Giải phương trình vô tỷ được viết theo chương trình SGK hiện hành nhằm dạy học sinh đại trà trên lớp cũng như ôn thi học sinh giỏi

Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
LỜI NÓI ĐẦU
Phương trình vô tỷ là một đề tài l thú vị của Đại số, đã lôi cuốn nhiều người nghiên
cứu say mê và tư duy sáng tạo để tìm ra lời giải hay,  tưởng phong phú và tối ưu. Tuy đã
được nghiên cứu từ rất lâu nhưng phương trình vô tỷ mãi mãi vẫn còn là đối tượng mà
những người đam mê Toán học luôn tìm tòi học hỏi và phát triển tư duy.
Mỗi loại bài toán phương trình vô tỷ có những cách giải riêng phù hợp. Điều này có
tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Bên cánh đó, các bài
toán giải phương trình vô tỷ thường có mặt trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán ở các cấp
THCS.
Chuyên đề '' Giải phương trình vô tỉ'' được viết theo chương trình SGK hiện hành
nhằm dạy học sinh đại trà trên lớp cũng như ôn thi học sinh giỏi.
Chuyên đề đã giới thiệu một số phương pháp hay dùng để giải phương trình vô tỉ:
Ôn thi học sinh đại trà:
Phương pháp 1: NÂNG LUỸ THỪA
Phương pháp 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI
Ôn thi học sinh giỏi , lớp chọn:
Phương pháp 3: ĐẶT ẨN PHỤ
Phương pháp 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Phương pháp 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Phương pháp 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC
Trong chuyên đề mỗi một phương pháp có dành nhiều bài tập cho học sinh tự luyện.
Chúng tôi hy vọng chuyên đề này sẽ mang lại cho bạn đọc nhiều điều bổ ích và giúp
các bạn cảm nhận thêm vẻ đẹp của Toán học qua các phương trình vô tỷ.
Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, nhưng chuyên đề không tránh khỏi những sai sót. Chúng tôi
mong nhận được những  kiWn đóng góp qu báu từ các thày cô và các em học sinh để
chuyên đề ngày càng hoàn thiện hơn!
Mọi đóng góp xin gửi về :
Chúng tôi xin cảm ơn!

1

Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỤC NGẠN
TRƯỜNG THCS MỸ AN - LỤC NGẠN - BẮC GIANG
Năm: 2010 - 2011
CHUYÊN ĐỀ :
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I - Tác giả:
Tổ toán trường THCS Mỹ An - Lục Ngạn - Bắc giang
II - Mục Lục:
Trang
Phương pháp 1: NÂNG LUỸ THỪA 3 - 6
Phương pháp 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI 6 - 7
Phương pháp 3: ĐẶT ẨN PHỤ 7 - 17
Phương pháp 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 17 - 21
Phương pháp 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 21 - 22
Phương pháp 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC 22 - 24
Bài tập tổng hợp: 24 - 27
III - Tài liệu tham khảo:
Các thầy cô và các em học sinh có thể tham khảo :
Nâng cao và phát triển toán 9 - Tập 1 - Vũ Hữu Bình

2
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LUỸ THỪA
I-KIẾN THỨC:
1/
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )

 
     
   
≥


= ⇔ ≥


=

2/
2
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
 
   
   
≥

= ⇔

=

3/
( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( )
 

       
         

≥

+ = ⇔ ≥


+ + =

4/
*
2 2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0 ( )
( ) ( )
 
 
       
   
≥


= ⇔ ≥ ∈


=

5/
*

2
2
( ) 0
( ) ( ) ( )
( ) ( )


 
     
   
≥

= ⇔ ∈

=

6/
*
2 1 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 
         
+ +
= ⇔ = ∈
7/
2 1 *
2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )



         
+
+
= ⇔ = ∈
…
II-BÀI TẬP
Bài 1: Giải phương trình:
x 1 x 1+ = −
(1)
HD: (1) ⇔
2 2
x 1 0 x 1
x 1
x 3
x 1 (x 1) x 3x 0
− ≥ ≥
≥
 

⇔ ⇔
  
=
+ = − − =

 
3⇔ =
Bài 2: Giải phương trình:
2 3 0 − + =
HD:Ta có:
2 3 0 − + =

2 3 ⇔ + =

2
2
0
2 3
0
2 3 0
0
3
1
3

 

 




≥

⇔

+ =

≥

⇔


− − =

≥


⇔ ⇔ =
= −




=


Bài 3: Giải phương trình:
4 1 1 2  + − − = −
HD: Ta có:
4 1 1 2  + − − = −

4 1 2 1  ⇔ + = − + −
1 2 0
1 0
4 1 2 1 2 (1 2 )(1 )


    

− ≥


⇔ − ≥


+ = − + − + − −


3
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
2
1
2
2 1 2 3 1

  

≤

⇔


+ = − +


2 2
1
2
2 1 0
(2 1) 2 3 1



  

≤


⇔ + ≥


+ = − +


2
1 1
1 1
2 2
0
2 2
0
7 0
7




 

−

≤ ≤
−



≤ ≤
 
⇔ ⇔ ⇔ =
 
=

 
+ =



= −


Bài 4: Giải phương trình:
2
2 3 4 0 − − − =
HD:ĐK:
2
2 0
2
4 0



− ≥

⇔ ≥


− ≥

(1)
PT
( )
( )
2 3 ( 2)( 2) 0
2. 1 3 2 0
2
2 0
(2)
17
1 3 2 0
9
  
 




⇔ − − − + =
⇔ − − + =
=


− =


⇔ ⇔

−

=

− + =


KWt hợp (1) và (2) ta được:x = 2
Bài 5. Giải phương trình :
3 3  − = +
HD:Đk:
0 3≤ ≤
khi đó pt đã cho tương đương:
3 2
3 3 0  + + − =
3
3
1 10 10 1
3 3 3 3
 
−
 
⇔ + = ⇔ =
 ÷
 
Bài 6. Giải phương trình sau :
2
2 3 9 4  + = − −
HD:Đk:
3

≥ −
phương trình tương đương :
( )
2
2
1
3 1 3
1 3 9
5 97
3 1 3
18

 
 

 
=


+ + =

+ + = ⇔ ⇔

− −

=
+ + = −





Bài 7. Giải phương trình sau :
( ) ( )
2
2
3
3
2 3 9 2 2 3 3 2    + + = + +
HD: pt
( )
3
3 3
2 3 0 1  ⇔ + − = ⇔ =
Bài 8. Giải và biện luận phương trình:
2
x 4 x m− = −
HD: Ta có:
2
x 4 x m− = −
⇔
2 2 2 2
x m x m
x 4 x 4xm m 2mx (m 4) 0
≥ ≥
 
⇔
 
− = − + − + =
 
– NWu m = 0: phương trình vô nghiệm

– NWu m ≠ 0:
2
m 4
x
2m
+
=
. Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m ⇔
2
m 4
2m
+
≥ m
+ NWu m > 0: m
2
+ 4 ≥ 2m
2
⇔ m
2
≤ 4 ⇔
0 m 2< ≤
+ NWu m < 0: m
2
+ 4 ≤ 2m
2
⇔ m
2
≥ 4 ⇔ m ≤ –2
Tóm lại:
– NWu m ≤ –2 hoặc 0 < m ≤ 2: phương trình có một nghiệm

2
m 4
x
2m
+
=
– NWu –2 < m ≤ 0 hoặc m > 2: phương trình vô nghiệm

4
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
Bài 9. Giải và biện luận phương trình với m là tham số:
 −=− 3
2
 !"###$%
HD: Ta có:
2
2 2 2 2
x m x m
x 3 x m
x 3 x m 2mx 2mx (m 3) 0
≥ ≥
 
− = − ⇔ ⇔
 
− = + − − + =
 
– NWu m = 0: phương trình vô nghiệm
– NWu m ≠ 0:
2
m 3

x
2m
+
=
. Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m ⇔
2
m 3
m
2m
+
≥
+ NWu m > 0: m
2
+ 3 ≥ 2m
2
⇔ m
2
≤ 3 ⇔
0 m 3≤ ≤
+ NWu m < 0: m
2
+ 3 ≤ 2m
2
⇔ m
2
≥ 3 ⇔ m ≤
3−
Tóm lại:
– NWu
0 m 3≤ ≤

hoặc
m 3≤ −
. Phương trình có một nghiệm:
2
m 3
x
2m
+
=
– NWu
3 m 0− < ≤
hoặc
m 3>
: phương trình vô nghiệm
Bài 10. Giải và biện luận theo tham số m phương trình:
x x m m− = −
HD: Điều kiện: x ≥ 0
– NWu m < 0: phương trình vô nghiệm
– NWu m = 0: phương trình trở thành
x( x 1) 0− =
⇒ có hai nghiệm: x
1
= 0, x
2
= 1
– NWu m > 0: phương trình đã cho tương đương với
( x m)( x m 1) 0− + − =
x m 0
x 1 m


− =
⇔

= −


+ NWu 0 < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x
1
= m; x
2
=
2
(1 m)−
+ NWu m > 1: phương trình có một nghiệm: x = m
III-Bài tập áp dụng:
Bài 1:Giải các phương trình sau:
1/
1 13 + − =
2/
3 34 3 3 1 + − − =
3/
2 5 3 5 2 + − − =

4/
2
1 4 1  + + = +

5/
x 3 5 x 2+ = − −
6/

x 1 x 7 12 x+ − − = −

7/
x x 1 x 4 x 9 0− − − − + + =
8/
2 5 0 − − =
9/ 3 =
2
6 −
10/
1
5 1 2 0
2
 − + =
11/
19
3 2 3
6
− + =
12/
2
8 5 2 0
3
− − =
13/
16 17 8 23 + = −
14/
3 1 2 3 + + − =
15/
20 3 2 2 3 − − = −

Bài 2: Giải phương trình:
a)
2
1 1 − = −
b)
2 3 0 − + =
c)
2
1 1 + + =
d)
3 6 3 + + − =
e)
3 2 1 3 − + − =
f)
3 2 1 + − − =
g)
9 5 2 4 + = − +
h)
3 4 2 1 3  + − + = +
i)
4 3 2 − − =
Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2 2
3 2 2    − + − = + −
Bài 4: Cho phương trình:
2
1  − − =
a) Giải phương trình khi m = 1
b) Tìm m để phương trình có nghiệm.
Bài 5: Cho phương trình:

2
2 3   + − = −
a) Giải phương trình khi m=3
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm.

5
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
Bài 6: Giải các phương trình sau:
a/
7 3 9 0 − − − =
d/
1 9
1 1 3 1 17
2 2
  − − − + − = −
g/
2 6
4 7
 
 
− −
=
− −
b/
2 1 1 − =
e/
5 3
3 9 27 4 12 1
3 2
  − − − + − = −

h/
5 5 1 0 + − − =
c/
3 7 4 0 − + =
f)
2 2
( 3) 10 12   + − = − −
i/
5 7 12 0 − + + =
PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI
I-KIẾN THỨC:
Sử dụng hằng đẳng thức sau:
2
( ) ( ) ( ( ) 0)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ( ) 0)
     
       
     
= ≥

= ⇔ = ⇔

= − <


II-BÀI TẬP:
Bài 1: Giải phương trình:
2
x 4x 4 x 8− + + =

(1)
HD: (1) ⇔
2
(x 2) 8 x− = −
⇔ |x – 2| = 8 – x
– NWu x < 2: (1) ⇒ 2 – x = 8 – x (vô nghiệm)
– NWu x
≥
2 : (1) ⇒ x – 2 = 8 – x ⇔ x = 5 (thoả mãn) Vậy: x = 5.
Bài 2: Giải phương trình:
x 2 2 x 1 x 10 6 x 1 2 x 2 2 x 1+ + + + + − + = + − +
(2)
HD : (2) ⇔
x 1 0
x 1 2 x 1 1 x 1 2.3 x 1 9 2 x 1 2 x 1 1
+ ≥



+ + + + + + − + + = + − + +


⇔
x 1
x 1 1 | x 1 3 | 2.| x 1 1|
≥ −



+ + + + − = + −



(*)
Đặt y =
x 1+
(y ≥ 0) ⇒ phương trình(*) đã cho trở thành:
y 1 | y 3| 2 | y 1|+ + − = −
– NWu 0 ≤ y < 1: y + 1 + 3 – y = 2 – 2y ⇔ y = –1 (loại)
– NWu 1 ≤ y ≤ 3: y + 1 + 3 – y = 2y – 2 ⇔ y = 3
– NWu y > 3: y + 1 + y – 3 = 2y – 2 (vô nghiệm)
Với y = 3 ⇔ x + 1 = 9 ⇔ x = 8 (thoả mãn) Vậy: x = 8
Bài 3:Giải phương trình:
2 2 5 2 3 2 5 7 2   − + − + + + − =
HD:ĐK:
5
2
 ≥
PT
2 5 2 2 5 1 2 5 6 2 5 9 14   ⇔ − + − + + − + − + =

2 5 1 2 5 3 14 ⇔ − + + − + =

2 5 5⇔ − =

15⇔ =
(Thoả mãn) Vậy:x = 15
Bài 4:Giải phương trình:
2 1 2 1 2   + − + − − =
HD:ĐK:
1 ≥

Pt
1 2 1 1 1 2 1 1 2   ⇔ − + − + + − − − + =

1 1 1 1 2 ⇔ − + + − − =
NWu
2
>
pt
1 1 1 1 2 ⇔ − + + − − =

2
⇔ =
(Loại)
NWu
2
≤
pt
1 1 1 1 2 ⇔ − + + − − =
0 0
⇔ =
(Luôn đúng với

∀
)
Vậy tập nghiệm của phương trình là:
{ }
|1 2&  ' = ∈ ≤ ≤

6
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An

III-Bài tập áp dụng:
Giải các phương trình sau:
1/
2
2 1 5 + + =
2/
4 4 3 − + =
3/
2
6 9 2 1  − + = −
4/
4 4 5 2  + + = +
5/
2 2
2 1 4 4 4   − + + + + =
6/
2 1 4 4 10   − + − − + =
7/
2 2 2
6 9 2 8 8 2 1     − + + + + = − +
8/
2 2
4 4 6 9 1   − + + − + =

9/
2 1 2 1 2   + − + − − =
10/
3 2 4 4 4 1   − − − + − − =
11/
6 2 2 11 6 2 1   + − + + + − + =

12/
2 2 5 2 3 2 5 7 2   − + − + + + − =
13/
2 2
2 2 1 5 0   + − + + − =
14/
45224252642 =−−−+−++ 
15/
2
4 4 2 10  − + + =
16/
2
2 1 2 8  − + + =
17/
1 1
2
2 4
  + + + + =
18/
05261
4
1
2
=−−++

19/
3
2 1 2 1
2


   
+
+ − + − − =
20/
2
4 4 2  − + = −
21/
( 1) 4 4 1 1 6 1 9 1   − + − − + − − − + =
22/
8 6 1 4 + − − =
PHƯƠNG PHÁP 3: ĐẶT ẨN PHỤ
1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường
 Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt
( )
  =
và chú  điều
kiện của

nWu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biWn

quan trọng
hơn ta có thể giải được phương trình đó theo

thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn ” .
Bài 1. Giải phương trình:
2 2
1 1 2   − − + + − =
HD:Điều kiện:
1
≥

Nhận xét.
2 2
1. 1 1   − − + − =
Đặt
2
1  = − −
thì phương trình có dạng:
1
2 1 

+ = ⇔ =
Thay vào tìm được
1
=
Bài 2. Giải phương trình:
2
2 6 1 4 5  − − = +
HD:Điều kiện:
4
5
 ≥ −
Đặt
4 5( 0)  = + ≥
thì
2
5
4


−

=
. Thay vào ta có phương trình sau:
4 2
2 4 2
10 25 6
2. ( 5) 1 22 8 27 0
16 4
 
    
− +
− − − = ⇔ − − + =
2 2
( 2 7)( 2 11) 0   ⇔ + − − − =
Ta tìm được bốn nghiệm là:
1,2 3,4
1 2 2; 1 2 3 = − ± = ±
Do
0 ≥
nên chỉ nhận các gái trị
1 3
1 2 2, 1 2 3 = − + = +
Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l:
1 2 2 3 vaø  = − = +
()*Ta có thể bình phương hai vW của phương trình với điều kiện
2
2 6 1 0 − − ≥
Ta được:
2 2 2
( 3) ( 1) 0  − − − =
, từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng.


7
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
Đơn giản nhất là ta đặt :
2 3 4 5+ − = +
và đưa về hệ đối xứng (Xem phần đặt ẩn phụ
đưa về hệ)
Bài 3. Giải phương trình sau:
5 1 6 + + − =
HD:Điều kiện:
1 6
≤ ≤
Đặt
1( 0)+  += − ≥
thì phương trình trở thành:
2 4 2
5 5 10 20 0+ + + + ++ + = ⇔ − − + =
( với
5)+ ≤
2 2
( 4)( 5) 0+ + + +⇔ + − − − =
1 21 1 17
,
2 2
(loaïi)+ +
+ − +
⇔ = =
Từ đó ta tìm được các giá trị của
11 17
2


−
=
Bài 4. Giải phương trình sau :
( )
(
)
2
2004 1 1  = + − −
HD: ĐK:
0 1
≤ ≤
Đặt
1+ = −
thì phương trình trở thành:
( )
( )
2
2
2 1 1002 0 1 0+ + + + − + − = ⇔ = ⇔ =
Bài 5. Giải phương trình sau :
2
1
2 3 1   

+ − = +
HD:Điều kiện:
1 0− ≤ <
Chia cả hai vW cho x ta nhận được:
1 1

2 3 
 
+ − = +
Đặt
1
 

= −
, ta giải được.
Bài 6. Giải phương trình :
2 4 23
2 1   + − = +
HD:
0
=
không phải là nghiệm , Chia cả hai vW cho x ta được:
3
1 1
2 
 
 
− + − =
 ÷
 
Đặt t=
3
1


−

, Ta có :
3
2 0 + − = ⇔
1 5
1
2
 
±
= ⇔ =
Bài 7.Giải phương trình:
2 2
3 21 18 2 7 7 2   + + + + + =
HD:Đặt y =
2
7 7 + +
;
0+ ≥
Phương trình có dạng: 3y
2
+ 2y - 5 = 0
5
3
1
+
+
−

=

⇔


=


1+⇔ =
Với y = 1
2
7 7 1 ⇔ + + =

1
6


= −

⇔

= −

Là nghiệm của phương trình đã cho.
Nhận xét : Đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyWt được một lớp bài đơn
giản, đôi khi phương trình đối với

lại quá khó giải
2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :
 Chúng ta đã biWt cách giải phương trình:
2 2
0, ,- -
α β
+ + =

(1) bằng cách
Xét
0-
≠
phương trình trở thành :
2
0
, ,
- -
α β
   
+ + =
 ÷  ÷
   

0- =
thử trực tiWp
Các trường hợp sau cũng đưa về được (1)

( ) ( ) ( ) ( )
. . .  /   .   + =

2 2
, - , -
α β
+ = +

8
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được

phương trình vô tỉ theo dạng này .
a) . Phương trình dạng :
( ) ( ) ( ) ( )
. . . .  /    .   + =
Như vậy phương trình
( ) ( )
0  1 
α
=
có thể giải bằng phương pháp trên nWu:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
.1  .   
0  .  / 
 =


= +


Xuất phát từ đẳng thức :

( )
( )
3 2
1 1 1   + = + − +
( ) ( ) ( )
4 2 4 2 2 2 2
1 2 1 1 1        + + = + + − = + + − +
( ) ( )

4 2 2
1 2 1 2 1    + = − + + +
( ) ( )
4 2 2
4 1 2 2 1 2 2 1    + = − + + +
Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như:
2 4
4 2 2 4 1  − + = +
Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai
2
0 / + − =
giải “ nghiệm đẹp”
Bài 1. Giải phương trình :
( )
2 3
2 2 5 1 + = +
HD: Đặt
2
3
1 ( 0) ; 1 ( )
2
,  , -   -= + ≥ = − + ≥

phương trình trở thành :
( )
2 2
2
2 5
1
2

, -
, - ,-
, -
=


+ = ⇔

=

Tìm được:
5 37
2

±
=
Bài 2. Giải phương trình :
2 4 2
3
3 1 1
3
   − + = − + +
(*)
HD:Dễ thấy:
( ) ( ) ( )
4 2 4 2 2 2 2
1 2 1 1 1        + + = + + − = + + − +
Ta viWt
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2

1 1 3 1 1       
α β
+ + + − + = − + + − +
Đồng nhất vW trái với (*) ta được :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
3 1 6 1 3 1 1       − + + + − + = − + + − +
Đặt :
2 2
3 3
1 ; 1
4 4
,   , -   -
   
= + + ≥ = − + ≥
 ÷  ÷
   
phương trình trở thành :-3u+6v=-
3. ,-
3, -⇒ =
Từ đây ta sẽ tìm được x.
Bài 3: Giải phương trình sau :
2 3
2 5 1 7 1  + − = −
(*)
HD:Đk:
1
≥
Nhận xét : Ta viWt
( )

( )
( )
( )
2 2
1 1 7 1 1     
α β
− + + + = − + +
Đồng nhất vW trái với (*) ta được :
( ) ( ) ( )
( )
2
3 1 2 1 7 1 1     − + + + = − + +
Đặt
2
1 0, 1 0,  -  = − ≥ = + + >
, ta được:
9
3 2 7
1
4
- ,
, - ,-
- ,
=


+ = ⇔

=


Ta được :
4 6 = ±

9
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
Bài 4. Giải phương trình :
( )
3
3 2
3 2 2 6 0   − + + − =
HD:Nhận xét : Đặt
2+ = +
ta biWn pt trên về phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và
y :
3 2 3 3 2 3
3 2 6 0 3 2 0
2
 +
  +   + +
 +
=

− + − = ⇔ − + = ⇔

= −

Pt có nghiệm :
2, 2 2 3 = = −
Bài 5:Giải phương trình:
( )

3 2
10 1 3 2 + = +
HD:ĐK:
1
≥ −
Pt
2 2
10 1. 1 3( 2)   ⇔ + − + = +
Đặt
2
1
( , 0)
1
, 
, -
-  

= +

≥

= − +


Phương trình trở thành:10uv = 3(u
2
+v
2
)
⇔

( ) ( )
3 3 0, - , -− − =
3
3
, -
- ,
=

⇔

=

NWu u = 3v
2 2
1 3 1 9 10 8 0    ⇔ + = − + ⇔ − + =
(vô nghiệm)
NWu v = 3u
2 2
5 33
1 3 1 10 8 0
5 33

    


= −
⇔ − + = + ⇔ − − = ⇔

= +



là nghiệm.
b).Phương trình dạng :
2 2
, - , -
α β
+ = +
Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nWu ta bình
phương hai vW thì đưa về được dạng trên.
Bài 1. Giải phương trình :
2 2 4 2
3 1 1   + − = − +
HD:Ta đặt :
( )
2
2
, 0;
1
, 
, - , -
- 

=

≥ ≥

= −


khi đó phương trình trở thành :

2 2
3, - , -+ = −
hay: 2(u + v) - (u - v)=
( ) ( )
, - , -+ −
Bài 2.Giải phương trình sau :
2 2
2 2 1 3 4 1    + + − = + +
HD:Đk
1
2
 ≥
. Bình phương 2 vW ta có :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
2 2 1 1 2 2 1 2 2 1         + − = + ⇔ + − = + − −
Ta có thể đặt :
2
2
2 1
,  
- 

= +


= −

khi đó ta có hệ :
1 5
2
1 5
2
, -
,- , -
, -

−
=


= − ⇔

+
=


Do
, 0, - ≥
.
( )
2
1 5 1 5
2 2 1
2 2
, -   

+ +
= ⇔ + = −
Bài 3. Giải phương trình :
2 2
5 14 9 20 5 1    − + − − − = +
HD:Đk
5 ≥
. Chuyển vW bình phương ta được:
( )
( )
2 2
2 5 2 5 20 1    − + = − − +
Nhận xét : Không tồn tại số
,
α β
để :
( )
( )
2 2
2 5 2 20 1    
α β
− + = − − + +
vậy ta không
thể đặt :
2
20
1
,  
- 


= − −

= +

.

10
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
Nhưng may mắn ta có :
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
20 1 4 5 1 4 4 5        − − + = + − + = + − −
Ta viWt lại phương trình:
( )
( )
2 2
2 4 5 3 4 5 ( 4 5)( 4)     − − + + = − − +
. ĐWn đây bài toán
được giải quyWt .
3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn
 Từ những phương trình tích
( ) ( )
1 1 1 2 0  + − + − + =
,
( ) ( )
2 3 2 3 2 0   + − + − + =
Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ
khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát .

Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể
hiện qua các ví dụ sau .
Bài 1. Giải phương trình :
(
)
2 2 2
3 2 1 2 2   + − + = + +
HD:Đặt
2
2 = +
;
2 ≥
, ta có :
( )
2
3
2 3 3 0
1

   
 
=

− + − + = ⇔

= −

Bài 2. Giải phương trình :
( )
2 2

1 2 3 1   + − + = +
HD:Đặt :
2
2 3, 2   = − + ≥
Khi đó phương trình trở thnh :
( )
2
1 1  + = +
( )
2
1 1 0  ⇔ + − + =
Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có
∆
chẵn :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
2 3 1 2 1 0 1 2 1 0
1

        
 
=

− + − + + − = ⇔ − + + − = ⇔

= −

Bài 3:Giải phương trình:
( )

2 2
3 1 3 1   + + = + +
HD:Đặt
2
1; 1  = + ≥
Phương trình trở thành:t
2
- (x + 3)t + 3x = 0

⇔
(t - x)(t - 3) = 0

3
 

=

⇔

=

NWu t = x
2
1 ⇔ + =
(Vô l)
NWu t = 3
2
1 3 2 2 ⇔ + = ⇔ = ±
Vậy:
2 2 = ±

4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích
 Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô
tỉ mà khi giải nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa
về hệ
Xuất phát từ đẳng thức
( ) ( ) ( ) ( )
3
3 3 3
3 /   /   / /   + + = + + + + + +
, Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
3
3 3 3
0 /   /   /   / + + = + + ⇔ + + + =
Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ có chứa căn bậc ba .
2 23 3
3
7 1 8 8 1 2    + − − − + − + =
3 3 3 3
3 1 5 2 9 4 3 0   + + − + − − − =
Bài 1. Giải phương trình :
2 . 3 3 . 5 5 . 2      = − − + − − + − −
HD:ĐK:
2
≤

11
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
Đặt
2 ; 0

3 ; 1
5 ; 3
,  ,
-  -
2  2

= − ≥


= − ≥


= − ≥


, ta có :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
2
3 3
5
5
, - , 2
, ,- -2 2,
- ,- -2 2, , - - 2

2 ,- -2 2,
- 2 , 2
 + + =

− = + +


− = + + ⇔ + + =
 
 
− = + +
+ + =
 
, giải hệ ta
được:
30 239
60 120
, = ⇔ =
Bài 2. Giải phương trình sau :
2 2 2 2
2 1 3 2 2 2 3 2      − + − − = + + + − +
HD:Ta đặt :
2
2
2
2
2 1
3 2
2 2 3
2

 
/  
  
3  

= −


= − −


= + +


= − +


, khi đó ta có :
2 2 2 2
2
 /  3

 /  3
+ = +

⇔ = −

− = −

Bài 3. Giải các phương trình sau :

2 2
4 5 1 2 1 9 3    + + − − + = −
HD:Đặt
( )
2
2
4 5 1
; 0
1
  
 /
/  

= + +

≥

= − +


Ta được hệ phương trình:
2 2
4 9 3
2 9 3
 / 
 / 

− = −

− = −


Từ đó ta có: a
2
- 4b
2
= a - 2b
⇔
(a - 2b)(a + 2b - 1) = 0
2
1 2
 /
 /
=

⇔

= −

NWu a = 2b
2 2
1
4 5 1 2 1
3
    ⇔ + + = − + ⇔ =
(thoả mãn)
NWu a = 1 - 2b
2 2
4 5 1 1 2 1   ⇔ + + = − − +
(*)
Ta có : VT(*)

0
≥
(1)
VP(*) =
2
2
1 3
1 2 1 1 2 1 3 0
2 4
  
 
− − + = − − + ≤ − <
 ÷
 
(2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình (*) vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
1
3
 =
Bài tập áp dụng:
Giải các phương trình sau :
( ) ( ) ( )
3
3 2
4
4
4
4
1 1 1 1       + − + − = − + + −

5. Đặt ẩn phụ đưa về hệ:
5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường
 Đặt
( ) ( )
,,  - 
α β
= =
và tìm mối quan hệ giữa
( )

α
và
( )

β
từ đó tìm được hệ theo
u,v
Bài 1. Giải phương trình:
(
)
3 3
3 3
35 35 30   − + − =
HD:Đặt
3
3 3 3
35 35+   += − ⇒ + =
Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau:
3 3
( ) 30

35
+  +
 +
+ =



+ =


, giải hệ này ta tìm
được
( ; ) (2;3) (3;2) + = =
. Tức là nghiệm của phương trình là
{2;3} ∈
Bài 2. Giải phương trình:
4
4
1
2 1
2
 − − + =

12
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
HD:Điều kiện:
0 2 1≤ ≤ −
Đặt
4
4

2 1
0 2 1,0 2 1
 ,
, -
 -

− − =

⇒ ≤ ≤ − ≤ ≤ −

=


Ta đưa về hệ phương trình sau:
4
4
2
2 4
4
4
1
1
2
2
1
2 1
2 1
2
, -
, -

, -
- -

= −


+ =
 
⇔
 
 
 
+ = −
− + = −

 ÷

 

Giải phương trình thứ 2:
2
2 2
4
1
( 1) 0
2
- -
 
+ − + =
 ÷

 
, từ đó tìm ra
-
rồi thay vào tìm nghiệm
của phương trình.
Bài 3. Giải phương trình sau:
5 1 6 + + − =
HD:Điều kiện:
1
≥
Đặt
1, 5 1( 0, 5)  /   /= − = + − ≥ ≥
thì ta đưa về hệ phương trình sau:
2
2
5
( )( 1) 0 1 0 1
5
 /
 /  /  /  /
/ 

+ =

⇒ + − + = ⇒ − + = ⇒ = −

− =


Vậy

11 17
1 1 5 1 1 5
2
    
−
− + = + − ⇔ − = − ⇒ =
Bài 4. Giải phương trình:
6 2 6 2 8
3
5 5
 
 
− +
+ =
− +
HD:Điều kiện:
5 5
− < <
Đặt
( )
5 , 5 0 , 10,  - + , -= − = − < <
.
Khi đó ta được hệ phương trình:
2
2 2
( ) 10 2
10
2 4
4 4 8
( ) 1

2( )
3
3
, - ,-
, -
, -
, -
,-
, -


+ = +
+ =
 
⇔
 
 
+ − =
− − + + =
 ÷
 

 

Bài 5. Giải phương trình:
877629
44
=++− 
HD:ĐK:
77 629− ≤ ≤

Đặt
4
4
629
( ; 0)
77
, 
, -
- 

= −

≥

= +


706,8
44
=+=+⇒ -,-,
Đặt t = uv



=
=
⇔
=+−⇒
113
15

01695128
2



Với t = 15
⇒
x = 4
Với t = 113
⇒
x = 548
Bài 6. Giải phương trình:
3 2 3 2
1 2 3   + − + + + =
(1)
HD:Với điều kiện:
3 2 3 2
1 0 2 0   + − ≥ ⇒ + + >
Đặt
3 2
3 2
1
2
,  
-  

= + −


= + +



Với v > u ≥ 0
Phương trình (1) trở thành u + v = 3

13
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
Ta có hệ phương trình
2 2
3 2
3 2
3 2
3 2
3
3
3 3 1
( )( ) 3 1 2
1 1
2 2
1 1
2 4
, -
- ,
, - , - ,
- , - , - , -
 
 
 
 
+ =



− =


+ =  + = =


⇔ ⇔ ⇔
  
+ − = − = =





+ − =

⇔

+ + =



+ − =
⇔

+ + =

3 2

2
2
2 0
( 1)( 2 2) 0
1 ( 2 2 0 )
 
  
 34   
⇔ + − =
⇔ − + + =
⇔ = + + > ∀
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1}
Bài 7. Giải phương trình:
2
2
3
2
1






−=− 
HD: Điều kiện:
2
1 1
1 0
0 1

0
0





 − ≤ ≤
− ≥

⇔ ⇔ ≤ ≤
 
≥
≥


(*)
Với điều kiện (*),đặt
, =
;
- −=
3
2
, với u ≥ 0,
3
2
≤-

Ta có:






=






−
−=−
2
2
42
3
2
11
-
,
Do dó ta có hệ
( )
( )
4 4
4 2
2
2
2
2 2 2 2 2 2

2
2 2
2 2
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
2 . 1 2 . 2 1
2
2
3
3
16 65
4
2 . . 0
2 . 2 . 1
9 81
9
2
3
8 194
.
18
, -

, -
, -
, -
, -
, -
, - , - , - , - , -
, -
, -
, - , -
, - , -
, -
, -
, -


+ =
+ =
 
⇔
 
 
+ =
− =




+ =
+ =




⇔ ⇔
 
 
 
+ − = + − − =
 





+ =
+ =


 
⇔ ⇔
 
 
 
− − =
− − =
 ÷



 



+ =



−

=


⇔
+ =
2
5
8 194
.
18
, -















+

=




⇒
u và v là nghiệm của phương trình

14
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An






=
+
+−
=
−
+−
)(0
18
1948
3

2
)(0
18
1948
3
2
2
2
/++
++
• (b) vô nghiệm
• (a) có 2 nghiệm
3
3
2
97
1
;
2
3
2
97
1
21
−+
=
−−
= ++
Do đó:







=
=
∨
=
=
12
22
21
11
+-
+,
+-
+,
Vì u ≥ 0 nên ta chọn
3
3
2
97
1
2
−+
== +,
3
3
2

97
1 −+
=⇒ 
2
3
3
2
97
1














−+
=⇒ 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
2
3
2
97

1
9
1








−+=
Bài 8. Giải phương trình:
4564518
44
=−++ 
HD:Với điều kiện












≤≤−⇔

≤
−≥
⇔
≥−
≥+
5
64
5
18
5
64
5
18
0564
0518





(*)
Đặt
44
564,518 -, −=+=
, với u ≥ 0, v ≥ 0
Suy ra



−=

+=
-
,
564
518
4
4
Phương trình đã cho tương đương với hệ:
( )










≥≥
=−+
=+
⇔
≥≥
=+
=+
0,0
82)(2
4
0,0

82
4
2
2
2244

, ,
-,

-,
-,
Đặt A = u + v và P = u.v, ta có:
( )










≥
=∨=
=
⇔
≥
=+−
=

⇒





≥≥
=−−
=
0
293
4
0
08732
4
0,0
8222
4
2
2
2
2
1
11
&
1
1!
&
&1
11&

&
(1) Với S = 4, P = 3
u và v là nghiệm của phương trình:

15
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
2
1
4 3 0
3
+
+ +
+
=

− + = ⇔

=

Do đó ta có:






=
=
∨
=

=
1
3
3
1
-
,
-
,
Suy ra
4 4
4 4
18 5 1 18 5 3
64 5 3 64 5 1
 
 
 
+ = + =
 
∨
 
− = − =
 
 
18 5 1 18 5 81
64 5 81 64 5 1
 
 
+ = + =
 

⇔ ∨
 
− = − =
 
5
63
5
17
=∨−=⇔ 
thoả mãn (*)
(2) Với S = 4, P = 29
⇒
không tồn tại u và v
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là:
1
2
17
5
63
5



= −



=



5.2 Giải phương trình vô tỉ bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II
 Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối
xứng loại II
 Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau :
( )
( )
2
2
1 2 (1)
1 2 (2)
 +
+ 

+ = +


+ = +


việc giải hệ này
thì đơn giản
Bây giờ ta sẽ biWn hệ thành phương trình bằng cách đặt
( )
+  =
sao cho (2) luôn đúng ,
2 1+ = + −
, khi đó ta có phương trình :
( )
2
2

1 ( 2 1) 1 2 2    + = + − + ⇔ + = +
Vậy để giải phương trình :
2
2 2  + = +
ta đặt lại như trên và đưa về hệ
Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 :
( )
( )
2
2
 + /
+  /
α β
α β

+ = +


+ = +


, ta sẽ xây dựng được
phương trình dạng sau : đặt
+  /
α β
+ = +
, khi đó ta có phương trình :
( )
2


  / /
β
α β
α α
+ = + + −
Tương tự cho bậc cao hơn :
( )



  / /
β
α β
α α
+ = + + −
Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khai triển ta phải viWt về dạng :
( )
' '


 !   /
α β γ
+ = + +
đặt

+  /
α β
+ = +
để đưa về hệ , chú  về dấu của
α

???
Việc chọn
;
α β
thông thường chúng ta chỉ cần viWt dưới dạng :
( )
' '


 !   /
α β γ
+ = + +

là chọn được.
Bài 1: Giải phương trình:
2
2 2 2 1  − = −
HD:Điều kiện:
1
2
 ≥
Ta có phương trình được viWt lại là:
2
( 1) 1 2 2 1 − − = −

16
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
Đặt
1 2 1+ − = −
thì ta đưa về hệ sau:

2
2
2 2( 1)
2 2( 1)
  +
+ + 

− = −


− = −


Trừ hai vW của phương trình ta được
( )( ) 0 +  +− + =
Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là:
2 2 = +
Cách 2: Đặt
2 1  − = +
2 2
2 1 2   
⇒ − = + +
Chọn a = -1 ta được:t
2
- 2t = 2x - 2
kWt hợp với đầu bài ta có hệ phương trình:
2
2
2 2 2
2 2 2

  
  

− = −


− = −


Giải hệ này ta sẽ tìm được x.
Bài 2. Giải phương trình:
2
2 6 1 4 5  − − = +
HD:Điều kiện
5
4
 ≥ −
Ta biWn đổi phương trình như sau:
2 2
4 12 2 2 4 5 (2 3) 2 4 5 11    − − = + ⇔ − = + +
Đặt
2 3 4 5+ − = +
ta được hệ phương trình sau:
2
2
(2 3) 4 5
( )( 1) 0
(2 3) 4 5
 +
 +  +

+ 

− = +

⇒ − + − =

− = +


Với
2 3 4 5 2 3 +   = ⇒ − = + ⇒ = +
Với
1 0 1 2 1 4 5 + +   + − = ⇔ = − ⇔ − − = +
(vô nghiệm)
KWt luận: Nghiệm của phương trình là
2 3 = +
Bài 3:Giải phương trình:
2
5 5 − + =
HD:ĐK:
5
≥ −
Pt
2
5 5 ; 5  ⇔ − = + ≥
(*)
Đặt
2 2
5 5 2      + = + ⇔ + = + +
Chọn a = 0 ta được:t

2
- 5 = x và kWt hợp với (*) ta được hệ phương trình:
2
2
5
5
 
 

− =


− =


từ đây ta sẽ tìm được nghiệm.
Bài 4:Giải phương trình: 7x
2
+ 7x =
4 9
( 0)
28


+
>
.
HD:Đặt
4 9
28


 
+
= +

2 2
4 9
2
28

  
+
⇒ = + +
Chọn
1
2
 =
ta được:
2 2
4 9 1 1
7 7
28 4 2

    
+
= + + ⇒ + = +
KWt hợp với đầu bài ta được hệ phương trình:
2
2
1

7 7
2
1
7 7
2
  
  

+ = +




+ = +



Giải hệ phương trình trên ta tìm được nghiệm.
Bài tập áp dụng:
Giải phương trình:
2
2 2 1 4 1  + + = +
PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
I-KIẾN THỨC:
1.Bất đẳng thức Bunhiakôpxki:
Cho hai bộ số : ( a , b), (x , y) thì ta có: (ax + by)
2

2 2 2 2
( )( ) /  +≤ + +


17
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
Dấu ‘‘=’’ xảy ra
 /
 +
⇔ =

2.Bất đẳng thức côsi:
a) Với hai số a, b
≥
0 thì ta có:
2
 /
/
+
≥
Dấu ‘‘=’’ xảy ra
 /
⇔ =

b) Với ba số a, b, c
≥
0 thì ta có:
3
3
 / 
/
+ +
≥

Dấu ‘‘=’’ xảy ra
 /
⇔ =
= c
c) Với bốn số a, b, c, d
≥
0 thì ta có:
4
4
 /  3
/3
+ + +
≥
Dấu ‘‘=’’ xảy ra
 /
⇔ =
= c = d
e) Với n số a
1
, a
2
,…, a
n

≥
0 thì ta có:
1 2
1 2

.




  
  

+ + +
≥
Dấu ‘‘=’’ xảy ra
1 2


  ⇔ = = =
3.GTLN,GTNN của biểu thức:
a/ A = m + f
2
(x)
≥
m
. 
5. 
⇒ ≥
⇒ =
Dấu ''='' xảy ra
⇔
f(x) = 0
b/ A = M - g
2
(x)
≤

M
ax
. 5
5 . 5
⇒ ≤
⇒ =
Dấu ''='' xảy ra
⇔
g(x) = 0
4. Dùng hằng đẳng thức :
Từ những đánh giá bình phương :
2 2
0. + ≥
, ta xây dựng phương trình dạng
2 2
0. + =
Từ phương trình
( ) ( )
2 2
5 1 2 9 5 2 1 0   − − + − − + − =
ta khai triển ra có phương trình :
( )
2
4 12 1 4 5 1 9 5    + + − = − + −
5. Dùng bất đẳng thức
Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức:
(1)
(2)
. 
 

≥


≤


nWu dấu bằng ở (1) và (2) cùng đạt được tại
0

thì
0

là nghiệm của phương trình
. =
Ta có :
1 1 2 + + − ≤
Dấu bằng khi và chỉ khi
0
=
và
1
1 2
1


+ + ≥
+
, dấu bằng
khi và chỉ khi x = 0. Vậy ta có phương trình:
1

1 2008 1 2008 1
1
  

− + + = + +
+
Đôi khi một số phương trình được tạo ra từ  tưởng :
( )
( )
.  
  
 ≥


≤


khi đó :
( )
( )
.  
. 
  
 =

= ⇔

=



 NWu ta đoán trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng có
nhiều bài nghiệm là vô tỉ việc đoán nghiệm không được, ta vẫn dùng bất đẳng thức để
đánh giá được.
II-BÀI TẬP:
Bài 1. Giải phương trình :
2 2
9
1
 

+ = +
+

18
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
HD:Đk:
0
≥
Ta có :
( )
2 2
2
2 2 1
2 2 1 9
1
1 1

  

 

 
   
 
 
+ ≤ + + + = +
 ÷  ÷
 
  +
+ +
 
   
 
Dấu bằng
2 2 1 1
7
1 1

 
⇔ = ⇔ =
+ +
Bài 2. Giải phương trình :
2 4 2 4
13 9 16   − + + =
HD:Đk:
1 1− ≤ ≤
BiWn đổi pt ta có :
(
)
2
2 2 2

13 1 9 1 256  − + + =
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
(
)
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2
13. 13. 1 3. 3. 3 1 13 27 13 13 3 3 40 16 10    − + + ≤ + − + + = −
Áp dụng bất đẳng thức Côsi:
( )
2
2 2
16
10 16 10 64
2
 
 
− ≤ =
 ÷
 
Dấu bằng
2
2
2 2
2
1
51
3
2

10 16 10
5




 


=
+

− =


⇔ ⇔



= −
= −



Bài 3. Giải phương trình:
3` 2
4
3 8 40 8 4 4 0   − − + − + =
HD:Ta chứng minh :
4

8 4 4 13 + ≤ +
và
( ) ( )
2
3 2
3 8 40 0 3 3 13     − − + ≥ ⇔ − + ≥ +
Bài 4: Giải phương trình:
2
7 5 12 38   − + − = − +
HD:Ta có :VT
2
=(
7 5 − + −
)
2
≤
(1 + 1).(7- x + x - 5) = 4
Nên : 0 < VT
≤
2
Mặt khác:VP = x
2
- 12x + 38 =2 + (x - 6)
2

≥
2
Theo giả thiWt dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi:x = 6
Vậy x = 6 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Bài 5: Giải phương trình:

2
3 2 1 2  − + − + + =
HD:ĐK:
[ ]
1;2 (1) ∈
PT
2
3 2 2 1 (2)  ⇔ − + − = − +

Từ (2) ta có:

2 1 0
1 2
1 2
1 (3)




− + ≥
⇔ + ≤
⇔ + ≤
⇔ ≤
Từ (1) và (3) Ta có x = 1 thW vào (2) thoả mãn.Vậy :x = 1
Bài 6:Giải phương trình :
x 4x 1
2
x
4x 1
−

+ =
−
HD: Điều kiện
1
x
4
>
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:
x 4x 1 x 4x 1
2 2
x x
4x 1 4x 1
− −
+ ≥ × =
− −
.

19
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
Theo giả thiWt dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
x 4x 1
x
4x 1
−
=
−

2
2
x 4x 1 0

(x 2) 3
x 2 3
⇔ − + =
⇔ − =
⇔ = ±
Dấu “=” xảy ra ⇔
2
x 4x 1 x 4x 1 0= − ⇔ − + =
⇔
2 2
x 4x 4 3 0 (x 2) 3 x 2 3 x 2 3− + − = ⇔ − = ⇔ − = ± ⇔ = ±
(Thoả mãn)
Vậy :
2 3 = ±
Bài 7:Giải phương trình :
x 1 5x 1 3x 2− − − = −
HD: Cách 1. điều kiện x ≥ 1
Với x ≥ 1 thì: VW trái:
x 1 5x 1− < −
⇒ vW trái luôn âm
VW phải:
3x 2−
≥ 1 ⇒ vW phải luôn dương
Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm
Cách 2. Với x ≥ 1, ta có:

x 1 5x 1 3x 2− = − + −
⇔
x 1 8x 3 2 (5x 1)(3x 2)− = − + − −
⇔

2 7x 2 (5x 1)(3x 2)− = − −
VW trái luôn là một số âm với x ≥ 1, vW phải dương với x ≥ 1 ⇒ phương trình vô nghiệm
Bài 8:Giải phương trình :
2 2 2
3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x+ + + + + = − −
(1)
HD: Ta có (1) ⇔
2 2 2
4 9
3 x 2x 1 5 x 2x 1 (x 2x 1) 5
3 5
   
+ + + + + + + = − + + +
 ÷  ÷
   
⇔
2 2 2
3(x 1) 4 5(x 1) 9 5 (x 1)+ + + + + = − +
Ta có: VW trái ≥
4 9 2 3 5+ = + =
. Dấu “=” xảy ra ⇔ x = –1
VW phải ≤ 5. Dấu “=” xảy ra ⇔ x = –1
Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1
Bài 9:Giải phương trình :
2
x 7
8 2x 2x 1
x 1
+
+ = + −

+
HD: điều kiện x ≥
1
2

Dễ thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình
– NWu
1
x 2
2
≤ <
: VT =
6
1 8 8 3
x 1
+ + < +
+
. Mà: VP >
8 3+
– NWu x > 2: VP = 2x
2
+
2x 1−
> 2.2
2
+
3
=
8 3+
. VT <

8 3+
x 2 x 1 2 1
6 6
1 1 3
x 1 2 1
> ⇒ + > +
+ < + =
+ +
Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 2
Bài 10:Giải phương trình :
6 8
6
3 x 2 x
+ =
− −

20
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
HD: ĐK: x < 2. Bằng cách thử, ta thấy x =
3
2
là nghiệm của phương trình. Ta cần chứng
minh đó là nghiệm duy nhất. Thật vậy:Với x <
3
2
:
6
2
3 x
<

−
và
8
4
2 x
<
−
⇒
6 8
6
3 x 2 x
+ <
− −
.
Tương tự với
3
2
< x < 2:
6 8
6
3 x 2 x
+ >
− −
Bài 11:Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
( )
1 1 1 1 4 4
1.2 2.3 3.4 . 1
4 5

 


− +
+ + + ×××+ =
+
− +
HD:ĐK:
4
≤
(1)
Ta có:
1 1
1 1
1
4 5


− = −
+
− +

4 4 ⇔ − = −
(*)
Ta có: VP(*) =
4 0 4 
− ≥ ⇒ ≥
(2)
Từ (1) và (2) ta có:x = 4 là nghiệm duy nhất.
III-BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Giải các phương trình sau :
1 2 1 2

1 2 1 2
1 2 1 2
 
 
 
− +
− + + = +
+ −
2
2
1 1
2 2 4 
 
 
− + − = − +
 ÷
 
4 4 4
2 8 4 4 4 4  + = + + −
4 33
16 5 6 4  + = +
3` 2
4
3 8 40 8 4 4 0   − − + − + =
3 3 4 2
8 64 8 28   + + − = − +
4 4 4
1 1 2 8   + − + − − = +
2
3 5 8 18   − + − = − +

Bài 2: Giải các phương trình sau :
1/
2
x - 2 + 6 - x = x - 8x + 24

2/
2
4 6 10 27   − + − = − +
3/
2
6 2 6 13   − + + = − +
4/
1 4 3 − + + =
5/
2
2 3 5 2 3 12 14   − + − = − +
6/
2
2 10 12 40   − + − = − +
PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc.
Ta có 3 hướng áp dụng sau đây:
Hướng 1: Thực hiện theo các bước:
67: Chuyển phương trình về dạng:
( )  )=
67: Xét hàm số
( )+  =
678: Nhận xét:
• Với
0 0

( ) ( )      )= ⇔ = =
do đó
0

là nghiệm
• Với
0 0
( ) ( )      )> ⇔ > =
do đó phương trình vô nghiệm
• Với
0 0
( ) ( )      )< ⇔ < =
do đó phương trình vô nghiệm
• Vậy
0

là nghiệm duy nhất của phương trình
Hướng 2: Thực hiện theo các bước
67: Chuyển phương trình về dạng:
( ) ( )   =
67: Dùng lập luận khẳng định rằng
( ) 
và g(x) có những tính chất trái ngược nhau và
xác định
0

sao cho
0 0
( ) ( )   =


21
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
678: Vậy
0

là nghiệm duy nhất của phương trình.
Hướng 3: Thực hiện theo các bước:
67: Chuyển phương trình về dạng
( ) ( ) ,  -=
67: Xét hàm số
( )+  =
, dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu
678: Khi đó
( ) ( ) ,  - , -= ⇔ =
Ví dụ: Giải phương trình :
( )
(
)
(
)
2 2
2 1 2 4 4 4 3 2 9 3 0    + + + + + + + =
HD:pt
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
2 1 2 2 1 3 3 2 3 3 2 1 3       ⇔ + + + + = − + − + ⇔ + = −

Xét hàm số
( )
(
)
2
2 3   = + +
, là hàm đồng biWn trên R, ta có
1
5
 = −
Ví Dụ 2: Giải phương trình:
3 3 3
6 2 3 0  + + + + + =
HD: nhận thấy x = -2 là một nghiệm của phương trình
Đặt
( )
3 3 3
6 2 3    = + + + + +
Với
( ) ( )
1 2 1 2
     < ⇒ <
vậy hàm số f(x) đồng biWn trên R.
Vậy x = -2 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài tập áp dụng:
Giải phương trình:
a)
2
4 1 4 1 1 − + − =
c)

2
1 3  − = + −
e)
1 2 3 − + + =
b)
3
1 4 5  − = − − +
d)
2 3
1 2 2   = − + −
f)
2
2 1 3 4  − + + = −
PHƯƠNG PHÁP 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC
Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm
0

như vậy phương trình luôn đưa
về được dạng tích
( )
( )
0
0  . − =
ta có thể giải phương trình
( )
0.  =
hoặc chứng minh
( )
0.  =
vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía

( )
0.  =
vô nghiệm
Bài 1:Giải phương trình:
( ) ( )
2
2 1 2    + + − =
(1)
HD: C1: ĐK
2; 1 ≤ − ≥
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2
1 2
1 2
3
2 2
1 2
   

   


   
− − −
⇔ =
− − +

−
⇔ =
− − +
NWu x
≥
1 ta có
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3
1 2
3
2
2 1 2 3
2
1 2 2
   
  
    
−

− − + =
−

⇒ − = +


− + + =

Giải (3) ta tìm được x

NWu x
≤
-2 ta có
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3
1 2
3
2
2 1 2 4
2
1 2 2
   
  
    

− − + =

⇒ − = − +


− + + = −

Giải (4) ta tìm được x
C2: ĐK:
2; 1 ≤ − ≥
NWu x
≥
1 ta chia cả hai vW cho


ta được:
( ) ( )
2 1 2  + + − =

22
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
Bình phương hai vW sau đó giải phương trình ta tìm được x
NWu x
≤
-2 Đặt t = -x
2
⇒ ≥
Thay vào phương trình ta được
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 1 2
2 1 2
    
    
− − + + − − − = −
⇔ − + + =
Chia cả hai vW cho

ta được
( ) ( )
2 1 2  − + + =
Bình phương hai vW tìm được t

Sau đó tìm ra x.
Trong C1 ta đã sử dụng kiWn thức liên hợp. Còn trong C2 ta vận dụng kiWn thức miền xác
định về ẩn của phương trình.nhìn chung thì việc vận dụng theo C2 đơn giản hơn.
Bài 2 . Giải phương trình sau :
( )
2 2 2 2
3 5 1 2 3 1 3 4      − + − − = − − − − +
HD:
Ta nhận thấy :
( ) ( )
( )
2 2
3 5 1 3 3 3 2 2    − + − − − = − −
v
( ) ( )
( )
2 2
2 3 4 3 2   − − − + = −
Ta có thể trục căn thức 2 vW :
( )
2 2
2 2
2 4 3 6
2 3 4
3 5 1 3 1
 
  
   
− + −
=

− + − +
− + + − +
Dể dàng nhận thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình .
Bài 3. Giải phương trình sau:
2 2
12 5 3 5  + + = + +
HD: Để phương trình có nghiệm thì :
2 2
5
12 5 3 5 0
3
   + − + = − ≥ ⇔ ≥
Ta nhận thấy : x = 2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng
( ) ( )
2 0 . − =
, để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau :
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
4 4
12 4 3 6 5 3 3 2
12 4 5 3
2 1
2 3 0 2
12 4 5 3
 
   

 
 
 
 
− −
+ − = − + + − ⇔ = − +
+ + + +
 
+ +
⇔ − − − = ⇔ =
 ÷
+ + + +
 
Dễ dàng chứng minh được :
2 2
2 2 5
3 0,
3
12 4 5 3
 

 
+ +
− − < ∀ >
+ + + +
Bài 4. Giải phương trình :
2 33
1 1  − + = −
HD :Đk
1 ≥

Nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình , nên ta biWn đổi phương trình
( )
( )
( )
( )
2
2 33
2 3
2 23
3
3 3 9
3
1 2 3 2 5 3 1
2 5
1 2 1 4
  

   

 
 
− + +
+
 
− − + − = − − ⇔ − + =
 
− +
− + − +
 
 

Ta chứng minh :
( )
(
)
2
2
2 2 23 3
3
3 3
1 1 2
1 2 1 4 1 1 3
 
  
+ +
+ = + <
− + − + − + +
2
3
3 9
2 5
 

+ +
<
− +
Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 3
Bài 5:Giải phương trình sau:
2 2
2 2
3 3

3 3
 

   
+ −
+ =
+ + − −
HD:ĐK:
2
3 ≥
Nhân với lượng liên hợp của từng mẫu số của phương trình đã cho ta được:
( )
(
)
( )
(
)
2 2 2 2
3 3 3 3 3.      − + − − + − − =

23
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
( ) ( )
3 3
2 2
3 3 3 3.  ⇒ − + + =

( ) ( )
( )
3 3

3
2 2 4 2
0
3 3 2 3 27

   
>


⇒

− + + + − =


( )
( )
( )
2 4
2
4 3 2 4
4 3 4 4
0 ; 9 2 0
0
2 ( 3) 9 2
4( 3) 9 2
  

  
  


> − ≥
>

 
⇒ ⇒
 
− = −
− = −
 


Giải hệ trên ta tìm được
2 =
Bài 6:Giải phương trình:
( )
2
2
2
9
3 9 2



= +
− +
HD:ĐK:
9
2
0




≥ −



≠

Pt
( )
( ) ( )
2
2
2 2
2 3 9 2
9
3 9 2 3 9 2
 

 
+ +
⇔ = +
− + + +

( )
2
2
2 18 2 6 9 2
9
4

  


+ + +
⇔ = +

6 9 2 0⇔ + =

9
2
⇔ = −
là nghiệm
Bài tập vận dụng:
1)
( ) ( )
2
3 4 2    − + − =
2)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
3 2 3 1 2 3    + + + + − = +
Tổng quát:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
. .         
α β λ
+ =
3)
3
3 1 1

3 10



= + −
+
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: Tìm tất cả các số thực x
1
; x
2
; …; x
2005
thoả mãn:
( )
2 2 2
1 2 2005 1 2 2005
1
1 2 2 2005 2005
2
     
− + − + + − = + + +
Bài 2: Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện:
( )
1
1 2
2
 + 9  + 9+ − + − = + +
Bài 3: Giải các phương trình sau:
1 2 3 2 − + − =

2 2
3( 1) ( 1)   − + = + −
1222
33
−=−−− 
312
3
=++− 

2
5 5 − + =
6
2
4
).2(5)4)(2( =
+
+
++++



2 2
48 4 3 35  + = − + +
( ) ( )
3 4 9  − − = −
1235
3
46
=−−− 
2 3

2( 2) 5 1 + = +
2 2
17 . 17 9   + − + − =
2 2
1
1 1
2
   + + − − + =

24
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
4 3 10 3 2 − − = −
 +=− 3.3
2 2 2
1 1 2     + − + − + = − +
08645.27
5
610
5
=+− 
2 2
3 2 2 1    + = + + −
83124
22
++=++ 
Bài 4: Giải các phương trình sau:
3x10x25
22
=−−−
2 2 2

4 5 4 8 4 9 3 5     − + + − + + − + = +
( ) ( )
7 . 7 5 . 5
2
7 5
   
 
− − + − −
=
− + −
( ) ( ) ( )
1
3 1 4 3 3 0
3

  

+
− + − − + =
−
( )
2 2
3 10 12   + − = − −
2
9 20 2 3 10  + + = +
2 3 + =
2
4 5 2 2 3  + + = +
1xx2x3x3
22

=+−+
5 1 4 20 1 − + = − −
3
7 1 2 + + − =
2 2
3 5 3 5 12 48 5   + − − = +
1 1
4 6 0 


 
 
+ − + + =
 ÷
 ÷
 
 
2 2
5 1
5 3 3 1
 
− = +
− +
5 1
4 20 3 9 45 4
9 3

 
−
− + − − =

2 2
5 5
4
5 5   
− =
− − + −
2 2
2
2 2 2 2
 
 
+ −
+ =
+ + − −
( ) ( )
7 . 7 5 . 5
2
7 5
   
 
− − + − −
=
− + −
1
4 4 2 9 9 4
2
 + + = + +
x =



+
−
3
3
.
x
4
+
2
2005 2005 + =
.
1 1 1 /   / + − = + − −
(a , b > 0)
2 2
5 4 5 5 28 0   + + − + + =
64x
6
- 112x
4
+ 56x
2
- 7 = 2
2
1 −
.
Bài 5: K hiệu [x] là phần nguyên của x
Giải phương trình sau:
3 3
3 3
1 2 1 855

 
   
+ + + − =
   
 
Bài 6:Cho phương trình:
2 2 2 2
.6 6 .6 6
   
 
− + −
+ = +
Gọi tổng các nghiệm của phương trình là S,tính S
15
.
Bài 7:Giải phương trình nghiệm nguyên sau:
a/
1960 ++ =
. b/
1980 ++ =
. c/
2 3 48 +− =
d/
2000 ++ =
Bài 8:Giải phương trình nghiệm nguyên sau:
1 1 1225
74 2 1 771.
2 1 771
 + 9
 + 9

+ + = − − − − − −
− − −

Bài 9:Giải các phương trình sau :
2 2
5 14 9 20 5 1    − + − − − = +
3
3
6 1 8 4 1  + = − −
1 1 1
2 1 3

 
  
−
+ = − + −
( )
( )
2
15
30 4 2004 30060 1 1
2
  − = + +
( )
3 3
4 1 1 2 2 1   − + = + +
2 2
4 4 10 8 6 10   − − = − −
(
)

(
)
2 2
3 2 1 1 1 3 8 2 1   + − = + + +
2
12 1 36  + + + =
( ) ( )
2 2
23
3 3
2 1 3 1 1 0  + + − + − =
2
2008 4 3 2007 4 3  − + = −
2
(2004 )(1 1 )  = + − −
( 3 2)( 9 18) 168    + + + + =
3 2 4
1 1 1 1    − + + + + = + −
( )
( )
( )
2 2
4 2 4 16 2 4 16 2 9 16   + + − + − = +

25