giải tích chuyên đề tích phân và ứng dụng

Nội dung

2 – Tích phân xác định.
3 – Tích phân suy rộng.
4 – Ứng dụng của tích phân.
I. Tích phân xác định
Bài toán
Tìm diện tích S miền phẳng giới hạn bởi đường cong:
, trục hoành, hai đường thẳng x = a và x = b.
()y f x
Chia S một cách tùy ý ra làm n miền con: S
1
, S
2
, …, S
n
.
Xấp xỉ mỗi miền con S
1
, S
2
, …, S
n
bằng các hình chữ nhật
Hình dưới là các trường hợp chia thành 2 và 4 phần.
Hình dưới là các trường hợp chia thành 8 và 12 phần.
n càng lớn, diện tích tính được càng chính xác.
Trên mỗi miền S
1
, S
2

, …, S
n
lấy tùy ý một điểm
Ta có
12

n
S S S S   
* * *
1 1 0 2 2 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n n
S f x x x f x x x f x x x

         
*
1
()
n
ii
i
S f x x

 

max( ) 0
1
lim ( ) ( )
i
b

n
ii
x
i
a
S f x x f x dx



  




Nếu giới hạn tồn tại không phụ
*
0
1
lim ( )
i
n
ii
x
i
I f x x



 




thuộc cách chia S và cách lấy điểm , thì gọi là
*
i
x
I
tích phân xác định của hàm y = f(x) trên đoạn [a,b] và
Ví dụ
Tìm diện tích S miền phẳng giới hạn bởi đường cong:
, trục hoành, hai đường thẳng x = 0 và x = 1.
2
yx
Chia S thành 4 miền, và chọn điểm trung gian bên trái
Chia S thành 4 miền, và chọn điểm trung gian bên phải
8 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải)
10 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải)
30 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải)
50 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải)
Bảng thống kê một vài giá trị của L
n
và R
n

1. -
b
a
dx b a

Tính chất

2. ( ) ( ) ( ) ;
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx a c b   
  
 
3. ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
   
  
  
 
 
 
00
5. , ( ) 0 , ( ) 0 & x a b f x x a b f x     
4. Nếu , thì
( ) ( )
bb
aa
f x dx g x dx

 
 
, ( ) ( )x a b f x g x  
( ) 0
b
a

f x dx

 
 
 
0 0 0
6. , ( ) ( ) , ( ) ( ) & x a b f x g x x a b f x g x     
Tính chất
7. Nếu f(x) khả tích trên [a,b], thì | f | khả tích trên [a,b]:
( ) ( )
bb
aa
f x dx g x dx

( ) ( )
bb
aa
f x dx g x dx

8. Nếu f(x) khả tích trên [a,b], thì
( ) ( ) ; ( ) ( )
xb
ax
F x f t dt G x f t dt

là những hàm liên tục trên đoạn này.
 
9. ( ) ( ) 0 lẻ
a
a

f x f x dx



Tính chất
 
0
10. ( ) ( ) 2 ( ) chẵn
aa
a
f x f x dx f x dx



 
0
11. ( ) ( ) ( ) tuần hoàn chu kỳ T
a T a
a
f x f x dx f x dx



Ví dụ
Tính
2008
0
sin(2008 sin )I x x dx




Hàm liên tục, tuần hồn chu kỳ và hàm lẻ:
2008T


1004
1004
sin(2008 sin )
tuần hoàn T
I x x dx





0
lẻ

( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a  

Công thức Newton - Leibnitz
Nếu f(x) liên tục trên [a,b], thì với mọi nguyên hàm F(x)
'
( ) ( )
x

a
f t dt f x





Công thức Đạo hàm theo cận trên
Nếu f(x) liên tục trên [a,b], thì với mọi nguyên hàm F(x)
'
()
'
( ) ( ) ( )
x
a
f t dt f x x







Hai phương pháp tính tích phân xác định
Đổi biến
Nếu f(x) liên tục trên (a,b), xác định và liên tục
'
( ), ( ) tt

trong khoảng , ngoài ra

 
12
,tt
 
12
( , ) ( )t t t a t b

   
2
1
'
( ) ( ( )) ( )
t
b
at
f x dx f t t dt



Khi đó:
12
( ) , ( )t a t b


trong đó
Hai phương pháp tính tích phân xác định
Từng phần
bb
b
a

aa
udv uv vdu

Nếu u(x), v(x) cùng với các đạo hàm liên tục trên [a,b],
Chứng minh.
Ví dụ
Tích phân nào lớn hơn
/2 /2
37
00
sin , sinI xdx J xdx



 
 
73
0, /2 sin sinx x x

  
/2 /2
73
00
sin sinxdx xdx



Ví dụ
Chứng minh
1

19
2
0
11
20
20 2
1
x dx
x



 
19 19
19
2
(0,1) :
2
1
xx
xx
x
   

tích phân hai vế ta có biểu
thức cần chứng minh
Ví dụ
Tính giới hạn của dãy
5 5 5
6

12
n
n
S
n


Xét hàm trên đoạn [0,1].
5
()f x x
Chia đoạn [0,1] ra thành n phần bằng nhau, mỗi
phần có độ dài 1/n.
Trên mỗi đoạn con chọn điểm
1
,
kk
nn




k
n
lim
n
n
S

1
1

lim
n
n
k
k
f
nn







5 5 5
5
1 1 2
lim
n
n
nn






1
0
()f x dx


1
6
0
1
lim
66
n
n
x
S


Ví dụ
Tính
1 1 1
lim
12
x
n n n n


  

  

Xét hàm trên đoạn [0,1].
( ) 1/(1 )f x x
Chia [0,1] ra thành n phần bằng nhau, có độ dài 1/n.
Trên mỗi đoạn con chọn điểm

1
,
kk
nn




k
n
1
1
lim
n
n
k
k
f
nn







1 1 1 1
lim
1 1/ 1 2/ 1 /
n

n n n n n


  

  

1
0
()f x dx

1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 1/ 1 2/ 1 /n n n n n n n n n

      

     

1
0
ln2
1
dx
x


