phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình toán tử đơn điệu

S húa bi Trung tõm Hc liu


đại học tháI nguyên
Tr-ờng đại học Khoa học




Nguyễn thị kim thủy





Ph-ơng pháp hiệu chỉnh lặp
giảI hệ ph-ơng trình toán tử đơn điệu






Luận văn thạc sĩ toán học

TháI nguyên 2014

S húa bi Trung tõm Hc liu


đại học tháI nguyên
Tr-ờng đại học Khoa học



Nguyễn thị kim thủy



Ph-ơng pháp hiệu chỉnh lặp
giảI hệ ph-ơng trình toán tử đơn điệu



Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12



Luận văn thạc sĩ toán học



Ng-ời h-ớng dẫn khoa học:

Pgs.ts đỗ văn l-u


TháI nguyên - 2014
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 Hệ phương trình toán tử đơn điệu 6
1.1 Không gian Banach. Không gian Hilbert . . . . . . . . 6
1.1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Một số tính chất hình học của không gian Banach 8
1.2 Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Toán tử chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Hệ phương trình toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Hệ phương trình toán tử đơn điệu . . . . . . . . 13
1.3.2 Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu . . 14
2 Phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình toán
tử đơn điệu 21
2.1 Phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không trong không
gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Một phương pháp lặp hiện giải hệ phương trình toán tử 27
2.2.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . 28
i
2.2.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1
MỞ ĐẦU
Nhiều bài toán của thực tế dẫn đến việc giải hệ phương trình toán
tử
A
i
(x) = f
i
, i = 1, 2, . . . , N, (1)
ở đây A
i
: E → F là các toán tử từ không gian Banach E vào không
gian Banach F , f
i
∈ F cho trước, N ≥ 1 là một số tự nhiên. Bài toán
ngược là bài toán tìm một đại lượng vật lý chưa biết x thuộc không
gian Banach E từ một bộ hữu hạn dữ kiện (f
1
, f
2
, . . . , f
N
) ∈ F
N
cho
trước trong không gian Banach F (xem [7]). Trong thực tế, ta không
biết chính xác các dữ kiện f
i
, thay vào đó ta chỉ biết các xấp xỉ f
δ

i
∈ F
của các dữ kiện f
i
thỏa mãn
f
i
− f
δ
i
 ≤ δ, δ → 0. (2)
Tập hữu hạn các dữ kiện f
δ
i
nhận được do đo đạc trực tiếp trên các
tham số. Bài toán này được mô tả dưới dạng hệ phương trình toán
tử (1) với A
i
: D(A
i
) ⊂ E → F, ở đây D(A
i
) định nghĩa là miền xác
định của toán tử A
i
, i = 1, 2, . . . , N.
Hệ phương trình toán tử (1), nói chung, là một bài toán đặt không
chỉnh, theo nghĩa tập nghiệm của bài toán không phụ thuộc liên tục
vào dữ kiện ban đầu. Một số phương pháp cơ bản tìm nghiệm của hệ
phương trình toán tử đặt không chỉnh phải kể đến phương pháp kiểu

hiệu chỉnh lặp (xem [4] và các tài liệu trích dẫn) hoặc phương pháp
hiệu chỉnh Tikhonov (xem [9] và các tài liệu trích dẫn) sau khi viết lại
hệ phương trình toán tử (1) dưới dạng phương trình A(x) = f, ở đây
A := (A
1
, A
2
, , A
N
) : ∩
N
i=1
D(A
i
) =: D → F
N
(3)
và f := (f
1
, f
2
, . . . , f
N
). Các phương pháp này thường không hiệu quả
khi số phương trình của hệ N lớn. Để khắc phục nhược điểm này,
2
người ta sử dụng phương pháp lặp xoay vòng kiểu Kaczmarz cho mỗi
phương trình của hệ (xem [8] và các tài liệu trích dẫn). Phương pháp
kiểu Kaczmarz vốn là thuật toán tuần tự, nên khi N lớn thường gây
tốn kém trên một bộ xử lý đơn.

Năm 2006, để giải hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh (1),
Nguyễn Bường [5] đưa ra một phương pháp hiệu chỉnh kiểu Browder-
Tikhonov khi các toán tử A
i
là hemi-liên tục, đơn điệu và có tính
chất thế năng. Phương pháp của Nguyễn Bường và một số biến thể
của phương pháp có thể dùng cho việc tính toán song song (xem [3]).
Mục đích đề tài luận văn là tìm hiểu và trình bày lại một số kết
quả trong [6], [10] và [11] về phương pháp hiệu chỉnh lặp và phương
pháp lặp hiện giải hệ phương trình toán tử đơn điệu (1).
Nội dung luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 giới
thiệu một số khái niệm và kết quả của không gian Hilbert, không gian
Banach, toán tử đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu và toán tử chiếu. Phần
cuối của chương giới thiệu hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không
chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov hiệu chỉnh bài
toán này trong không gian Banach.
Chương 2 trình bày phương pháp hiệu chỉnh lặp và phương pháp
lặp hiện trong không gian Hilbert hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử
đơn điệu đặt không chỉnh. Phần cuối của chương trình bày một ví dụ
số minh họa sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương
trình toán tử trong không gian Hilbert.
Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới người Thầy, người hướng
dẫn luận văn cao học của mình, PGS. TS Đỗ Văn Lưu - Viện Toán
học và TS. Nguyễn Thị Thu Thủy - giảng viên trường Đại học Khoa
học - Đại học Thái Nguyên, đã dành nhiều thời gian và tâm huyết để
hướng dẫn và giải quyết những thắc mắc cho tôi trong suốt quá trình
tôi làm luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới các
3
thầy cô trong hội đồng chấm luận văn thạc sĩ, các thầy cô giảng dạy
lớp cao học toán K6C, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã tạo những

điều kiện thuận lợi nhất để tôi có thể hoàn thiện khóa học cũng như
luận văn của mình.
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2014
Học viên
Nguyễn Thị Kim Thủy
4
BẢNG KÝ HIỆU
R
n
không gian Euclide n chiều
E không gian Banach thực
E
∗
không gian liên hợp của E
ξ, x giá trị của phiếm hàm ξ tại x
D(A) miền xác định của toán tử A
R(A) miền giá trị của toán tử A
H không gian Hilbert thực
A
∗
toán tử liên hợp của toán tử A
I ánh xạ đơn vị
A
T
ma trận chuyển vị của ma trận A
x
n
→ x dãy {x
n
} hội tụ mạnh tới x

x
n
 x dãy {x
n
} hội tụ yếu tới x
5
Chương 1
Hệ phương trình toán tử đơn điệu
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về
không gian Banach, không gian Hilbert, toán tử đơn điệu, hệ phương
trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh
Browder-Tikhonov hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu. Các
kiến thức của chương này được tham khảo trong các tài liệu [1], [2],
[10] và một số tài liệu trích dẫn trong đó.
1.1 Không gian Banach. Không gian Hilbert
1.1.1 Không gian Banach
Định nghĩa 1.1. Không gian định chuẩn là không gian tuyến tính E
trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ E ta có một số x gọi là chuẩn
của x, thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) x > 0 với mọi x = 0, x = 0 khi và chỉ khi x = 0;
(2) x +y ≤ x +y với mọi x, y ∈ E; (bất đẳng thức tam giác)
(3) αx = |α|.x với mọi x ∈ E và α ∈ R.
Không gian định chuẩn đầy đủ là không gian Banach.
Ví dụ 1.1. Không gian L
p
[a, b] với 1 ≤ p < ∞ là không gian Banach
6
với chuẩn
ϕ =


b
a
|ϕ(x)|
p
dx
1
p
, ϕ ∈ L
p
[a, b].
Định nghĩa 1.2. Dãy các phần tử x
n
trong không gian Banach E
được gọi là hội tụ đến phần tử x
0
∈ E khi n → ∞, nếu x
n
− x
0
 → 0
khi n → ∞, ký hiệu là x
n
→ x
0
. Sự hội tụ theo chuẩn được gọi là hội
tụ mạnh.
Định nghĩa 1.3. Dãy {x
n
} ⊂ E được gọi là hội tụ yếu đến x
0

∈ E,
ký hiệu là x
n
 x
0
, nếu với mọi f ∈ E
∗
-không gian liên hợp của E,
ta có f(x
n
) → f(x
0
), khi n → ∞.
Từ định nghĩa trên ta có tính chất sau:
(i) Từ sự hội tụ mạnh của một dãy {x
n
} suy ra sự hội tụ yếu của
dãy đó.
(ii) Giới hạn yếu của một dãy nếu có là duy nhất.
(iii) Nếu x
n
 x thì sup
1≤n<∞
x
n
 < ∞ và x ≤ lim inf
n→∞
x
n
.

Chú ý rằng, một số trường hợp từ hội tụ yếu có thể suy ra hội tụ
mạnh là: E là không gian hữu hạn chiều; {x
n
} ⊂ M với M là một tập
compact trong E.
Định lý 1.1. Nếu E là không gian Banach thì các khẳng định sau là
tương đương:
(i) E phản xạ;
(ii) Mọi dãy giới nội là compact yếu, nghĩa là với mọi dãy {x
n
} ⊂
E : x
n
 ≤ K thì tồn tại dãy con {x
n
k
} của dãy {x
n
} mà x
n
k
 x ∈ E.
Định nghĩa 1.4. Cho E là không gian Banach thực, E
∗
là không gian
liên hợp của E, ϕ : E → R ∪ {+∞} là một phiếm hàm trên E. Phiếm
hàm ϕ được gọi là
(i) lồi nếu
ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y), ∀x, y ∈ E, λ ∈ (0, 1);
7

(ii) nửa liên tục dưới trên E nếu
lim
y→x
ϕ(y) ≥ ϕ(x), ∀x ∈ E;
(iii) chính thường nếu với mọi x ∈ E, ϕ(x) ≥ −∞ và dom ϕ = ∅,
trong đó dom ϕ := {x ∈ E : ϕ(x) < +∞}.
1.1.2 Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.5. Cho H là một không gian tuyến tính trên R. Một
tích vô hướng trong H là một ánh xạ ., . : H × H → R thỏa mãn
các điều kiện sau:
(1) x, x > 0 với mọi x = 0; x, x = 0 khi và chỉ khi x = 0;
(2) x, y = y, x với mọi x, y ∈ H;
(3) αx, y = αx, y với mọi x, y ∈ H và mọi α ∈ R;
(4) x + y, z = x, z + y, z với mọi x, y, z ∈ H.
Không gian tuyến tính H cùng với tích vô hướng ., . được gọi là
không gian tiền Hilbert. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là
không gian Hilbert.
Ví dụ 1.2. Các không gian R
n
, L
2
[a, b] là các không gian Hilbert với
tích vô hướng được xác định tương ứng là
x, y =
n

i=1
ξ
i
η

i
, x = (ξ
1
, ξ
2
, , ξ
n
), y = (η
1
, η
2
, , η
n
) ∈ R
n
ϕ, ψ =

b
a
ϕ(x)ψ(x)dx, ϕ, ψ ∈ L
2
[a, b].
Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con của H.
Định nghĩa 1.6. Tập C ⊂ H là một tập lồi nếu với mọi x
1
, x
2
∈ C
và với mọi số thực λ ∈ [0, 1] ta đều có λx
1

+ (1 − λ)x
2
∈ C.
1.1.3 Một số tính chất hình học của không gian Banach
Định nghĩa 1.7. Không gian Banach E được gọi là không gian
8
(i) lồi chặt nếu với x, y ∈ S
E
:= {x ∈ E : x = 1}, x = y thì
(1 − λ)x + λy < 1, ∀λ ∈ (0, 1),
(ii) lồi đều nếu với mọi ε thỏa mãn 0 < ε ≤ 2, mọi x, y thỏa mãn
x ≤ 1, y ≤ 1 và x − y ≥ ε suy ra tồn tại δ = δ(ε) ≥ 0 sao cho





x + y
2





≤ 1 − δ.
Chú ý rằng mọi không gian Banach lồi đều đều là không gian phản
xạ và lồi chặt.
Ví dụ 1.3. Mọi không gian Hilbert đều là không gian lồi đều.
Định nghĩa 1.8. Không gian Banach phản xạ E được gọi là không
gian có tính chất E nếu E lồi chặt và với bất kỳ dãy {x

n
} hội tụ yếu
(x
n
 x) và hội tụ chuẩn (x
n
 → x) đều suy ra sự hội tụ mạnh
(x
n
− x → 0).
Ví dụ 1.4. Không gian Hilbert là không gian có tính chất E.
1.2 Toán tử đơn điệu
1.2.1 Toán tử đơn điệu
Cho E là một không gian Banach thực, E
∗
là không gian liên hợp
của E và x
∗
, x là ký hiệu giá trị của x
∗
∈ E
∗
tại x ∈ E. Cho toán tử
A với miền xác định D(A) ⊂ E và miền ảnh R(A) ⊂ E
∗
.
Định nghĩa 1.9. Toán tử A được gọi là đơn điệu nếu
A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A). (1.1)
Toán tử A được gọi là đơn điệu chặt nếu dấu bằng trong bất đẳng
thức (1.1) chỉ đạt được khi x = y.

Chú ý rằng, nếu A là toán tử tuyến tính thì tính đơn điệu tương
đương với tính không âm của toán tử.
9
Ví dụ 1.5. Hàm số f : R → R là đơn điệu nếu nó là hàm số đồng
biến.
Ví dụ 1.6. Toán tử tuyến tính A : R
M
→ R
M
được xác định bởi
A = B
T
B,
với B là một ma trận vuông cấp M, là một toán tử đơn điệu.
Định nghĩa 1.10. Toán tử A được gọi là đơn điệu đều nếu tồn tại
một hàm không âm δ(t), không giảm với t ≥ 0, δ(0) = 0 và
A(x) − A(y), x − y ≥ δ(x − y), ∀x, y ∈ D(A).
Nếu δ(t) = c
A
t
2
với c
A
là một hằng số dương thì toán tử A được gọi
là đơn điệu mạnh.
Nhận xét 1.1. Trong trường hợp A là toán tử tuyến tính thì A đơn
điệu mạnh nếu
A(x), x ≥ m
A
x

2
, m
A
≥ 0, ∀x ∈ D(A).
Ví dụ 1.7. Toán tử A : R → R được cho bởi A(x) = 5x là một toán
tử tuyến tính đơn điệu mạnh.
Định nghĩa 1.11. Toán tử A được gọi là toán tử m
A
-ngược đơn điệu
mạnh nếu
A(x) − A(y), x − y ≥ m
A
A(x) − A(y)
2
, (1.2)
với mọi x, y ∈ D(A), m
A
là hằng số dương.
Định nghĩa 1.12. Toán tử A : D(A) = E → E
∗
được gọi là hemi-liên
tục trên E nếu A(x + ty)  Ax khi t → 0
+
với mọi x, y thuộc E, và
A được gọi là demi-liên tục trên E nếu từ x
n
→ x suy ra Ax
n
 Ax
khi n → ∞.

10
Định nghĩa 1.13. Toán tử A được gọi là toán tử có tính chất bức
nếu
lim
||x||→+∞
Ax, x
||x||
= +∞, ∀x ∈ D(A).
1.2.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
Định nghĩa 1.14. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J : E → 2
E
∗
được định
nghĩa bởi
J(x) = {x
∗
∈ E
∗
: x, x
∗
 = x
2
và x
∗
 = x} ∀x ∈ E.
Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J tồn tại trong mọi không gian Banach
và nói chung là một ánh xạ đa trị. Trong trường hợp đơn trị, không
làm mất tính tổng quát, ta ký hiệu là J. Nếu E := H là một không
gian Hilbert thực thì J = I, với I là ánh xạ đơn vị trong không gian
tương ứng.

Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc có một số tính chất sau: J(−x) = −J(x)
với mọi x ∈ D(J); J(tx) = tJ(x) với mọi x ∈ D(J) và t ∈ [0, ∞), và
J(x) − J(y), x − y ≥

x − y

2
∀x, y ∈ D(J). (1.3)
Nếu E là không gian lồi chặt thì J là ánh xạ đơn điệu chặt. Nếu
E
∗
cũng lồi chặt thì ánh xạ J đơn trị và demi-liên tục (do đó cũng
hemi-liên tục).
1.2.3 Toán tử chiếu
Định nghĩa 1.15. Cho H là một không gian Hilbert thực và T : H →
H là một ánh xạ. Ánh xạ T được gọi là liên tục Lipschitz với hằng số
Lipschitz L > 0 nếu
T (x) − T (y) ≤ Lx − y ∀x, y ∈ D(T ).
Nếu 0 < L < 1 thì T là ánh xạ co; nếu L = 1 thì T là ánh xạ không
giãn.
11
Định nghĩa 1.16. Cho C là một tập con lồi đóng của không gian
Hilbert thực H, phép chiếu mêtric P
C
từ H lên C cho tương ứng mỗi
x ∈ H với phần tử P
C
(x) ∈ C thỏa mãn
x − P
C

(x) ≤ x − y ∀y ∈ C.
Bổ đề 1.1. Giả sử C là một tập con lồi đóng của không gian Hilbert
thực H, phần tử x ∈ H và z ∈ C. Khi đó z = P
C
(x) nếu và chỉ nếu
x − z, y − z ≤ 0 với mọi y ∈ C.
Bổ đề 1.2. Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian
Hilbert thực H. Với mỗi x ∈ H, tồn tại phần tử z ∈ C sao cho
z − x ≤ y − x với mọi y ∈ C và z = P
C
(x) nếu và chỉ nếu
z − x, y − z ≥ 0 với mọi y ∈ C.
Mệnh đề 1.1. Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không
gian Hilbert H và P
C
là phép chiếu mêtric từ H lên C. Khi đó những
điều sau thỏa mãn:
(a) P
C
(P
C
(x)) = P
C
(x) với mọi x ∈ H;
(b) P
C
(x) − P
C
(y) , x − y ≥ P
C

(x) − P
C
(y)
2
với mọi x, y ∈ H;
(c) P
C
(x) − P
C
(y) ≤ x − y với mọi x, y ∈ H;
(d) P
C
(x) − P
C
(y) , x − y ≥ 0 với mọi x, y ∈ H;
(e) Nếu x
n
 x
0
và P
C
(x
n
) → y
0
thì P
C
(x
0
) = y

0
.
Chứng minh. (a) Giả sử P
C
(x) ∈ C với mọi x ∈ H và P
C
(z) = z với
mọi z ∈ C, khi đó P
C
(P
C
(x)) = P
C
(x) với mọi x ∈ H.
(b) Với mọi x, y ∈ H ta có
x − P
C
(x) , P
C
(x) − P
C
(y) ≥ 0
và
y − P
C
(y) , P
C
(x) − P
C
(y) ≥ 0.

12
Điều đó kéo theo
x − y, P
C
(x) − P
C
(y) ≥ P
C
(x) − P
C
(y)
2
.
(c) là hệ quả trực tiếp của (b).
(d) được suy ra từ (b).
(e) Từ Bổ đề 1.1 ta có:
x
n
− P
C
(x
n
) , P
C
(x
n
) − z ≥ 0 với mọi z ∈ C.
Vì x
n
 x

0
và P
C
(x
n
) → y
0
nên từ bất đẳng thức trên suy ra
x
0
− y
0
, y
0
− z ≥ 0 với mọi z ∈ C.
1.3 Hệ phương trình toán tử đơn điệu
Trong mục này chúng tôi giới thiệu về hệ phương trình toán tử đơn
điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach thực và phương pháp
hiệu chỉnh Browder-Tikhonov hiệu chỉnh bài toán này.
1.3.1 Hệ phương trình toán tử đơn điệu
Ta xét bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình toán tử
A
i
(x) = f
i
, i = 1, . . . , N, (1.4)
ở đây N ≥ 1 là một số tự nhiên cho trước, A
i
là các toán tử đơn
điệu, hemi-liên tục với miền xác định D(A

i
) = E và f
i
∈ E
∗
, với
i = 1, . . . , N.
Nhiều bài toán của thực tế được đưa về việc giải hệ phương trình
toán tử (1.4). Chẳng hạn, bài toán chấp nhận lồi nổi tiếng xuất hiện
trong nhiều lĩnh vực: lý thuyết tối ưu, xử lý ảnh . . . chứa đựng việc
tìm nghiệm chung của các phương trình
A
i
(x) := x − P
i
(x) = θ, i = 1, . . . , N, (1.5)
13
ở đây P
i
là toán tử chiếu mêtric chiếu H lên tập con lồi đóng C
i
của
không gian Hilbert H, i = 1, . . . , N, θ là phần tử không trong H.
Ký hiệu S
i
là tập nghiệm của phương trình thứ i trong hệ (1.4).
Giả thiết rằng S := ∩
N
i=1
S

i
= ∅. Chúng ta nghiên cứu hệ phương trình
toán tử (1.4) trong trường hợp các toán tử A
i
được cho chính xác còn
các vế phải f
i
được cho xấp xỉ bởi f
δ
i
∈ E
∗
thỏa mãn
f
i
− f
δ
i
 ≤ δ, δ → 0, (1.6)
với i = 1, . . . , N.
Bài toán ngược (đã nêu ở phần Mở đầu) là bài toán tìm một đại
lượng vật lý chưa biết x ∈ E từ bộ dữ kiện (f
1
, . . . , f
N
) ∈ (E
∗
)
N
, với E

là không gian Banach trơn đều và lồi đều, và N ≥ 1 (xem [7]). Trong
thực tế, dữ kiện đầu vào thường không được biết chính xác, thay vào
đó ta chỉ biết các xấp xỉ f
δ
i
thỏa mãn (1.6). Bộ hữu hạn dữ kiện này
có được do đo đạc trực tiếp trên các tham số. Bài toán này được miêu
tả bởi hệ phương trình toán tử (1.4).
Chú ý rằng, mỗi phương trình toán tử (1.4), khi không có các điều
kiện đặc biệt đặt lên cho các toán tử A
i
, chẳng hạn tính đơn điệu đều
hoặc đơn điệu mạnh, nói chung, là một bài toán đặt không chỉnh theo
nghĩa nghiệm của bài toán không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban
đầu (A
i
, f
i
). Do đó, hệ phương trình toán tử (1.4), nói chung, cũng là
một bài toán đặt không chỉnh. Để giải bài toán đặt không chỉnh ta
cần sử dụng những phương pháp giải ổn định.
1.3.2 Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu
Trong mục này, ta trình bày phương pháp hiệu chỉnh Browder-
Tikhonov hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không
chỉnh (1.4) trong trường hợp các toán tử A
i
được cho chính xác, còn
vế phải f
i
được cho xấp xỉ bởi f

δ
i
thỏa mãn điều kiện (1.6).
14
Ta xét phương trình hiệu chỉnh phụ thuộc tham số
N

i=1
α
λ
i
(A
i
(x
δ
α
) − f
δ
j
) + αJ(x
δ
α
− x
∗
) = 0,
λ
1
= 0 < λ
i
< λ

i+1
< 1, i = 2, . . . , N − 1.
(1.7)
Giả thiết ánh xạ đối ngẫu tổng quát J thỏa mãn điều kiện
J(x) − J(y), x − y ≥ m
J
||x − y||
2
, ∀x, y ∈ E, (1.8)
trong đó m
J
là hằng số dương.
Bổ đề 1.3. Cho E là không gian Banach phản xạ thực có tính chất
E với không gian đối ngẫu E
∗
là lồi chặt, A
i
: E → E
∗
là toán tử đơn
điệu, bị chặn, hemi-liên tục, J : E → E
∗
là ánh xạ đối ngẫu chuẩn
tắc của E và f
δ
i
∈ E
∗
với mọi δ > 0. Khi đó bài toán (1.7) có duy
nhất nghiệm x

δ
α
với mọi α > 0.
Chứng minh. Vì A
i
là toán tử đơn điệu, bị chặn, hemi-liên tục, do đó
nó là toán tử đơn điệu cực đại. Do E
∗
là lồi chặt nên J là ánh xạ
hemi-liên tục. Do đó,
N

i=1
α
λ
i
A
i
+ αJ là toán tử đơn điệu cực đại. Với
mỗi α > 0 toán tử
N

i=1
α
λ
i
A
i
+ αJ là toán tử bức. Thật vậy
(

N

i=1
α
λ
i
A
i
+ αJ)(x), x = 
N

i=1
α
λ
i
A
i
(x) + αJ(x), x
= 
N

i=1
α
λ
i
A
i
(x) +
N


i=1
α
λ
i
A
i
(θ) −
N

i=1
α
λ
i
A
i
(θ) + αJ(x), x − θ
= 
N

i=1
α
λ
i
A
i
(x) −
N

i=1
α

λ
i
A
i
(θ), x − θ + 
N

i=1
α
λ
i
A
i
(θ), x − θ
+ αJ(x), x − θ.
Vì A
i
là toán tử đơn điệu nên

N

i=1
α
λ
i
A
i
(x) −
N


i=1
α
λ
i
A
i
(θ), x − θ ≥ 0, ∀x ∈ E.
Mặt khác theo định nghĩa ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc ta có
αJ(x), x − θ = αJ(x), x = α||x||
2
.
15
Do đó
(
N

i=1
α
λ
i
A
i
+ αJ)(x), x ≥ α||x||
2
−
N

i=1
α
λ

i
||A
i
(θ)||||x||.
Từ bất đẳng thức này suy ra
(
N

i=1
α
λ
i
A
i
+ αJ)(x), x
||x||
≥
α||x||
2
−
N

i=1
α
λ
i
||A
i
(θ)||||x||
||x||

.
Hay
lim
||x||→+∞
(
N

i=1
α
λ
i
A
i
+ αJ)(x), x
||x||
= +∞.
Do đó, phương trình (1.7) có nghiệm. Gọi x
δ
α
là nghiệm của (1.7).
Bây giờ ta sẽ chỉ ra
N

i=1
α
λ
i
A
i
+ αJ là toán tử đơn điệu mạnh. Thật

vậy, từ tính chất đơn điệu của toán tử A
i
, J và (1.8) ta có
(
N

i=1
α
λ
i
A
i
+ αJ)(x) − (
N

i=1
α
λ
i
A
i
+ αJ)(y), x − y
= 
N

i=1
α
λ
i
A

i
(x) −
N

i=1
α
λ
i
A
i
(y), x − y + αJ(x) − J(y), x − y
≥ αm
J
||x − y||
2
.
Vậy phương trình (1.7) có duy nhất nghiệm.
Nghiệm x
δ
α
thỏa mãn (1.7) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của bài
toán (2.1).
Định lý 1.2. Cho E là không gian Banach phản xạ cùng với không
gian đối ngẫu E
∗
là lồi chặt, A
i
: E → E
∗
là các toán tử ngược đơn

điệu mạnh, hemi-liên tục với i = 1, . . . , N, và J : E → E
∗
là ánh xạ
đối ngẫu chuẩn tắc của E. Giả sử rằng (1.6) và (1.8) thỏa mãn. Khi
đó, nếu
δ
α
→ 0 khi α → 0, (1.9)
thì dãy nghiệm {x
δ
α
} của phương trình (1.7) hội tụ mạnh trong E tới
x
0
∈ S có x
∗
-chuẩn nhỏ nhất.
16
Chứng minh. Lấy x ∈ S, từ (2.1) và (1.7) ta suy ra
N

i=1
α
λ
i
A
i
(x
δ
α

)−f
δ
i
− A
i
(x) + f
i
, x
δ
α
− x
+ αJ(x
δ
α
− x
∗
) − J(x − x
∗
), x
δ
α
− x
= αJ(x − x
∗
), x − x
δ
α
.
Sử dụng (1.8) ta nhận được
αm

J
||x
τ
α
− x||
2
≤
N

i=1
α
λ
i
A
(
x
δ
α
) − A
i
(x)
+ f
i
− f
δ
i
, x − x
δ
α
 + αJ(x − x

∗
), x − x
δ
α
.
(1.10)
Từ (1.6), tính đơn điệu của A
i
và (1.10) suy ra
m
J
||x
δ
α
− x||
2
≤
1
α
Nδ||x − x
δ
α
||
+ J(x − x
∗
), x − x
δ
α
.
(1.11)

Từ (1.9) và (1.11) ta suy ra dãy {x
δ
α
} bị chặn. Do đó, tồn tại một dãy
con {x
ν
β
} của {x
δ
α
}, β ⊂ α và ν = δ

⊂ δ, hội tụ yếu tới một phần tử
ˆx ∈ E. Ta cũng có
ν
β
→ 0 khi α → 0.
Trước hết, ta chứng minh rằng ˆx ∈ S
1
. Thật vậy, với x ∈ E, sử dụng
tính đơn điệu của A
i
, J và từ (1.7) ta có
A
1
(x) − f
δ

1
, x − x

ν
β
≥ A
1
(x
ν
β
) − f
δ

1
, x − x
ν
β

=
N

i=2
β
λ
i
A
i
(x
ν
β
) − f
δ


i
, x
ν
β
− x
+ βJ(x
ν
β
− x
∗
), x
ν
β
− x
≥
N

i=2
β
λ
i
A
h

i
(x) − f
δ

i
, x

ν
β
− x
+ βJ(x − x
∗
), x
ν
β
− x.
Cho α → 0, β → 0 và ν → 0, từ bất đẳng thức cuối và (1.6), ta được
A
1
(x) − f
1
, x − ˆx ≥ 0, ∀x ∈ E.
17
Suy ra ˆx ∈ S
1
.
Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng ˆx ∈ S
i
, i = 2, . . . , N. Thật vậy, từ
(1.7) và sử dụng tính đơn điệu của A
i
, ta suy ra
A
2
(x
ν
β

) − f
δ

2
, x
ν
β
− x +
N

i=3
β
λ
i
−λ
2
A
i
(x
ν
β
) − f
δ

i
, x
ν
β
− x
+ β

1−λ
2
J(x
ν
β
− x
∗
), x
ν
β
− x
=
1
β
λ
2
A
1
(x
ν
β
) − A
1
(x)
+ f
1
− f
δ

1

, x − x
ν
β

≤
β
1−λ
2
β
δ

||x − x
ν
β
||, ∀x ∈ S
1
.
Do đó,
A
2
(x) − f
δ

2
, x
ν
β
− x +
N


i=3
β
λ
i
−λ
2
A
i
(x) − f
δ

i
, x
ν
β
− x
+ β
1−λ
2
J(x − x
∗
), x
ν
β
− x
≤
β
1−λ
2
β

δ

||x − x
ν
β
||, ∀x ∈ S
1
.
Cho α → 0, ta được
A
2
(x) − f
2
, ˆx − x ≤ 0, ∀x ∈ S
1
, (1.12)
bất đẳng thức này tương đương với
A
2
(ˆx) − f
2
, ˆx − x ≤ 0, ∀x ∈ S
1
. (1.13)
Giả sử ˜x là một phần tử thuộc S
1
∩ S
2
. Khi đó từ (1.13) ta có
0 = A

2
(˜x) − f
2
, ˜x − ˆx ≥ A
2
(ˆx) − f
2
, ˜x − ˆx ≥ 0.
Suy ra
A
2
(ˆx) − f
2
, ˜x − ˆx = 0 = A
2
(˜x) − f
2
, ˜x − ˆx.
Nghĩa là, A
2
(˜x) − A
2
(ˆx), ˜x − ˆx = 0. Sử dụng tính ngược đơn điệu
mạnh của A
2
, ta có
0 = A
2
(˜x) − A
2

(ˆx), ˜x − ˆx ≥ m
A
2
||A
2
(˜x) − A
2
(ˆx)||
2
≥ 0.
18
Vì vậy, A
2
(ˆx) − f
2
= A
2
(˜x) − f
2
= 0. Do đó ˆx ∈ S
2
.
Đặt
˜
S
j
=
j

k=1

S
k
. Ta có
˜
S
j
là một tập lồi đóng, và
˜
S
j
= ∅. Bây giờ,
giả sử rằng ˆx ∈
˜
S
j
, ta cần chỉ ra rằng ˆx cũng thuộc S
j+1
. Từ (1.7), với
x ∈
˜
S
j
, ta có thể viết
A
j+1
(x
ν
β
) − f
δ


j+1
, x
ν
β
− x +
N

i=j+2
β
λ
i
−λ
j+1
A
i
(x
ν
β
) − f
δ

i
, x
ν
β
− x
+ β
1−λ
j+1

J(x
ν
β
− x
∗
), x
ν
β
− x
=
j

k=1
β
λ
k
−λ
j+1
A
k
(x
ν
β
) − f
δ

k
, x − x
ν
β


≤
1
β
i

k=1
β
λ
k+1
−λ
i+1
A
k
(x) − f
k
+ f
k
− f
δ

k
, x − x
ν
β

≤
1
β
Nδ


||x − x
ν
β
||.
Cho α → 0 ta được
A
j+1
(ˆx) − f
j+1
, ˆx − x ≤ 0, ∀x ∈
˜
S
j
.
Chứng minh tương tự như trên, ta được ˆx ∈ S
j+1
, điều đó có nghĩa
ˆx ∈ S.
Mặt khác, từ (1.11) ta suy ra
J(x − x
∗
), x − ˆx ≥ 0, ∀x ∈ S.
Vì S
j
là tập lồi đóng trong X, suy ra S cũng là tập lồi đóng trong X.
Thay x bởi tˆx + (1 − t)x, t ∈ (0, 1) trong bất đẳng thức cuối, chia cả
hai vế cho (1 − t) và cho t → 1 ta được
J(ˆx − x
∗

), x − ˆx ≥ 0, ∀x ∈ S.
Suy ra ||ˆx − x
∗
|| ≤ ||x − x
∗
||, với mọi x ∈ S. Vì tính lồi và đóng của
S, tính lồi chặt của X ta kết luận ˆx = x
0
. Vì vậy, dãy {x
τ
α
} hội tụ
yếu tới x
0
. Từ (1.11) ta suy ra {x
τ
α
} hội tụ mạnh tới x
0
. Định lý được
chứng minh xong.
19
Trong Chương 2 chúng ta sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnh lặp
và một phương pháp lặp hiện giải hệ phương trình toán tử đơn điệu
đặt không chỉnh (1.4).
20
Chương 2
Phương pháp hiệu chỉnh lặp giải
hệ phương trình toán tử đơn điệu
Chương này trình bày phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không giải

hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh đã được đề cập ở
Chương 1:
A
i
(x) = f
i
, i = 1, . . . , N,
với A
i
: D(A
i
) ≡ E → E
∗
là các toán tử đơn điệu, hemi-liên tục trên
E, f
i
∈ E
∗
, i = 1, . . . , N. Đặt S
i
= {¯x ∈ E : A
i
(¯x) = f
i
}. Ta có S
i
là
tập con lồi, đóng trong E. Giả sử rằng S =
N


i=0
S
i
= ∅. Ta xét bài toán
sau
Tìm phần tử x
∗
∈ S. (2.1)
Nếu không có thêm giả thiết đặt lên các toán tử A
i
, chẳng hạn tính
đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh thì mỗi phương trình A
i
(x) = f
i
,
nói chung, là một bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa tập nghiệm S
i
không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Do đó, bài toán (2.1)
nói chung, cũng là bài toán đặt không chỉnh.
21
2.1 Phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không trong không gian
Hilbert
Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh lặp
bậc không trong không gian Hilbert thực H giải hệ phương trình toán
tử đặt không chỉnh. Kết quả này được viết từ bài báo [10].
2.1.1 Mô tả phương pháp
Với phần tử z
0
tùy ý của H, dãy lặp {z

n
} được định nghĩa bởi
z
n+1
= z
n
− β
n


N

i=1
α
λ
i
n
(A
i
(z
n
) − f
i
) + α
n
(z
n
− x
∗
)



, (2.2)
trong đó x
∗
là một phần tử thuộc H, {α
n
} và {β
n
} là các dãy số dương.
Ta xét phương trình toán tử sau
N

i=1
α
λ
i
n
(A
i
(x) − f
i
) + α
n
(x − x
∗
) = θ. (2.3)
Định lý 2.1. Cho A
i
: H → H là toán tử đơn điệu, bị chặn, hemi-liên

tục và ngược đơn điệu mạnh. Khi đó
(i) Với mỗi α
n
> 0, bài toán (2.3) có duy nhất nghiệm x
n
;
(ii) Nếu 0 < α
n
≤ 1, α
n
→ 0 khi n → +∞ thì lim
n→+∞
x
n
= x
0
∈ S
có x
∗
-chuẩn nhỏ nhất, nghĩa là
x
0
− x
∗
 = min
u∈S
u − x
∗

và

||x
n+1
− x
n
|| = O
|α
n+1
− α
n
|
α
n
,
trong đó x
n+1
là nghiệm của (2.3) khi α
n
được thay thế bởi α
n+1
.
Chứng minh. (i) Từ tính chất đơn điệu, bị chặn và hemi-liên tục của
toán tử A
i
, suy ra A
i
là toán tử đơn điệu cực đại trên H. Suy ra toán
tử
N

i=1

α
λ
i
n
A
i
+ α
n
I là toán tử đơn điệu cực đại và có tính chất bức.
22