đề cương ôn tập hk1 toán 9

go'c
c. h`
hc1 hc2
cgv1 cao cgv2
B H C
A
ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP TỐN 9 KH I
A. LÝ THUYẾT
1. HTL TRONG TAM GIÁC VNG:
1 . cgv
1
2
= ch` . hc
1
; cgv
2
2
= ch` .
hc
2
2. cao
2
= hc
1
. hc
2

3. cao . ch` = cgv
1
. cgv
2

4.
2 2 2
1 2
1 1 1
cao cgv cgv
= +
5. ch`
2
= cgv
1
2
+ cgv
2
2
( Định lý
pitago)
6. ch` = hc
1
+ hc
2
2. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC:
Đối kề
Huyền
sin
α
= đối : huyền
cos
α
= kề :
huyền

tan
α
= đối : kề
cot
α
= kề :
đối
Cgv= ch`.sin đối = ch` .cos kề
Cgv
1
= cgv
2
.tan đối = cgv
2
. cot kề
2 2
sin cos 1
sin cos
tan ;cot ;tan .cot 1
cos sin
α α
α α
α α α α
α α
+ =
= = =
* Tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt:
Góc
0 (rad)
6

π
4
π
3
π
2
π
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
sin
0 1/2
2
2
3
2
1
cos
1
3
2
2
2

1/2 0
tan
0
3
3
1
3
P
cot
P
3
1
3
3
0
3. M Ộ T S Ố ĐỊ NH LÍ C Ầ N NH Ớ:
1. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm các đường trung trực của tam
giác
2. Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm các đường phân giác trong của
tam giác
3. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền
4. Nếu tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó
là tam giác vuông
GV: TRẦN VĂN HỒNG
1
ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP TỐN 9 KH I
5. Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại 1 điểm thì:
- điểm đó cách đều 2 tiếp điểm
- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là phân giác góc tạo bởi 2 tiếp tuyến
- Tia kẻ từ tâm qua điểm đó là phân giác góc tạo bởi hai bán kính.

6.Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là trung trực của dây chung
7.Trong một đường tròn:
- Đường kính đi qua trung điểm dây (không đi qua tâm) thì vuông góc với dây
- Đường kính vuông góc dây thì đi qua trung điểm của dây
4. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG
NHỚ:

( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2
2
2 2
2 2
3
3 2 2 3
3
3 2 2 3
3 3 2 2
3 3 2 2
1. 2
2. 2
3.

4. 3 3
5. 3 3
6.
7.
A B A AB B
A B A AB B
A B A B A B
A B A A B AB B
A B A A B AB B
A B A B A AB B
A B A B A AB B
+ = + +
− = − +
− = − +
+ = + + +
− = − + −
+ = + − +
− = − + +
5. CĂN THỨC:

( )
( ) ( )
2
2 2
1.
.
2.
1
3.
.

4.
A A
A A B
B B
A
A
A
C A B
C
A B
A B
=
=
=
=
±
−
m
6. ĐIỀU KIỆN CĨ NGHĨA (TẬP XÁC ĐỊNH)
0A khiA ≥

1
0khi A
A
≠

1
0khiA
A
>

7. HÀM SỐ Y = AX + B ( A # 0):
(D): y = a.x +
b
a: hệ số góc
(D)//(D’)
(D)trùng (D’)
(D)cắt (D’)
(D)//(D’)
(D’): y = a’.x + b’
b: tung độ gốc
' ` 'a a va b b⇔ = ≠
' ` 'a a va b b⇔ = =
'a a⇔ ≠
'a a⇔ =
- Đường thẳng cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng n  b = n
- Đường thẳng đi qua điểm A (m, n)  thế x =m và y= n vào y = a.x + b.
BÀI TẬP ĐẠI SỐ:
Bài 1: 1) Trục căn thức ở mẫu:
532
26
+
2) Rút gọn biểu thứ: A =
32)62( −+
Bài 2: Giải phương trình:
1)
6459
3
4
53204 =+++−+ xxx
GV: TRẦN VĂN HỒNG

2
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 KH I
2)
3144
2
=+− xx
Bài 3: Tìm x thỏa điều kiện sau
a)
x+3
= 3
b)
x25
–
x16
= 9
Bài 4:
1/Giải phương trình:
699441 =−+−+− xxx
2/Tính:
324 −
3/Rút gọn biểu thức: A=
3
132324 ++−
Bài 5:
Cho biểu thức Q =









+
+
− x
x
x
x
11
+
1
3
−
−
x
x
với x ≥0 và x ≠ 1
1) Rút gọn Q.
2) Tìm x để Q = – 1
Bài 6: Cho biểu thức P =








+

+
− 22 x
x
x
x
.
x
x
4
4−
với x > 0 ; x ≠ 4
a/ Rút gọn biểu thức P.
b/ Tìm x để cho biểu thức P = 6
c/ Tìm x để P > 3
Bài 7: a / Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng mặt phẳng toạ độ:
(d) : y = 3x – 3 (d
’
) : y = -2x +4
b/ Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (d
’
)
Bài 8: a / Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng mặt phẳng toạ độ:
(d) : y =
2
1
x -2 (d
’
) : y = -2x +3
b/ Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (d
’

).
Bài 9: Cho biểu thức A =
xx
xx
12241224
12241224
−−+
−++
1) Tính giá trị của biểu thức khi x = 1. Sau đó rút gọn biểu thức.
2 Làm mất căn ở mẫu của biểu thức A. Sau đó rút gọn biểu thức.
3) Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định.
Bài 10 : 1) Rút gọn các biểu thúc sau: M=
xx 21−+
và N =
xx 21++
2 ) Giải phương trình M+N = 4
Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho đường thẳng (d
m
) có phương trình
y = (2m+4)x– 3
1)Với giá trị nào của m thì hàm số y = (2m+4)x– 3 là hàm đồng biến.
2) Khi m = 1 ta có đường thẳng (d), Viết phương trình đường thẳng (∆)qua điểm
M(1;2) và song song với đường thẳng (d)
3) Vẽ (d) và biểu diễn M lên mặt phẳng tọa độ Oxy.
Bài 12: a/ Tìm giá trị của x để biều thức
1
1
−x
có nghĩa.
b/ Trục căn thức ở mẫu:

57
4
+

c/ Tính giá trị của biểu thức:
32
1
+
+
32
1
−

GV: TRẦN VĂN HOÀNG
3
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 KH I
Bài 13: Viết phương trình của đường thẳng có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm
A(-2; 1).
BÀI TẬP HÌNH HỌC:
Bài 1: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi Ax và By là các tia vuông góc
với AB
( Ax, By và nửa đường tròn cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất kỳ
thuộc Ax. Qua M Kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By tại N.
a/ Tính số đo góc MON.
b/ Chứng minh rằng: MN = AM + BN
c/ Chứng minh rằng: AM . BN =R
2
Bài 2: Cho
∆
ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Kẻ đường cao AH.

a)Tính BC, AH, HB, HC.
b)Tính giá trị của biểu thức Q = sinB + cosB.
Bài 3
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ BC vẽ tia
Bx vuông góc với BC. Gọi M là trung điểm của đoạn BC. Qua M kẻ đường thẳng vuông
góc với AB, cắt Bx tại O.
1)Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn (O;OA).
2) Chứng minh rằng bốn điểm O, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn
Bài 4:
Một cái thang dài 4 m, đặt dựa vào tường, góc giữa thang và mặt đất là 60
0
.
Hãy vẽ hình minh họa và tính khoảng cách từ chân thang đến tường.
Bài 5:
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB =2R. Kẻ các tiếp tuyến Ax; By cùng phía với
nửa đường tròn đối với AB. Vẽ bán kính OE bất kỳ. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại E
cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D.
Chứng minh rằng:
a/CD=AC+BD
B/
^
COD
=90
0
C/ Tích AC.BD = R
2
Bài 6:
Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC= 5 Cm, AB =2AC
a/Tính AB
b/Kẻ đường cao AH. Tính HB, AH

c/Tính tan
^
BAH
, Suy ra giá trị gần đúng của số đo
^
BAH
d/Vẽ hai đường tròn (B;BA) và (C;CA). Gọi E là giao điểm thứ hai của hai đường tròn.
Chứng minh CE là tiếp tuyến của đường tròn (B).
Chú ý: Học sinh xem lại các bài tập cùng dạng trong SGK
Chúc các em học tốt
GV: TRẦN VĂN HOÀNG
4
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 KH I
BÀI TẬP ĐẠI SỐ 9
Bài 1: 1) Trục căn thức ở mẫu:
532
26
+
2) Rút gọn biểu thứ: A =
32)62( −+
Giải
1) Trục căn thức ở mẫu:
532
26
+
532
26
+
=
)532)(532(

)532(26
−+
−
=
22
5)32(
)532(26
−
−
=
2512
)532(26
−
−
=
13
)532(26
−
−
= –2(2
3
– 5)
=–4
3
+10 = 10– 4
3

2)Rút gọn biểu thức: A =
32)62( −+
A=

2
.
32 −
+
6
.
32 −

=
)32(2 −
+
)32(6 −
=
324 −
+
3612 −
=
3321 +−
+
333.29 +−
=
22
)3(321 +−
+
22
)3(33.23 +−
=
2
)31( −
+

2
)33( −
=
31−
+
33 −
=
3
–1+ 3 –
3
= 2
Bài 2: Giải phương trình:
1)
6459
3
4
53204 =+++−+ xxx
2)
3144
2
=+− xx
Giải
1)
6459
3
4
53204 =+++−+ xxx
⇔
6545352 =+++−+ xxx
⇔

6)432(5 =+−+x
⇔
653 =+x
⇔
25 =+x
⇔
5+x
= 3
* x + 5 = 2 ( với x ≥ – 5 )
x = – 3 Nhận
* – x – 5 = 2 (Với x < – 5 )
x = – 7 Nhận
Vậy S =
{ }
7;2 −
2)
3144
2
=+− xx
⇔
3)12(
2
=+x
⇔
12 +x
= 3

⇔
* 2x + 1 = 3 ( x ≥
2

1−
)
x = 1 Nhận
* – 2x – 1 = 3 ( x <
2
1−
)
X= – 2 Nhận
Vậy S =
{ }
2;1 −
Bài 3: Tìm x thỏa điều kiện sau
a)
x+3
= 3
b)
x25
–
x16
= 9
Giải
Tìm x thỏa điều kiện sau
a)
x+3
= 3
Suy ra: 3+
x
=9 hay
x
= 6 =

36

Vậy x = 36
b)
x25
–
x16
= 9
Suy ra
x5
–
x4
= 9 Hay
x
= 9 =
81

Vậy x = 81
Bài 4:
1/Giải phương trình:
699441 =−+−+− xxx
2/Tính:
324 −
GV: TRẦN VĂN HOÀNG
5
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 KH I
3/Rút gọn biểu thức: A=
3
132324 ++−
Giải

1/ Giải phương trình:
699441 =−+−+− xxx
⇔
613121 =−+−+− xxx
⇔
)321(1 ++− x
=6 ⇔ 6
x−1
=6 ⇔
x−1
=1 ⇔
x−1
=1
* 1– x = 1 (với x ≤ 1)
⇔ x= –2 Nhận
* –(1 – x) = 1 (với x > 1)
⇔ – 1+ x = 1 ⇔ x= 2 Nhận
Vậy S =
{ }
2;2−
2/Tính:
324 −
324 −
=
3321 +−
=
22
)3(321 +−
=
2

)31( −
=
31−
=
3
–1
Vậy
324 −
=
3
–1
3/Rút gọn biểu thức: A=
3
132324 ++−
=
3
13213 ++−
=
3
33
= 3
Bài 5:
Cho biểu thức Q =









+
+
− x
x
x
x
11
+
1
3
−
−
x
x
với x ≥0 và x ≠ 1
3) Rút gọn Q.
4) Tìm x để Q = – 1
Giải
a) Q =








+
+

− x
x
x
x
11
+
1
3
−
−
x
x

=








−+
−
+
+−
+
)1)(1(
)1(
)1)(1(

)1(
xx
xx
xx
xx
+
1
3
−
−
x
x
=








+−
−++
)1)(1(
)1()1(
xx
xxxx
+
1
3

−
−
x
x
=
+








−
−++
x
xxxx
1
1
3
−
−
x
x
=
x
x
−1
2

+
x
x
−
−
1
3
=
x
x
−
−
1
33

b)Với Q = – 1 Ta có
x
x
−
−
1
33
= – 1
⇔
)1)(1(
)1(3
xx
x
+−
−

= – 1
⇔
)1)(1(
)1(3
xx
x
+−
−−
= – 1 ⇔
x+
−
1
3
= – 1
⇔ 1+
x
= 3
⇔
x
= 2
⇔ x = 4
Bài 6: Cho biểu thức P =









+
+
− 22 x
x
x
x
.
x
x
4
4−
với x > 0 ; x ≠ 4
a/ Rút gọn biểu thức P.
b/ Tìm x để cho biểu thức P = 6
c/ Tìm x để P > 3
a/ P =








+
+
− 22 x
x
x
x

.
x
x
4
4−
=








−+
−
+
+−
+
)2)(2(
)2(
)2)(2(
)2(
xx
xx
xx
xx
.
x
x

4
4−

=








−
−++
2
2
)2()2(
x
xxxx
.
x
x
4
4−
=









−
−++
4
22
x
xxxx
.
x
x
4
4−

=
4
2
−x
x
.
x
x
4
4−

=
x
x
2

2
=
x
x
=
xx
xx
=
x

GV: TRẦN VĂN HOÀNG
6
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 KH I
b) P = 6 ⇔
x
= 6 ⇔
x
=
36
⇔ x = 36
c) P > 3 ⇔
x
> 3 ⇔
x
>
9
⇔ x > 9
Bài 7: a / Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng mặt phẳng toạ độ:
(d) : y = 3x – 3 (d
’

) : y = -2x +4
b/ Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (d
’
)
Giải
1) Tìm 2 giao điểm của (d) với 2 trục là A(0; -3), B(1; 0)
Tìm 2 giao điểm của (d’) với 2 trục là A’(0:3), B’(2;0)
Vẽ đúng 2 đồ thị Đường thẳng (d) đi qua A và B
Đường thẳng (d’) đi qua A’ và B’
2) 3x-3 = - 2x +4 ⇔ 3x+2x = 4+3 ⇔ 5x=7
⇔
x =
5
7
Thay vào tìm được y =
5
6

Vậy Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (d
’
) là điểm M (
5
7
;
5
6
).
Bài 8: a / Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng mặt phẳng toạ độ:
(d) : y =
2

1
x -2 (d
’
) : y = -2x +3
b/ Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (d
’
).
Giải
a/ (d):y =
2
1
x -2Có giao điểm với trục
hoành
x= 0 ⇔ y=-2 A(0;-2)
Giao điểm trục tung y=0 ⇔ 0 =
2
1
x -2⇔
x=4 B(4;0)
(d
’
) : y = -2x +3
Có giao điểm với trục hoành
x= 0 ⇔ y=3 A’(0;3)
Giao điểm trục tung
Y=0 ⇔ 0 = -2x +3 ⇔ x=
2
3
=1,5
B’(1,5;0)

Vẽ đồ thị hai hàm số
-Xác định cá điểm A(0;-2) ,B(4;0),
A’(0;3) , B’(1,5;0)
Đường thẳng (d) đi qua A và B
Đường thẳng (d’) đi qua A’ và B’
b/ Tìm hoành độ của giao điểm là
2
1
x -2 = -2x +3 ⇔
2
1
x +2x=3+2
⇔
2
5
x =5
⇔ x = 2
Thay x=2 vào một trong hai phương trình
ta tìm được tung độ của giao điểm là
y = -2.2 +3 = -1
Vậy toa độ của giao điểm là I(2;-1)

Bài 9: Cho biểu thức A =
xx
xx
12241224
12241224
−−+
−++
1) Tính giá trị của biểu thức khi x = 1. Sau đó rút gọn biểu thức.

2 Làm mất căn ở mẫu của biểu thức A. Sau đó rút gọn biểu thức.
3) Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định.
Giải
1)Khi x=1 ta có
GV: TRẦN VĂN HOÀNG
7
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 KH I
A =
1.12241.1224
1.12241.1224
−−+
−++
=
1236
1236
−
+
= A =
1236
)1236(
2
−
+
=
24
121236236
++
=
24
3.26248

22
+
=
24
3.2.6.248
+
=
24
3.2448 +
=
24
)3.2(24
+
= 2 +
3
2) Làm mất căn thức
A =
xx
xx
12241224
12241224
−−+
−++
=
xx
xx
24121224
)12241224(
2
−+

−++
=
x
xxxx
24
12241224.122421224
−+−+++
=
x
xx
24
36.362.2.248
−++
=
x
xx
24
)2(3.)2(32.2.248
−++
=
x
xx
24
)2)(2(3.2.2.248
−++
=
x
x
24
22448

22
−+
=
x
x
24
)22(24
22
−+
=
x
x
22
22
−+
3) Tìm điều kiện của x để biểu thức A xác định.
Biểu thức xác định khi mẫu khác 0 và căn thúc có nghĩa
Nên
x1224 +
≠
x1224 −
Suy ra x ≠0
Và 24+12x ≥ 0 và 24 -12x ≥ 0 Suy ra x ≥ -2 và x ≤ 2 Hay -2 ≤x ≤ 2
Vậy điều kiện của x để biểu thức xác dịnh là -2 ≤x ≤ 2 và x ≠0
Bài 10 : 1) Rút gọn các biểu thúc sau: M=
xx 21−+
và N =
xx 21++
2 ) Giải phương trình M + N = 4
Giải

1) rút gọn
M=
xx 21−+
=
1.21)(
22
xx −+

=
2
)1)( −x
=
x
-1
N =
xx 21++
=
1.21)(
22
xx ++

=
2
)1)( +x
=
x
+1
2)Giải phương trình M+N = 4
M+N = 4
⇔

x
-1 +
x
+1 =4
⇔ 2
x
= 4 ⇔
x
= 2 ⇔
x
=
4
⇔ x = 4
Vậy: Tập nghiệm của phương trình là
S =
{ }
4
Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho đường thẳng (d
m
) có phương trình
y = (2m+4)x– 3
1)Với giá trị nào của m thì hàm số y = (2m+4)x– 3 là hàm đồng biến.
2) Khi m = 1 ta có đường thẳng (d), Viết phương trình đường thẳng (∆)qua điểm
M(1;2) và song song với đường thẳng (d)
3) Vẽ (d) và biểu diễn M lên mặt phẳng tõa độ Oxy.
1) Hàm số đồng biến khi: 2m +4> 0 ⇔ 2m > -4 ⇔ m > -2
Vậy với m > -2 thì hàm số y = (2m+4)x– 3 là hàm đồng biến .
2)Khi m = 1 ta có đường thẳng (d) : y=(2.1+4)x -3 ⇔ y=6x-3
Phương trình đường thẳng (∆)có dạng y =ax+b vì song song với đường thẳng (d)
Nên a= 6 Phương trình đường thẳng (∆)có dạng y = 6x +b

Phương trình đường thẳng (∆)qua điểm M(1;2) nên ta có 2 = 6.1 +b ⇔ b= -4
Vậy phương trình đường thẳng (∆)là y= 6x – 4
3)Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) với hai trục tọa độ:
(d) : y=6x-3
Với x=0 ⇒ y= -3 nên giao điểm với trục tung tại điểm A(0;-3)
GV: TRẦN VĂN HOÀNG
8
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 KH I
Với y=0 ⇒ 0= 6x -3 ⇒ 6x=3 ⇒ x =
2
1
nên giao điểm với trục hoành tại điểm B(
2
1
;0)
Vẽ đường thẳng đi qua A và B ta được phương trình đường thẳng (d)
Bài 12: a/ Tìm giá trị của x để biều thức
1
1
−x
có nghĩa.
b/ Trục căn thức ở mẫu:
57
4
+

c/ Tính giá trị của biểu thức:
32
1
+

+
32
1
−

Giải
a/ Tìm giá trị của x để biều thức
1
1
−x
có
nghĩa .

1
1
−x
có nghĩa nếu
1
1
−x
≥0
⇔
x – 1 > 0

⇔
x > 1
Vậy: Để biều thức
1
1
−x

có nghĩa thì x > 1
b/ Trục căn thức ở mẫu:
57
4
+


57
4
+
=
)57)(57(
)57(4
−+
−

=
57
)57(4
−
−
=
2
)57(4 −
=
)57(2 −

c/ Tính giá trị của biểu thức:
32
1

+
+
32
1
−

32
1
+
+
32
1
−
=
)32)(32(
32
−+
−
+
)32)(32(
32
+−
+
=
32
3232
2
−
++−
= 4

Bài 13: Viết phương trình của đường thẳng có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm
A(-2; 1).
Giải
Phương trình đường thẳng có dạng y= ax + b.
Vì hệ số góc bằng 3 nên a = 3 , ta có phương trình y= 3x + b
Vì đi qua điểm A(-2; 1) nên ta có 1= 3.(-2)+b ⇔ b = 7
Vậy phương trình cần viết là y= 3x + 7

BÀI TẬP HÌNH HỌC 9
Bài 1: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi Ax và By là các tia vuông góc
với AB
( Ax , By và nửa đường tròn cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất
kỳ thuộc Ax . Qua M Kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By tại N.
a/ Tính số đo góc MON.
b/ Chứng minh rằng: MN = AM + BN
c/ Chứng minh rằng: AM . BN =R
2
Giải:
Vẽ hình đúng
Gọi I là tiếp tuyến của MN với nửa đường tròn
a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có

·
MOA
=
·
MOI
( =
·
AOI

2
)
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt
nhau ta có
AM=MI và MI = BN
Mà MI+IN = MN
Nên MN=AM+BN
GV: TRẦN VĂN HOÀNG
9
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 KH I

·
NOI
=
·
NOB
( =
2
^
IOB
)
Mà A
^
O
I và B
^
O
I kề bù
Do đó M
^

O
I + I
^
O
N = 90
0
hay M
^
O
N = 90
0

c) Trong tam giác vuông OMN
Ta có OI
2
= MI . IN (hệ thức h
2
= b’. c’)
Mà AM=MI và MI = BN
Suy ra R
2
= AM.BN
Bài 2: Cho
∆
ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Kẻ đường cao AH.
a)Tính BC, AH, HB, HC.
b)Tính giá trị của biểu thức Q = sinB + cosB.
Giải:
a)Vẽ hình đúng
∗Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABC Ta có: BC

2
= AB
2
+AC
2
=10
2

BC=10 (cm) ∗AH =
BC
ACAB.
=
10
8.6
= 4,8(cm) ∗HB =
BC
AB
2
=
10
6
2
= 3,6(cm) ∗HC = 10 -3,6 = 6,4
(cm)
b)Q = sinB + cosB.=
10
8
+
10
6

=
10
14
=
5
7

Bài 3:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ BC vẽ tia
Bx vuông góc với BC. Gọi M là trung điểm của đoạn BC. Qua M kẻ đường thẳng vuông
góc với AB, cắt Bx tại O.
1)Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn (O;OA).
2) Chứng minh rằng bốn điểm O, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn
Giải:
Vẽ hình đúng
1)Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn (O;OA).
Gọi I là giao điểm của MO và AB
Theo đề bài MI là đường trung bình của tam giác ABC nên IA=IB
Do đó tam giác OAB cân tại O (MI vừa là đường cao vừa là trung tuyến)
Suy ra: OA =OB Mà OB vuông góc với BC
Vì vậy BC là tiếp tuyến của đường tròn (O;OA).
2) Chứng minh rằng bốn điểm O, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn
Tam giác BOM vuông tại B nên ba điểm B, O, M cùng nằm trên đường tròn có tâm
là trung điểm cạnh huyền MO
Xét hai tam giác BOM và AOM có
OA=OB
^
AOM
=
^

BOM
(do tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
MO là cạnh chung )
Vì vậy
∆
BOM=
∆
AOM (c, g, c)
Do đó Tam giác AOM vuông tại A nên ba điểm A, O, M cùng nằm trên đường tròn có
tâm là trung điểm cạnh huyền MO
Vậy bốn điểm O, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn
Bài 4:
GV: TRẦN VĂN HOÀNG
10
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 KH I
Một cái thang dài 4 m, đặt dựa vào tường, góc giữa thang và mặt đất là 60
0
.
Hãy vẽ hình minh họa và tính khoảng cách từ chân thang đến tường.
Giải:
Vẽ hình đúng
Khoảng cách chân thang đến tường là: 4. cos 60
0
= 4 .
2
1
= 2 (m)
Bài 5:
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB =2R. Kẻ các tiếp tuyến Ax; By cùng phía với
nửa đường tròn đối với AB. Vẽ bán kính OE bất kỳ. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại E

cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D.
Chứng minh rằng:
a/CD=AC+BD
B/
^
COD
=90
0
C/ Tích AC.BD = R
2
Giải:
Vẽ hình
Chứng minh
a/ CD=AC+BD
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau Thì
AC= EC và BD=ED mà DC = EC+ED Nên CD = AC+BD
b/
^
COD
=90
0
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có
C
^
O
A = C
^
O
E (=
2

^
EOA
) ; E
^
O
D = B
^
O
D (=
2
^
BOE
) ;Mà A
^
O
E và E
^
O
B kề bù
Do đó C
^
O
E + EB = 90
0
hay C
^
O
D = 90
0
c/ Tích AC.BD = R

2
Trong tam giác vuông OCD
Ta có OE
2
= EC . ED (hệ thức h
2
= b’. c’) mà AC= EC và BD=ED
Suy ra R
2
= AC.BD
Bài 6:
Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC= 5 cm, AB =2AC
a/Tính AB
b/Kẻ đường cao AH. Tính HB, AH
c/Tính tan
^
BAH
, Suy ra giá trị gần đúng của số đo
^
BAH
d/Vẽ hai đường tròn (B;BA) và (C;CA) . Gọi E là giao điểm thứ hai của hai đường tròn .
Chứng minh CE là tiếp tuyến của đường tròn (B).
Giải:
Vẽ hình
a)Tính AB
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông, ta có AB
2
+
2
2







AB
= BC
2
GV: TRẦN VĂN HOÀNG
11
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 KH I
AB
2
+
4
2
AB
= BC
2

4
4
2
AB
+
4
2
AB
= BC

2

4
5
2
AB
= BC
2

5AB
2
= 4BC
2

AB
2
=
5
4
2
BC
=
5
5.4
2
= 20
AB=
20
= 2.
5

(cm)
b)Kẻ đường cao AH. Tính HB, AH
Ta có AC=
2
AB
=
2
52
=
5
(cm)
AH.BC=AB.AC (hệ thức h.a=b.c)=>AH=
BC
ACAB.
=
5
5.5.2
= 2 (cm)
AB
2
= BC.HB (Hệ thức c
2
=a.c’)Suy ra HB=
BC
AB
2
=
5
)52(
2

= 4 (cm)
c)Tính tan
^
BAH
, Suy ra giá trị gần đúng của số đo
^
BAH
Ta có tan
^
BAH
=
AH
HB
=
2
4
= 2 Suy ra
^
BAH
≈
d) Xét hai tam giác ABC và EBC có
BA=BE (là bán kính đường tròn (B;BA) )
CA =CE (là bán kính đường tròn (C;CA) )
BC là cạnh chung
Suy ra
∆
ABC =
∆
EBC (c.c.c)
Mà

^
A
=90
0
nên
^
E
= 90
0
Hay CE vuông góc với bán kính BE tại tiếp điểm E
Vậy: CE là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).
GV: TRẦN VĂN HOÀNG
12