Bài giảng Giải tích một biến phần 1

TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU
GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN SỐ
(Dùng cho sinh viên Trường Đại học Thủy lợi)
The width of the interval is , so the width of each of the strips is
These strips divide the interval [a, b] into subintervals
where and . The right-hand endpoints of the subintervals are
Let’s approximate the th strip by a rectangle with width and height ,
which is the value of at the right-hand endpoint (see Figure 11). Then the area of the
th rectangle is . What we think of intuitively as the area of is approximated
by the sum of the areas of these rectangles, which is
Figure 12 shows this approximation for , 4, 8, and 12. Notice that this
approximation appears to become better and better as the number of strips increases,
that is, as . Therefore, we define the area of the region in the following way.
Definition The area of the region that lies under the graph of the
continuous function is the limit of the sum of the areas of approximating
rectangles:
A ෇ lim
n

l

ϱ
R
n
෇ lim
n

l

ϱ
͓ f ͑x

1
͒ ⌬x ϩ f ͑x
2
͒ ⌬x ϩиииϩf ͑x
n
͒ ⌬x͔
f
SA
2
SAn l ϱ
n ෇ 2
FIGURE 11
0
y
x
ab
⁄¤‹ x
i-1
x
i
Îx
f(x
i
)
R
n
෇ f ͑x
1
͒ ⌬x ϩ f ͑x
2

͒ ⌬x ϩиииϩf ͑x
n
͒ ⌬x
Sf ͑x
i
͒ ⌬xi
f
f ͑x
i
͒⌬xS
i
i
x
3
෇ a ϩ 3 ⌬x, x
2
෇ a ϩ 2 ⌬x,x
1
෇ a ϩ⌬x,
x
n
෇ bx
0
෇ a
͓x
0
, x
1
͔, ͓x
1

, x
2
͔, ͓x
2
, x
3
͔, , ͓x
nϪ1
, x
n
͔
n
⌬x ෇
b Ϫ a
n
nb Ϫ a͓a, b͔
350 ■ CHAPTER 5 INTEGRALS
FIGURE 12
0
y
xab
0
y
xab
0
y
xab⁄¤‹
0
y
xab⁄

(a) n=2 (b) n=4 (c) n=8 (d) n=12
Hà nội 2013
Mục lục
Chương 1. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 4
1.1. Hàm số một biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Giới hạn của dãy số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Giới hạn của hàm số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5. Bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Chương 2. PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ 26
2.1. Tiếp tuyến và vận tốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2. Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3. Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4. Đạo hàm và vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5. Các định lí về hàm khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6. Quy tắc Lô-pi-tan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.7. Khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.8. Đường cong cho bởi phương trình tham số . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.9. Đường cong trong tọa độ cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Chương 3. TÍCH PHÂN 54
3.1. Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4. Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.5. Tích phân suy rộng với cận vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.6. Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn . . . . . . . . . . . . . . 84
3.7. Một số ứng dụng của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.7.1. Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.7.2. Tính độ dài cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.7.3. Tính thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2
3.7.4. Tính diện tích của mặt tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Chương 4. CHUỖI 101
4.1. Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2. Chuỗi số dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3. Chuỗi số đan dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.4. Chuỗi số có dấu bất kì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.5. Chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.6. Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.7. Chuỗi Taylor và chuỗi Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.8. Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

Lời nói đầu
Bài giảng này được dành cho sinh viên của Trường Đại học Thủy lợi khi học môn
Toán 1 (Giải tích hàm một biến số).
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

Chương 1
GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN
TỤC CỦA HÀM SỐ
1.1. Hàm số một biến số
Định nghĩa 1.1 Cho A ⊂ R. Hàm số f xác định trên A
là một quy tắc sao cho nó tác động vào một phần tử x bất
kì của A sẽ tạo thành một và chỉ một phần tử y của R. Kí
hiệu f : A → R, x → y = f(x).
A được gọi là tập nguồn hay tập xác định của hàm số f.
Tập hợp f(A) = {y ∈ R |∃x ∈ A : y = f (x)} được gọi là
tập ảnh hay tập giá trị của hàm số f.
A function is a rule that assigns to each element in a set exactly one

element, called , in a set .
We usually consider functions for which the sets and are sets of real numbers.
The set is called the domain of the function. The number is the value of
at and is read “ of .” The range of is the set of all possible values of as
varies throughout the domain. A symbol that represents an arbitrary number in the
domain of a function is called an independent variable. A symbol that represents
a number in the range of is called a dependent variable. In Example A, for
instance, r is the independent variable and A is the dependent variable.
It’s helpful to think of a function as a machine (see Figure 2). If is in the domain
of the function then when enters the machine, it’s accepted as an input and the
machine produces an output according to the rule of the function. Thus, we can
think of the domain as the set of all possible inputs and the range as the set of all pos-
sible outputs.
The preprogrammed functions in a calculator are good examples of a function as a
machine. For example, the square root key on your calculator is such a function. You
press the key labeled
(
or
)
and enter the input x
. If , then is not in the
domain of this function; that is, is not an acceptable input, and the calculator will
indicate an error. If , then an approximation to will appear in the display.
Thus, the key on your calculator is not quite the same as the exact mathematical
function defined by .
Another way to picture a function is by an arrow diagram as in Figure 3. Each
arrow connects an element of to an element of . The arrow indicates that is
associated with is associated with , and so on.
The most common method for visualizing a function is its graph. If is a function
with domain , then its graph is the set of ordered pairs

(Notice that these are input-output pairs.) In other words, the graph of consists of all
points in the coordinate plane such that and is in the domain of .
The graph of a function gives us a useful picture of the behavior or “life history”
of a function. Since the -coordinate of any point on the graph is , we
can read the value of from the graph as being the height of the graph above the
point (see Figure 4). The graph of also allows us to picture the domain of on the
-axis and its range on the -axis as in Figure 5.
FIGURE 4
{
x, ƒ
}
ƒ
f(1)
f(2)
x
y
0
12 x
FIGURE 5
0
x
y ϭ ƒ(x)
domain
range
y
yx
ffx
f ͑x͒
y ෇ f ͑x͒͑x, y͒y
f

fxy ෇ f ͑x͒͑x, y͒
f
͕͑x, f ͑x͒͒
Խ
x
ʦ
A͖
A
f
af ͑a͒x,
f ͑x͒BA
f ͑x͒ ෇
s
x
f
s
x
s
x
x
ജ
0
x
xx
Ͻ
0
s
x
s

f ͑x͒
xf,
x
f
f
xf ͑x͒fxf
x
f
f ͑x͒A
BA
Bf͑x͒
Axf
12 ■ CHAPTER 1 FUNCTIONS AND MODELS
FIGURE 2
Machine diagram for a function ƒ
x
(input)
ƒ
(output)
f
f
A
B
ƒ
f(a)
a
x
FIGURE 3
Arrow diagram for ƒ
Đồ thị của hàm số f : A → R là tập hợp tất cả các điểm (x, f(x)), ∀x ∈ A ở trong

mặt phẳng toạ độ xOy.
A function is a rule that assigns to each element in a set exactly one
element, called , in a set .
We usually consider functions for which the sets and are sets of real numbers.
The set is called the domain of the function. The number is the value of
at and is read “ of .” The range of is the set of all possible values of as
varies throughout the domain. A symbol that represents an arbitrary number in the
domain of a function is called an independent variable. A symbol that represents
a number in the range of is called a dependent variable. In Example A, for
instance, r is the independent variable and A is the dependent variable.
It’s helpful to think of a function as a machine (see Figure 2). If is in the domain
of the function then when enters the machine, it’s accepted as an input and the
machine produces an output according to the rule of the function. Thus, we can
think of the domain as the set of all possible inputs and the range as the set of all pos-
sible outputs.
The preprogrammed functions in a calculator are good examples of a function as a
machine. For example, the square root key on your calculator is such a function. You
press the key labeled
(
or
)
and enter the input x
. If , then is not in the
domain of this function; that is, is not an acceptable input, and the calculator will
indicate an error. If , then an approximation to will appear in the display.
Thus, the key on your calculator is not quite the same as the exact mathematical
function defined by .
Another way to picture a function is by an arrow diagram as in Figure 3. Each
arrow connects an element of to an element of . The arrow indicates that is
associated with is associated with , and so on.

The most common method for visualizing a function is its graph. If is a function
with domain , then its graph is the set of ordered pairs
(Notice that these are input-output pairs.) In other words, the graph of consists of all
points in the coordinate plane such that and is in the domain of .
The graph of a function gives us a useful picture of the behavior or “life history”
of a function. Since the -coordinate of any point on the graph is , we
can read the value of from the graph as being the height of the graph above the
point (see Figure 4). The graph of also allows us to picture the domain of on the
-axis and its range on the -axis as in Figure 5.
FIGURE 4
{
x, ƒ
}
ƒ
f(1)
f(2)
x
y
0
12 x
FIGURE 5
0
x
y ϭ ƒ(x)
domain
range
y
yx
ffx
f ͑x͒

y ෇ f ͑x͒͑x, y͒y
f
fxy ෇ f ͑x͒͑x, y͒
f
͕͑x, f ͑x͒͒
Խ
x
ʦ
A͖
A
f
af ͑a͒x,
f ͑x͒BA
f ͑x͒ ෇
s
x
f
s
x
s
x
x
ജ
0
x
xx
Ͻ
0
s
x

s

f ͑x͒
xf,
x
f
f
xf ͑x͒fxf
x
f
f ͑x͒A
BA
Bf͑ x͒
Axf
12 ■ CHAPTER 1 FUNCTIONS AND MODELS
FIGURE 2
Machine diagram for a function ƒ
x
(input)
ƒ
(output)
f
f
A
B
ƒ
f(a)
a
x
FIGURE 3

Arrow diagram for ƒ
Hàm số chẵn, lẻ. Cho hàm số f xác định trên A, A là miền đối xứng qua gốc O.
• Hàm số f gọi là chẵn nếu f(x) = f(−x), ∀x ∈ A (Hình 1.1). Chẳng hạn hàm
f(x) = x
2
là hàm số chẵn.
• Hàm số f gọi là lẻ nếu f(x) = −f(−x), ∀x ∈ A (Hình 1.1). Chẳng hạn hàm
f(x) = x
3
là hàm số lẻ.
Hàm số đơn điệu.
• Hàm số f(x) được gọi là tăng trên A nếu ∀x
1
, x
2
: x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) < f(x
2
).
• Hàm số f(x) được gọi là giảm trên A nếu ∀x
1
, x
2
: x
1

< x
2
⇒ f(x
1
) > f(x
2
).
• Hàm số f(x) được gọi là không tăng trên A nếu ∀x
1
, x
2
: x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) ≥
f(x
2
).
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

1.1. Hàm số một biến số 5
We also see that the graph of coincides with the -axis for . Putting this
information together, we have the following three-piece formula for :
EXAMPLE 10 In Example C at the beginning of this section we considered the cost
of mailing a first-class letter with weight . In effect, this is a piecewise
defined function because, from the table of values, we have
The graph is shown in Figure 22. You can see why functions similar to this one are

called step functions—they jump from one value to the next. Such functions will be
studied in Chapter 2.
Symmetry
If a function satisfies for every number in its domain, then is
called an even function. For instance, the function is even because
The geometric significance of an even function is that its graph is symmetric with
respect to the -axis (see Figure 23). This means that if we have plotted the graph of
for , we obtain the entire graph simply by reflecting about the -axis.
If satisfies for every number in its domain, then is called an
odd function. For example, the function is odd because
The graph of an odd function is symmetric about the origin (see Figure 24). If we
already have the graph of for , we can obtain the entire graph by rotating
through about the origin.
EXAMPLE 11 Determine whether each of the following functions is even, odd, or
neither even nor odd.
(a) (b) (c)
SOLUTION
(a)
Therefore, is an odd function.
(b)
So is even.t
t͑Ϫx͒ ෇ 1 Ϫ ͑Ϫx͒
4
෇ 1 Ϫ x
4
෇ t͑x͒
f
෇ Ϫf ͑x͒
෇ Ϫx
5

Ϫ x ෇ Ϫ͑x
5
ϩ x͒
f ͑Ϫx͒ ෇ ͑Ϫx͒
5
ϩ ͑Ϫx͒ ෇ ͑Ϫ1͒
5
x
5
ϩ ͑Ϫx͒
h͑x͒ ෇ 2x Ϫ x
2
t͑x͒ ෇ 1 Ϫ x
4
f ͑x͒ ෇ x
5
ϩ x
180Њ
x ജ 0f
f ͑
Ϫ
x͒ ෇ ͑
Ϫ
x͒
3
෇
Ϫ
x
3
෇

Ϫ
f ͑x͒
f ͑x͒ ෇ x
3
fxf ͑
Ϫ
x͒ ෇
Ϫ
f ͑x͒f
yx
ജ
0f
y
f ͑
Ϫ
x͒ ෇ ͑
Ϫ
x͒
2
෇ x
2
෇ f͑x͒
f ͑x͒ ෇ x
2
fxf ͑
Ϫ
x͒ ෇ f͑x͒f
0.34
0.56
0.78

1.00
if 0
Ͻ
w ഛ
1
if 1
Ͻ
w ഛ
2
if 2
Ͻ
w ഛ
3
if 3
Ͻ
w ഛ
4
C͑w͒ ෇
wC͑w͒
f ͑x͒ ෇
ͭ
x
2
Ϫ
x
0
if 0
ഛ
x
ഛ

1
if 1
Ͻ
x
ഛ
2
if x
Ͼ
2
f
x
Ͼ
2xf
20 ■ CHAPTER 1 FUNCTIONS AND MODELS
FIGURE 22
C
1
1
0
2
3
4
5
w
x
0
y
x
_x
f(_x) ƒ

FIGURE 23
An even function
x
0
y
x
_x
ƒ
FIGURE 24
An odd function
We also see that the graph of coincides with the -axis for . Putting this
information together, we have the following three-piece formula for :
EXAMPLE 10 In Example C at the beginning of this section we considered the cost
of mailing a first-class letter with weight . In effect, this is a piecewise
defined function because, from the table of values, we have
The graph is shown in Figure 22. You can see why functions similar to this one are
called step functions—they jump from one value to the next. Such functions will be
studied in Chapter 2.
Symmetry
If a function satisfies for every number in its domain, then is
called an even function. For instance, the function is even because
The geometric significance of an even function is that its graph is symmetric with
respect to the -axis (see Figure 23). This means that if we have plotted the graph of
for , we obtain the entire graph simply by reflecting about the -axis.
If satisfies for every number in its domain, then is called an
odd function. For example, the function is odd because
The graph of an odd function is symmetric about the origin (see Figure 24). If we
already have the graph of for , we can obtain the entire graph by rotating
through about the origin.
EXAMPLE 11 Determine whether each of the following functions is even, odd, or

neither even nor odd.
(a) (b) (c)
SOLUTION
(a)
Therefore, is an odd function.
(b)
So is even.t
t͑Ϫx͒ ෇ 1 Ϫ ͑Ϫx͒
4
෇ 1 Ϫ x
4
෇ t͑x͒
f
෇ Ϫf ͑x͒
෇ Ϫx
5
Ϫ x ෇ Ϫ͑x
5
ϩ x͒
f ͑Ϫx͒ ෇ ͑Ϫx͒
5
ϩ ͑Ϫx͒ ෇ ͑Ϫ1͒
5
x
5
ϩ ͑Ϫx͒
h͑x͒ ෇ 2x Ϫ x
2
t͑x͒ ෇ 1 Ϫ x
4

f ͑x͒ ෇ x
5
ϩ x
180Њ
x ജ 0f
f ͑
Ϫ
x͒ ෇ ͑
Ϫ
x͒
3
෇
Ϫ
x
3
෇
Ϫ
f ͑x͒
f ͑x͒ ෇ x
3
fxf ͑
Ϫ
x͒ ෇
Ϫ
f ͑x͒f
yx
ജ
0f
y
f ͑

Ϫ
x͒ ෇ ͑
Ϫ
x͒
2
෇ x
2
෇ f ͑x͒
f ͑x͒ ෇ x
2
fxf ͑
Ϫ
x͒ ෇ f͑x͒f
0.34
0.56
0.78
1.00
if 0
Ͻ
w ഛ
1
if 1
Ͻ
w ഛ
2
if 2
Ͻ
w ഛ
3
if 3

Ͻ
w ഛ
4
C͑w͒ ෇
wC͑w͒
f ͑x͒ ෇
ͭ
x
2
Ϫ
x
0
if 0
ഛ
x
ഛ
1
if 1
Ͻ
x
ഛ
2
if x
Ͼ
2
f
x
Ͼ
2xf
20 ■ CHAPTER 1 FUNCTIONS AND MODELS

FIGURE 22
C
1
1
0
2
3
4
5
w
x
0
y
x
_x
f(_x) ƒ
FIGURE 23
An even function
x
0
y
x
_x
ƒ
FIGURE 24
An odd function
Hình 1.1: Đồ thị hàm số chẵn (phải) và hàm số lẻ (trái).
• Hàm số f(x) được gọi là không giảm trên A nếu ∀x
1
, x

2
: x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) ≤
f(x
2
).
• Hàm số không tăng hay không giảm trên A được gọi là hàm đơn điệu trên A.
Trên hình 1.2, hàm số tăng từ A lên B và giảm từ B xuống C và lại tăng từ C lên
D. Hàm f tăng trên các đoạn [a, b], [c, d] và giảm trên đoạn [b, c].
(c)
Since and , we conclude that is neither even nor
odd.
The graphs of the functions in Example 11 are shown in Figure 25. Notice that the
graph of h is symmetric neither about the y-axis nor about the origin.
Increasing and Decreasing Functions
The graph shown in Figure 26 rises from to , falls from to , and rises again
from to . The function is said to be increasing on the interval , decreasing
on , and increasing again on . Notice that if and are any two numbers
between and with , then . We use this as the defining prop-
erty of an increasing function.
A function is called increasing on an interval if
It is called decreasing on if
In the definition of an increasing function it is important to realize that the inequal-
ity must be satisfied for every pair of numbers and in with
.

You can see from Figure 27 that the function is decreasing on the inter-
val and increasing on the interval .͓0, ϱ͒͑Ϫϱ,0͔
f ͑x͒ ෇ x
2
x
1
Ͻ
x
2
Ix
2
x
1
f ͑x
1
͒
Ͻ
f ͑x
2
͒
whenever x
1
Ͻ
x
2
in If͑x
1
͒ Ͼ f ͑x
2
͒

I
whenever x
1
Ͻ
x
2
in If͑x
1
͒
Ͻ
f ͑x
2
͒
If
A
B
C
D
y=ƒ
f(x¡)
f(x™)
a
y
0 x
x¡
x™ b c d
FIGURE 26
f ͑x
1
͒

Ͻ
f ͑x
2
͒x
1
Ͻ
x
2
ba
x
2
x
1
͓c, d͔͓b, c͔
͓a, b͔fDC
CBBA
1
1
x
y
h
1
1
y
x
g
1
_1
1
y

x
f
_1
(a)
(b) (c)
FIGURE 25
hh͑
Ϫ
x͒ 
Ϫ
h͑x͒h͑
Ϫ
x͒  h͑x͒
h͑
Ϫ
x͒ ෇ 2͑
Ϫ
x͒
Ϫ
͑
Ϫ
x͒
2
෇
Ϫ
2x
Ϫ
x
2
SECTION 1.1 FOUR WAYS TO REPRESENT A FUNCTION ◆ 21

0
y
x
y=≈
FIGURE 27
Hình 1.2: Hàm số đơn điệu
Hàm bị chặn. Cho hàm số f(x) xác định trên A.
• Hàm f(x) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại M sao cho f(x) ≤ M, ∀x ∈ A.
• Hàm f(x) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại M sao cho f(x) ≥ M , ∀x ∈ A.
• Hàm f(x) được gọi là bị chặn (giới nội) nếu tồn tại M sao cho |f(x)| ≤ M,
∀x ∈ A.
Hàm số tuần hoàn. Cho hàm số f(x) xác định trên A. Nếu tồn tại số T dương sao
cho f(x + T ) = f(x), ∀x ∈ A thì f(x) được gọi là hàm số tuần hoàn. Số T nhỏ nhất
trong các số thoả mãn điều kiện trên gọi là chu kì của hàm số f(x).
Chú ý 1.1 (a) Các hàm số sin x, cos x là các hàm số tuần hoàn với chu kì là 2π.
(b) Các hàm số tan x, cot x là các hàm số tuần hoàn với chu kì là π.
(c) Nếu f(x) tuần hoàn với chu kì T thì hàm f(ax) cũng là hàm số tuần hoàn
với chu kì là
T
|a|
.
(d) Tổng hiệu các hàm số tuần hoàn với cùng một chu kì T cũng là hàm tuần
hoàn với chu kì T . Trường hợp các số hạng tuần hoàn nhưng khác chu kì, thì hàm
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

1.1. Hàm số một biến số 6
tổng là hàm số tuần hoàn với chu kì là bội chung nhỏ nhất của các chu kì của các
hàm số hạng.
Ví dụ 1.1 (1) Hàm số y = a cos(αx) + b sin(αx), α > 0 là hàm số tuần hoàn với
chu kì là

2π
α
.
(2) Hàm số y = cos x +
1
2
cos(2x) +
1
3
cos(3x) là hàm số tuần hoàn với chu kì là
2π?
Hàm số hợp. Có nhiều cách khác nhau để tổ hợp hai hàm số thành một hàm số
mới. Giả sử cho hai hàm số y = f(u) =
√
u và u = g(x) = x
2
+ 1. Do y được biểu
diễn theo u và u lại được biểu diễn theo biến x nên ta có thể biểu diễn y theo x
y = f(u) = f(g(x)) = f(x
2
+ 1) =

x
2
+ 1
Quá trình trên tạo ra một hàm số mới y = h(x) = f(g(x)) =
√
x
2
+ 1 gọi là hàm

hợp của f và g được kí hiệu bởi f ◦g đọc là ’f o tròn g’.
The procedure is called composition because the new function is composed of the two
given functions and .
In general, given any two functions and , we start with a number x in the domain
of and find its image . If this number is in the domain of , then we can cal-
culate the value of . The result is a new function obtained by
substituting into . It is called the composition (or composite) of and and is
denoted by (“f circle t”).
Definition Given two functions and , the composite function (also
called the composition of and ) is defined by
The domain of is the set of all in the domain of such that is in the
domain of . In other words, is defined whenever both and are
defined. The best way to picture is by a machine diagram (Figure 13) or an arrow
diagram (Figure 14).
EXAMPLE 7 If and , find the composite functions
and .
SOLUTION We have
|
NOTE
●
You can see from Example 7 that, in general, . Remember, the
notation means that the function is applied first and then is applied second.
In Example 7, is the function that first subtracts 3 and then squares; is the
function that first squares and then subtracts 3.
EXAMPLE 8 If and , find each function and its domain.
(a) (b) (c) (d)
SOLUTION
(a)
The domain of is .෇ ͕x
Խ

x ഛ 2͖ ෇ ͑Ϫϱ, 2͔͕x
Խ
2 Ϫ x ജ 0͖f ؠ t
͑ f ؠ t͒͑x͒ ෇ f͑t͑x͒͒ ෇ f
(
s
2 Ϫ x
)
෇
s
s
2 Ϫ x ෇
s
4
2 Ϫ x
t ؠ tf ؠ ft ؠ ff ؠ t
t͑x͒ ෇
s
2 Ϫ xf͑x͒ ෇
s
x
t ؠ ff ؠ t
ftf ؠ t
f ؠ t  t ؠ f
͑t ؠ f ͒͑x͒ ෇ t͑ f͑x͒͒ ෇ t͑x
2
͒ ෇ x
2
Ϫ 3
͑ f ؠ t͒͑x͒ ෇ f ͑t͑x͒͒ ෇ f ͑x Ϫ 3͒ ෇ ͑x Ϫ 3͒

2
t ؠ f
f ؠ tt͑x͒ ෇ x Ϫ 3f͑x͒ ෇ x
2
FIGURE 14
Arrow diagram for f•g
f
{
©
}
x©
f
g
f • g
f
{
©
}
(output)
x
(input)
g g(x)
f
FIGURE 13
The f•g machine is composed of
the g machine (first) and then
the f machine.
f ؠ t
f ͑t͑x͒͒t͑x͒͑ f ؠ t͒͑x͒f
t͑x͒txf ؠ t

͑ f ؠ t͒͑x͒ ෇ f͑t͑x͒͒
tf
f ؠ ttf
f ؠ t
tfft
h͑x͒ ෇ f ͑t͑x͒͒f ͑t͑x͒͒
ft͑x͒t͑x͒t
tf
tf
44 ■ CHAPTER 1 FUNCTIONS AND MODELS
Hình 1.3: Hàm hợp
Hàm ngược. Cho hàm số f(x) là một song ánh (1 − 1)
từ A lên B = f (A) ⊂ R (1 − 1 nghĩa là f(x
1
) = f(x
2
),
∀x
1
= x
2
). Khi đó với mỗi y ∈ B ta có quy tắc kí hiệu là
f
−1
xác định được duy nhất một x ∈ A sao cho f (x) = y.
Quy tắc f
−1
đó được gọi là hàm ngược của hàm số f. Vậy
y = f(x) ⇔ x = f
−1

(y).
Chú ý rằng nếu điểm (a, b) là một điểm thuộc đồ thị của
hàm f thì (b, a) thuộc đồ thị của f
−1
.
if , the point is on the graph of if and only if the point is on
the graph of . But we get the point from by reflecting about the line
. (See Figure 8.)
Therefore, as illustrated by Figure 9:
The graph of is obtained by reflecting the graph of about the line .
EXAMPLE 5 Sketch the graphs of and its inverse function using the
same coordinate axes.
SOLUTION First we sketch the curve (the top half of the parabola
, or ) and then we reflect about the line to get the
graph of . (See Figure 10.) As a check on our graph, notice that the expression
for is . So the graph of is the right half of the
parabola and this seems reasonable from Figure 10.
Logarithmic Functions
If and , the exponential function is either increasing or
decreasing and so it is one-to-one by the Horizontal Line Test. It therefore has an
inverse function , which is called the logarithmic function with base a and is
denoted by . If we use the formulation of an inverse function given by (3),
then we have
Thus, if , then is the exponent to which the base must be raised to give
. For example, because .
The cancellation equations (4), when applied to and ,
become
a
log
a

x
෇ x for every x Ͼ 0
log
a
͑a
x
͒ ෇ x for every x ʦ ޒ
7
f
Ϫ1
͑x͒ ෇ log
a
xf ͑x͒ ෇ a
x
10
Ϫ3
෇ 0.001log
10
0.001 ෇ Ϫ3x
alog
a
xx Ͼ 0
a
y
෇ x&?log
a
x ෇ y
6
f ͑y͒ ෇ x&?f
Ϫ1

͑x͒ ෇ y
log
a
f
Ϫ1
f ͑x͒ ෇ a
x
a  1a Ͼ 0
y ෇ Ϫx
2
Ϫ 1
f
Ϫ1
f
Ϫ1
͑x͒ ෇ Ϫx
2
Ϫ 1, x ജ 0f
Ϫ1
f
Ϫ1
y ෇ xx ෇ Ϫy
2
Ϫ 1y
2
෇ Ϫ1 Ϫ x
y ෇
s
Ϫ1 Ϫ x
f ͑x͒ ෇

s
Ϫ1 Ϫ x
y ෇ xff
Ϫ1
FIGURE 8
0
y
x
(b,a)
(a,b)
y=x
FIGURE 9
0
y
x
f–!
y=x
f
y ෇ x
͑a, b͒͑b, a͒f
Ϫ1
͑b, a͒f͑a, b͒f
Ϫ1
͑b͒ ෇ a
68 ■ CHAPTER 1 FUNCTIONS AND MODELS
0
y
x
y=x
y=ƒ

(0,_1)
y=f–!(x)
(_1,0)
FIGURE 10
Ví dụ 1.2 Tìm hàm ngược của các hàm số
(a) f(x) = x
3
+ 2
(b) f(x) =
√
−1 − x
Giải.
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

1.1. Hàm số một biến số 7
if , the point is on the graph of if and only if the point is on
the graph of . But we get the point from by reflecting about the line
. (See Figure 8.)
Therefore, as illustrated by Figure 9:
The graph of is obtained by reflecting the graph of about the line .
EXAMPLE 5 Sketch the graphs of and its inverse function using the
same coordinate axes.
SOLUTION First we sketch the curve (the top half of the parabola
, or ) and then we reflect about the line to get the
graph of . (See Figure 10.) As a check on our graph, notice that the expression
for is . So the graph of is the right half of the
parabola and this seems reasonable from Figure 10.
Logarithmic Functions
If and , the exponential function is either increasing or
decreasing and so it is one-to-one by the Horizontal Line Test. It therefore has an

inverse function , which is called the logarithmic function with base a and is
denoted by . If we use the formulation of an inverse function given by (3),
then we have
Thus, if , then is the exponent to which the base must be raised to give
. For example, because .
The cancellation equations (4), when applied to and ,
become
a
log
a
x
෇ x for every x Ͼ 0
log
a
͑a
x
͒ ෇ x for every x ʦ ޒ
7
f
Ϫ1
͑x͒ ෇ log
a
xf ͑x͒ ෇ a
x
10
Ϫ3
෇ 0.001log
10
0.001 ෇ Ϫ3x
alog

a
xx Ͼ 0
a
y
෇ x&?log
a
x ෇ y
6
f ͑y͒ ෇ x&?f
Ϫ1
͑x͒ ෇ y
log
a
f
Ϫ1
f ͑x͒ ෇ a
x
a  1a Ͼ 0
y ෇ Ϫx
2
Ϫ 1
f
Ϫ1
f
Ϫ1
͑x͒ ෇ Ϫx
2
Ϫ 1, x ജ 0f
Ϫ1
f

Ϫ1
y ෇ xx ෇ Ϫy
2
Ϫ 1y
2
෇ Ϫ1 Ϫ x
y ෇
s
Ϫ1 Ϫ x
f ͑x͒ ෇
s
Ϫ1 Ϫ x
y ෇ xff
Ϫ1
FIGURE 8
0
y
x
(b,a)
(a,b)
y=x
FIGURE 9
0
y
x
f–!
y=x
f
y ෇ x
͑a, b͒͑b, a͒f

Ϫ1
͑b, a͒f͑a, b͒f
Ϫ1
͑b͒ ෇ a
68 ■ CHAPTER 1 FUNCTIONS AND MODELS
0
y
x
y=x
y=ƒ
(0,_1)
y=f–!(x)
(_1,0)
FIGURE 10
(a) Giải phương trình y = x
3
+ 2 theo biến x ta được
x
3
= y −2 hay
x =
3

y −2
Cuối cùng đổi chỗ của x với y ta được
y =
3
√
x − 2
Vậy hàm ngược cần tìm là f

−1
(x) =
3
√
x − 2.
if , the point is on the graph of if and only if the point is on
the graph of . But we get the point from by reflecting about the line
. (See Figure 8.)
Therefore, as illustrated by Figure 9:
The graph of is obtained by reflecting the graph of about the line .
EXAMPLE 5 Sketch the graphs of and its inverse function using the
same coordinate axes.
SOLUTION First we sketch the curve (the top half of the parabola
, or ) and then we reflect about the line to get the
graph of . (See Figure 10.) As a check on our graph, notice that the expression
for is . So the graph of is the right half of the
parabola and this seems reasonable from Figure 10.
Logarithmic Functions
If and , the exponential function is either increasing or
decreasing and so it is one-to-one by the Horizontal Line Test. It therefore has an
inverse function , which is called the logarithmic function with base a and is
denoted by . If we use the formulation of an inverse function given by (3),
then we have
Thus, if , then is the exponent to which the base must be raised to give
. For example, because .
The cancellation equations (4), when applied to and ,
become
a
log
a

x
෇ x for every x Ͼ 0
log
a
͑a
x
͒ ෇ x for every x ʦ ޒ
7
f
Ϫ1
͑x͒ ෇ log
a
xf ͑x͒ ෇ a
x
10
Ϫ3
෇ 0.001log
10
0.001 ෇ Ϫ3x
alog
a
xx Ͼ 0
a
y
෇ x&?log
a
x ෇ y
6
f ͑y͒ ෇ x&?f
Ϫ1

͑x͒ ෇ y
log
a
f
Ϫ1
f ͑x͒ ෇ a
x
a  1a Ͼ 0
y ෇ Ϫx
2
Ϫ 1
f
Ϫ1
f
Ϫ1
͑x͒ ෇ Ϫx
2
Ϫ 1, x ജ 0f
Ϫ1
f
Ϫ1
y ෇ xx ෇ Ϫy
2
Ϫ 1y
2
෇ Ϫ1 Ϫ x
y ෇
s
Ϫ1 Ϫ x
f ͑x͒ ෇

s
Ϫ1 Ϫ x
y ෇ xff
Ϫ1
FIGURE 8
0
y
x
(b,a)
(a,b)
y=x
FIGURE 9
0
y
x
f–!
y=x
f
y ෇ x
͑a, b͒͑b, a͒f
Ϫ1
͑b, a͒f͑a, b͒f
Ϫ1
͑b͒ ෇ a
68 ■ CHAPTER 1 FUNCTIONS AND MODELS
0
y
x
y=x
y=ƒ

(0,_1)
y=f–!(x)
(_1,0)
FIGURE 10
(b) Như hình vẽ đường cong y =
√
−1 − x là một nửa trên
của parabol y
2
= −1 −x hay x = −y
2
− 1. Lấy đối xứng
qua đường y = x ta được đồ thị của hàm f
−1
. Nó được
biểu diễn bởi f
−1
(x) = −x
2
− 1, x ≥ 0. Vậy đồ thị của
f
−1
là một nửa bên trái của parabol y = −x
2
− 1.
Các hàm số sơ cấp cơ bản. Các hàm số sau được gọi là hàm số sơ cấp cơ bản
1. Hàm luỹ thừa x
α
.
2. Hàm mũ a

x
.
3. Hàm số logarit log
a
x.
4. Các hàm số lượng giác sin x, cos x, tan x, cot x.
5. Các hàm lượng giác ngược arcsin x, arccos x, arctan x, arccotx.
Hàm sơ cấp. Hàm sơ cấp là các hàm được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép
tính đại số và phép hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản.
Ví dụ 1.3 (a) Các hàm số y = cos 5x, y = x
4
+tan 3x −ln(x+2), y =
e
x
+ tan 6x
log
3
x − 3
,
là các hàm số sơ cấp.
(b) Các hàm số y = |x|, y = sgnx, y =

0 khi x < 0
1 − e
−
x
2
khi x ≥ 0
không phải là
các hàm số sơ cấp.

Hàm ẩn. Cho biểu thức F(x, y) = 0, (x, y) ∈ X × Y . Nếu ứng với x ∈ X ta xác
định được y ∈ Y thì ta nói biểu thức F(x, y) = 0 xác định cho ta hàm ẩn y đối với
x.
Ví dụ 1.4 (a) Biểu thức x
2
+ 2x − y = 0 xác định hàm ẩn (biểu diễn dưới dạng
tường minh y theo x là y = x
2
+ 2x).
(b) Biểu thức e
xy
+ y = 0 xác định hàm ẩn nhưng không thể biểu diễn dưới dạng
tường minh y theo x.
(c) Biểu thức x
2
+ y
2
+ 1 = 0 không xác định hàm ẩn.
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

1.1. Hàm số một biến số 8
Hàm số theo tham số. Cho x = f(t), y = g(t) là các
hàm số cùng xác định trên T. Khi đó với mỗi x = f(t
0
) sẽ
cho ta y = g(t
0
) tại t
0
xác định cho ta một hàm số y theo

đối số x gọi là hàm cho theo tham số x = f (t), y = g(t).
Với mỗi giá trị t xác định một điểm (x, y) trên mặt phẳng
xOy. Khi t thay đổi điểm (x, y) = (f(t), g(t)) chạy trên
một đường cong C gọi là đường cong tham số.
(e) reflecting about the line
(f) reflecting about the x-axis and then about the line
(g) reflecting about the y-axis and then about the line
(h) shifting 3 units to the left and then reflecting about the
line
60. (a) If we shift a curve to the left, what happens to its reflec-
tion about the line ? In view of this geometric
principle, find an expression for the inverse of
, where is a one-to-one function.
(b) Find an expression for the inverse of ,
where .c  0
h͑x͒ ෇ f ͑cx͒
ft͑x͒ ෇ f ͑x ϩ c͒
y ෇ x
y ෇ x
y ෇ x
y ෇ x
y ෇ x(The maximum charge capacity is and t is measured in
seconds.)
(a) Find the inverse of this function and explain its meaning.
(b) How long does it take to recharge the capacitor to 90%
of capacity if a ෇ 2?
Starting with the graph of , find the equation of the
graph that results from
(a) shifting 3 units upward
(b) shifting 3 units to the left

(c) reflecting about the x-axis
(d) reflecting about the y-axis
y ෇ ln x
59.
Q
0
SECTION 1.7 PARAMETRIC CURVES ◆ 75
Parametric Curves
●●●●●●●●●●●●●●●●
Imagine that a particle moves along the curve C shown in Figure 1. It is impossible to
describe C by an equation of the form because C fails the Vertical Line Test.
But the x- and y-coordinates of the particle are functions of time and so we can write
and . Such a pair of equations is often a convenient way of describ-
ing a curve and gives rise to the following definition.
Suppose that and are both given as functions of a third variable (called a
parameter) by the equations
(called parametric equations). Each value of determines a point , which we
can plot in a coordinate plane. As varies, the point varies and
traces out a curve , which we call a parametric curve. The parameter t does not nec-
essarily represent time and, in fact, we could use a letter other than t for the parame-
ter. But in many applications of parametric curves, t does denote time and therefore
we can interpret as the position of a particle at time t.
EXAMPLE 1 Sketch and identify the curve defined by the parametric equations
SOLUTION Each value of gives a point on the curve, as shown in the table. For
instance, if , then , and so the corresponding point is . In
Figure 2 we plot the points determined by several values of the parameter and
we join them to produce a curve.
FIGURE 2
0
y

x
8
t=0
t=1
t=2
t=3
t=4
t=_1
t=_2
(0,1)
͑x, y͒
͑0, 1͒y ෇ 1x ෇ 0t ෇ 0
t
y ෇ t ϩ 1x ෇ t
2
Ϫ 2t
͑x, y͒ ෇ ͑ f͑t͒, t͑t͒͒
C
͑x, y͒ ෇ ͑ f͑t͒, t͑t͒͒t
͑x, y͒t
y ෇ t͑t͒x ෇ f ͑t͒
tyx
y ෇ t͑t͒x ෇ f ͑t͒
y ෇ f ͑x͒
1.7
txy
Ϫ28Ϫ1
Ϫ
1
30

001
1 Ϫ12
203
334
485
y
x
C
0
(x,y)=
{
f(t), g(t)
}
FIGURE 1
Ví dụ 1.5 (a) Hàm số y = f(x) xác định trên X có thể viết dưới dạng tham số
x = t, y = f(t), t ∈ X.
(b) Hàm ẩn
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1 có thể viết dưới dạng tham số

x = a cos t
y = b sin t

, 0 ≤ t ≤ 2π
Các hàm số hyperbolic.
1. Hàm sine hyperbolic sinh x =
e
x
− e
−x
2
.
2. Hàm cosine hyperbolic cosh x =
e
x
+ e
−x
2
.
3. Hàm tang hyperbolic tanh x =
sinh x
cosh x
.
4. Hàm cotang hyperbolic coth x =
cosh x
sinh x
.
5. Các hệ thức
cosh
2
x − sinh
2
x = 1

1 − tanh
2
x =
1
cosh
2
x
, 1 − coth
2
x =
1
sinh
2
x
sinh(x + y) = sinh x cosh y + sinh y cosh x
sinh(x − y) = sinh x cosh y −sinh y cosh x
cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh y sinh x
cosh(x − y) = cosh x cosh y −sinh y sinh x
Các hàm số khác.
sec x =
1
cos x
, csc x =
1
sin x
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

1.2. Giới hạn của dãy số thực 9
1.2. Giới hạn của dãy số thực
Định nghĩa 1.2 Dãy số. Cho hàm số f : N → R, n → f(n) = a

n
. Dãy các số thực
a
1
, a
2
, được gọi là dãy số, a
n
gọi là số hạng tổng quát của dãy số. Kí hiệu dãy số
là {a
n
}.
Dãy bị chặn.
1. Dãy {a
n
} gọi là bị chặn trên nếu tồn tại M sao cho a
n
≤ M, ∀n ∈ N.
2. Dãy {a
n
} gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại M sao cho a
n
≥ M, ∀n ∈ N.
3. Dãy {a
n
} gọi là bị chặn (giới nội) nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới
hay là tồn tại M sao cho |a
n
| ≤ M, ∀n ∈ N.
Dãy đơn điệu. Dãy {a

n
} gọi là đơn điệu tăng (tương ứng đơn điệu giảm) nếu
a
1
≤ a
2
≤ ≤ a
n
≤ (tương ứng a
1
≥ a
2
≥ ≥ a
n
≥ ). Nếu không xảy ra dấu
bằng thì ta nói dãy là tăng giảm thực sự.
Định nghĩa 1.3 Giới hạn hữu hạn của dãy số. Cho dãy số {a
n
}. Số thực a
được gọi là giới hạn của dãy số a
n
khi nếu như ∀ε > 0 bất kì cho trước thì ∃N
0
sao
cho |a
n
−a| < ε, ∀n ≥ N
0
. Kí hiệu là lim
n→+∞

a
n
= a hoặc a
n
→ a khi n → +∞. Hay
còn nói {a
n
} là dãy hội tụ đến a, trong trường hợp trái lại {a
n
} gọi là dãy phân kì.
Viết gọn lại lim
n→+∞
a
n
= a ⇔ ∀ε > 0, ∃N
0
: ∀n ≥ N
0
⇒ |a
n
− a| < ε.
Chú ý 1.2 Nếu lim
n→+∞
a
n
= 0 thì dãy {a
n
} được gọi là dãy vô cùng bé.
Định nghĩa 1.4 Dãy dần đến vô cùng.
lim

n→+∞
a
n
= ∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N
0
: ∀n ≥ N
0
⇒ |a
n
| > M
Các tính chất.
1. Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất.
2. Nếu a
n
→ a, b
n
→ b khi n → +∞ (a, b hữu hạn) thì a
n
±b
n
→ a±b, a
n
b
n
→ ab,
a
n
b
n
→

a
b
, b = 0.
3. Cho hai dãy hội tụ {a
n
}, {b
n
}
• Nếu tồn tại N
0
∈ N : a
n
= b
n
, ∀n ≥ N
0
thì lim
n→+∞
a
n
= lim
n→+∞
b
n
.
• Nếu tồn tại N
0
∈ N : a
n
≥ b

n
, ∀n ≥ N
0
thì lim
n→+∞
a
n
≥ lim
n→+∞
b
n
.
• Nếu tồn tại N
0
∈ N : a
n
≤ b
n
, ∀n ≥ N
0
thì lim
n→+∞
a
n
≤ lim
n→+∞
b
n
.
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

1.3. Giới hạn của hàm số thực 10
4. Cho 3 dãy {a
n
}, {b
n
}, {c
n
}. Nếu a
n
≤ b
n
≤ c
n
, ∀n và lim
n→+∞
a
n
= lim
n→+∞
c
n
= L
thì lim
n→+∞
b
n
= L (Giới hạn kẹp).
5. Tích của một dãy bị chặn với dãy vô cùng bé là một dãy vô cùng bé.
6. Các giới hạn cần nhớ:

lim
n→+∞
1
n
= 0
lim
n→+∞
q
n
= 0 ⇔ |q| < 1
lim
n→+∞
q
n
= ∞ ⇔ |q| > 1
lim
n→+∞

1 +
1
n

n
= e
ở đó e = 2, 718281828459045 là số vô tỉ.
Định lý 1.1 Giới hạn của dãy đơn điệu. Dãy {a
n
} là dãy đơn điệu tăng và bị
chặn trên thì hội tụ. Dãy {a
n

} là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. Dãy
{a
n
} là dãy đơn điệu và không bị chặn thì sẽ là một dãy vô cùng lớn.
1.3. Giới hạn của hàm số thực
Định nghĩa 1.5 Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x dần đến a nếu
với bất kì dãy {x
n
} mà x
n
→ a khi n → +∞ thì f(x
n
) → L khi n → +∞. Khi đó
ta kí hiệu là lim
x→a
f(x) = L.
Định nghĩa 1.6 Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x dần đến a nếu
với ∀ε > 0 cho trước tìm được δ > 0 sao cho khi 0 < |x − a| < δ thì |f (x) − L| < ε.
Viết gọn lại
lim
x→a
f(x) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε
lie in successively smaller intervals centered at 2 if the distance
from to 1 is less than . It turns out that it is always possible to find such a number
, no matter how small the interval is. In other words, for any positive number , no
matter how small, there exists a positive number such that
This indicates that
and suggests a more precise way of defining the limit of a general function.
Definition Let be a function defined on some open interval that contains
the number , except possibly at itself. Then we say that the limit of as

approaches is , and we write
if for every number there is a corresponding number such that
Definition 1 is illustrated in Figures 3–5. If a number is given, then we draw
the horizontal lines and and the graph of . (See Figure 3.) If
, then we can find a number such that if we restrict to lie in
the interval and take , then the curve lies between the
lines and . (See Figure 4.) You can see that if such a has been
found, then any smaller will also work.
It’s important to realize that the process illustrated in Figures 3 and 4 must work
for every positive number no matter how small it is chosen. Figure 5 shows that if a
smaller is chosen, then a smaller may be required.
␦
␧
␧
FIGURE 3 FIGURE 4 FIGURE 5
a
0
x
y
y=L+∑
y=L-∑
a-∂ a+∂
L+∑
L-∑
0
x
y
a
y=L+∑
y=L-∑

a-∂ a+∂
∑
∑
L
when
x
is in here
(x≠a)
ƒ
is in
here
a
0
x
y
y=ƒ
y=L+∑
y=L-∑
∑
∑
L
␦
␦
y ෇ L ϩ␧y ෇ L Ϫ␧
y ෇ f͑x͒x  a͑a Ϫ
␦
, a ϩ
␦
͒
x

␦
Ͼ 0lim
x

l

a
f͑x͒ ෇ L
fy ෇ L Ϫ␧y ෇ L ϩ␧
␧Ͼ0
0
Ͻ
Խ
x Ϫ a
Խ
Ͻ
␦
whenever
Խ
f͑x͒ Ϫ L
Խ
Ͻ
␧
␦
Ͼ 0␧Ͼ0
lim
x l a
f ͑x͒ ෇ L
Lax
f͑x͒aa

f
1
lim
x

l

1
͑x
3
Ϫ 5x ϩ 6͒ ෇ 2
Խ
x Ϫ 1
Խ
Ͻ
␦
whenever
Խ
͑x
3
Ϫ 5x ϩ 6͒ Ϫ 2
Խ
Ͻ
␧
␦
␧
␦
␦
x
f͑x͒ ෇ x

3
Ϫ 5x ϩ 6
APPENDIX D PRECISE DEFINITIONS OF LIMITS ◆ A31
▲ The condition is just
another way of saying that .x  a
0
Ͻ
Խ
x Ϫ a
Խ
Ví dụ 1.6 Chứng minh rằng lim
x→0

x cos
1
x

= 0
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

1.3. Giới hạn của hàm số thực 11
Giải. ∀ε > 0 bé tuỳ ý, ta có




x cos
1
x
− 0





= |x|




cos
1
x




Nhận xét rằng khi 0 < |x| < ε thì
|x|




cos
1
x




< ε

Vậy ta chọn δ = ε. Theo định nghĩa 1.6 ta có
lim
x→0

x cos
1
x

= 0
Ví dụ 1.7 Chứng minh rằng lim
x→0

cos
1
x

không tồn tại.
Giải. Chọn hai dãy {x
n
}, {x

n
} ở đó
x
n
=
1
(π/2) + 2nπ
x


n
=
1
2nπ
Nhận xét khi n → +∞ thì x
n
→ 0, x

n
→ 0.
Mặt khác f(x
n
) = 0, f (x

n
) = 1 do đó khi n → +∞ thì f(x
n
) → 0, f (x

n
) → 1. Theo
định nghĩa 1.5 thì
lim
x→0

cos
1
x

không tồn tại.

Chú ý 1.3 Định nghĩa 1.5 và định nghĩa 1.6 là tương đương nhau. Người ta đã
chứng minh được rằng nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại a thì
lim
x→a
f(x) = f(a)
Định nghĩa 1.7 Định nghĩa giới hạn của hàm số khi x → ∞.
lim
x→∞
f(x) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃N > 0 : |x| > N ⇒ |f(x) − L| < ε
Therefore, by the definition of a limit,
This example is illustrated by Figure 7.
Note that in the solution of Example 2 there were two stages—guessing and prov-
ing. We made a preliminary analysis that enabled us to guess a value for . But then
in the second stage we had to go back and prove in a careful, logical fashion that we
had made a correct guess. This procedure is typical of much of mathematics. Some-
times it is necessary to first make an intelligent guess about the answer to a problem
and then prove that the guess is correct.
It’s not always easy to prove that limit statements are true using the definition.
For a more complicated function such as , a proof
would require a great deal of ingenuity. Fortunately, this is not necessary because the
Limit Laws stated in Section 2.3 can be proved using Definition 1, and then the lim-
its of complicated functions can be found rigorously from the Limit Laws without
resorting to the definition directly.
Limits at Infinity
Infinite limits and limits at infinity can also be defined in a precise way. The follow-
ing is a precise version of Definition 4 in Section 2.5.
Definition Let be a function defined on some interval . Then
means that for every there is a corresponding number such that
In words, this says that the values of can be made arbitrarily close to
(within a distance , where is any positive number) by taking sufficiently large

(larger than , where depends on ). Graphically it says that by choosing large
enough (larger than some number ) we can make the graph of lie between the
given horizontal lines and as in Figure 8. This must be true no
matter how small we choose . If a smaller value of is chosen, then a larger value of
may be required.
0
y
x
N
L
when x is in here
ƒ is
in here
y=L-∑
y=L+∑
∑
∑
y=ƒ
FIGURE 8
lim ƒ=L
x `
N
␧␧
y ෇ L ϩ␧y ෇ L Ϫ␧
fN
x␧NN
x␧␧
Lf͑x͒
x Ͼ Nwhenever
Խ

f͑x͒ Ϫ L
Խ
Ͻ
␧
N␧Ͼ0
lim
x lϱ
f͑x͒ ෇ L
͑a, ϱ͒f
2
f͑x͒ ෇ ͑6x
2
Ϫ 8x ϩ 9͒͑͞2x
2
Ϫ 1͒
␧,
␦
␦
lim
x l3
͑4x Ϫ 5͒ ෇ 7
APPENDIX D PRECISE DEFINITIONS OF LIMITS ◆ A33
FIGURE 7
y
0
x
7+∑
7
7-∑
3-∂ 3+∂

3
y=4x-5
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

1.3. Giới hạn của hàm số thực 12
Ví dụ 1.8 Chứng minh rằng lim
x→∞
1
x
= 0.
Giải. ∀ε > 0 bé tuỳ ý. Ta có




1
x
− 0




=
1
|x|
< ε ⇔ |x| >
1
ε
Chọn N =
1

ε
theo định nghĩa 1.7 ta có
lim
x→∞
1
x
= 0
Chú ý 1.4 Tương tự ta có thể định nghĩa:
lim
x→a
f(x) = ∞ ⇔ ∀M > 0, ∃ε > 0 : |x −a| < ε ⇒ |f(x)| > M
lim
x→∞
f(x) = ∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N > 0 : |x| > N ⇒ |f(x)| > M
Định nghĩa 1.8 Giới hạn một phía.
lim
x→a
x>a
f(x) = lim
x→a
+
f(x) = lim
x→a+0
f(x) = f(a + 0)
lim
x→a
x<a
f(x) = lim
x→a
−

f(x) = lim
x→a−0
f(x) = f(a − 0)
EXAMPLE 6 The Heaviside function is defined by
[This function is named after the electrical engineer Oliver Heaviside (1850–1925)
and can be used to describe an electric current that is switched on at time .] Its
graph is shown in Figure 8.
As approaches 0 from the left, approaches 0. As approaches 0 from the
right, approaches 1. There is no single number that approaches as
approaches 0. Therefore, does not exist.
One-Sided Limits
We noticed in Example 6 that approaches 0 as approaches 0 from the left and
approaches 1 as approaches 0 from the right. We indicate this situation sym-
bolically by writing
and
The symbol “ ” indicates that we consider only values of that are less than 0.
Likewise, “ ” indicates that we consider only values of that are greater than 0.
Definition We write
and say the left-hand limit of as approaches [or the limit of as
approaches from the left] is equal to if we can make the values of
as close to L as we like by taking x to be sufficiently close to a and x less than a.
Notice that Definition 2 differs from Definition 1 only in that we require to be
less than . Similarly, if we require that be greater than , we get “the right-hand
limit of as approaches is equal to ” and we write
Thus, the symbol “ ” means that we consider only . These definitions are
illustrated in Figure 9.
0
x
y
L

x
a
0
x
y
ƒ
L
xa
ƒ
x a
+
x a
_
FIGURE 9
(a) lim ƒ=L
(b) lim ƒ=L
x Ͼ ax l a
ϩ
lim
x

l

a
ϩ
f͑x͒ ෇ L
Laxf͑x͒
axa
x
f ͑x͒Lax

f͑x͒axf͑x͒
lim
x

l

a
Ϫ
f͑x͒ ෇ L
2
tt l 0
ϩ
tt l 0
Ϫ
lim
t

l

0
ϩ
H͑t͒ ෇ 1lim
t

l

0
Ϫ
H͑t͒ ෇ 0
tH͑t͒

tH͑t͒
lim
t

l

0
H͑t͒
tH͑t͒H͑t͒
tH͑t͒t
t ෇ 0
H͑t͒ ෇
ͭ
0
1
if t
Ͻ
0
if t ജ 0
H
106 ■ CHAPTER 2 LIMITS AND DERIVATIVES
FIGURE 8
t
y
1
0
Định lý 1.2
lim
x→a
f(x) = L ⇔ lim

x→a
−
f(x) = L = lim
x→a
+
f(x)
Ví dụ 1.9 Chứng minh rằng lim
x→0
|x| = 0.
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

1.3. Giới hạn của hàm số thực 13
Giải. Ta có
|x| =

x khi x ≥ 0
−x khi x < 0
Do đó
lim
x→0
+
|x| = lim
x→0
+
x = 0
lim
x→0
−
|x| = lim
x→0

−
(−x) = 0
Sử dụng định lý 1.2 ta nhận được lim
x→0
|x| = 0.
Some limits are best calculated by first finding the left- and right-hand limits. The
following theorem is a reminder of what we discovered in Section 2.2. It says that a
two-sided limit exists if and only if both of the one-sided limits exist and are equal.
Theorem if and only if
When computing one-sided limits we use the fact that the Limit Laws also hold for
one-sided limits.
EXAMPLE 7 Show that .
SOLUTION Recall that
Since for , we have
For we have and so
Therefore, by Theorem 1,
EXAMPLE 8 Prove that does not exist.
SOLUTION
Since the right- and left-hand limits are different, it follows from Theorem 1 that
does not exist. The graph of the function is shown in
Figure 4 and supports the limits that we found.
EXAMPLE 9 The greatest integer function is defined by the largest integer
▲ Other notations for are and . that is less than or equal to .
(
For instance, , , , ,
)
Show that does not exist.lim
x l3
͠x͡
͠

Ϫ
1
2
͡
෇ Ϫ1.
͠
s
2
͡
෇ 1͠
␲
͡ ෇ 3͠4.8͡ ෇ 4͠4͡ ෇ 4x

x

͓x͔͠x͡
͠x͡ ෇
1
_1
x
y
0
y=
|
x
|
x
f ͑x͒ ෇
Խ
x

Խ
͞xlim
x l0

Խ
x
Խ
͞x
lim
x

l

0
Ϫ

Խ
x
Խ
x
෇ lim
x

l

0
Ϫ

Ϫx
x

෇ lim
x

l

0
Ϫ
͑Ϫ1͒ ෇ Ϫ1
lim
x

l

0
ϩ

Խ
x
Խ
x
෇ lim
x

l

0
ϩ

x
x

෇ lim
x

l

0
ϩ
1 ෇ 1
lim
x

l

0

Խ
x
Խ
x
lim
x

l

0

Խ
x
Խ
෇ 0

lim
x

l

0
Ϫ

Խ
x
Խ
෇ lim
x

l

0
Ϫ
͑Ϫx͒ ෇ 0
Խ
x
Խ
෇ Ϫxx
Ͻ
0
lim
x

l

0
ϩ

Խ
x
Խ
෇ lim
x

l

0
ϩ
x ෇ 0
x Ͼ 0
Խ
x
Խ
෇ x
▲ The result of Example 7 looks
plausible from Figure 3.
Խ
x
Խ
෇
ͭ
x
Ϫx
if x ജ 0
if x

Ͻ
0
lim
x

l

0

Խ
x
Խ
෇ 0
lim
x

l

a
Ϫ
f ͑x͒ ෇ L ෇ lim
x

l

a
ϩ
f ͑x͒lim
x

l

a
f͑x͒ ෇ L
1
SECTION 2.3 CALCULATING LIMITS USING THE LIMIT LAWS ◆ 115
FIGURE 3
y
x
0
y=|x|
FIGURE 4
Ví dụ 1.10 Chứng minh rằng lim
x→0
|x|
x
không tồn tại.
Giải. Ta có
lim
x→0
+
|x|
x
= lim
x→0
+
x
x
= lim
x→0

+
1 = 1
lim
x→0
−
|x|
x
= lim
x→0
−
−x
x
= lim
x→0
−
(−1) = −1
Do các giới hạn trái và giới hạn phải khác nhau nên
theo định lý 1.2 ta suy ra lim
x→0
|x|
x
không tồn tại.
Some limits are best calculated by first finding the left- and right-hand limits. The
following theorem is a reminder of what we discovered in Section 2.2. It says that a
two-sided limit exists if and only if both of the one-sided limits exist and are equal.
Theorem if and only if
When computing one-sided limits we use the fact that the Limit Laws also hold for
one-sided limits.
EXAMPLE 7 Show that .
SOLUTION Recall that

Since for , we have
For we have and so
Therefore, by Theorem 1,
EXAMPLE 8 Prove that does not exist.
SOLUTION
Since the right- and left-hand limits are different, it follows from Theorem 1 that
does not exist. The graph of the function is shown in
Figure 4 and supports the limits that we found.
EXAMPLE 9 The greatest integer function is defined by the largest integer
▲ Other notations for are and . that is less than or equal to .
(
For instance, , , , ,
)
Show that does not exist.lim
x l3
͠x͡
͠
Ϫ
1
2
͡
෇ Ϫ1.
͠
s
2
͡
෇ 1͠
␲
͡ ෇ 3͠4.8͡ ෇ 4͠4͡ ෇ 4x


x

͓x͔͠x͡
͠x͡ ෇
1
_1
x
y
0
y=
|
x
|
x
f ͑x͒ ෇
Խ
x
Խ
͞xlim
x l0

Խ
x
Խ
͞x
lim
x

l

0
Ϫ

Խ
x
Խ
x
෇ lim
x

l

0
Ϫ

Ϫx
x
෇ lim
x

l

0
Ϫ
͑Ϫ1͒ ෇ Ϫ1
lim
x

l

0
ϩ

Խ
x
Խ
x
෇ lim
x

l

0
ϩ

x
x
෇ lim
x

l

0
ϩ
1 ෇ 1
lim
x

l

0

Խ
x
Խ
x
lim
x

l

0

Խ
x
Խ
෇ 0
lim
x

l

0
Ϫ

Խ
x
Խ
෇ lim
x

l

0
Ϫ
͑Ϫx͒ ෇ 0
Խ
x
Խ
෇ Ϫxx
Ͻ
0
lim
x

l

0
ϩ

Խ
x
Խ
෇ lim
x

l

0
ϩ

x ෇ 0
x Ͼ 0
Խ
x
Խ
෇ x
▲ The result of Example 7 looks
plausible from Figure 3.
Խ
x
Խ
෇
ͭ
x
Ϫx
if x ജ 0
if x
Ͻ
0
lim
x

l

0

Խ
x
Խ
෇ 0

lim
x

l

a
Ϫ
f ͑x͒ ෇ L ෇ lim
x

l

a
ϩ
f ͑x͒lim
x

l

a
f͑x͒ ෇ L
1
SECTION 2.3 CALCULATING LIMITS USING THE LIMIT LAWS ◆ 115
FIGURE 3
y
x
0
y=|x|
FIGURE 4
Các tính chất.

1. lim
x→x
0
C = C, ∀x
0
là hữu hạn hay bằng ∞.
2. Giới hạn của hàm số trong một quá trình nếu có là duy nhất.
3. Cho lim
x→x
0
f
1
(x) = L
1
, lim
x→x
0
f
2
(x) = L
2
. Khi đó:
• lim
x→x
0
Cf
1
(x) = CL, C là hằng số.
• lim
x→x

0
[f
1
(x) + f
2
(x)] = L
1
+ L
2
• lim
x→x
0
[f
1
(x)f
2
(x)] = L
1
L
2
• lim
x→x
0
f
1
(x)
f
2
(x)
=

L
1
L
2
, L
2
= 0
Chú ý 1.5 Trong các tính chất trên L
1
, L
2
là hữu hạn. Khi L
1
, L
2
là vô hạn ta có
các dạng vô định. Khi gặp phải các dạng vô định thì phải khử đưa về trường hợp hữu
hạn sau đó mới áp dụng các tính chất trên. Các dạng vô định thường gặp ∞ − ∞,
0 × ∞,
0
0
,
∞
∞
.
Bảng các giới hạn cơ bản.
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

1.3. Giới hạn của hàm số thực 14
1. lim

x→0
1
x
= ∞, lim
x→∞
1
x
= 0
2. lim
x→+∞
a
x
=

+∞, a > 1
0, 0 < a < 1
, lim
x→−∞
a
x
=

0, a > 1
+∞, 0 < a < 1
3. lim
x→+∞
log
a
x =


+∞, a > 1
−∞, 0 < a < 1
, lim
x→0
+
log
a
x =

−∞, a > 1
+∞, 0 < a < 1
4. lim
x→+∞
arctan x =
π
2
, lim
x→−∞
arctan x = −
π
2
5. lim
x→+∞
arccotx = 0, lim
x→−∞
arccotx = π
6. lim
x→∞
a
n

x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ + a
0
b
m
x
m
+ b
m−1
x
m−1
+ + b
0
bằng
a
n
b
m
nếu m = n, bằng 0 nếu n < m và
bằng ∞ nếu n > m.
7. lim
x→0
sin x
x
= 1, lim

x→∞
sin x
x
= 0
8. lim
x→∞

1 +
1
x

x
= e, lim
x→0
(1 + x)
1
x
= e
9. lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
=
1
ln a
, lim
x→0
ln(1 + x)

x
= 1
10. lim
x→0
a
x
− 1
x
= ln a, lim
x→0
e
x
− 1
x
= 1
11. lim
x→0
(1 + x)
α
− 1
x
= α, lim
x→0
n
√
1 + x − 1
x
=
1
n

Ví dụ 1.11 Sử dụng bảng giới hạn cơ bản ta có
1. lim
x→0
sin 2x
x
= 2 lim
x→0
sin 2x
2x
= 2
2. lim
x→0
(1 + 2x)
1
x
= lim
x→0
(1 + 2x)
2
1
2x
=

lim
x→0
(1 + 2x)
1
2x

2

= e
2
3. lim
x→0
e
x
− e
−x
x
= lim
x→0
e
x
− 1
x
+ lim
x→0
e
−x
− 1
−x
= 1 + 1 = 2
Các dạng vô định khác.
lim
x→a
[f(x)]
g(x)
1. lim
x→a
f(x) = 0 và lim

x→a
g(x) = 0 dạng 0
0
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

1.3. Giới hạn của hàm số thực 15
2. lim
x→a
f(x) = ∞ và lim
x→a
g(x) = 0 dạng ∞
0
3. lim
x→a
f(x) = 1 và lim
x→a
g(x) = ±∞ dạng 1
∞
Thông thường ta sử dụng đẳng thức sau trong quá trình tính các giới hạn dạng trên
[f(x)]
g(x)
= exp[g(x) ln f(x)]
Ví dụ 1.12 Dùng công thức trên ta có thể tính được giới hạn dạng ∞
0
sau
lim
x→0

1 + tan x
1 + sin x


1
sin
3
x
= lim
x→0

1 +
tan x − sin x
1 + sin x

1
sin
3
x
= lim
x→0
exp

1
sin
3
x
ln

1 +
tan x − sin x
1 + sin x


= lim
x→0
exp

1
sin
3
x
tan x − sin x
1 + sin x
ln

1 +
tan x − sin x
1 + sin x

:
tan x − sin x
1 + sin x

Xét giới hạn
lim
x→0
1
sin
3
x
tan x − sin x
1 + sin x
= lim

x→0
1 − cos x
sin
2
x(1 + sin x) cos x
=
1
2
Từ đó suy ra
lim
x→0

1 + tan x
1 + sin x

1
sin
3
x
=
√
e
Định lý 1.3 Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) thoả mãn f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), ∀x ∈
(a, b). Điểm x
0
∈ [a, b]. Khi đó nếu lim
x→x
0
f(x) = lim
x→x

0
h(x) = L thì lim
x→x
0
g(x) = L.
Ví dụ 1.13 Chứng minh rằng lim
x→0
x
2
sin
1
x
= 0.
Giải. Ta có đánh giá
−1 ≤ sin
1
x
≤ 1
do đó
−x
2
≤ x
2
sin
1
x
≤ x
2
We know that
Taking , , and in the Squeeze Theorem, we

obtain
lim
x

l

0
x
2
sin
1
x
෇ 0
h͑x͒ ෇ x
2
t͑x͒ ෇ x
2
sin͑1͞x͒f ͑x͒ ෇ Ϫx
2
lim
x

l

0
Ϫx
2
෇ 0andlim
x

l

0
x
2
෇ 0
1
x
y=≈ sin
y=≈
y=_≈
0
x
y
FIGURE 7
SECTION 2.3 CALCULATING LIMITS USING THE LIMIT LAWS ◆ 117
(c) (d)
(e) (f)
3–7
■
Evaluate the limit and justify each step by indicating the
appropriate Limit Law(s).
3. 4.
5.
7.
■■■■■■■■■■■■■
8. (a) What is wrong with the following equation?
(b) In view of part (a), explain why the equation
is correct.
lim

x

l

2

x
2
ϩ x Ϫ 6
x Ϫ 2
෇ lim
x

l

2
͑x ϩ 3͒
x
2
ϩ x Ϫ 6
x Ϫ 2
෇ x ϩ 3
lim
x

l

1

ͩ

1 ϩ 3x
1 ϩ 4x
2
ϩ 3x
4
ͪ
3
lim
u

l

Ϫ2

s
u
4
ϩ 3u ϩ 6
6.
lim
t

l

Ϫ2
͑t ϩ 1͒
9
͑t
2
Ϫ 1͒

lim
x

l

2

2x
2
ϩ 1
x
2
ϩ 6x Ϫ 4
lim
x

l

4
͑5x
2
Ϫ 2x ϩ 3͒
lim
x

l

1

s

3 ϩ f͑x͒lim
x

l

2
x
3
f ͑x͒
lim
x

l

Ϫ1

f ͑x͒
t͑x͒
lim
x

l

0
͓ f͑x͒t͑x͔͒
1. Given that
find the limits that exist. If the limit does not exist, explain
why.
(a) (b)
(c) (d)

(e) (f)
(g) (h)
2. The graphs of and t are given. Use them to evaluate each
limit, if it exists. If the limit does not exist, explain why.
(a) (b) lim
x

l

1
͓ f͑x͒ ϩ t͑x͔͒lim
x

l

2
͓ f͑x͒ ϩ t͑x͔͒
x
1
y
y=ƒ
1
0
x
y
1
y=©
1
f
lim

x

l

a

2 f ͑x͒
h͑x͒ Ϫ f ͑x͒
lim
x

l

a

f ͑x͒
t͑x͒
lim
x

l

a

t͑x͒
f ͑x͒
lim
x

l

a

f ͑x͒
h͑x͒
lim
x

l

a

1
f ͑x͒
lim
x

l

a

s
3
h͑x͒
lim
x

l

a

͓ f͑x͔͒
2
lim
x

l

a
͓ f͑x͒ ϩ h͑x͔͒
lim
x

l

a
h͑x͒ ෇ 8lim
x

l

a
t͑x͒ ෇ 0lim
x

l

a
f͑x͒ ෇ Ϫ3
Exercises
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

2.3
Watch an animation of a similar limit.
Resources / Module 2
/ Basics of Limits
/ Sound of a Limit that Exists
Áp dụng định lý 1.3 ta nhận được lim
x→0
x
2
sin
1
x
= 0.
Vô cùng bé, vô cùng lớn.
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

1.3. Giới hạn của hàm số thực 16
Định nghĩa 1.9 Vô cùng bé. Hàm f(x) gọi là vô cùng bé (VCB) khi x → x
0
(x
0
có thể hữu hạn hay vô hạn) nếu lim
x→x
0
f(x) = 0.
Ví dụ 1.14 (1) Hàm f(x) = x
n
là một VCB khi x → 0, ∀n ≥ 1.
(2) 1 −cos x là một VCB khi x → 0.
(3) 0 là VCB trong mọi quá trình.

Tính chất.
1. Nếu f(x) là VCB khi x → x
0
thì Cf (x) là VCB khi x → x
0
(C là hằng số).
2. Tích, tổng của các VCB khi x → x
0
là một vô cùng bé khi x → x
0
.
3. Tích của một VCB với một hàm bị chặn là một VCB trong cùng một quá
trình.
Ví dụ 1.15 Hàm f (x) = x sin
1
x
là một VCB khi x → 0 vì trong quá trình đó x là
một VCB còn sin
1
x
là hàm bị chặn.
Quan hệ giữa VCB và hàm có giới hạn hữu hạn.
lim
x→x
0
f(x) = L ⇔ f(x) − L là VCB khi x → x
0
⇒ f(x) = L + α(x), α(x) là VCB khi x → x
0
So sánh các đại lượng VCB. Cho f(x) và g(x) là hai VCB trong cùng một quá trình.

1. Nếu lim
f(x)
g(x)
= 0 thì ta nói f(x) là VCB cấp cao hơn g(x) hay g(x) là VCB
cấp thấp hơn f(x). Kí hiệu là f(x) = o(g(x)) (Nhận xét: Nếu g(x) là VCB cấp
thấp hơn f(x) thì lim
g(x)
f(x)
= ∞).
2. Nếu lim
f(x)
g(x)
= k (k = 0, k hữu hạn) thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCB cùng
cấp. Kí hiệu là f(x) = O(g(x)).
Đặc biệt nếu k = 1 thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCB tương đương. Kí hiệu
là f(x) ∼ g(x).
3. Nếu không tồn tại giới hạn lim
f(x)
g(x)
thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCB không
so sánh được.
Ví dụ 1.16 Trong quá trình x → 0 thì x, x
2
, 1 − cos x, x
2
/2, x cos(1/x) là các
VCB.
Giải.
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

1.3. Giới hạn của hàm số thực 17
1. Vì lim
x→0
1 − cos x
x
= lim
x→0
2 sin
2
(x/2)
x
= 0 nên 1 − cos x = o(x).
2. Vì lim
x→0
x
x
2
= ∞ nên x
2
= o(x).
3. Vì lim
x→0
1 − cos x
x
2
= lim
x→0
2 sin
2
(x/2)

x
2
=
1
2
nên 1 − cos x = O(x
2
).
4. Vì lim
x→0
1 − cos x
x
2
/2
= lim
x→0
2 sin
2
(x/2)
x
2
/2
= 1 nên 1 − cos x ∼ x
2
/2.
5. Vì không tồn tại giới hạn lim
x→0
x cos(1/x)
x
nên x cos(1/x) và x là hai VCB không

so sánh được.
Hai quy tắc thay thế VCB tương đương và ngắt bỏ VCB cấp cao.
Quy tắc 1. Cho f
1
(x), g
1
(x), f
2
(x), g
2
(x) là các VCB trong cùng một quá trình
nào đó. Nếu f
1
(x) ∼ f
2
(x) và g
1
(x) ∼ g
2
(x) thì
lim
f
1
(x)
g
1
(x)
= lim
f
2

(x)
g
2
(x)
Ví dụ 1.17 Tính giới hạn
lim
x→0
ln(1 + 2x)
sin 5x
Giải. Do ln(1 + 2x) ∼ 2x, sin 5x ∼ 5x (x → 0) nên ta có
lim
x→0
ln(1 + 2x)
sin 5x
= lim
x→0
2x
5x
=
2
5
Chú ý 1.6 Cho f (x) và g(x) là hai VCB trong cùng một quá trình nào đó. Nếu
f(x) = o(g(x)) thì f(x) + g(x) ∼ g(x).
Quy tắc 2. Cho f(x) = f
1
(x)+f
2
(x)+ +f
n
(x), g(x) = g

1
(x)+g
2
(x)+ +g
m
(x)
là tổng của các VCB trong cùng một quá trình nào đó. Nếu f
1
(x) là VCB cấp thấp
hơn so với các vô cùng bé f
i
(x), i = 2, , n và g
1
(x) là VCB cấp thấp hơn so với các
VCB g
j
(x), j = 2, , m. Khi đó
lim
f(x)
g(x)
= lim
f
1
(x) + f
2
(x) + + f
n
(x)
g
1

(x) + g
2
(x) + + g
m
(x)
= lim
f
1
(x)
g
1
(x)
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

1.3. Giới hạn của hàm số thực 18
Ví dụ 1.18 Tính giới hạn
lim
x→0
x + 1 − cos x + tan
3
x
2x + sin
2
x + 3x
5
Giải. Do 1 − cos x = O(x), tan
3
x = O(x) (x → 0) và sin
2
x = O(2x), 3x

5
= O(2x)
(x → 0) nên ta có
lim
x→0
x + 1 − cos x + tan
3
x
2x + sin
2
x + 3x
5
= lim
x→0
x
2x
=
1
2
Chú ý 1.7 1. Số 0 là VCB cấp cao nhất trong mọi quá trình.
2. Nếu f
1
(x) ∼ g
1
(x), f
2
(x) ∼ g
2
(x) thì là các VCB tương đương trong cùng một
quá trình thì f

1
(x)f
2
(x) ∼ g
1
(x)g
2
(x).
3. Trong cùng một quá trình nào đó nếu f
1
(x) ∼ f
2
(x) thì f
1
(x) − f
2
(x) =
o(f
1
(x)). Có nghĩa là không thể thay thế tương đương trong từng hạng tử của
biểu thức hiệu của hai VCB tương đương.
Ví dụ 1.19 Tính lim
x→0
tan x − sin x
x
3
Giải.
lim
x→0
tan x − sin x

x
3
= lim
x→0
sin x(1 − cos x)
x
3
cos x
= lim
x→0
1
cos x
sin x
x
2 sin
2
x
2
x
2
=
1
2
Chú ý 1.8 Nếu thay thế tương đương tan x ∼ x và sin x ∼ x (x → 0) ta sẽ thu được
giới hạn trên bằng 0. Cách làm này dẫn đến kết quả sai.
Các vô cùng bé tương đương cần nhớ. Trong quá trình x → 0 thì ta có các VCB
tương đương sau: sin x ∼ x, arcsin x ∼ x, tan x ∼ x, arctan x ∼ x, 1 − cos x ∼ x
2
/2,
ln(1 + x) ∼ x, e

x
− 1 ∼ x, (1 + x)
µ
− 1 ∼ µx.
Định nghĩa 1.10 Vô cùng lớn. Hàm f(x) gọi là vô cùng lớn (VCL) khi x → x
0
(x
0
có thể hữu hạn hay vô hạn) nếu lim
x→x
0
f(x) = ∞.
Tương tự như trên giống như VCB ta cũng có thể so sánh các đại lượng VCL và hai
quy tắc thay thế VCL tương đương và ngắt bỏ VCL cấp thấp.
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

1.4. Hàm số liên tục 19
1.4. Hàm số liên tục
Định nghĩa 1.11 Hàm f(x) được gọi là liên tục tại
điểm a nếu:
• Hàm f(x) xác định tại điểm a và lân cận của điểm
a.
• lim
x→a
f(x) = f(a).
Một hàm số mà không liên tục tại điểm a được gọi là
gián đoạn tại điểm a. Như vậy nếu f(x) mà gián đoạn
tại điểm a thì hoặc f(x) không xác định tại điểm a hoặc
∃ lim
x→a

f(x) hoặc lim
x→a
f(x) = ∞ hoặc ∃ lim
x→a
f(x) = f(a).
Continuity
●●●●●●●●●●●●●●●●●●
We noticed in Section 2.3 that the limit of a function as approaches can often
be found simply by calculating the value of the function at . Functions with this
property are called continuous at a. We will see that the mathematical definition of
continuity corresponds closely with the meaning of the word continuity in everyday
language. (A continuous process is one that takes place gradually, without interrup-
tion or abrupt change.)
Definition A function is continuous at a number a if
If is not continuous at a, we say is discontinuous at a, or has a discontinuity
at a. Notice that Definition l implicitly requires three things if is continuous at a:
1. is defined (that is, a is in the domain of )
2. exists
3.
The definition says that is continuous at if approaches as x approaches
a. Thus, a continuous function has the property that a small change in x produces
only a small change in . In fact, the change in can be kept as small as we
please by keeping the change in sufficiently small.
Physical phenomena are usually continuous. For instance, the displacement or
velocity of a vehicle varies continuously with time, as does a person’s height. But dis-
continuities do occur in such situations as electric currents. [See Example 6 in Sec-
tion 2.2, where the Heaviside function is discontinuous at because does
not exist.]
Geometrically, you can think of a function that is continuous at every number in an
interval as a function whose graph has no break in it. The graph can be drawn with-

out removing your pen from the paper.
lim
t l0
H͑t͒0
x
f ͑x͒f ͑x͒
f
f ͑a͒f ͑x͒af
lim
x

l

a
f ͑x͒ ෇ f ͑a͒
lim
x

l

a
f ͑x͒
ff ͑a͒
f
fff
lim
x

l

a
f͑x͒ ෇ f͑a͒
f
1
a
ax
2.4
point of intersection of the two circles, and R is the point of
intersection of the line PQ and the -axis. What happens to
R as shrinks, that is, as ?
x
y
0
P
Q
C™
C¡
R
r l 0
ϩ
C
2
x
Show by means of an example that
may exist even though neither nor
exists.
42. Show by means of an example that may
exist even though neither nor
exists.
Is there a number a such that

exists? If so, find the value of a and the value of the limit.
44. The figure shows a fixed circle with equation
and a shrinking circle with radius
and center the origin. P is the point , Q is the upper͑0, r͒
rC
2
͑x Ϫ 1͒
2
ϩ y
2
෇ 1
C
1
lim
x lϪ2

3x
2
ϩ ax ϩ a ϩ 3
x
2
ϩ x Ϫ 2
43.
lim
x

l

a
t͑x͒lim

x

l

a
f ͑x͒
lim
x

l

a
͓ f ͑x͒t͑x͔͒
lim
x

l

a
t͑x͒lim
x

l

a
f ͑x͒
lim
x

l

a
͓ f ͑x͒ ϩ t͑x͔͒
41.
SECTION 2.4 CONTINUITY ◆ 119
▲ As illustrated in Figure 1, if is con
-
tinuous, then the points on the
graph of approach the point
on the graph. So there is no gap in the
curve.
͑a, f ͑a͒͒f
͑x, f ͑x͒͒
f
f(a)
x
0
y
a
y=ƒ
ƒ
approaches
f(a).
As x approaches a,
FIGURE 1
Explore continuous functions interactively.
Resources / Module 2
/ Continuity
/ Start of Continuity
Ví dụ 1.20 Hình vẽ bên biểu diễn đồ thị của hàm số

f. Tại đâu hàm số gián đoạn. Tại sao?
Giải. Ta dễ thấy rằng hàm gián đoạn tại a = 1 bởi vì
hàm số không xác định tại đó (không tồn tại f(1)).
Đồ thị cũng bị gián đoạn tại a = 3 bởi một lý do khác.
Ở đây hàm số xác định tại a = 3, tuy nhiên ∃ lim
x→3
f(x)
(giới hạn trái và giới hạn phải khác nhau). Do đó hàm
số gián đoạn tại a = 3.
EXAMPLE 1 Figure 2 shows the graph of a function . At which numbers is discon-
tinuous? Why?
SOLUTION It looks as if there is a discontinuity when because the graph has a
break there. The official reason that is discontinuous at 1 is that is not defined.
The graph also has a break when a ෇ 3, but the reason for the discontinuity is
different. Here, is defined, but does not exist (because the left and
right limits are different). So is discontinuous at 3.
What about ? Here, is defined and exists (because the left
and right limits are the same). But
So is discontinuous at 5.
Now let’s see how to detect discontinuities when a function is defined by a formula.
EXAMPLE 2 Where are each of the following functions discontinuous?
(a) (b)
(c) (d)
SOLUTION
(a) Notice that is not defined, so is discontinuous at 2.
(b) Here is defined but
does not exist. (See Example 8 in Section 2.2.) So is discontinuous at 0.
(c) Here is defined and
exists. But
so is not continuous at 2.

(d) The greatest integer function has discontinuities at all of the integers
because does not exist if is an integer. (See Example 9 and Exercise 35
in Section 2.3.)
Figure 3 shows the graphs of the functions in Example 2. In each case the graph
can’t be drawn without lifting the pen from the paper because a hole or break or jump
occurs in the graph. The kind of discontinuity illustrated in parts (a) and (c) is called
removable because we could remove the discontinuity by redefining at just the f
nlim
x

l

n
͠x͡
f ͑x͒ ෇ ͠x͡
f
lim
x

l

2
f͑x͒  f ͑2͒
lim
x

l

2
f͑x͒ ෇ lim

x

l

2

x
2
Ϫ x Ϫ 2
x Ϫ 2
෇ lim
x

l

2

͑x Ϫ 2͒͑x ϩ 1͒
x Ϫ 2
෇ lim
x

l

2
͑x ϩ 1͒ ෇ 3
f ͑2͒ ෇ 1
f
lim
x

l

0
f ͑x͒ ෇ lim
x

l

0

1
x
2
f ͑0͒ ෇ 1
ff ͑2͒
f ͑x͒ ෇ ͠x͡f ͑x͒ ෇
ͭ
x
2
Ϫ x Ϫ 2
x Ϫ 2
if x  2
1if x ෇ 2
f ͑x͒ ෇
ͭ
1
x
2
if x  0

1if x ෇ 0
f ͑x͒ ෇
x
2
Ϫ x Ϫ 2
x Ϫ 2
f
lim
x

l

5
f͑x͒  f ͑5͒
lim
x

l

5
f͑x͒f ͑5͒a ෇ 5
f
lim
x l3
f͑x͒f ͑3͒
f ͑1͒f
a ෇ 1
ff
120 ■ CHAPTER 2 LIMITS AND DERIVATIVES
FIGURE 2

y
0
x
123
4
5
Resources / Module 2
/ Continuity
/ Problems and Tests
Tại điểm a = 5, hàm số xác định và ∃ lim
x→5
f(x) (giới hạn trái và giới hạn phải bằng
nhau). Tuy nhiên ta thấy rằng
lim
x→5
f(x) = f(5)
Do đó hàm số gián đoạn tại a = 5.
Định nghĩa 1.12 Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a, b) nếu f (x) liên
tục tại mọi điểm trong khoảng đó.
Định nghĩa 1.13 Liên tục phải, liên tục trái.
1. Hàm số f(x) được gọi là liên tục phải tại điểm a nếu f(x) xác định tại a và
lân cận phải của điểm a đồng thời
lim
x→a
+
f(x) = f(a)
2. Hàm số f(x) được gọi là liên tục trái tại điểm a nếu f (x) xác định tại a và
lân cận trái của điểm a đồng thời
lim
x→a

−
f(x) = f(a)
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

1.4. Hàm số liên tục 20
Chú ý 1.9 f(x) liên tục tại a ⇔ f(x) vừa liên tục trái và liên tục phải tại a.
Định nghĩa 1.14 Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a, b] nếu f (x) liên
tục trên khoảng (a, b) và f(x) liên tục phải tại điểm a và liên tục trái tại điểm b.
Các tính chất.
1. Nếu f(x), g(x) liên tục tại a thì f (x) + g(x), mf(x), f(x)g(x), f(x)/g(x) (với
g(a) = 0) cũng là các hàm số liên tục tại a.
2. Hàm hợp của các hàm liên tục cũng là một hàm số liên tục. Cụ thể là nếu
y = f(x) liên tục tại x
0
, g(y) liên tục tại y
0
= f(x
0
) thì hàm hợp g(f(x)) là
hàm số liên tục tại x
0
.
Nhận xét.
1. Các hàm số sơ cấp liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của nó.
2. Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng
đó.
3. Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì hàm số f (x) bị chặn trên đoạn đó.
4. Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì f (x) đạt GTLN, GTNN trên đoạn đó.
5. Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì ∃c ∈ (a, b) : f(c) = 0.
6. Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và nếu M = max

x∈[a,b]
f(x), m = min
x∈[a,b]
f(x) và
µ ∈ [m, M] thì ∃c ∈ [a, b] : f(x) = µ.
Phân loại điểm gián đoạn.
Định nghĩa 1.15 Gián đoạn loại một. Điểm a được gọi là điểm gián đoạn loại
một nếu a là một điểm gián đoạn của hàm số f(x) và các giới hạn lim
x→a
+
f(x),
lim
x→a
−
f(x) đều tồn tại hữu hạn.
Trong trường hợp lim
x→a
+
f(x) = lim
x→a
−
f(x) = f(a) thì a gọi là điểm gián đoạn bỏ
được.
Định nghĩa 1.16 Gián đoạn loại hai. Điểm a được gọi là điểm gián đoạn loại
hai nếu a là một điểm gián đoạn của hàm số f(x) nhưng không phải là điểm gián
đoạn loại một.
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

1.4. Hàm số liên tục 21
Ví dụ 1.21 (a) Hàm số f(x) =

1
1+2
1/(1−x)
gián đoạn loại một tại a = 1. Vì f (x)
không xác định tại x = 1 nhưng được xác định trong một lân cận của điểm x = 1.
Do đó nó là điểm gián đoạn. Hơn nữa các giới hạn trái và giới hạn phải tại điểm
x = 1 đều tồn tại: lim
x→1
+
f(x) = 1, lim
x→1
−
f(x) = 0.
(b) Hàm f(x) = (sin x)/x gián đoạn loại một tại x = 0.
(c) Hàm f(x) = 1/x gián đoạn loại hai tại x = 0.
(d) Hàm f(x) = 2
1/x
gián đoạn loại hai tại x = 0 vì tại đó hàm gián đoạn và
lim
x→0
−
f(x) = 0 (tồn tại) nhưng lim
x→0
+
f(x) = ∞.
(f) Hàm f(x) = sin(1/x) gián đoạn loại hai tại x = 0 vì tại đó hàm gián đoạn
và hai giới hạn trái và giới hạn phải trong quá trình x → 0 đều không tồn tại.
Bài toán xét sự liên tục của hàm số. Khi gặp bài toán này ta phải xét sự liên
tục của hàm số đó trên tập xác định của nó. Tìm và phân loại các điểm gián đoạn
của hàm số.

Ví dụ 1.22 Xét sự liên tục của hàm số
f(x) =

x sin
1
x
, x < 0
ax
2
+ b, x ≥ 0
Giải.
• Khi x < 0 thì f(x) = x sin
1
x
là hàm số sơ cấp. Do đó f(x) liên tục với x < 0.
• Khi x > 0 thì f(x) = ax
2
+ b là hàm số sơ cấp. Do đó f(x) liên tục với x > 0.
• Tại điểm x = 0. Ta có
lim
x→0
−
f(x) = lim
x→0
−
x sin
1
x
= 0
lim

x→0
+
f(x) = lim
x→0
+
(ax
2
+ b) = b
f(0) = b.
– Nếu b = 0 thì
lim
x→0
+
f(x) = lim
x→0
−
f(x) = f(0) = 0
Do đó f(x) liên tục tại x=0.
– Nếu b = 0 thì các giới hạn phải và giới hạn trái của f (x) tại x = 0 đều
tồn tại hữu hạn nhưng chúng nhận những giá trị khác nhau, do đó tại
x = 0 hàm số gián đoạn loại một.
Kết luận.
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

1.4. Hàm số liên tục 22
• Với b = 0, a tùy ý thì f(x) liên tục trên R.
• Với b = 0, a tùy ý thì f (x) liên tục ∀x = 0 và tại x = 0 thì hàm f (x) gián
đoạn loại một.
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

1.5. Bài tập chương 1 23
1.5. BÀI TẬP CHƯƠNG 1
Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị của các bài toán thực tế
Bài 1 Hãy biểu diễn số 18 thành tổng của 2 số dương sao cho tích của số thứ nhất
và bình phương của số thứ hai là lớn nhất.
HD: Gọi x và y là hai số cần tìm (x, y > 0). Theo giả thiết ta có x + y = 18. Ta cần
tìm x, y sao cho A = xy
2
= (18 −y)y
2
đạt max. Ta có A

= 36y −3y
2
= 3y (12 −y).
A

= 0 ⇔ y = 0 và y = 12. Dễ thấy trên khoảng y > 0 hàm số đạt cực đại tại y = 12
và khi đó x = 6.
Bài 2 Hãy chỉ ra rằng hình chữ nhật với diện tích cho trước có chu vi nhỏ nhất là
một hình vuông.
HD: Gọi hình chữ nhật có các cạnh lần lượt là a và b. Chu vi hình chữ nhật là
C = 2(a + b). Diện tích S = ab đã biết. Ta có C = 2

S
b
+ b

= 2


S+b
2
b

. C

=
2

−
S
b
2
+ 1

, C

= 0 ⇔ b =
√
S. Xét dấu của C

suy ra C đạt cực tiểu tại b =
√
S
và khi đó a =
√
S. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Bài 3 Hãy chỉ ra rằng hình chữ nhật với chu vi cho trước có diện tích cực đại là
một hình vuông.
HD: Gọi hình chữ nhật có các cạnh lần lượt là x và y. Theo giả thiết x + y =

C=const=nửa chu vi. Diện tích của nó là S = xy = x(C − x). S đạt cực đại tại
x =
C
2
và khi đó y =
C
2
nghĩa là hình là hình vuông.
Bài 4 Hãy chỉ ra rằng hình vuông có diện tích lớn nhất trong số các hình hình chữ
nhật nội tiếp trong một hình tròn cho trước x
2
+ y
2
= a
2
.
HD: Gọi hình chữ nhật nội tiếp trong hình tròn có các cạnh lần lượt là c và d. Theo
giả thiết ta có c
2
+d
2
= 4a
2
hay d =
√
4a
2
− c
2
, c, d ∈ [0, 2a]. Mặt khác diện tích của

hình chữ nhật là S = cd = c
√
4a
2
− c
2
là một hàm theo biến c. S

=
4a
2
−2c
2
√
4a
2
−c
2
= 0
khi c = a
√
2. Xét dấu của S

suy ra S đạt giá trị lớn nhất tại c = a
√
2. Và khi đó
d = a
√
2. Từ đó suy ra điều cần phải chứng minh.
Bài 5 Hãy chứng minh rằng hình vuông có chu vi lớn nhất trong tất cả các hình

chữ nhật nội tiếp trong hình tròn như ở trong bài 4.
HD: Gọi các cạnh của hình chữ nhật là x và y. Bán kính của đường tròn là a.
Ta có x
2
+ y
2
= 4a
2
hay y =
√
4a
2
− x
2
, x, y ∈ [0, 2a]. Chu vi hình chữ nhật là
C = 2x + 2y = 2x + 2
√
4a
2
− x
2
là hàm theo x. Ta có C

= 2 −
2x
√
4a
2
−x
2

= 0
⇔
√
4a
2
− x
2
= x hay x = a
√
2. Tại đó C đạt max và khi đó y = a
√
2. Vậy hình là
hình vuông.
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

1.5. Bài tập chương 1 24
Bài 6 Hiệu sách mua quyển sách Countshing Rituals Of The American College
Student với giá 4 đô la một bản từ nhà xuất bản. Người quản lý hiệu sách tin tưởng
rằng bà ta có thể bán 180 bản với giá 10 đô la và nếu giảm giá 50 cent mỗi bản thì
số lượng bán ra sẽ tăng lên 30 bản. Xác định giá bán sách để lợi nhuận của hiệu
sách là lớn nhất.
HD: Giá thật của quyển sách là 4 đô la. Nếu bán 10 đô la thì sẽ bán được 180 bản.
Lợi nhuận khi đó là (10 − 4) 180 = 1048 đô la. Gọi x là số tiền giảm. Khi đó lợi
nhuận là f (x) = (10 − x − 4) . (180 + 60x) = 60(6−x)(3 +x) = 60

−x
2
+ 3x + 18

.

Hàm đạt giá trị lớn nhất khi x = 1.5. ĐS: 8.5 đô la
Bài 7 Một mảnh đất có diện tích hoa là 3500fit
2
. Nó là hình chữ nhật với ba mặt
tường gạch chắc chắn và mặt trước trang hoàng bằng kính. Giá làm bằng kính bằng
1, 8 lần giá bức tường xây gạch. Xác định kích thước của mảnh đất để chi phí cho
việc xây dựng ít nhất.
HD: Gọi cạnh có kính là x, cạnh không kính là y (fit). Ta có x.y = 3500, x, y > 0.
Giá thành xây dựng là G = 1.8x + (2y + x) = 2.8x + 2.
3500
x
= 2.8 −
7000
x
2
= 0 nếu
x
2
=
7000
2.8
hay x = 50 và tại đó hàm số đạt cực tiểu (với x > 0). Vậy các cạnh cần
tìm là x = 50 và y = 70.
Bài 8 Vào buổi trưa tầu A cách tầu B 50 hải lý về phía bắc và đang chạy về phía
nam với tốc độ 16 hải lý/h. Tầu B thì đi về phía tây với tốc độ 12 hải lý/h. Ở thời
điểm nào thì chúng gần nhau nhất và khoảng cách đó là bao nhiêu.
HD: Gọi thời gian ban đầu là 0 (giờ chiều). Tại thời điểm t tầu A đi được
16t (hải lý) và tầu B đi được 12t (hải lý). Khoảng cách giữa A và B là S =

(50 − 16t)

2
+ 12
2
t
2
= 10
√
4t
2
− 16t + 25 (dễ thấy để khoảng cách nhỏ nhất thì
16t < 50). Khoảng cách nhỏ nhất bằng 30 khi t < 2. ĐS: 2 giờ chiều, 30 dặm.
Bài 9 Hãy biểu diễn số 8 thành tổng của hai số không âm sao cho tổng của bình
phương số thứ nhất và lập phương số thứ hai có giá trị nhỏ nhất. Cũng vậy giải bài
toán trong trường hợp tổng này là lớn nhất.
HD: Gọi hai số cần tìm là: x và y, x ≥ 0 và y ≥ 0. Theo giả thiết x + y = 8, y ≤ 8.
Xét A = x
2
+ y
3
= (8 − y)
2
+ y
3
= y
3
+ y
2
−16y + 64. Ta có A

= 3y

2
+ 2y − 16 và
A

= 0 khi y = 2 và y = −
8
3
Trên đoạn [0, 8] thì A đạt giá trị nhỏ nhất khi y = 2
(bằng 44 và khi đó x = 6) và lớn nhất nhất khi y = 8 (bằng 83 khi đó x = 0).
Bài 10 Tìm hai số dương mà tích của chúng bằng 16 và tổng của chúng đạt giá trị
nhỏ nhất.
HD: Gọi hai số đó là x và y (x, y > 0). Ta có xy = 16. Tổng S = x + y = x +
16
x
và
S

= 1 −
16
x
2
=
x
2
−16
x
2
= 0 khi x = ±4. S đạt giá trị nhỏ nhất (với y > 0) khi y = 4
và khi đó x = 4.
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU