một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc thcs

Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS
A. PHN M U
I. Lý do chn ti:
Mụn Toỏn cng nh nhng mụn hc khỏc, cú vai trũ quan trng trong vic
gúp phn thc hin mc tiờu o to nhng con ngi, lm ch tri thc khoa hc v
cụng ngh hin i, cú t duy sỏng tao, cú k nng thc hnh giic bit cỏc
kin thc v phng phỏp toỏn hc l cụng c thit yu giỳp hc sinh hc tp tt
cỏc mụn hc khỏc, giỳp hc sinh hot ng cú hiu qu trong mi lnh vc.
t c mc tiờu trờn mi ngi tham gia cụng tỏc giỏo dc phi lm gỡ
trong s nghip trng ngi? Mi gi lờn lp ca ngi giỏo viờn phi lm c
nhng gỡ? Chun mc no cho phộp ta ỏnh giỏ hot ụng dy v hc c xem l
cú hiu qu? Ngoi vic mi tit dy trờn lp ca giỏo viờn tht hp dn, lụi cun
c hc sinh tham gia phỏt biu xõy dng bi thỡ iu quan trng hn c l giỏo
viờn phi giỳp hc sinh ch ng tip thu kin thc, bit tỡm ra cho mỡnh phng
phỏp hc tp, bin tri thc ca nhõn loi thnh tri thc cho bn thõn. Chớnh vỡ vy
trong quỏ trỡnh dy hc ngi giỏo viờn phi giỳp hc sinh phỏt trin t duy logic,
tng hp kin thc, hinh thnh cỏc phng phỏp lm cỏc dng bi tp khỏc nhau
cho c ba phõn mụn: S hc, i s v hỡnh hc. Trong ú hai phõn mụn s hc v
i s thng cú cỏc thut toỏn c th nờn cỏc em sm phõn dng v tỡm ra phng
phỏp gii cho mi dng bi tp. Ngc li phõn mụn hỡnh hc cỏc em vn dng cỏc
khỏi nim, nh lớ, tớnh cht vo lm bi tp nhng ớt em phõn c dng bi tp v
phng phỏp gii cỏc dng bi tp ú. Hn th na hc sinh cũn khụng bit vn
dng kin thc liờn phõn mụn vo gii cỏc dng bi tp khỏc nhau, nh vn dng
kin thc phõn mụn hỡnh hc vo lm bi tp i s hoc ngc li, vn dng kin
thc phõn mụn i s vo gii cỏc bi tp hỡnh hc. Do ú giỏo viờn phi l ngi
dn ng cho hc sinh nhỡn thy c kin thc hỡnh hc v i s khụng phi l
tng phn kin thc riờng bit m chỳng cú s b tr cho nhau, cỏc em thy
c iu lớ thỳ khi hc mụn Toỏn, t ú cỏc em lnh hi kin thc mụn Toỏn ngy
cng tt hn. C th, trong bi vit ny tụi xin nờu ra: Mt s phng phỏp chng
minh bt ng thc hỡnh hc bc THCS trong ú cú mt s phng phỏp cú s
dng kin thc i s vo gii bi tp hỡnh hc.

II. i tng v phm vi nghiờn cu:
1. i tng nghiờn cu:
Cỏc em hc sinh lp 7, 8, 9. Trong ú cú cỏc i tng hc sinh: Gii,
khỏ, trung bỡnh, yu, kộm.
2. Phm vi nghiờn cu:
Mt s phng phỏp chng minh bt ng thc hỡnh hc bc THCS
III. Mc ớch v nhim v nghiờn cu:
1. Mc ớch nghiờn cu:
. Hỡnh thnh cho hc sinh cú c mt s phng phỏp chng minh bt
ng thc hỡnh hc bc THCS, cỏc em thỏo g c nhng khú khn khi gp
dng toỏn ny.
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014
1
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS
. Giỳp cỏc em hiu c trong quỏ trỡnh hc cú th vn dng kin thc liờn
phõn mụn gia i s v hỡnh hc gii bi tp toỏn.
. Nõng cao cht lng dy v hc mụn toỏn v c bit l phõn mụn hỡnh
hc.
2. Nhim v nghiờn cu:
. Nghiờn cu v tỡnh hỡnh dy v hc mt s phng phỏp chng minh bt
ng thc hỡnh hc cp THCS.
. Tỡm hiu mc v kt qu t c khi thc thi ti.
. Rỳt ra c nhng kinh nghim cú giỏ tr thit thc, phc v cho cụng vic
dy v hc.
IV. Gi thit khoa hc:
Sau khi ỏp dng c mt s phng phỏp chng minh bt ng thc hỡnh
hc bc THCS s nõng cao c cht lng dy v hc, thỏo g c nhng
vng mc ca hc sinh khi gp dng toỏn ny. Giỳp cỏc em bit vn dng kin
thc liờn phõn mụn gia i s v hỡnh hc, c bit l i tng hc sinh khỏ, gii
phỏt trin t duy logic, tng hp kin thc, hỡnh thnh cỏc phng phỏp gii bi tp

chng minh bt ng thc hỡnh hc v rốn luyn k nng lm cỏc dng bi tp ú.
V. Phng phỏp nghiờn cu:
. Nghiờn cu qua sỏch giỏo khoa v ti liu tham kho khỏc.
. Nghiờn cu qua tỡnh hỡnh thc t trong quỏ trỡnh ging dy.
. T rỳt ra t kinh nghim ging dy v úng gúp ca ng nghip.
VI. úng gúp v mt khoa hc:
. Hỡnh thnh cho ngi hc cỏc phng phỏp gii bi tp: Chng minh bt
ng thc hỡnh hc v k nng gii cỏc bi tp dng ny.
. Vn dng kin thc liờn phõn mụn gia i s v hỡnh hc trong gii bi tp
toỏn.
. Giỏo viờn cú c nhng kinh nghim cú giỏ tr thit thc trong cụng tỏc
ging dy.
. Ni dung ti ny cũn l c s, nn tng xõy dng cho hc sinh cỏc
phng phỏp gii bi toỏn cc tr hỡnh hc.
B. PHN NI DUNG.
I. C s khoa hc:
1. C s lớ lun:
lm cỏc bi tp dng chng minh bt ng thc hỡnh hc, trc ht mi
giỏo viờn chỳng ta cn cho hc sinh nm vng cỏc kin thc c bn sau:
. Vi ba im bt kỡ A, B, C ta cú: AB

AC + CB. Du = xy ra khi v
ch khi im C nm gia hai im A v B.
.Trong mt tam giỏc gúc i din vi cnh ln hn l gúc ln hn. Cnh i
din vi gúc ln hn l cnh ln hn
. Trong tam giỏc vuụng, cnh huyn ln hn mi cnh gúc vuụng
. Trong mt tam giỏc, gúc i din vi cnh nh nht l gúc nhn.
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014
2
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS

. Trong hai ng xiờn k t mt im n mt ng thng, ng no cú
hỡnh chiu ln hn thỡ ln hn. Ngc li ng xiờn no ln hn thỡ cú hỡnh chiu
ln hn.
. Trong mt tam giỏc mi cnh nh hn tng hai cnh kia v ln hn hiu
ca hai cnh ú
. Trong mt ng trũn ng kớnh l dõy cung ln nht.
. Trong hai dõy ca mt ng trũn: Dõy no ln hn thỡ dõy ú gn tõm
hn, dõy no gn tõm hn thỡ dõy ú ln hn.
. Vi mt tam giỏc ABC bt kỡ, ta cú:
S
ABC

1
2

AB.AC, S
ABC

1
2

BC.BA, S
ABC
1
2

CA.CB.
. Cho A(x), B(x), f(x) cú min xỏc nh D

R. Ta cú: [f(x)]

2


0, vi mi
x

D.
T ú suy ra:
A(x) = [f(x)]
2
+ m

m nu tn ti x = x
0


D sao cho
[f(x)]
2
+ m = m tc l [f(x
0
)]
2
= 0 thỡ m l giỏ tr nh nht ca A(x) v kớ hiu
minA(x) = m x = x
0
.
B(x) = M [f(x)]
2

M nu tn ti x = x
0


D sao cho
M [f(x)]
2
= M tc l [f(x
0
)]
2
= 0 thỡ M l giỏ tr ln nht ca B(x) v kớ hiu
maxB(x) = M x = x
0
.
. Bt ng thc Cụ-si cho 2 s a, b khụng õm ta cú:

2
a b
ab
+

. Du = xy ra khi v ch khi a = b.
. Bt dng thc Bunhia- cụpxki:
Vi bn s a
1
, a
2
, b

1
, b
2
bt kỡ ta cú: (a
1
.b
1
+ a
2
.b
2
)
2


(a
1
2
+a
2
2
)(b
1
2
+b
2
2
)
Du = xy ra
1 2

1 2
a a
b b
=
Vi nhng kin thc nờu trờn, trong quỏ trỡnh dy chỳng ta phi giỳp cỏc em
t xõy dng cỏc phng phỏp gii dng bi toỏn: Chng minh bt ng thc hỡnh
hcv bit vn dng linh hot vo mi bi tp khỏc nhau, giỳp cỏc em vt qua
nhng b tc, khú khn khi gp nhng dng toỏn nờu trờn.
2. C s thc tin:
Trong quỏ trỡnh dy hc phõn mụn hỡnh hc lp 7, 8, 9 hc sinh khi gp
dng bi tp: Chng minh bt ng thc hỡnh hc cỏc em thng khú cú nh
hng cho mỡnh vn dng kin thc no gii bi toỏn ú, bi vỡ trong phn lớ
thuyt sỏch giỏo khoa ch cú duy nht sỏch giỏo khoa toỏn 7 cú mt bi dựng
thut ng: Bt ng thcú l bi : Quan h gia ba cnh trong mt tam giỏc.
Bt ng thc tam giỏc. Chớnh vỡ th ch cú mt b phn hc sinh khỏ, gii bit
vn dng bt ng thc tam giỏc gii bi toỏn: Chng minh bt ng thc hỡnh
hc, ngoi ra cỏc em khụng tỡm c cho mỡnh phng phỏp no khỏc na. Do ú
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014
3
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS
õy l dng bi tp khú cho cỏc em, c bit l nhng em cú hc lc t trung bỡnh
tr xung.
II. ỏnh giỏ thc trng:
Tụi cho tin hnh kim tra kh nng tip thu kin thc ca hc sinh trờn mt
s lp trc khi thc thi ti thỡ thu c kt qu sau:
Điểm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9A (30 em) 3 4 4 9 5 3 1 1 0 0
8A (30 em) 4 3 4 8 6 3 2 0 0 0
7A (28 em) 3 3 4 9 5 3 1 0 0 0
u im: a s cỏc em u thuc bt ng thc tam giỏc.

Nhc im: Ngoi tr hc sinh khỏ, gii cũn li s hc sinh cú hc lc t
trung bỡnh tr xung ch thuc bt ng thc tam giỏc, nhng khụng vn dng ỳng
bt ng thc tam giỏc khi gii bi toỏn chng minh bt ng thc hỡnh hc. Hn
th na, phn ln cỏc em c ngh rng bt ng thc tam giỏc ỏp dng gii c
cho tt c cỏc bi tp thuc dng toỏn nờu trờn, m cỏc em khụng tỡm c nhng
phng phỏp no na gii cỏc bi tp khỏc nhau ca dng ú.
Nguyờn nhõn: Trong chng trỡnh hỡnh hc THCS ch cú duy nht mt bi
sỏch giỏo khoa toỏn 7 cú dựng thut ng: Bt ng thc ú l bi: Quan h
gia ba cnh trong mt tam giỏc. Bt ng thc tam giỏc. Mt khỏc cỏc em khụng
nm vng kin thc c bn(ó nờu phn c s lớ lun) v cỏc em khụng c th
húa c lng kin thc ni dung chng trỡnh sỏch giỏo khoa THCS cp di
dng ngụn ng hỡnh hc khỏc nhau, nhng lng kin thc ú ỏp dng rt tt trong
vic gii bi tp chng minh bt ng thc hỡnh hc.
Qua kt qu kho sỏt trờn ta thy rng, s lng hc sinh t im gii v
khỏ rt thp, s cỏc em t im t trung bỡnh tr ch t trong khong 32% n
37%, cũn s cỏc em t im kộm rt nhiu.
Vỡ vy trong quỏ trỡnh ging dy, tụi ó hỡnh thnh cho cỏc em hc sinh lp
7, 8, 9 nhiu phng phỏp gii dng bi tp: Chng minh bt ng thc hỡnh
hc, giỳp cỏc em thỏo g nhng khú khn ca mỡnh. Tuy nhiờn trong bi vit
ny tụi xin i sõu vo mt s phng phỏp hay s dng gii dng bi tp nờu
trờn. c bit l cú ba phng phỏp s dng kin thc phõn mụn i s giỳp cỏc
em hc sinh khỏ, gii vn dng gii nhng bi tp khú ca dng toỏn trờn.
III. Mt s phng phỏp chng minh bt ng thc hỡnh hc bc THCS:
1.Phng phỏp th nht:
Vn dng quan h gia ng xiờn v ng vuụng gúc: Trong cỏc
ng xiờn v ng vuụng gúc k t mt im ngoi mt ng thngn
ng thng ú, ng vuụng gúc l ng ngn nht.
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014
4
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS

Vớ d 1: Cho t giỏc ABCD. Chng minh rng S
ABCD



1
2
AC.BD. Du = xy ra
khi no?
Gii:

A
B
C
O
H
D


S
COD

1
2

OC.OD. Du = xy ra khi
C O D

= 90
0

S
DOA

1
2

OD.OA. Du = xy ra khi
D O A

= 90
0
=> S
ABCD

1
2

(OA.OB + OB.OC + OC.OD + OD.OA) =
1
2
AC.BD
=> S
ABCD

1
2

.AC.BD
Du = xy ra khi v ch khi AC

BD ti O.
Nhn xột: Trong bi tp trờn ta ó xột quan h gia ng xiờn AO
v ng vuụng gúc AH t ú chng minh c din tớch mt tam giỏc luụn bộ
hn hoc bng mt na tớch hai cnh bt kỡ trong tam giỏc ú.
Vớ d 2: Cho
ABC

vuụng ti A, gi M l trung im ca AC. Gi E, F theo th t
l chõn ng vuụng gúc k t A v C n ng thng BM.
a. Chng minh rng AC > AE + CF.
b. Chng minh rng AB <
1
2
( BE + BF).
Gii :
a.Trong tam giỏc vuụng EAM, ta cú: AM > AE. (1)
(h gia ng xiờn v ng vuụng gúc)
Trong tam giỏc vuụng FCM, ta cú: CM > CF (2).
(h gia ng xiờn v ng vuụng gúc)
Cng v theo v (1) v (2) ta cú:
AM + CM > AE + CF AC > AE + CF.
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014
5
Gi O l giao im hai ng chộo AC v BD.
K AH

BD ti H
Ta cú: S
ABCD
= S

AOB
+ S
BOC
+ S
COD
+ S
DOA
Ta cú AH

OA (quan h gia ng xiờn v ng
vuụng gúc) nờn:
S
AOB
=
1
2
OB.AH
1
2

OB.OA
Du = xy ra khi
AO B

= 90
0
Tng t ta cú: S
BOC

1

2

OB.OC.
Du = xy ra khi
B O C

= 90
0
F
2
1
E
M
C
B
A
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS
b. Xột hai tam giỏc vuụng EAM v FCM, ta cú:
AM = CM, vỡ M l trung im AC.
1 2
M M

=
( i nh) do ú
EAM FCM
=
( cnh huyn gúc nhn), suy ra EM = FM.
Trong tam giỏc vuụng ABM, ta cú:
AB < BM (h gia ng xiờn v ng vuụng gúc) v vỡ BM = BE + EM nờn
AB < BE + EM.(3)

AB < BM (h gia ng xiờn v ng vuụng gúc) v vỡ BM = BF FM nờn
AB < BF FM (4)
Cng v theo v(3), (4) , ta c 2AB < BE + BF( vỡ EM = FM) AB<
1
2
(BE +
BF).
Nhn xột: Bi tp vớ d 2 tt c cỏc i tng hc sinh cỏc lp 7 u
tham gia gii c, õy l bi tp khụng khú, s dng kin thc lp 7 gii bi
toỏn.
Vớ d 3: Cho ng trũn (O; R), AB l dõy cung(AB

2R). C l im chớnh gia
ca cung AB, M l im trờn cung AB. ng thng OC ct dõy AB K. V MH

AB, H

AB.Chng minh rng MH

CK.
Gii:
Do C l im chớnh gia
AB

nờn OC

AB.
Gi I l giao im ca OM v AB.
Ta cú MH

AB, I

AB.
=> MH

MI (h gia ng xiờn v ng vuụng gúc)
Mt khỏc OK

AB, I

AB nờn OK

OI
(h gia ng xiờn v ng vuụng gúc)
Mt khỏc ta cú: OM = OC = R.
Do ú MH

MI = OM OI

OC OK = CK.
Vy MH

CK ( pcm)
Du = xy ra M trựng C, khi ú H trựng K
Nhn xột: Vớ d 3 l mt bi tp cho i tng hc sinh lp 9, c vn dng kin
thc lp 7 gii.
2.Phng phỏp th hai:
Võn dng quan h gia gúc v cnh i din trong mt tam giỏc:
Trong mt tam giỏc: Gúc i din vi cnh ln hn l gúc ln hn. Cnh i
din vi gúc ln hn l cnh ln hn.

Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014
6
I
K
H
C
M
B
O
A
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS
Vớ d 4:Cho
ABC

cú tự. Gi M l trung im ca AC. Gi E, F th t l chõn
ng vuụng gúc k t A v C n ng thng BM.
Chng minh rng AB <
1
2
( BE + BF)
Gii
Xột hai tam giỏc vuụng EAM v FCM, ta cú:
AM = CM(vỡ M l trung im AC).
1 2
M M

=
( i nh)
Do ú
EAM FCM =

( cnh huyn -gúc nhn)
Suy ra EM = FM.
Trong tam giỏc ABM cú tự nờn ta cú:
AB < BM (quan h gia gúc v cnh i din trong mt tam giỏc )
AB < BE + EM (5)
AB < BM AB < BF FM (6)
Cng v theo v (5) v (6) ta c 2AB < BE + BF( vỡ EM = FM)
AB<
1
2
(BE + BF).
Nhn xột: vớ d 4 thay i s o ca gúc A so vi vớ d 2. V õy l mt
bi tp ch yu dựng cho i tng hc sinh lp 7
Vớ d 5: Cho t giỏc ABCD cú AC = AD. Chng minh rng: BC < BD.
Gii:
Ta cú
B D C A DC AC D B C D

< = <
( do tia DB nm gia hai tia DA v DC, tia CA
nm gia hai tia CB v CD v
ACD
cõn ti A)
Xột
BCD

:Vỡ
B D C B C D

<

nờn BC < BD (quan h gia gúc v cnh i din
trong mt tam giỏc )
Nhn xột: Bi tp vớ d 5 c ỏp dng cho tt c cỏc i tng hc sinh lp
7, vỡ ú l mt bi tp d, vn dng kin thc lp 7 gii.
3. Phng phỏp th ba:
Vn dng bt ng thc tam giỏc: Trong mt tam giỏc, mi cnh nh hn
tng hai cnh kia v ln hn hiu hai cnh ú.
Vớ d 6: Chng minh rng trong t giỏc li ABCD ta cú bt ng thc:
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014
7
A
D
C
B
O
B
A
C
D
F
2
1
E
M
C
B
A
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS
AB + CD < AC + BD
Gii:

Gi O l giao im hai ng chộo.
Ta cú:
AC + BD = (AO + OC) + (BO + OD)
=(AO + OB) + (OC + OD) > AB + CD
(bt ng thc tam giỏc).
Vy AC + BD > AB + CD.(pcm)
Vớ d 7:
Gi AB l mt dõy bt kỡ ca ng trũn (O; R). Chng minh rng AB

2R
( SGK Toỏn 9).
Gii:
R
O
A
B

R
O
A
B
Trng hp dõy AB l ng kớnh. Ta cú AB = 2R.
Trng hp dõy AB khụng l ng kớnh:
Xột

ABO, ta cú AB < OA + OB= R + R = 2R( bt ng thc tam giỏc)
Vy c hai trng hp ta luụn cú AB

2R
Vớ d 8: Cho

ABC

v M l im nm gia B v C.
a. Chng minh rng MA nh hn na chu vi tam giỏc ABC
b. Trong trng hp M l trung im BC. Chng minh rng: MA <
1
2
(AB + AC).
Gii:
a. Ta ln lt xột:
. Trong
MAB
, ta cú:
MA < AB + BM (bt ng thc tam giỏc) (7)
. Trong
MAC

, ta cú:
MA < AC + CM. (bt ng thc tam giỏc) (8)
Cng v theo v ( 7), (8) ta c:
2MA < AB + AC + BM + CM
MA <
1
2
(AB + AC + BC) ( pcm).
b. Trờn tia AM ly im K sao cho AM = KM.
Xột hai tam giỏc
AMC

v

KMB

, ta cú:
AM = KM
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014
8
2
1
A
B
C
D
M
K
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS

1 2
M M

=
( i nh)
CM = BM, vỡ M l trung im BC
Do ú
AMC

=
KMB

suy ra BK = AC.
Trong

AKB

, ta cú : AK < AB + BK (bt ng thc tam giỏc)
2MA < AB + AC MA <
1
2
(AB + AC).
Vớ d 9: Cho
ABC
cú AB = c, AC = b, BC = a, trung tuyn AM = m
a
.
Chng minh rng
2 2
a
b c a b c
m
+ +
< <
Gii:
Xột
ABM
cú: AM > AB BM(bt ng thc tam giỏc) (9)
Xột
ACM
cú: AM > AC MC (bt ng thc tam giỏc) (10)
Cng v theo v (9) v (10), ta cú: 2AM > AB + AC BC
=> AM >
2
b c a+

hay m
a
>
2
b c a+
(*)
Trờn tia i ca tia MA ly im D sao cho MD = MA
=>
AMB
=
DMC
(c g c)
=> AB = CD
Xột
ACD
cú: AD < AC + CD = AC + AB(bt ng thc tam giỏc)
=>2.AM < AC + AB hay m
a
<
2
b c+
(**)
T (*) v (**) suy ra:
2 2
a
b c a b c
m
+ +
< <
(pcm)

Nhn xột: C 4 vớ d 6, 7, 8,9 u vn dng kin thc lp 7 gii. Trong
ú, vớ d 8 v 9 ch yu dnh cho i tng hc sinh cú hc lc t khỏ tr lờn.
4. Phng phỏp th t:
Vn dng kin thc: Trong hai dõy ca mt ng trũn, dõy no ln hn
thỡ dõy ú gn tõm hn, dõy no gn tõm hn thỡ dõy ú ln hn.
Vớ d10: Cho ng trũn (O) v dõy AB khụng i qua tõm. Gi M l trung im
ca AB. Qua M v dõy CD(khụng trựng vi AB). Chng minh rng: AB < CD.
Gii:


Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014
9
A
B
C
D
M
O
H
M
D
C
B
A
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS
Do M l trung im ca AB nờn OM

AB
V OH

CD. Xột

OHM vuụng ti H cú OH < OM( cnh gúc vuụng bộ hn cnh
huyn)
=>AB < CD( vỡ dõy CD gn tõm hn dõy AB)
Vớ d11: Cho

ABC, O l giao im cỏc ng trung trc ca tam giỏc, D, E, F
th t l trung im cỏc cnh AB, BC, AC. Cho bit
^
A
>
^
B
>
^
C
. Chng minh rng
OE < OF < OD.(SBT Toỏn 9 Tp 1)
Gii:
Do O l giao im 3 ng trung trc ca tam giỏc ABC nờn O l tõm ng trũn
ngoi tip

ABC.
Theo bi ra
^
A
>
^
B

>
^
C
nờn BC > AC > AB do ú OE < OF < OD
(trong hai dõy ca mt ng trũn, dõy no ln hn thỡ dõy ú gn tõm hn, dõy
no gn tõm hn thỡ dõy ú ln hn)
Vớ d12: Cho ng trũn (O), hai dõy AB, CD ct nhau ti im M nm bờn trong
ng trũn. Gi H v K theo th t l trung im ca AB, CD. Cho bit AB > CD,
chng minh rng MH > MK.
Gii:

Do H, K ln lt l trung im ca AB, CD nờn

MOH v

MOK l cỏc tam giỏc
vuụng cú chung cnh huyn OM nờn ta cú:
MH
2
+ OH
2
= MK
2
+ OK
2
(= OM
2
) (11)
Ta cú AB > CD nờn OH < OK (trong hai dõy ca mt ng trũn, dõy no ln
hn thỡ dõy ú gn tõm hn, dõy no gn tõm hn thỡ dõy ú ln hn)

=>OH
2
< OK
2
(12)
T (11) v (12) suy ra MH
2
> MK
2

=> MH > MK (pcm)
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014
10
C
O
F
E
D
B
A
M
K
H
O
D
C
B
A
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS
Nhn xột: Cỏc vớ d trong phng phỏp 4 l cỏc bi tp d, c ỏp dng

cho tt c cỏc em hc sinh lp 9
5. Phng phỏp th nm:
Vn dng nh lớ: Trong cỏc dõy ca ng trũn thỡ ng kớnh l dõy ln nht
Vớ d13: Cho tam giỏc ABC cú BD v CE l hai ng cao. Chng minh rng:
DE < BC.(Bi tp 10.SGK.Toỏn 9.Tp 1)
Gii:
Gi M l trung im ca cnh BC. Ta cú tam giỏc BEC vuụng ti E cú EM l
ng trung tuyn nờn ME = MB = MC
Tng t MD = MB = MC
=>MD = MB = MC = ME hay bn im B, E, D, C cựng nm trờn mt ng trũn
ng kớnh BC.
Ta cú DE l mt dõy khỏc ng kớnh ca ng trũn ng kớnh BC nờn
DE < BC( ng kớnh l dõy ln nht ca ng trũn).
Vớ d14: Cho tam giỏc ABC u ni tip ng trũn (O; R), M l mt im di
ng trờn trờn cung nh BC. Chng minh rng MA + MB + MC

4R.
Gii:
Trờn tia MA t MD = MB

MBD cõn cú B
^
M
D = A
0
^
60=BC
nờn

MBD u, do ú BD = BM (13)

A
^
B
D + D
^
B
C = 60
0
v M
^
B
C + D
^
B
C = 60
0
nờn M
^
B
C = A
^
B
D(14)
M AB = BC(

ABC u) (15)
T (13), (14), (15) suy ra

ABD =

CBM ( c.g.c)
=>DA = CM
Vy MB + MC = MD + DA = MA
Vi AM l mt ng kớnh ca ng trũn ta cú:
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014
11
D
M
E
C
B
A
O
D
M'
M
C
B
A
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS
MA + MB + MC = 2MA

2AM = 2.2R = 4R (trong cỏc dõy ca ng trũn thỡ
ng kớnh l dõy ln nht)
Vy MA + MB + MC

4R(pcm).
Du = xy ra M trựng vi M, trong ú M l im chớnh gia cung BC nh
Vớ d 15: Cho ng trũn (O) ng kớnh AB, cỏc dõy AC, AD. im E bt kỡ
nm trờn (O), v EF vuụng gúc vi AC( F

AC); EG vuụng gúc vi AD(G

AD).
Chng minh rng FG

AB.
Gii:

Ta cú A
^
F
E = A
^
G
E = 90
0
nờn A, G, E, F cựng nm trờn ng trũn ng kớnh
AE. M FG l mt dõy bt kỡ do ú FG

AE(16)
(trong cỏc dõy ca ng trũn thỡ ng kớnh l dõy ln nht)
Mt khỏc AE l dõy cung bt kỡ ca ng trũn ng kớnh AB nờn AE

AB (17)
(trong cỏc dõy ca ng trũn thỡ ng kớnh l dõy ln nht)
T (16) v (17) suy ra FG

AB.
Du = xy ra E trựng B, F trựng C, G trựng D.

Nhn xột: Cỏc vớ d trong phng phỏp 5 ỏp dng cho i tng hc sinh
lp 9, trong ú vớ d 14 dnh cho cỏc em cú hc lc t khỏ tr lờn.
6.Phng phỏp th sỏu::
. Cho A(x), B(x), f(x) cú min xỏc nh D

R. Ta cú: [f(x)]
2


0, vi mi
x

D.
T ú suy ra:
A(x) = [f(x)]
2
+ m

m nu tn ti x = x
0


D sao cho
[f(x)]
2
+ m = m tc l [f(x
0
)]
2
= 0 thỡ m l giỏ tr nh nht ca A(x) v kớ hiu

minA(x) = m

x = x
0
.
B(x) = M [f(x)]
2


M nu tn ti x = x
0


D sao cho
M [f(x)]
2
= M tc l [f(x
0
)]
2
= 0 thỡ M l giỏ tr ln nht ca B(x) v kớ hiu
maxB(x) = M

x = x
0
.
Vớ d 16: Cho tam giỏc ABC cú din tớch S. Cỏc im D, E, F th t thuc cỏc
cnh AB, BC, CA sao cho AD = k.AB; BE = k.BC; CF = k.CA.
Chng minh rng S
DEF

4
S
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014
12
O
G
D
C
F
E
B
A
F
E
D
C
B
A
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS
Gii:
Hai tam giỏc ACD v ACB cú ỏy AD = k.AB, cũn chiu cao ng vi cỏc ỏy AD,
AB bng nhau, suy ra:
S
ACD
= k.S
ACB
= k.S

Hai tam giỏc ADC v FDC cú CF = k.CA v ng cao ng vi cỏc ỏy CF, CA
bng nhau, suy ra: S
FDC
= k.S
ADC
= k
2
.S
S
ADF
= S
ADC
S
DCF
= k.S k
2
.S = k(1-k).S
Tng t chng minh c: S
BDE
= S
CEF
=k(1-k).S
=>S
DEF
= S
ABC
( S
ADF
+ S
BDE

+ S
CEF
)

= S 3k(1-k)S = (1-3k+3k
2
)S
Do 1-3k+3k
2
= 3( k-
2
1
)
2
+
4
1



4
1
nờn S
DEF



4
S
Du = xy ra k =

2
1
, khi ú D, E, F ln lt l trung im ca AB, BC, CA
Vớ d17:
Cho hỡnh ch nht ABCD cú AB = 12cm, BC = 8cm. Trờn cỏc cnh AB, BC,
CD, DA ln lt ly cỏc im E, F, G, H sao cho AE = CF = CG= AH. Chng
minh rng S
EFGH


50(cm
2
)
Gii:
t AE = CF = CG = AH = x
=>BE = DG = 12 x
BF = DH = 8 x
Gi S l tng din tớch ca 4 tam giỏc vuụng AEH; CGF; EBF; GDH. Khi ú
din tớch S = 2.
2
1
.x.x + 2.
2
1
.(12-x)(8-x)
= 2x
2
-20x + 96 = 2(x -5)
2
+ 46

46.
M S
EFGH
= S
ABCD
S = 12.8 46 2(x-5)
2
= 50 -2(x-5)
2


50.
Vy S
EFGH


50(cm
2
). Du = xy ra x = 5 hay khi AE = AH = CG = CF =5cm
7. Phng phỏp th by:
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014
13
x
x
8-x
12-x
x
x
H

G
F
E
D
C
B
A
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS
Vn dng bt ng thc Cụ-si cho 2 s a, b khụng õm ta cú:

2
a b
ab
+

. Du = xy ra khi v ch khi a = b.
Vớ d 18: Cho
ABC

cú ba gúc nhn. Gi H l trc tõm ca
ABC

. K l chõn
ng cao v t A ca
ABC
. Chng minh rng: KH.KA


2
4

BC
.
Gii: Xột
AKB
v
CKH

cú:
0
90A K B C K H

= =

B A K H C K

=
(hai gúc nhn cnh tng ng vuụng gúc)
=>
AKB
CKH
( g.g)
=>
KA KC
KB KH
=
=> KA.KH = KB.KC (18)
p dng bt dng thc Cụ- si ta cú:
.
2
KB KC

KB KC
+


=>
2
2
. .
2 4
KB KC BC
KB KC KB KC
+


ữ

(19)
T (18) v (19) suy ra KA.KH


2
4
BC
(pcm)
Du = xy ra K l trung im BC
Vớ d 19:
Cho t giỏc ABCD. Gi O l giao im ca AC v BD. Kớ hiu S
1
=S
AOB

,
S
2
= S
COD
, S = S
ABCD
. Chng minh rng:
1 2
S S S+
Gii:
Ta cú:
AOB
COB
S
OA
OC S
=
v
AOD
COD
S
OA
OC S
=

=>
AOB AOD
COB COD
S S

S S
=
=> S
AOB
. S
COD
= S
COB
. S
AOD
= S
1
. S
2
.
p dng bt ng thc Cụ-si ta cú:
S
COB
+ S
AOD

COB AOD
2 S .S
=
1 2
2 S .S
Do ú ta cú: S = S
AOB
+ S
COD

+ S
COB
+ S
AOD

1 2 1 2
2 S .S S S + +
=
( )
2
1 2
S S+
=>
1 2
S S S +
(pcm).
Du = xy ra S
COB
= S
AOD
AB//CD AB// CD
Vớ d 20: Cho t giỏc ABCD. Chng minh rng : S
ABCD

( )
2
1
8
AC BD +
. Du =

xy ra khi no?
Gii:
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014
14
O
B
A
C
D
H
K
C
B
A
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS
Theo vớ d 1 ta ó chng minh c S
ABCD

1
2

.AC.BD
p dng bt dng thc Cụ-si ta cú:
AC+ BD 2 AC.BD

hay
2
AC+BD
AC.BD
2

ữ

=>S
ABCD

1
2

2
AC+BD
2

ữ

=
1
8
( )
2
AC BD+
=>S
ABCD

( )
2
1
8
AC BD +

(pcm)
Du = xy ra khi AC = BD v AC

BD.
Vớ d 21: Cho t giỏc ABCD v mt im O bờn trong t giỏc. Gi S l din tớch
t giỏc ABCD. Chng minh rng: OA
2
+ OB
2
+ OC
2
+OD
2


2S
Gii: Ta cú: S = S
AOB
+ S
COD
+ S
COB
+ S
AOD
Theo vớ d 1 ta cú:
S
AOB

1
2

OB.OA; S
BOC

1
2

OB.OC; S
COD

1
2

OC.OD; S
DOA

1
2

OD.OA.
=>2S
AOB


OA.OB; 2S
BOC


OB.OC; 2S
COD

OC.OD; 2S
DOA


OD.OA.
p dng bt ng thc Cụ-si ta cú:
2S
AOB


OA.OB


2 2
2
OA OB+
. (20)
2S
BOC


OB.OC


2 2
2
OB OC+
. (21)

2S
COD


OC.OD


2 2
2
OC OD+
. (22)
2S
DOA


OD.OA


2 2
2
OD OA+
. (23)
Cng v theo v ca (20), (21), (22), (23) ta cú : 2S

OA
2
+ OB
2
+ OC
2

+OD
2
Du = xy ra khi v ch khi AC

BD ti trung im O v OA = OB = OC = OD
ABCD l hỡnh vuụng.
Nhn xột: Cỏc vớ d trong phng phỏp ny c vn dng kin thc phõn
mụn i s gii v ch ỏp dng c cho i tng hc sinh khỏ, gii lp 8, 9.
8.Phng phỏp th tỏm:
Vn dng bt dng thc Bunhia- cụpxki:
Vi bn s a
1
, a
2
, b
1
, b
2
bt kỡ ta cú: (a
1
.b
1
+ a
2
.b
2
)
2

(a
1
2
+a
2
2
)(b
1
2
+b
2
2
)
Du = xy ra


1 2
1 2
a a
b b
=
Vớ d 22:
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014
15
O
B
A
C
D
A

B
C
O
H
D
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS
Cho t giỏc ABCD cú ng chộo AC = 2a, BD = 2b. Chng minh rng mt trong
cỏc cnh ca t giỏc khụng bộ hn
2 2
a b+
Gii:
Gi O l giao im ca hai ng chộo AC v BD
Vỡ
DOA
^
+
BOA
^
= 180
0
nờn:
Hoc
DOA
^

90
0
hoc
BOA
^

90
0
Gi s :
DOA
^

90
0
, khi ú
BOA
^

90
0
Xột
AOB
vỡ
BOA
^


90
0
nờn ta cú: AB
2


OA
2

+ OB
2
(24)
Xột
COD
vỡ
DOC
^


90
0
nờn ta cú: CD
2


OC
2
+ OD
2
(25)
T (24) v (25) suy ra: AB
2
+ CD
2


OA
2
+ OB

2
+ OC
2
+ OD
2
(***)
p dng bt dng thc Bunhia-cụpxki ta cú:
(1
2
+ 1
2
)( OA
2
+ OC
2
)

(OA+OC)
2
= AC
2
OA
2
+ OC
2


1
2
AC

2
(26)
Tng t ta cú: OB
2
+ OD
2



1
2
BD
2
(27)
T (26), (27) suy ra: OA
2
+ OC
2
+ OB
2
+ OD
2



1
2
(AC
2
+ BD

2
) (****)
T (***) v (****) suy ra: AB
2
+ CD
2



1
2
(AC
2
+ BD
2
) = 2(a
2
+ b
2
)
=>Hoc AB
2


a
2
+ b
2
, hoc CD
2

a
2
+ b
2
=>Hoc AB


2 2
a b+
hoc CD


2 2
a b+
(pcm)
Du = xy ra AC

BD ti trung im mi ng
Vớ d 23:
Cho
ABC

, ly mt im O bt kỡ nm trong tam giỏc. Cỏc tia AO, BO, CO ct
BC, CA v AB ti P, Q, R. Chng minh rng:

3 2
OA OB OC
OP OQ OR

+ +
Gii:

Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014
16
O
B
A
C
D
O
A
B
C
P
Q
R
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS
t S
BOC
= x
2
, S
COA
= y
2
, S
AOB
= z
2

S
ABC
=

x
2
+ y
2
+ z
2
Ta cú:
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1
ABC
BOC
y z
S
AP x y z AO y z AO y z OA
OP S x OP x OP x OP x
+
+ + + +
= = + = + = =
(28)
Chng minh tng t, ta cú:
2 2
OB x z
OQ y

+
=
( 29)

2 2
x y
OC
OR z
+
=
(30)
T (28), (29), (30) suy ra:
OA
OP
+
OB
OQ
+
OC
OR
=
2 2
y z
x
+
+
2 2
x z
y
+

+
2 2
x y
z
+
(31)
p dng bt ng thc Bunhia- cụpxki ta cú:
(1
2
+ 1
2
).( x
2
+ y
2
)

(1.x + 1.y)
2
2.( x
2
+ y
2
)

(x + y)
2

2 2
x y

2
x y+
+
Do ú:
2 2
x y
z
+
. 2
x y
z
+

(32)
Chng minh tng t ta cú:
2 2
y z
x
+
. 2
y z
x
+

(33)

2 2
x z
y
+

. 2
x z
y
+

(34)
T (31), (32), (33), (34) ta cú:
OA
OP
+
OB
OQ
+
OC
OR
=
2 2
y z
x
+
+
2 2
x z
y
+
+
2 2
x y
z
+

. 2
y z
x
+

+
. 2
x z
y
+
+
. 2
x y
z
+
(35)
Mt khỏc ta cú:
. 2
y z
x
+
+
. 2
x z
y
+
+
. 2
x y
z

+
=
1 6
3 2
2 2
y z z x x y
x x y y z z

+ + + + + =
ữ

(36)
(vn dng bt ng thc Cụ-si)
T (35) v (36) suy ra:
3 2
OA OB OC
OP OQ OR
+ +
(pcm)
Du = xy ra O l trng tõm tam giỏc ABC
Nhn xột: Cỏc vớ d phng phỏp ny (cng ging nh phng phỏp 6,7)
ó c vn dng kin thc phõn mụn i s gii v ch ỏp dng c cho i
tng hc sinh khỏ, gii lp 9.
9. Sau õy l mt s bi tp:

Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014
17
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS
Bi 1: Chng minh rng nu mt tam giỏc cú hai cnh khụng bng nhau thỡ
tng ca cnh ln hn v ng cao tng ng ln hn tng ca cnh nh v

ng cao tng ng.
Bi 2: Cho hỡnh vuụng ABCD cú di ng chộo AC = 1. Trờn mi cnh
AB, BC, CD, DA ln lt ly cỏc im M, N, P, Q bt kỡ to thnh t giỏc
MNPQ li. Chng minh rng: Chu vi t giỏc MNPQ khụng nh hn 2.
Bi 3: Cho tam giỏc ABC u. Trờn cỏc cnh BC, CA, AB ly ba im bt
kỡ I, J, Ksao cho K khỏc A, B v I
^
K
J = 60
0
Chng minh: AJ.BI
2
4
AB

. Du = xy ra khi no?
Bi 4:Cho t giỏc ABCD. Chng minh rng: AB.CD + AD.BC

AC.BD.
Du = xy ra khi v ch khi t giỏc ABCD ni nip c trong ng trũn.
Bi 5: Xột mt hỡnh vuụng v mt tam giỏc. Nu hai hỡnh cú din tớch bng
nhau thỡ hỡnh no cú chu vi ln hn.
Bi 6: Cho hỡnh vuụng ABCD ni tip ng trũn (O;R), M l mt im
bt kỡ trờn ng trũn. Chng minh rng: MA.MB.MC.MD < 6R
4

10.Kt qu thc thi:
Vi ti trờn, trong quỏ trỡnh ging dy, tụi ó hỡnh thnh cho cỏc em nhiu
phng phỏp gii dng bi tp: Chng minh bt ng thc hỡnh hc, tụi ó giỳp
cỏc em bit c th húa kin thc, xõu chui kin thc, vn dng phõn mụn i s

vo gii bi tp hỡnh hc, do ú cỏc em hiu sõu hn v lý thuyt. Bit vn dng lý
thuyt vo gii bi tp thnh tho hn. Chớnh vỡ vy cỏc em khụng gp tr ngi,
khú khn khi gp dng toỏn Chng minh bt ng thc hỡnh hc na, m cỏc em
cũn bit vn dng linh hot cỏc phng phỏp khỏc nhau gii cỏc bi tp thuc
dng toỏn ny, t ú cỏc em hng thỳ hc tp mụn Toỏn hn, to nờn s t tin khi
lm bi tp toỏn v kt qu hc tp ca cỏc em ngy cng tin b rừ rt. S tin b
ú c th hin qua kt qu thc thi ti cho 3 lp hc sinh 7A, 8A, 9A nh sau:
Điểm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9C (30 em) 0 0 3 3 6 8 6 2 1 1
8A (30 em) 0 0 2 4 6 7 3 5 3 0
7A (28 em) 0 0 2 3 7 8 3 3 1 1
Qua kt qu trờn ta thy, sau khi thc hin ti s lng hc sinh t im
gii tng lờn, s em t im yu, kộm ó c gim rừ rt, c bit l t l cỏc em
t im trung bỡnh tr lờn chim trờn 80%. Tụi nhn thy ú l mt kt qu rt kh
quan. Nhng quan trng hn na, tụi cũn ỏp dng ti ny trong vic bi dng
hc sinh gii ó mang li cho tụi nhng kt qu rt thit thc. C th l, cú 6 em
tham gia thi hc sinh gii huyn thỡ c 6 em u t im ti a khi gii bi tp
chng minh bt ng thc hỡnh hc v c 6 em u t gii. Trong ú cú 4 em c
chn vo i d tuyn bi dng tham gia thi hc sinh gii tnh. Kt qu ny
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014
18
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS
mt ln na minh chng rng ti tụi thc hin ó mang li hiu qu rt thit
thc.

C. KT LUN V KIN NGH
I. Kt lun:
Trong ti ny tụi ó cp n mt s phng phỏp m hc sinh thng
hay vn dng nht khi gii dng bi toỏn: Chng minh bt ng thc hỡnh hc.
ti ny c ỏp dng cho tt c cỏc i tng hc sinh lp 7, 8, 9, giỳp cho hc

sinh nm c mt s phng phỏp chng minh bt ng thc hỡnh hc bc
THCS cỏc em thỏo g nhng khú khn khi gp dng toỏn ny, c bit l i
tng hc sinh cú hc lc t khỏ tr lờn thỡ rt hiu qu. Bờn cnh ú cũn giỳp cỏc
em hiu c rng, trong quỏ trỡnh hc cú th vn dng kin thc liờn phõn mụn
gia i s v hỡnh hc gii bi tp toỏn. Thụng qua ú cỏc em phỏt trin t duy
logic, bit xõu chui v tng hp kin thc t ú nõng cao c cht lng dy
v hc mụn toỏn.
Quỏ trỡnh nghiờn cu v thc hin ti ny ca tụi l nh vo kinh nghim
ging dy, ngoi ra tụi cũn s dng thờm cỏc ti liu tham kho khỏc. Tuy vy, tụi
tin rng cũn cú cỏc phng phỏp khỏc s vn dng Chng minh bt ng thc
hỡnh hc cng mang li hiu qu rt thit thc nh nhng phng phỏp tụi cp
n trong ti ny. Rt mong c s cng tỏc ca cỏc bn ng nghip cựng tụi
ni dung ti c hon thin hn.
II. Kin ngh:
Kt qu thc thi ti ca tụi minh chng rng, ti ny ó mang li hiu
qu rt thit thc, phc v cho cụng tỏc dy v hc. Do vy tụi mong mun t
chuyờn mụn, nh trng tụi cụng tỏc trin khai ỏp dng ti ny ti tt c cỏc
giỏo viờn ging dy mụn Toỏn. Hn th na, tụi cũn mong mun b phn chuyờn
mụn cỏc cp(Phũng GD-T, S GD-T) cn t chc hi tho, trao i tin
hnh trin khai, ỏp dng rng rói ni dung ti ny cho tt c cỏc n v THCS
trờn a bn tnh ta nhm nõng cao cht lng, hiu qu dy v hc mụn Toỏn. ú
l mt hot ng tớch cc trong vic i mi phng phỏp dy hc hin nay./.
Tụi xin chõn thnh cm n!
Ngày 25 tháng 3 năm 2014
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014
19
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014
20
Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức hình học ở bậc THCS

Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014
21