bài giảng giải tích một biến phần 2

Chương 3
TÍCH PHÂN
3.1. Tích phân bất định
Định nghĩa 3.1 Nguyên hàm. Hàm F (x) gọi là một nguyên hàm của hàm f(x)
trên (a, b) nếu F

(x) = f(x), ∀x ∈ (a, b).
Ví dụ 3.1 Hàm sin x là một nguyên hàm của cos x trên toàn trục số.
Định nghĩa 3.2 Tích phân bất định. Tập tất cả các nguyên hàm của hàm số
f(x) trên (a, b) được gọi là tích phân bất định của hàm số f(x) và kí hiệu là

f(x)dx = F (x) + C
trong đó f(x) là hàm dưới dấu tích phân, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân, x
là biến tích phân.
Chú ý 3.1 Ta có
1.


f(x)dx


= f(x)
2. d


f(x)dx

= f(x)dx
3.

F


(x)dx =

d(F (x)) = F (x) + C
Bảng tích phân cơ bản.
1.

x
α
dx =
x
α+1
α+1
+ C, (α = 1)
2.

dx
x
= ln |x| + C
3.

a
x
dx =
a
x
ln a
+ C
4.


sin xdx = −cos x + C
5.

cos xdx = sin x + C
6.

dx
cos
2
x
= tan x + C
7.

dx
sin
2
x
= −cot x + C
8.

dx
√
1−x
2
= arcsin x + C = −arccos x + C
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định 55
9.


dx
1+x
2
= arctan x + C = −arccotx + C
Định lý 3.1 Nếu hàm f(x) liên tục trên (a, b) thì

f(x)dx tồn tại trên khoảng
(a, b).
Các tính chất của tích phân bất định.
• Tính chất tuyến tính

[λf(x) + µg(x)] dx = λ

f(x)dx + µ

g(x)dx.
• Nếu

f(x)dx = F (x) + C thì

f(u)du = F (u) + C.
3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định
Biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân. Biến đổi đại số, biến đổi lượng giác,
biến đổi vi phân.
Ví dụ 3.2

dx
√
x +
√

x + 1
=


√
x + 1 −
√
x

dx
=

(x + 1)
1/2
d(x + 1) −

x
1/2
dx
=
2
3
(x + 1)
3/2
−
2
3
x
3/2
+ C

Ví dụ 3.3

dx
sin
2
x cos
2
x
=

sin
2
x + cos
2
x
sin
2
x cos
2
x
dx
=

dx
cos
2
x
+

dx

sin
2
x
= tan x − cot x + C
Ví dụ 3.4

sin(ax)dx =
1
a

sin(ax)d(ax)
= −
1
a
cos(ax) + C
Ví dụ 3.5

cos(ax)dx =
1
a
sin(ax) + C
Ví dụ 3.6

dx
√
a
2
− x
2
=


d(
x
a
)

1 −

x
a

2
= arcsin
x
a
+ C
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định 56
Ví dụ 3.7

dx
a
2
+ x
2
=
1
a


d

x
a

1 +

x
a

2
=
1
a
arctan
x
a
+ C
Ví dụ 3.8

x
3
dx
1 + x
4
=
1
4

d(1 + x

4
)
1 + x
4
=
1
4
ln |1 + x
4
| + C
Ví dụ 3.9

dx
x(1 + x)
=


1
x
−
1
x + 1

dx = ln |x|−ln |x+1|+C = ln




x
x + 1





+C
Ví dụ 3.10

sin(3x) cos xdx =
1
2

(sin(4x) + sin(2x))dx
= −
1
2

cos(4x)
4
+
cos(2x)
2

+ C
=
1
4

cos 4x
2
+ cos 2x


+ C
Ví dụ 3.11

ln xdx
x
=

ln xd(ln x) =
1
2
ln
2
x + C
Phương pháp tích phân từng phần. Từ công thức đạo hàm (uv)

= u

v + uv

ta có công thức tích phân từng phần

udv = uv −

vdu
Ví dụ 3.12

ln xdx = x ln x −

xd(ln x) = x ln x −


dx = x ln x − x + C = x(ln x −1) + C
Ví dụ 3.13

xe
x
dx =

xd(e
x
) = xe
x
−

e
x
dx = xe
x
− e
x
+ C = e
x
(x − 1) + C
Ví dụ 3.14

x ln(x +
√
1 + x
2
)

√
1 + x
2
dx =

ln(x +

1 + x
2
)d(

1 + x
2
)
=

1 + x
2
ln(x +

1 + x
2
) −


1 + x
2
1 +
x
√

1+x
2
x +
√
1 + x
2
dx
=

1 + x
2
ln(x +

1 + x
2
) −

dx
=

1 + x
2
ln(x +

1 + x
2
) − x + C
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định 57

Chú ý 3.2 Khi gặp các dạng sau thì ta dùng tích phân từng phần
1. Dạng

P
n
(x)



ln x
arctan x
arcsin x



dx thì ta đưa đa thức P
n
(x) vào dấu vi phân rồi
tích phân từng phần.
2. Dạng

P
n
(x)



e
x
sin x

cos x



dx thì ta đưa hàm siêu việt vào dấu vi phân rồi tích
phân từng phần n lần.
3. Dạng

e
αx

sin βx
cos βx

dx thì ta đưa một trong hai thừa số vào dấu vi phân
rồi tích phân từng phần hai lần làm xuất hiện tích phân cần tìm với hệ số khác
1 rồi chuyển vế suy ra kết quả.
Ví dụ 3.15

(x
2
+ x −1) ln xdx =

ln xd(
x
3
3
+
x
2

2
− x)
= (
x
3
3
+
x
2
2
− x) ln x −

(
x
3
3
+
x
2
2
− x)
1
x
dx
= (
x
3
3
+
x

2
2
− x) ln x −
x
3
9
−
x
2
4
+ x + C
Ví dụ 3.16

(x
2
− x + 2) cos xdx =

(x
2
− x + 2)d(sin x)
= (x
2
− x + 2) sin x −

(sin x)(2x − 1)dx
= (x
2
− x + 2) sin x + (2x − 1) cos x −2

cos xdx

= (x
2
− x + 2) sin x + (2x − 1) cos x −2 sin x + C
= (x
2
− x) sin x + (2x −1) cos x + C
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định 58
Ví dụ 3.17

e
x
sin xdx =

sin xde
x
= e
x
sin x −

e
x
cos xdx
= e
x
sin x −

cos xd(e
x

)
= e
x
sin x − e
x
cos x +

e
x
(−sin x)dx
Vậy
2

e
x
sin xdx = e
x
(sin x − cos x) + C

⇒

e
x
sin xdx =
e
x
(sin x − cos x)
2
+ C
Đổi biến số tích phân. Có hai cách đổi biến x = ϕ(t) hoặc t = ψ(x). Chú ý sau

khi đổi biến thì ta viết biểu thức dưới dấu tích phân về biến t. Khi tính được tích
phân theo biến t rồi thì ta phải viết kết quả trở lại biến x.
Ví dụ 3.18 Tính tích phân bất định I =

√
a
2
− x
2
dx, a > 0.
Giải. Đặt x = a sin t, −
π
2
≤ t ≤
π
2
thì dx = a cos tdt,
√
a
2
− x
2
=

a
2
− a
2
sin
2

t =
a
√
cos
2
t = a cos t. Do đó
I =

a cos t.a cos tdt = a
2

cos
2
tdt = a
2

1 + cos 2t
2
dt =
a
2
2
(t +
sin 2t
2
) + C
Vì x = a sin t, −
π
2
≤ t ≤

π
2
nên t = arcsin
x
a
. Ta có
sin 2t = 2 sin t cos t = 2
x
a

1 −

x
a

2
=
2x
√
a
2
− x
2
a
2
Vậy


a
2

− x
2
dx =
a
2
2
arcsin
x
a
+
x
2

a
2
− x
2
+ C
Ví dụ 3.19 Tính tích phân bất định
I =

dx
√
x
2
± a
2
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định 59

Giải. Đặt t =
√
x
2
± a
2
thì dt =
xdx
√
x
2
±a
2
hay là
dx
√
x
2
± a
2
=
dx
t
=
dt
x
=
dx + dt
x + t
=

d(x + t)
x + t
Vậy
I =

dx
√
x
2
± a
2
=

d(x + t)
x + t
= ln |x + t|+ C
Trở lại biến x

dx
√
x
2
± a
2
= ln |x +

x
2
± a
2

| + C
Ví dụ 3.20 Tính tích phân bất định

√
x
2
± a
2
dx.
Giải.


x
2
± a
2
dx = x

x
2
± a
2
−

x
2
dx
√
x
2

± a
2
= x

x
2
± a
2
−

x
2
± a
2
∓ a
2
√
x
2
± a
2
dx
= x

x
2
± a
2
−




x
2
± a
2
dx ∓ a
2

dx
√
x
2
± a
2

= x

x
2
± a
2
− I ± a
2
ln |x +

x
2
± a
2

| + C
1
Vậy


x
2
± a
2
dx =
x
2

x
2
± a
2
±
a
2
2
ln |x +

x
2
± a
2
| + C
Ví dụ 3.21 Tính tích phân bất định


dx
2(1 +
√
x)
Giải. Đặt x = t
2
thì dx = 2dt. Vậy

dx
2(1 +
√
x)
=

2tdt
2(1 + t)
=

dt −

dt
t + 1
= t − ln |t + 1|+ C
cuối cùng

dx
2(1 +
√
x)
=

√
x − ln(
√
x + 1) + C
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định 60
Ví dụ 3.22 Tính tích phân bất định
I =

dx
(1 + x
2
)
2
Giải. Đặt x = tan t thì dx =
dt
cos
2
t
và 1 + x
2
=
1
cos
2
t
Vậy
I =


cos
2
tdt =
1
2

(1 + cos 2t)dt =
1
2
(t +
sin 2t
2
) + C
Quay trở về biến x

dx
(1 + x
2
)
2
=
1
2

arctan x +
1
2
2x
1 + x
2


+ C
hay là

dx
(1 + x
2
)
2
=
1
2

arctan x +
x
1 + x
2

+ C
Chú ý 3.3 Tổng quát đối với tích phân
I
n
=

dx
(a
2
+ x
2
)

n
thì ta dùng phép đổi biến x = a tan t. Hơn nữa ta có công thức truy hồi

I
n+1
=
1
2na
2

x
(x
2
+a
2
)
n
+ (2n −1)I
n

I
1
=
1
a
arctan
x
a
+ C
Thật vậy

I
n
=

dx
(x
2
+ a
2
)
n
=
x
(x
2
+ a
2
)
n
−

xd

1
(x
2
+ a
2
)
n


=
x
(x
2
+ a
2
)
n
+

2nx
2
(x
2
+ a
2
)
n+1
dx
=
x
(x
2
+ a
2
)
n
+ 2n



dx
(x
2
+ a
2
)
n
− a
2

dx
(x
2
+ a
2
)
n+1

=
x
(x
2
+ a
2
)
n
+ 2n

I

n
− a
2
I
n+1

Từ đó suy ra
I
n+1
=
1
2na
2

x
(x
2
+ a
2
)
n
+ (2n −1)I
n

TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

3.2. Các phương pháp tính tích phân bất định 61
Ví dụ 3.23 Tính tích phân bất định

e

2x
1 + e
x
dx
Giải. Đặt e
x
= t thì x = ln t nên dx = (dt)/t. Vậy

e
2x
1 + e
x
dx =

t
2
1 + t
dt
t
=

t
t + 1
dt =


1 −
1
t + 1


dt = t −ln |1 + t| + C
Cuối cùng

e
2x
1 + e
x
dx = e
x
− ln(1 + e
x
) + C
Chú ý 3.4 Nói chung dạng

R(e
x
)dx trong đó R(t) là hàm hữu tỉ thì đặt e
x
= t.
Bảng tích phân mở rộng.
1.

x
α
dx =
x
α+1
α + 1
+ C, α = 1
2.


dx
x
= ln |x| + C
3.

a
x
dx =
a
x
ln a
+ C
4.

sin xdx = −cos x + C
5.

cos xdx = sin x + C
6.

dx
cos
2
x
= tan x + C
7.

dx
sin

2
x
= −cot x + C
8.

dx
√
a
2
− x
2
= arcsin
x
a
+ C = −arccos
x
a
+ C, a > 0
9.

dx
a
2
+ x
2
=
1
a
arctan
x

a
+ C = −
1
a
arccot
x
a
+ C
10.

dx
a
2
− x
2
=
1
2a
ln




a + x
a − x




+ C, a = 0

11.

dx
√
x
2
± a
2
= ln |x +

x
2
± a
2
| + C, a > 0
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm 62
12.


a
2
− x
2
dx =
x
2

a

2
− x
2
+
a
2
2
arcsin
x
a
+ C, a > 0
13.


x
2
± a
2
dx =
x
2

x
2
± a
2
±
a
2
2

ln |x +

x
2
± a
2
| + C
3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm
Định nghĩa 3.3 Hàm hữu tỉ đơn giản. Hàm hữu tỉ đơn giản hay phân số hữu
tỉ đơn giản có dạng:
1.
A
(x − a)
k
, k ∈ N
∗
2.
Mx + N
(x
2
+ px + q)
k
, p
2
− 4q < 0 (đk đó là đk để mẫu vô nghiệm)
Tích phân của các hàm hữu tỉ đơn giản.
1.
A
(x − a)
k

, k ∈ N
∗
• Khi k = 1 thì ta có

A
x − a
dx = A ln |x − a| + C
• Khi k ≥ 2 thì ta có

A
(x − a)
k
dx =
A
1 − k
1
(x − a)
k−1
+ C
2.
Mx + N
(x
2
+ px + q)
k
, p
2
− 4q < 0
Ta có x
2

+px+q = (x+
p
2
)
2
+(q −
p
2
4
) = t
2
+a
2
trong đó t = x +
p
2
, a
2
= q −
p
2
4
.

Mx + N
(x
2
+ px + q)
k
dx =


M(t −
p
2
) + N
(t
2
+ a
2
)
k
dt
= M

tdt
(t
2
+ a
2
)
k
+ (N −
Mp
2
)

dt
(t
2
+ a

2
)
k
=
M
2
1
1 − k
1
(t
2
+ a
2
)
k−1
+ (N −
Mp
2
)I
k
Ví dụ 3.24 Tính tích phân
I =

3x + 2
(x
2
+ x + 1)
2
dx
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm 63
Giải.

3x + 2
(x
2
+ x + 1)
2
dx =
3
2

2x + 1
(x
2
+ x + 1)
2
dx +
1
2

d

x +
1
2




x +
1
2

2
+

√
3
2

2

2
= −
3
2
1
x
2
+ x + 1
+
1
2

dt
(t
2
+ α
2

)
2
trong đó t = x +
1
2
và α =
√
3
2
.
Ta tính
I
1
=

dt
(t
2
+ α
2
)
2
Đặt t = α tan u thì dt =
αdu
cos
2
u
và
1
(t

2
+α
2
)
2
=
cos
4
u
α
4
. Từ đó ta có
I
1
=
1
α
3

cos
2
udu =
1
α
3

1 + cos 2u
2
du =
1

2α
3

u +
sin 2u
2

+ C
=
1
2α
3

u +
tan u
1 + tan
2
u

=
1
2α
3

arctan
t
α
+
t
α

1 +

t
α

2

=
1
2α
3

arctan
t
α
+
αt
α
2
+ t
2

=
1
2

√
3
2


3

arctan
x +
1
2
√
3
2
+
√
3
2
(x +
1
2
)
3
4
+ (x +
1
2
)

+ C
=
4
3
√
3


arctan
2x + 1
√
3
+
√
3
4
2x + 1
x
2
+ x + 1

+ C
Cuối cùng
I = −
3
2
1
x
2
+ x + 1
+
2x + 1
6(x
2
+ x + 1)
+
2

3
√
3
arctan
2x + 1
√
3
+ C
=
x − 4
3(x
2
+ x + 1)
+
2
√
3
arctan
2x + 1
√
3
+ C
Định nghĩa 3.4 Hàm hữu tỉ. Hàm hữu tỉ là hàm có dạng
f(x) =
P
n
(x)
Q
m
(x)

trong đó P
n
(x), Q
m
(x) là các đa thức tương ứng có bậc m, n và không có nghiệm
chung.
• Nếu n < m thì f(x) gọi là hàm hữu tỉ thực sự.
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm 64
• Nếu n ≥ m thì f(x) là hàm hữu tỉ không thực sự. Khi đó nó là tổng của một
đa thức và một hàm hữu tỉ thực sự.
Chú ý 3.5 Một hàm hữu tỉ thực sự có thể phân tích thành tổng những hàm hữu tỉ
đơn giản.
Dạng phân tích
• Mỗi thừa số của mẫu số có dạng (x + a)
k
tương ứng với tổng của n phân thức
đơn giản dạng 1.
A
1
x + a
+
A
2
(x + a)
2
+ +
A
k

(x + a)
k
• Mỗi thừa số của mẫu số dạng (x
2
+ px + q)
k
, p
2
− 4q < 0 tương ứng với tổng
của n phân thức đơn giản loại 2.
M
1
x + N
1
x
2
+ px + q
+
M
2
x + N
2
(x
2
+ px + q)
2
+ +
M
k
x + N

k
(x
2
+ px + q)
k
Để tính các hệ số A
i
, M
i
, N
i
, i = 1, 2, , k thì ta dùng phương pháp so sánh các hệ
số của luỹ thừa cùng bậc ở hai vế hoặc cho x một số các giá trị đặc biệt.
Ví dụ 3.25 Phân tích thành tổng các phân thức đơn giản
f(x) =
2x
2
+ 3x −2
(x + 1)
2
(x
2
+ x + 1)
Giải. Phân tích f(x) dưới dạng
f(x) =
A
x + 1
+
B
(x + 1)

2
+
Cx + D
x
2
+ x + 1
hay là 2x
2
+ 3x −2 = A(x + 1)(x
2
+ x + 1) + B(x
2
+ x + 1) + (Cx + D)(x + 1)
2
. Cho
x = −1 thì B = −3.
So sánh các hệ số của x
3
, x
2
, x
0
ở hai vế ta được






x

3
: 0 = A + C
x
2
: 2 = 2A + B + 2C + D
x
0
: −2 = A + B + D
Từ đó suy ra A = −4, B = −3, C = 4, D = 5. Vậy
f(x) = −
4
x + 1
−
3
(x + 1)
2
+
4x + 5
x
2
+ x + 1
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm 65
Ví dụ 3.26 Tìm tích phân bất định

x
2
+ 2x −1
2x

3
+ 3x
2
− 2x
Giải. Ta có
2x
3
+ 3x
2
− 2x = x(2x −1)(x + 2)
Xét dạng phân tích
x
2
+ 2x −1
2x
3
+ 3x
2
− 2x
=
A
x
+
B
2x − 1
+
C
x + 2
Quy đồng mẫu số ta được
x

2
+ 2x −1 = A(2x −1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(2x −1)
Cho x = 0 suy ra A =
1
2
Cho x = −2 suy ra C = −
1
10
Cho x =
1
2
suy ra B =
1
5
Vậy

x
2
+ 2x −1
2x
3
+ 3x
2
− 2x
=


1
2
1

x
+
1
5
1
2x − 1
−
1
10
1
x + 2

dx
=
1
2
ln |x| +
1
10
ln |2x − 1|−
1
10
ln |x + 2|+ C
Tích phân của hàm vô tỉ.
Dạng

dx
√
ax
2

+ bx + c
đưa về tích phân dạng

dt
√
α
2
− t
2
hay

dt
√
t
2
± α
2
. Đây là các tích phân ta đã
biết cách tính.
Ví dụ 3.27

dx
√
2x
2
− x −3
=
1
√
2


d(x −
1
4
)


x −
1
4

2
−

5
4

2
=
1
√
2
ln








x −
1
4

+


x −
1
4

2
−

5
4

2






+ C
Ví dụ 3.28

dx
√
1 + 2x −x

2
=

d(x − 1)

(
√
2)
2
− (x −1)
2
= arcsin
x − 1
√
2
+ C
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm 66
Dạng


ax
2
+ bx + cdx
đưa về các tích phân

√
α
2

− t
2
dt hay

√
t
2
± α
2
dt. Đây là các tích phân ta đã biết
cách tính.
Ví dụ 3.29


2x
2
− x −3dx =
√
2



x −
1
4

2
−

5

4

2
d

x −
1
4

=
√
2



x −
1
4



x −
1
4

2
−

5
4


2
2
−
(
5
4
)
2
2
ln |(x +
1
4
) +


x −
1
4

2
−

5
4

2
| + C



=
√
2
2


x −
1
4


x
2
−
x
2
−
3
2
−
25
16
ln





x −
1

4
+

x
2
−
x
2
−
3
2






+ C
Ví dụ 3.30


1 − 2x −x
2
dx =


2 − (x −1)
2
d(x − 1)
=

(x − 1)
√
1 + 2x −x
2
2
+ arcsin
x − 1
√
2
+ C
Dạng

mx + n
√
ax
2
+ bx + c
dx
Biến đổi tử số thành đạo hàm của mẫu số thì tích phân đã cho được đưa về
m
2a

2ax + b
√
ax
2
+ bx + c
dx +

n −

mb
2a


dx
√
ax
2
+ bx + c
Đây là các tích phân ta đã biết cách tính.
Ví dụ 3.31

(2x + 3)dx
√
x
2
− 2x + 2
=

(2x − 2)dx
√
x
2
− 2x + 2
+ 5

dx

(x − 1)
2

+ 1
= 2

x
2
− 2x + 2 + 5 ln |x − 1 +

x
2
− 2x + 1|+ C
Dạng

dx
(x − α)
k
√
ax
2
+ bx + c
Đặt x −α =
1
t
sẽ dẫn đến tích phân dạng ở trên.
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm 67
Ví dụ 3.32 Tính tích phân
I =

dx

x
√
2x
2
− 2x + 1
với x > 0.
Giải. Đặt x =
1
t
khi đó t > 0 và dx = −
dt
t
2
. Vậy
I =

1
1
t

2
t
2
−
2
t
+ 1
−dt
t
2

= −

dt
√
t
2
− 2t + 2
= −

dt

(t − 1)
2
+ 1
= −ln |t −1 +

t
2
− 2t + 2|+ C
= −ln





1 − x +
√
2x
2
− 2x + 1

x





+ C
Dạng

R

x,

ax
2
+ bx + c

dx
Dùng phép thế Euler.
• Nếu a > 0 thì đặt
√
ax
2
+ bx + c = t ±
√
ax. Khi đó chẳng hạn trong trường
hợp dấu trừ thì bx + c = t
2
− 2
√

atx hay
x =
t
2
− c
2
√
at + b
suy ra
dx = 2
√
at
2
+ bt + c
√
a
(2
√
at + b)
2
dt
và

ax
2
+ bx + c =
√
at
2
+ bt + c

√
a
2
√
at + b
Thế và tích phân đã cho thì ta được tích phân của hàm hữu tỉ.
• Nếu c > 0 thì đặt
√
ax
2
+ bx + c = xt ±
√
c. Khi đó chẳng hạn trong trường
hợp dấu cộng thì ax + b = xt
2
+ 2
√
ct hay
x =
2
√
ct − b
a − t
2
suy ra
dx = 2
√
ct
2
− bt +

√
c
(a − t
2
)
2
dt
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm 68
và

ax
2
+ bx + c =
√
ct
2
− bt +
√
c
a − t
2
Thay vào tích phân ban đầu ta được tích phân của hàm số hữu tỉ.
• Nếu tam thức ax
2
+ bx + c có các nghiệm thực khác nhau λ và µ nghĩa là
ax
2
+ bx + c = a(x − λ)(x − µ) thì ta đặt ax

2
+ bx + c = t(x − λ). Khi đó
a(x − µ) = t
2
(x − λ) nên
x =
aµ + λt
2
t
2
− a
, dx =
2a(λ − µ)t
(t
2
− a
2
)
2
dt,

ax
2
+ bx + c =
a(λ − µ)t
t
2
− a
Thế vào tích phân ban đầu sẽ dẫn đến tích phân của hàm hữu tỉ.
Ví dụ 3.33 Tính tích phân

I =

dx
x +
√
x
2
− x + 1
Giải. Trường hợp này a = 1 > 0. Đặt
√
x
2
− x + 1 = t −x. Khi đó
x =
t
2
− 1
2t − 1
, dx = 2
t
2
− t + 1
(2t − 1)
2
dt, x +

x
2
− x + 1 = t
Thay vào tích phân ban đầu ta được

I =

2t
2
− 2t + 2
t(2t − 1)
2
dt
=


2
t
−
3
2t − 1
+
3
(2t − 1)
2

dt
= −
3
2
1
2t − 1
+ 2 ln |t|−
3
2

ln |2t − 1|+ C
= −
3
2
1
2x + 2
√
x
2
− x + 1 −1
−
3
2
ln |2x + 2

x
2
− x + 1 −1| + 2 ln |x +

x
2
− x + 1|
Chú ý 3.6 Với tích phân trên vì c = 1 > 0 nên ta có thể đặt
√
x
2
− x + 1 = tx −1.
Khi đó
x =
2t − 1

t
2
− 1
, dx = −2
t
2
− t + 1
(t
2
− 1)
2
dt,

x
2
− x + 1 =
t
2
− t + 1
t
2
− 1
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm 69
Thay vào tích phân ban đầu ta được
I =

−2t
2

+ 2t −2
t(t − 1)(t + 1)
2
dt
=


2
t
−
1
2
1
t − 1
−
3
2
1
t + 1
−
3
(t + 1)
2

dt
=
3
t + 1
+ 2 ln |t|−
1

2
ln |t − 1|−
3
2
ln |t + 1|+ C

chú ý t =
√
x
2
− x + 1 + 1
x
=
3x
√
x
2
− x + 1
+ 2 ln |

x
2
− x + 1 + 1| −
1
2
|

x
2
− x + 1 −x + 1|−

−
3
2
ln |

x
2
− x + 1 + x + 1| + C

Nếu thay C

= C +
3
2
thì hai kết quả trên là như nhau.
Ví dụ 3.34 Tính tích phân
I =

xdx

(7x − 10 −x
2
)
3
Giải. Vì 7x −10 −x
2
= (x −2)(5 −x) nên ta đặt
√
7x − 10 −x
2

= t(x −2). Khi đó
ta có
x =
5 + 2t
2
1 + t
2
, dx = −
6tdt
(1 + t
2
)
2
,

7x − 10 −x
2
=
3t
1 + t
2
Thay vào tích phân ban đầu ta được
I =
2
9


5
t
2

+ 2

dt =
2
9

−
5
t
+ 2t

+ C
=
2
9

5(x − 2)
√
7x − 10 −x
2
−
2
√
7x − 10 −x
2
x − 2

+ C do t =
√
7x − 10 −x

2
x − 2
=
2
9
7x − 20
√
7x − 10 −x
2
+ C
Chú ý 3.7 Ta có thể đưa tích phân

R

x,
√
ax
2
+ bx + c

dx về một trong ba dạng
1.

R(u,

α
2
− u
2
)du. Đặt u = α sin t, −

π
2
≤ t ≤
π
2
.
2.

R(u,

α
2
+ u
2
)du. Đặt u = α tan t, −
π
2
< t <
π
2
.
3.

R(u,

u
2
− α
2
)du. Đặt u =

α
cos t
, t ∈ (0,
π
2
) ∪ (
π
2
, π).
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm 70
Ví dụ 3.35 Tính tích phân
I =

dx
x
√
x
2
+ 2x + 2
Giải. Vì x
2
+ 2x + 2 = (x + 1)
2
+ 1 nên ta đổi biến x + 1 = tan t, −
π
2
< t <
π

2
. Khi
đó
I =

dt
sin t − cos t
=
1
√
2

dt
sin

t −
π
4

=
1
√
2
ln




tan


t
2
−
π
8





+ C với t = arctan(x + 1)
Dạng

R(x,
n

ax + b
cx + d
)dx
Đổi biến
n

ax + b
cx + d
= t
Ví dụ 3.36 Tính tích phân
I =

dx
3


(x − 1)(x + 1)
2
Giải. Ta có
I =

3

x + 1
x − 1
dx
x + 1
Đặt
3

x + 1
x − 1
= t,
x + 1
x − 1
= t
3
, dx =
−6t
2
dt
(t
3
− 1)
2

, x + 1 =
2t
3
t
3
− 1
Thay vào tích phân ban đầu ta được
I =

t
t
3
− 1
2t
3
−6t
2
dt
(t
3
− 1)
2
= −3

dt
t
3
− 1
= −


dt
t − 1
+

(t + 2)dt
t
2
+ t + 1
= −ln |t −1|+
1
2

2t + 1
t
2
+ t + 1
dt −
3
2

d(t +
1
2
)
(t +
1
2
)
2
+


√
3
2

2
= −ln |t −1|+
1
2
ln(t
2
+ t + 1) +
3
2
1
√
3/2
arctan
t + 1/2
√
3/2
+ C
= ln(
√
t
2
+ t + 1
|t − 1|
) +
√

3 arctan
2t + 1
√
3
+ C với t =
3

x + 1
x − 1
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm 71
Tích phân của các hàm lượng giác. Dạng

R(sin x, cos x)dx
trong đó R là hàm hữu tỉ đối với sin x và cos x.
Phương pháp chung. Đổi biến tan
x
2
= t ta có
x
2
= arctan t, x = 2 arctan t, dx =
2dt
1 + t
2
Mặt khác
sin x =
2t
1 + t

2
, cos x =
1 − t
2
1 + t
2
Thay vào tích phân ban đầu ta sẽ được tích phân của hàm hữu tỉ theo biến t.
Ví dụ 3.37 Tính tích phân
I =

dx
1 + 2 sin x − cos x
Giải. Đổi biến tan
x
2
= t ta có
x
2
= arctan t, x = 2 arctan t, dx =
2dt
1 + t
2
Mặt khác
sin x =
2t
1 + t
2
, cos x =
1 − t
2

1 + t
2
Thay vào tích phân ban đầu ta sẽ được
I =

dt
(t + 2)t
=
1
2


1
t
−
1
t + 2

dt =
1
2
ln




t
t + 2





+ C
=
1
2
ln




tan
x
2
tan
x
2
+ 2




+ C
Chú ý 3.8 Các trường hợp riêng
1. Nếu R là hàm chẵn đối với sin x và cos x thì đặt t = tan x.
2. Nếu R là lẻ đối với sin x thì đặt t = cos x.
3. Nếu R là lẻ đối với cos x thì đặt t = sin x.
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

3.3. Tích phân bất định của một vài lớp hàm 72

Ví dụ 3.38 Tính tích phân
I =

2 + sin
2
x
2 − cos
2
x
dx
Giải. Hàm dưới dấu tích phân là hàm hữu tỉ đối với sin x và cos x hơn nữa nó chẵn
đối với cả sin x và cos x nên ta đặt t = tan x hay là x = arctan t suy ra dx =
dt
1+t
2
.
Hơn nữa
2 + sin
2
x
2 − cos
2
x
=
2(1 + tan
2
x) + tan
2
x
2(1 + tan

2
x) − 1
=
2 + 3t
2
2t
2
+ 1
Thay vào tích phân ban đầu ta được
I =

(2 + 3t
2
)dt
(2t
2
+ 1)(1 + t
2
)
=


1
2t
2
+ 1
+
1
1 + t
2


dt
=
1
√
2
arctan(t
√
2) + arctan t + C
=
1
√
2
arctan(
√
2 tan x) + x + C
Ví dụ 3.39 Tính tích phân
I =

cos
3
x
1 + sin x
dx
Giải. Hàm dưới dấu tích phân là hữu tỉ đối với sin x và cosx hơn nữa nó lẻ đối với
cos x nên đặt sin x = t. Vậy
I =

(1 − sin
2

x)d(sin x)
1 + sin x
=

(1 − t)dt
= t −
t
2
2
+ C = sin x −
sin
2
x
2
+ C
Dạng vi phân nhị thức. Xét tích phân

x
m
(a + bx
n
)
p
dx trong đó a, b, m, n, p
là các hằng số a, b = 0, m, n, p ∈ Q.
Cách tính
1. Nếu p ∈ Z thì đặt x = u
s
trong đó s là mẫu số chung của m, n.
2. Nếu

m+1
n
∈ Z đặt a + bx
n
= u
s
trong đó s là mẫu số của p.
3. Nếu
m+1
n
+ p ∈ Z đặt ax
−n
+ b = u
s
trong đó s là mẫu số của p.
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

3.4. Tích phân xác định 73
Ngoài 3 trường hợp trên Trê-bư-sép đã chứng minh được là tích phân dạng trên
không biểu thị qua các hàm số sơ cấp.
Ví dụ 3.40 Tính tích phân
I =

dx
3
√
x
2
(1 +
3

√
x
2
)
Giải. Ta có
I =

x
−2/3
(1 + x
2/3
)
−1
dx
Đây là tích phân dạng thứ nhất với m = −
2
3
, n =
2
3
, p = −1. Đặt x = z
3/2
thì tích
phân đã cho viết lại là
I =
3
2

z
−1/2

(1 + z)
−1
dz
vì p = −1 và mẫu chung của m và n là 2 nên đặt z = t
2
. Thay vào tích phân đã cho
ta được
I = 3

dt
1 + t
2
= 3 arctan t + C
Trở lại biến x ta được
I = 3 arctan
3
√
x + C
3.4. Tích phân xác định
Bài toán diện tích miền phẳng. Tìm diện tích miền
S nằm dưới đường y = f(x) từ a đến b như hình vẽ.
Nghĩa là biên của S là đồ thị của hàm liên tục f (f(x) ≥
0), các đường x = a, x = b và trục Ox. Ta sẽ xét một
ví dụ cụ thể đối với hàm f.
Areas and Distances
●●●●●●●●●●●●●●●
In this section we discover that in attempting to find the area under a curve or the dis-
tance traveled by a car, we end up with the same special type of limit.
The Area Problem
We begin by attempting to solve the area problem: Find the area of the region that

lies under the curve from to . This means that , illustrated in Figure 1, is
bounded by the graph of a continuous function [where ], the vertical lines
and , and the -axis.
In trying to solve the area problem we have to ask ourselves: What is the meaning
of the word area? This question is easy to answer for regions with straight sides. For
a rectangle, the area is defined as the product of the length and the width. The area of
a triangle is half the base times the height. The area of a polygon is found by dividing
it into triangles (as in Figure 2) and adding the areas of the triangles.
FIGURE 2
h
b
A=

bh
A¡
A™
A£
A¢
A=A¡+A™+A£+A¢
A=lw
l
w
1
2
FIGURE 1
S=s(x,y)|a¯x¯b, 0¯y¯ƒd
0
y
ab
x

y=ƒ
S
x=a
x=b
xx ෇ bx ෇ a
f ͑x͒ ജ 0f
Sbay ෇ f ͑x͒
S
5.1
345
In Chapter 2 we used the tangent and velocity problems
to introduce the derivative, which is the central idea in
differential calculus. In much the same way, this chapter
starts with the area and distance problems and uses
them to formulate the idea of a definite integral, which
is the basic concept of integral calculus. We will see in
Chapters 6 and 7 how to use the integral to solve prob-
lems concerning volumes, lengths of curves, population
predictions, cardiac output, forces on a dam, work,
consumer surplus, and baseball, among many others.
There is a connection between integral calculus and
differential calculus. The Fundamental Theorem of
Calculus relates the integral to the derivative, and we
will see in this chapter that it greatly simplifies the solu-
tion of many problems.
▲ Now is a good time to read (or
reread) A Preview of Calculus (see
page 2). It discusses the unifying ideas
of calculus and helps put in perspective
where we have been and where we

are going.
Giả sử f (x) = x
2
, a = 0 và b = 1. Gọi A là diện tích của miền S. Chia S thành 4
phần S
1
, S
2
, S
3
và S
4
bởi các đường x = 1/4, x = 1/2 và x = 3/4. Bây giờ ta xét
các hình chữ nhật xấp xỉ (xấp xỉ trên) của các S
i
mà chiều cao lần lượt là các giá
trị của f(x) = x
2
tại các điểm cuối của các đoạn [0, 1/4], [1/4, 1/2], [1/2, 3/4] và
[3/4, 1]. Các hình chữ nhật đó có chiều rộng là 1/4. Đặt R
4
là tổng diện tích của
các hình chữ nhật trên
However, it is not so easy to find the area of a region with curved sides. We all have
an intuitive idea of what the area of a region is. But part of the area problem is to make
this intuitive idea precise by giving an exact definition of area.
Recall that in defining a tangent we first approximated the slope of the tangent line
by slopes of secant lines and then we took the limit of these approximations. We pur-
sue a similar idea for areas. We first approximate the region by rectangles and then
we take the limit of the areas of these rectangles as we increase the number of rect-

angles. The following example illustrates the procedure.
EXAMPLE 1 Use rectangles to estimate the area under the parabola from 0 to 1
(the parabolic region S illustrated in Figure 3).
SOLUTION We first notice that the area of S must be somewhere between 0 and 1
because S is contained in a square with side length 1, but we can certainly do better
than that. Suppose we divide S into four strips , , , and by drawing the ver-
tical lines , , and as in Figure 4(a). We can approximate each strip
by a rectangle whose base is the same as the strip and whose height is the same as
the right edge of the strip [see Figure 4(b)]. In other words, the heights of these
rectangles are the values of the function at the right endpoints of the
subintervals , , , and .
Each rectangle has width and the heights are , , , and . If we let
be the sum of the areas of these approximating rectangles, we get
R
4
෇
1
4
ؒ
(
1
4
)
2
ϩ
1
4
ؒ
(
1

2
)
2
ϩ
1
4
ؒ
(
3
4
)
2
ϩ
1
4
ؒ 1
2
෇
15
32
෇ 0.46875
R
4
1
2
(
3
4
)
2

(
1
2
)
2
(
1
4
)
21
4
FIGURE 4
(b)
0
y
x
1
(1,1)
3
4
1
2
1
4
(a)
0
y
x
1
(1,1)

y=≈
3
4
1
2
1
4
S¢
S£
S™
S¡
[
3
4
, 1
][
1
2
,
3
4
][
1
4
,
1
2
][
0,
1

4
]
f ͑x͒ ෇ x
2
x ෇
3
4
x ෇
1
2
x ෇
1
4
S
4
S
3
S
2
S
1
FIGURE 3
0
y
x
1
(1,1)
y=≈
S
y ෇ x

2
S
346 ■ CHAPTER 5 INTEGRALS
Resources / Module 6
/ What Is Area?
/ Estimating Area under a Parabola
Try placing rectangles to estimate the area.
However, it is not so easy to find the area of a region with curved sides. We all have
an intuitive idea of what the area of a region is. But part of the area problem is to make
this intuitive idea precise by giving an exact definition of area.
Recall that in defining a tangent we first approximated the slope of the tangent line
by slopes of secant lines and then we took the limit of these approximations. We pur-
sue a similar idea for areas. We first approximate the region by rectangles and then
we take the limit of the areas of these rectangles as we increase the number of rect-
angles. The following example illustrates the procedure.
EXAMPLE 1 Use rectangles to estimate the area under the parabola from 0 to 1
(the parabolic region S illustrated in Figure 3).
SOLUTION We first notice that the area of S must be somewhere between 0 and 1
because S is contained in a square with side length 1, but we can certainly do better
than that. Suppose we divide S into four strips , , , and by drawing the ver-
tical lines , , and as in Figure 4(a). We can approximate each strip
by a rectangle whose base is the same as the strip and whose height is the same as
the right edge of the strip [see Figure 4(b)]. In other words, the heights of these
rectangles are the values of the function at the right endpoints of the
subintervals , , , and .
Each rectangle has width and the heights are , , , and . If we let
be the sum of the areas of these approximating rectangles, we get
R
4
෇

1
4
ؒ
(
1
4
)
2
ϩ
1
4
ؒ
(
1
2
)
2
ϩ
1
4
ؒ
(
3
4
)
2
ϩ
1
4
ؒ 1

2
෇
15
32
෇ 0.46875
R
4
1
2
(
3
4
)
2
(
1
2
)
2
(
1
4
)
21
4
FIGURE 4
(b)
0
y
x

1
(1,1)
3
4
1
2
1
4
(a)
0
y
x
1
(1,1)
y=≈
3
4
1
2
1
4
S¢
S£
S™
S¡
[
3
4
, 1
][

1
2
,
3
4
][
1
4
,
1
2
][
0,
1
4
]
f ͑x͒ ෇ x
2
x ෇
3
4
x ෇
1
2
x ෇
1
4
S
4
S

3
S
2
S
1
FIGURE 3
0
y
x
1
(1,1)
y=≈
S
y ෇ x
2
S
346 ■ CHAPTER 5 INTEGRALS
Resources / Module 6
/ What Is Area?
/ Estimating Area under a Parabola
Try placing rectangles to estimate the area.
From Figure 4(b) we see that the area A of S is less than , so
Instead of using the rectangles in Figure 4(b) we could use the smaller rectangles
in Figure 5 whose heights are the values of at the left-hand endpoints of the sub-
intervals. (The leftmost rectangle has collapsed because its height is 0.) The sum of
the areas of these approximating rectangles is
We see that the area of is larger than , so we have lower and upper estimates
for :
We can repeat this procedure with a larger number of strips. Figure 6 shows what
happens when we divide the region into eight strips of equal width.

By computing the sum of the areas of the smaller rectangles and the sum of
the areas of the larger rectangles , we obtain better lower and upper estimates
for :
So one possible answer to the question is to say that the true area of lies some-
where between 0.2734375 and 0.3984375.
We could obtain better estimates by increasing the number of strips. The table
at the left shows the results of similar calculations (with a computer) using rect-
angles whose heights are found with left-hand endpoints or right-hand end-
points . In particular, we see by using 50 strips that the area lies between
0.3234 and 0.3434. With 1000 strips we narrow it down even more: lies between
0.3328335 and 0.3338335. A good estimate is obtained by averaging these
numbers: .
From the values in the table it looks as if is approaching as increases. We
confirm this in the next example.
n
1
3
R
n
A Ϸ 0.3333335
A
͑R
n
͒
͑L
n
͒
n
S
0.2734375

Ͻ
A
Ͻ
0.3984375
A
͑R
8
͒
͑L
8
͒
FIGURE 6
Approximating S with eight rectangles
(a) Using left endpoints (b) Using right endpoints
0
y
x
1
(1,1)
1
8
0
y
x
1
1
8
y=≈
(1,1)
S

0.21875
Ͻ
A
Ͻ
0.46875
A
L
4
S
L
4
෇
1
4
ؒ 0
2
ϩ
1
4
ؒ
(
1
4
)
2
ϩ
1
4
ؒ
(

1
2
)
2
ϩ
1
4
ؒ
(
3
4
)
2
෇
7
32
෇ 0.21875
f
A
Ͻ
0.46875
R
4
SECTION 5.1 AREAS AND DISTANCES ◆ 347
0
y
x
1
(1,1)
3

4
1
2
1
4
y=≈
FIGURE 5
n
10 0.2850000 0.3850000
20 0.3087500 0.3587500
30 0.3168519 0.3501852
50 0.3234000 0.3434000
100 0.3283500 0.3383500
1000 0.3328335 0.3338335
R
n
L
n
Khi đó
R
4
=
1
4

1
4

2
+

1
4

1
2

2
+
1
4

3
4

2
+
1
4
1
2
=
15
32
= 0.46875
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

3.4. Tích phân xác định 74
Tương tự ta xét các hình chữ nhật xấp xỉ dưới ở đó chiều cao lần lượt là các giá
trị của f(x) = x
2

tại các điểm đầu của các đoạn [0, 1/4], [1/4, 1/2], [1/2, 3/4] và
[3/4, 1]. Đặt L
4
là tổng diện tích của các hình chữ nhật đó thì
L
4
=
1
4
0
2
+
1
4

1
4

2
+
1
4

1
2

2
+
1
4


3
4

2
=
7
32
= 0.21875
Nhận xét rằng 0.21875 < A < 0.46875. Ta có thể tiếp tục chia nhỏ đoạn [0, 1] thành
n = 10, 30 và 50 điểm chia ta nhận được các tổng trên R
10
= 0.385, R
30
= 0.3502,
R
50
= 0.3434 và các tổng dưới L
10
= 0.285, L
30
= 0.3169, L
50
= 0.3234.
It can be shown that the lower approximating sums also approach , that is,
From Figures 8 and 9 it appears that, as increases, both and become better and
better approximations to the area of . Therefore, we define the area to be the limit
of the sums of the areas of the approximating rectangles, that is,
Let’s apply the idea of Examples 1 and 2 to the more general region of Figure 1.
We start by subdividing into strips of equal width as in Figure 10.

0
y
x
ab
⁄¤‹ x
i-1
x
i
x
n-1
.. ..
y=ƒ
S¡ S™ S£
S
i
S
n
FIGURE 10
S
1
, S
2
, , S
nnS
S
FIGURE 8
1
0x
y
n=50 R∞¸=0.3434

1
0x
y
n=30 R£¸Å0.3502
1
0x
y
n=10 R¡¸=0.385
1
0x
y
n=10 L¡¸=0.285
1
0x
y
n=30 L£¸Å0.3169
1
0
x
y
n=50 L∞¸=0.3234
FIGURE 9
A ෇ lim
n

l

ϱ
R
n

෇ lim
n

l

ϱ
L
n
෇
1
3
AS
R
n
L
n
n
lim
n

l

ϱ
L
n
෇
1
3
1
3

SECTION 5.1 AREAS AND DISTANCES ◆ 349
It can be shown that the lower approximating sums also approach , that is,
From Figures 8 and 9 it appears that, as increases, both and become better and
better approximations to the area of . Therefore, we define the area to be the limit
of the sums of the areas of the approximating rectangles, that is,
Let’s apply the idea of Examples 1 and 2 to the more general region of Figure 1.
We start by subdividing into strips of equal width as in Figure 10.
0
y
x
ab
⁄¤‹ x
i-1
x
i
x
n-1
.. ..
y=ƒ
S¡ S™ S£
S
i
S
n
FIGURE 10
S
1
, S
2
, , S

nnS
S
FIGURE 8
1
0x
y
n=50 R∞¸=0.3434
1
0x
y
n=30 R£¸Å0.3502
1
0x
y
n=10 R¡¸=0.385
1
0x
y
n=10 L¡¸=0.285
1
0x
y
n=30 L£¸Å0.3169
1
0
x
y
n=50 L∞¸=0.3234
FIGURE 9
A ෇ lim

n

l

ϱ
R
n
෇ lim
n

l

ϱ
L
n
෇
1
3
AS
R
n
L
n
n
lim
n

l

ϱ

L
n
෇
1
3
1
3
SECTION 5.1 AREAS AND DISTANCES ◆ 349
Tổng quát ta có thể tính được
R
n
=
1
n

1
n

2
+
1
n

2
n

2
+
1
n


3
n

2
+ +
1
n

n
n

2
=
1
n
3
(1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ + n
2
) =
1
n
3
n(n + 1)(2n + 1)

6
=
(n + 1)(2n + 1)
6n
2
Cho n → +∞ ta có
lim
n→+∞
R
n
=
1
3
Tương tự ta cũng có
lim
n→+∞
L
n
=
1
3
Mặt khác ta thấy rằng L
n
< A < R
n
từ đó suy ra A =
1
3
.
Định nghĩa 3.5 Cho hàm số f(x) xác định và bị chặn trên [a, b]

TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

3.4. Tích phân xác định 75
• Chia đoạn [a, b] thành n khoảng con một cách tuỳ ý bởi các điểm chia a = x
0
<
x
1
< x
2
< < x
n
= b.
• Trên mỗi đoạn con [x
i−1
, x
i
], i = 1, n chọn điểm ξ
i
tuỳ ý.
• Lập tổng tích phân I
n
=
n

i=1
f(ξ
i
)∆x
i

, ở đây ∆x
i
= x
i
− x
i−1
.
• Tăng số điểm chia lên vô hạn (n → +∞) sao cho max ∆x
i
→ 0. Nếu trong
quá trình đó mà I
n
dần đến một giá trị xác định I (không phụ thuộc vào việc
chia đoạn [a, b] và cách chọn điểm ξ
i
trên các đoạn con) thì I gọi là tích phân
xác định của hàm f(x) trên đoạn [a, b] và kí hiệu là
b

a
f(x)dx. Vậy
b

a
f(x)dx = lim
n→+∞
max ∆x→0
n

i=1

f(ξ
i
)∆x
i
Chú ý 3.9 Ta có các định nghĩa bổ xung
a

a
f(x)dx = 0 và
a

b
f(x)dx = −
b

a
f(x)dx, a < b
Định lý 3.2 (Định lí tồn tại). Nếu hàm f(x) liên tục trên [a, b] thì
b

a
f(x)dx tồn
tại.
Ví dụ 3.41 Dùng định nghĩa tính các tích phân xác định sau
1.
b

a
dx
2.

2

1
e
x
dx
Giải.
1.
b

a
dx = lim
n→+∞
n

i=1
∆x
i
= b − a
2. Vì hàm e
x
liên tục trên đoạn [1, 2] nên tích phân
2

1
e
x
dx tồn tại không phụ
thuộc vào cách chia đoạn [1, 2] và không phụ thuộc vào cách chọn điểm ξ
i

trên
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

3.4. Tích phân xác định 76
các đoạn con. Do đó có thể chia đoạn [1, 2] làm n phần bằng nhau nghĩa là
∆x
i
=
1
n
và các điểm chia sẽ là:
x
0
= 1, x
1
= 1 +
1
n
, x
2
= 1 +
2
n
, , x
i
= 1 +
i
n
, , x
n

= 1 +
n
n
= 2
Chọn ξ
i
= x
i
= 1 +
i
n
. Theo định nghĩa thì
2

1
e
x
dx = lim
n→+∞
n

i=1
e
1+
i
n
1
n
= lim
n→+∞

e
n

e
1
n
+ e
2
n
+ + e
n
n

= lim
n→+∞
e
n
e
1
n
(e
n
n
− 1)
e
1
n
− 1
= lim
n→+∞

e
1
n
1
n
e
1
n
− 1
e(e − 1)
= e(e − 1)
Các tính chất của tích phân xác định. Giả thiết rằng các tích phân sau đều
tồn tại thì ta có các tính chất sau
1. Tính chất cộng tính
b

a
f(x)dx =
c

a
f(x)dx +
b

c
f(x)dx
2. Tính chất tuyến tính
b

a

[λ
1
f
1
(x) + λ
2
f
2
(x)] dx = λ
1
b

a
f
1
(x)dx + λ
2
b

a
f
2
(x)dx
3. Tính chất bảo toàn thứ tự. Nếu f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b] thì
b

a
f(x)dx ≤
b


a
g(x)dx
4. Định lí giá trị trung bình. Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì tồn tại giá trị
ξ ∈ (a, b) sao cho
b

a
f(x)dx = f(ξ)(b −a)
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

3.4. Tích phân xác định 77
5. Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến lấy tích phân
b

a
f(x)dx =
b

a
f(u)du
6. Công thức đạo hàm theo cận trên
d
dx
x

a
f(t)dt = f(x)
Mở rộng ra ta có
d
dx

u(x)

a
f(t)dt = f (u(x)) u

(x)
Định lý 3.3 Định lí cơ bản. Mối liên hệ giữa tích phân xác định và nguyên hàm.
Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên [a, b] thì
b

a
f(x)dx = F (b) − F (a)
Công thức trên còn được gọi là công thức Niu-tơn - Lép-nít (Newton-Leibnitz).
Ví dụ 3.42
2

1
e
x
dx = e
x
|
2
1
= e(e − 1)
Phép đổi biến số. Giống như tích phân bất định ta có các phép đổi biến x = ϕ(t)
hoặc t = ψ(x). Chỉ khác là khi đổi biến ở tích phân xác định thì ta phải đổi cận.
Ví dụ 3.43 Tính tích phân xác định I =
2


0
√
4 − x
2
dx
Giải. Đặt x = 2 sin t, thì dx = 2 cos tdt. Ta có
√
4 − x
2
= 2|cos t| = 2 cos t. Khi
x = 0 thì t = 0 và khi x = 2 thì t =
π
2
. Thay vào tích phân đã cho ta được
I =
π
2

0
2 cos t2 cos tdt = 2
π
2

0
(1 + cos 2t)dt
= 2

t +
sin 2t
2


|
π
2
0
= π
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU

3.4. Tích phân xác định 78
Ví dụ 3.44 Tính tích phân xác định
I =
π
2

0
cos xdx
1 + sin
2
x
Giải. Đặt sin x = t thì
I =
1

0
dt
1 + t
2
= arctan t|
1
0

=
π
4
Tích phân từng phần. Giả thiết rằng u(x), v(x) khả vi trên [a, b] thì
b

a
u(x)d (v(x)) = u(x)v(x)|
b
a
−
b

a
v(x)d (u(x))
Ví dụ 3.45 Tính tích phân xác định
e

1
ln xdx
Giải.
e

1
ln xdx = x ln x|
e
1
−
e


1
x
1
x
dx = e −x|
e
1
= 1
Tích phân của hàm chẵn, hàm lẻ. Nếu hàm f(x) liên tục trên [−a, a].
1. Khi f(x) là hàm lẻ thì
a

−a
f(x)dx = 0
2. Khi f(x) là hàm chẵn thì
a

−a
f(x)dx = 2
a

0
f(x)dx
Symmetry
The next theorem uses the Substitution Rule for Definite Integrals (5) to simplify the
calculation of integrals of functions that possess symmetry properties.
Integrals of Symmetric Functions Suppose is continuous on .
(a) If f is even , then .
(b) If f is odd , then .
Proof We split the integral in two:

In the first integral on the far right side we make the substitution . Then
and when , . Therefore
and so Equation 7 becomes
(a) If is even, then so Equation 8 gives
(b) If is odd, then and so Equation 8 gives
Theorem 6 is illustrated by Figure 4. For the case where is positive and even,
part (a) says that the area under from to is twice the area from to
because of symmetry. Recall that an integral can be expressed as the area
above the -axis and below minus the area below the axis and above the
curve. Thus, part (b) says the integral is because the areas cancel.
EXAMPLE 9 Since satisfies , it is even and so
෇ 2
[
1
7
x
7
ϩ x
]
0
2
෇ 2
(
128
7
ϩ 2
)
෇
284
7

y
2
Ϫ2
͑x
6
ϩ 1͒ dx ෇ 2
y
2
0
͑x
6
ϩ 1͒ dx
f ͑Ϫx͒ ෇ f͑x͒f ͑x͒ ෇ x
6
ϩ 1
0
y ෇ f͑x͒x
x
b
a
f ͑x͒ dx
a0aϪay ෇ f͑x͒
f
y
a
Ϫa
f͑x͒ dx ෇ Ϫ
y
a

0
f ͑u͒ du ϩ
y
a
0
f ͑x͒ dx ෇ 0
f ͑Ϫu͒ ෇ Ϫf͑u͒f
y
a
Ϫa
f͑x͒ dx ෇
y
a
0
f ͑u͒ du ϩ
y
a
0
f ͑x͒ dx ෇ 2
y
a
0
f ͑x͒ dx
f ͑Ϫu͒ ෇ f͑u͒f
y
a
Ϫa
f͑x͒ dx ෇
y
a

0
f ͑Ϫu͒ du ϩ
y
a
0
f ͑x͒ dx
8
Ϫ
y
Ϫa
0
f ͑x͒ dx ෇ Ϫ
y
a
0
f ͑Ϫu͒͑Ϫdu͒ ෇
y
a
0
f ͑Ϫu͒ du
u ෇ ax ෇ Ϫadu ෇ Ϫdx
u ෇ Ϫx
y
a
Ϫa
f͑x͒ dx ෇
y
0
Ϫa
f͑x͒ dx ϩ

y
a
0
f ͑x͒ dx ෇ Ϫ
y
Ϫa
0
f ͑x͒ dx ϩ
y
a
0
f ͑x͒ dx
7
x
a
Ϫa
f ͑x͒ dx ෇ 0͓ f ͑Ϫx͒ ෇ Ϫf͑x͔͒
x
a
Ϫa
f ͑x͒ dx ෇ 2 x
a
0
f ͑x͒ dx͓ f ͑Ϫx͒ ෇ f͑x͔͒
͓Ϫa, a͔f
6
394 ■ CHAPTER 5 INTEGRALS
0
y
x

_a
a
FIGURE 4
(a)
ƒ even,
j
 ƒ dx=2
j
ƒ dx
0
a
_a
a
0
x
_a
a
y
(b)
ƒ odd,
j
 ƒ dx=0
_a
a
Symmetry
The next theorem uses the Substitution Rule for Definite Integrals (5) to simplify the
calculation of integrals of functions that possess symmetry properties.
Integrals of Symmetric Functions Suppose is continuous on .
(a) If f is even , then .
(b) If f is odd , then .

Proof We split the integral in two:
In the first integral on the far right side we make the substitution . Then
and when , . Therefore
and so Equation 7 becomes
(a) If is even, then so Equation 8 gives
(b) If is odd, then and so Equation 8 gives
Theorem 6 is illustrated by Figure 4. For the case where is positive and even,
part (a) says that the area under from to is twice the area from to
because of symmetry. Recall that an integral can be expressed as the area
above the -axis and below minus the area below the axis and above the
curve. Thus, part (b) says the integral is because the areas cancel.
EXAMPLE 9 Since satisfies , it is even and so
෇ 2
[
1
7
x
7
ϩ x
]
0
2
෇ 2
(
128
7
ϩ 2
)
෇
284

7

y
2
Ϫ2
͑x
6
ϩ 1͒ dx ෇ 2
y
2
0
͑x
6
ϩ 1͒ dx
f ͑Ϫx͒ ෇ f͑x͒f ͑x͒ ෇ x
6
ϩ 1
0
y ෇ f͑x͒x
x
b
a
f ͑x͒ dx
a0aϪay ෇ f͑x͒
f
y
a
Ϫa
f͑x͒ dx ෇ Ϫ
y

a
0
f ͑u͒ du ϩ
y
a
0
f ͑x͒ dx ෇ 0
f ͑Ϫu͒ ෇ Ϫf͑u͒f
y
a
Ϫa
f͑x͒ dx ෇
y
a
0
f ͑u͒ du ϩ
y
a
0
f ͑x͒ dx ෇ 2
y
a
0
f ͑x͒ dx
f ͑Ϫu͒ ෇ f͑u͒f
y
a
Ϫa
f͑x͒ dx ෇
y

a
0
f ͑Ϫu͒ du ϩ
y
a
0
f ͑x͒ dx
8
Ϫ
y
Ϫa
0
f ͑x͒ dx ෇ Ϫ
y
a
0
f ͑Ϫu͒͑Ϫdu͒ ෇
y
a
0
f ͑Ϫu͒ du
u ෇ ax ෇ Ϫadu ෇ Ϫdx
u ෇ Ϫx
y
a
Ϫa
f͑x͒ dx ෇
y
0
Ϫa

f͑x͒ dx ϩ
y
a
0
f ͑x͒ dx ෇ Ϫ
y
Ϫa
0
f ͑x͒ dx ϩ
y
a
0
f ͑x͒ dx
7
x
a
Ϫa
f ͑x͒ dx ෇ 0͓ f ͑Ϫx͒ ෇ Ϫf͑x͔͒
x
a
Ϫa
f ͑x͒ dx ෇ 2 x
a
0
f ͑x͒ dx͓ f ͑Ϫx͒ ෇ f͑x͔͒
͓Ϫa, a͔f
6
394 ■ CHAPTER 5 INTEGRALS
0
y

x
_a
a
FIGURE 4
(a)
ƒ even,
j
 ƒ dx=2
j
ƒ dx
0
a
_a
a
0
x
_a
a
y
(b)
ƒ odd,
j
 ƒ dx=0
_a
a
Ví dụ 3.46 Tính tích phân xác định
2

−2
(x

6
+ 1)dx
Giải. Bởi vì f(x) = x
6
+ 1 thỏa mãn f(−x) = f(x) nên f(x) là hàm chẵn do đó
2

−2
(x
6
+ 1)dx = 2
2

0
(x
6
+ 1)dx = 2

1
7
x
7
+ x

2
0
= 2

128
7

+ 2

=
284
7
TS. NGUYỄN ĐỨC HẬU