Các lớp toán tử mờ có ngưỡng và chương trình fuzzy rules miner_báo cáo thực tập tốt nghiệp

Website: Email : Tel (: 0918.775.368
LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn thày giáo Bùi Công Cường đã giúp đỡ em rất
nhiều trong quá trình tìm kiếm tài liệu cũng như hoàn thành báo cáo của mình. Sự
chỉ bảo tận tình của thày trong suốt quá trình từ những ý tưởng ban đầu cho đến khi
báo cáo được hoàn thành là trợ giúp lớn nhất đối với em.
Sau đó, em xin chân thành cảm ơn các thày, cô giáo đã giảng dạy em, đặc
biệt là các thày, cô giáo của khoa Toán Tin ứng dụng, trường Đại học Bách Khoa
Hà Nội. Những kiến thức thu nhận được từ các thày, cô đã hỗ trợ em rất nhiều trong
quá trình hoàn thành báo cáo này.
Em cũng xin cảm ơn các bạn học cùng lớp Toán Tin-KSTN K45, Đại học
Bách Khoa Hà Nội, các anh chị và các bạn thuộc Seminar Lý thuyết mờ và Mạng
Nơron, những đóng góp của mọi người đã giúp em có thể hoàn chỉnh được báo cáo.
Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới cha mẹ, chị gái của em, sự cổ vũ
động viên của mọi người là động lực rất lớn giúp em có thể hoàn thành được báo
cáo này.
Em xin phép được sử dụng cụm từ “chúng tôi” trong báo cáo bao gồm em
và mọi nguời.
1
Website: Email : Tel (: 0918.775.368
MỤC LỤC
GIỚI THIỆU 4
GIỚI THIỆU 4
TOÁN TỬ MỜ CÓ NGƯỠNG 7
TOÁN TỬ MỜ CÓ NGƯỠNG 7
2.1 Toán tử mờ 9
2.1.1. Phủ định 9
2.1.2. T-chuẩn 9
2.1.3. T-đối chuẩn 10
2.1.4. Kéo theo 10
2.2 Toán tử mờ có ngưỡng 11

2.2.1. t-chuẩn có ngưỡng 11
2.2.2. Đẳng cấu giữa các t-chuẩn có ngưỡng 19
2.2.3. t-đối chuẩn có ngưỡng và bộ ba De Morgan có ngưỡng 23
2.2.4. Kéo theo có ngưỡng 27
2.2.5. Các toán tử mờ tham số 29
2.3 Kết luận 38
LUẬT KẾT HỢP MỜ 40
LUẬT KẾT HỢP MỜ 40
3.1 Giới thiệu 40
3.2 Mô tả bài toán 45
3.2.1. Thuộc tính và cơ sở dữ liệu 45
3.2.2. Từ 45
3.2.3. Mệnh đề 46
3.2.4. Luật kết hợp 48
3.2.5. t-chuẩn có ngưỡng và độ ủng hộ 50
3.3 Không gian tìm kiếm 51
3.3.1. Tìm mệnh đề 51
3.3.2. Tìm luật 53
3.4 Thuật toán 54
3.4.1. Tìm mệnh đề 54
3.4.2. Tìm luật kết hợp 57
3.5 Vấn đề mờ hoá dữ liệu 58
3.5.1. Bài toán phân cụm dữ liệu và phân cụm mờ 59
3.5.2. Thuật toán FCM 61
3.5.3. Phương pháp chia đều 63
3.6 Kết luận 64
Phụ lục A. Các toán tử mờ có ngưỡng tham số 65
Phụ lục A. Các toán tử mờ có ngưỡng tham số 65
Phụ lục B. Chương trình Fuzzy Rules Miner 78
Phụ lục B. Chương trình Fuzzy Rules Miner 78

1. Các Module chương trình 78
1. Các Module chương trình 78
1.1. mdiMain 78
1.2. frmFuzzySetFinder 78
2
Website: Email : Tel (: 0918.775.368
1.3. frmDataMiner 79
2. Cấu trúc các file dữ liệu 80
2. Cấu trúc các file dữ liệu 80
2.1. .CFF 80
2.2. .QDF 80
2.3. .FDF 80
2.4. .TF 80
2.5. .PF 81
2.6. .RF 81
3. Cơ sở dữ liệu chạy thử nghiệm 81
3. Cơ sở dữ liệu chạy thử nghiệm 81
3.1. Mô tả 81
3.2. Kết quả 81
TÀI LIỆU THAM KHẢO 83
TÀI LIỆU THAM KHẢO 83
3
Website: Email : Tel (: 0918.775.368
1
GIỚI THIỆU
Khái niệm t-chuẩn có ngưỡng do Dubois, Prade giới thiệu đầu tiên trong [14], sau
đó được Iancu xem xét một cách đầy đủ hơn trong [31]. Sau đó, một số kết quả về
các lớp toán tử mờ có ngưỡng, t-chuẩn, t-đối chuẩn, và kéo theo đã được xem xét
trong [9-13].
Cũng giống như toán tử mờ, toán tử mờ có ngưỡng có một phạm vi ứng

dụng rộng lớn tử trong điều khiển học, trong trí tuệ nhân tạo, đặc biệt là trong các
vấn đề về hệ suy diễn và khai phá dữ liệu.
Tìm kiếm luật kết hợp là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng
trong khai phá dữ liệu [38]. Bài toán tìm luật kết hợp boolean được giới thiệu lần
đầu tiên trong [2]. Ví dụ cho luật này có thể là như sau: “90% số người mua bơ và
sữa sẽ mua cả bánh mì”. Đã có nhiều thuật toán được đưa ra nhằm giải quyết bài
toán này, như Apriori [3], FP-growth [27,23], Eclat [1]…
Bài toán luật kết hợp lượng hoá được nêu ra trong [40]. Lấy ví dụ, một luật
kết hợp lượng hoá cho cơ sở dữ liệu với ba thuộc tính về <tuổi,tình trạng hôn
4
Website: Email : Tel (: 0918.775.368
nhân,số xe> có thể là “<tuổi:30 39> và <đã kết hôn:đúng> → <số xe:2>”. Thuật
toán đưa ra trong [40] phân hoạch miền giá trị của các thuộc tính thành các khoảng
và sau đó kết hợp các khoảng rời nhau để cho lời giải của bài toán. Thao tác này
thực chất là chuyển bài toán luật kết hợp lượng hoá về bài toán luật kết hợp
boolean.
Mặc dù phương pháp phân hoạch dữ liệu cũng giải quyết được một số bài
toán tìm luật kết hợp trên cơ sở dữ liệu lượng hoá. Tuy nhiên, cũng có một số vấn
đề phát sinh như trong [35] đã chỉ ra. Đó là vấn đề mất mát thông tin nếu như có
nhiều giá trị tập trung xung quanh các biên của các khoảng. Việc chia các giá trị gần
nhau vào các khoảng khác nhau sẽ dẫn tới việc mất thông tin trong các phân tích về
sau. Một phương pháp tiếp cận khác là chia miền dữ liệu thành các vùng có chồng
lên nhau. Khi đó, các phần tử nằm gần biên có thể thuộc nhiều hơn một khoảng, và
sẽ giải quyết được phần nào vấn đề mất mát thông tin tại các lân cận biên. Tuy
nhiên, tiếp cận này vẫn có phần bất hợp lý do việc phần tử gần biên cũng sẽ có vai
trò quan trọng trong việc mô tả đặc trưng của khoảng giống như các phần tử gần
trung tâm.
Tất cả những vấn đề trên chủ yếu xuất phát từ việc sử dụng biên rõ ràng để
chia khoảng. Từ đó, trong [35] đã đề nghị sử dụng tiếp cận mờ. Tập mờ cung cấp
thay đổi uyển chuyển giữa các vùng dữ liệu, và vấn đề xuất phát từ biên rõ sẽ được

loại bỏ. Trong [35], các luật kết hợp mờ có dạng, “Nếu X là A thì Y là B”, trong đó
“X là A” được gọi là phần tiền tố của luật, “Y là B” được gọi là phần hệ quả của
luật. X và Y là các tập thuộc tính của cơ sở dữ liệu, A và B là các tập từ mô tả X và
Y tương ứng.
Báo cáo này tập trung nghiên cứu sâu về toán tử mờ có ngưỡng, đồng thời
xem xét một khía cạnh ứng dụng vào bài toán luật kết hợp mờ.
Chương 2 của báo cáo tập trung vào các nghiên cứu sâu về toán tử mờ có
ngưỡng, mô tả các khái niệm về lớp toán tử mờ có ngưỡng đồng dạng, cặp hàm sinh
của lớp các toán tử mờ có ngưỡng đồng dạng. Chương 3 của báo cáo mô tả về bài
5
Website: Email : Tel (: 0918.775.368
toán luật kết hợp mờ, vấn đề mờ hóa dữ liệu đầu vào, đồng thời xem xét ứng dụng t-
chuẩn có ngưỡng vào việc bài toán luật kết hợp mờ.
Phần phụ lục cuối báo cáo cung cấp các lớp toán tử mờ có ngưỡng có tham
số, mô tả về chương trình Fuzzy Rules Miner cài đặt thuật toán F-Apriori, cấu trúc
các file dữ liệu đầu vào và các kết quả chạy thử nghiệm chương trình.
6
Website: Email : Tel (: 0918.775.368
2
TOÁN TỬ MỜ CÓ NGƯỠNG
Sự ra đời của công nghệ tính toán mờ xuất phát từ các giới thiệu về tập mờ của
Zadeh năm 1965 [41]. Hiện nay, có thể nói, công nghệ tính toán mờ là một trong
những lĩnh vực nghiên cứu phát triển mạnh mẽ nhất, được đánh dấu bằng sự ra đời
của hàng loạt phương pháp và kỹ thuật ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Việc tích hợp các kỹ thuật của lôgíc mờ với các phương pháp phân tích khác ngày
càng diễn ra mạnh mẽ. Lôgíc mờ được ứng dụng rộng rãi để giải quyết rất nhiều bài
toán của khoa học ứng dụng. Những lĩnh vực có thể kể ra ở đây là vận trù học, hỗ
trợ quyết định, điều khiển, nhận dạng mẫu, kinh tế, quản lý, xã hội học, mô hình
thống kê, máy học, thiết kế cơ khí, chế tạo, phân lớp, suy luận, thu nhận thông tin,
quản lý cơ sở dữ liệu, chẩn đoán y tế, hệ cơ sở tri thức.

Đặc biệt, trong lĩnh vực xử lý tri thức, công nghệ tính toán mờ tỏ ra vô
cùng hiệu quả. Do tri thức thường con người thường được biểu diễn bằng các thể
hiện ngôn ngữ, bằng các câu hỏi, các phát biểu về thế giới đang xét. Vấn đề đối với
việc xử lý tri thức là không chỉ ở việc liên kết các tri thức, các phát biểu về thế giới
đang xét, mà còn ở việc đánh giá sự đúng đắn của chúng. Lôgíc hình thức cổ điển
7
Website: Email : Tel (: 0918.775.368
cho phép chúng ta đánh giá một phát biểu về thế giới là hoặc đúng, hoặc sai. Tuy
nhiên, trong thực tế, đánh giá một phát biểu chỉ có đúng hoặc sai là rất khó nếu
không muốn nói là phi thực tế. Lấy ví dụ: đối với các tri thức dạng “Áp suất cao”,
“Thể tích nhỏ”, “Quả táo đỏ”, việc xác định một cách chính xác trị chân lý của
chúng là không hay một là rất khó khăn do các từ “cao”, “nhỏ”, hay “đỏ” hoàn toàn
có tính chất mờ hồ. Từ đó, Zadeh đã mở rộng lôgíc mệnh đề thành lôgíc mờ, trong
đó, mỗi mệnh đề P sẽ được gán cho một trị chân lý υ(P), là một giá trị trong đoạn
[0,1], biểu diễn mức độ đúng đắn của mệnh đề đó. Hay
Để có thể tiến hành các thao tác lôgíc trên các mệnh đề, chúng ta cần phải
có các phép toán lôgíc mờ. Đó chính là các phép toán t-chuẩn tương ứng với phép
hội, t-đối chuẩn ứng với phép tuyển, và phép kéo theo mờ.
Bên cạnh đó, ngưỡng cũng là khái niệm hết sức tự nhiên trong các bài toán
của thế giới thực. Những suy luận có sử dụng ngưỡng là rất hay gặp trong đời sống.
Lấy ví dụ, trong công tác chẩn đoán bệnh nhân. Nếu một số thông số đầu vào đạt
những giá trị ngưỡng, dạng như nhiệt độ trên 41
o
C, nhịp tim trên 150, … hiển nhiên
chúng ta phải có những suy luận khác với khi các giá trị này chưa đạt giá trị
ngưỡng. Chương này tập trung vào việc nghiên cứu các toán tử mờ có ngưỡng sử
dụng làm công cụ cho quá trình trích rút các luật mờ.
Mở đầu của các nghiên cứu về toán tử mờ có ngưỡng chính là t-chuẩn có
ngưỡng. Khái niệm t-chuẩn có ngưỡng do Dubois, Prade giới thiệu đầu tiên trong
[14], sau đó được Iancu xem xét một cách đầy đủ hơn trong [31]. Sau đó, một số kết

quả về các lớp toán tử mờ có ngưỡng t-chuẩn, t-đối chuẩn, và kéo theo đã được xem
xét trong [9-13]. Chương này sẽ nhắc lại các khái niệm về toán tử mờ, toán tử mờ
có ngưỡng, lớp toán tử mờ có ngưỡng đồng dạng. Đồng thời, chúng tôi sẽ tiến hành
xem xét một số tính chất đại số của các lớp này. Phần cuối chương là các xem xét
giải tích đối với các lớp toán tử mờ tham số nhằm làm tiền đề cho việc tạo ra các
toán tử mờ có ngưỡng tham số.
8
Website: Email : Tel (: 0918.775.368
Trước hết, chúng ta bắt đầu bằng việc tìm hiểu về các toán tử mờ và một số
tính chất đặc trưng của chúng.
2.1 Toán tử mờ
Toán tử mờ là những phép toán trên lôgíc mờ, nghĩa là những phép toán trên các giá
trị lôgíc của các mệnh đề. Như thế, một cách tổng quát, các phép toán trên đoạn
[0,1] đều có thể là toán tử mờ. Trong phần này chúng ta sẽ tìm nhắc lại các định
nghĩa và một số tính chất của các phép toán lôgíc cơ bản, đó là phép phủ định, phép
hội hay t-norm, phép tuyển hay t-conorm.
2.1.1. Phủ định
Định nghĩa 2.1.1[28].
i) Hàm n : [0,1] → [0,1] được gọi là hàm phủ định nếu nó không tăng đồng
thời n(0) = 1 và n(1) = 0.
ii) Một hàm phủ định được gọi là phủ định chặt nếu nó giảm chặt.
iii) Một hàm phủ định được gọi là phủ định mạnh nếu nó là phủ định chặt,
đồng thời n(n(x)) = x với mọi x
∈
[0,1].
Định lý 2.1.1[28]. n là phép phủ định chặt nếu và chỉ nếu tồn tại f thuộc Aut(J) sao
cho n(x) = f
-1
(1-f(x)).
Ở đây, ta chú ý η = 1 - x là một hàm phủ định chặt, và biểu diễn của n

trong định lý có thể được viết thành n(x) = f
-1
(η(f(x))). f khi đó được gọi là hàm sinh
của n, và n có thể được biểu diễn dạng η
f
.
2.1.2. T-chuẩn
Định nghĩa 2.1.2[28]. Một hàm T : [0,1]×[0,1] → [0,1] được gọi là một t-chuẩn
(tương ứng với phép hội trong lôgíc mệnh đề), nếu nó có tính giao hoán, kết hợp,
đơn điệu không giảm theo từng biến, đồng thời T(x,1) = x với mọi x
∈
[0,1].
i) Một t-chuẩn được gọi là liên tục nếu nó liên tục theo từng biến.
9
Website: Email : Tel (: 0918.775.368
ii) Một t-chuẩn được gọi là t-chuẩn Archimedean nếu nó liên tục, đồng thời:
T(x,x) < x với mọi x
∈
(0,1).
iii) Một t-chuẩn được gọi là t-chuẩn chặt nếu nó là Archimedean, đồng thời:
không tồn tại x, y
∈
(0,1) sao cho T(x,y) = 0.
iv) Một t-chuẩn được gọi là t-chuẩn nilpotent nếu nó là Archimedean, đồng
thời: tồn tại x, y
∈
(0,1) sao cho T(x,y) = 0.
2.1.3. T-đối chuẩn
Định nghĩa 2.1.3[28]. Một hàm S : [0,1]×[0,1] → [0,1] được gọi là một t-đối chuẩn
(tương ứng với phép tuyển) nếu nó có tính giao hoán, kết hợp, đơn điệu không giảm

theo từng biến, đồng thời S(0,x) = x với mọi x
∈
[0,1].
Kết quả sau đây cho ta thấy mối tương quan giữa t-chuẩn và t-đối chuẩn.
Định lý 2.1.2[28]. S là t-đối chuẩn nếu và chỉ nếu tồn tại t-chuẩn T và phủ định
mạnh n sao cho S(x,y) = n(T(n(x),n(y))) với mọi x,y
∈
[0,1].
Cặp (T,S) được gọi là đối ngẫu nhau qua phủ định mạnh n.
Bộ ba (T,n,S) được gọi là bộ ba De Morgan.
Một t-đối chuẩn được gọi là liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent nếu đối
ngẫu của nó là liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent tương ứng.
2.1.4. Kéo theo
Định nghĩa 2.1.4[19]. Một hàm I: [0,1]×[0,1]→[0,1] là một hàm kéo theo nếu thoả
các tính chất sau:
i) I(x,y) ≥ I(u,y) nếu x ≤ u
ii) I(x,y) ≥ I(x,v) nếu y ≥ v
iii) I(0,x) = 1
iv) I(x,1) = 1
10
Website: Email : Tel (: 0918.775.368
v) I(1,0) = 0
Trong thực tế, người ta thường sử dụng các hàm kéo theo được định nghĩa
dựa trên các toán tử khác như t-chuẩn, t-đối chuẩn và hàm phủ định. Ta có các kết
quả sau:
Mệnh đề 2.1.3[19]. Cho S là t-đối chuẩn, n là hàm phủ định chặt, thế thì I(x,y) =
S(nx,y) là một hàm kéo theo.
Mệnh đề 2.1.4[19]. Cho T là t-chuẩn, thế thì I(x,y) = sup
z
{T(x,z) ≤ y} là hàm kéo

theo.
Phần tiếp theo là các khái niệm về toán tử mờ có ngưỡng đồng dạng, đồng
thời chúng tôi cũng sẽ nhắc lại một số tính chất của các toán tử mờ sau đó xem xét
mở rộng sang t-chuẩn có ngưỡng.
2.2 Toán tử mờ có ngưỡng
Toán tử mờ có ngưỡng cũng là các toán tử biểu diễn các phép toán trên các giá trị
chân lý của các mệnh đề trong lôgíc mờ. Bênh cạnh đó, mỗi toán tử thuộc loại này
sẽ được gắn thêm các giá trị ngưỡng nhằm biểu diễn sự suy diễn theo ngưỡng mà
chúng tôi đã nói đến ở phần đầu chương.
2.2.1. t-chuẩn có ngưỡng
Trước hết chúng ta sẽ xem xét định nghĩa về t-chuẩn có ngưỡng.
Ký hiệu
J = [0,1].
Cho t
1
, t
2
là hai t-chuẩn, ký hiệu t
1
≥ t
2
nếu và chỉ nếu t
1
(x,y) ≥ t
2
(x,y) với
mọi x, y
∈
J.
Cho α là ngưỡng, nghĩa là α = (α

x
,α
y
), với 0 ≤ α
x
,α
y
≤ 1. Cho t
1
, t
2
là các t-
chuẩn sao cho t
1
≥ t
2
.
Định nghĩa 2.2.1[9]. t-chuẩn có ngưỡng T(x,y,α) được định nghĩa trên J
2
như sau:
11
Website: Email : Tel (: 0918.775.368
T(x,y,α) =



≥≥
kh¸chîp trêng :)y,x(t
αy,αx:)y,x(t
2

yx1
Định nghĩa 2.2.2. Lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng là tập các t-chuẩn có
ngưỡng được xác định như sau:
T
=










∈



≥≥
= ]1,0[α,
:)y,x(t
αy,αx:)y,x(t
)α,y,x(T
2
yx1
kh¸chîp trêng
Ta có thể thấy, việc xác định một t-chuẩn có ngưỡng tương ứng với việc
xác định hai t-chuẩn t
1

, t
2
, và ngưỡng α, việc xác định một lớp các t-chuẩn có
ngưỡng đồng dạng tương ứng với việc xác định hai t-chuẩn t
1
và t
2
.
Ta cũng gọi T(x,y,α) là t-chuẩn có ngưỡng liên tục, Archimedean, chặt,
nilpotent, nếu t
1
, t
2
là liên tục, Archimedeanm chặt, nilpotent tương ứng.
Từ các định nghĩa về t-chuẩn nilpotent và t-chuẩn chặt, và ràng buộc t
1
≥ t
2
,
ta có thể thấy t-chuẩn có ngưỡng Archimedean có thể chia làm ba loại:
i) t-chuẩn có ngưỡng chặt
ii) t-chuẩn có ngưỡng nilpotent
iii) t-chuẩn có ngưỡng hỗn hợp (t
1
là chặt và t
2
là nilpotent).
Ta có kết quả sau thu được trực tiếp từ định nghĩa.
Mệnh đề 2.2.1[9]: Với mọi α
∈

[0,1], với mọi x,y
∈
[0,1], ta luôn có t
1
(x,y) ≥
T(x,y,α) ≥ t
2
(x,y).
Trong các bài toán cụ thể, nói chung, miền ngưỡng α được đưa ra dựa trên
ý kiến của các chuyên gia, chúng phụ thuộc vào thế giới đang được xem xét. Sau
đây, chúng tôi sẽ xem xét về các phương pháp để xây dựng các lớp t-chuẩn có
ngưỡng đồng dạng Archimedean, nói cách khác là việc tạo ra các bộ t
1
, t
2
thoả
t
1
(x,y) ≥ t
2
(x,y) với mọi x,y.
12
Website: Email : Tel (: 0918.775.368
Trước hết, ta nhắc lại phương pháp sử dụng hàm sinh, trong [28], sau đó, ta
sẽ xem xét mở rộng cho t-chuẩn có ngưỡng với cặp hàm sinh.
Ký hiệu
i) Aut(J) là tập các tự đẳng cấu của J, nghĩa là tập các song ánh J → J, bảo
toàn thứ tự.
ii) Aut(J,a) là tập các song ánh bảo toàn thứ tự J → [a,1] với a
∈

[0,1).
Ký hiệu
z
1

∨
z
2
= max(z
1
,z
2
) z
1

∧
z
2
= min(z
1
,z
2
)
Định lý 2.2.2[28]. Cho t là t-chuẩn Archimedean nếu và chỉ nếu tồn tại f tăng chặt:
[0,1] → [0,1], với f(1) = 1, sao cho:
t(x,y) = f
-1
(f(x)f(y)
∨
f(0))

hàm f được xác định duy nhất sai khác một số mũ dương.
Hàm f ở trên được gọi là hàm sinh nhân tính của t-chuẩn Archimedean t.
Ta cũng có thể thấy, nếu t là t-chuẩn chặt thì f(0) = a = 0, còn nếu t là t-chuẩn
nilpotent, ta có f(0) > 0.
Bên cạnh việc biểu diễn các t-chuẩn Archimedean thông qua hàm sinh
nhân tính, chúng ta cũng có thể sử dụng hàm sinh cộng tính để xây dựng các t-
chuẩn này [28].
Định lý 2.2.3 [28] Cho t là t-chuẩn Archimedean nếu và chỉ nếu tồn tại hàm g liên
tục, giảm chặt: [0,1] → [0,∞], với g(1) = 0, sao cho:
t(x,y) = g
-1
(g(x)+g(y)
∧
g(0))
hàm g xác định duy nhất sai khác một hằng số nhân dương.
Hàm g được gọi là hàm sinh cộng tính của t-chuẩn t. Và nếu t là t-chuẩn
chặt, ta có g(0) = ∞, nếu t là t-chuẩn nilpotent, ta có g(0) < ∞. Kết quả sau cho ta
mối tương quan giữa hàm sinh nhân tính và hàm sinh cộng tính.
13
Website: Email : Tel (: 0918.775.368
Mệnh đề 2.2.4 [28]. Cho t là t-chuẩn Archimedean với g là hàm sinh cộng tính, thế
thì f(x) = e
-g(x)
là hàm sinh nhân tính của t.
Ký hiệu
t
f
là t-chuẩn sinh bởi hàm sinh nhân tính (cộng tính) f.
Ta có thể thấy, lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng được xác định dựa
theo hai t-chuẩn thành phần t

1
, t
2
sao cho t
1
≥ t
2
. Để mở rộng khái niệm hàm sinh,
trước hết, ta xem xét các kết quả về so sánh giữa hai t-chuẩn Archimedean thông
qua các hàm sinh của chúng.
Định lý 2.2.5 [34]. Cho t
1
, t
2
là hai t-chuẩn Archimedean với g
1
, g
2
là hai hàm sinh
cộng tính tương ứng. Khi đó, t
1
≤ t
2
khi và chỉ khi h = g
1○
g
2
-1
là hàm dưới cộng tính,
nghĩa là:

g
1○
g
2
-1
(u+v) ≤ g
1○
g
2
-1
(u) + g
1○
g
2
-1
(v)
với mọi u, v
∈
[0,g
2
(0)] sao cho u+v
∈
[0,g
2
(0)].
Định lý 2.2.6. Cho t
1
, t
2
là hai t-chuẩn Archimedean với f

1
, f
2
là hai hàm sinh nhân
tính tương ứng. Khi đó, t
1
≤ t
2
khi và chỉ khi h = f
2○
f
1
-1
là hàm dưới nhân tính, nghĩa
là:
f
2○
f
1
-1
(uv) ≤ f
2○
f
1
-1
(u)f
2○
f
1
-1

(v)
với mọi u, v
∈
[f
1
(0),1] sao cho uv
∈
[f
1
(0),1].
Chứng minh: Trước hết, ta xét điều kiện đủ. Ta có, giả sử
f
2○
f
1
-1
(uv) ≤ f
2○
f
1
-1
(u)f
2○
f
1
-1
(v)
với mọi u, v
∈
[0,f

1
(0)] sao cho uv
∈
[0,f
1
(0)].
Đặt x = f
1
-1
(u), y = f
1
-1
(v), khi đó
x, y
∈
[0,1], f
1
(x)f
1
(y)
∈
[f
1
(0),1] và u = f
1
(x), v = f
1
(y)
Từ giả thiết, ta có:
f

2
(0) ≤ f
2○
f
1
-1
(f
1
(x)f
1
(y)) ≤ f
2
(x)f
2
(y)
14
Website: Email : Tel (: 0918.775.368
tức là:
f
1
-1
(f
1
(x)f
1
(y)) ≤ f
2
-1
(f
2

(x)f
2
(y))
Nghĩa là với mọi x, y
∈
[0,f
1
(0)] sao cho f
1
(x)f
1
(y)
∈
[f
1
(0),1] ta có:
t
1
(x,y) = f
1
-1
(f
1
(x)f
1
(y)
∨
f
1
(0))

≤
f
2
-1
(f
2
(x)f
2
(y)
∨
0) = t
2
(x,y)
Hơn nữa, hiển nhiên, với f
1
(x)f
1
(y) ≤ f
1
(0), thì:
t
1
(x,y) = f
1
-1
(f
1
(x)f
1
(y)

∨
f
1
(0)) = 0 ≤ t
2
(x,y)
Chứng minh điều kiện cần tương tự như điều kiện đủ, xét với x, y
∈
[0,1]
sao cho f
1
(x)f
1
(y)
∈
[f
1
(0),1] □.
Bổ đề 2.2.7. Cho f
1
, f
2
là hai hàm tăng chặt [0,1] → [0,1] với f
1
(1) = f
2
(1) = 1 sao
cho
f
2○

f
1
-1
(uv) ≤ (f
2○
f
1
-1
(u)f
2○
f
1
-1
(v))
với mọi u, v
∈
[f
1
(0),1] sao cho uv
∈
[f
1
(0),1]. Cho g
1
, g
2
là hai hàm sao cho f
1
=
1

r
1
g
, f
2
=
2
r
2
g
với r
1
, r
2
> 0 nào đó, thế thì
g
2○
g
1
-1
(uv)) ≤ g
2○
g
1
-1
(u)g
2○
g
1
-1

(v)
với mọi u,v
∈
[g
1
(0),1] sao cho uv
∈
[g
1
(0),1].
Chứng minh: Trước hết, ta có nếu f
1
(x) =
1
r
1
g
(x) thì f
1
-1
(
1
r
x
)= g
1
-1
(x), tương tự cho f
2
và g

2
.
Ta lại có, với u, v
∈
[g
1
(0),1] sao cho uv
∈
[g
1
(0),1] thì
1
r
u
,
1
r
v

∈
[f
1
(0),1]
và
( )
1
r
uv

∈

[f
1
(0),1]
Xét u, v
∈
[g
1
(0),1] sao cho uv
∈
[g
1
(0),1], ta có:
g
2○
g
1
-1
(uv) =
( )
( )( )
1
2
r
1
1
r
1
2
uvff
−

≤
))v(f(f))u(f(f
1212
r
1
1
r
1
2
r
1
1
r
1
2
−−
= g
2○
g
1
-1
(u)g
2○
g
1
-1
(v) □.
Chứng minh tương tự, ta cũng có kết quả sau.
15
Website: Email : Tel (: 0918.775.368

Bổ đề 2.2.8. Cho g
1
, g
2
là hai hàm giảm chặt [0,1] → [0,∞] với g
1
(1) = g
2
(1) = 0, sao
cho
g
1○
g
2
-1
(u+v) ≤ g
1○
g
2
-1
(u) + g
1○
g
2
-1
(v)
với mọi u, v
∈
[0,g
2

(0)] sao cho uv
∈
[0,g
2
(0)]. Cho f
1
, f
2
là hai hàm sao cho g
1
=
r
1
f
1
, g
2
= r
2
f
2
, với r
1
, r
2
> 0 nào đó, thế thì
f
1○
f
2

-1
(u+v) ≤ f
1○
f
2
-1
(u) + f
1○
f
2
-1
(v)
với mọi u, v
∈
[0,f
2
(0)] sao cho uv
∈
[0,f
2
(0)].
Ký hiệu
Aut(J,a
1
,a
2
) = {(f
1
,f
2

) | f
1

∈
Aut(J,a
1
), f
2

∈
Aut(J,a
2
), h = f
1○
f
2
-1
là hàm dưới
nhân tính}
Aut2(J) = Aut(J,0,0).
Xét R
+
là tập các số thực dương, ta đồng nhất ký hiệu R
+
là tập các hàm
dạng x → x
r
, với r > 0 nào đó.
Từ định lý 2.2.2, 2.2.3, 2.2.5, 2.2.6 và bổ đề 2.2.7, 2.2.8 ta có các kết quả
sau:

Hệ quả 2.2.9.
i) Cho
T
(x,y) là lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng Archimedean với
các t-chuẩn thành phần là t
1
, t
2
nếu và chỉ nếu tồn tại a
1
, a
2
thuộc [0,1), và (f
1
,f
2
)
thuộc Aut(J,a
1
,a
2
) sao cho
t
1
(x,y) = f
1
-1
(f
1
(x)f

1
(y)
∨
a
1
) và t
2
(x,y) = f
2
-1
(f
2
(x)f
2
(y)
∨
a
2
)
đồng thời h = f
1○
f
2
-1
là hàm dưới nhân tính.
ii) Cặp (g
1
,g
2
) khác thoả điều kiện này nếu và chỉ nếu f

1
=
1
r
1
g
và f
2
=
2
r
2
g
với
r
1
, r
2
> 0 nào đó.
Hệ quả 2.2.10.
16
Website: Email : Tel (: 0918.775.368
i) Cho
T
(x,y) là lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng Archimedean với
các t-chuẩn thành phần là t
1
và t
2
nếu và chỉ nếu tồn tại g

1
, g
2
là các hàm giảm chặt :
[0,1] → [0,∞] sao cho
t
1
(x,y) = g
1
-1
(g
1
(x)+g
1
(y)
∧
g
1
(0)) và t
2
(x,y) = g
2
-1
(g
2
(x)+g
2
(y)
∧
g

2
(0))
đồng thời h = g
2○
g
1
-1
là hàm dưới cộng tính
ii) Cặp (f
1
,f
2
) khác thoả điều kiện này nếu và chỉ nếu g
1
= r
1
f
1
, g
2
= r
2
f
2
với r
1
,
r
2
> 0 nào đó.

Từ đó, ta có định nghĩa về các cặp hàm sinh cho lớp các t-chuẩn có ngưỡng
đồng dạng Archimedean như sau.
Định nghĩa 2.2.3. Cặp hàm (f
1
,f
2
) là các hàm tăng chặt từ [0,1] → [0,1] sao cho f
1○
f
2
-
1
là hàm dưới nhân tính có thể biểu diễn một lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng
Archimedean
T
nào đó và được gọi là cặp hàm sinh nhân tính của
T
.
Định nghĩa 2.2.4. Cặp hàm (g
1
,g
2
) là các hàm giảm chặt từ [0,1] → [0,∞] sao cho
g
2○
g
1
-1
là hàm dưới cộng tính có thể biểu diễn một lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng
Archimedean

T
nào đó và được gọi là cặp hàm sinh cộng tính của
T
.
Các kết quả về các cặp hàm sinh ở đây, sẽ được sử dụng trong việc xây
dựng các lớp toán tử mờ có ngưỡng tham số trong phần cuối của tài liệu này.
Ký hiệu
G2 là tập tất cả các cặp hàm sinh nhân tính.
Cho r
∈
R
+
, ký hiệu r(x) = x
r
.
Trong G2 xét phép hợp thành (f
1
,f
2
)
○
(g
1
,g
2
) = (f
1○
g
1
,f

2○
g
2
). Xét quan hệ
tương đương ~ giữa các cặp hàm sinh nếu chúng tạo ra cùng một lớp t-chuẩn có
ngưỡng đồng dạng. Khi đó, theo hệ quả 2.2.9, ta có ~ phân hoạch G2 thành các lớp
dạng (R
+
)
2
(f
1
,f
2
).
Từ nhận xét trên, ta có các kết quả sau:
17
Website: Email : Tel (: 0918.775.368
Hệ quả 2.2.11. Ký hiệu
21
f,f
T
là lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng Archimedean
sinh bởi cặp hàm sinh nhân tính (f
1
,f
2
), khi đó ánh xạ
21
f,f

T
→ (R
+
)
2
(f
1
,f
2
) là tương
ứng một-một giữa tập các lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng Archimedean và phân
hoạch {(R
+
)
2
(f
1
,f
2
) : (f
1
,f
2
)
∈
G2} của G2.
Hệ quả 2.2.12. Ánh xạ
21
f,f
T

→ (R
+
)
2
(f
1
,f
2
) là tương ứng một-một giữa tập các lớp t-
chuẩn có ngưỡng đồng dạng chặt với phân hoạch {(R
+
)
2
(f
1
,f
2
) : (f
1
,f
2
)
∈
G2} của G2.
Các kết quả trên cho ta thấy tương ứng giữa các lớp t-chuẩn có ngưỡng
đồng dạng với các lớp cặp hàm sinh nhân tính. Sau đây là các kết quả cho ta tương
ứng giữa các cặp hàm sinh với các lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng. Trước hết, ta
xét bổ đề sau:
Bổ đề 2.2.13. Cho (a
1

,a
2
)
∈
(0,1)
2
. Khi đó, một lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng sẽ
có duy nhất một cặp hàm sinh nhân tính (f
1
,f
2
) sao cho f
1
(a
1
) = a
1
và f
2
(a
2
) = a
2
.
Chứng minh: Cho (f
1
,f
2
)
∈

G2 là cặp hàm sinh nhân tính của t-chuẩn có ngưỡng
đồng dạng Archimedean
21
f,f
T
. Ta có bổ đề tương đương với có duy nhất một phần
tử (r
1
,r
2
)(f
1
,f
2
) trong (R
+
)
2
(f
1
,f
2
) sao cho
1
r
1
f
(a
1
) = a

1
và
2
r
2
f
(a
2
) = a
2
. Giả sử f
1
(a
1
) = b
1
,
khi đó, tồn tại duy nhất r
1
> 0 sao cho
1
r
1
b
= a
1
, tương tự với f
2
, từ đó, ta có đpcm □.
Từ bổ đề trên, ta có các kết quả sau:

Mệnh đề 2.2.14. Cho a
1
,a
2

∈
(0,1), ký hiệu
21
a,a
G
= {(g
1
,g
2
)
∈
G2 : g
1
(a
1
) = a
1
và
g
2
(a
2
) = a
2
}. Khi đó, ánh xạ (g

1
,g
2
) →
21
g,g
T
là tương ứng một một giữa
21
a,a
G
và
tập các lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng Archimedean.
Hệ quả 2.2.15. Ký hiệu
21
a,a
Aut
(J) = Aut(J)
∩

21
a,a
G
. Khi đó, ánh xạ (g
1
,g
2
) →
21
g,g

T
là tương ứng một một giữa
21
a,a
Aut
(J) và tập các lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng
dạng chặt.
18
Website: Email : Tel (: 0918.775.368
Sau đây, ta sẽ xét biểu diễn của các lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng
nilpotent. Giả sử
21
f,f
T
là một lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng nilpotent với cặp
hàm sinh nhân tính (f
1
,f
2
). Nghĩa là f
1
, f
2
là các song ánh bảo toàn thứ tự từ [0,1] vào
[b
1
,1] và [b
2
,1] tương ứng, với b
1

, b
2

∈
(0,1). Khi đó, với a
1
,a
2
thuộc (0,1) cho trước,
tồn tại duy nhất cặp (r
1
,r
2
) thuộc (R
+
)
2
sao cho
1
r
1
b
= a
1
và
2
r
2
b
= a

2
. Nghĩa là tồn tại
duy nhất cặp (g
1
,g
2
) thuộc G2, với g
1
, g
2
là các song ánh bảo toàn thứ tự từ [0,1] vào
[a
1
,1] và [a
2
,1] tương ứng. Từ đó, ta có kết quả sau:
Hệ quả 2.2.16. Cho (a
1
,a
2
) thuộc (0,1)
2
. Khi đó (g
1
,g
2
) →
21
g,g
T

là tương ứng một-
một giữa các cặp song ánh bảo toàn thứ tự từ [0,1] vào [a
1
,1] và [a
2
,1] tương ứng
với các lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng nilpotent.
2.2.2. Đẳng cấu giữa các t-chuẩn có ngưỡng
Trước hết, ta xem xét một kết quả trong [28] và một số hệ quả.
Định lý 2.2.17[28]. Cho t là t-chuẩn, f thuộc Aut(J), khi đó t
f
(x,y) = f
-1
(t(f(x),f(y))
cũng là t-chuẩn. Hơn nữa, nếu t là t-chuẩn liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent thì
t
f
cũng là liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent tương ứng.
Hai t-chuẩn t và t
f
được gọi là đẳng cấu thông qua hàm f, và f được gọi là
đẳng cấu giữa chúng.
Hệ quả 2.2.18. Cho T(x,y,α) là t-chuẩn có ngưỡng, khi đó
T
f
(x,y,α’) := f
-1
(T(f(x),f(y),α) =






≥≥
−
−
))y(f),x(f(t(f
α)y(f,α)x(f:))y(f),x(f(t(f
2
1
yx1
1
là t-chuẩn có ngưỡng α’ := f
-1
(α) = (f
-1
(α
x
),f
-1
(α
y
)). Hơn nữa, nếu T là t-chuẩn có
ngưỡng liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent, hỗn hợp, thì T
f
cũng là t-chuẩn có
ngưỡng liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent, hỗn hợp tương ứng.
Chứng minh: Từ định lý 2.2.17, ta có
t
1

’(x,y) = f
-1
(t
1
(f(x),f(y))) và t
2
’(x,y) = f
-1
(t
2
(f(x),f(y)))
19
Website: Email : Tel (: 0918.775.368
là các t-chuẩn.
Mặt khác, do f là song ánh tăng, nên f
-1
là song ánh tăng. Mặt khác, ta có
t
1
(x,y) ≥ t
2
(x,y)
⇒
t
1
’(x,y) = f
-1
(t
1
(f(x),f(y))) ≥ f

-1
(t
2
(f(x),f(y))) = t
2
’(x,y), vậy
T
f
(x,y,α’) là t-chuẩn có ngưỡng.
Các tính chất của T(x,y,α’) tương ứng với các tính chất của t
1
’, t
2
’, tương
ứng với các tính chất của t
1
, t
2
, tương ứng với các tính chất của T(x,y,α) □.
Hai t-chuẩn có ngưỡng T và T
f
được gọi là đẳng cấu với nhau thông qua
hàm f và f được gọi là đẳng cấu giữa chúng.
Hệ quả 2.2.19. Cho
T
= {T(x,y,α)} là lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng và
T
f
= {T
f

(x,y,α’) : α’ = f
-1
(α), α
∈
[0,1)} cũng là lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng.
Hơn nữa, nếu
T
là liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent, hỗn hợp thì
T
f
cũng là
liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent, hỗn hợp tương ứng.
Chứng minh: Ta có, theo hệ quả 2.2.18, các hàm T
f
(x,y,α’) là các t-chuẩn có
ngưỡng, hơn nữa, từ f là đẳng cấu trên J, ta có khi α
x
và α
y
biến thiên từ 0 tới 1 thì f
-
1
(α
x
) và f
-1
(α
y
) cũng biến thiên từ 0 tới 1. Từ đó ta có
T

f
cũng là lớp t-chuẩn có
ngưỡng đồng dạng. Các tính chất của
T
f
tương ứng với các tính chất của
T
theo hệ
quả 2.2.18 □.
Hai lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng
T
và
T
f
được gọi là đẳng cấu với
nhau thông qua hàm f và f được gọi là đẳng cấu giữa chúng.
Bây giờ chúng ta sẽ xét một vài tính chất về các đẳng cấu giữa các t-chuẩn.
Mệnh đề 2.2.20. Cho hai t-chuẩn có ngưỡng: T
1
(x,y,α
1
) = (t
1
1
,t
1
2
,α
1
)(x,y) và

T
2
(x,y,α
2
) = (t
2
1
,t
2
2
,α
2
). Nếu h là đẳng cấu giữa t
1
1
, t
2
1
và là đẳng cấu giữa t
1
2
và t
2
2
,
đồng thời h(α
1x
) = α
2x
, h(α

1y
) = α
2y
, thì h là đẳng cấu giữa T
1
và T
2
.
Chứng minh mệnh đề này được suy trực tiếp từ định nghĩa.
20
Website: Email : Tel (: 0918.775.368
Mệnh đề 2.2.21. Cho hai lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng
T
1
= (t
1
1
,t
1
2
) và
T
2
=
(t
2
1
,t
2
2

). h là đẳng cấu giữa
T
1
và
T
2
nếu và chỉ nếu h là đẳng cấu giữa t
1
1
và t
2
1
,
đồng thời là đẳng cấu giữa t
1
2
và t
2
2
.
Chứng minh: Phần nếu là kết quả trực tiếp của mệnh đề 2.2.20. Sau đây chúng ta
xét phần chỉ nếu.
Xét T
1
(x,y,(0,0)) = t
1
1
(x,y) thuộc
T
1

, theo định nghĩa, tồn tại T
2
(x,y,α)
thuộc
T
2
sao cho h(T
1
(x,y,(0,0)) = T
2
(h(x),h(y),α), vậy α = (h(0),h(0)) = (0,0).
Nghĩa là T
2
(x,y,α) = t
2
1
(x,y), nghĩa là h là đẳng cấu giữa t
1
1
và t
2
1
.
Tương tự, xét trường hợp khi ngưỡng α = (1,1), ta cũng có h là đẳng cấu
giữa t
1
2
và t
2
2

□.
Ký hiệu:
i) Aut(J,t
1
,t
2
) là tập các đẳng cấu giữa hai t-chuẩn t
1
,t
2
.
ii) Aut(J,T
1
,T
2
) là tập các đẳng cấu giữa hai t-chuẩn có ngưỡng T
1
, T
2
.
iii) Aut(J,
T
1
,
T
2
) là tập các đẳng cấu giữa hai lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng
dạng
T
1

,
T
2
.
Tiếp theo, chúng ta sẽ nghiên cứu một số tính chất về tự đẳng cấu.
Định nghĩa 2.2.5. Xét f thuộc Aut(J)
i) f gọi là tự đẳng cấu của t-chuẩn t nếu và chỉ nếu f(t(x,y)) = t(f(x),f(y)) với
mọi x,y.
ii) f gọi là tự đẳng cấu của t-chuẩn có ngưỡng T nếu và chỉ nếu f(T(x,y,α) =
T(f(x),f(y),f(α)).
iii) f gọi là tự đẳng cấu của lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng nếu và chỉ
nếu
T
= {T(x,y,α) : α
∈
[0,1]
2
} = {f
-1
(T(f(x),f(y),α’) : α’
∈
[0,1]
2
}
Ký hiệu
i) Aut(J,t) là tập các tự đẳng cấu của t.
21
Website: Email : Tel (: 0918.775.368
ii) Aut(J,T) là tập các tự đẳng cấu của T.
iii) Aut(J,

T
) là tập các tự đẳng cấu của
T
.
Trên Aut(J), xác định phép toán hợp thành. Từ [28] ta đã biết Aut(J) cùng
với phép toán hợp thành lập thành một nhóm. Từ [12], ta có Aut(J,T) là nhóm con
của Aut(J). Kết hợp với mệnh đề 2.2.21 ta có kết quả sau:
Mệnh đề 2.2.22. Aut(J,
T
) là nhóm con của Aut(J,T).
Dựa trên mệnh đề 2.2.21 và mệnh đề 2.2.22, ta có kết quả sau:
Hệ quả 2.2.23.
i) Aut(J,t
1
)
∩
Aut(J,t
2
)
⊆
Aut(J,T)
ii) Aut(J,t
1
)
∩
Aut(J,t
2
) = Aut(J,
T
)

Sau đây, ta sẽ nhắc lại một số kết quả trong [28] cũng như mở rộng của
chúng cho t-chuẩn có ngưỡng. Chú ý rằng, từ đây về sau, trong các phát biểu về
hàm sinh, nếu không có chú thích gì, chúng tôi chỉ đề cập đến các hàm sinh nhân
tính.
Định lý 2.2.24[28]. Cho t
f
và t
g
là hai t-chuẩn chặt, thế thì tập các đẳng cấu giữa
chúng là g
-1
R
+
f.
Hệ quả 2.2.25. Cho
21
f,f
T
và
21
g,g
T
là hai lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng chặt,
thế thì tập các đẳng cấu giữa chúng là g
1
-1
R
+
f
1

∩
g
2
-1
R
+
f
2
.
Mệnh đề 2.2.26[28]. Cho t là t-chuẩn liên tục, thế thì Aut(J,t) = f
-1
R
+
f, với f
∈

Aut(J) nào đó nếu và chỉ nếu t là t-chuẩn chặt.
Hệ quả 2.2.27. Cho
T
là lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng liên tục, thế thì
Aut(J,
T
) = f
1
-1
R
+
f
1

∩
f
2
-1
R
+
f
2
với f
1
, f
2

∈
Aut(J) nào đó, nếu và chỉ nếu
T
là lớp các
t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng chặt.
Định lý 2.2.28[28]. Cho t
f
, t
g
là t-chuẩn nilpotent. r > 0, sao cho g(0) = f
r
(0). Khi đó
g
-1
rf là đẳng cấu duy nhất giữa t
f

và t
g
.
22
Website: Email : Tel (: 0918.775.368
Hệ quả 2.2.29. Cho
21
f,f
T
và
21
g,g
T
là hai lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng
nilpotent đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi tồn tại r
1
, r
2
> 0 sao cho g
1
(0) =
1
r
1
f
(0) và
g
2
(0) =
2

r
2
f
(0), đồng thời g
1
-1
r
1
f
1
= g
2
-1
r
2
f
2
. Khi đó g
1
-1
r
1
f
1
là đẳng cấu duy nhất.
Hệ quả 2.2.30. Cho
21
f,f
T
và

21
g,g
T
là hai lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng hỗn
hợp là đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi tồn tại r
1
, r
2
> 0 sao cho g
2
(0) =
2
r
2
f
(0), đồng
thời g
1
-1
r
1
f
1
= g
2
-1
r
2
f
2

. Khi đó g
2
-1
r
2
f
2
là đẳng cấu duy nhất.
Định lý 2.2.31[28]. Cho t là t-chuẩn nilpotent. Khi đó Aut(J,t) = {1}.
Hệ quả 2.2.32. Cho
21
f,f
T
là lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng nilpotent (hỗn
hợp). Khi đó Aut(J,
21
f,f
T
) = {1}.
2.2.3. t-đối chuẩn có ngưỡng và bộ ba De Morgan có ngưỡng
Cho s
1
, s
2
là t-đối chuẩn sao cho s
1
(x,y) ≤ s
2
(x,y) với mọi x, y thuộc [0,1], β
là ngưỡng, nghĩa là β = (β

x
,β
y
), khi đó t-đối chuẩn có ngưỡng được định nghĩa như
sau.
Định nghĩa 2.2.6[9]. t-đối chuẩn có ngưỡng S(x,y,β) được xác định trên [0,1]×[0,1]
như sau:
S(x,y,β) =



≤≤
kh¸chîp trêng :)y,x(s
βy,βx:)y,x(s
2
yx1
Định nghĩa 2.2.7.
S
=










∈




≤≤
=
2
2
yy1
]1,0[β,
:)y,x(s
βy,βx:)y,x(s
)β,y,x(S
kh¸chîp trêng
là lớp các t-đối chuẩn có ngưỡng đồng dạng.
23
Website: Email : Tel (: 0918.775.368
Tương tự như đối với t-chuẩn, t-đối chuẩn có ngưỡng cũng được gọi là t-
đối chuẩn liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent, hỗn hợp theo các tính chất của s
1
,
s
2
.
Phần tiếp theo, chúng ta sẽ khảo sát tính đối ngẫu của t-chuẩn và t-đối
chuẩn có ngưỡng, trước hết, ta có các kết quả sau.
Mệnh đề 2.2.33[19]. Cho t
1
≤ t
2
, khi đó

s
1
(x,y) = n(t
1
(n(x),n(y))) ≥ s
2
(x,y) = n(t
2
(n(x),n(y)))
với n là phép phủ định chặt.
Mệnh đề trên cũng là cơ sở cho việc xây dựng t-đối chuẩn có ngưỡng từ t-
chuẩn có ngưỡng.
Mệnh đề 2.2.34.
i) S(x,y,β) là t-đối chuẩn có ngưỡng khi đó tồn tại t-chuẩn có ngưỡng
T(x,y,α) và hàm phủ định chặt n sao cho
β = n(α), và S(x,y,β) = n(T(n(x),n(y),α))
và ngược lại.
ii)
S
là lớp các t-đối chuẩn có ngưỡng đồng dạng nếu và chỉ nếu tồn tại
T
là
lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng sao cho
S
= {n(T(n(x),n(y),α)) : α
∈
[0,1]
2
}
và ngược lại.

Chứng minh của mệnh đề là đơn giản dựa vào định lý 2.1.2, với chú ý là
khi n(x) ≥ α
x
thì x ≤ n(α
x
) = β
x
, tương tự cho α
y
và β
y
, và khi α
x
, α
y
biến thiên từ 0 tới
1 thì β
x
= n(α
x
) và β
y
= n(α
y
) biến thiên từ 1 tới 0, tương ứng.
S và T,
S
và
T
được gọi là đối ngẫu với nhau qua phủ định chặt n.

Từ [28], ta đã biết, các t-đối chuẩn Archimedean có thể được biểu diễn
thông qua hàm đối sinh nhân tính g là song ánh giảm từ [0,1] vào [b,1] dạng: s
g
(x,y)
24
Website: Email : Tel (: 0918.775.368
= g
-1
(g(x)g(y)
∨
b), với g = fn, trong đó f là hàm sinh nhân tính của t-chuẩn t là đối
ngẫu của s qua phủ định chặt n. Tương tự, lớp
S
các t-đối chuẩn Archimedean đồng
dạng có thể được biểu diễn thông qua cặp hàm đối sinh (g
1
,g
2
) với g
1
= f
1
n, g
2
= f
2
n,
trong đó (f
1
,f

2
) là cặp hàm sinh của
T
là lớp các t-đối chuẩn có ngưỡng đồng dạng
đối ngẫu của
S
qua phủ định chặt n.
Sau đây là kết quả về đẳng cấu giữa các t-đối chuẩn có ngưỡng.
Mệnh đề 2.2.35. Cho T
1
, T
2
là hai t-đối chuẩn có ngưỡng đẳng cấu với nhau thông
qua hàm f. S
1
, S
2
là hai t-đối chuẩn đối ngẫu với T
1
, T
2
qua các phủ định chặt n
1
, n
2
tương ứng. Khi đó S
1
, S
2
đẳng cấu với nhau thông qua n

2
fn
1
.
Chứng minh: Thật vậy, dựa vào định nghĩa và mệnh đề 2.2.34, ta có :
n
2
(f(n
1
(S
1
(x,y,β
1
)))) = n
2
(f(T
1
(n
1
(x),n
1
(y),n
1
(β
1
))))
= n
2
(f(T
1

(n
1
(x),n
1
(y),α
1
)))
= n
2
(T
2
(f(n
1
(x)),f(n
1
(y)),f(α
1
)))
= n
2
(T
2
(f(n
1
(x)),f(n
1
(y)),α
2
))
= S

2
(n
2
(f(n
1
(x))),n
2
(f(n
1
(y))),n
2
(α
2
))
= S
2
(n
2
(f(n
1
(x))),n
2
(f(n
1
(y))),β
2
) □.
Hệ quả 2.2.36. Cho
T
1

,
T
2
là hai lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng đẳng cấu với
nhau thông qua hàm f.
S
1
,
S
2
là đối ngẫu với
T
1
,
T
2
qua các phủ định chặt n
1
, n
2
tương ứng, thế thì
S
1
,
S
2
là đẳng cấu với nhau thông qua n
2
fn
1

.
Định nghĩa 2.2.8.
i) Bộ ba (T,S,n) với T là t-chuẩn có ngưỡng, S là t-đối chuẩn có ngưỡng đối
ngẫu với T qua phủ định chặt n được gọi là bộ ba De Morgan có ngưỡng.
ii) Tập (
T
,
S
,n) = {(T(x,y,α),S(x,y,β),n) : α = n(β), α
∈
[0,1]
2
} được gọi là
lớp các bộ ba De Morgan có ngưỡng đồng dạng.
25