp như tương tự, khái quát hoá, quy lạ về quen Số học sinh đạt trung
bình trở lên ở lớp thực nghiệm tăng dần từ 86,3% đến 90,9%, chứng tỏ việc nắm
các kiến thức cơ bản của các em cũng được cải thiện đáng kể. Số học sinh đạt khá
giỏi ở lớp thực nghiệm nhiều hơn lớp đối chứng do các em phát huy được tư duy
tự lập, sáng tạo.
Từ những kết quả trên, có thể kết luận: việc xây dựng hệ thống bài toán
gốc, từ đó hướng dẫn học sinh phát hiện giải quyết các vấn đề mới nâng cao dần
mức độ khó khăn trong dạy học giải bài tập toán hình giải tích trong không gian
theo định hướng tiếp cận tư tưởng dạy học giải quyết vấn đề bước đầu đã có tác
dụng giúp học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, góp phần phát

triển tư duy sáng tạo, giáo dục tư duy toán học cho học sinh. Như vậy, giả thuyết
khoa học của đề tài đã được kiểm nghiệm.
KẾT LUẬN
Đối chiếu với mục tiêu, nhiệm vụ và kết quả nghiên cứu trong quá trình
thực hiện đề tài: “ Rèn luyện năng lực huy động kiến thức trong dạy học toán của
học sinh ở trường THPT ”, chúng tôi thu được những kết quả sau:
1. Tiểu luận trình bày tổng quan về năng lực huy động kiến thức và một số
dạng biểu hiện của năng lực huy động kiến thức. Qua đó thấy được vai trò và sự
- 21 -
TT GDTX Q10
cần thiết phải bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức cho HS trong quá trình dạy
học toán.
2. Tiểu luận đề xuất được bốn phương thức sư phạm về việc rèn luyện và
phát triển các năng lực HĐKT cho HS THPT thông qua dạy học chương III- Sgk
hình học 12.
3. Tiểu luận đưa được một số các ví dụ điển hình và các chuỗi bài toán
nhằm minh hoạ cho phần lý luận cũng như các phương thức sư phạm đã đề xuất
trong chương 2.
4. Tiểu luận đã trình bày kết quả thực nghiệm sư phạm tại khối 12 trường
Trung tâm GDTX Quận 10 tại TP. HCM trong khoảng thời gian một tháng. Kết
quả thực nghiệm phần nào minh hoạ cho tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
5. Tiểu luận có thể làm tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp và sinh viên sư
phạm ngành Toán.
CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT
Huy động kiến thức HĐKT
Giáo dục Thường xuyên GDTX
Học sinh trung học phổ thông HS THPT
- 22 -
TT GDTX Q10