bài tập phép tính vi phân hàm nhiều biến

BÀI TẬP CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
GV: Lê Nguyễn Kim Hằng
1/ Tính các đạo hàm riêng của các hàm số sau
a.
arcsin
x
z
y
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠

b.
(
)
222
lnzxxyz=+++

c.
ar
x
y
zctg
x
y
⎛⎞
+
=
⎜⎟
−

⎝⎠

d.
2
os
3
y
x
ct
zdt
t
=
+
∫

2/ Tính các giới hạn sau
a.
1
2
22
lim
1
x
y
xy y x
x
→
→
−− +
−

b.
2
3
lim 1
x
x
y
y
x
→∞
→
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠

c.
3
22
0
0
lim
x
y
x
y
x
y
→

→
+

d.
22
44
3
lim
x
y
x
y
x
y
→∞
→∝
+
+
3/ Chứng minh rằng hàm số
222
1
u
x
yz
=
+
+
thỏa phương trình
222
222

0
uuu
xyz
∂∂∂
++=
∂∂∂
(phương trình Laplace).
4/ Cho
cos os
cos sin
sin
xr c
yr
zr
θ
ϕ
θ
ϕ
θ
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪
=
⎩
. Hãy tính định thức
x
xx

r
yy y
r
zz z
r
ϕ
θ
ϕ
θ
ϕ
θ
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂

5/ Tính vi phân toàn phần cấp 1 và cấp 2 của hàm số
a.
32 4
95zxy y=+−

b.

(
)
2
ln 3zxy=+
6/ Tính gần đúng các giá trị sau
a.
(
)
44
ln 0,99 1, 03 1+−
b.
22
3,02 4,03+

c.
(
)
2,98
2,03

d.
00
sin 29 . os62c
7/ Chứng minh rằng hàm số
22
y
zxf x y
x
⎛⎞
=

−−
⎜⎟
⎝⎠
thỏa mãn phương trình
22
zz
x
yzxy
xy
∂∂
+=−−
∂∂

8/ Tính
dz
dt
biết ln sin
x
z
y
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
, trong đó
22
3, 1xty t
=
=+

9/ Tính
,
zz
x
y
∂∂
∂∂
biết
2
lnzu v= , trong đó
22
,
x
y
ux yve
=
−=

10/ Chứng minh rằng hàm số
222
uxyz
=
++
có
2
0du≥ với mọi x, y, z không
đồng thời bằng không.
11/ Giả sử z là hàm theo biến x, y xác định bởi phương trình
cos cos cos 1
x

yy zz x++=
. Tính ,
zz
x
y
∂
∂
∂
∂
.
12/ Tìm cực trị của các hàm số sau
a.
()
50 20
0, 0zxy x y
xy
=++ > >

b.
33
15zx xyy=+ +

c.
22
2ln 18lnzx y x y=+− −



d.
322 3

zx xy xyy
=
+−−

e.
(
)
()
22
22
x
y
zxye
−+
=+

f.
22
2
4
yz
zx
x
yz
=
+++

13/ Tìm cực trị có điều kiện tương ứng sau
a.
22

zx y=+
với
1
23
xy
+=

b.
2zx y=+
với
22
5xy+=

c.
uxyz=++
với
111
1
x
yz
++=

d.
23ux y z=+ + với điều kiện
222
14xyz
+
+=.
14/ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau
a.

22
zx y xyxy=+−++
trên miền D giới hạn bởi các đường thẳng
0, 0
x
y==
và
3
x
y+=−
.
b.

22
2zx y x=+ −
trên hình tròn
22
1xy
+
≤

c.
33
3zx y xy=+−
trên miền
(
)
{
}

,0 2,1 2Dxy x y
=
≤≤ −≤≤

d.

22
12 16zx y x y=+− +
trên hình tròn
22
25xy
+
≤

15/ Tìm trên elip
22
99xy+=
các điểm gần nhất và xa nhất đối với đường thẳng
4916
x
y+=
.
16/ Tìm đạo hàm theo hướng
A
B
J
JJG
của hàm
23
uxyz=

tại điểm A(3,2,1) với
(
)
5, 4, 2B = .
17/ Tìm đạo hàm của
(
)
22
lnzxy=+ tại điểm M(3,4) theo hướng gradient của hàm z
tại điểm ấy.
18/ Tìm độ lớn và hướng của
gradu với
333
3u x y z xyz=++−
tại điểm A(2,1,1). Tại
những điểm nào thì grad
u vuông góc với trục Oz? gradu triệt tiêu?
19/ Tính các tích phân sau:
a.
(
)
22
02
12
x
y
x
ydxdy
≤≤
≤≤

+
∫∫

b.
c.
D
x
ydxdy
∫∫
với D là miền giới hạn bởi các đường
22
,2
x
yx y
=
=−
d.
ln
D
y xdxdy
∫∫
với D là miền giới hạn bởi các đường cong 1, , 2xy y x x
=
==
e.
22
1
D
dxdy
xy++

∫∫
với D là nửa hình tròn
22
1xy
+
≤ nằm phía trên trục hoành.
f.
(
)
3
D
x
ydxdy+
∫∫
với D xác định bởi:
22
2
9, 3
3
xy y x
+
≤≥+.
20/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong
22
40xxy−+=,
22
40xy y+−=
21/ Tính diện tích phần mặt paraboloit
22
1yxz

=
−− và
22
1xz
+
=
22/ Tính thể tích phần khối cầu
222
8xyz
+
+= bên trong mặt trụ
22
4xy+=.

11
3
0
sin( 1)
y
I
dy x dx=−
∫∫