giáo trình cơ lý thuyết - Trường ĐH Bách khoa Hồ Chí Minh

1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Vũ Duy Cường







GIÁO TRÌNH
CƠ LÝ THUYẾT


(Tái bản lần thứ nhất)



NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA
TP HỒ CHÍ MINH - 2002




2
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU 5
PHẦN I. TĨNH HỌC VẬT RẮN

Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC 8
1.1. Các khái niệm cơ bản 8
1.2. Hệ tiên đề tónh học 10
1.3. Một số mô hình phản lực liên kết thường gặp 11
Chương 2. THU GỌN HỆ LỰC. PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG
CỦA HỆ LỰC 16
2.1. Hai đại lượng đặc trưng của hệ lực 16
2.2. Đònh lý tương đương cơ bản 17
2.3. Các hệ quả 19
2.4. Điều kiện cân bằng của hệ lực 22
2.5. Bài toán cân bằng của vật rắn 23
2.6. Các ví dụ 25
2.7. Bài toán cân bằng của hệ vật rắn 31
2.8. Các ví dụ bài toán cân bằng của hệ vật rắn 32
Chương 3. CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT 39
3.1. Bài toán đòn phẳng 39
3.2. Bài toán giàn 39
Chương 4. MA SÁT 48
4.1. Ma sát, các lực ma sát và tính chất của chúng 48
4.2. Bài toán cân bằng của vật rắn chỉ kể đến ma sát trượt 50
4.3. Mô hình bài toán cân bằng có kể đến ma sát lăn 56
Chương 5. TRỌNG TÂM 59
5.1. Các đònh nghóa 59
5.2. Các phương pháp xác đònh tọa độ trọng tâm của các vật 62
5.3. Trọng tâm của một số vật đồng chất 65
PHẦN II. ĐỘNG HỌC 68
Chương 6. ĐỘNG HỌC ĐIỂM 69
6.1. Khảo sát động học điểm bằng phương pháp vector
và tọa độ Decartes 69
6.2. Khảo sát chuyển động điểm bằng tọa độ cực 70

6.3. Khảo sát chuyển động điểm bằng tọa độ tự nhiên 71
6.4. Một số chuyển động đặc biệt 72
Chương 7. CHUYỂN ĐỘNG CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN 76
7.1. Chuyển động tònh tiến của vật rắn 76
7.2. Chuyển động quay quanh trục cố đònh của vật rắn 77
7.3. Các cơ cấu truyền động cơ bản 79
7.4. Các ví dụ 80
Chương 8. CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HP CỦA ĐIỂM 83
8.1. Mô hình bài toán và các đònh nghóa 83
8.2. Các đònh lý hợp vận tốc, gia tốc 85
8.3. Phương pháp giải các bài toán chuyển động phức hợp 86

3
8.4. Các ví dụ 86
Chương 9. CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG CỦA VẬT RẮN 95
9.1. Khảo sát chuyển động cả vật 95
9.2. Khảo sát chuyển động của điểm thuộc vật 96
9.3. Những chuyển động song phẳng đặc biệt 101
9.4. Phương pháp giải bài toán chuyển động song phẳng 103
9.5. Các ví dụ 104
PHẦN III. ĐỘNG LỰC HỌC 120
Chương 10. MỞ ĐẦU ĐỘNG LỰC HỌC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM VÀ HỆ CHẤT ĐIỂM 121
10.1. Các khái niệm của động lực học 121
10.2. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm
và hệ chất điểm 123
Chương 11. NGUYÊN LÝ D
’
ALEMBERT 129
11.1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ 129

11.2. Lực quán tính, nguyên lý D
’
Alembert 132
11.3. Thu gọn hệ lực quán tính 133
11.4. Phản lực động lực trục quay 135
11.5. Nội dung áp dụng và các ví dụ 136
Chương 12. CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT ĐỘNG LỰC HỌC 147
12.1. Các đònh lý chuyển động khối tâm - động lượng
mômen động lượng 147
12.2. Đònh lý động năng 155
Chương 13. NGUYÊN LÝ DI CHUYỂN KHẢ DĨ 172
13.1. Một số khái niệm cơ bản 172
13.2. Nguyên lý di chuyển khả dó 179
Chương 14. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT ĐỘNG LỰC HỌC
VÀ PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE II 185
14.1. Phương trình tổng quát của động lực học 185
14.2. Phương trình Lagrange II 189
Chương 15. LÝ THUYẾT VA CHẠM 199
15.1. Đònh nghóa, đặc điểm của hiện tượng va chạm
và các giả thiết của lý thuyết va chạm 199
15.2. Các đònh lý tổng quát của động lực học
trong quá trình va chạm 201
15.3. Va chạm thẳng xuyên tâm của hai vật chuyển động tònh tiến 204
15.4. Va chạm của vật quay quanh một trục cố đònh 209
PHẦN IV. BÀI TOÁN TỰ GIẢI 212
A. PHẦN TĨNH HỌC 212
B. PHẦN ĐỘNG HỌC 224
C. PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC 230
TÀI LIỆU THAM KHẢO
254

4
LỜI NÓI ĐẦU

Giáo trình này được biên soạn nhằm phục vụ sinh viên ngành cơ khí và xây
dựng. Tuy nhiên, sinh viên, kỹ sư các ngành khác muốn tìm hiểu những kiến thức
cơ bản của cơ học có thể dùng tài liệu này tham khảo.
Để đáp ứng yêu cầu trên, tác giả đã mạnh dạn đưa ra một số thay đổi
trong phần trình bày nội dung và một số vấn đề đáng chú ý sau:
1- Phần tónh học
Lý thuyết được xây dựng lấy đònh lý tương đương cơ bản làm trung tâm.
Các bài toán cân bằng có kể đến hai loại ma sát (trượt, lăn) chỉ có thể
đánh giá chính xác ở trạng thái cân bằng. Nếu vật đã khởi động không thể sử
dụng điều kiện cân bằng tónh.
2- Động lực học
Nguyên lý D
’
ALEMBERT được trình bày trước để có thể giải quyết đầy đủ
các yêu cầu về động lực của cơ hệ, xác đònh được miền giới hạn của các tham số
phù hợp với trạng thái chuyển động của cơ hệ ngay từ đầu, tránh sự ngộ nhận
các kết quả tính toán.
3- Để tạo điều kiện thuận lợi cho người đọc, giáo trình dành khoảng 60%
nội dung cho các ví dụ và bài tập tự làm. Trong đó có một số bài tập tổng hợp
xuyên suốt nội dung của môn học.
Để hoàn thành giáo trình này, tác giả đã nhận được sự hỗ trợ nhiệt tình
của các đồng nghiệp Nguyễn Quốc Việt, Vũ Công Hòa, Nguyễn Đắc Thiện trong
việc đánh máy bản thảo. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu này.
Những suy nghó trên đây hoàn toàn dựa vào chủ quan của tác giả nên
không tránh khỏi thiếu sót. Tác giả mong nhận được sự đóng góp của các

đồng nghiệp và bạn đọc nhằm giúp tác giả xây dựng giáo trình ngày càng
hoàn thiện.
Mọi ý kiến xin gởi về: Bộ môn Cơ Kỹ thuật - Trường Đại học Bách khoa -
Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh - 268 Lý Thường Kiệt, F14, Q10.

Tác giả

Thạc só VŨ DUY CƯỜNG


5
PHẦN I

TĨNH HỌC VẬT RẮN

Tónh học là phần đầu của cơ học lý thuyết khảo sát sự cân bằng của vật
thể chòu tác dụng của lực
Hai vấn đề chính được giải quyết trong tónh học là thu gọn hệ lực và điều
kiện cân bằng của hệ lực.
Nhờ phương pháp trừu tượng hóa và mô hình hóa chúng ta xây dựng các
khái niệm cơ bản và những tiên đề làm cơ sở để giải quyết các vấn đề đặt ra.
Những khái niệm cơ bản nêu ra những mô hình cơ bản nhất của các đối
tượng khảo sát.
Những tiên đề nêu lên những chân lý khách quan dễ nhận thấy, và những
quan hệ đầu tiên giữa các mô hình cơ bản.
Tất cả các đánh giá, kết luận có được sau này đều phải được chứng minh
chặt chẽ từ hệ tiên đề.

6

Chương 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ
HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC

Nội dung
- Các mô hình cơ bản và hệ tiên đề
- Khái niệm về liên kết, phản lực liên kết

- Các mô hình phản lực liên kết
Yêu cầu
- Hiểu và nhớ các khái niệm cơ bản, hệ tiên đề tónh học
- Nắm vững các mô hình phản lực liên kết, nguyên tắc chung để biểu
diễn các phản lực liên kết.
1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1. Vật rắn tuyệt đối
Vật rắn tuyệt đối là vật thể không bò biến dạng trong mọi trường hợp chòu
lực.
Vật rắn tuyệt đối chính là vật thể đàn hồi được lý tưởng hóa bỏ qua biến
dạng.
Trong thực tế nếu biến dạng của vật có ảnh hưởng không đáng kể trong
tính toán, vật khảo sát được xem là vật rắn tuyệt đối.
Chất điểm là vật rắn tuyệt đối đặc biệt. Từ đây về sau, nếu không có lưu
ý gì, vật khảo sát được hiểu là vật rắn tuyệt đối.
2. Trạng thái cân bằng
Vật rắn được gọi là cân bằng đối với một hệ quy chiếu nếu nó đứng yên
hay chuyển động thẳng đều đối với hệ quy chiếu đó.
Hệ quy chiếu là một vật rắn được chọn làm chuẩn để quan sát, đánh giá
vò trí của vật khảo sát. Trong giáo trình này, hệ quy chiếu được chọn là hệ quy
chiếu quán tính.
3. Lực
Lực là đại lượng đặc trưng cho tác dụng cơ học của vật thể này lên vật
thể khác.
Lực được biểu diễn bằng vector buộc hoặc có thể qua các
hình chiếu:
)F,F,F(F
zyx
= .
)F

A
(

7
d
A
F
/
/

F
F
O
I
(Δ)
H
ình 1.2
Lực tập trung là lực biểu diễn cho tương tác cơ học thông qua một vùng
rất bé, xem như một điểm (A). Người ta nói lực
F
đặt tại A.
Lực phân bố biểu diễn cho tác động cơ học thông qua một miền.
4. Một số đònh nghóa khác
1- Mômen của lực đối với tâm
Mômen của lực
F
đặt tại A đối với tâm O là
đại lượng vector đặt tại O:

FrFOA)F(m

o
×=×=
r
r
(1.1)
Biểu diễn: cho
)z,y,x(rr
rr
=
;
)Z,Y,X( FF =

(1.1)
k )y.Xx.Y(j)x.Zz.X( i )z.Yy.Z()F(m
o
r
r
r
r
−+−+−=⇔ (1.2)

)F(m
o
r
- vuông góc với mặt phẳng chứa O và
F
,
)F( m
o
r

= d.F

)F(m
o
r
= 0 khi giá của
F
qua O (và tất nhiên cả khi
F
= 0)
2- Mômen của lực đối với trục (
Δ
)
Phân tích
//
FFF +=
⊥
(
⊥
F
r
vuông góc trục Δ,
//
F
song song trục Δ)
Mômen của
F
r
đối với trục Δ là lượng đại số

⊥
±=
Δ
dF)F(m

(1.3)
d- là khoảng cách từ trục A đến giá của
⊥
F
- Lấy dấu cộng nếu nhìn từ đỉnh trục Δ thấy
⊥
F
có xu thế quay
- Lấy dấu trừ nếu có xu thế quay ngược lại
0)F(m =
Δ
khi
F
song
song trục Δ hay giá
F
cắt trục Δ
Trong tài liệu này chúng ta quy ước các đại lượng mômen qua các chữ M,
M, m.
Đònh lý liên hệ
Hình chiếu mômen của lực
F đối với tâm O
∈
(
Δ

) bằng mômen của F
với trục (
Δ ):

[]
)F(m)F(mhc
o ΔΔ∈Δ
=
r
(1.4)
Chứng minh. Theo H.1.2 ta có:

[
]
[
]
[
]
⊥
Δ
⊥
Δ∈ΔΔ∈Δ
+== F)IAOI(hc)F(mhc)F(mhc
Aoo
r
r

theo (1.3), ta có điều phải chứng minh.
+
_

d
r
A
m(F)
o
O
H
ình 1.1

8
3- Hệ lực
Hệ lực
)F, ,F,F()F(
n21k
≡ϕ
: là các lực cùng tác động vào một vật
khảo sát.
Hai hệ lực tương đương: là hệ lực
)F(
k
ϕ
tương đương với
(Ψ P
’
e
) (ký
hiệu
))P()F(
ek
ψ≡ϕ

nếu chúng có cùng tác dụng cơ học.
Hợp lực của hệ lực: là hợp lực
R
của hệ lực
)F(
k
ϕ
, là một lực duy nhất
tương đương với hệ lực:
R
)F(
k
ϕ≡ .
Hệ lực cân bằng: là hệ lực
)F(
k
ϕ
cân bằng hay còn gọi là tương đương
không
)F( (
k
ϕ
≡
)0
nếu hệ lực tác dụng vào vật không làm thay đổi trạng thái
chuyển động của vật.
1.2. HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC
1. Tiên đề 1 (cặp lực cân bằng)
Hệ hai lực cân bằng khi và chỉ khi chúng cùng đường tác dụng, hướng
ngược chiều nhau, cùng cường độ.

,F (
'F
)
≡
0
⇔


2. Tiên đề 2
Thêm hay bớt cặp lực cân bằng
,F (
'F )
≡
0
không làm thay đổi tác dụng
của hệ lực
(
)
n21n21
,
F, ,F,F F, F,F,F,F ≡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

3. Tiên đề hình bình hành lực
Hai lực cùng đặt tại một điểm tương đương với
một lực đặt tại điểm đó được biểu diễn bằng vector
đường chéo hình bình hành có hai cạnh là hai lực
thành phần.
(
)
A
A
'F,F
A
R≡

4. Tiên đề lực tương tác
Lực tác dụng và phản tác dụng giữa hai vật là hai lực lần lượt đặt lên mỗi
vật tương tác chúng cùng đường tác dụng, hướng ngược chiều nhau, cùng cường
độ.
5. Tiên đề hóa rắn
Vật biến dạng đang cân bằng hóa rắn lại vẫn cân bằng (điều ngược lại
không đúng).
S
F
F’
S
Hình
1
.3
F
F’
H

ình 1.
4

F
R
F’

9
6. Tiên đề giải phóng liên kết, vật gây liên kết, vật chòu liên kết
1- Vật không tự do, vật tự do
- Vật không tự do là vật không thể di chuyển tùy ý trong lân cận bé từ vò
trí đang xét.
- Vật tự do là vật có thể dòch chuyển tùy ý về mọi hướng trong lân cận bé
từ vò trí đang xét.
2- Vật chòu liên kết, vật gây liên kết
Vật khảo sát (S) được quy ước là vật chòu liên kết, các vật thể khác tương
tác cơ học với S được gọi là các vật gây liên kết, chúng có vai trò cản trở
chuyển động hay xu hướng chuyển động của S là vật không tự do.
3- Tiên đề giải phóng liên kết
Vật không tự do có thể xem là tự do nếu ta thay thế các vật gây liên kết
bằng các phản lực liên kết.
7. Một số hệ quả và mô hình phản lực liên kết
Hệ quả trượt lực: Với vật rắn tuyệt đối
lực là đại lượng vector trượt
Chứng minh. Cho
),F(
A
tại điểm B tùy ý trên
giá của
A

F
chúng ta đặt hệ lực cân bằng
0)F,F (
B
,
B
≡ có tính chất
B
F chính là
A
F
trượt về điểm B.

)F(
A
=
BB
0
BA
F)F,F,F(
r
r
43421
r
v
r
≡
≡
: điều phải chứng minh.
1.3. MỘT SỐ MÔ HÌNH PHẢN LỰC LIÊN KẾT THƯỜNG GẶP

• Tính chất của phản lực liên kết
Theo tiên đề 6, phản lực liên kết phải thay thế được vai trò cản trở
chuyển động hay xu hướng chuyển động của vật gây liên kết đặt vào vật khảo
sát S, do đó chúng phụ thuộc hai yếu tố:
- Khả năng chuyển động của vật khảo sát (do lực hoạt động tác động vào
S) được biểu hiện qua cường độ của phản lực (luôn luôn là ẩn số).
- Tính chất cản trở chuyển động hay xu hướng chuyển động của vật gây
liên kết (đặt vào vật khảo sát) được biểu hiện qua phương (chiều) của phản lực.
Dựa vào các đánh giá này chúng ta sẽ biểu diễn các thành phần phản lực của
một số mô hình liên kết thường gặp trong kỹ thuật.
• Các mô hình phản lực liên kết
F
B
S
S
,
F
A
H
ình 1.
5

B

10
1- Phản lực liên kết tựa một chiều (không ma sát)
Vật khảo sát tựa trên bề mặt của vật gây liên kết, mặt tựa chỉ có khả
năng cản trở chuyển động và xu hướng chuyển động của vật khảo sát theo
phương pháp tuyến chúng tại điểm tiếp xúc. Phản lực đặt vào vật tại tiếp điểm
hướng theo pháp tuyến ngoài của mặt tựa.

i
N
- trong H.1.6a;
A
N
- trong H.1.6b
- Phản lực có phương chiều xác đònh, cần tìm cường độ.
- Một số mô hình liên kết tựa trong kỹ thuật:
2- Liên kết bản lề trụ (khớp bản lề)
Loại liên kết gồm hai ống trụ lồng vào nhau, vật khảo sát không có xu
hướng quay quanh trục vuông góc với trục bản lề. Để đơn giản, chúng ta xem
mô hình phẳng, hình tròn trong và vòng tròn ngoài tựa lên nhau, không cho đi ra
khỏi nhau. Phản lực luôn luôn đi qua tâm O (chung) nằm trong mặt phẳng
vuông góc với trục bản lề, trượt về O, phản lực được biểu diễn qua hai thành
phần vuông góc
()
.R,R
yx
.
Chiều của chúng được chọn một cách chủ quan, có thể không đúng như
thực tế.
Hình 1.6
a)
S
A
S
A
N
b)

Hình 1.7
A
N
A

S
a)
A
N
C

C
N
A

N
B
S
B
b)

B
N
B

N
A

A
c)

H
ình 1.8
)
A
R
R
y
R
x
b)

11
- Mô hình kỹ thuật:
- Mô hình kỹ thuật kết hợp:
Phản lực trong mô hình thứ 3 của H.1.10 là loại tựa hai chiều, chiều phản
lực chưa biết cụ thể. Hai mô hình đầu là phản lực tựa một chiều.
3- Liên kết bản lề cầu (khớp cầu)
Hai quả cầu lồng vào nhau, có thể quay tương đối với nhau nhưng hai tâm
luôn trùng nhau. Do không cản quay quanh bất cứ trục nào nên vector mômen
phản lực đối với tâm O bằng không, còn vector chính phản lực luôn đi qua tâm
O được phân làm ba thành phần vuông góc
)R ,R ,R ( R
zyx
. Liên kết đưa vào
bài toán ba ẩn số.

Mô hình trong kỹ thuật (H.1.11b).
4- Liên kết gối đỡ
Đây là liên kết kết hợp liên kết tựa và bản lề trụ (H.1.12)
Phản lực gồm ba thành phần A
x
, A
y
, A
z
(có một trục là trục bản lề trụ).
Liên kết đưa vào bài toán ba ẩn số.
•
A
S
•
S
A
Hình 1.10
•
•
S
A

•
A

S
•
S
A
•
•
•
S
A
H
ình 1.9
R
z
R
y
R
x
O
a)
R
z
R
y
R
x
b)
Hình
1
.
11

A
x
A
y
A
z
A
Hình
1
.
12
a)
A
z
A
y
A
x
A
b)

12
5- Liên kết ngàm
Vật khảo sát chòu liên kết ngàm khi bò vật gây liên kết giữ chặt không
cho thực hiện bất cứ chuyển động nào. Ví dụ: cột trụ chôn chặt vào lòng đất,
đầu dầm cắm chặt vào tường, hai phần của một vật rắn.
- Ngàm phẳng: (H.1.13a)
Trường hợp vật khảo sát chỉ có xu thế chuyển động trong mặt phẳng
(Oxy). Các thành phần phản lực liên kết phải cản trở (dòch chuyển theo hai
phương x, y quay quanh trục z). Phản lực thu về tâm A gồm 3 thành phần:

)A ,A(R
yx
A
, ngẫu
A
M
đều chưa xác đònh chiều cụ thể. Các xu hướng chuyển
động đồng thời
- Ngàm không gian: (H.113b)
Vật khảo sát có xu thế chuyển động trong không gian, lý luận như trên
phản lực thu về A có:
)A ,A ,A(R
zyx
A
và )M ,M ,M(M
zyxA
gồm sáu thành phần
chưa có chiều cụ thể.
6- Liên kết dây
Dây mềm, căng nên chỉ cản trở xu hướng chuyển động của vật dọc theo
dây (làm dây đứt). Phản lực đặt tại điểm dây bắt đầu tiếp xúc với vật khảo sát,
có chiều hướng vào vật gây liên kết.
7- Liên kết thanh
Vật khảo sát chỉ có hai liên kết mềm (tựa, bản lề), không chòu lực tác
động với giá không đi qua hai điểm liên kết này được gọi là liên kết thanh.
Phản lực liên kết là hai lực cùng cường độ, ngược chiều đặt tại các điểm
liên kết nằm trên giá chứa hai điểm liên kết.
B
T
S

A
T
S
B
A
T
A
T
B
T
A
S
Hình 1.14
H
ình 1.13
A
y
A
x
A
M
A
a)
A
x
M
y
M
z
A

z
A
M
x
A
x
b)

13
Các phản lực liên kết thanh:
DCBA
S,S,S,S
8- Các liên kết phức tạp













F
B
S
B

A
S
A
S
A
A
S
B
B
C
D
S
C
S
D
S
S
N
M
R
S
S
S
R
R
S
S
M
z
R

z
M
x
R
x
R
y
M
y
M
z
R
z
M
x
R
x
R
y
M
y
M
x
R
x
M
y
Mô hình phẳng
Phản lực
Mô hình không gian

Phản lực
R
y
R
x
M
x
M
z
R
y

14


Chương 2

THU GỌN HỆ LỰC
PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC

Nội dung
Chương này đưa ra các dạng thu gọn tương đương của hệ lực, những điều
kiện cân bằng của hệ lực làm cơ sở để đánh giá tác dụng của chúng và giải bài
toán cân bằng của vật rắn, hệ vật rắn.
Yêu cầu
Nắm vững điều kiện tương đương cơ bản của hai hệ lực, các điều kiện
cân bằng của hệ lực. Biết cách áp dụng giải bài toán cân bằng của vật rắn, hệ
vật rắn.
2.1. HAI ĐẠI LƯNG ĐẶC TRƯNG CỦA HỆ LỰC
1. Vector chính của hệ lực

1- Đònh nghóa: vector chính của hệ lực là vector tự do (
,
R
) bằng tổng các
vector lực thuộc hệ:
k
,
FR Σ=
(2.1)
2- Phương pháp xác đònh
Hình học: vector đóng kín đa giác lực.
Giải tích:

()
ky
''''
FXZ,Y,XR Σ=⇔
;
ky
'
FY Σ= ;
kz
'
FZ Σ= (2.2)
2. Vector mômen chính của hệ lực đối với một tâm
1- Đònh nghóa: vector mômen chính của hệ lực đối với tâm O (
o
M
) của hệ lực
bằng tổng các vector mômen của lực thuộc hệ lấy cùng đối với tâm đó:

2- Phương pháp xác đònh
Dùng (1.2) chúng ta nhận được:

k)yXx(Y j )xZzX(i )zYyZ(M
kkkkkkkkkkkk
o
−Σ+−Σ+−Σ=
r
r
(2.4)
trong đó: lực
()
kkk
Z ,Y ,X F - bán kính điểm đặt lực thứ k là
k
r
r
(x
k
, y
k
, z
k
)
3- Tính bất biến của
,
R và
o
M qua các phép biến đổi tương đương
•

'
R
F
1

F
2

F
n

R’

15
F
2

F
Hình 2.1
A
F
12

Đònh lý 2.1. Hai đại lượng
,
R và
o
M bất biến qua các phép biến đổi tương
đương (tiên đề 2 và 3).
Chứng minh. Do cặp lực cân bằng có

,
R = 0 và
o
M = 0 (tâm O tùy ý), khi dùng
tiên đề 2 có ngay
,
R và
o
M của hệ lực không đổi.
Với tiên đề 3:
- Xét hai lực
21
F,F
và hợp lực
12
F như H.2.1

1221
FFF =+

⇒
n312n321X
,
F FFF FFFFR +++=++++=Σ=

⇒
,
R bất biến khi dùng tiên đề 3.
- Đặt
12

F (X, Y, Z) còn
i
F
(X
1
, Y
1
, Z
1
),
12
F (X
2
, Y
2
, Z
2
)
Theo tiên đề 3:
X = X
1
+ X
2
; Y = Y
1
+ Y
2
; Z = Z
1
+ Z

2

Dùng công thức (1.2):

⇒
+)F(m
1
o
r
)F(m
2
o
r
= )F(m
12
o
r

Chứng tỏ:

o
M = +)F(m
1
o
r
)F(m
2
o
r
+ )F(m

3
o
r
+ … + )F(m
n
o
r

=
)F(m
12
o
r
+ )F(m
3
o
r
+ … + )F(m
n
o
r


⇒

o
M bất biến trong phép biến đổi tiên đề 3.
2.2. ĐỊNH LÝ TƯƠNG ĐƯƠNG CƠ BẢN
Đònh lý 2.2.
≡ϕ )F(

k1
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
⇔ϕ
0201
21
i
2
MM
'R'R
)P(

Chứng minh. Trước hết ta chứng minh:
1)
≡ϕ )F(
k1
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
⇒ϕ
0201

,,
2
MM
RR
)P(
21
i

Chúng ta thừa nhận hai hệ lực tương đương nếu có thể biến đổi qua nhau
bằng các phép biến đổi tương đương (tiên đề 2, 3).
Do:
≡ϕ )F(
k1
)P(
i
2
ϕ nên ta có thể biến đổi chúng qua nhau. Song
,
R và
o
M bất biến đối với các phép biến đổi, suy ra:

⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=

0201
,,
MM
RR
21


16
2) ≡ϕ )F(
k
1
)P(
i
2
ϕ
⇐
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
0201
,,
MM
RR
21

Xét hệ

)F(
k1
ϕ và )P(
i
2
ϕ . Chúng ta lấy điểm O và hai điểm A, B
(A, O, B không thẳng hàng), phân tích các lực
)F,F,F(F
kBkAOkk
≡
, các thành
phần tương đương đi qua O, A, B.

⇒
hệ
)F(
k1
ϕ ≡
ba hệ lực đồng quy: );F(
kO
1
ϕ );F(
kA
2
ϕ )F(
kB
3
ϕ
Dễ dàng nhận được:

;oF)F(
kO
1
≡ϕ ;F)F(
AkA
2
≡ϕ
BkB
3
F)F( ≡ϕ

⇒
)F,F,F()F(
BAOk
1
≡ϕ
Gọi OE là giao tuyến của hai mặt
phẳng
)F,O(
A
và
)F,O(
B
. Trên OE lấy
điểm I và phân tích các lực
A
F theo
các phương AO và AI,
B
F theo các

phương BO và BI. Tiếp tục trượt các lực
về O và I rồi lấy các hợp lực (tiên đề
3).
⇒
)F,F,F()F(
BAOk
1
≡ϕ
)F,F(
1
*
O
≡

tương tự ta có:

)F,P()P,P,P()P(
H
*
OBAOi
2
≡≡ϕ

(H thuộc giao tuyến OG, có thể khác OE).
Cuối cùng, lấy điểm L thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng
)F,O(
I
và
).P,O(
H

Phân tích các lực
1
F và
H
P theo các phương đi qua L và O, trượt các lực
thành phần về hai điểm O, L. Sau đó lấy hợp lực sẽ được
**
O
F và
L
F
:

)F,F()F(
L
**
Ok
1
≡ϕ⇒

tương tự ta có:
)P,P()P(
L
**
Oi
2
≡ϕ

Dùng các điều kiện:

-
LLL
O
L
O
O2O1
P F)P(m )F(mMM =⇒=⇔=
r
r

-
,
1
R
,
2
R=

**
OL
**
OL
PP FF +=+⇔
**
O
**
O
PF =⇒

⇒

)F(
k1
ϕ
và
)P(
1
2
ϕ
được biến đổi tương đương sang hệ lực thứ ba
trùng nhau.
Chứng tỏ:
)F(
k1
ϕ
≡
)P(
1
2
ϕ .
2.3. CÁC HỆ QUẢ
F
O
F
O
**
F
O
*

F
K
B
F
B
F
I
E
I
L
A
F
A
F
L
Hình
2
.
2

17
1. Vector mômen ngẫu lực
1- Xét hệ hai lực: (
,
F,F
) cùng phương, ngược chiều, cùng cường độ nhưng
khác giá tác dụng. Do
,
R = 0, 0M
O

≠ , nên (
,
F,F
) không tương đương một lực,
đây là một hệ lực tối giản đặc biệt, được gọi là ngẫu.
Chúng ta sẽ chứng tỏ mômen chính của ngẫu không phụ thuộc tâm lấy
mômen:

)F(m)F(mM
,
OO
O
rr
+=


,
FOBFOA ×+×=

,,
FABFOAFOA ×+×+×=

,,,
FABFAB)FF(OA ×=×++×=
(đpcm)
2- Hai ngẫu: (
,
F,F
) và (
,

11
F,F
) có vector
mômen chính bằng nhau sẽ tương đương nhau (vì
).0R
,
=
Chứng tỏ vector mômen chính của ngẫu là vector tự do, hoàn toàn đặc
trưng cho một ngẫu, được gọi ngắn gọn là vector mômen của ngẫu.
2. Đònh lý thu gọn
Hệ lực
)F(
k1
ϕ , khi thu gọn về một tâm O, tương đương với một lực bằng
vector chính của hệ lực
,
R và một ngẫu bằng vector mômen chính của hệ lấy
cùng với tâm O đó:

)F(
k
ϕ
)M,R(
o
,
o
≡

với:
k

,
o
FR Σ= và: )F(mM
K
o
o
r
Σ=
Chứng minh. Với O tuỳ ý xác đònh chúng ta chỉ cần chứng minh tại đó hệ lực
gồm hai thành phần: lực
R bằng vector chính và một ngẫu có mômen chính
bằng mômen chính của hệ lực đối với cùng tâm đó. Hệ lực này tương đương với
hệ lực ban đầu do vector chính và vector mômen chính đối với tâm O của chúng
bằng nhau.
3. Các trường hợp đặc biệt
1-
0
r
Δ
≡ϕ⇔⊥≠ R)F(MR
kO
,

(hợp lực
Δ
R
có giá Δ với
,
RR =
Δ

và giá
Δ
thỏa mãn ))F(m)R(m
k
OO
r
r
Σ=
Δ

Chứng minh. Chọn A
∈
mặt phẳng
⊥
O
M và đi qua O,
,
R//Δ
r

Hình 2.3
F’
F
M
O
•
O
A
B
d

α

18
Cách O đoạn
,
o
R
M
d =
, nằm về hướng của
,
R
quay 90
o
theo chiều
o
M
lấy A
∈
Δ

⇒
)F(
k
ϕ
)M,R(
O
,
O
≡

,
A
R≡
)R()R()M),'R(m
A
O
ooA Δ
≡
≡≡
r
r
4434421
r
r
r
r

Hợp lực của những hệ lực đặc biệt
- Hệ lực song song: (
k
F // OZ)
Nếu
,
R
≠
0
r
sẽ có hợp lực: )F(
k
ϕ

Δ
≡ R
- Hệ lực phẳng:
)OxyF(
k
∈
Nếu
,
R ≠
0
r

Δ
≡ϕ⇒ R)F(
k
(có hợp lực) do ta lấy điểm A
∈
Oxy làm tâm
thu gọn:
⇒ ⊥ M
A
Oxy
⇒

R M
A
⊥

- Hợp lực của hệ lực phẳng song song
Cho hệ lực phân bố như H.2.4. Xét phân tố

,x
k
Δ
hệ lực phân bố trên độ
dài này tương đương một lực
k
F
:

k
'
k
k
x).x(qF Δ=
r
- đặt tại
'
k
x
Hợp lực:
dx)x(qFFR
o
k
∫
=Σ==
Δ
l
r

Giá

Δ được xác đònh từ điều kiện:

=Σ=
ΔΔ
)F(mM
k
Oo
dx.x).x(q
o
∫
l


∫
∫
==→=
Δ
Δ
ΔΔ
l
l
o
o
dx)x(q
xdx).x(q
R
M
dMdR
O
O

(2.5)
trong đó:
O
Δ
- là trục qua O và vuông góc mặt phẳng lực.
- Hệ lực phân bố đều (H.2.5)
Hợp lực:
;R
1
R = q
o
.l;
2
l
lq
2
l
q
OI
o
2
o
==
(2.6)
- Hệ lực phân bố tuyến tính (H.2.6)
có ngay:
2
1q
Rx
1

q
)x(q
o
1
o
=→=
;
1
3
2
OI =
(2.7)
d
q(x)
R
Δ
F
k
X’
k
Δ
X
k
O
X
F
H
ình 2.
4

19
Nhận xét: Các hợp lực có cường độ bằng diện tích phân bố, đi qua trọng tâm
của biểu đồ diện tích.
2-
,0R
,
=
≡ϕ⇔≠ )F(0M
ko
ngẫu tổng hợp
)Q ,Q(
,
có mômen bằng
mômen chính của hệ lực đối với tâm O.
Chú ý: Khi
,0R
,
=
≡ϕ )F(
k
ngẫu
)Q ,Q(
,
nên mômen chính của hệ
không phụ thuộc tâm lấy mômen.
3-
,0R
,
= ≡ϕ⇔≠ )F(0M
ko

0 (2.8)
Chứng minh. Do hệ lực cân bằng (
,
F,F
) có
,
R = 0 và mômen chính đối với
tâm bất kỳ O
0M
o
=
4. Hệ ba lực cân bằng
Hệ ba lực cân bằng thì đồng phẳng. Nếu các lực song song với nhau thì
còn phải đồng quy.
Chứng minh. Xét hệ ba lực
0R)F,F,F(
321
=⇔ và 0M
A
= (tâm A tùy ý).
Có thể xảy ra các trường hợp:
•
1
F //
2
F : Từ: 0R =
⇒
0)FFF(
321
≠−=+

Chứng tỏ:
12
21
R)F,F( ≡
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∈
1
21
F//
)F,F( phẳng mặt


⇒
0)F,R()F,F,F(
3
12
321
≡≡
Chứng tỏ
3
F
cùng giá với
123
12
F//F//FR ⇒
và đồng phẳng.

•
1
F
không song song với
2
F

Chọn điểm A tùy ý cố đònh thuộc giá của
3
F làm tâm lấy mômen chính:
O
F
R
I
q
o
I
l
x
I
l
O
R
I
q
o
I
l
I
l

20
Hai vector mômen này đặt tại A mà có tổng bằng 0
⇒
ít nhất chúng cùng
phương
⇔
hai mặt phẳng
)A,F(
1
và
)A,F(
2
trùng nhau, tức
)A,F,F(
21
đồng
phẳng.
Do A tùy ý nên suy ra
)F,F,F(
321
phải thuộc cùng một mặt phẳng. Gọi
giao điểm của
21
F,F
là I, để chứng minh ba lực đồng quy chúng ta sử dụng:

)F(m)F(mM
2
1

1
1
1
r
r
+= +
33
1
3
1
F0)F(m00)F(m ⇒=++=
r
r

phải đi qua I (do
).0F
3
≠
Vậy
)F,F,F(
321
đồng quy phẳng.
2.4. ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC
Từ (2.8) chúng ta nhận được những điều kiện cân bằng của hệ lực:
1. Hệ lực tổng quát (không gian)

⇔ϕ≡ )F(0
k

⎪

⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=Σ=
=Σ=
=Σ=
=Σ=
=Σ=
=Σ=
0)F(mM
0)F(mM
0)F(mM
0FR
0FR
0FR
k
z
oz
k
yoy
k
x
ox

z k
,
Z
y k
,
y
kx
,
x
(2.9)
Với các hệ lực đặc biệt một số phương trình có thể tự thỏa mãn nên số
điều kiện giảm đi.
2. Hệ lực song song
)OZ//F(
k


⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=Σ
⇔ϕ≡
∑
∑

0)F(m
0)F(m
0F
)F(0
k
y
k
x
z k
k
(2.10)
Do ba phương trình còn lại tự thỏa mãn.
3. Hệ lực đồng quy
),F(
ok
ϕ các lực đi qua O

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=Σ
=Σ
=Σ
⇔ϕ≡
0F
0F
0F
)F(0

kz
ky
kx
k
(2.11)
Do:
0)F(mM
k
O
O
=Σ=
r
tự thỏa mãn
4. Hệ lực phẳng
OxyF),F(
kk
∈∀ϕ
Với điểm A tùy ý thuộc mặt phẳng lực Oxy

kFd k).F(m)F(m
kkAZ
kA
±==
d
k
y
z
M
A
F

k
x
A
Hình 2.7

21
Vector mômen của các lực này đều cùng phương nên ta có thể quy ước
thay thế
)F(m
kA
bởi giá trò đại số:

)F(m
kA
kk
k
AZ
Fd )F(m ±== (2.12)
Ta lấy dấu (+) hoặc (-) theo quy tắc mômen của lực đối với trục (H.2.7).
Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng có ba dạng:
Dạng 1:
⇔ϕ≡ )F(0
k

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
==Σ

=Σ
=Σ
0M)F(m
0F
0F
Ak
A
ky
x k
(2.13)
với A tùy ý thuộc mặt phẳng lực.
Điều kiện này hiển nhiên do (2.12):
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
⇒
0M
0R
A

Dạng 2:
⇔ϕ≡ )F( 0
k

⎪
⎩

⎪
⎨
⎧
=Σ=
=Σ=
=Σ
0)F(mM
0)F(mM
0F
k
B
B
k
A
A
x k
(2.14)
(với
Chứng minh. Hệ lực
)F(
k
ϕ tương đương đồng thời hệ 1 và hệ 2 (H.2.8)

⇒
hệ 1
≡
hệ 2
Thu hệ 1 về B:

⇒

hệ 1
≡≡ )R(m,R(
,
A
B
,
B
r
hệ 2

0)R(m
,
A
B
=⇒
r

Điều này chứng tỏ:
- Hoặc
'
A
R có giá đi qua B:

0FR
x k
,
x
≠Σ=⇒
mâu thuẫn điều kiện đầu tiên.
- Hoặc

0R
'
A
= kết hợp
0M
A
=
ta có điều phải chứng minh.
Dạng 3: ⇔ϕ≡ )F( 0
k

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=Σ=
=Σ=
=Σ=
0)F( mM
0)F(mM
0)F(mM
k
C
C
k
B
B
k
A

A
(2.15)
Sử dụng phương pháp chứng minh trên: nếu
0R
'
A
≠
thì
,
R phải có giá
chứa đoạn AB và AC, do A, B, C, không thẳng hàng nên không thể xảy ra
trường hợp trên. Vậy
0R
,
= , ta có điều phải chứng minh.
2.5. BÀI TOÁN CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN
1. Mô hình bài toán
A
B
)OX
R’
k
Hệ 1 Hệ 2
Hình
2
.8
A
A
R’
B

22
Một vật rắn không tự do (chòu liên kết) chòu tác dụng của lực (lực hoạt
động) đang cân bằng.
Những yêu cầu được đặt ra là:
- Xác đònh các phản lực liên kết
- Tìm điều kiện cân bằng
Tức tìm các yêu cầu của lực hoạt động và các yếu tố hình học để vật
khảo sát được cân bằng.
2. Phương pháp giải
1- Chọn vật khảo sát: xem xét kỹ mô hình bài toán (hình vẽ), chúng ta chọn vật
rắn nào (có thể là chất điểm) chòu tác động của tất cả các lực hoạt động.
2- Đặt lực: lực ở đây bao gồm các lực hoạt động và phản lực liên kết.
Xem xét kỹ mô hình vật khảo sát, xác đònh đầy đủ các liên kết, so sánh
với các mô hình mẫu để thay thế hết các liên kết bằng các phản lực tương ứng.
3- Lập phương trình cân bằng
- Phân tích các lực đặt vào vật khảo sát (kể cả phản lực) theo ba phương
của trục toạ độ.
- Lập các phương trình cân bằng từ điều kiện cân bằng của hệ lực (kể cả
các phản lực):

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=Σ
=Σ
=Σ
0F

0F
0F
z k
y k
x k
và:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
==
==
==
∑
∑
∑
0)F(mM
0)F(mM
0)F(mM
k
z
oz
k
y
oy
k
x

ox

- Với lưu ý các ngẫu tồn tại trong hệ lực đặt vào vật không xuất hiện
trong các phương trình hình chiếu đảm bảo vector chính bằng không.
Chú ý: Nếu
Δ⊥ F
Fd )F(m ±=⇒
Δ

trong đó: d - là đoạn vuông góc chung giữa
Δ
và
F

Dùng (1.4) và (2.4) chúng nhận được:

;0)zFyF(M
kkykkz
ox
=−Σ= 0xFzF(M
kkykkz
oy
=−Σ=
Ở đây: (x
k
, y
k
, z
k
) - là toạ độ điểm đặt của lực

k
F

- Trường hợp hệ lực phẳng
)OxyF(
k
∈ dùng (2.12) lập phương trình cân
bằng ngẫu lực.
3. Đánh giá bài toán
1- Nếu số phương trình cân bằng độc lập được (r) bằng ẩn số (s) (số thành
phần phản lực), bài toán có nghiệm duy nhất (được gọi là bài toán tónh đònh).
2- Nếu r > s có khả năng xảy ra:

23
- Sẽ dư ra một số phương trình (= r – s) không chứa ẩn số (phản lực). Đây
chính là các điều kiện ràng buộc các lực hoạt động và những đại lượng hình học
trong bài toán. Những điều kiện này được gọi là điều kiện cân bằng.
- Trong hệ phương trình lập được tồn tại các phương trình mâu thuẫn với
nhau. Chúng ta xem xét lại mô hình bài toán:
+ Đặt phản lực đúng chưa?
+ Mô hình bài toán có tồn tại trong thực tế không?
3- Nếu r < s: Bài toán thuộc loại siêu tónh, chúng sẽ được giải quyết trong môn
học sau.
4. Giải phương trình và biện luận
Theo nguyên tắc:
- Phản lực tựa một chiều và sức căng dây luôn luôn dương.
- Các phản lực khác có chiều đúng như đã chọn nếu kết quả dương.
Ngược chiều đã chọn nếu kết quả âm.
2.6. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 2.1. Giải phóng liên kết (vật khảo sát S)

Q
A
B
Dây S có
trọng lượng
Q


(10)
S
A
Q
(9)
A
Q
S
M
B
(8)
A
F
B
S
(4)
A
S
F
B
(5)
A

F
S
(6)
B
(3)
A
S
O
B
F
S
O
F
B
A
(2)
(1)
A
S
O
F
B
(7)
F
S
B
A
H
ình 2.9

24
Ví dụ 2.2. Tấm chữ nhật ABCD với: AB = b; BC = a, trọng lượng Q, được giữ
nằm ngang nhờ dây CE và các liên kết như hình vẽ 2.10a. Xác đònh phản lực A,
B và sức căng dây T?

Giải. • Chọn vật khảo sát: tấm ABCD
• Đặt lực: Các phản lực và trọng lượng
Q
được biểu diễn như trên
H.2.10. Tấm ABCD cân bằng dưới tác dụng của hệ lực:

0)T,B,B,A,A,A,Q()F(
zxzyxk
≡≡ϕ
hay chi tiết hơn:
0)T,T,T,B,B,A,A,A,Q()F(
zyxzxzyxk
≡≡ϕ
Trong H.2.11:
2
T
60cosTT
o
z
==
;
T
2
3
30cosTT

o
xy
==


α=α= sinT
2
3
sinTT
xyx
;
α=α= cosT
2
3
cosTT
xyy

với: tg
α
=
b
a

• Phương trình cân bằng (hệ lực không gian)

0sinT
2
3
BAF
xxx k

=α−+=Σ
(1)

0cosT
2
3
AF
yy k
=α−=Σ
(2)

0Q
2
T
BAF
zzz k
==++=Σ
(3)
…
…
…
…
…
…
……………
…
…
…
…
…

…
…
…
…
…
……………
…
…
…
…
E
A
T
C
T
z
T
xy
60
o
A
D
B
C
T
y
T
x
T
xy

α
……
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…

…
…
…
…
…
A
T
C T
y
T
xy
T
x
T
z
60
o
…
…
…
…
…
…
…
…
…
……
…
…
…

α
Hình
2
.
11

25
0bTbBQ
2
b
)F(mM
zz
k
x
ox
=++−=Σ=

0T
2
1
bbBQ
2
b
z
=++−⇔
(4)

0aTQ
2
a

)F(mM
z
k
y
oy
=−=Σ=


0T
2
a
Q
2
a
=−⇔
(5)

0bB)F(mM
x
k
z
oz
=−=Σ= (6)
(do
T cắt trục z
⇒
0)T(m
z
= )
• Giải sáu ẩn từ hệ sáu phương trình chúng ta nhận được:

B
x
= 0; B
z
= 0; T = Q; A
x
=
2
3
Q sin
α
; A
y
=
2
3
Q cos
α
; A
z
=
2
Q

Nhận xét:
- Do các thành phần phản lực tại A tính được đều > 0 phản lực tại A có
chiều như hình vẽ. Tại B phản lực = 0
⇒
có thể bỏ bản lề B.
- Nếu tại A là liên kết bản lề trụ (trục bản lề là y) bài toán chỉ có năm ẩn.

Hệ phương trình cân bằng lập được chỉ thay đổi ở phương trình 2:

⇒
2
3
T cos
α
= 0
Suy ra T = 0 sẽ mâu thuẫn với các phương trình còn lại. Sai lầm ở chỗ
tấm ABCD không đứng yên tại vò trí đó mà sẽ chuyển động dọc theo trục y sang
bên trái.
Ví dụ 2.3. Xét bài toán ở mô hình 8 (H.2.9). Trục quay cân bằng như hình vẽ,
bán kính trống lớn là R, trục (nhỏ) là r, các khoảng cách cần thiết cho như hình
vẽ. Tìm điều kiện của mômen M để trục cân bằng và tính phản lực tại A, B?
(bỏ qua trọng lượng trục).
Giải. • Vật khảo sát: Trục quay.
• Đặt lực: Tại A, B đều là các bản lề trụ nên hệ lực đặt vào vật khảo sát
biểu diễn như H.2.12:
z
M
O
Q
x
y
z
x
A
Q
M
B

x
B
z
B
b
a
A
z
A
x
H
ình 2.12