đạo hàm và vi phân

Nội dung


1 – Đạo hàm
2 – Vi phân.
3 – Định lý giá trị trung bình
4 – Công thức Taylor, Maclaurint
Định nghĩa (đạo hàm)
Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm .
0
x
'
00
0
0
( ) ( )
( ) lim
x
f x x f x
fx
x

  


được gọi là đạo hàm của f tại điểm x
0
.
'
0
()fx

I. Đạo hàm
Ví dụ
Tìm đạo hàm của hàm tại điểm x
0

( ) cosf x x
'
00
0
0
( ) ( )
( ) lim
x
f x x f x
fx
x

  


00
0
cos( ) cos
lim
x
x x x
x

  



0
0
sin sin
22
lim
2
x
xx
x
x








0
sin( )x
'
0
(0 ) (0)
(0) lim
x
f x f
f
x


  


Ví dụ
Tìm , biết
2
1
sin , 0
()
0, 0
xx
fx
x
x











'
(0)f
   
2
0

sin 1/ 0
lim
x
xx
x

  


0
1
lim sin
x
x
x



  





0
(bị chặn x vô cùng bé)
Định nghĩa (đạo hàm phải)
Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm .
0
x

00
0
0
( ) ( )
'( ) lim
x
f x x f x
fx
x



  


được gọi là đạo hàm phải của f tại điểm x
0
.
'
0
()fx

Định nghĩa (đạo hàm trái)
Hàm số y = f(x) xác định trong lân cận của điểm .
0
x
00
0
0
( ) ( )

'( ) lim
x
f x x f x
fx
x



  


được gọi là đạo hàm trái của f tại điểm x
0
.
'
0
()fx

Định nghĩa (đạo hàm vô cùng)
Nếu , thì ta nói hàm
00
0
( ) ( )
lim
x
f x x f x
x

  



có đạo hàm vô cùng tại điểm x
0
.
Định lý
Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm , khi và chỉ khi
0
x
nó có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại điểm x
0
và
hai đạo hàm này bằng nhau.
'
0
(0 ) (0)
(0 ) lim
x
f x f
f
x



  


Ví dụ
Tìm , biết
1/
,0

()
0, 0
x
ex
fx
x






''
(0 ); (0 )ff

1/
0
0
lim
x
x
e
x






 

'
0
(0 ) (0)
(0 ) lim
x
f x f
f
x



  


1/
0
0
lim
x
x
e
x






0
Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau,

nên đạo hàm tại x = 0 không tồn tại.
Ví dụ
Tìm , biết
2
( ) 3| | 2f x x x  
'
()fx
Tại điểm x = 0:
2
2
3 2, 0
()
3 2, 0
x x x
fx
x x x

  


  

'
2 3, 0
()
2 3, 0
xx
fx
xx







''
(0 ) 3; (0 ) 3ff

  
Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau,
suy ra không tồn tại đạo hàm tại x = 0.
'
0
(0 ) (0)
(0 ) lim
x
f x f
f
x



  


Ví dụ
Tìm , biết
( ) sin2f x x
''
(0); (0)ff


0
sin2
lim
x
x
x





2
'
0
(0 ) (0)
(0 ) lim
x
f x f
f
x



  


0
sin2
lim

x
x
x





2
Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau,
nên đạo hàm tại x = 0 không tồn tại.
Ví dụ
Tìm , biết
sin
,0
()
1, 0
x
x
fx
x
x









'
()fx
'
2
cos sin
,0
()
0, 0
x x x
x
fx
x
x









'
0
(0 ) (0)
(0) lim
x
f x f
f
x


  


0
sin
1
lim
x
x
x
x






 
2
0
sin
lim
x
xx
x

  



0
'
0
1
arctan
2
(0 ) lim
x
x
f
x








Ví dụ
Tìm , biết
1
arctan , 0
()
,0
2
x
x
fx
x












''
(0 ), (0 )ff


 
'
0
1
arctan
2
(0 ) lim
x
x
f
x









1
Đạo hàm
hàm hợp
 
'
1. 0a 
 
'
1
2. xx




 
'
3.
xx
ee
 
'
4. sin cosxx
 
'
5. cos sinxx
 

'
1
6. ln x
x

 
'
2
1
7. tan
cos
x
x

 
'
2
1
8. cot
sin
x
x


 
'
1'
2. u u u





 
'
'
3.
uu
e e u
   
'
'
4. sin cosu u u
   
'
'
5. cos sinu u u  
 
'
'
6. ln
u
u
u

 
'
'
2
7. tan
cos

u
u
u

 
'
'
2
8. cot
sin
u
u
u


Đạo hàm các hàm lượng giác ngược và hyperbolic
 
'
2
1
1. arcsin
1
x
x


 
'
2
1

2. arccos
1
x
x



 
'
2
1
3. arctan
1
x
x


 
'
2
1
4. arccot
1
x
x



 
'

5. sinh coshxx
 
'
6. cosh sinhxx
 
'
2
1
7. tanh
cosh
x
x

 
'
2
1
8. coth
sinh
x
x

Công thức tính đạo hàm
 
'
'
1. uu


 

'
''
2. u v u v  
 
'
''
3. u v u v u v    
 
'
' ' '
4. u v w u v w u v w u v w          
'
''
2
5.
u u v u v
v
v
  




' ' '
( ), ( ) ( ) ( ) ( )f f u u u x f x f u u x    
Qui tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương,
hàm hợp.
Đạo hàm của hàm hợp
Đạo hàm của hàm ngược.
'

0
'
0
1
()
()
gy
fx

Hàm y = f(x) là hàm 1-1 có hàm ngược x = g(y).
'
'
1
()
()
xy
yx

Nếu f(x) có đạo hàm hữu hạn khác không tại x
0
, thì
hàm
g(y) sẽ có đạo hàm tại y
0
= f(x
0
) và
Ví dụ
Tìm đạo hàm hàm ngược của hàm
3

()f x x x
f(x) là hàm 1-1 trên R, đạo hàm
'2
( ) 1 3 0,f x x x   
'2
11
( ) 1 3
dx
dy
y x x


x = sinh(y) là hàm 1-1, đạo hàm
'
( ) 1/cosh 0,x y y y  
'
'
22
1 1 1
()
()
1 sinh 1
dy
yx
dx
xy
yx
   

Ví dụ

Tìm , biết
sinh
2
yy
ee
xy



'
()yx
Đạo hàm của hàm cho bởi phương trình tham số.
''
'
''
( ) ( )
()
( ) ( )
dy y t dt y t
yx
dx
x t dt x t
  
()
()
x x t
y y t






Hàm y = y(x) cho bởi pt tham số:
Giả sử hàm có hàm ngược
()x x t
()t t x
Khi đó là hàm y theo biến x.
( ) ( ( ))y y t y t x
'
'
'
()
()
()
yt
yx
xt

Ví dụ
Tìm đạo hàm của hàm y = y(x) cho bởi pt tham số
33
cos , sin , (0, /2).x a t y b t t

    
'
'
'
()
()
()

yt
yx
xt

'2
( ) 3 cos sin 0, (0, /2)x t a t t t

    
'2
( ) 3 sin cosy t b t t
2
2
3 sin cos
tan
3 cos sin
b t t b
t
a
a t t
  

Đạo hàm của hàm ẩn.
Để tìm đạo hàm của hàm ẩn, ta đạo hàm hai vế: coi
x là biến, y là hàm theo x.
Hàm y = y(x) với cho ẩn bởi phương trình
( , )x a b
nếu với .
( , ) 0F x y 
( , ( )) 0F x y x 
( , )x a b

Ví dụ
23
cos
xy
e x y


Tìm , biết y = y(x) là hàm ẩn xác định từ
'
()yx
phương trình
 
2 ' 2 '
2 ( ) 3 ( ) sin
xy
e y x x y x y

   
22
'
2
32
()
sin
xy
xy
xe
yx
ey






Ví dụ
Tìm , biết
3
( ) ln ; (2 1),
1 cos
x
e
f x x n n Z
x

   


'
()fx
1 1 1
ln ln(1 cos ) ln(1 cos )
3 3 3 3
x
x
y e x x     
'
1 1 sin
3 3 1 cos
x
y

x

  

'
1 1 sin
3 3 1 cos
x
y
x
  

Ví dụ
Tìm , biết
2
3
47
1
( ) ,
sin
x
f x x n n Z
xx


  ;
'
()fx
2
4

ln ln(1 ) ln 7lnsin
3
f x x x   
2
'
2
3
47
1 2 4 cos
7
3 sin
1
sin
x x x
y
xx
x
xx


    



Đạo hàm hai vế
'
2
2 4 cos
7
3 sin

1
f x x
f x x
x
  

Ví dụ
Tìm , biết
sin
( ) (2 1)
x
f x x
'
()fx
Đạo hàm hai vế
sin
ln ln(2 1) sin .ln(2 1)
x
f x x x   
'
2sin
cos .ln(2 1)
21
fx
xx
fx
  

'
2sin

cos .ln(2 1)
21
x
f f x x
x

   



sin
2sin
(2 1) cos .ln(2 1)
21
x
x
x x x
x

   



Có thể sử dụng:
sin .ln(2 1)
()
xx
f x e



Định nghĩa (đạo hàm cấp cao)
Đạo hàm của hàm y = f(x) là một hàm số.
 
'
'' '
( ) ( )f x f x
Nếu f’(x) khả vi ta có thể lấy đạo hàm một lần nữa
của f’(x), ta được khái niệm đạo hàm cấp hai.
Tiếp tục quá trình ta có đạo hàm cấp n.
 
'
( ) ( 1)
( ) ( )
nn
f x f x


Công thức Leibnitz (tính đạo hàm cấp cao)
Dùng qui nạp ta chứng minh được
 
()
( ) ( )
0

n
n
k k n k
n
k
f g C f g





Giả sử
.y f g
0 (0) ( ) 1 (1) ( 1) ( ) (0)
. . .
n n n n
n n n
C f g C f g C f g

   
Qui ước:
(0) (0)
;.f f g g
Phương pháp tính đạo hàm cấp cao.
1) Sử dụng các đạo hàm cấp cao của một số hàm đã
biết.
2) Phân tích thành tổng các hàm “đơn giản”.
3) Phân tích thành tích của hai hàm: f.g, trong đó f là
hàm đa thức, chỉ có vài đạo hàm khác không, sau đó sử
dụng công thức Leibnitz.
4) Sử dụng khai triển Maclaurint, Taylor (sẽ học)