skkn vận dụng tính đơn điệu của hàm số vào việc giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

VẬN DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀO VIỆC
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ
PHƯƠNG TRÌNH
(DÀNH CHO HS LỚP 12 BAN KHTN)

A. MỞ ĐẦU :
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI :
Hàm số là một trong những khái niệm cơ bản của toán học nói chung và chương
trình toán phổ thông nói riêng. Quan điểm hàm số cần được quán triệt trong toàn bộ
chương trình toán ở trường trung học phổ thông. Các bài toán khó về hàm số, phương
trình, bất phương trình thường có mặt trong các kỳ thi đại học, cao đẳng, thi học sinh
giỏi các cấp Lý thuyết về hàm số, phương trình, bất phương trình và hệ phương trình
được trình bày khá rõ ràng trong SGK Đại số lớp 10 của nhà xuất bản Giáo dục ( Sách
chỉnh lý hợp nhất năm 2000, sách phân ban năm 2006) và một số sách tham khảo khác.
Toán học nói chung và Hàm số nói riêng có nhiều ứng dụng rất quan trọng trong
đời sống cũng như trong các ngành khoa học khác. SGK Đại số lớp 10 của nhà xuất bản
Giáo dục ( Sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000 và sách phân ban năm 2006 ) đã trình bày
rất rõ về định nghĩa và các tính chất của hàm số; phương trình ; bất phương trình và hệ
phương trình. Để giúp học sinh THPT đặc biệt là học sinh lớp 12 có thể tìm hiểu sâu
hơn về hàm số và ứng dụng của nó làm cơ sở để tham gia các kỳ thi cuối cấp cũng như
ứng dụng trong thực tế cuộc sống, trong phạm vi đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình
tôi xin trình bày một ứng dụng của hàm số vào việc giải phương trình ; bất phương trình
và hệ phương trình đó là:
Vận dụng tính đơn điệu của hàm số vào việc giải phương trình, bất phương
trình và hệ phương trình. (Dành cho HS lớp 12 ban KHTN).
2. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
- Học sinh lớp 12A1 trường THPT Lộc Hưng.
-Ứng dụng tính đơn điệu giúp học sinh giải tốt các phương trình, bất phương trình
và hệ phương trình.
3. PHẠM VI CỦA ĐỀ TÀI:
- Đề tài được nghiên cứu, thử nghiệm trong phạm vi lớp 12A1 trường THPT Lộc

Hưng.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
-Nghiên cứu các tài liệu :sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tham khảo.
-Dự giờ, trao đổi với đồng nghiệp để có nhiều phương pháp giải hay.
-Trao đổi với các em học sinh về cách giải phương trình, bất phương trình và hệ
phương trình để biết hướng giải của các em, từ đó cung cấp cho các em một hướng giải
tốt hơn.
Trang 1
- Thực nghiệm và kiểm tra:
Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã tiến hành thực nghiệm lớp 12A1 của
trường như sau:
Lớp : 12A1(2010-2011) : thực nghiệm
Lớp : 12B
1
(2009-2010) : đối chứng
B. NỘI DUNG:
I/ CƠ SỞ LÝ THUYẾT :
 SGK Đại số 10 đã định nghĩa phương trình và bất phương trình một ẩn
như sau:
Cho hai hàm số: f(x) với tập xác định D
f
, g(x) với tập xác định D
y
. Đặt
yf
DDD ∩=
. Ta đặt vấn đề tìm các giá trị
Da ∈
sao cho:
) g(a)f(a) ( ),()( >= agaf

.
Khi đó ta nói rằng đẳng thức f(x) = g(x) là một phương trình (bất đẳng thức f(x) >
g(x) là một bất phương trình) một ẩn.
Số thực a được gọi là một nghiệm của phương trình (bất phương trình), D là tập
xác định của phương trình (bất phương trình).
Giải phương trình ( bất phương trình ) là tìm tất cả các nghiệm của nó. Định nghĩa
trên đây nêu lên mối quan hệ hữu cơ giữa các khái niệm hàm số, phương trình và bất
phương trình.
 Tính đơn điệu của hàm số:
a.Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên khoảng (a;b).
- Hàm số f được gọi là đồng biến ( tăng ) trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi
)()();;(,
212121
xfxfxxbaxx <⇒<∈∀
.
- Hàm số f được gọi là nghịch biến ( giảm ) trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi
)()();;(,
212121
xfxfxxbaxx >⇒<∈∀
.
b.Tính chất:
Tính chất 1:
Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trên khoảng (a;b) thì
);(,;)()(
212121
baxxxxxfxf ∈∀=⇔=
( suy ra từ định nghĩa ).
Tính chất 2:
Nếu hàm số f chỉ tăng ( hoặc giảm ) trên khoảng (a;b) thì phương trình
0)( =xf

có
không quá một nghiệm trong khoảng (a;b).
Chứng minh:
Trang 2
a) Trường hợp hàm số f tăng trong khoảng (a;b)
Giả sử có hai số
)(,
2121
xxxx <
sao cho
( )
*0)()(
21
== xfxf
. Điều (*) này gặp phải
mâu thuẩn, vì
);(),;()()(
212121
baxbaxxfxfxx ∈∈∀<⇒<
(do hàm số f tăng trong
khoảng (a;b)).
b) Trường hợp hàm số f giảm trong khoảng (a;b).
Lập luận tương tự a) , ta cũng gặp mâu thuẫn.
Vậy phương trình f(x) = 0 không thể có nhiều hơn một nghiệm trên khoảng (a;b).
II/ CÁC VÍ DU:
Ví dụ 1:Giải phương trình:

257
1
2

3
2
1
)223
2
(
5
log =
−−
+++−






xx
xx
(1)
Lời giải:
Đặt
)2,1(23
2
≥≤+−= xxxxu
, suy ra
0≥u
và
2
2
3

2
−=− uxx
, thay vào
(1) ta có :
)2(257
2
2
2
1
)2(
5
log257
2
1
2
1
)2(
5
log =++⇔=
−
++






u
u
u

u
.
Đặt
2
2
2
1
)2(
5
log)(
u
uuf ++=
, vì f’(u) > 0,
[
)
+∞∈∀ ;0u
nên f đồng biến trên
);0[ +∞
. Mặt khác
.257
9
2
2
1
5
5
log)3( =+=f
Vì vậy:
2
333

323
2
3)3()()2(
±
=⇔=+−⇔=⇔=⇔ xxxufuf
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm:
2
333 ±
=x
Ví dụ 2 :Giải phương trình:
2 2
3 2 1x x x x
− + − + − =
(2)
Lời giải:
Đặt t = x
2
-x.
(2)
3 2 1, -3 t 2t t
⇔ + − − = ≤ ≤
.
Xét hàm số
( )
3 2f t t t
= + − −
Với -3 < t < 2 thì f’(t) =
1 1
0
2 3 2 2t t

+ >
+ −
nên f đồng biến trên (-3;2).
Trang 3
Ta có : f(1) = 1 nên phương trình : f(t)=f(1)
1t
⇔ =
2
1 5
1 0
2
x x x
±
⇔ − − = ⇔ =
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm:
1 5
2
x
±
=
Ví dụ 3 :Giải phương trình:
2
2
3
6
3
26
1
2
4

2007
log +−=
++
+
xx
xx
x
(3)
Lời giải:

Đặt
2 6 2
4 1 1; 3 3u x v x x= + ≥ = + + ≥
Ta có :


(3) log log log
2007 2007 2007
.2007 .2007 (*)
u
v u u u v v
v
u v
u v
⇔ = − ⇔ + = +
⇔ =
Xét hàm số:
t
ttf 2007.)( =
trên

);2[ +∞
Ta có
'( ) 2007 (1 .ln2007) 0, [2; )
t
f t t t= + > ∀ ∈ +∞
=> hàm số đồng biến trên
);2[ +∞
nên từ phương trình (*) suy ra u = v,
hay
02
2
3
6
3
26
1
2
4 =+−⇔++=+ xxxxx
Đặt
1
2 3
0 3 2 0
2 ( )
X
X x X X
X l





=
= ≥ ⇒ − + = ⇔
= −

Với
11 ±=⇒= xX
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm:
1±=x
Ví dụ 4 : Giải hệ phương trình:






=++++
−=−
)4(01sincos2sin2cos
(*)sinsin
yxyx
yxyx
Lời giải:
Ta có (*)
yyxx sinsin −=−⇔
(5). Đặt
tttf sin)( −=
, với
Rt
∈
Rtttf ∈∀≥−= ,0cos1)('

. Vậy hàm số tăng trên R do đó,
( )
yxyfxf =⇔=⇔ )()(5
, thế vào (4) ta có phương trình :
cos2 sin 2 cos sin 1 0
2
sin cos 2sin cos 2cos 0
sinx cosx 2cosx(sinx cosx) 0
x x x x
x x x x x
+ + + + =
⇔ + + + =
⇔ + + + =
(sin cos )(2cos 1) 0x x x⇔ + + =
Trang 4
*
sin cos 0 tan 1 ( )
4
x x x x k k Z
π
π
+ = ⇔ = − ⇔ = − + ∈
*
)(2
3
2
2
1
cos01cos2 Zkkxxx ∈+±=⇔−=⇔=+
π

π
Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm:
π
π
kyx +−==
4
và
π
π
2
3
2
kyx +±==

)( Zk ∈
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:







++=+
++=+
++=+
xxxz
zzzy
yyyx
23

12
23
12
23
12
(5)
Lời giải
Xét hàm số :
ttttf ++=
23
)(
, với
Rt
∈
. Khi đó:
(5)





=+
=+
=+
⇔
)(12
)(12
)(12
xfz
zfy

yfx
Ta có :
⇒∈∀>++= Rttttf ,012
2
3)('
hàm số f(t) đồng biến trên R.
• Nếu x < y thì f(x) < f(y)

zyzyxfzfxzxz <⇔+<+⇒<⇒<⇔+<+⇔ 1212)()(1212
.
Từ đó, suy ra:
xzyx <<<
. Điều này vô lý.
• Nếu y < x thì f(y) < f(x)

yzyzzfxfzxzx <⇔+<+⇒<⇒<⇔+<+⇔ 1212)()(1212
Từ đó, suy ra:
yzxy <<<
. Điều này vô lý.
Do đó , hệ chỉ có thể có nghiệm x = y = z .
Thế vào hệ ta được:




==−=
===
⇔
=−−⇔
=−−+⇔++=+

zyx
zyx
xx
xxxxxxx
1
1
0)1
2
)(1(
01
2323
12
Vậy nghiệm của hệ phương trình là : (1;1;1) hoặc ( -1;-1;-1).
 Chú ý: Khi hướng dẫn cho học sinh phương pháp này cần đặc biệt lưu ý sự
liên tục của hàm số đặc trưng trên tập xác định của chúng.
Chẳng hạn đối với bài toán:
Giải hệ phương trình:





+=
−=−
12
11
3
xy
y
y

x
x
(I) (Đề thi ĐH khối A năm 2003)
Trang 5
Rất nhiều học sinh giải bài toán theo hướng :
Đặt
2
1 1
( ) '( ) 1 0, f t t f t t R
t t
= − ⇒ = + > ∀ ∈
nên f(x) = f(y) => x = y rồi thế vào phương
trình còn lại trong hệ đề giải.
Đây là một sai lầm thường mắc phải của các em học sinh khi sử dụng phương
pháp này, bởi vì hàm số
t
ttf
1
)( −=
có
2
1
'( ) 1 0, f t t R
t
= + > ∀ ∈
nhưng hàm f(t) gián
đoạn tại t = 0.
Nhận xét: Với
f
Dxxf ∈∀≥ ,0)('

và y = f(x) liên tục trên
f
D
thì




=
=
⇔



=
=
0);(0);(
)()(
yxF
yx
yxF
yfxf

Ví dụ 6: Giải bất phương trình:
( )
2 3 2
4 2 1 1 6 15 14x x x x x x
− − + > − + −
(6)
Lời giải:

(6)
( ) ( )
2 3
2 1 2 1 3 2 3 6x x x x
 
⇔ − − + > − + −
 
( ) ( )
3 3
2 1 3 2 1 2 3 2x x x x
⇔ − + − > − + −
Xét hàm số f(t)= t
3
+3t, D = R.
Ta có: f’(t) = 3t
2
+2 > 0 nên f đồng biến trên R.
( )
( )
2 1 2 2 1 2f x f x x x
− > − ⇔ − > −
.
Xét x-2 < 0 thì BPT nghiệm đúng.
Xét x-2
≥
0 thì 2x-1 > 0 nên BPT
2 1 2x x
⇔ − > −
1x
⇔ > −

: đúng
Vậy tập nghiệm S = R.
Ví dụ 7: Giải bất phương trình:
2
sin
2
cos2
3 log 2005 0
6
3
x
x
 
 ÷
 
+ − ≥
(7)
Lời giải:
Ta có:

2 2
2
sin sin
cos
2 2 3
cos2
3 log 2005 0 log 2005
6 6
2
3 3

sin
3
2 2
2
sin sin
1 sin
2 3 2 1
log 2005 3. log 2005
6 6
2 2
3 3
sin 2sin
3 3
x
x x
x
x
x
x x
x
x
   
 ÷  ÷
   
   
 ÷  ÷
   
+ − ≥ ⇔ + ≥
−
⇔ + ≥ ⇔ + ≥

Đặt
[ ]
1;0,
2
sin ∈= txt
Trang 6
Bất phương trình trở thành:
2005
6
log
9
1
.3
3
2
≥+












tt
Hàm

tt
tf












+=
9
1
.3
3
2
)(
nghịch biến với
[ ]
1;0∈∀t

4)0()( =≤⇒ ftf
Mà
42005
6
log >

.
Suy ra, bất phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 8: Cho
x
m
x
m
x
xf 4)2(10)12(25.2)( +++−=
(8)
Tìm m để
,0)( ≥xf
với
0
≥∀
x
.
Lời giải:
Ta có:
0)( ≥xf
với
0≥∀x

2
5 5
2 (2 1) 2 0, 0
2 2
x x
m m x
 

   
 
 ÷  ÷
   
 
 
⇔ − + + + ≥ ∀ ≥

2
2
5
2 (2 1) 2 0, 1
2
2 2
, 1 ( )
min
2 1
[1; )
x
t m t m t
t t
m t f t m
t
 
 ÷
 
⇔ − + + + ≥ ∀ = ≥
− +
⇔ ≥ ∀ ≥ ⇔ ≥
−

+∞
Đặt
2
2 2
( ) , 1
2 1
t t
f t t
t
− +
= ∀ ≥
−
( )
2
2
3
4 4 3
2
'( ) 0
1
2 1
2
t
t t
f t
t
t







=
− −
⇒ = = ⇔
−
= −
Bảng biến thiên:
t
∞−

2
1
−

2
1
1
2
3

∞+
f’(t) + 0 - - 0 +
f(t)

Vậy
2
5
≤m

là kết quả cần tìm.
Ví dụ 9: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có đúng 1 nghiệm:
Trang 7
+
∞
2
5
2
4
2 4 1x x x m
+ + − + =
(9)
Lời giải:
Đặt t =
1 0x
+ ≥
, phương trình trở thành:
( )
4
4
3 *t t m
+ − =
Nhận xét ứng với mỗi nghiệm không âm của phương trình (*) có đúng 1 nghiệm
của phương trình đã cho, do đó phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi
phương trình (*) có đúng 1 nghiệm không âm.
Xét hàm số
( )
44
3f t t t
= + −

với
0t
≥

⇒
( )
3
4 3
4
' 1
( 3)
t
f t
t
= −
+
< 0.
Mà
( )
4
0 3f
=
và
( )
lim 0
x
f t
→+∞
=
nên có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra các giá trị cần tìm của m là:
4
0 3m
< ≤
.
Bài tập tương tự:
1. Chứng minh rằng phương trình sau có đúng một nghiệm:

012
25
=−−− xxx
(Đại học, cao đẳng khối D – 2004)
2. Xác định m để phương trình sau có nghiệm:

22422
1112)211( xxxxxm −−++−=+−−+
(Đại học, cao đẳng khối B – 2004)
3.Giải phương trình:
xx
x
x
4
)1(
12
log
2
2
2
−=
−

+
4. Giải phương trình:
12007)1(log
2007
−=+
x
x
5. Tìm m để bất phương trình
mxxxx +−≤−+ 2)6)(4(
2
đúng
[ ]
6;4−∈∀x
6. Giải bất phương trình
)4(6)162(
28
xxxx −>++

7. Giải bất phương trình
xxx
13125 >+
8. Giải hệ phương trình:
tan tan (*)
2 7 4
,
2 2
x y y x
x y
x y
π

π π

− = −


+ =



− < <

III. KẾT QUẢ:
Trang 8
 0 f’(
-
f(
0
Qua thực hiện sáng kiến kinh nghiệm, tôi nhận thấy các em có nhiều tiến
bộ, đa số học sinh hiểu và vận dụng tốt vào bài tập và có nhiều cách giải hơn về phương
trình, bất phương trình và hệ phương trình. Sau khi thử nghiệm và đối chứng, tôi thu
được kết quả sau:
Đối chứng:
Lớp TSHS
Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu
TS % TS %
12B
1
39 18 46.2 21 53.8
Thử nghiệm:
Lớp TSHS

Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu
TS % TS %
12A1 41 29 70.7 12 29.3
C. KẾT LUẬN:
Nói về ứng dụng các tính chất của hàm số không chỉ có các ứng dụng tôi đã trình
bày trong đề tài này, mà ứng dụng của nó là vô cùng rộng lớn. Tuy nhiên với khuôn khổ
của đề tài cũng như tính thực tiễn của nó tôi chỉ nêu ra một ứng dụng trên.
Trong những năm qua tôi đã vận dụng phương pháp trên cho đối tượng học sinh
khá giỏi của trường THPT Lộc Hưng trong các đợt bồi dưỡng học sinh ôn thi TN và
luyện thi đại học cao đẳng và thấy rằng học sinh tiếp thu tương đối chủ động ; đa số học
sinh hiểu và vận dụng tốt trong quá trình giải các dạng bài tập ở trên.
Trên đây là một số suy nghĩ và đề xuất của tôi, mong đóng góp cùng đồng nghiệp
để giúp đỡ học sinh khai thác tốt hơn các ứng dụng của hàm số trong chương trình toán
học phổ thông làm cơ sở tham gia các kỳ thi cuối cấp cũng như nghiên cứu các ứng
dụng thực tiễn trong cuộc sống sau này.
Trong quá trình biên soạn đề tài này chắc sẽ không tránh khỏi những thiếu sót.
Mong nhận được sự góp ý chân thành của đồng nghiệp và Hội đồng chuyên môn của
nhà trường để các đề tài sau của tôi được tốt hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn.

Lộc Hưng , ngày 16 tháng 3 năm 2011
Người viết
Huỳnh Thị Hồng Anh
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Trang 9
1. Sách giáo khoa Đại số 10 – NXB giáo dục.
2. Sách giáo khoa Giải tích 12– NXB giáo dục.
3. Sách giáo viên Đại số 10– NXB giáo dục.
4. Sách giáo viên Giải tích 12– NXB giáo dục.
5. Sách bồi dưỡng học sinh giỏi toán Đại số và Giải tích 12 – NXB ĐHQG Hà Nội.
6. Sách giải các đề thi Đại Học – Cao Đẳng.

MỤC LỤC
Trang 10

Trang
A- MỞ ĐẦU 01
1- Lí do chọn đề tài 01
2- Đối tượng nghiên cứu 01
3- Phạm vi của đề tài 01
4- Phương pháp nghiên cứu 01
B- NỘI DUNG 02
1- Cơ sở lý thuyết 02
2- Các ví dụ 03
3- Kết quả 09
C- KẾT LUẬN 09
D- TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………… 10
Nhận xét, đánh giá của tổ trưởng tổ toán – tin trường THPT Lộc Hưng:
Trang 11









Nhận xét, đánh giá của Ban Lãnh Đạo trường THPT Lộc Hưng:

Nhận xét, đánh giá của Sở Giáo Dục và Đào Tạo tỉnh Tây Ninh:












Trang 12