bài giảng giải tích một biến

Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải
Bài số 1
Giới hạn và tính liên tục của hàm số

1.1. Hàm số một biến số
1. Định nghĩa hàm số
Cho 2 tập hợp D và E là các tập con của
R
. Tương ứng
:
f D E
→
cho tương ứng
mỗi phần tử
x D
∈
với duy nhất một phần tử
y E
∈
được gọi là hàm số một biến số
thực.

+ Tập D được gọi là miền xác của f.
+ Tập f(X) được gọi là miền giá trị của f.
+
x D
∈
được gọi là biến số độc lập ( hay đối số ).
+ ( ),
f x x D
∈

được gọi là biến số phụ thuộc ( hay hàm số ).

2. Đồ thị của hàm số:
(
)
{
}
, ( ) |
f
G x f x x A
= ∈

+ Cách nhận biết đồ thị theo phương pháp kiểm tra đường thẳng đứng
: Một đường
cong trong mặt phẳng xy là đồ thị của một hàm của x nếu và chỉ nếu đường thẳng
song song với Oy cắt đương cong đó tại nhiều nhất một điểm.

Đồ thị hàm số Không là đồ thị hàm số

1.2 Giới hạn hàm số:
1. Ví dụ 1: Xét hàm số
2
( ) 2
y f x x x
= = − +
. Ta lập bảng các giá trị của hàm số tại
những điểm x gần
0
2
x

=
.
Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải

Nhận thấy khi x tiến gần đến
0
2
x
=
thì các giá trị các hàm số
( )
f x
tiế
n g
ầ
n
đế
n 4.
Ta nói r
ằ
ng hàm s
ố
có gi
ớ
i h
ạ
n b
ằ
ng 4 khi
0

2
x x
→ =
.
2. Định nghĩa giới hạn hàm số
Định nghĩa 1
: Ta nói hàm s
ố

( )
f x
có gi
ớ
i h
ạ
n L (h
ữ
u h
ạ
n) khi
0
x x
→
và vi
ế
t
0
lim ( )
x x
f x L

→
=
n
ế
u v
ớ
i b
ấ
t k
ỳ
dãy
{
}
n
x
mà
0
n
x x
→
thì lim ( )
n
n
f x L
→∞
=
.
Định nghĩa 2
: theo ngôn ng
ữ

δ − ε
.
0
0
lim ( ) 0, 0 : ( )
x x
f x L x x f x L
ε δ δ ε
→
= ⇔ ∀ > ∃ > − < ⇒ − <

Chú ý

+ N
ế
u hàm
( )
f x
không tho
ả
mãn
đị
nh ngh
ĩ
a, ta nói r
ằ
ng
( )
f x

không có gi
ớ
i h
ạ
n khi
0
x x
→
, ho
ặ
c
0
lim ( )
x x
f x
→
không t
ồ
n t
ạ
i.
+ Khi tìm gi
ớ
i h
ạ
n, ta ch
ỉ
quan tâm
đế
n các giá tr

ị
“x d
ầ
n t
ớ
i
0
x
” ch
ứ
không ph
ả
i xét
khi
0
x x
=
. Do
đ
ó hàm s
ố

( )
f x
có th
ể
không xác
đị
nh t
ạ

i
0
x x
=
nh
ư
ng ph
ả
i xác
đị
nh t
ạ
i các
đ
i
ể
m thu
ộ
c lân c
ậ
n c
ủ
a
đ
i
ể
m
đ
ó.

Ví dụ 2
: Hàm s
ố

2
1
( )
1
x
f x
x
−
=
−
không xác
đị
nh t
ạ
i
1
x
=
. Ta l
ậ
p b
ả
ng tính các giá tr
ị

c

ủ
a
( )
f x
khi
1
x
→
. T
ừ

đ
ó xem
( )
f x
d
ầ
n
đế
n giá tr
ị
nào.


Nh
ậ
n th
ấ
y khi x ti
ế

n g
ầ
n
đế
n
0
1
x
=
thì các giá tr
ị
các hàm s
ố

( )
f x
ti
ế
n g
ầ
n
đế
n
0,5. Ta nói r
ằ
ng hàm s
ố
có gi
ớ
i h

ạ
n b
ằ
ng 0,5 khi
0
1
x x
→ =
.
Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải
Cách mô t
ả
này ch
ủ
y
ế
u cho ta dáng
đ
i
ệ
u c
ủ
a f(x) khi x g
ầ
n a, d
ự

đ
oán giá tr
ị

c
ủ
a
gi
ớ
i h
ạ
n, có l
ợ
i v
ề
tr
ự
c giác và phù h
ợ
p v
ớ
i m
ụ
c
đ
ích th
ự
c hành. Tuy nhiên không
ch
ặ
t ch
ẽ
.

Sử dụng định nghĩa
, ch
ỉ
ra r
ằ
ng
2
1
1 1
lim
2
1
x
x
x
→
−
=
−
.
Th
ậ
t v
ậ
y, cho tr
ướ
c
0
ε
>

, ch
ọ
n
δ = ε
. Ta có:
x 1
− < δ
thì
2
1 1 1
1
2 1
1
x x
x
x
x
ε
− −
− = < − <
+
−
( v
ớ
i x trong lân c
ậ
n c
ủ
a 1).
Ví d

ụ
3: Tìm gi
ớ
i h
ạ
n
0
1
lim cos
x
x
→

Gi
ả
i:
Đặ
t
1
( ) cos
f x
x
= .
+ V
ớ
i
1
x
2n
=

π
, n = 1, 2, 3…thì
( ) 1
f x
=
.
+ V
ớ
i
1
x
2n
2
=
π
+ π
, n = 1, 2, 3…thì
( ) 0
f x
=
. V
ậ
y
0
1
lim cos
x
x
→
không t

ồ
n t
ạ
i.
3. Giới hạn ở vô cực
Đị
nh ngh
ĩ
a:
lim ( ) 0
x
f x L
ε
→+∞
+ = ⇔ ∀ >
,
0
N
∃ >

đủ
l
ớ
n, sao cho
( )x N f x L
ε
∀ > ⇒ − <
.
lim ( ) 0
x

f x L
ε
→−∞
+ = ⇔ ∀ >
,
0
N
∃ >

đủ
l
ớ
n, sao cho
( )x N f x L
ε
∀ < − ⇒ − <
.
Ví d
ụ
4: Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
1
lim 0
x
x
→+∞
=

.
+ T
ừ

2
1 1
0 x
x
ε
ε
− < ⇔ >
.
+ Ta có:
0
ε
∀ >
, ch
ọ
n
2
1
N
ε
= . Khi
đ
ó
( ) 0x N f x
ε
∀ > ⇒ − <
.

4. Các tính chất của giới hạn
Đị
nh lí 1: Gi
ả
s
ử
c là h
ằ
ng s
ố
và lim ( ) , lim ( )
x a x a
f x L g x M
→ →
= =
. Khi
đ
ó
1.
[
]
lim ( ) ( )
x a
f x g x L M
→
+ = +

2.
[
]

lim ( ) ( )
x a
f x g x L M
→
− = −


3. lim . ( )
x a
c f x cL
→
=
4.
lim ( ). ( ) .
x a
f x g x L M
→
=
5.
( )
lim
( )
x a
f x L
g x M
→
= n
ế
u
0

M
≠
.
Đị
nh lý 2: ( v
ề
gi
ớ
i h
ạ
n k
ẹ
p)
Gi
ả
s
ử
các hàm s
ố

( ), ( ), ( )
f x g x h x
tho
ả
mãn b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ

c
( ) ( ) ( )
f x g x h x
≤ ≤
trong
lân c
ậ
n c
ủ
a
đ
i
ể
m a. Khi
đ
ó n
ế
u lim ( ) lim ( )
x a x a
f x h x L
→ →
= =
thì lim ( )
x a
g x L
→
=
.
Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải
Ví d

ụ
5: Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
sin
lim 0
x
x
x
→∞
=
.
Ta có:
sin 1
0
x
x x
≤ ≤
. Mà
1
lim 0
x
x
→∞
=
nên
sin
lim 0

x
x
x
→∞
=
, hay ta có
đ
pcm.
5. Một số phương pháp khử dạng vô định:

0
, , , 1 .
0
∞
∞
∞ − ∞
∞

+ Phân tích
đ
a th
ứ
c thành nhân t
ử
ho
ặ
c nhân bi
ể
u th
ứ

c liên h
ợ
p
để
kh
ử
d
ạ
ng vô
đị
nh.
+ S
ử
d
ụ
ng gi
ớ
i h
ạ
n k
ẹ
p
+ S
ử
d
ụ
ng m
ộ
t s
ố

gi
ớ
i h
ạ
n c
ơ
b
ả
n sau:

0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
,
0
1
lim ln
x
x
a
a
x
→
−
=

,
0
ln( 1)
lim 1
x
x
x
→
+
=
,
lim 1
x
a
x
a
e
x
→∞
 
+ =
 
 
,
(
)
lim 0, 0 1
x
x
a a

→+∞
= < <
, …
Ví d
ụ
6: Tìm
1
1
lim
1
m
n
x
x
x
→
−
−
.
Gi
ả
i: + D
ạ
ng
0
0
.
+
(
)

(
)
( )
( )
(
)
( )
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 1
1 1 1
1
lim lim lim
1
1 1 1
m m m m
m
n
n n n n
x x x
x x x x x
x m
x n
x x x x x
− − − −
− − − −
→ → →
− + + + + + +
−
= = =

−
− + + + + + +
.
Ví d
ụ
7: Tìm
3
2
1 2 3
lim
2
x
x x
x
→
− − −
−

+ D
ạ
ng
0
0

+
(
)
(
)
(

)
(
)
3 3
3
2 2 2 2
1 1 2 3 1 1 1 2 3 1
1 2 3
lim lim lim lim
2 2 2 2
x x x x
x x x x
x x
x x x x
→ → → →
− − − − − − − − −
− − −
= = −
− − − −

+
(
)
0
3
0
2
1 1
lim
2

dang
x
x
x
→
− −
=
−

+
(
)
0
0
2
2 3 1
lim
2
dang
x
x
x
→
− −
=
−
.
+ V
ậ
y

3
2
1 2 3 1 4
lim 1
2 3 3
x
x x
x
→
− − −
= + =
−
.
Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải
Ví d
ụ
8: Tìm
lim
1
x
x x
x
→+∞
+
+

Gi
ả
i: D
ạ

ng
∞
∞
.
+
lim
1
x
x x
x
→+∞
+
=
+

+ KQ: 1.
Ví d
ụ
9: Tìm
(
)
2
lim
x
x x x
→+∞
+ −
+ D
ạ
ng

∞ − ∞

+
(
)
2
lim
x
x x x
→+∞
+ − =
.
+ KQ:
∞
.
Ví d
ụ
10: Tìm
2
2
2
2
1
lim
1
x x
x
x
x
+

→+∞
 
+
 
−
 
,
+ D
ạ
ng
1
∞

+
(
)
( )
2
2
2
2
2
2
2 2
1
1
2 2
2
2
lim

2
2
1
2 2
1 2
lim lim 1
1 1
x
x x
x
x
x x
x x
x
x x
x
e e
x x
→+∞
+
 
−
−
+
+
 
 
 
−
→+∞ →+∞

 
 
+
 
 
= + = =
 
 
 
− −
 
 
 
 
.
Ví d
ụ
11: Tìm gi
ớ
i h
ạ
n sau
0
1 cos .cos 2
lim
1 cos
x
x x
x
→

−
−
.
+ D
ạ
ng
0
0
.
+
0
1 cos .cos 2
lim
1 cos
x
x x
x
→
−
=
−


=

+ KQ: 5.
Ví d
ụ
12: Tìm gi
ớ

i h
ạ
n sau
( )
2
1
0
lim cos
x
x
x
→
.
+ D
ạ
ng
1
∞

+ Ta có:
( )
2
cos 1 1 cos 1 2sin
2
x
x x
= − − = −


+

( )
2
1
0
lim cos
x
x
x
→
=

Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải
+ KQ:
1
2
e
−

6. Gi
ớ
i h
ạ
n m
ộ
t phía
a.
Đị
nh ngh
ĩ
a: Gi

ớ
i h
ạ
n c
ủ
a f(x) khi
,
x a x a
→ <
(ho
ặ
c
,
x a x a
→ >
) n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i g
ọ
i là
gi
ớ
i h
ạ
n trái ( ho
ặ

c gi
ớ
i h
ạ
n ph
ả
i ). Ký hi
ệ
u
lim ( ) ( ), lim ( ) ( )
x a x a
f x f a f x f a
− +
− +
→ →
= =
.
Ký hi
ệ
u khác:
0 0
lim ( ) ( 0), lim ( ) ( 0)
x a x a
f x f a f x f a
→ − → +
= − = +
.


b.

Đị
nh lý: T
ồ
n t
ạ
i lim ( )
x a
f x L
→
=
khi và ch
ỉ
khi
lim ( )
lim ( )
lim ( ) lim ( )
x a
x a
x a x a
f x
f x
f x f x L
−
+
− +
→
→
→ →

∃



∃


= =



Ví d
ụ
13: Xét s
ự
t
ồ
n t
ạ
i c
ủ
a
0
lim
x
x
x
→
.
Ta có:
0 0
lim lim 1

x x
x
x
x x
+ +
→ →
= =
,
0 0
lim lim 1
x x
x
x
x x
− −
→ →
−
= = −
. V
ậ
y
0
lim
x
x
x
→
không t
ồ
n t

ạ
i.
Ví d
ụ
14: N
ế
u
4, 4
( )
8 2 , 4
x x
f x
x x

− >

=

− <



, Xác
đị
nh s
ự
t
ồ
n t
ạ

i c
ủ
a
(
)
4
lim
x
f x
→
.
GI
Ả
I:
Vì
(
)
4
f x x
= −
v
ớ
i
4
x
>
, chúng ta có:
(
)
4 4

lim lim 4 4 4 0
x x
f x x
+ +
→ →
= − = − =

Vì
(
)
8 2
f x x
= −
v
ớ
i
4
x
<
, chúng ta có :
(
)
(
)
4 4
lim lim 8 2 8 2.4 0
x x
f x x
− −
→ →

= − = − =

Gi
ớ
i h
ạ
n trái và gi
ớ
i h
ạ
n ph
ả
i b
ằ
ng nhau. Vì v
ậ
y, gi
ớ
i h
ạ
n t
ồ
n t
ạ
i và
(
)
4
lim 0
x

f x
→
=
.


Đồ
th
ị
c
ủ
a f
đượ
c ch
ỉ
ra trong Hình 3.
Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải

HÌNH 3

7. Vô cùng lớn, vô cùng bé
Đị
nh ngh
ĩ
a: Hàm s
ố
f(x)
đượ
c g
ọ

i là vô cùng bé, vi
ế
t t
ắ
t là VCB khi
0
x x
→ n
ế
u
0
lim ( ) 0
x x
f x
→
=
. Hàm s
ố
f(x)
đượ
c g
ọ
i là vô cùng l
ớ
n, vi
ế
t t
ắ
t là VCL khi
0

x x
→ n
ế
u
0
lim ( )
x x
f x
→
= +∞
.
Chú ý:
+
0
x
có th
ể
h
ữ
u h
ạ
n ho
ặ
c vô h
ạ
n.
+
0 0
1
lim ( ) lim 0

( )
x x x x
f x
f x
→ →
= ∞ ⇔ =
.
1
( ) (1 )
x
f x x
= +



♦
N
ế
u
0
( )
lim 1
( )
x x
f x
g x
→
=
ta nói r
ằ

ng f(x) t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i g(x), kí hi
ệ
u
( ) ( )
f x g x
∼
.

♦
M
ộ
t s
ố
VCB cùng b
ậ
c khi
0
x
→
: sin , ln(1 ) , 1
x
x x x x e x
+ −
∼ ∼ ∼

.
ln(1+x) ∼ x khi x→ 0 v×
0
ln(1 )
lim 1
x
x
x
→
+
=

Định lý:
N
ế
u f(x)
∼
f*(x), g(x)
∼
g*(x) khi
x x
→
0
. Khi
đ
ó :
0 0
*
*
( ) ( )

lim lim
( ) ( )
x x x x
f x f x
g x g x
→ →
=
.
Ví d
ụ
15
:
Tính
2
0
1
lim
ln(1 sin 3 )
x
x
e
x
→
−
+
.
Ta có: 1
2
−
x

e ∼ 2x khi x → 0; ln(1+sin3x) ∼ sin3x ∼ 3x khi x → 0
Do
đ
ó :
2
0 0
1 2 2
lim lim
ln(1 sin 3 ) 3 3
x
x x
e x
x x
→ →
−
= =
+
.
1.3. Tính liên tục của hàm số
1.
Đị
nh ngh
ĩ
a
Định nghĩa 1
: Hàm s
ố
f(x) liên t
ụ
c t

ạ
i
đ
i
ể
m
0
x
n
ế
u
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
=
.
Hàm s
ố
y = f(x) liên t
ụ
c trên mi
ề
n D n
ế
u nó liên t
ụ
c t

ạ
i m
ọ
i
đ
i
ể
m thu
ộ
c mi
ề
n D.
Chú ý: T
ừ

đị
nh ngh
ĩ
a 1, ta th
ấ
y
để
y = f(x) liên t
ụ
c t
ạ
i
đ
i
ể

m
0
x
c
ầ
n
đế
n 3
đ
i
ề
u ki
ệ
n:
1.
0
x
thu
ộ
c t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a hàm s
ố
.
Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải
2. T

ồ
n t
ạ
i
0
lim ( )
x x
f x
→
.
3.
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
=

Nh
ậ
n xét:
+ Các
đ
a th
ứ
c, hàm phân th
ứ
c, hàm h
ữ

u t
ỉ
, hàm l
ượ
ng giác, hàm m
ũ
, hàm logarit là
các hàm s
ố
liên t
ụ
c trên mi
ề
n xác
đị
nh c
ủ
a nó.
+ Hàm s
ố
y = f(x) liên t
ụ
c trên (a, b) thì
đồ
th
ị
c
ủ
a nó là m
ộ

t
đườ
ng cong tr
ơ
n trên
kho
ả
ng này (t
ứ
c là không b
ị
gãy, không b
ị

đứ
t
đ
o
ạ
n).
Đị
nh ngh
ĩ
a 2: Hàm s
ố
f (x)
đượ
c g
ọ
i là

liên tục phải
t
ạ
i
0
x
n
ế
u
(
)
(
)
0
0
lim
x x
f x f x
+
→
=
.
Hàm s
ố
f (x)
đượ
c g
ọ
i là
liên tục trái

t
ạ
i
0
x
n
ế
u
(
)
(
)
0
0
lim
x x
f x f x
−
→
=
.


Hàm s
ố
y = f (x) liên t
ụ
c t
ạ
i

0
x
khi và ch
ỉ
khi nó v
ừ
a liên t
ụ
c trái, v
ừ
a liên t
ụ
c ph
ả
i t
ạ
i
0
x
.

Ví d
ụ
16: Xét tính liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố

( )
2
2
2
2
1 2
x x
x
f x
x
x

− −
≠

=
−


=


+ Ta th
ấ
y hàm s
ố
liên t
ụ
c t

ạ
i m
ọ
i
đ
i
ể
m
2
x
≠
.
+ Xét t
ạ
i x = 2.
( )
(
)
(
)
( )
2
2 2 2 2
2 1
2
lim lim lim lim 1 3, (2) 1
2 2
x x x x
x x
x x

f x x f
x x
→ → → →
− +
− −
= = = + = =
− −

Nh
ư
ng
(
)
(
)
2
lim 2
x
f x f
→
≠
. Nên f không liên t
ụ
c t
ạ
i 2.
Ví d
ụ
17: Tìm a
để

hàm s
ố
sau liên t
ụ
c trên R
2
sin 2
0
( )
1 0
ax
x
x
f x
x
ae x x

>

=


+ − ≤


+ Hàm s
ố
liên t
ụ
c v

ớ
i m
ọ
i
0
x
≠
,
để
hàm s
ố
liên t
ụ
c trên R thì nó ph
ả
i liên t
ụ
c t
ạ
i
0
x
=
.
+ T
ạ
i
0
x
=

( )
0 0
sin 2
lim lim 2
x x
x
f x
x
+ +
→ →
= =
,
(
)
(
)
2
0 0
lim lim 1 1 (0)
ax
x x
f x ae x a f
− −
→ →
= + − = − =


Để

hàm s
ố
liên t
ụ
c t
ạ
i x = 0 thì
(0 ) (0 ) (0) 1 2 3
f f f a a
+ −
= = ⇔ − = ⇔ =
.

Ví d
ụ
18: Hàm s
ố
f(x) không xác
đị
nh t
ạ
i x = 0, hãy xác
đị
nh f(0)
để
hàm s
ố
f(x) liên
t
ụ

c t
ạ
i x = 0 v
ớ
i :
(
)
x
f ( x ) x
= +
1
1 2

Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải
Gi
ả
i:
Để
hàm s
ố
liên t
ụ
c t
ạ
i x = 0 thì
1
2
0 0
(0) lim ( ) lim(1 2 )
x

x x
f f x x e
→ →
= = + =
.
2.
Đ
i
ể
m gián
đ
o
ạ
n c
ủ
a hàm s
ố


Đị
nh ngh
ĩ
a: Hàm s
ố
f(x)
đượ
c g
ọ
i là gián
đ

o
ạ
n t
ạ
i x = a n
ế
u t
ạ
i x = a hàm s
ố

không liên t
ụ
c.
N
ế
u t
ồ
n t
ạ
i
( ), ( )
f a f a
+ −
và
( ) ( )
f a f a
+ −
≠
thì x = a

đượ
c g
ọ
i là
đ
i
ể
m gián
đ
o
ạ
n
lo
ạ
i 1.

Đ
i
ể
m gián
đ
o
ạ
n khác (không ph
ả
i lo
ạ
i 1) g
ọ
i là gián

đ
o
ạ
n lo
ạ
i 2.

Ví d
ụ
19: Tìm và phân lo
ạ
i
đ
i
ể
m gián
đ
o
ạ
n c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
a.
( )
x
f x
x
=

b.
1
1
( )
1
x
x
f x
e
−
=
−

Giải
: a. Xét t
ạ
i x = 0

(
)
0
lim
x
f x
+
→
=


(

)
0
lim
x
f x
−
→
=

nên x = 0 là gián
đ
o
ạ
n lo
ạ
i 1.
b.
♦
T
ạ
i x = 1.

(
)
(
)
1 1
lim lim
x x
f x f x

+ −
→ →
= =

nên x = 1 là gián
đ
o
ạ
n lo
ạ
i 1.

♦
T
ạ
i x = 0.

(
)
(
)
0 0
lim lim
x x
f x f x
+ −
→ →
= =

nên x = 0 là gián

đ
o
ạ
n lo
ạ
i 2.
Ví d
ụ
20: Kh
ả
o sát s
ự
liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố
và tính ch
ấ
t
đ
i
ể
m gián
đ
o
ạ
n
x

cos x
f ( x)
x x
π



≤


=



− >



1
2
1 1

(
Đ
S: x = - 1 là
đ
i
ể
m gián
đ

o
ạ
n lo
ạ
i 1)




Bài số 2
Đạo hàm của hàm số một biến
2.1 Định nghĩa về đạo hàm
1. Định nghĩa đạo hàm
Cho hàm s
ố

( )
y f x
=
,
đạ
o hàm
'( )
f x
c
ủ
a hàm s
ố

( )

f x
là m
ộ
t hàm m
ớ
i có giá tr
ị

t
ạ
i
đ
i
ể
m x
đượ
c xác
đị
nh b
ở
i gi
ớ
i h
ạ
n sau (khi gi
ớ
i h
ạ
n t
ồ

n t
ạ
i):
Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải
0
( ) ( )
'( ) lim
x
f x x f x
f x
x
∆ →
+ ∆ −
=
∆
.
+ N
ế
u gi
ớ
i h
ạ
n t
ồ
n t
ạ
i v
ớ
i x = a, thì hàm s
ố

y = f(x)
đượ
c g
ọ
i là kh
ả
vi t
ạ
i a.
+ Hàm kh
ả
vi là hàm s
ố
kh
ả
vi t
ạ
i m
ọ
i
đ
i
ể
m trong t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a nó.

y = f(x)
P
∆x
x + x
0
∆x
0
x
y
Q
f(x + x) - f(x )
0 0
∆



●

Chú ý :

+ f’(x) là
độ
d
ố
c c
ủ
a ti
ế
p tuy

ế
n c
ủ
a
đườ
ng cong y = f(x) t
ạ
i P.
+ Có nhi
ề
u cách ký hi
ệ
u khác nhau c
ủ
a
đạ
o hàm hàm s
ố

( )
y f x
=
:
'( )
f x
, y’ ,
dy
dx
,
( )

df x
dx
,
( )
d
f x
dx
.
+ N
ế
u
( )
y f x
=
thì
dy
dx
còn
đượ
c g
ọ
i là su
ấ
t bi
ế
n
đổ
i c
ủ
a

y
theo
x
.
+ N
ế
u ta mu
ố
n vi
ế
t giá tr
ị
s
ố
c
ủ
a
đạ
o hàm t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m c
ụ
th
ể

x = 3, ta vi
ế
t :
x
dy
dx
=
 






 
3
ho
ặ
c
3x
dx
dy
=
, ho
ặ
c f’(3) .
+
0
x x x
∆ = −

nên
0
0
0
0
( ) ( )
( ) ( )
'( ) lim lim
x x x
f x f x
f x x f x
f x
x x x
∆ → →
−
+ ∆ −
= =
∆ −
.

2. Quy tắc tìm đạo hàm tại một điểm theo định nghĩa:


●

Bc 1
. Tìm s
ố
gia f(x +
∆

x) - f(x) và ti
ế
n hành rút g
ọ
n

●

Bc 2
. Thi
ế
t l
ậ
p t
ỷ
s
ố
:
x
xfxxf
∆
−∆+ )()(
00


●

Bc 3.
Tính gi
ớ

i h
ạ
n c
ủ
a t
ỷ
s
ố
trên khi
∆
x
→
0. N
ế
u gi
ớ
i h
ạ
n
đ
ó t
ồ
n t
ạ
i thì
đ
ó
chính là
đạ
o hàm c

ủ
a hàm s
ố
t
ạ
i
đ
i
ể
m c
ầ
n tìm :
0
( ) ( )
'( ) lim
x
f x x f x
f x
x
∆ →
+ ∆ −
=
∆
.
Ví dụ 1.
Tìm f’(x) n
ế
u f(x) =
x
1

B
ướ
c 1:
1 1 ( )
( ) ( )
( ) ( )
x x x x
f x x f x
x x x x x x x x x
− + ∆ −∆
+ ∆ − = − = =
+ ∆ + ∆ + ∆

B
ướ
c 2.
Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải
)(
1
)()(
00
xxxx
xfxxf
∆+
−
=
∆
−∆+

Bước 3. Kết luận
2
0
1
)(
1
lim)('
x
xxx
xf
x
−=
∆+
−
=
→∆

Ví d
ụ
2 : V
ẽ

đồ
th
ị
hàm s
ố

( )
y f x x x

= =
và cho bi
ế
t nó không kh
ả
vi t
ạ
i
đ
i
ể
m nào
Gi
ả
i :
2
2
, 0
( )
, 0
x x
y f x x x
x x

≥

= = =

− <



nên
2 , 0
'( )
2 , 0
x x
f x
x x
>

=

− <


T
ạ
i x = 0, ta có
0 0 0
(0 ) (0)
lim lim lim 0
x x x
x x
f x f
x
x x
∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆
+ ∆ −
= = ∆ =

∆ ∆
, hàm s
ố
kh
ả
vi t
ạ
i x = 0.
V
ậ
y hàm s
ố
kh
ả
vi v
ớ
i m
ọ
i x.
Ví d
ụ
3: Hàm s
ố

( -1)ln( 1) 1 1
( )
2 1 1

x x x
f x

x x
− + >

=

− ≤

có kh
ả
vi t
ạ
i x = 1 không.
Gi
ả
i: +
1
( ) (1)
lim
1
x
f x f
x
+
→
−
=
−


+

1
( ) (1)
lim
1
x
f x f
x
−
→
−
=
−

V
ậ
y hàm s
ố
không kh
ả
vi t
ạ
i x = 1.
Ví d
ụ
4: Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế

u hàm f(x) có tính ch
ấ
t
2
( )
f x x
≤
v
ớ
i m
ọ
i x thì f(x) kh
ả

vi t
ạ
i x = 0.
Gi
ả
i:
T
ừ

2
( )
f x x
≤
,
x
∀

nên
(0) 0 (0) 0
f f
≤ ⇔ =
.
Ta có
(0 ) (0) ( )
0
f x f f x
x
x x
+ ∆ − ∆
≤ = ≤ ∆
∆ ∆
, mà
0
lim 0
x
x
∆ →
∆ =

Nên
0
(0 ) (0)
'(0) lim 0
x
f x f
f
x

∆ →
+ ∆ −
= =
∆
. V
ậ
y hs kh
ả
vi t
ạ
i x = 0.



 Chú ý: +
N
ế
u hàm s
ố
( )
y f x
=

liên t
ụ
c t
ạ
i
đ
i

ể
m x thì :
0lim
0
=∆
→∆
y
x

+

M
ộ
t hàm
kh vi ti mt đim thì liên tc ti đim đó
vì:
0 0 0 0
lim lim lim lim 0 0
x x x x
y y dy
y x x
x x dx
∆ → ∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆
 
 
∆ = ⋅ ∆ = ∆ = ⋅ =
 
 
∆ ∆

 
.
+

M
ộ
t hàm có th
ể
liên t
ụ
c t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m mà không kh
ả
vi t
ạ
i
đ
i
ể
m
đ
ó.
+ M

ộ
t hàm s
ố

không liên tc
t
ạ
i
0
x

thì s
ẽ

không khả vi tại điểm đó
.
2. MỘT SỐ CÔNG THỨC VÀ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM ĐÃ HỌC
1.
0
d
c
dx
=
2.
1
d du
u u
dx dx
α α
α

−
=
3.
ln
u u
d du
a a a
dx dx
=

Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải
4.
1
ln .
d du
u
dx u dx
=
5.
sin cos .
d du
u u
dx dx
=
6.
2
1
tan .
cos
d du

u
dx u dx
=

7.
cos sin .
d du
u u
dx dx
= −
8.
( )
d du dv
u v
dx dx dx
+ = +
9.
( )
d du dv
uv v u
dx dx dx
= +

10.
2
' '
d u u v v u
dx v v
−
=

11.
.
dy dy du
dx du dx
=
(Quy t
ắ
c dây chuy
ề
n hay
đạ
o hàm hàm h
ợ
p).
Ví d
ụ
5. Tính y’ c
ủ
a hàm s
ố

a.
2
1 1
y x
= + +
. b.
(
)

ln sin ln
y x
=
 
 

Gi
ả
i:
a.
'
y
=

+ KQ:
2 2
2 1 . 1 1
x
x x
+ + +
.
b.
'
y
=


+ KQ:
(
)

cot ln
x
x

2.2. Hàm ẩn và đạo hàm hàm ẩn
a. Hàm ẩn
H
ầ
u h
ế
t các hàm ta g
ặ
p có d
ạ
ng
( )
y f x
=
, trong
đ
ó y bi
ể
u di
ễ
n tr
ự
c
ti
ế
p (ho

ặ
c t
ườ
ng minh) theo x. Ngoài ra y th
ườ
ng
đị
nh ngh
ĩ
a là hàm c
ủ
a x b
ằ
ng
ph
ươ
ng trình
( , ) 0
F x y
=
(1), không gi
ả
i
đượ
c
đố
i v
ớ
i y, nh
ư

ng trong
đ
ó x và y có
liên quan v
ớ
i nhau. Khi
đ
ó, ta nói ph
ươ
ng trình (1) xác
đị
nh y nh
ư
là m
ộ
t (ho
ặ
c
nhi
ề
u) hàm
ẩ
n c
ủ
a x.
Ví dụ 6.
Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải

+ P/trình
1

xy
=
xác
đị
nh m
ộ
t hàm
ẩ
n c
ủ
a x mà ta có th
ể
vi
ế
t m
ộ
t cách t
ườ
ng minh
là
1
y
x
=
.
+ P/trình 2x
2
- 2xy = 5 - y
2
xác

đị
nh hai hàm
ẩ
n:
2 2
5 5
= + − = − −
y x x và y x x
.

b. Đạo hàm của hàm ẩn :
Ví dụ 7
(i) Xét p/trình
1
xy
=
. L
ấ
y
đạ
o hàm hai v
ế
theo
x
:

0
dy
x y
dx

+ =
ho
ặ
c
dy y
dx x
= −

+ T
ừ
ph
ươ
ng trình ta có
1
y
x
=
nên:
2
1 1 1 1
dy y
y
dx x x x x x
= − = − = − ⋅ = −
.
+ N
ế
u
đạ
o hàm tr

ự
c ti
ế
p
1
y
x
=
, c
ũ
ng có
2
x
1
dx
dy
−=
.
(ii) T
ừ
ph
ươ
ng trình x
2
+ y
2
= 25
đạ
o hàm 2 v
ế

ta có :
2 2 0
dy dy x
xdx y
dx dx y
+ = ⇔ = −
.
2.3. Hàm ngược và đạo hàm hàm ngược
1. Đnh nghĩa :
Cho hàm s
ố
:


:
( )
→
→ =
f X Y
x y f x

N
ế
u t
ươ
ng
ứ
ng ng
ượ
c :

→
Y X
sao cho
| ( )
→ =
y x y f x
c
ũ
ng là m
ộ
t hàm s
ố
thì
ta nói r
ằ
ng hàm s
ố

( )
=
y f x
có hàm s
ố
ng
ượ
c
1
1
:
( )

−
−
→
→ =
f Y X
y x f y



Có hàm số ngược

1
( )
f x
−

Không có hàm số ngược

2. Công thc hàm s ngc :
Xét hàm s
ố
:
: , ( )
f X Y x y f x
→ → =

Xét ph
ươ
ng trình
ẩ

n x :
( ) (*)
=
f x y

N
ế
u v
ớ
i m
ỗ
i
∈
y Y
ph
ươ
ng trình (*) có duy nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m
∈
x X
thì hàm s
ố

( )
=

y f x
có hàm s
ố
ng
ượ
c:

1
1
:
( )
−
−
→
→ =
f Y X
y x f y

trong
đ
ó
1
( )
−
=
x f y
chính là công th
ứ
c nghi
ệ

m duy nh
ấ
t c
ủ
a ph
ươ
ng trình (*).
Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải

3 Điều kiện tồn tại hàm số ngược
a. Khái niệm :
Hàm s
ố

( )
y f x
=

đượ
c g
ọ
i là hàm m
ộ
t – m
ộ
t n
ế
u v
ớ
i

1 2
x x
≠
thì ta có
1 2
( ) ( )
f x f x
≠
.

Không là hàm 1-1
b. Điều kiện :
N
ế
u
( )
y f x
=
là hàm m
ộ
t - m
ộ
t có TX
Đ
là
X
và MGT là
Y
. Khi
đ

ó t
ồ
n
t
ạ
i hàm ng
ượ
c
1
f
−
v
ớ
i TX
Đ
là
Y
và MGT là
X
, h
ơ
n n
ữ
a
1
( ) ( )
y f x x f y
−
= ⇔ =
.

Chú ý :
: + N
ế
u
( )
y f x
=

có hàm ng
ượ
c
1
f
−

thì
+
(
)
1
( ) ,
f f x x x X
−
= ∀ ∈
.
+
(
)
1

( ) ,
f f y y y Y
−
= ∀ ∈

c. Đồ thị :
N
ế
u
( )
y f x
=

có hàm s
ố

ng
ượ
c
1
( )
y f x
−
=

thì
đồ
th
ị
c

ủ
a hai hàm s
ố

đ
ó s
ẽ

đố
i x
ứ
ng
nhau qua
đườ
ng phân giác th
ứ
nh
ấ
t
y x
=
.
4. Hàm ngược của một số hàm sơ cấp
a) Hàm số
:

:
( )
f
x y f x x

+ +
→
= =
» »


có hàm s
ố
ng
ượ
c là
2
y x
=
.


b)

Hàm số ngược của hàm
sin
y x
=
:


Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải
N
ế
u xét hàm s

ố
:

[
]
[
]
sin : / 2, / 2 1,1
sin
π π
− → −
→ =
x y x

Khi
đ
ó t
ồ
n t
ạ
i hàm s
ố
ng
ượ
c :

[
]
[
]

1
1
sin : 1,1 / 2, / 2
sin
π π
−
−
− → −
→ =
y x y

Ký hi
ệ
u khác :
1
sin arcsin
−
=
x x
.


Chú ý :

1
sin arcsin
−
= =
a b b
chính là s

ố

đ
o góc mà
sin
=
a b
.


Ví dụ 8:

1
1 1 1
sin sin arcsin
6 2 6 2 2
π π
−
= ⇔ = =
.
c) Hàm ngược của hàm cosine :
T
ươ
ng t
ự
, n
ế
u xét
[
]

[
]
cos : 0, 1,1
cos
x y x
π
→ −
→ =

Khi
đ
ó s
ẽ
t
ồ
n t
ạ
i hàm ng
ượ
c :
1
cos
y x
−
=
.
d. Hàm ngược của hàm tang
Xét hàm s
ố
:

tan : , ( , )
2 2
tan
π π
 
− → −∞ ∞
 
 
→ =
x y x

khi
đ
ó t
ồ
n t
ạ
i hàm s
ố
ng
ượ
c
1
tan : ( , ) ,
2 2
π π
−
 
−∞ + ∞ → −

 
 

Chú ý :

1
tan
−
=
a b
chính là s
ố

đ
o c
ủ
a góc mà
tan
=
a b
.

Đồ
th
ị
c
ủ
a hàm y = tg
– 1
x là

đườ
ng
đậ
m nét
ở
hình
9.19.

e. Hàm ngược của hàm cotang :

Khi xét
(
)
cotan : 0, ( , )
cot
x y x
π
→ −∞ ∞
→ =

T
ươ
ng t
ự
: Hàm
( )
1
arccot cot ( )
y x x
−

= =


5. Đạo hàm hàm ngược
a.
Đị
nh lý : Cho hàm
( )
y f x
=
là hàm liên t
ụ
c, m
ộ
t – m
ộ
t trên kho
ả
ng
( , )
a b
. Khi
đ
ó
t
ồ
n t
ạ
i hàm ng
ượ

c
1
( )
x f y
−
=
xác
đị
nh trong lân c
ậ
n c
ủ
a
0
y
v
ớ
i
0 0
( )
y f x
=
. Gi
ả
s
ử

Hình 9.19
Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải
( )

y f x
=
có
đạ
o hàm t
ạ
i
0
x
và
0
( ) 0
f x
≠
, thì hàm ng
ượ
c
1
( )
x f y
−
=
s
ẽ
có
đạ
o hàm
t
ạ
i

0
y
và
( )
'
1
0
0
1
( )
'
f y
f x
−
 
=
 
.
Ví dụ 9:
Hàm s
ố

( )
y f x x
= =
có hàm ng
ượ
c
1 2
( )

x f y y
−
= =

Ta có :
1
'( ) , 0
2
f x x
x
= ∀ >
;
'
1
1 1
( ) 2 2 , 0
1
'( )
2
f y y x x
f x
x
−
 
= = = = ∀ >
 
.
b.
Đạ
o hàm hàm l

ượ
ng giác ng
ượ
c
Cho u là hàm kh
ả
vi c
ủ
a x, ta có :

1
2
1
(sin )
1
d du
u
dx dx
u
−
=
−

1
2
1
(cos )
1
d du
u

dx dx
u
−
= −
−


1
2
1
(tan )
1
d du
u
dx u dx
−
=
+

1
2
1
(cot )
1
d du
u
dx u dx
−
= −
+

Ví d
ụ
10: Tính dy/dx c
ủ
a hàm s
ố

1 2
tan ln 1
y x x x
−
= − +
.
Gi
ả
i :
1 2
1
tan ln(1 )
2
y x x x
−
= − +
nên
dy
dx
=

1

tan
x
−
=
.

Ví d
ụ
11: Tính dy/dx c
ủ
a hàm s
ố

1 2
sin 1
y x x x
−
= + −
.
Gi
ả
i :
2
2 1
dy
x
dx
= = −
.

2.4 .VI PHÂN

a. Định nghĩa :
Cho hàm s
ố

( )
=
y f x
, tích s
ố

'( ).
f x x
∆
g
ọ
i là vi phân c
ủ
a f(x) t
ạ
i
đ
i
ể
m x, kí hi
ệ
u
'( ).
dy f x x

= ∆
.
Khi
( )
y f x x
= =
thì
'( ) 1
f x
=
nên
dy dx x
= = ∆
, do
đ
ó :
'( )
dy df f x dx
= =
.
N
ế
u hàm s
ố
f(x) kh
ả
vi t
ạ
i x thì
(

)
( ) ( ) '( ).
y f x x f x f x x o x
∆ = + ∆ − = ∆ + ∆


b. Công thức vi phân.
Quy t
ắ
c tính
đạ
o hàm d
ẫ
n
đế
n các công th
ứ
c vi phân
t
ươ
ng
ứ
ng.

0
d
c
dx
=
d(c) = 0

1
n n
d du
u nu
dx dx
−
=
d(x
n
) = nx
n-1
dx

( )
d du
cu c
dx dx
=
d(cu) = cdu
Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải
( )
d du dv
u v
dx dx dx
+ = +
d(u + v) = du + dv
( )
d dv du
uv u v

dx dx dx
= +
d(uv) = vdu + udv

2
( )
du dv
v u
d u
dx dx
dx v v
−
=
d(
2
)
v
udvvdu
v
u
−
=

1
n n
d du
u nu
dx dx
−
=

d(u
n
) = nu
n-1
du

Ví d
ụ
12
.
Gi
ả
s
ử
y = x
4
+ 3x
2
+ 7 tìm dy
Gi
ả
i :+
Cách 1
: Tìm
đạ
o hàm
3
4 6
dy
x x

dx
= +

và nhân v
ớ
i dx, ta
đượ
c
3
(4 6 )
dy x x dx
= +

+
Cách 2
: Chúng ta c
ũ
ng có th
ể
dùng các công th
ứ
c vi phân
ở
trên
dy = d(x
4
+ 3x
2
+ 7) = dx
4

+3 d(x
2
) + d(7)
= 4x
3
dx + 3.2xdx+0
= (4x
3
+ 6x) dx

Ví d
ụ
13
.
Tính d (
1
2
2
+x
x
)
Gi
ả
i: + Dùng công th
ứ
c vi phân c
ủ
a m
ộ
t th

ươ
ng:
d(
2 2 2 2 2
2
2
1. ( ) ( 1 )
)
1
1
x x d x x d x
x
x
+ − +
=
+
+


3
2
2 3
2
2 2 3/ 2
2
2 1
2
1
1 ( 1)
1

x dx
x x dx
x x x
x
d dx
x x
x
+ −
 
+
+
= =
 
+ +
+
 
.


Ví d
ụ
14
:
Gi
ả
thi
ế
t r
ằ
ng y là m

ộ
t hàm kh
ả
vi
đố
i v
ớ
i x và th
ỏ
a mãn ph
ươ
ng trình:
x
2
y
3
- 2xy + 5 = 0.
Hãy s
ử
d
ụ
ng vi phân
để
tìm
dx
dy
.
Gi
ả
i: + L

ấ
y vi phân 2 v
ế
ph
ươ
ng trình ta có:
2xy
3
dx + 3x
2
y
2
dy - 2ydx - 2xdy = 0.
hay là
(
)
(
)
2 2 3
3 2 2 2
x y x dy y xy dx
− = −
,
+ K
ế
t qu
ả
:
x + dx
x

dx
f(x)
f(x + dx)
f(x) + dy
dy
Hình 5.3
Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải

3
2 2
2 2
3 2
dy y xy
dx x y x
−
=
−
v
ớ
i
đ
/k
2 2
3 2 0
x y x
− ≠
.



Chú ý:

Để
ý r
ằ
ng ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đườ
ng cong ôm sát
đườ
ng cong
ở
g
ầ
n ti
ế
p
đ
i
ể
m.
Đ
i
ề
u này có ngh

ĩ
a r
ằ
ng khi dx
đủ
nh
ỏ
, thì
đườ
ng cong th
ự
c s
ự
g
ầ
n v
ớ
i ti
ế
p tuy
ế
n
c
ủ
a nó, và vì th
ế
vi phân dy d
ễ
dàng
đượ

c tính toán, nó cho x
ấ
p x
ỉ
t
ố
t
đố
i v
ớ
i s
ố
gia
y
∆
.

c. Ứng dụng của vi phân trong tính gần đúng


Xét hàm s
ố

( )
y f x
=
kh
ả
vi trong lân c
ậ

n c
ủ
a
0
( , )
x a b
∈
. Theo công th
ứ
c s
ố
gia c
ủ
a
hàm kh
ả
vi ta có
0 0 0
( ) ( ) '( ).
f x x f x f x x
+ ∆ ≈ + ∆



Ví dụ 15:
Tính x
ấ
p x
ỉ

ln11
.
Gi
ả
i: + Xét
0
( ) ln , 10, 1
f x x x x
= = ∆ =

+ Áp d
ụ
ng
0 0 0
( ) ( ) '( ).
f x x f x f x x
+ ∆ ≈ + ∆
ta có

1
ln11 ln(10 1) ln10 .1 1, 043
10.ln10
= + ≈ + ≈
.
2.5 Đạo hàm và vi phân cấp cao
1.
Đị
nh ngh
ĩ
a:

Cho hàm s
ố
f(x) xác
đị
nh trong kho
ả
ng (a, b). Gi
ả
s
ử
hàm s
ố
y = f(x) có
đạ
o hàm
y’ = f’(x) và f’(x) có
đạ
o hàm thì ta g
ọ
i
đạ
o hàm c
ủ
a f’(x) là
đạ
o hàm c
ấ
p hai c
ủ
a hàm

f(x). Kí hi
ệ
u y” = f”(x) = [f’(x)]’.
T
ươ
ng t
ự
ta có
đạ
o hàm c
ấ
p n c
ủ
a hàm y = f(x):
−
′
 
=
 
( ) ( 1)
( ) ( )
n n
y x y x

Ví d
ụ
16: Cho hàm s
ố

−

=
2
x
y e
. Tính
′′′
y
.
Ta có:


=
'
y


(
)
( )
−
′′
= =
′′′
= = −
2
3
' '
" ' 4 (
3 2 ).
x

y y
y y e x x

2. Các quy t
ắ
c l
ấ
y
đạ
o hàm c
ấ
p cao:
a. V
ớ
i f, g là các hàm s
ố
có
đạ
o hàm c
ấ
p n và
λ µ
∈
,
R
, ta có:
λ µ λ µ
+ = +
( ) ( ) ( )
( ( ) ( )) ( ) ( )

n n n
f x g x f x g x

b. Quy tắc Leibniz:
V
ớ
i f, g là các hàm s
ố
có
đạ
o hàm c
ấ
p n, ta có:
−
=
=
∑
( ) ( ) ( )
0
( )
n
n k n k k
n
k
fg C f g

Ví d
ụ
17: Tìm công th
ứ

c tính
đạ
o hàm c
ấ
p n c
ủ
a:
a.
1
1
y
x
=
−
, b.
k
y x
=
, v
ớ
i
k R
∈

Gi
ả
i:
Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải
a.
1

1
( 1)
1
y x
x
−
= = −
−
, nên
' , "
y y
= =
, …,
Nên
( )
1
1
( 1) !.
( 1)
n n
n
y n
x
+
= = −
−
.
b. N
ế
u

k N
∉
thì
' , "

y y
= =
,…,

( )
n
y
=

N
ế
u
k N
∈
thì
( )
( 1) ( 1)
!

0
k n
n
k k k n x k n
y k k n
k n

−

− − + >

= =


<


Ví d
ụ
18: Dùng
đạ
o hàm hàm
ẩ
n, tính y” c
ủ
a hàm y = f(x) cho b
ở
i
n n n
x y a
+ =
.
Gi
ả
i:
Đạ
o hàm 2 v

ế

1
1 1
1
. ' 0 '
n
n n
n
x
nx ny y y
y
−
− −
−
+ = ⇔ = −
(2).
+
Đạ
o hàm l
ầ
n n
ữ
a 2 v
ế
c
ủ
a (2), chú ý r
ằ
ng y và y’ là hàm c

ủ
a x, ta có:

2 1 2 1 2 1 1 2 2
2 2 2 2
2 1 2
2 2 2 1
( 1) ( 1) . '. ( 1) ( 1) .
''
( 1) ( ) ( 1)
n n n n n n n
n n
n n n n n
n n
n x y n y y x n x y n y x
y
y y
n x y x y n a x
y y
− − − − − − − −
− −
− − −
− −
− − − − + −
= − = −
− + −
= − = −

3. Vi phân c
ấ

p cao:
Vi phân c
ấ
p 2 c
ủ
a hàm s
ố
f(x) t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m nào
đ
ó (n
ế
u có) là vi phân c
ủ
a vi phân
c
ấ
p m
ộ
t df. Kí hi
ệ
u
2

( )
d f d df
= .

Quy n
ạ
p ta có: Vi phân c
ấ
p n, kí hi
ệ
u là
n
d f
là vi phân c
ấ
p m
ộ
t c
ủ
a vi phân c
ấ
p (n-
1):
1
( )
n n
d f d d f
−
=
.

Chú ý: Khi tìm vi phân c
ấ
p cao c
ủ
a hàm s
ố
, ta luôn coi dx nh
ư
là h
ằ
ng s
ố
.

2 2 2
1 ( )
( ) ( ' ) "( ) "

( )
n n n n
d y d dy d y dx y dx y dx
d y d d y y dx
−
= = = =
= =

Ví d
ụ
19: Cho hàm s
ố

ln
y x
=
. Tìm
5
d y

Ta có:
5 (5) 5 5 5
5 5
4! 24
d y y dx dx dx
x x
= = =
.






Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải
Bài giảng số 3

CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
3.1. BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
a) Định nghĩa: Hàm số y=f(x) xác định trên đoạn [a,b], ta nói :
i. Hàm số đạt GTLN nếu :
( ) , [a,b]

c [a,b]: f(c)=M
f x M x≤ ∀ ∈


∃ ∈


ii. Hàm số đạt GTNN nếu :
( ) , [a,b]
c [a,b]: f(c)=m
f x m x≥ ∀ ∈


∃ ∈


b) Cách tìm : + Tìm các điểm tới hạn của f(x) trong đoạn [a,b ]: chẳng hạn là c
+ Khi đó:
{
}
[a,b]
ax ( ) ax f(a), f(b), f(c)
m f x m= hoặc
{
}
[a,b]
min ( ) min f(a), f(b), f(c)
f x = .



 Chú ý : 1) Nếu hàm số
( )
y f x
=
liên tc trên D, và trên đó nó có duy nht mt
cc tr
+ Nếu cực trị đó là cc tiu thì đó cũng là GTNN của hàm số trên miền đó.
+ Nếu cực trị đó là cc đi thì đó cũng là GTLN của hàm số trên miền đó.
2) Nếu hàm số
( )
y f x
=
đồng biến trên
[
]
,
a b
thì
[ ]
[ ]
,
,
max ( ) ( ), min ( ) ( )
a b
a b
f x f b f x f a
= =
.
Nếu hàm số
( )

y f x
=
nghịch biến trên
[
]
,
a b
thì
[ ]
[ ]
,
,
max ( ) ( ), min ( ) ( )
a b
a b
f x f a f x f b
= =
.
3) Hàm số
( )
y f x
=
liên tục trên
[
]
,
a b
thì luôn tồn tại GTLN và GTNN trên miền đó.



 Ví dụ 1: Tìm hai số dương mà tổng của chúng bằng 16 và tích của chúng đạt giá
trị lớn nhất.

Gii: + Giả sử x và y là hai số dương mà tổng của chúng bằng 16
+ Vì vậy: x + y = 16
+ Tích của chúng : P = xy
+ Ta có : y = 16 – x , khi đó :
P = xy = x(16 - x) = 16x - x
2
, với 0<x<16
+ Tìm các điểm tới hạn :
16 2 ; 0 8
dP dP
x x
dx dx
= − = ⇔ =
.
Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải
+ Lập bảng biến thiên, suy ra GTLN của P: max P=64, tại x = 8. Vậy x = y =8.



 Ví dụ 2: Một mảnh vườn hình chữ nhật 450m
2
được rào lại.
Nếu một cạnh của mảnh vườn được bảo vệ bởi bức tường của
một kho thóc, thì kích thước chiều dài của tường rào ngắn nhất
là bao nhiêu?

Gii: + Gọi x là chiều rộng của vườn, y là chiều dài của mảnh

vườn, L là chiều dài tổng cộng của hàng rào, với
, , 0
x y L
>
.
+ Chúng ta cần tìm GTNN của :

L = với ràng buộc

+ L có thể được viết như là hàm của một biến x :










+ Vì vậy mảnh vườn có hàng rào ngắn nhất là 15 và 30.


 Ví dụ 3: Tìm kích thước của hình chữ nhật có diện tích lớn nhất mà nó có thể nội
tiếp trong nửa đường tròn bán kính là a.
Gii :
+ Xét nửa trên của đường tròn : x
2
+ y
2

= a
2
.

+ Chúng ta phải tìm GTLN của: A = với điều kiện :
+ Đưa A về hàm một biến số x:

(9)










x
y
450ft
2
Barn

Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải
+ Vì vậy kích thước của hình chữ nhật nội tiếp lớn nhất là
2 2
x a
=
và

2
2
a
y =
,
và GTLN đó là :
2
A a
=
.



 Ví dụ 4: Một cái dây dài L được cắt thành hai đoạn. Một đoạn bị nối thành dạng hình
vuông và đoạn kia thành hình tròn. Cái dây sẽ bị cắt như thế nào sao cho tổng diện
tích bao gồm bởi 2 đoạn dây:
a) Là lớn nhất b) Là nhỏ nhất
Gii:



+ Giả sử x là cạnh của hình vuông và r là bán kính của hình tròn (
0
x
>
) , khi đó tổng
diện tích của hai hình được tạo thành là:
A =

+ Vậy
2
min
1
4 4
L
A
π
π
   
= +
   
+
   

khi
4
L
x
π
=
+
;
2
max

4
L
A
π
=
khi x = 0.
Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải


 Ví dụ 5: Một người bán hàng dự định bán 500kg khoai tây bóc vỏ với giá 1,5
USD/kg (giá gốc là 70 cent /kg). Tuy nhiên nếu cứ hạ giá một cent thì sẽ bán thêm
được 25 kg. Hỏi người bán hàng nên bán với giá nào để đạt lợi nhuận lớn nhất?

Gii: + Gọi x là số cent mà người bán hàng đã hạ giá,
+ Lợi nhuận của mỗi một kg khoai tây gọt vỏ là (80 - x) cent
+ Số lượng bán được là 500 + 25x.
+ Vì vậy toàn bộ lợi nhuận sẽ là (bằng cent)
P =
+

+ Giá bán thuận lợi nhất là 1,2 đô la/kg.



 Ví dụ 6: Một nhà máy sản xuất các hộp đựng xà phòng hình trụ nhận a đơn đặt
hàng đối với các hộp có thể tích được chỉ rõ V
0
. Với kích thước nào thì diện tích
toàn phần của một cái hộp như vậy sẽ đạt GTNN và số lượng kim loại cần đến cho
nhà máy là bao nhiêu?

Gii:
+ Giả sử r là bán kính của đáy và h là chiều cao của hộp hình trụ
+ Khi đó thể tích là:
2
0
.
V r h
π
=
(1)
và diện tích mặt toàn phần là:
2

2 2
A r r h
π π
= +
(2)
+ Đưa A về hàm 1 biến số r, ta có :
A
=






Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải





+ Kết quả :
h r
=
2
.
3.2 . ĐỊNH LÝ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH


Nhận xét hình học :
Gi

ữ
a hai
đ
i
ể
m b
ấ
t k
ỳ
P
và Q trên
đồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố
kh
ả
vi, t
ồ
n t
ạ
i ít nh
ấ
t m
ộ
t
đ

i
ể
m mà t
ạ
i
đ
ó có
đườ
ng ti
ế
p tuy
ế
n song song v
ớ
i
dây cung n
ố
i hai
đ
i
ể
m P và Q, nói cách khác : T
ồ
n
t
ạ
i ít nh
ấ
t m
ộ

t
đ
i
ể
m c n
ằ
m gi
ữ
a a và b (a < c < b)
tho
ả
mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n:

/
( ) ( )
( )
f b f a
f c
b a
−
=
−
.
a) Đnh lý 1

(Đnh lý Rolle).
N
ế
u hàm s
ố
f(x
) liên tc trên đon
[a,b] và kh
ả
vi
trong kho
ả
ng m
ở
(a,b) và n
ế
u f(a) = f(b) = 0 thì khi
đ
ó t
ồ
n t
ạ
i ít nh
ấ
t m
ộ
t s
ố
c n

ằ
m
gi
ữ
a a và b tho
ả
mãn f’(c) = 0.


Ý nghĩa hình hc:

Đị
nh lý này phát bi
ể
u r
ằ
ng n
ế
u m
ộ
t
đườ
ng cong tr
ơ
n c
ắ
t
tr
ụ
c Ox t

ạ
i 2
đ
i
ể
m, thì khi
đ
ó s
ẽ
có ít nh
ấ
t m
ộ
t
đ
i
ể
m c
ủ
a
đườ
ng cong này n
ằ
m gi
ữ
a 2
đ
i
ể
m trên mà t

ạ
i
đ
ó ti
ế
p tuy
ế
n có ph
ươ
ng n
ằ
m ngang.


Ví dụ 7.
Hàm s
ố
:
0 1
( )
2 1 2
x x
f x
x x
≤ ≤

=

− ≤ ≤


Hàm s
ố
này có giá tr
ị
b
ằ
ng 0 t
ạ
i x = 0 và x = 2, và
liên t
ụ
c trên kho
ả
ng
đ
óng 0
≤
x
≤
2. Hàm s
ố
kh
ả
vi trong
kho
ả
ng m
ở
0 < x < 2, tr

ừ

đ
i
ể
m x = 1 vì khi
đ
ó
đạ
o hàm
c
ủ
a nó không t
ồ
n t
ạ
i.
Đạ
o hàm f’(x) rõ ràng là không
b
ằ
ng 0 t
ạ
i b
ấ
t k
ỳ

đ
i

ể
m nào trên kho
ả
ng
đ
ó.
Đ
ây là m
ộ
t
th
ấ
t b
ạ
i trong k
ế
t lu
ậ
n c
ủ
a
Đị
nh lý Rolle vì th
ự
c t
ế
là
hàm s
ố
không kh

ả
vi t
ạ
i
đ
i
ể
m x = 1.


Ví dụ 8.
Hàm s
ố
:


Hàm s
ố
b
ằ
ng 0 t
ạ
i x = 0 và x = 1, và kh
ả
vi trong kho
ả
ng 0
< x < 1. Hàm s
ố
liên t

ụ
c trên 0
≤
x < 1, không liên t
ụ
c t
ạ
i x =
1.
Đạ
o hàm f’(x) không b
ằ
ng 0 t
ạ
i b
ấ
t k
ỳ

đ
i
ể
m nào trên
kho
ả
ng này, và trong tr
ườ
ng h
ợ
p này k

ế
t lu
ậ
n c
ủ
a
Đị
nh lý

0

y

x

2

1


0

1

x

0 1
0 1
x x
f

x
≤ <

=

=

Bài giảng Toán 1 cho SV K54 Ths Lê Thị Minh Hải
Rolle không còn
đ
úng.


Ví dụ 9.
Gi
ả
s
ử

0
3 2
a b
c
+ + =
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ph
ươ

ng trình
2
0
ax bx c
+ + =
có nghi
ệ
m trong
(
)
0,1
.
Gi
ả
i: Xét hàm s
ố

3 2
( )
3 2
a b
f x x x cx
= + +
:
+ Xác
đị
nh liên t
ụ
c trên
[

]
0,1
, kh
ả
vi trên
(
)
0,1

+ Ta có
(0) (1) 0
f f
= =

+ Do
đ
ó t
ồ
n t
ạ
i
0
(1, 0)
x ∈ sao cho
0
'( ) 0
f x
=
, t
ứ

c là
2
0 0
0
ax bx c
+ + =
.
V
ậ
y ta
đượ
c c
ầ
n ch
ứ
ng minh.
b) Định lý 2 (Định lý giá trị trung bình).
N
ế
u hàm s
ố
f(x) liên t
ụ
c trên [a,b] và kh
ả

vi trên (a,b), khi
đ
ó t
ồ

n t
ạ
i ít nh
ấ
t m
ộ
t s
ố
c n
ằ
m gi
ữ
a a và b tho
ả
mãn:
/
( ) ( )
( )
f b f a
f c
b a
−
=
−



Ví dụ 10.
CRM n
ế

u 0
b a
< <
thì ta có ln
a b a a b
a b b
− −
< < .
Gi
ả
i: Xét hàm s
ố

( ) ln
f x x
=
:
+ Xác
đị
nh liên t
ụ
c trên
[
]
,
b a
, kh
ả
vi trên
(

)
,
b a
, h
ơ
n n
ữ
a
1
'( )f x
x
=

+ Khi
đ
ó t
ồ
n t
ạ
i
( )
0 0
( ) ( ) ln ln
( , ) : '
f a f b a b
x b a f x
a b a b
− −
∈ = =
− −

+ Ta có
( ) ln
f x x
=
là hàm
đồ
ng bi
ế
n nên :
0 0
0
1 1 1 1 1
0 '( )b x a f x
a x b a b
< < < ⇔ < < ⇔ < <

+ T
ứ
c là
1 ln ln 1
ln ln ln
a b a b a b a b a a b
a b
a a b b a b a b b
− − − − −
< < ⇔ < − < ⇔ < <
−
.
3.3. QUY TẮC L’HOSPITAL



Quy tc L’Hospital cho gii hn dng

0
0
:
N
ế
u f(x) và g(x)
đề
u b
ằ
ng 0 t
ạ
i x = a và kh
ả
vi thì :
( ) ( )
lim lim
( ) ( )
x a x a
f x f x
g x g x
→ →
′
=
′
.