bài tập tích phân cơ bản của các hàm số lượng giác
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (339.41 KB, 4 trang )
Bài 4. Tích phân cơ bản của các hàm số lượng giác - Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
BTVN BÀI TÍCH PHÂN CƠ BẢN CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1,
( )
( )
( )
( )
( )
20 20
1
8 3 2
2
tan 6 tan 6
1
.
os6 os6
os6
x x
D dx dx
c x c x
c x
= =
∫ ∫
( )
(
)
( )
3
20
2
1
tan 6 1 tan 6 . tan 6
6
x x d x
= +
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
20 22 24 26
21 23 25 27
1
tan 6 3 tan 6 3 tan 6 tan 6 tan 6
6
tan 6 3 tan 6 3 tan 6 tan 6
1
6 21 23 25 27
x x x x d x
x x x x
C
= + + +
= + + + +
∫
2,
( )
( )
( )
( )
( )
11 10
10
5
2
2
21 20 2
cot 3 cot 3
cot 3 1 os3
. cot 3 .
sin 3 sin 3
sin 3
sin 3 sin 3
x x
x c x
D dx dx x dx
x x
x
x x
= = =
∫ ∫ ∫
( )
5
10
5
2 10
2
1 1 1 1 1
1 . 1
3 sin 3 sin 3 3
sin 3
d u u du
x x
x
− −
= − = −
∫ ∫
(
)
20 18 16 14 12 10
21 19 17 15 13 11
1
5 10 10 5
3
1 5 10 10 5
3 21 19 17 15 13 11
u u u u u u du
u u u u u u
C
−
= − + − + −
−
= − + − + − +
∫
3,
( )
( )
( )
( )
4
4 4
3
3 4 4 4
2
tan
sin cos sin
. sinx
os os
osx
1 sin
x
x x x
D dx dx d
c x c x
c
x
= = =
−
∫ ∫ ∫
( )
(
)
(
)
( )
4 2 2
4
4 4
2 2
1 1
1 1
u u u
u
du du
u u
+ − − −
= =
− −
∫ ∫
www.VNMATH.com
Bài 4. Tích phân cơ bản của các hàm số lượng giác - Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
( ) ( )
2
3 3 4
2 2
1
1
1 1
1
1 1
u
du du du
u u
u
u
+
= − −
− −
−
∫ ∫ ∫
Ta có:
( )
2
2
1
3 3 2 2
2
1 1
1
1
1 1 1
2 1
2
d u
u
u
u
A du C C
u
u u u
u u u
+
−
−
= = = − + = +
−
− − −
∫ ∫
( )
3
2
3
2
1 1 1 1
8 1 1
1
A du du
u u
u
= = −
− +
−
∫ ∫
( ) ( )
3 2 3
1 1 3 1 1 1
8 1 1
1
1 1
du
u u
u
u u
= − − −
− +
−
− +
∫
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3 3 2 2
2 2
1 1
1 3 1 1
8 2
1 1 1 1
1 1 1 3 3
8 2 1 2 1
2 1 2 1
d u d u
du
u u u u
C
u u
u u
− +
= − − −
− + − +
−
= + + − +
− +
− +
∫ ∫ ∫
( )
4
3
4
2
1 1 1 1
16 1 1
1
A du du
u u
u
= = −
− +
−
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 4 2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 1 6
16
1
1 1 1 1 1 1
du
u
u u u u u u
= + − + +
−
− + − + − +
∫
www.VNMATH.com
Bài 4. Tích phân cơ bản của các hàm số lượng giác - Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
4 4
3 3 2 2
2
3 3 2 2
1 1
1
16
1 1
1 2 2 5 5 5
16
1 1 2 1 2 1 2 1
1 1 1 1 1
16
3 1 3 1 1 1
5 1 1 1
ln
32 1 1 1
d u d u
u u
du
u u u u u
u u u u
u
C
u u u
− +
= +
− +
−
+ + + + +
− + − + −
−
= − + +
− + − +
−
− + − +
− + +
∫ ∫
∫
Suy ra
3 1 2 3
D A A A
= − − =
(các em tự tính)
4,
( )
( )
6
4
5 6
cot 2
1
. os2
sin 2
cos2x
x
D dx c xdx
x
= =
∫ ∫
( )
6 5
1 1 1
sin2x
2
sin 2 10sin 2
d C
x x
= = +
−
∫
5,
( ) ( )
2
4 3
1
1 os6 os6 3cos 2
sin 3 os2
2 4
c x c x x
E x c x dx dx
− +
= =
∫ ∫
(
)
2 3 2
1
os6 3cos 2 2cos 6 6 cos 6 . os2 os 6 3cos 6 . os2
16
c x x x x c x c x x c x dx
= + − − + +
∫
( )
( )
1 sin 6 3sin 2 1
1 os12 3 os8 os4
16 6 2 16
x x
c x c x c x
= + − + + +
∫
1 os18 3cos6 1 os12
3 . os2
16 4 2
c x x c x
c x dx
+ +
+ +
∫
1 sin 6 3sin 2 1 sin12 3sin 8 3sin 4
16 6 2 16 192 128 64
x x x x x
x
= + − − − −
( )
sin18 3sin 6 3sin 2 3
os14 os10
1152 384 64 64
x x x
c x c x dx C
+ + + + + +
∫
sin18 3sin14 sin12 3sin10 3sin 8 7sin 6 3sin 4 9sin 2
16 1152 896 192 640 128 384 64 64
x x x x x x x x x
C
= + + − + − + − + +
www.VNMATH.com
Bài 4. Tích phân cơ bản của các hàm số lượng giác - Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
6,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5 2 3 2 2
2
sin os5 sin sin os5
E x c x dx x x c x dx
= =
∫ ∫
( )
( )
3sin sin 3 1 os2 1 os10
. .
4 2 2
1 os12 os8
3sin sin 3 1 os10 os2
16 2
1
3sin sin 3 3sin x.cos10 3sin os2 sin 3 os10 sin 3 os2
16
x x c x c x
dx
c x c x
x x c x c x dx
x x x xc x xc x xc x dx
− − +
=
+
= − + − −
= − + − − +
∫
∫
∫
( )
1
sin 3 . os12 sin 3 . os8 3sin . os12 3sin os8
32
x c x x c x x c x xc x dx
+ + − −
∫
Từ ñây ta áp dụng công biến ñổi tích thành tổng ta sẽ tính ñược tích phân trên.
7,
( )
( )
( )
5 5
3
2 2
sin 8 sin 8
tan 3 tan 5
sin 3 sin 5
os3 os5
x x
E dx dx
x x
x x
c x c x
= =
+
+
∫ ∫
( ) ( ) ( )
3 2 2
sin 8 . os3 . os5
x c x c x dx
=
∫
3sin 8 sin 24 1 os6 1 os10
. .
4 2 2
x x c x c x
dx
− + +
=
∫
Từ ñây ta áp dụng công biến ñổi tích thành tổng ta sẽ tính ñược tích phân trên.
……………………… Hết………………………
Nguồn: Hocmai.vn
www.VNMATH.com
