ĐỀ CƯƠNG ôn tập môn TOÁN CAO cấp 3

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (990.23 KB, 12 trang )

Đề cương ôn tập Toán cao cấp 3 – Được phát triển bởi | Chembookstore |

Biên soạn: Cao Văn Tú
1
Website: chembooks.vn

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN CAO CẤP 3

Biên soạn: Cao Văn Tú
Lớp: CNTT_K12D
Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.

Cấu trúc đề thi: Gồm 6 câu
Câu 1: Giải phương trình vi phân tuyến tính.
Câu 2: Giải phương trình vi phân có biến số phân ly.
Câu 3: Giải phương trình vi phân toàn phần.
Câu 4: Giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số biến thiên.
Câu 5: Giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng.
Câu 6: Giải hệ phương trình vi phân.
Thời gian làm bài: 90 phút.

DẠNG 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

A. Lý thuyết, phương pháp giải.
Dạng phương trình:
   
'y p x y q x
(1)
Cách giải:

 Bước 1: Xác định
   
,?p x p x 

 Bước 2: Tính:
( ) x ( ) x
; ; ( ) x.
p x d p x d
A e B e D Aq x d


  


 Bước 3: Kết luận: Nghiệm tổng quát của phương trình là:
 
y B D C

Lưu ý:
 
 
 
ln
ln
fx
fx
e e f x










B. Bài tập ví dụ.
Giải phương trình:
2
. ' arctanx y y x x
(*)
Hướng dẫn: Phương trình (*) tương đương với phương trình
 
' arctan 0
y
y x x x
x
  

+ Ta có:
 
1
; ( ) arctanp x q x x x
x
  
.
+ Tính:
11
xx
( ) x ( ) x

lnx lnx
1
;
1
( ) x . arctan x arctan x
dd
p x d p x d
xx
A e e e B e e e x
x
D Aq x d x x d xd
x
   
  
   


   


       
  
  

Đề cương ôn tập Toán cao cấp 3 – Được phát triển bởi | Chembookstore |

Biên soạn: Cao Văn Tú
2
Website: chembooks.vn

Đặt:
2
2
2
arctan
1
arctan arctan ln 1
1
12
dx
ux
du
x
D x x dx x x x
x
dv dx
x
vx





      










.
+ Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:
2
1
arctan ln1
2
y x x x x C

   


.

DẠNG 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ BIẾN SỐ PHÂN LY

A. Lý thuyết, phương pháp giải.
Dạng phương trình:
( ) ( ) xf y dy f x d

Cách giải:
Lấy tích phân 2 vế ta được:
( ) ( ) xf y dy f x d


B. Bài tập ví dụ.

Giải phương trình:
2
1
'1y
y


Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với
2 2 2
2
2 2 2 2
2
2
22
1 1 1
1 x x x
1
x1
1
x 1 arctan
11
dy y y dy y dy
dy d d d
y
d y y y y
y
y dy
d C dy x C y y x C
yy


        



          



  

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
arctany y x C  
.

DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN

A. Lý thuyết, phương pháp giải.
Dạng phương trình:
   
, x , 0P x y d Q x y dy

Cách giải:
+ Bước 1: Xác định
   
, ; , ? ' ' ?
yx
P x y Q x y P Q    
phương trình đã cho là
phương trình vi phân toàn phần.
+Bước 2: Chọn

00
?; ?xy
thuộc tập xác định của
   
, ; ,P x y Q x y
. Khi đó tích phân
tổng quát của phương trình là:
       
0 0 0 0
00
, x , , x ,
yy
xx
x y x y
P x y d Q x y dy C hay P x y d Q x y dy C   
   

B. Bài tập ví dụ.
Giải phương trình:
 
4 3 2 2
lnx 2x x 3x 0x y d y dy  

Hướng dẫn:
Ta có:
Đề cương ôn tập Toán cao cấp 3 – Được phát triển bởi | Chembookstore |

Biên soạn: Cao Văn Tú
3

Website: chembooks.vn

 
 
4 3 2
2 2 2
2
, ln x 2x ' 6x ;
, 3x ' 6x
' ' 6x
y
x
yx
P x y x y P y
Q x y y Q y
P Q y
   
  
  

Suy ra phương trình đã cho là phương trình vi phân toàn phần.
Chọn
00
1; 0xy
. Khi đó tích phân tổng quát của phương trình là:
 
4 3 2 2
10
lnx 2x x 3 3x

y
x
x y d y dy C  

(1) . Xét:
 
4
1
1
ln x
x
I x x d


Đặt:
3
x
4
3
32
1
1
1
4x
1
. 4 x
1
33
lnxd
x

du
ux
x
Suy ra I x x d
dv x
v
x





     








Vậy
   
3
2 2 3 2 3 3 2 3
0
0
1 1 1
(1) 3 1 1
3 3 3 3

y
y
x
x y dy C x x y C x x y C              

.

DẠNG 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ BIẾN THIÊN

A. Lý thuyết, phương pháp giải.
Dạng phương trình:
12
" ( ) ' ( ) ( )y p x y p x y f x  

Cách giải:
+ Bước 1: Xác định
1
( ); ( ) ?p x f x 

+ Bước 2: Tính:
1
( ) x
21
2
1
?; x ?
p x d
A
A e y y d
y



   


+ Bước 3: Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:
1 1 2 2
y C y C y

+ Bước 4: Ta tìm nghiệm riêng y* của phương trình không thuần nhất có dạng:
   
1 1 2 2
*y C x y C x y
trong đó
12
,CC
là các số thỏa mãn:
 
 
 
 
11
11
1 1 2 2
1 1 2 2
22
22
x
'
' ' 0

*?
' ' ' ' ( )
'
x
C x d
Cx
C y C y
y
C y C y f x
Cx
C x d











   
  












+ Bước 5: Kết luận. Nghiệm của phương trình đã cho là:
*y y y

B. Bài tập ví dụ.
Giải phương trình:
23
x y"-2y = x cosx
biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân
thuần nhất tương ứng là y
1
= x
2
.
Hướng dẫn:
Ta có:
1
( ) 0; ( ) cosp x f x x x
.
Tính:
1
( ) x
0 2 2
21
2 4 3
1

x 1 1
1; x
3x 3x
p x d
Ad
A e e y y d x x
yx



        



.
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:
2
12
1
3x
y C x C

  



Đề cương ôn tập Toán cao cấp 3 – Được phát triển bởi | Chembookstore |

Biên soạn: Cao Văn Tú

4
Website: chembooks.vn

Ta tìm nghiệm riêng y* của phương trình không thuần nhất có dạng:

   
2
12
1
*
3x
y C x x C x

  


. Trong đó
12
,CC
là các số thỏa mãn:
2
12
1
1
3
3
2
2
12

2
1
32
2
1
1
' ' 0
1
cos x
' cos
3x
3
3
1
cos x
' cos
'.2x ' cos
3x
sin
3
sin 3 cos 6 sin 6cos
C x C
C xd
Cx
C x xd
C x x
C C x x
x
C
C x x x x x x x




  





    

  

  















   





2
* cos 2sin cosy x x x x
x
    
.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
2
12
12
* cos 2sin cos
3x
y y y C x C x x x x
x

       


.
DẠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG

A. Lý thuyết, phương pháp giải.
Dạng phương trình:
12
" ' ( )y a y a y f x  

Các giải:

PTĐT:
2
12
0k ak a  

+ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
12
1
12
2
k x k x
kk
y C e C e
kk


  



.
+ Phương trình có 2 nghiệm phức:
 
12
; ?; cos sin
ax
k a bi
a b y C bx C bx e
k a bi



    



.
+ Phương trình có nghiệm kép:
 
1 2 1 2
kx
k k k y C xC e    
.
 Trường hợp 1:
( ) ( ).
x
m
f x P x e



Xác định:
?; ( ) ?
m
Px


bậc bằng m.
()
m
Px

bậc 0
()
m
Q x A

()
m
Px
bậc 1
()
m
Q x Ax B  

()
m
Px
bậc 2
2
()
m
Q x Ax Bx C   



không là nghiệm của phương trình đặc trưng
* . ( )
x
m
y e Q x



. Đồng nhất
hai vế suy ra nghiệm cần tìm.


là nghiệm của phương trình đặc trưng
* . . ( )
Sx
m
y x e Q x


. Đồng nhất hai
vế suy ra nghiệm cần tìm.
(Với

là nghiệm đơn
1S
;

là nghiệm kép
2S
)

Đề cương ôn tập Toán cao cấp 3 – Được phát triển bởi | Chembookstore |

Biên soạn: Cao Văn Tú
5
Website: chembooks.vn

 Trường hợp 2:
 
( ) . ( )cos ( )sin
x
mm
f x e P x x Q x x




Xác định:
?; ?;



( ) ?
m
Px
có bậc m
( ) ?
m
Qx
có bậc n
Suy ra
 
max ,S m n
.


0 ( ) ; ( )
SS
S H x A R x B   


1 ( ) ; ( )
SS
S H x Ax B R x Cx D     

-
i


không là nghiệm của phương trình đặc trưng :
 
* . ( )cos ( )sin
x
SS
y e H x x R x x




-
i


là nghiệm của phương trình đặc trưng:
 
* . . ( )cos ( )sin

x
SS
y xe H x x R x x




Lưu ý: Nếu
i


là nghiệm bội h (h = 1là nghiệm đơn) của phương trình đặc trưng, ta tìm
y* có dạng:
 
* . . ( )cos ( )sin
hx
SS
y x e H x x R x x




B. Bài tập ví dụ.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
5x
" 10 ' 25 4.y y y e

  

Hướng dẫn:

PTĐT:
2
12
10 25 0 5k k k k      

Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:
5x
12
()y C xC e



Ta có:
5x
( ) 4. ; 5f x e


  

( ) 4
m
Px
bậc 0
()
m
Q x A

5



là nghiệm kép của phương trình đặc trưng ta tìm y* có dạng:
2 5x
*y x e A



Tính:
 
 
2 5x 5x 2 5x
* ' ' 2 . 5y x e A Axe Ax e
  
  

 
 
5x 2 5x 5x 5x 5x 2 5x
* " 2 . 5 ' 2 10 10 25y Axe Ax e Ae Axe Axe Ax e
     
     

Thay
   
*, * ', * "y y y
vào phương trình đã cho. Từ đó suy ra được A = 2.
Suy ra:
2 5x
* 2xye




Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
5x 2 5x
12
* ( ) 2xy y y C xC e e

    
.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
" cosy y x x

Hướng dẫn:
PTĐT:
2
0 0; 1
ki
k k a b
ki


     




Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:
 
12

cos siny C x C x

Ta có:
 
0
( ) cos cos 0sin ; 0; 1.
x
f x x x e x x x

    

Đề cương ôn tập Toán cao cấp 3 – Được phát triển bởi | Chembookstore |

Biên soạn: Cao Văn Tú
6
Website: chembooks.vn

()
m
P x x
bậc 1;
( ) 0
m
Qx
bậc 0. Suy ra
()
1
()

S
S
H x Ax B
S
R x Cx D






.
Suy ra
i


= i là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng.
 
0
* . cos ( )sin
x
y xe Ax B x Cx D x    



   
 
'
0
22

* ' . cos ( )sin
(2 )cos ( )sin (2 )sin ( )cos
x
y xe Ax B x Cx D x
A B x Ax Bx x Cx D x Cx Dx x
    


       

 
2
2
* " 2 cos (2 )sin (2 )sin ( )cos
2 sin (2 )cos (2 )cos ( )sin
y A x Ax B x Ax B x Ax Bx x
C x Cx D x Cx D x Cx Dx x
       
      

Thay
   
*, * ', * "y y y
vào phương trình đã cho.
Đồng nhất 2 vế phương trình ta được hệ phương trình:
41
0
2A 2D 0
1
4A 0

4
0
2 2 0
C
A
BC
D
BC








  





  



2
11
* cos sin
44

y x x x x  
.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
 
2
12
11
* cos sin cos sin
44
y y y C x C x x x x x     
.
DẠNG 6: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

A. Lý thuyết, phương pháp giải.
Dạng hệ phương trình:
 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
xd
a x a y a z
dt
dy
a x a y a z I
dt
dz
a x a y a z
dt

  




  



  



Cách giải:
+ Bước 1: Giải phương trình đặc trưng:
11 12 13
1
21 22 23 2
3
31 32 33
0
a k a a
kk
a a k a k k
kk
a a a k




   







+ Bước 2: Tìm các giá trị
1 2 3
( , , )p p p
tương ứng.
 Với
1
kk
ta có hệ phương trình:
Đề cương ôn tập Toán cao cấp 3 – Được phát triển bởi | Chembookstore |

Biên soạn: Cao Văn Tú
7
Website: chembooks.vn

 
 
 
 
11 1 1 12 2 13 3
21 1 22 1 2 23 3 1 2 3 1 2 3
31 1 32 2 33 1 3
0
0 ( , , ) , ,

0
a k p a p a p
a p a k p a p p p p a a a
a p a p a k p
   


     


   


 Với
2
kk
ta có hệ phương trình:
 
 
 
 
11 2 1 12 2 13 3
21 1 22 2 2 23 3 1 2 3 1 2 3
31 1 32 2 33 2 3
0
0 ( , , ) , ,
0
a k p a p a p
a p a k p a p p p p b b b
a p a p a k p

   


     


   


 Với
3
kk
ta có hệ phương trình:
 
 
 
 
11 3 1 12 2 13 3
21 1 22 3 2 23 3 1 2 3 1 2 3
31 1 32 2 33 3 3
0
0 ( , , ) , ,
0
a k p a p a p
a p a k p a p p p p d d d
a p a p a k p
   


     



   


+ Bước 3: Bảng nghiệm cơ bản:

k
1 2 3
( , , )p p p

x
y
z
1
kk

 
1 2 3
,,b b b

1
1
kt
ae

1
2
kt
ae

1
3
kt
ae

2
kk

 
1 2 3
,,b b b

2
1
kt
be

2
2
kt
be

2
3
kt
be

3
kk

 
1 2 3
,,d d d

3
1
kt
de

3
2
kt
de

3
3
kt
de

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
3
12
3
12
3
12
1 1 2 1 3 1
1 2 2 2 3 2

1 3 2 3 3 3
kt
k t k t
kt
k t k t
kt
k t k t
x C a e C be C d e
y C a e C b e C d e
z C a e C b e C d e

  

  


  


B. Bài tập ví dụ.
Giải hệ phương trình:
x
2x
2
2z
d
yz
dt
dy
x y z

dt
dz
xy
dt

  



  







Hướng dẫn giải:
Phương trình đặc trưng:
32
2 1 1 1
1 2 1 0 6 11 6 0 3
1 1 2 2
kk
k k k k k
kk
  


         



  

.
+ Với k = 2 ta có hệ:
1 2 3
23
1 2 3
13
1 2 3
00
00
00
p p p
pp
p p p
pp
p p p
  




   




  


. Chọn
 
3 1 2 3
1 ( , , ) 1,1,1p p p p  
.
Đề cương ôn tập Toán cao cấp 3 – Được phát triển bởi | Chembookstore |

Biên soạn: Cao Văn Tú
8
Website: chembooks.vn

+ Với k = 1 ta có hệ :
1 2 3
21
1 2 3
1 2 3 2 3
1 2 3
0
2 0 0
0
0
0
p p p
pp
p p p
p p p p p
p p p

  




    

   


  

.
Chọn
 
2 1 2 3
1 ( , , ) 0,1,1p p p p  
.
+ Với k = 3 ta có hệ:
1 2 3
22
1 2 3
1 2 3 1 3
1 2 3
0
2 0 0
0
0
0
p p p

pp
p p p
p p p p p
p p p
   

  


    
  
   


  

.
Chọn
 
3 1 2 3
1 ( , , ) 1, 0,1p p p p  

+ Bảng nghiệm cơ bản:
k
1 2 3
( , , )p p p

x
y
z

2k 

 
1,1,1

2t
e

2t
e

2t
e

1k 

 
0,1,1

0
t
e

t
e

3k 

 
1, 0,1

3t
e

0
3t
e

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
23
13
2
12
23
1 2 3
tt
tt
t t t
x C e C e
y C e C e
z Ce C e C e






  

.

Đề cương ôn tập Toán cao cấp 3 – Được phát triển bởi | Chembookstore |

Biên soạn: Cao Văn Tú
9
Website: chembooks.vn

MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ THEO CẤU TRÚC ĐỀ TRÊN

ĐỀ 01

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CNTT&TT

Mã đề thi: 256
Đề thi gồm có 6 câu
ĐỀ THI HẾT HỌC PHẦN
Môn: PHUONG TRINH VI PHAN Hệ: DHCQ
Thời gian làm bài 90 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1:
Giải phương trình vi phân:
2
'cos 1y x y

Câu 2:
Giải phương trình vi phân:
dx + (x + 1) dy = 0xy

Câu 3:
Giải phương trình vi phân:
   
2 3 2
3x x 2 3x .y d y y dy  

Câu 4:
Giải phương trình
2x

2
"'
e
y y y
xx
  
, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất
tương ứng là
x
1
e
y
x


Câu 5:
Giải phương trình:
" 5 ' 6 13sin3xy y y  

Câu 6:
Giải hệ phương trình vi phân sau:
x
5x+4 6
2
2 2 z
d
yz
dt
dy
xy

dt
dz
xy
dt









  



Hết
Thí sinh KHÔNG được sử dụng tài liệu, không ghi vào đề thi
CB coi thi không giải thích gì thêm và nộp lại đề thi cho phòng chức năng theo qui chế của Bộ

Đề cương ôn tập Toán cao cấp 3 – Được phát triển bởi | Chembookstore |

Biên soạn: Cao Văn Tú
10
Website: chembooks.vn

ĐỀ 02

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CNTT&TT

Mã đề thi: 124
Đề thi gồm có 6 câu
ĐỀ THI HẾT HỌC PHẦN
Môn: PHUONG TRINH VI PHAN Hệ: DHCQ
Thời gian làm bài 90 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1:
Giải phương trình vi phân:
 
2
x d 0x y d x y  

Câu 2:
Giải phương trình vi phân:
 
 
2
2
2x 1
x

11
dy x
d
xx




Câu 3:
Giải phương trình vi phân:
 
2
2 2x x 2e d 0
xx
e y d y y   

Câu 4:
Giải phương trình
222
2x 2 1
"'
111
y y y
xxx
  

, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân
thuần nhất tương ứng là
1
.yx

Câu 5:
Giải phương trình:
5x
" 10 ' 25 4ey y y

  
.
Câu 6:
Giải hệ phương trình vi phân sau:
x
3x+
5
3z
d
yz
dt
dy
x y z
dt
dz
xy
dt





  




  



Hết
Thí sinh KHÔNG được sử dụng tài liệu, không ghi vào đề thi
CB coi thi không giải thích gì thêm và nộp lại đề thi cho phòng chức năng theo qui chế của Bộ

Đề cương ôn tập Toán cao cấp 3 – Được phát triển bởi | Chembookstore |

Biên soạn: Cao Văn Tú
11
Website: chembooks.vn

BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

CÔNG THỨC CƠ BẢN
CÔNG THỨC MỞ RỘNG

 Cxdx

C
x
dxx 




1
1





 Cx
x
dx
ln

 
C
n
bax
a
dxbax

n
n






1
1
)(
1


 Cedxe
xx


 C
a
a
dxa
x
x
ln


 Cxdxx sin.cos
;


 Cnx
n
dxnx sin
1
).(cos


 Cxdxx cos.sin
;

 Cnx
n
dxnx cos
1
.sin
 
 Ctgxxtgdx
x
)1(
cos
1
2
2

 
 Cgxgxdx
x
cot)cot1(
sin
1

2
2

C
a
x
xa
dx



arcsin
22




C
a
x
a
xa
dx
arctan
1
22


 Cudu

C
u
duu 




1
1







Cbax
a
dx
bax
ln
1
)(
1

C
un
dxudx
u
n

n
n





 
1
).1(
11




Ce
a
dxe
baxbax
1
;
C
u
a
dua
u
u


ln


 Cbax
a
dxbax )cos(
1
)sin(

 Cbax
a
dxbax )sin(
1
)cos(

 
 Cu
u
du
dx
u
u
ln
'
;

 Cudx
u
u
2
'

;

 C
u
dx
u
u 1'
2







C
xa
xa
a
xa
dx
ln
2
1
22




Caxx

ax
dx
2
2
ln

Đề cương ôn tập Toán cao cấp 3 – Được phát triển bởi | Chembookstore |

Biên soạn: Cao Văn Tú
12
Website: chembooks.vn

BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CƠ BẢN

Hàm sơ cấp
Hàm số hợp u = u(x)
   
''
0 ; 1Cx