Dáng điệu tiệm cận của nghiệm của các hệ động lực vô hạn chiều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN
■ • • •
TÊN ĐỂ TÀI
DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM CỦA CÁC
HỆ ĐỘNG Lực VÔ HẠN CHIỂU
• • • •
MÃ SỐ: QT 03 - 01
CHỦ TRÌ ĐỂ TÀI: PGS.TSKH. NGUYẺN VÀN MINH
p T / 3 0 6
HÀ NỘI - 2003
Mục lục
1 Mờ Đầu 3
2 Nội dung chính 6
2.1 Tiêu chuẩn Massera đối với nghiệm hầu tuần hoàn của phương
trình có biến hằng từng khúc 6
2.1.1 Phổ Carlemann của hàm s ố
6
2.1.2 Hàm hầu tuần hoàn
7
2.1.3 Tiêu chuẩn M assera 7
2.2 Nghiệm hầu tuần hoàn phương trinh sai phân hàm dạng trung tính 8
2.2.1 Phổ của dãy
8
2.2.2 Phương trình sai phân có trễ trung tín h

9
2.2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm hầu tuần hoàn

10
2.3 Nghiêm hầu tuần hoàn của phương trinh tiến hóa đặt không chỉnh 12

2.3.1 Nghiệm tuần h o à n 12
2.3.2 Nghiệm hầu tuần hoàn 13
3 Tài liệu tham khảo 14
2
Phần 1
Mở Đầu
Nghiên cứu dằng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân và sai phân
là một trong những lĩnh vực trung tâm của các hệ động lực. Từ cuối thế kỷ
XIX, đầu thế kỷ XX, H. Poincaré và A. Lyapanov đã khởi xướng việc nghiên
cứu này bằng những công trình xuất sắc, đặt nền móng cho lý thuyết định tính
của phương trình vi phân và sai phân, hay còn gọi là các hệ động lực. Trước
đó, người ta thường nghiên cứu các phương trình bằng cách tìm nghiệm tường
minh. Tuy nhiên, không phải lúc nào việc tìm nghiệm tường minh cũng thực
hiện được ngay cả những phương trình rất đơn giản. Đó cũng là lý do chính
dẫn các nhà toán học đến việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm mà không
nhất thiết phải tìm chúng một cách tường minh.
Những bài toán lớn của lý thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm của các hệ
động lực là nghiên cứu tính ổn định và tính dao động của nghiệm một phương
trình cho trước. Nếu như các khái niệm và phương pháp của Lyapanov về ổn
định vẫn là nền tảng cho các nghiên cứu ngày nay thì phương pháp ánh xạ sau
chu kỳ của Poincaré cũng vẫn là công cụ chính để nghiên cứu nghiệm tuần hoàn.
Đặc biệt, đầu thế kỷ XX, khái niệm hàm sô' hầu tuần hoàn của Bohr đã cho phép
các nhà toán học tiến sâu hơn trong việc nghiên cứu tính dao động điều hoà của
các hệ động lực.
Chúng ta nhớ lại một bài toán dưới đây của giải tích toán học, là điểm khởi
đầu cho nhiều ý tưởng lớn trong giải tích điều hoà và của lý thuyết định tính
phương trình vi phân và các hệ động lực: Giả sử / là hàm số một biến số liên
tục, tuần hoàn chu kỳ T. Đặt
X
F(t) = J ỉ(t)dt.

0
Câu hỏi đặt ra là khi nào
F(x
) cũng là hàm hầu tuần hoàn chu kỳ
T.
Bằng
lý luận sơ cấp, ta có thể chỉ ra F(x) có dạng: F(x) — G(x) 4- ax, trong đó
3
_ 1 T
G(x) là hàm hầu tuần hoàn chu kỳ T, liên tục còn a = — f f(t)dt.
T 0
Vậy thì F tuần hoàn với chu kỳ T khi và chỉ khi a = 0, hoặc F tuần hoàn
với chu kỳ T khi và chỉ khi F giới nội.
Ngay sau khi đưa ra khái niệm hàm số hầu tuần hoàn, Bohr cũng đã chứng
minh được một kết quả tương tự. Việc mở rộng kết quả của Bohr cho lớp hàm
hầu tuần hoàn lấy giá trị trong không gian Banach thực sự là một chủ đề hấp
dẫn và khó khăn. Người ta đã tìm được các điều kiện mang tính hình học bổ
sung để kết quả trên của Bohr vẫn đúng.
Năm 1950, trong một công trình nổi tiếng của mình, Massera đã nhìn nhận
bài toán của giải tích như trường hợp riêng của bài toán sau:
dx
= A(t)x + f{t), X e R n,
dt
trong đó A(t),f(t) là liên tục, tuần hoàn cùng chu kỳ T. Dùng phương pháp
điểm bất động của ánh xạ sau chu kỳ, Massera đã chứng minh rằng trên có
nghiệm tuần hoàn chu kỳ T khi và chỉ khi nó có một nghiệm giới nội.
Kết quả của Massera đã được nhiều nhà nghiên cứu phương trình vi phân
quan tâm mở rộng. Đặc biệt, năm 1974, S.N. Chow và J. Hale đã công bô' một
mở rộng của định lý Massera cho lớp phương trinh vi phân hàm dạng trễ:
^ = Lx, + /((),

trong đó / liên tục, tuần hoàn chu kỳ T, L : c([—r, 0], R") —> M" liên tục,
r > 0, xt(ỡ) := x(t + ớ), 9 € [—r, 0]. Phương pháp chứng minh của s. N. Chow
và J. Hale về cơ bản vẫn dựa theo phương pháp điểm bất động của ánh xạ sau
chu kỳ. Những kết quả của s. N. Chovv và J. Hale đã được nhiều người tiếp tục
mở rộng cho các lớp phương trình vi phân hàm. Đặc biệt phải kể đến các kết
quả của Y. Hino, I. Macay, s. Murakami, T. Naito, J. s. Shin.
Phương pháp Poicaré thực ra đã thiết lập mối liên hệ gắn bó qua lại giữa việc
nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trĩnh vi phân và sai phân.
Mối liên hệ này cho phép ta nghiên cứu sự tồn tại nghiệm tuần hoàn thông qua
việc nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của một ánh xạ, hay là nghiệm hằng
của một phương trinh sai phân. Gần đây nhiều nhà toán học đã đưa việc nghiên
cứu nghiệm hầu tuần hoàn của phương trình vi phân về việc nghiên cứu sự tồn
tại nghiệm hầu tuần hoàn của phương trình sai phân tương ứng. Lý do chính để
làm việc này là: nghiên cứu phương trình sai phân đơn giản hơn rất nhiều. Các
khái niệm đơn giản hơn, các kỹ thuật thường chỉ liên quan đến các toán tử giới
nội.
Trong đề tài này chúng tôi trước hết nghiện cứu tiêu chuẩn Massera cho lớp
phương trình vi phân có biến số hằng từng khúc. Đây là một mô hình hệ động
4
lực trung hỗn hợp giữa phương trình vi phân và sai phân. Loại mô hình này xuất
hiện nhiều trong các nghiên cứu gần đây về sinh học, thể hiện quá trình đo đạc
xác định số liệu là quá trình rời rạc trong khi sự tiến hóa của quá trình lại là
liên tục. Tiếp đó chúng tôi nghiên cứu nghiệm dao động điều hoà cùa phương
trinh sai phân hàm trung tính như các nghiệm hầu tuần hoàn. Các điều kiện
cần và đủ để tổn tại và duy nhất nghiệm. Những kết quả này có thể đem ứng
dụng nghiện cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình tiến hóa đặt không
chỉnh liên kết với một C-nửa nhóm. Đây là một kết quả khá thú vị, tiếp nối một
công trình gần đây của c.c. Chen, N.v. Minh và S.Y. Shavv, trong đó các tác
giả này đã nghiên cứu sự tồn tại nghiệm hầu tuần hoàn của phương trinh tiến
hóa đặt không chỉnh liên kết với một C-nửa nhóm bằng phương pháp nửa nhóm

tiến hóa.
Các kết quả nhận được trong các nghiên cứu của chúng tôi là mới được công
bố trong 3 bài báo khoa học, 2 trong số đó đã được nhận đăng và 1 đang gửi
đăng. Toàn văn các bài báo này được đưa vào phần phụ lục của báo cáo.
Trong khi thực hiện đề tài chúng tôi đã nhận được sự giúp đỡ của rất nhiều
cán bộ trong Khoa Toán - Cơ - Tin học và các cán bộ trong Phòng Khoa học -
Công nghệ, ĐHKHTN, Ban Khoa học -Công nghệ, ĐHQG HN. Chúng tôi chân
thành cám ơn tất cả sự động viên cổ vũ và giúp đỡ nhiệt tình trên.
Hà nội 2003 Chủ trì đề tài QT 03-01
PGS. TSKH. Nguyễn Vãn Minh
5
Phần 2
Nội dung chính
Trong phần nội dung của báo cáo chúng tôi sẽ trình bày các kết quả chính.
Chứng minh đày đủ của các kết quả này độc giả có thể tìm thấy
trong các bài báo của phần phụ lục.
2.1 Tiêu chuẩn Massera đối với nghiệm hầu tuần
hoàn của phương trình có biến hằng từng khúc
Trong mục này ta xét sự tồn tại nghiệm hầu tuần hoàn của phương trình vi phân
có dạng sau:
trong đó A là toán tử tuyến tính tác động trong không gian hữu hạn chiều C'\
/ là hàm giới nội trên R nhận giá trị trong cn, [.] là hàm phần nguyên.
2.1.1 Phổ Carlemann của hàm sô
Định nghĩa 2.1 Phổ Carleman của hàm u G L}oc{R, X) có độ tăng dưới cấp mũ
là tập hợp sp(u) gồm tất cá các số thực £ sao cho biến đổi Fourier- Carleman
u(.) của u được xác định theo công thức
(1)
0
không có thác triển giải tích xung quanh bất kỳ lân cận nào của
i£.

6
2.1.2 Hàm hầu tuần hoàn
Định nghĩa 2,2 Tập con E cK được gọi là tập tương đối trù mật nêu tồn tại
ỉ > 0 sao cho mọi đoạn [a, a + l]ỏtên đường thẳng thực đều chứa ít nhất một
điểm của E. Số l khi đó được gọi là độ dài bao.
Định nghĩa 2.3 Cho f : R —> X là hàm liên tục. Sô' T được gọi là £ - chu kỳ
của f nếu
Định nghĩa 2.4 (Bohr) Hàm liên tục Ị : R —» X được gọi là hầu tuần hoàn
nếu với mọi £ > 0, tập hợp các số £ - chu kỳ của f là tập trù mật tương đối
trên R.
Mệnh đề 2.1 Cho X là một không gian Banach, hàm Ị G BƯC(R,X). Nếu
tập hợp sp(f) là rời rạc thì f là hàm hầu tuấn hoàn.
Mệnh đề 2.2 Hàm f E B U C (R,X) là hàm tuấn hoàn chu kỳ T khi và chỉ khi
sp(f) c 27rZ/r.
Định nghĩa 2.5 Nghiệm x{.) của phương trình (1) là hàm liên tục từ R vafo
Cn, khả vi hầu khắp nơi trên R trừ tại các điểm nguyên và thỏa mãn (1) trên
[n,n + 1), n € z trong dó tại t — n, đạo hàm của x(.) được lấy là đạo hàm
phải.
2.1.3 Tiêu chuẩn Massera
Giả sử / là một hàm đã cho. Ta định nghĩa / theo công thức:
Định lý 2.1 Giả sử x(.) là nghiệm giới nội của phương trình (1). Khỉ đó
trong đó: ơe,(A) := {£ € IR : e* - 1 G ơ(A)}, với ơ(A) là tập các giá trị
riêng của ma trận A.
Định lý 2.2 Giá sử hàm f gáơi nội thỏa mãn diều kiện sp(f) là tập rời rạc,
x(.) là nghiệm giới nội trên R của phương trình (1). Khi dó x(.) là nghiệm hầu
tuấn hoàn.
/m = /(M ) Ví e R.
sp(f) c sp(x) u 27tZ,
sp(x
)

c
ơei(A)
u
sp(f),
(2.2)
(2.3)
7
Nếu không có các điểu kiện bổ sung thì Định lý Massera không đúng đối với
phương trình đang xét. Thật vậy, ta xét phản ví dụ sau.
X = e ^ a .
có nghiệm giới nội nhưưng không có nghiệm tuần hoàn.
Trong trường hợp / là hàm hầu tuần hoàn chu kỳ hữu tỷ ta có Định lý
Massera sau.
Định lý 2.3 Giả sử f là hàm hầu tuần hoàn chu kỳ hữii tỷ T — e. Khi đó
phương trình (ì) có nghiệm tuần hoàn chu kỳ T = p khi và chỉ khi nó có nghiệm
giới nội trên nửa trục [0, + 00).
2.2 Nghiệm hầu tuần hoàn phương trình sai phân
hàm dạng trung tính
Trong mục này, chúng ta sẽ nghiên cứu điều kiện tồn tại nghiệm giới nội và
hầu tuần hoàn của phương trinh sai phân có trễ trung tính dạng:
A (Dxn) = Lxn +f(n), n ẽ Z , (2.1)
trong đó / e loo(X),D,L € L(C,X), A(D„) := Dxn+1 - Dxn, X là không
gian Banach, iooỌQ là không gian các dãy giới nội trong X với chuẩn thông
thường, c .= ịý { —r, —r + 1, ,0} —» x j là không gian Banach với chuẩn
I 4> |:= sup II ộ(n) ||. Nếu X : 7L —> X,thì xn £ c được hiểu là hàm
xn(ỡ) = x{n + 6), n E Z; — r < 9 < 0.
2.2.1 Phổ của dãy
Xét ^00(X) là không gian tất cả các dãy giới nội trong không gian Banach
X, 9 := {s„} nez c X với chuẩn II0II = Supllýnịị,S(k) là toán tử dịch chuyển
thứ k trong 4o(X), nghĩa là (S(k)g)n = gn+k-

Định nghĩa 2.6
Tập tất cả các số
A
trên đường tròn đơn vị
r
mà tại đó
g(Ằ)

được xác định:
ị
Ễ
^ n~lS(n)g,
V|A| > 1,
9 W = {n=ỵ '
- \ n lS(—n)g1 V|A| < 1,
V n = 0
8
không thác triển giải tích được trong bất kỳ lân cận nào của X trong mặt phẳng
phức được gọi là phổ của dãy g {gn}nez và ký hiệu ơ(<?).
Mệnh đề 2.3 Cho g := {g(n)}n£z là dãy giới nội hai phía trong X thì các
khẳng định sau đây là đúng
i) ơ(g) đóng;
ỉỉ) {gn} là dãy trong loc(X) hội tụ đều về g sao cho ơ(gn) c A, Vn € N, A
đóng thì ơ(g) c A ;
iii) Nếu g € 4o(X), A là toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Banach
X thì ơ(Ag) c ơ{g), trong đó (Ag)n := Agn,Vn G z.
iv) a(x) = ơ (5 |m ); S1 := 5(1); Mx := Span{S(n)x, n G z |.
2.2.2 Phương trình sai phân có trễ trung tính
Từ định nghĩa của các toán tử D và L ờ phương trình (2.1), dễ dàng biểu diễn
D và L dưới dạng:

0
Dộ= W>eC, (2.2)
k=—r
0
Lộ = vự> e c, (2.3)
k=-r
trong đó Ak.Bk c L(X), VẢ; = —r, Ngoài ra, toán tử A(Dxn) trong
phương trình (2.1) có thể viết lại dưới dạng:
A(Dxn) = Dxn+1 - Dxn (2.4)
0 0
=>• A(Dxn) — ^ ^ ^4/cxn_|_i(fc) ^ ^ AhXỵiịk')
k=—r k=—r
0 0
= ^ + 1 + fc) - ^ Ẩfcx(n + /c)
k=—r k——r
0
= Ấ
0
x(n+l)+ ^ (i4jfc_! - i4jfc)x(n + fc) - A _ rx(n - r).
k=—r+l
Kết hợp với(2.2), (2.3), phương trinh (2.1) có thể viết lại dạng sau:
0
A0x(n + 1) = ckx(n + k) + f(n) (2.5)
k=—r
9
trong đó
Ck — Ak — Ak-I + Bk, Vfc — (—r + 1 , 0 ) ,
c —r = A—r •Ị' -Ổ—r
Định nghĩa 2.7 Phương trình (2.1) hay (2.5) được gọi là atomic tại 0 nếu A0
khả nghịch.

Bây giờ, chúng ta đưa phương trình (2.5) về phương trinh cấp một bằng cách
đặt:
y°(n) = x(n - r)
yl(n) — x(n — r + 1)
yr{n) = x(n).
Rõ ràng phương trình (2.5) có thể viết lại dưới dạng
Ay(n + 1) = By(n) + F(n),
trong đó
y(n) := (y°(n), y \ n ) , y r(n)Ỵ
E V ~ \ rv £(^ \ \T \_/ /-
c Y := xr+1,
F(n) := (0, ,0, ,f(n)Y , Vn e z
Vn G z,
/ l 0 o \
0 1 0
(2.6)
(2.7)
0 1 0 "
và A . . . ,B:= : : . :
n n 1 0 0 ••• 1
\ 0 0 Ao Ị
' ' \C -r C-r+1 C o Ị
Chúng ta ký hiệu := jz e c : Ệ(zr+ìI - zr+lCj)~l j.
' j=—r
2.2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm hầu tuần hoàn
Ta có kết quả sau:
Định lý 2.4
Già sử toán tử
Ao
giao hoán với các toán tử

Ck,
(k
— —
r , 0)
và
Aơ(Ao)
n =
ộ. Khi đó, với mối f
6 A(X),
phương trình
(2.1)
có nghiệm

giới nội duy nhất Xf sao cho
ơ(xj)

c
ơ(f).
Hơn thế nữa nếu f là hấu tuần

hoàn thì Xf cũng là hấu tuần hoàn.
Từ đây ta được các hệ quả:
10
Hệ quả 2.1 Giả sử toán tử Ao giao hoán với các toán tử Ck, (k = —r , 0)
và cho f e /oo(X). Khi đó phương trình (2.1) có duy nhất nghiệm Xf 6 /oo(X)
ơ (/)a (Ấ o ) n 5^0 = ộ, hcm thể nữa nếu f là hầu tuấn hoàn thì Xf cũng là
hầu tuần hoàn và ơ(xf) c ơ(f).
Hệ quả 2.2 Giả sử toán tử D của phương trình (2.1) là atomic tại 0 tức là A0
khả nghịch và A là tập con đóng của đường tròn dơn vị sao cho ơ(f) n = 0-
Khi đó, phương trình (2.1) tồn tại duy nhất nghiệm Xf £ A(X).

Định nghĩa 2.8 Giả sử A và Bj, j = 1,2, n là các toán tử tuyến tính giới
nội trên không gian Banach phức X. Khi đó chúng ta định nghĩa: ơA(tì) :=
Mệnh đề 2.4 Giả sử A và Bj, j = 1,2, ,n là các toán tử tityêh tính giới
nội trên không gian Banach phức X. Khi đó các kết luận sau là đúng:
i) Tập ơ a ( B ) là tập con đóng của C;
ii) Hàm P a {B ) := C \ ơ a { B ) B X 1-» (An+1Ấ - ^ B j ) 1 £ L(X) là h àm giải
Định lý 2.5 Cho A c r là tập con đóng và cho Aữ và Cj(j = —r , 0) là
các toán tử tuyến tính giới nội trên X được xác định ở (2.5). Gid thiết với mỏi
f E A(X), phương trình (2.1) có duy nhất nghiệm giới nội Xf G A(X). Khi đó
Định lý 2.6 Cho X là nghiệm giới nội của phương trình (2.1). Khi đó: ơ(x) =
Bây giờ, chúng ta có thể chứng minh nguyên lý Massera đối với phương trình
sai phân dạng trung tính có trễ.
Định lý 2.7
Gid sử
J
\ơ ( f
) n
ơ(f)
= 0
và cho X là nghiệm giới nội của
phương trình
(2.1).
Khi đó, tồn tại nghiệm giới nội U! của phương trình
(2.1)
sao cho ơ(u) c ơ(f).
Hệ quả 2.3 Giả sử tất cà các giá thiết ở định lý (2.7) đều thoả mãn. Hơn thế
nữa, già sử f là hàm hầu tuấn hoàn có ơ(f) đếm được và X không chứa không
gian con đẳng cấu với Co- Khi dó, nếu phương trình
(2.1)
tồn tại nghiệm giới

nội thì phương trình
(2.1)
có nghiệm hầu tuần hoàn.
n
A 6 c : Í(An+1A - £ A €
3=1
n
tích.
E i nA = 0-
Er,i Uơ(/)> tr o n 8 đ ó E r .1 := £ i n r -
11
2.3 Nghiệm hầu tuần hoàn của phương trình tiến
hóa đặt không chỉnh
Trong mục này chúng ta đi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm hầu tuần hoàn đối
với phương trinh dạng
^ = Au + /(í) (2.8)
at
trong đó A là toán tử tuyến tính ( không giới nội) và là toán tử sinh của C-nửa
nhóm các toán tử tuyến tính trong không gian Banach X, và / là hàm hầu tuần
hoàn theo nghĩa Bohr. C-nửa nhóm là một lĩnh vịưc mới đang được nhiều người
quan tâm nghiên cứu. Nghiệm hầu tuần hoàn của phương trình không thuần nhất
trên gần đây đã được nghiên cứu trong công trình của c.c. Chen, Nguyen Van
Minh, S.Y. Shaw. Các phương pháp được các tác giả trên sử dụng là phương
pháp nửa nhóm tiến hóa, phân rã phổ các nghiệm giới nội. Trong mục này
chúng tôi giới thiệu một phương pháp nghiên cứu sai phân hóa. Phương pháp
này cho phép sử dụng các kết quả của mục trên.
Định nghĩa 2.9 ỉ) Hàm u € Cl(J, X) dược gọi là nghiệm ( cổ điển) trên J của
phương trình (2.8) với f cho trước, f e C(J, X) nếu u(t) E D(A), Ví 6 J và
li, / íhoả mãn phương trình (2.8) với mọi t £ J.

ii) Hàm u xác định trên J có giá trị trên X dược gọi là nghiệm đủ tốt trên J
của phương trình (2.8) với f E C (R,X ) nếu u(t) liên tục theo t và thoá mãn
Cu(t) =T(t — s)u(s) + Ị T(t - r)f(r)dr, Ví > s; í, s € J. (2.9)
Mỗi nghiệm cổ điển là nghiệm đủ tốt. Tuy nhiên, đưa ra giá trị ban đầu
u(to) = X € X, chúng ta không biết có tồn tại nghiệm đủ tốt của phương
trình(2.8) bắt đầu từ thời điểm này hay không.
Bổ đề 2.1
Cho R{C)
là đóng, X £
R{C) và
f(t)
€
R{C)
liên tục đối với

Ví € [ÍO) +oo).
Khi dó tồn tại duy nhất một nghiệm đủ tốt u của phương trình

(2.8) trên [ío, +oo) sao cho u(t0) = X và u(t) € R{C), Ví 6 [ío, +oo), trong
đó
R(C)
là miền giá trị cùa toán tử c.
2.3.1 Nghiệm tuần hoàn
Chúng ta sẽ sử dụng khái niệm
pc (T (
1)) := {A € c : (A
c - T{
1)) :
R { C
) ->

R(C)
khả nghịch}.
12
Định lý 2.8 Cho R(C) là đóng. Khi đó phương trình (2.8) có duy nhất một
nghiệm u với u(t) € R{C) đù tốt tuấn hoàn với chu kỳ 1 đối với mọi hàm
f e ƠR, R(C) chu kỳ 1 khỉ và chỉ khi 1 6 pc{T(ì)).
2.3.2 Nghiệm hầu tuần hoàn
Phần này chúng ta sẽ đưa ra điều kiện đủ để tồn tại nghiệm đủ tốt hầu tuần
hoàn của phương trình (2.8). Kết quả chính cùa phần này là
Mệnh đề 2.5 Cho c là đơn ánh tuyến tính với miền giá trị đóng và f là hàm
hầu tuấn hoàn sao cho f( t) € R(C), Ví € M. Khi đó nghiệm đủ tốt u trên R
bất kỳ của phương trình (2.8) là hầu tuần hoàn nếu dãy {u(n)}n£z là hầu tuần
hoàn.
Định lý 2.9 Giá thử tất cà các giả thiết của mệnh đề (2.5) thoả mãn. Hơn thế,
giả sử
^ ữ )n ơ ( c - lT( 1)|*(C)) = 0 . (2.10)
Khi đó, tồn tại nghiệm hấu tuần hoàn của phương trình(2.8)
13
Phần 3
Tài liệu tham khảo
1. w. Arendt, c. J. K. Batty, M. Hieber, F. Neubrander, Vector-valued
Laplace transỉorms and Cauchy problems, Birkhauser Verlag, Basel-
Boston-Berlin, 2001 (Monogrphs in mathematics; Vol. 96).
2. w. Arendt, C.J.K.Patty, Almost periodic solutions of first and second oder
Cauchy problems, Joumal of Differential Equations 137 (1997), N.2, 363-
383.
3. w. A. Copel, Dichotomies in Stability theory, Lecture Notes in Math.
vol . 629, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1978.
4. D. Danẻrs and p. K. Medina, Abstract evolution equations, periodic
problems and applications, Pitman Research Notes in Math. Ser. volume

279, Longman, Nevv York, 1992.
5. G. Da Prato, Semigruppi Regolarizzibili, Recerche di Mat. 15 (1966),
223-248.
6. R. deLaubeníels, Existence families, hnctional calculi and evolution
equations. Lecture Notes in Mathematics, 1570. Springer-Verlag, Berlin,
1994.
7. K. J Engel, R.nagel, ”One-parameter Semigroups for linear Evolution
Equation”. Springer, Berlin, 1999.
8. A. M Fink,
Aìmost periodic Differential Equation,
Lecture Notes in
Math, 377, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1974.
9. T. Furumochi, T. Naito and Nguyen Van Minh, Boundedness and almost
periodicity of solutions of partial íunctional differential equations, J. Dif-
íerential Equations 180 (2002), 125-152.
14
10. J.R.Graef, E. Thandapani, Oscillatory and Asymptotic Behavior of Solu
tions of Third Order Delay Difference Equations, Funkcialaj Ekvacioj 42
(1999), N .l, 355-369.
11. X. Gu, M. Li, F. Huang, Almost periodicity of C-semigroups, integrated
semigroups and C-cosine íunctions, Studia Mathematica 150 (2002), no.
2, 189-200.
12. K Hale, Asymptotic Behavior of Dỉĩsipative System, Amer. Math. Soc,
Providence, RI, 1988.
13. J. K Hale and s. M Verduyn-Lunel, Introductỉon to ỉunctional Diffe
rential Equations, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1993.
14. Y. Hino, T. Naito, N. T. Minh, J. s. Shin, Almost Periodic Solutions of
Diữerential Equations in Banach Spaces. Taylor and Francis, London-
New York, 2002.
15. Y. Hino and s. Murakami, Periodic solutions of a linear Volterra system,

Diíĩerential equations (Xanthi, 1987), 319-326, Lecture Notes in Pure
and Appl. Math., 118, Dekker, New York, 1987.
16. Y. Hino, s. Murakami and Nguyen Van Minh, Decomposition of varia-
tion of constants íormular for abstract functional differential equations,
Funkcial. Ekvac. 45 (2002), 341-372.
17. Y. Hino, T. Naito, Nguyen Van Minh, Jong Son Shin, Almost periodic
solutions oỉdiữerential equations in Banach spaces , Taylor and Francis,
London-NevvYork, 2002.
18. z. s. Hu and A. B. Mingarelli, On a question in the theory of almost
periodic differential equations, Proc. Amer. Math. Soc., 127 (1999),
2665-2670.
19. R. Johnson, A linear almost periodic equation with an almost automorphic
solution,
Proc. Amer. Math. Soc.
82 (1981), no. 2, 199-205.
20. Y. Katznelson,
An Introduction to Harmonic Analysis,
Dover Publi cations,
Nevv York, 1968.
21. Y. Li, z. Lin and z. Li, A Massera type criterion for linear íunctional
differential equations with advanced and delay, Journaì of Mathematicaỉ
Analysis and Applications, 200 (1996), 715-725.
15
22. Y. Li, F. Cong, z. Lin and w. Liu, Periodic solutions for evolution equa-
tions, Nonlinear Anaỉ., 36 (1999), 275-293.
23. J. L. Massera, The existence of periodic solutions of systems of differential
equations, Duke Math. J., 17 (1952), 457-475.
24. s. Murakami T. Naito, Nguyen Van Minh, Evolution Semigroups and sums
of commuting operators: a new approach to the admissibility theory of
íunction spaces, Journal of Diíĩerential Equations 164 (2000), 240-285.

25. s. Murakimi, T. Naito, and Nguyen Van Minh , Massera’s theorem for
almost periodicity of solutions of functional differential equations, Journal
of Mathematical Socỉety of Japan. To appear.
26. B. M Levitan, V. V. Zhikov, Almost Periodic ỉunctions and Diỉĩeren tial
Equation, Moscow Univ. Publ. House 1978. English Translation by
Cambridge University Press, 1982.
27. T. Naito, N. V. Minh, Evolution Semigroups and Spectral Criteria for Al-
most Pốriodic Solutions of periodic Equations, Journal of Differential
Equations 152 (1999), 358-376.
28. T. Naito,N. V. Minh And Jong Son Shin,A Massera type theorem for func-
tional differential equations with infinite delay, Japanese Journal of math-
ematỉcs 28 (2002), No.l, PP.31-49, .
29. T. Naito, N. V. Minh, R. Miyazaki, J. s. Shin, A decomposition theorem
for bounded solutions and the existence of periodic solutions of periodic
differential equations, Joumal of Differential Equations 160 (2000),263-
282.
30. T. Naito, N. V. Minh, J. s. Shin, New spectral criteria for almost periodic
solution of evolution equation, Studia Mathematica 145 (2001), 97-111.
31. T. Naito, Nguyen Van Minh, R. Miyazaki, Y. Hamaya, Boundedness and
almost periodicity in dynamical systems,
Journal of Diữerence Equations

and Applications, 7 (2001), 507-527.
32. T. Naito, Nguyen Van Minh, R. Miyazaki, J. s. Shin, A decomposition the-
orem for bounded solutions and the existence of periodic solutions of peri-
odic differential equations,
Journal of Differential Equations
160 (2000),
263-282.
16

33. A. Pazy, Semigroups of linear Operators and Applications to Partiaỉ
. Differential Equations, Applier Math. sei. 44, Springer-verlag, Berlin-
New York, 1983.
34. J. Pruss, Evolutionary Integral Equation and Applications, Birkhauser,
Basel, 1983.
35. G. Seiíert, Almost solutions of certaint differential equations with piece-
wise constant delays and almost periodic time dependence, Journal of
Diữerentiaỉ Equations 164, (2001), 451-458.
36. J. H. Shen and I. p. Stavroulakis, Oscillatory and nonoscillatory delay equa-
tion with piecevvise constant argument, Journal of Mathematical Analysis
and Applications, 248 (2000), 385-401.
37. J. s. Shin and T. Naito, Semi-Fredholm operators and periodic solutions for
linear íunctional differential equations, Journal of Diữerential Equations,
153 (1999), 407-441.
38. N. Tanaka, On the exponentially bounded C-semigroups, Tokyo J. Math.
10 (1987), 107-117
39. N. Tanaka, I. Miyadera, Exponentially bounded C-semigroups and inte-
grated semigroups, Tokỵo J. Math. 12 (1989), 99-115.
40. N. Tanaka, I. Miyadera, C-semigroups and the abstract Cauchy problem,
J. Math. Anal. Appl. 170 (1992), 196-206.
41. P.J.Y. Wong, R.p. Agarwal, Nonoscillatory Solutions of Functional Dif-
íerence Equations Involving Quasi-Differences Funkcialaj Ekvacioj 42
(1999), N.l, 389-412.
42. R. Yuan, Almost solutions of a class of singularly perturbed differential
equations with piecevvise constant argument, Nonlinear Anal., 37, (1999),
43. s.
Zhang, Stability of neutral delay difference systems,
Computers &

Mathematics with Applications,

42

(2001), 291-299.
641-859.
17
KẾT LUẬN
- Nghiên cứu CÚJ qua irình tiên hóa bãiiii phươntỊ pháp rời rạc hóa là một
phương pháp đã được biết từ lâu. Phương pháp này thực ra đã được
Poincare' đề xuất trong các công irìnlì nuhiôn cứu dáng điệu tiệm cận
nghiệm của hệ độ no lực từ cuối ihê kv 19 và đầu thế ký 20. Gần đây,
người ta quan tàm nhiều đến phương trình sai phân vì rất nhiều lý do,
tronu đỏ có mội lv do là sự phát ưiến nlianh chóng cúa các công cụ tính
toán. Đặc biộl. nuơừi ta đã lập các mõ hình toán học cúa nhiều quá trình
sinh học bầnu các phươnu trình vi phàn có hiên số hằng lừng khúc. Tức là
cùne một lúc phối hợp cá phiroTiìi trình vi phàn và sai phàn.
- Nghiên cứu định lính các nghiệm cua phươnu trình vi sai phân là một
lĩnh vực quan Irọne của lv thuyếl pluionu trình vi phân. Các tiêu chuẩn để
một phương trình cho trước có nuhiệm dao động điều hòa đã được nghiên
cứu nhiều và có nhữivj, kốl qua khác nhau. Vấn đề chúne, lôi nghiên cứu ở
đây liên quan đòn viộc dùng Giai tích diều hòa để phân lích các nghiệm
giới nội của các phương trình dang XÓI. Từ những thông tin về phổ chúng
tôi có nhũng kếl luận về sự tổn lai các nghiệm có phổ tối thiểu và các
nghiệm có dárm điệu liệm cận mong muốn.
- Các kết quá nhận được trong đồ tài này là các tiêu chuẩn kiểu Massera
cho sư tổn tại nehiệm hấu tuần hoàn của phương trình sai phân hàm dạng
trung tính, phương trình có biến hằng lừng khúc. Đặc biệt chúng tôi nhận
được các điều kiên tổn lại. duv nlìấl nehiệm hầu tuấn hoàn của phương
trình liến hóa đ;ìl khô nu chỉnh liên kết với C-nửa nhóm.
- Nhiều kết quá của đề lài này còn có thố tiếp tục mở rộng. Phương trình
tiến hóa liên kêì với c - nửa nhóm còn là ẩn số ỉớn đối với các nhà toán

học vì cá V nuhĩa lv lluivếl cũ nu như áp dụng của chúm;. Các kết quả của
chúnu tỏi đòi với plurưnu trình có biến hằne, lừng khúc mới chỉ dừng lại ở
tiêu clniẩn Masscra cho nghiệm Luấn hoàn. Các tiêu chuẩn tương tự cho
nghiệm háu tuán hoàn vẫn còn chưa biết có đúng hay không.
BAO CÀO TOM TẢT
l. Tên đề tài: Dáng điệu tiệm cận nghiệm của các hệ động lực vô hạn chiều.
Mã số: QT 03- 0 1

>. Chủ trì đề tài: PGS.TSKH Nguyễn Văn Minh
3. Cán bộ tham gia:
TS. Đặrig Đình Châu,
- ThS. Nguyễn Minh Mẫn,
- ThS. Tống Thành Trung,
- ThS. Lê Huy Tiễn,
- CN. Hà Bình Minh,
- CN. Nguyễn Trung Thành,
- CN. Dư Đức Thắng,
- CN. Hy Đức Mạnh,
- CN. Nguyễn Trường Thanh,
- CN. Kiều Thu Linh,
- Hoàng Ngọc Tùng
4. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu:
Mục tiêu nghiên cứu:
- Nghiên cứu tiêu chuẩn Massera cho sự tồn tại nghiệm
tuần hoàn của phương trình vi phân có biến hằng từng
khúc
- Nghiên cứu điều kiện tổn tại các dao động điều hoà
trong các hệ sai phân hàm dạng trung tính
- ứng dụng nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm
phương trình tiến hoá không đặt chỉnh liên kết với một

c - nửa nhóm
Nội dung nghiên cứu:
- Đánh giá phổ của một nghiệm giới nội bất kỳ của
phương trình không thuần nhất có biến số hằng từng
khúc. Từ đó suy ra các kết luận về dáng điệu tiệm cận
của nghiệm dưới dạng tiêu chuẩn Massera
- Úng dụng lý thuyết phổ của dãy vô hạn và phương pháp
toán tử giao hoán, phân rã phổ để nghiên cứu sự tồn tại
các dao động điều hoà trong hệ sai phân hàm dạng
trung tính
- Dùng phương pháp sai phân và các kết quả ở trên để
nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các nghiệm phương
trình tiến hoá đặt không chỉnh liên kết với một c - nửa
nhóm
Các kết quả đạt được:
Một bài báo (đã được nhận đăng trên một tạp chí quốc tế có uy
tín) về tiêu chuẩn Massera cho sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của
phương trình vi phân có biến hằng từng khúc
Một bài báo (đang in trên một tạp chí trong nước) về dáng điệu
tiệm cận của nghiệm phương trình sai phân hàm dạng trung tính
Một bài báo (đang gửi đăng) về phương pháp phương trình sai
phân ẩn nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương
trình tiến hoá liên kết với một c - nửa nhóm
Tinh hình sử dụng kinh phí:
Được cấp: 15.000.000 đ
Sử dụng:
- Đóng góp tiền điện nước: 600.000 đ
- Quản lý phí: 600.000 đ
- Hỗ trợ đào tạo sau đại học: 450.000 đ
- Thuê khoán chuyên môn:6.000.000 đ

- Hội thảo khoa học: 3.350.000 đ
- Mua văn phòng phẩm: 3.000.000 đ
- Cước phí bưu điện, Internet: 1.000.000 đ
SUMMARY
1. Title of project: Asymptotic behavior of solutions of iníìnite dimensional
dynamical systems.
2. Code ofproject: QT03-01
3. Head ofresearch group: Associate Professor Nguyen Van Minh
4. Participants:
a. Dr. Đang Đinh Chau,
b. MS. Nguyen Minh Man,
c. MS. Tong Thanh Trung,
d. MS. Le Huy Tien, Ha Binh Minh,
e. BS. Nguyen Trung Thanh,
f. BS. Du Duc Thang,
g. BS. Hy Duc Manh,
h. BS. Nguyen Truong Thanh,
i. Kieu Thu Linh,
j. Hoang Ngoe Tung
5. Aims and contents ofthe project:
a. Research aims:
- Estabilishing Massera criteria for the existence of almost periodic
solutions of differential equations vvith picewise constant argument.
- Study of conditions for the existence of harmonic oscillations in
neutral functional difference equations
- Applications of the above results to ill-posed evolution equations
associated with C-semigroups.
b. Contents of research:
- Estimating the spectra of bounded solutions of inhomogeneous
equations with piecwise constant argument and then deducing

conclusions on the asymptotic behavior of solutions in terms of
Massera criteria;
- Applying spectral theory of sequences, commuting operators,
spectral decomposition of bounded solutions to the study of the
existence of harmonic oscillations in neutral íunctional difference
equations.;
- Applying the above-obtained results to study the asymptotic
behavior of solutions of ill-posed evolution equations associated
with C-semigroups.
6. Main resuỉts:
a. A research paper on Massera criteria for the existence of almost
periodic solutions of differential equations with piecewise constant
argument (accepted for publication in Journaỉ of Mathematical
Analysis and Applications).
b. A research paper on the asymptotic behavior of solutions of neutral
íunctional difference equations (to appear in Journal of Science).
c. A research paper on the approach via implicit difference equations to
the study of asymptotic behavior of solutions of ill-posed evolution
equations associated with C-semigroups (submitted).
7. Grant spending:
a. Total grant: 15,000,000 VND
b.
Spending
:
Utilities (electricity, water): 600,000 VND
Management:
Post-graduate study support:
Research support:
600.000 VND
450.000 VND

6.000.000 VND
Seminars & coníerences: 3.350.000 VND
Stationery and others: 3.000.000 VND
Oversea postage, Internet: 1.000.000 VND
Hà Nội, ngày 1/8/2003
Ý kiến của ban chủ nhiệm khoa Chủ tri đề tài
GS.TSKH. Phạm Kỳ Anh PGS.TSKH. Nguyễn Văn Minh
PHAN PHỤ LỤC
Bài báo 1: Nguyen Trung Thanh, “Massera criterion for periodic
solutions of differential equation with piecewise constant argument” đã được
nhận đăng trên tạp chí: Journal of Mathematical Analysis and Applications.
Bài báo 2: Nguyen Van Minh, Nguyen Minh Man, “On the
assymptotic behavior of solutions of neutral delay difference equations”
đang in trong tạp chí: Journaỉ of Science.
Bài báo 3: Nguyên Minh Man, “Almost periodic solutions of evolution
equation associated with C-semigroups: An approach via implicit difference
equations” đang gửi đăng.