Nguyên hàm và tích phân ôn thi ĐH
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (228.11 KB, 23 trang )
TÍCH PHÂN
Bảng công thức tích phân bất định :
∫
= Cdx0
∫
+= Cxdx
1
1
1
−≠+
+
=
∫
+
nC
n
x
dxx
n
n
Cxdx
x
+=
∫
ln
1
∫
+= Cedxe
xx
∫
= C
a
a
dxa
x
x
ln
∫
+−= Cxxdx cossin
∫
+= Cxxdx sincos
∫
+= Cxdx
x
tan
cos
1
2
∫
+−= Cxdx
x
cot
sin
1
2
∫
+=
′
Cxudx
xu
xu
)(ln
)(
)(
∫
+
+
−
=
−
C
ax
ax
a
dx
ax
ln
2
11
22
∫
+++++=+ Caxx
a
ax
x
dxax
222
ln
22
Phương pháp biến số phụ :
Cho hàm số
)(xf
liên tục trên đoạn
[ ]
ba;
có nguyên hàm là
)(xF
.
Giả sử
)(xu
là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn
[ ]
βα
,
và có miền giá trị là
[ ]
ba;
thì ta có :
[ ] [ ]
CxuxFdxxuxuf +=
∫
)()()('.)(
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
a)
∫
+
=
1
0
2
1
1x
xdx
I
b)
∫
−
=
1
0
2
1
x
x
e
dxe
I
c)
∫
+
=
e
x
dxx
I
1
3
ln1
Bài làm :
a) Đặt
2
21
2
dt
xdxxdxdtxt =⇒=⇒+=
Đổi cận :
=→=
=→=
21
10
tx
tx
Vậy :
2ln
2
1
ln
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
===
+
=
∫ ∫
t
t
dt
x
xdx
I
b) Đặt
dxedtet
xx
=⇒−= 1
Đổi cận :
−=→=
−=→=
12
11
2
etx
etx
Vậy :
)1ln(ln
1
1
1
1
1
1
0
2
2
2
+===
−
=
−
−
−
−
∫∫
et
t
dt
e
dxe
I
e
e
e
e
x
x
c) Đặt
dx
x
tdtxt
1
ln1 =⇒+=
Đổi cận :
=→=
=→=
2
11
tex
tx
Tích phân lượng giác :
Dạng 1 :
∫
=
β
α
nxdxmxI cos.sin
Cách làm: biến đổi tích sang tổng .
Dạng 2 :
∫
=
β
α
dxxxI
nm
.cos.sin
Cách làm :
Nếu
nm,
chẵn . Đặt
xt tan=
Nếu
m
chẵn
n
lẻ . Đặt
xt sin=
(trường hợp còn lại thì ngược lại)
Dạng 3 :
∫
++
=
β
α
cxbxa
dx
I
cos.sin.
Cách làm :
Đặt :
+
−
=
+
=
⇒=
2
2
2
1
1
cos
1
2
sin
2
tan
t
t
x
t
t
x
x
t
Dạng 4 :
∫
+
+
=
β
α
dx
xdxc
xbxa
I .
cos.sin.
cos.sin.
Cách làm :
Đặt :
xdxc
xdxcB
A
xdxc
xbxa
cos.sin.
)sin.cos.(
cos.sin.
cos.sin.
+
−
+=
+
+
Sau đó dùng đồng nhất thức .
Dạng 5:
∫
++
++
=
β
α
dx
nxdxc
mxbxa
I .
cos.sin.
cos.sin.
Cách làm :
Đặt :
nxdxc
C
nxdxc
xdxcB
A
nxdxc
mxbxa
++
+
++
−
+=
++
++
cos.sin.cos.sin.
)sin.cos.(
cos.sin.
cos.sin.
Sau đó dùng đồng nhất thức.
BÀI TẬP
Tính tích phân :
a)
∫
+
=
2
0
4
1
)1(sin
cos
π
x
xdx
I
b)
∫
=
2
0
5
2
cos
π
xdxI
c)
∫
=
4
0
6
3
tan
π
xdxI
Bài làm :
a) Đặt :
xdxdtxt cos1sin =⇒+=
Đổi cận :
=→=
=→=
2
2
10
tx
tx
π
)122(
3
2
3
2ln1
2
1
2
1
2
3
1
3
−===
+
=
∫∫
tdtt
x
dxx
I
e
Vậy :
24
7
3
1
)1(sin
cos
2
1
3
2
1
4
2
0
4
1
=−==
+
=
∫∫
tt
dt
x
xdx
I
π
b) Đặt :
xdxdtxt cossin =⇒=
Đổi cận :
=→=
=→=
1
2
00
tx
tx
π
Vậy :
( ) ( )
15
8
3
2
5
211cos
1
0
1
0
3
5
1
0
1
0
24
2
2
2
0
5
2
=
+−=
−+=−==
∫
∫ ∫∫
tt
t
dtttdttxdxI
π
c) Đặt :
dxxdtxt )1(tantan
2
+=⇒=
Đổi cận :
=→=
=→=
1
4
00
tx
tx
π
Vậy :
415
13
35
1
1
1
1
tan
4
0
1
0
35
1
0
1
0
2
24
2
6
4
0
6
3
π
π
π
−=−
+−=
+
−+−=
+
==
∫
∫ ∫∫
dut
tt
dt
t
tt
t
dtt
xdxI
Tính các tích phân sau :
a)
∫
+
=
2
0
2222
1
cos.sin.
cos.sin
π
dx
xbxa
xx
I
b)
∫
+
=
3
0
2
2cos2
cos
π
dx
x
x
I
Bài làm :
a) Đặt :
xdxxabdtxbxat cos.sin)(2cos.sin.
222222
+−=⇒+=
Đổi cận :
=→=
=→=
2
2
2
0
btx
atx
π
Nếu
ba ≠
Vậy :
( )
ba
ab
ba
t
ab
t
dt
ab
dx
xbxa
xx
I
b
a
b
a
+
=
−
−
=
−
=
−
=
+
=
∫ ∫
11
2
1
cos.sin.
cos.sin
2222
2
0
22
22
1
2
2
2
2
π
Nếu
ba =
Vậy :
a
x
a
xdx
a
a
xdxx
dx
xbxa
xx
I
2
1
2cos
4
1
2sin
2
1
cos.sin
cos.sin.
cos.sin
2
0
2
0
2
0
2
0
2222
1
=−==
=
+
=
∫
∫∫
π
π
ππ
b) Đặt :
xdxdtxt cossin =⇒=
Đổi cận :
=→=
=→=
2
3
3
00
tx
tx
π
Vậy :
∫∫∫
−
=
−
=
+
=
2
3
0
2
2
3
0
2
3
0
2
2
32
1
23
2cos2
cos
t
dt
t
dt
dx
x
x
I
π
Đặt :
ududtut sin
2
3
cos
2
3
−=⇒=
Đổi cận :
=→=
=→=
42
3
2
0
π
π
ut
ut
Vậy :
( )
242
1
2
1
cos1
2
3
sin
2
3
2
1
2
32
1
2
4
4
4
2
4
2
2
3
0
2
2
π
π
π
π
π
π
π
===
−
=
−
=
∫
∫∫
udu
u
udu
t
dt
I
Tính các tích phân sau :
a)
∫
++
=
2
0
1
5cos3sin4
1
π
dx
xx
I
b)
∫
++
++
=
2
0
2
5cos3sin4
6cos7sin
π
dx
xx
xx
I
Bài làm :
a) Đặt :
1
2
1
2
tan
2
tan
2
2
+
=⇒
+=⇒=
t
dt
dxdx
x
dt
x
t
Đổi cận :
=→=
=→=
1
2
00
tx
tx
π
Vậy :
( )
6
1
2
1
1
5
1
1
3
1
2
4
1
2
1
0
1
0
2
1
0
2
2
2
2
1
=
+
−=
+
=
+
+
−
+
+
+
=
∫∫
t
t
dt
dt
t
t
t
t
t
I
b)Đặt :
5cos3sin45cos3sin4
sin3cos4
5cos3sin4
6cos7sin
++
+
++
−
+=
++
++
xx
C
xx
xx
BA
xx
xx
Dùng đồng nhất thức ta được:
1,1,1 === CBA
Vậy :
( )
6
1
8
9
ln
2
5cos3sin4ln
5cos3sin4
1
5cos3sin4
sin3cos4
1
5cos3sin4
6cos7sin
1
2
0
2
0
2
0
2
++=++++=
++
+
++
−
+=
++
++
=
∫∫
π
π
ππ
Ixxx
dx
xxxx
xx
dx
xx
xx
I
Bạn đọc tự làm :
a)
∫
=
2
6
2
3
1
sin
cos
π
π
dx
x
x
I
b)
∫
=
2
0
3
2
sin.cos
π
xdxxI
c)
∫
+
=
2
0
3
2sin
π
x
dx
I
c)
∫
+
=
2
0
3
3
1cos
sin4
π
dx
x
x
I
d)
∫
++
=
2
0
5
3cos2sin
1
π
dx
xx
I
d)
∫
++
+−
=
2
0
6
3cos2sin
1cossin
π
dx
xx
xx
I
Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ
Dạng 1 :
( ) ( )
C
ax
n
ax
dx
I
nn
+
−
−
−=
−
=
−
∫
1
1
.
1
1
với
( ) { }( )
1,0, −×∈ NCna
ta có :
Nếu
Ran ∈= ,1
ta có :
Cx
ax
dx
I +=
−
=
∫
ln
Dạng 2 :
( )
∫
++
+
= dx
cbxax
x
I
n
2
βα
trong đó :
<−=∆
∈
04
,,,,
2
acb
Rcba
βα
* Giai đoạn 1 :
0≠
α
,làm xuất hiện ở tử thức đạo hàm của tam thức
cbxax ++
2
, sai khác một số
( ) ( ) ( )
∫∫∫
++
−+
++
+
=
++
−++
=
nnn
cbxax
dx
b
a
a
dx
cbxax
bax
a
dx
cbxax
b
a
bax
a
I
222
2
2
2
2
2
2
2
α
βαα
α
β
α
* Giai đoạn 2 :
Tính
( ) ( )
∫∫
∆−
+
=
+
∆−
∆−
=
++
=
bax
t
n
n
n
t
dt
a
a
dx
cbxax
dx
I
2
22
1
2
.
4
* Giai đoạn 3 :
Tính
( )
∫
+
= dt
t
I
n
1
1
2
có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc đặt
φ
tan=t
Dạng 3 :
( )
( )
∫
= dx
xQ
xP
I
n
m
Ta có :
( )
( )
01
01
bxbxb
axaxa
xQ
xP
n
n
m
m
n
m
+++
+++
=
Nếu :
( ) ( )
QP degdeg ≥
thì ta thực hiện phép chia
( )
( )
( )
( )
( )
( )
xQ
xR
xA
xQ
xP
n
r
nm
n
m
+=
−
trong đó phân số
( )
( )
xQ
xR
n
r
có
( ) ( )
QR degdeg <
Nếu :
( ) ( )
QP degdeg <
ta có các qui tắc sau :
*Qt 1:
( )
( )
( )
( ) ( )
n
n
n
n
n
xm
ax
A
ax
A
ax
A
ax
P
−
+
−
++
−
=
−
−
−
1
11
Vdụ 1a :
( )
( )
( )
∑
∏
=
=
−
=
−
n
i
i
i
i
n
i
i
i
m
ax
A
ax
xP
1
1
Vdụ 1b :
( )
( )
2
2
))()((
cx
D
cx
C
bx
B
ax
A
cxbxax
xP
m
−
+
−
+
−
+
−
=
−−−
*Qt 2':
( )
( )
( )
( ) ( )
n
nn
n
nn
n
m
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
xP
++
+
+
++
+
++
++
+
=
++
−
−−
2
1
2
11
2
11
2
với
0
<∆
*Qt 3:
( )
( )
( )
( )
( )
∑ ∑
= =
++
+
+
−
=
++−
m
i
n
k
i
i
i
i
n
m
t
cbxax
BxA
x
A
cbxaxx
xP
1 1
2
1
2
α
α
Vdụ 1 :
( )
( ) ( )
cbxax
CBx
x
A
cbxaxx
xP
t
++
+
+
−
=
++−
22
)(
αα
Vdụ 2 :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
22
2
11
2
2
cbxax
CxB
cbxax
CxB
x
A
cbxaxx
xP
t
++
+
+
++
+
+
−
=
++−
α
α
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
a)
∫
++
=
1
0
2
1
23xx
dx
I
b)
( )
∫
++
=
1
0
2
2
2
23xx
dx
I
Bài làm :
a)
( )( )
∫∫∫
+
−
+
=
++
=
++
=
1
0
1
0
1
0
2
1
2
1
1
1
21
23
dx
xxxx
dx
xx
dx
I
b)
( )
( ) ( )
( )( )
dx
xx
xx
dx
xx
dx
I
∫∫
++
−
+
+
+
=
++
=
1
0
22
1
0
2
2
2
21
2
2
1
1
1
23
( )
OKxx
xx
=
+−+−
+
−
+
−=
1
0
2ln1ln2
2
1
1
1
Tính các tích phân sau :
a)
∫
++
=
1
0
24
1
33xx
dx
I
b)
( )
( )
∫
++
−
=
1
0
2
2
21
24
dx
xx
x
I
Bài làm :
a)* Bạn đọc dễ dàng chứng minh được
∫
+=
+
= C
a
x
aax
dx
I arctan
1
22
0
với
0
>
a
[ ]
3
4
ln2ln1ln
1
0
=+−+=
xx
( )( )
dx
xxxx
dx
xx
dx
I
∫ ∫∫
+
−
+
=
++
=
++
=
1
0
1
0
2222
1
0
24
1
3
1
1
1
2
1
3133
( )
329
2
3
arctan
3
1
arctan
2
1
1
0
−=
−=
π
x
x
b) Đặt :
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
12
22
1
2
12
24
2
2
22
++
+++++
=
+
+
+
+
=
++
−
xx
ACCBxBAx
x
CBx
x
A
xx
x
Do đó ta có hệ :
=
=
−=
⇔
=+
=+
=+
0
2
2
02
42
0
C
B
A
AC
CB
BA
Vậy :
( )
( )
∫ ∫
+
+
+
−=
++
−
=
1
0
1
0
2
2
2
1
2
2
2
21
24
dx
x
x
x
dx
xx
x
I
[ ]
9
4
ln1ln2ln2ln3ln21ln2ln2
1
0
2
=−++−=+++−= xx
Bạn đọc tự làm :
a)
( )
∫
−
+
=
3
2
2
1
1
1
dx
xx
x
I
b)
∫
−+
=
5
2
2
2
32xx
dx
I
c)
dx
xx
x
I
∫
−
−
=
2
1
3
3
3
4
1
d)
∫
+−
=
2
3
24
3
23
dx
xx
x
I
HD:
a)
( )
1
1
1
22
−
++=
−
+
x
C
x
B
x
A
xx
x
b)
31
32
1
2
+
+
−
=
−+
x
B
x
A
xx
c)
( )( )
−+
−
+=
−
−
1212
4
1
4
1
4
1
3
3
xxx
x
xx
x
d)
22
11
23
24
−
+
+
+
+
+
−
=
+−
x
D
x
C
x
B
x
A
xx
x
Đẳng thức tích phân :
Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận xét một số đặc
điểm sau .
* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, ….
Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng.
BÀI TẬP
Chứng minh rằng :
( ) ( )
∫ ∫
−=−
1
0
1
0
11 dxxxdxxx
m
n
n
m
Bài làm :
Xét
( )
∫
−=
1
0
1 dxxxI
n
m
Đặt :
dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−=1
Đổi cận :
=→=
=→=
01
10
tx
tx
Vậy :
( ) ( ) ( )
∫ ∫∫
−=−−=−=
0
1
1
0
1
0
111 dtttdtttdxxxI
n
m
n
mn
m
(đpcm)
Chứng minh rằng nếu
)(xf
là hàm lẻ và liên tục trên đoạn
[ ]
aa,−
thì :
( )
∫
−
==
a
a
dxxfI 0
Bài làm :
( ) ( ) ( )
1)(
0
0
∫ ∫ ∫
− −
+==
a
a a
a
dxxfdxxfdxxfI
Xét
( )
∫
−
0
a
dxxf
. Đặt
dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−=
Đổi cận :
=→=
=→−=
00 tx
atax
V ậy :
( ) ( ) ( )
∫ ∫∫
−=−=
−
a a
a
dttfdttfdxxf
0 0
0
Thế vào (1) ta được :
0=I
(đpcm)
Tương tự bạn đọc có thể chứng minh : Nếu
)(xf
là hàm chẳn và liên tục trên đoạn
[ ]
aa,−
thì
( ) ( )
∫ ∫
−
==
a
a
a
dxxfdxxfI
0
2
Cho
0
>
a
và
( )
xf
là hàm chẵn , liên tục và xác định trên
R
.
Chứng minh rằng :
( )
( )
∫ ∫
−
=
+
α
α
α
dxxfdx
a
xf
x
0
1
Bài làm :
Xét
( )
dx
a
xf
x
∫
−
+
0
1
α
. Đặt
dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−=
Đổi cận :
=→=
=→−=
00 tx
tx
αα
Vậy :
( ) ( ) ( )
∫ ∫∫
+
=
+
−
=
+
−
−
α α
α
0 0
0
111
t
t
tx
a
tfa
dt
a
tf
dx
a
xf
Thế vào (1) ta được :
( ) ( ) ( )
( )
∫∫ ∫ ∫
=
+
+
+
=
+
− −
αα
α α
α
0
0
0
111
dxxfdx
a
xf
dx
a
xfa
dx
a
xf
xx
x
x
(đpcm)
Cho hàm số
( )
xf
liên tục trên
[ ]
1,0
. Chứng minh rằng :
( ) ( )
∫ ∫
=
π π
π
0 0
sin
2
sin. dxxfdxxfx
Bài làm :
Xét
( )
∫
π
0
sin. dxxfx
. Đặt
dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−=
π
Đổi cận :
=→=
=→=
0
0
tx
tx
π
π
( ) ( ) ( )
( )
∫ ∫ ∫
− −
+
+
+
=
+
α
α α
α
0
0
1
111
dx
a
xf
dx
a
xf
dx
a
xf
xxx
Vậy :
( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( )
∫ ∫∫
−=−−=
π ππ
πππ
0 00
sin.sin.sin. dttftdttftdxxfx
( ) ( )
∫ ∫
−=
π π
π
0 0
sin.sin dttftdttf
( ) ( )
( ) ( )
dxxfdxxfx
dxxfdxxfx
∫∫
∫∫
=⇒
=⇒
ππ
ππ
π
π
00
00
sin
2
sin.
sinsin.2
Từ bài toán trên , bạn đọc có thể mở rộng bài toán sau .
Nếu hàm số
( )
xf
liên tục trên
[ ]
ba,
và
( ) ( )
xfxbaf =−+
. Thì ta luôn có :
( ) ( )
∫ ∫
+
=
b
a
dxxf
ba
dxxfx
π
0
2
.
Cho hàm số
( )
xf
liên tục,xác định , tuần hoàn trên
R
và có chu kì
T
.
Chứng minh rằng :
( ) ( )
∫ ∫
+
=
Ta
a
T
dxxfdxxf
0
Bài làm :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∫∫∫∫∫ ∫
+++
++=+=
Ta
T
T
a
Ta
T
Ta
a
T
a
dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf
0
0
Vậy ta cần chứng minh
( ) ( )
∫ ∫
+
=
a Ta
T
dxxfdxxf
0
Xét
( )
∫
a
dxxf
0
. Đặt
dxdtTxt =⇒+=
Đổi cận :
+=→=
=→=
Tatax
Ttx 0
Vậy :
( ) ( )
∫ ∫
+ +
=−
Ta
T
Ta
T
dttfdtTtf
Hay :
( ) ( )
∫ ∫
+
=
Ta
a
T
dxxfdxxf
0
(đpcm)
Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau :
Nếu hàm số
( )
xf
liên tục,xác định , tuần hoàn trên
R
và có chu kì
T
, thì ta luôn có :
( ) ( )
∫ ∫
−
=
T
T
T
dxxfdxxf
0
2
2
Bạn đọc tự làm :
a)
( )
∫
−=
1
0
6
1
1 dxxxI
b)
(
)
∫
−
++=
1
1
22
2
1lncos.sin dxxxxxI
c)
∫
+
=
π
0
2
3
cos49
sin.
dx
x
xx
I
d)
∫
+
=
π
0
2
4
cos1
sin.
dx
x
xx
I
e)
∫
−
+
=
2
2
2
5
21
sin
π
π
dx
xx
I
x
f)
∫
−
+
+
=
1
1
2
2
6
1
sin
dx
x
xx
I
g)
(
)
∫
++=
∗
π
2
0
2
7
sin1sinln dxxxI
h)
dxxI
∫
−=
∗
π
2009
0
8
2cos1
Tích phân từng phần :
Cho hai hàm số
u
và
v
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[ ]
ba,
, thì ta có :
[ ]
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduuvudv
Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :
*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt
xu ln
=
hay
xu
a
log=
.
*ưu tiên 2 : Đặt
??=u
mà có thể hạ bậc.
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
a)
∫
=
1
0
1
. dxexI
x
b)
∫
=
2
0
2
2
cos.
π
xdxxI
c)
∫
=
e
xdxI
1
3
ln
Bài làm :
a) Đặt :
=⇒=
=⇒=
xx
evdxedv
dxduxu
Vậy :
( )
11
1
0
1
0
1
0
1
0
1
=−−=−=−==
∫∫
eeeedxeexdxexI
xxxx
b) Đặt :
=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
xdxduxu
sincos
2
2
Vậy :
( )
1sin.2
4
sin.2cos
2
0
2
0
2
2
0
1
0
1
∫∫∫
−=−−==
ππ
π
π
xdxxxdxxxxdxexI
x
Ta đi tính tích phân
∫
2
0
sin.
π
xdxx
Đặt :
−=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
dxduxu
cossin
Vậy :
1sincos.coscos.sin.
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
=+−=+−=
∫∫
ππ
π
π
π
xxxdxxxxdxx
Thế vào (1) ta được :
4
8
.
2
1
0
1
−
==
∫
π
dxexI
x
c) Đặt :
=⇒=
=⇒=
xvdxdv
dx
x
duxu
1
ln
Vậy :
1ln.ln.ln
01
1
1
1
3
=−=−==
∫∫
ee
e
e
e
xxxdxxxxdxI
Tính các tích phân sau :
a)
∫
=
π
0
1
sin. xdxeI
x
b)
∫
=
4
0
2
2
cos
π
dx
x
x
I
c)
( )
∫
=
π
e
dxxI
1
3
lncos
Bài làm :
a) Đặt :
−=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
dxedueu
xx
cossin
Vậy :
( )
∫∫
++=+−==
π
π
π
π
0
0
0
1
11cos.cos.sin. JexdxexexdxeI
xxx
Đặt :
=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
dxedueu
xx
sincos
Vậy :
IxdxexexdxeJ
xxx
−=−==
∫∫
π
π
π
0
0
0
sin.sin.cos.
Thế vào (1) ta được :
2
1
12
11
+
=⇒+=
π
π
e
IeI
b) Đặt :
=⇒=
=⇒=
xvdx
x
dv
dxduxu
tan
cos
1
2
Vậy :
( )
2
2
ln
4
cosln
4
tantan.
cos
4
0
4
0
4
0
4
0
2
2
+=+=−==
∫∫
ππ
π
π
π
π
xxdxxxdx
x
x
I
c) Đặt :
( ) ( )
=⇒=
−=⇒=
xvdxdv
dxx
x
duxu lnsin
1
lncos
Vậy :
( ) ( ) ( )
( )
JedxxxxdxxI
e
e
e
++−=+==
∫∫
1lnsinlncos.lncos
1
1
1
3
π
π
π
π
Đặt :
( ) ( )
=⇒=
=⇒=
xvdxdv
dxx
x
duxu lncos
1
lnsin
Vậy :
( ) ( ) ( )
3
1
1
1
3
0lncoslnsin.lnsin IdxxxxdxxI
e
e
e
−=−==
∫∫
π
π
π
Thế vào (1) ta được :
( )
2
1
12
33
+
−=⇒+−=
π
π
e
IeI
Bạn đọc tự làm :
a)
∫
−
=
2ln
0
1
. dxexI
x
b)
( )
∫
−=
e
dxxI
1
2
2
ln1
c)
∫
−=
2
2
3
ln
1
ln
1
e
dx
xx
I
d)
(
)
∫
++=
1
0
2
4
1ln dxxxI
e)
( )
∫
=
3
4
5
tanln.sin
π
π
dxxxI
f)
( )
∫
=
e
dxxI
1
2
6
lncos
g)
∫
=
∗
4
0
2
7
2cos
π
xxI
h)
∫
+
+
=
∗
2
0
7
cos1
sin1
π
dxe
x
x
I
x
Tích phân hàm trị tuyệt đối, min , max :
Muốn tính
( )
∫
=
b
a
dxxfI
ta đi xét dấu
( )
xf
trên đoạn
[ ]
ba,
, khử trị tuyệt đối
Muốn tính
( ) ( )
[ ]
∫
=
b
a
dxxgxfI ,max
ta đi xét dấu
( ) ( )
xgxf −
trên đoạn
[ ]
ba,
Muốn tính
( ) ( )
[ ]
∫
=
b
a
dxxgxfI ,min
ta đi xét dấu
( ) ( )
xgxf −
trên đoạn
[ ]
ba,
Tính các tích phân sau :
a)
∫
−=
4
1
1
2 dxxI
b)
∫
−+=
2
0
2
1
32 dxxxI
Bài làm :
x 1 2 4
a)
x-2 - 0 +
Vậy :
( ) ( )
4
2
2
2
1
2
4
2
2
1
4
1
1
2
22
2222
−+
−=++−=−=
∫∫∫
x
xx
xdxxdxxdxxI
( ) ( ) ( )
[ ]
2
5
4288
2
1
224 =−−−+
−−−=
b) Lập bảng xét dấu
[ ]
2,0,32
2
∈−+ xxx
tương tự ta được
( ) ( )
∫∫∫
−++−+−=−+=
2
1
2
1
0
2
2
0
2
1
323232 dxxxdxxxdxxxI
.
Tính
∫
−=
1
0
dxaxxI
a
với
a
là tham số :
Bài làm :
x
∞−
a
∞+
x-a - 0 +
(Từ bảng xét dấu trên ta có thể đánh giá ).
4
3
3
3
3
2
1
3
2
1
0
3
2
1
=
++−+
−−=
x
xx
x
xxI
Nếu
0≤a
.
( )
∫∫
−=
−=−=−=
1
0
1
0
23
2
1
0
23
1
23
aaxx
dxaxxdxaxxI
a
Nếu
10 << a
.
( ) ( )
∫ ∫∫
−+−−=−=
a
a
a
dxaxxdxaxxdxaxxI
0
1
22
1
0
223
1
3232
32
1
32
0
32
aaxaxxax
a
a
+−=
+−+
−=
Nếu
1≥a
.
( )
∫∫
+−=
−−=−−=−=
1
0
1
0
23
2
1
0
23
1
23
aaxx
dxaxxdxaxxI
a
Tính : a)
( )
∫
=
2
0
2
1
,1min dxxI
( )
∫
=
3
0
2
2
,max dxxxI
Bài làm :
a) Xét hiệu số :
( )
[ ]
2,01
2
∈∀− xx
Vậy :
( )
3
4
3
,1min
2
1
2
0
3
2
1
1
0
2
2
0
2
1
=+=+==
∫∫∫
x
x
dxdxxdxxI
b) Xét hiệu số :
( )
[ ]
3,01 ∈∀− xxx
tương tự như trên ta có .
( )
6
55
32
,max
3
1
3
1
0
2
3
1
2
1
0
3
0
2
2
=+=+==
∫∫∫
xx
dxxxdxdxxxI
Bạn đọc tự làm :
a)
( )
∫
−
−=
3
2
2
1
3,min dxxxI
b)
( )
∫
=
2
0
2
cos,sinmax
π
dxxxI
c)
∫
−=
4
3
0
3
cossin
π
dxxxI
d)
( )
∫
−
−=
3
2
2
4
34,max dxxxI
d)
∫
−−+−+=
∗
5
1
4
1212 dxxxxxI
Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ :
Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel
Dạng 1:
(
)
∫
++ dxcbxaxxR
2
,
ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ.
∆−
+
+
∆−
=++→
<∆
>
2
2
2
1
4
0
0
bax
a
cbxax
a
(
)
(
)
dtttSdxcbxaxxR
bax
t
∫∫
∆−
+
=
+=++
2
22
1,,
Tới đây , đặt
ut tan=
.
Dạng 2:
∆−
+
−
∆−
=++→
<∆
<
2
2
2
1
4
0
0
bax
a
cbxax
a
(
)
(
)
dtttSdxcbxaxxR
bax
t
∫∫
∆−
+
=
−=++
2
22
1,,
Tới đây , đặt
ut sin
=
.
Dạng 3:
−
∆−
+∆
=++→
>∆
>
1
2
4
0
0
2
2
bax
a
cbxax
a
(
)
(
)
dtttSdxcbxaxxR
bax
t
∫∫
∆
+
=
−=++
2
22
1,,
Tới đây, đặt
u
t
sin
1
=
.
Dạng 4 (dạng đặc biệt) :
( )
∫∫
+
=
++
=
+++
βα
ζµαβα
x
t
tt
dt
cbxaxx
dx
1
22
Một số cách đặt thường gặp :
(
)
dxxaxS
∫
−
22
,
đặt
π
≤≤= ttax 0cos.
(
)
dxxaxS
∫
+
22
,
đặt
22
tan.
ππ
<<−= ttax
(
)
dxaxxS
∫
−
22
,
đặt
π
π
kt
t
a
x +≠=
2cos
(
)
dxcbxaxxS
∫
++
2
,
đặt
( )
>±±=++
=++−=++
>±=++
0;.
0;
0;
2
000
2
2
atxacbxax
cbxaxxxtcbxax
ccxtcbxax
∫
+
+
m
dcx
bax
xS ,
đặt
0; ≠−
+
+
= cbad
dcx
bax
t
m
Tính :
( )
∫
++
=
3
2
74xx
dx
I
Bài làm :
( ) ( )
∫∫
+=
+
=
++
2
3
2
3
2
374
xt
t
dt
xx
dx
Đặt :
( )
duudtut 1tan3tan3
2
+=⇒=
Ta có
( )
( )
∫∫
=
+
+
=
uu
udu
u
duu
I
tan3tan3
3
2
2
cos
3
1
1tan.33
1tan3
C
xx
x
C
t
t
Cu +
++
+
=+
+
=+=
74
2
3
1
1
3
1
sin
3
1
22
Tính : a)
∫
++
=
1
2
xx
xdx
I
b)
∫
−−
=
12
2
xxx
dx
I
Bài làm :
a)
∫∫∫
+
=
+
−
=
+
+
=
++
3
12
222
1
13
2
1
4
3
2
1
1
x
t
dt
t
t
x
xdx
xx
xdx
(
)
Cxxxxx
Ctttdt
t
t
I
x
t
+
+++++−++=
+++−+=
+
−
=
∫
+
=
1
2
1
ln
2
1
1
1ln
2
1
1
2
3
1
13
2
1
22
22
3
12
2
b)Đặt :
2
1
t
dt
dx
t
x −=⇒=
( )
C
t
t
dt
xxx
dx
I
t
x
+
+
−=
+−
−=
−−
=
∫∫
=
2
1
arcsin
12
12
1
22
C
x
C
x
+
+
−=+
+
−=
2
1
arcsin
2
1
1
arcsin
Tìm các nguyên hàm sau
a)
∫
+++
=
3
11 xx
dx
I
b)
∫
+++
=
11 xx
dx
I
Bài làm :
a)Đặt :
dxdttxtxt =⇒+=⇒+=
56
6
611
Vậy :
∫∫∫
+=+=
+
−+−=
+
=
+++
=
66
1
2
1
23
5
3
1
1
166
11
xtxt
dt
t
tt
tt
dtt
xx
dx
I
Cxxxx
Ctttt
+++−+++−+=
++−+−=
11ln6161312
1ln6632
663
23
b)
∫ ∫∫∫
+
−
+=
+−+
=
+++
=
−
dx
x
x
dxxdx
x
xx
xx
dx
I
1
2
1
1
2
1
2
11
11
2
1
( )
1
1
2
1
2
1
dx
x
x
xx
∫
+
−+=
Xét
dx
x
x
∫
+1
Đặt :
( )
dt
t
t
dx
t
x
x
x
t
2
2
2
1
2
1
11
−
−=⇒
−
=⇒
+
=
Vậy :
( )
OK
t
dtt
dx
x
x
x
x
t
=
−
−=
+
∫∫
+
=
1
2
2
1
2
1
Tìm các nguyên hàm sau :
a)
∫
+= dxxxI 9.
22
b)
∫
+= dxxxI 4.16
22
Bài làm :
a)Đặt :
dt
t
t
dx
t
t
xtxx
2
22
2
2
9
2
9
9
+
=⇒
−
=⇒−=+
Vậy :
( ) ( )
( )
(
)
C
xx
xx
xx
C
t
t
t
dt
tt
t
dt
t
t
dt
t
t
t
t
t
t
I
+
+−
−+−−
+−
−=
+
−−−=
+−−=
−
−=
−
−−
+
=
∫
∫∫
4
2
2
4
2
4
4
5
3
5
2
4
2
2
22
2
2
1
94
6561
9ln162
4
9
16
1
4
6561
ln162
416
16561162
16
1
81
16
1
4
9
.
2
9
.
2
9
b)Đặt :
dt
t
t
dx
t
t
xtxx
2
22
2
2
4
2
4
4
+
=⇒
−
=⇒−=+
( ) ( )
( )
(
)
C
xx
xx
xx
C
t
t
t
dt
t
t
t
dt
t
t
dt
t
t
t
t
t
t
I
+
+−
−+−+
+−
−=
+
−−−=
+−−=
−
−=
−
−−
+
=
∫
∫∫
4
2
2
4
2
4
4
5
3
5
2
4
2
2
22
2
2
4
64
4ln36
4
4
64
ln36
4
25636
16
4
4
.
2
4
.
2
4
16
Tính các tích phân sau :
a)
∫
−=
1
2
1
2
1
dxxxI
b)
∫
−
−
−
=
8
3
2
1
dx
xx
dx
I
Bài làm :
( )
∫∫
−−=−=
1
2
1
2
1
2
1
2
1
121
2
1
dxxdxxxI
Đặt :
tdtdxtx cos
2
1
sin12 =⇒=−
Đổi cận :
=→=
=→=
2
1
0
2
1
π
tx
tx
Vậy :
( )
2
0
2
0
2
0
2
1
2sin
2
1
1
8
1
2cos1
8
1
cos
4
1
π
ππ
+=+==
∫∫
tdtttdtI
b) Đặt :
dxtdtxt =−⇒−= 21
Đổi cận :
=→−=
=→−=
38
23
tx
tx
Vậy :
( )
∫∫∫
−
=
−
=
−
=
−
−
3
2
2
3
2
2
8
3
2
1
2
1
2
1
t
dt
tt
tdt
dx
xx
dx
I
( )
16
000
28
1
ππ
=
+−
−=
Bạn đọc tự làm :
a)
∫
+
=
1
2
1
xx
dx
I
b)
dxxxI
∫
−=
2
2
4
c)
( )
∫
+
=
3
2
3
4x
dx
I
d)
∫
+= dxxI
2
4
1
d)
∫
−−
−+
=
∗
dx
x
x
I
11
11
2
2
5
d)
dx
x
I
11
1
2
6
++
=
∗
Bất đẳng thức tích phân :
Nếu
( )
[ ]
( )
0,0 ≥⇒∈∀≥
∫
dxxfbaxxf
b
a
Nếu
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
dxxgdxxfbaxxgxf
b
a
b
a
∫∫
≥⇒∈∀≥ ,
Nếu
( )
[ ]
( ) ( ) ( )
abMdxxfabmbaxxfm
b
a
−≤≤−⇒∈∀≤≤
∫
,
Trong các trường hợp nầy ta thường dùng khảo sát , Bunhiacopxki, AM-GM
Và các bước chặn sinx,cosx
BÀI TẬP
Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a)
( )
∫
≤−
1
0
4
1
1 dxxx
b)
2
1
15
2
2
1
2
≤
+
≤
∫
dx
x
x
c)
( )
∫
≤−++
1
0
211 dxxx
Bài làm:
a)Áp dụng AM-GM ta có :
( )
( )
[ ]
1,0
4
1
2
1
1
2
∈∀=
−+
≤− x
xx
xx
Vậy :
( )
4
1
4
1
1
1
0
1
0
=≤−
∫ ∫
dxdxxx
(đpcm)
b) Xét hàm số :
( )
[ ]
2,1
1
2
∈∀
+
= x
x
x
xf
Đạo hàm :
( )
( )
( )
−=
=
⇔=
′
+
−
=
′
1
1
0
1
1
2
2
2
x
x
xf
x
x
xf
Ta có :
( )
( )
=
=
5
2
2
2
1
1
f
f
2ln1ln
2
1
ln
1
1
ln
3
2
=
−−=
+
−
−=
t
t
Vậy :
[ ]
2
1
15
2
2
1
15
2
2,1
2
1
15
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
≤
+
≤⇒
≤
+
≤⇒
∈∀≤
+
≤
∫
∫∫∫
dx
x
x
dxdx
x
x
dx
x
x
x
Áp dụng Bunhicopxki ta có :
[ ]
1,02111111
22
∈∀=−+++≤−++ xxxxx
Vậy :
( )
( )
01211
1
0
−≤−++
∫
dxxx
( )
∫
≤−++
1
0
211 dxxx
(đpcm)
Chứng minh rằng :
e
dx
x
xe
x
121
sin.
3
1
2
π
<
+
∫
−
Bài làm :
[ ]
e
exx
x
1
13,1 ≤⇒−≤−⇒∈∀
−
( )
∫∫
+
<
+
⇒
−
3
1
2
3
1
2
1
1
1
sin.
dx
xe
dx
x
xe
x
Xét
( )
∫
+
3
1
2
1
1
dx
xe
Đặt :
( )
dttdxtx 1tantan
2
+=⇒=
Đổi cận :
=→=
=→=
3
3
4
1
π
π
tx
tx
Do đó :
( )
( )
12
1tan
1tan
3
4
3
4
2
2
π
π
π
π
π
==
+
+
∫∫
e
dt
te
dtt
Từ đó ta được đpcm.
Bạn đọc tự làm :
Chứng minh rằng :
a)
10
cos35
16
2
0
2
ππ
π
≤
+
≤
∫
x
dx
b)
2
1sin
4
3
3
6
<<
∫
π
π
dx
x
x
c)
8
2
4
6
3
6
32
ππ
π
π
≤
−−
≤
∫
xx
dx
d
*
) Cho 2 hàm số liên tục :
[ ] [ ] [ ] [ ]
1,01,0:;1,01,0: →→ gf
Chứng minh rằng :
( ) ( ) ( ) ( )
∫∫∫
≤
1
0
1
0
2
1
0
dxxgdxxfdxxgxf
Một số ứng dụng của tích phân thường gặp :
( )
1
1
1
sin.
22
+
<
+
⇒
−
xex
xe
x
1)Tính diện tích :
Cho hai hàm số
( ) ( )
xfxf &
liên tục trên đoạn
[ ]
ba,
. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là :
( ) ( )
=
=
=
=
xgy
bx
xfy
ax
;
Được tính như sau :
( ) ( )
∫
−=
b
a
dxxgxfS
2)Tính thể tích :
Nếu diện tích
( )
xS
của mặt cắt vật thể do mặt phẳng vuông góc với trục tọa độ , là hàm số liên
tục trên đoạn
[ ]
ba,
thì thể tích vật thể được tính :
( )
dxxfV
b
a
∫
=
Nếu hàm số
( )
xf
liên tục trên
[ ]
ba,
và (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
=
==
Ox
xfy
bxax ,
Khi (H) quay quanh Ox ta được 1 vật thể tròn xoay . Lúc đó thể tích được tính :
( )
[ ]
dxxfV
b
a
∫
=
2
π
Tương tự ta cũng có thể tính thể tích vật thể quay quanh oy
3)Tính giới hạn :
( ) ( )
dxxfxf
b
a
n
i
ii
n
∫
∑
=∆
=
∞→
1
.lim
ξ
trong đó
−=∆
≤≤
−
−
1
1
iix
ii
xx
xx
ξ
Từ đó ta xây dựng bài toán giới hạn như sau :
Viết dãy số thành dạng :
∑
=
=
n
i
n
n
i
f
n
S
1
1
sau đó lập phân hoạch đều trên
[ ]
1,0
, chọn
n
i
x
ii
==
ξ
ta có
( )
∫
∑
=
=
∞→
1
0
1
1
lim dxxf
n
i
f
n
n
i
n
4)Tính độ dài cung đường cong trơn:
Nếu đường cong trơn cho bởi phương trinh
( )
xfy =
thì độ dài đường cung nó được tính như sau :
( )
dxyl
b
a
∫
′
+=
2
1
với
ba,
là hoành độ các điểm đầu cung .
4)Tính tổng trong khai triển nhị thức Newton.
Tìm công thức tổng quát , chọn số liệu thích hợp,sau đó dùng đồng nhất thức, bước cuối cùng là tính
tích phân .
Hình1a hình1b
hình1c hình1d
BÀI TẬP
Tính diện tích hình tròn , tâm O , bán kính R.
Bài làm : (hình 1a)
Phương trình đường tròn có dạng :
22222
xRyRyx −±=⇔=+
Do tính đối xứng của đồ thị nên :
dxxRS
R
∫
−=
0
22
4
Đặt :
tdtRdxtRx cossin =⇒=
Đổi cận :
=→=
=→=
2
00
π
tRx
tx
=→=
=→=
2
00
π
tRx
tx
Vậy :
( )
( )
dvdtRtxR
dttRtdtRtRS
2
2
0
2
2
0
2
2
0
22
2sin
2
1
2
2cos12cossin4
π
π
ππ
=
+=
+=−=
∫∫
Xét hình chắn phía dưới bởi Parabol
2
xy =
, phía trên bởi đường thẳng đi qua điểm A(1,4) và hệ số
góc là k . Xác định k để hình phẳng trên có diện tích nhỏ nhất .
Bài làm (hình 1b)
Phương trình đường thẳng có dạng.
( )
41 +−= xky
Phương trình hoành độ giao điểm .
( )
0441
22
=−+−⇔+−= kkxxxkx
Phương trình trên luôn có hai nghiệm , giả sử
21
xx <
Vậy diện tích là :
( )
[ ]
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
*4
2
1
3
1
4
23
41
12
2
121
2
212
2
3
2
2
1
2
1
−+++++−−=
−++−=−+−=
∫
kxxkxxxxxx
xkx
kx
dxxxkS
x
x
x
x
Với :
( )
( )
( )
−−=−+=−
−=
=+
44.4
4.
2
12
2
1
2
2
2
2
12
12
12
kkxxxxxx
kxx
kxx
Thế vào
( )
*
ta được :
( )
( )
( )
164164
6
1
4
2
1
44
3
1
164
22
222
+−+−=
−+++−−+−=
kkkk
kkkkkkS
( )
( )
[ ]
34122
6
1
164
6
1
3
2
3
2
≥+−=+−= kkk
Vậy :
34min =S
khi
2
=
k
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
=
=
2
2
xay
yax
Bài làm : (hình 1c)
Do tính chất đối xứng của đồ thị mà ta chỉ cần xét
0>a
Xét :
( )( )
>
=
=++−
⇔
>
=
=
0
0
0
22
2
a
xay
ayxyx
a
xay
yax
Với
yx =
ta được :
( )
( )
=
=
⇔
>
=
=
lx
nax
a
xay
yx
0
0
2
Với
0=++ ayx
ta được :
( )
( )
=
=
⇔
>
=
=++
⇔
>
=
=++
lx
nax
a
xay
aaxx
a
xay
ayx
0
0
0
0
0
2
22
2
Ta lại có :
>
=
±=
⇔
>
=
=
0
0
2
2
2
a
a
x
y
axy
a
xay
yax
Vậy diện tích cần tính là :
( )
dvtta
a
x
xa
dx
a
x
xadx
a
x
axS
a
aa
2
0
3
2
3
0
2
2
1
0
2
3
1
32
3
=
−=
−=
−=
∫∫
Bạn đọc tự làm :
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
a)
=
=−+
=+−
2
01
01
3
x
yx
yx
b)
=
=
=
4
4
2
y
xy
xy
c)
0
0
2
=
=−+
=
y
yx
yx
d)
≠
=+
0,
1
2
2
2
2
ba
b
y
a
x
Hình vẽ tương ứng ↓↓↓
hình a hình b
hình c hình d
Với mỗi số nguyên dương n ta đặt :
6
5555
321
n
n
S
n
++++
=
Tính
.lim
∞→n
n
S
Bài làm :
5
1
5555
.
1
3211
=
++
+
+
=
∑
=
n
i
n
n
n
nnnn
S
n
i
n
Xét hàm số
( )
[ ]
1,0
5
∈∀= xxf
.
Ta lập phân hoạch đều trên
[ ]
1,0
với các điểm chia :
1 0
1210
=<<<<=
− nn
xxxxx
và chiều dài phân hoạch
n
xxl
ii
1
1
=−=
−
Chọn
n
i
x
ii
==
ξ
ta có
( ) ( )
5
11
1
.
1
lim
=−
∑∑
==
−
∞→
n
i
n
fxx
n
i
n
i
iii
n
ζ
6
1
limlim
1
0
5
0
∫
===⇒
∞→→
dxxSS
n
n
l
n
Với mỗi số nguyên dương n ta đặt :
nnnnn
S
n
+
++
+
+
+
+
+
=
1
3
1
2
1
1
1
Tính
.lim
∞→n
n
S
Bài làm :
+
=
+
++
+
+
+
+
+
=
∑
=
1
1
.
1
1
1
1
3
1
1
2
1
1
1
11
1
n
i
n
n
n
nnn
n
S
n
i
n
Xét hàm số
( )
[ ]
1,0
1
1
∈∀
+
=
x
xf
.
Ta lập phân hoạch đều trên
[ ]
1,0
với các điểm chia :
1 0
1210
=<<<<=
− nn
xxxxx
và chiều dài phân hoạch
n
xxl
ii
1
1
=−=
−
Chọn
n
i
x
ii
==
ξ
ta có
( ) ( )
+
=−
∑∑
==
−
∞→
1
1
.
1
lim
11
1
n
i
n
fxx
n
i
n
i
iii
n
ζ
2ln1ln
1
limlim
1
0
1
0
0
=+=
+
==⇒
∫
∞→→
x
x
dx
SS
n
n
l
n
