nghiệm suy rộng của phương trình monge-amperer elliptic

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
TẠ MINH TRUNG
NGHIỆM SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH
MONGE-AMPERE ELLIPTIC
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Hà Nội - Năm 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
TẠ MINH TRUNG
NGHIỆM SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH
MONGE-AMPERE ELLIPTIC
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. HÀ TIẾN NGOẠN
Hà Nội - Năm 2012
Mục lục
Mở đầu 3
1 Dạng biến phân của phương trình Monge-Ampere 5
1.1 Phương trình Monge-Ampere elliptic và dạng biến phân . . . . . 5
1.1.1 Công thức độ cong Gauss của một mặt cong trong không
gian ba chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Phương trình Monge-Ampere elliptic hai chiều . . . . . . 5
1.1.3 Phương trình Monge-Ampere n-chiều . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 Dạng biến phân của phương trình Monge-Ampere . . . . 6
1.1.5 Ánh xạ chuẩn tắc và R-độ cong của hàm lồi . . . . . . . . 7
1.2 Phiếm hàm của bài toán Dirichlet biến dạng . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Phiếm hàm I
H

(u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Các tính chất của các phiếm hàm Φ
H
, τ
H
và I
H
. . . . . 18
1.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán biến phân . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1 Ước lượng hai chiều cho I
H
(u) . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.2 Định lý chính về phiếm hàm I
H
(u) . . . . . . . . . . . . . 23
2 Bài toán Dirichlet biến dạng 25
2.1 Thể tích hỗn tạp Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.1 Hàm tựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.2 Thể tích hỗn tạp Minkowski của khối đa diện lồi . . . . . 28
1
2.1.3 Thể tích hỗn tạp Minkowski cho thể lồi bị chặn tổng quát 30
2.2 Đối ngẫu của siêu mặt lồi của một hàm lồi . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1 Ánh xạ đặc biệt trên bán cầu . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.2 Siêu mặt lồi đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán biên Dirichlet biến dạng . . . . . 39
2.3.1 Biểu thức của phiếm hàm I
H
(u) biểu diễn theo nghĩa siêu
mặt lồi đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.2 Biểu thức biến đổi của I

H
(u) . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Kết luận 47
Tài liệu tham khảo 48
2
MỞ ĐẦU
Phương trình Monge-Ampere là phương trình vi phân đạo hàm riêng phi
tuyến, được Monge đưa ra vào năm 1775.
Đối với nhiều phương trình vi phân đạo hàm riêng mà ta nghiên cứu trong
đó có phương trình Monge-Ampere, nghiệm cổ điển không phải bao giờ cũng
tồn tại, vì vậy người ta cố gắng xây dựng lý thuyết các nghiệm suy rộng hoặc
nghiệm yếu của chúng.
Luận văn này giới thiệu một cách tìm nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet
cho phương trình Monge-Ampere elliptic. Nội dung của luận văn chủ yếu dựa
vào chương IV của cuốn Convex Analysis and Nonlinear Geometric Elliptic
Equations của Ilya J.Bakelman. Cơ sở lý thuyết để nghiên cứu bài toán là các
định nghĩa và tính chất của thể lồi, các siêu mặt lồi của các hàm lồi và phương
pháp biến phân để giải phương trình vi phân đạo hàm riêng.
Chương 1 của Luận văn giới thiệu về phương trình Monge-Ampere elliptic
xuất phát từ công thức độ cong Gauss trong không gian Euclid 3 chiều E
3
và khái quát trong không gian Euclid n-chiều E
n
, đưa ra dạng biến phân của
phương trình Monge-Ampere, định nghĩa và mô tả một số tính chất của ánh xạ
chuẩn tắc và R-độ cong của một hàm lồi. Từ đó xây dựng phiếm hàm của bài
toán Dirichlet biến dạng của phương trình Monge-Ampere, chỉ ra được sự tồn
tại nghiệm của bài toán biến phân đó.
Chương 2 của Luận văn nghiên cứu bài toán Dirichlet biến dạng cho phương
trình Monge-Ampere elliptic trong đó: Giới thiệu định nghĩa và một số tính chất

của hàm tựa, thể tích hỗn tạp Minkowski của một thể lồi bị chặn trong E
n+1
,
đối ngẫu của một siêu mặt lồi của một hàm lồi. Cuối cùng chỉ ra được sự tồn tại
nghiệm của bài toán biên Dirichlet biến dạng cho phương trình Monge-Ampere
elliptic, và nghiệm này chính là cực tiểu tuyệt đối của bài toán biến phân biến
dạng xét trong chương 1.
3
Em xin chân thành cảm ơn PGS. TS Hà Tiến Ngoạn người đã luôn tận tình
chỉ bảo, góp ý giúp đỡ em trong quá trình thực hiện luận văn này. Em cũng xin
chân thành cảm ơn những góp ý quý báu của các quý thầy cô trong hội đồng
chấm luận văn.
Qua đây em cũng xin được tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ban Giám Hiệu, Phòng
Sau Đại Học, Khoa Toán-Cơ-Tin học các thầy cô đã tạo điều kiện giúp đỡ em
trong thời gian em học tập tại trường KHTN-ĐHQG Hà Nội. Cảm ơn gia đình,
bạn bè những người luôn động viên, giúp đỡ em hoàn thành luận văn này.
4
Chương 1
Dạng biến phân của phương
trình Monge-Ampere
1.1 Phương trình Monge-Ampere elliptic và dạng
biến phân
1.1.1 Công thức độ cong Gauss của một mặt cong trong
không gian ba chiều
Trong không gian Euclid E
3
cho mặt cong S có phương trình u = u(x, y),
u(x, y) ∈ C
2
(B) ∩ C(B) với B là một tập mở bị chặn trong E

2
. Khi đó độ cong
Gauss của mặt S tại điểm (x, y, u(x, y)) có dạng:
K(x, y, u(x, y)) =
u
xx
u
yy
− u
2
xy
(1 + u
2
x
+ u
2
y
)
2
. (1.1)
1.1.2 Phương trình Monge-Ampere elliptic hai chiều
Cho B là một tập bị chặn trong không gian Euclid E
2
; K(x, y, p, q) là một
hàm số nhận giá trị dương đã biết. Bài toán đặt ra là tìm hàm u = u(x, y) sao
cho mặt cong của đồ thị hàm số tại điểm (x, y, u(x, y)) có độ cong Gauss cho
5
trước và bằng K(x, y, u(x, y), u
x
(x, y), u

y
(x, y)) tức là:
u
xx
u
yy
− u
2
xy
= K(x, y, u, u
x
, u
y
)(1 + u
2
x
+ u
2
y
)
2
. (1.2)
Phương trình (1.2) được gọi là phương trình Monge-Ampere hai chiều.
1.1.3 Phương trình Monge-Ampere n-chiều
a. Ký hiệu: G là tập lồi, mở, bị chặn trong không gian Euclid E
n
;
x = (x
1
, x

2
, , x
n
) ∈ G; u = u(x); u
x
= (u
x
1
, u
x
2
, , u
x
n
); u
ij
= u
x
i
x
j
(i, j = 1, , n).
b. Phương trình Monge-Ampere
det (u
ij
) = f(x, u, u
x
) (x ∈ G), (1.3)
trong đó f(x, u, p) là hàm số đã biết.
Phương trình (1.3) được gọi là elliptic đối với hàm u(x) nếu ma trận (u

ij
(x))
n×n
là ma trận xác định dương tại mọi điểm x ∈ G. Do đó phương trình (1.3) là
elliptic nếu hàm f(x, u, p) nhận giá trị dương hay mọi nghiệm của (1.3) là hàm
lồi trên G.
c. Bài toán Dirichlet:
Tìm nghiệm u(x) ∈ C
2
(G) ∩ C(G) của phương trình (1.3) thỏa mãn:
1. u(x) là hàm lồi trong G,
2. u|
∂G
= 0.
1.1.4 Dạng biến phân của phương trình Monge-Ampere
Có một sự liên quan giữa bài toán biến phân n-chiều và bài toán Dirichlet
cho phương trình Monge-Ampere n-chiều đó là: cực tiểu tuyệt đối của bài toán
biến phân là nghiệm suy rộng của phương trình Monge-Ampere tương ứng.
Sau đây chúng ta sẽ xem xét một số vấn đề chính về mối liên hệ giữa bài
6
toán biến phân và phương trình Monge-Ampere elliptic
det (u
ij
) = f(x
1
, x
2
, , x
n
). (1.4)

Phiếm hàm
I
n
(u) = −

G
[u(x)det(u
ij
(x)) − (n + 1)f(x)u(x)]dx, (1.5)
trong đó G là một tập lồi, mở, bị chặn trong không gian Euclid E
n
. Phiếm hàm
(1.5) có phương trình Euler là phương trình Monge-Ampere (1.4).
Bakelman đã nghiên cứu bài toán biến phân cho phiếm hàm (1.5) và chứng
minh rằng cực tiểu tuyệt đối của bài toán này là nghiệm suy rộng của phương
trình elliptic (1.4).
1.1.5 Ánh xạ chuẩn tắc và R-độ cong của hàm lồi
a. Một số ký hiệu:
(x
1
, x
2
, , x
n
, x
n+1
) là tọa độ Đề các trong không gian Euclid (n + 1)-chiều
E
n+1
và E

n
là siêu phẳng x
n+1
= 0.
x = (x
1
, x
2
, , x
n
) và (x, z) = (x
1
, x
2
, , x
n
, z) là các điểm của E
n
và E
n+1
.
Cho G là một miền lồi mở bị chặn trong E
n
. Ký hiệu S
z
là đồ thị của hàm
z : G → R. W
+
(G) và W
−

(G) tương ứng là các lớp tất cả các hàm lồi và các
hàm lõm xác định trên G, nếu z(x) ∈ W
+
(G) hoặc z(x) ∈ W
−
(G) thì S
z
được
gọi là một siêu mặt lồi hay siêu mặt lõm.
b. Ánh xạ chuẩn tắc
Định nghĩa 1.1.1. Cho không gian R
n
= {p = (p
1
, p
2
, , p
n
)} với tích vô
hướng (p, q) =
n

i=1
p
i
q
i
và |p| = (p, p)
1
2

là độ dài của véc tơ p ∈ R
n
nào đó.
Không gian R
n
gọi là không gian Gradient.
Định nghĩa 1.1.2. Cho E
n
là không gian Euclid n-chiều và M là một tập
trong E
n
. Một siêu phẳng α được gọi là tựa đối với tập M nếu α ∩ M = ∅ và
tập M nằm về một phía của α.
7
Vậy nếu α là một siêu phẳng tựa của tập M khi đó α không thể đi qua các
điểm trong của M và do đó α ∩ M ⊂ ∂M.
Định nghĩa 1.1.3. Cho z(x) là một hàm lồi xác định trong G. Cho α là một
siêu phẳng tựa tùy ý của S
z
. Nếu
Z − z
0
= (p
0
, X − x
0
) = p
0
1
(X

1
− x
0
1
) + . . . + p
0
n
(X
n
− x
0
n
) (1.6)
là phương trình của α, thì điểm (x
0
, z
0
) ∈ S
z
∩ α.
Điểm p
0
= (p
0
1
, p
0
2
, , p
0

n
) ∈ R
n
được gọi là ảnh chuẩn tắc của siêu phẳng
tựa α và ký hiệu là
p
0
= χ
z
(α). (1.7)
Tập
χ
z
(x
0
) =

α
χ
z
(α) (1.8)
được gọi là ảnh chuẩn tắc của điểm x
0
(Chính xác hơn χ
z
(x
0
) là ảnh chuẩn tắc
của điểm x
0

ứng với hàm z(x)), trong đó x
0
là một điểm thuộc G, α là siêu
phẳng tựa của S
z
tại điểm (x
0
, z(x
0
)) ∈ S
z
. Rõ ràng χ
z
(x
0
) là một tập con lồi
đóng của không gian Gradient R
n
.
Nếu χ
z
(x
0
) chứa một điểm thì siêu mặt lồi S
z
có một siêu phẳng tiếp xúc
tại điểm (x
0
, z(x
0

)), điểm (x
0
, z(x
0
)) được gọi là trơn trong S
z
.
Ví dụ. Nếu z(x) là một hàm lồi, tuyến tính từng khúc khi đó χ
z
(x
0
) là
một khối đa diện lồi đóng trong không gian gradient R
n
, số chiều có thể là
0, 1, 2, , n.
Cho e là một tập con của G, tập
χ
z
(e) =

x
0
∈e
χ
z
(x
0
) (1.9)
được gọi là ảnh chuẩn tắc của e, chú ý rằng χ

z
(e) là một tập con của không
gian gradient R
n
.
Ánh xạ χ
z
xác định như trên được gọi là ánh xạ chuẩn tắc.
8
Các tính chất chính của ánh xạ chuẩn tắc của một siêu mặt lồi.
Ta vẫn ký hiệu G là tập lồi, mở, bị chặn của E
n
.
A. Cho z
1
(x) và z
2
(x) là các hàm lồi xác định trên G sao cho z
1
|
∂G
= z
2
|
∂G
và z
1
(x) ≤ z
2
(x) ∀x ∈ G. Khi đó

χ
z
2
(G) ⊂ χ
z
1
(G). (1.10)
B. Cho z(x) là hàm lồi nào đó xác định trên G. Khi đó χ
z
(F ) là một tập
con đóng bị chặn trên không gian gradient R
n
, trong đó F là một tập con đóng
của G. Nếu δ
F
là khoảng cách từ F đến ∂G, và
M(z, δ
F
) = max
x∈G:dist(x,∂G)≥δ
F
|z(x)|,
khi đó bất đẳng thức
diamχ
z
(F ) ≤ 8δ
−1
F
M(z, δ
F

) (1.11)
đúng, và χ
z
(F ) chứa trong hình cầu |p| ≤ 4δ
−1
F
M(z, δ
F
).
C. Siêu phẳng tựa α của siêu mặt lồi S
z
được gọi là kỳ dị nếu α ∩ S
z
chứa
ít nhất hai điểm phân biệt. Rõ ràng siêu phẳng tựa kỳ dị α của S
z
chứa ít nhất
một đoạn l ⊂ α ∩ S
z
.
Cho Q
z
là tập tất cả các siêu phẳng tựa kỳ dị của S
z
. Khi đó
mes
R
n



α∈Q
z
χ
z
(α)

= 0. (1.12)
Nếu Q
z
= ∅ thì S
z
được gọi là một siêu mặt lồi ngặt.
D. Nếu e là một tập con Borel của G. Khi đó tập χ
z
(e) là đo được Lebesgue
trên không gian R
n
.
E. Nếu z(x) ∈ W
+
(G) ∩ C
1
(G) thì ánh xạ chuẩn tắc có thể được rút gọn về
ánh xạ của các điểm trùng với ánh xạ tiếp xúc, tức là:
χ
z
(x
0
) = z
x

(x
0
).
9
c. R-độ cong của các hàm lồi
Cho R(p) > 0 là một hàm khả tích địa phương trong không gian gradient
R
n
. z(x) là hàm lồi nào đó xác định trên G. Ta có hàm tập
ω(R, z, e) =

χ
z
(e)
R(p)dp, (1.13)
trong đó e là tập con Borel của G (G là tập lồi, mở, bị chặn trên E
n
).
Định nghĩa 1.1.4. Hàm tập (1.13) được gọi là R-độ cong của hàm lồi z(x),
R-độ cong chỉ nhận giá trị không âm.
Cho
B(R) =

R
n
R(p)dp. (1.14)
Rõ ràng B(R) > 0. Trường hợp B(R) = +∞ không bị loại trừ. Đẳng thức
mes
R
n

{χ
z
(e
1
) ∩ χ
z
(e
2
)} = 0
đúng với mọi hai tập con Borel rời nhau e
1
và e
2
của G (xem tính chất C, của
ánh xạ chuẩn tắc).
Do đó từ định lý tích phân suy ra R-độ cong là một hàm tập hoàn toàn cộng
tính không âm trên vành các tập con Borel của G.
Các tính chất của hàm lồi có liên quan đến R-độ cong của chúng
Định lý 1.1.1. Cho z
1
(x) và z
2
(x) ∈ W
+
(G) và z
1
(x) ≥ z
2
(x) trên ∂G, trong
đó G là một tập lồi mở, bị chặn trên E

n
. Giả sử
ω(R, z
1
, e) ≤ ω(R, z
2
, e) (1.15)
với mọi tập con Borel e của G. Khi đó
z
1
(x) ≥ z
2
(x), ∀x ∈ G.
Định lý 1.1.2. Cho z
1
(x) và z
2
(x) ∈ W
+
(G) và z
1
(x) = z
2
(x), ∀x ∈ ∂G. Cho
ω(R, z
1
, e) = ω(R, z
2
, e)
10

với mọi tập con Borel e ∈ G. Khi đó z
1
(x) = z
2
(x), ∀x ∈ G.
Các bổ đề hình học và các ước lượng
Cho G là một tập lồi mở, bị chặn trong E
n
, u(x) ∈ C(G) là một hàm lồi
tùy ý triệt tiêu trên ∂G. Xét nón lồi K với đỉnh (x
0
, u(x
0
)) đáy ∂G, trong đó
x
0
là một điểm trong của G và K là đồ thị hàm số z = k(x).
Bổ đề 1.1.1. Cho R(p) > 0 là một hàm khả tích địa phương trong R
n
= {p =
(p
1
, p
2
, , p
n
)}. Khi đó
ω(R, u, G) ≥ ω(R, k, G) ≥

|p|≤ρ

R(p)dp (1.16)
trong đó ρ =
|u(x
0
)|
d(G)
, và d(G) là đường kính của G.
Nhận xét: Nếu ta xét điều kiện
u|
∂G
= h = const (1.17)
thay cho điều kiện u|
∂G
= 0 thì bất đẳng thức (1.16) có dạng:
ω(R, u, G) ≥ ω(R, k, G) ≥

|p|≤ρ
h
R(p)dp,
trong đó
ρ
h
= |h − u(x
0
)|(diamG)
−1
. (1.18)
Cho R(p) > 0 là một hàm khả tích địa phương trong R
n
= {p = (p

1
, p
2
, , p
n
)}.
Bây giờ ta có hàm
g
R
(ρ) =

|p|≤ρ
R(p)dp với ρ ∈ [0, +∞]. (1.19)
Hiển nhiên g
R
(ρ) là liên tục tăng ngặt và g
R
(0) = 0, g
R
(∞) = B(R). Ta có hàm
T
R
: [0; B(R)] → [0; +∞] là nghịch đảo của hàm g
R
(ρ). Rõ ràng T
R
(τ) cũng
liên tục và tăng ngặt.
11
Định lý 1.1.3. Cho u(x) là hàm lồi trên G thỏa mãn hai điều kiện:

a) u|
∂G
= h = const.
b) ω(R, u, G) < B(R).
Khi đó
h − T
R
(ω
u
)d(G) ≤ u(x) ≤ h (1.20)
trong đó ω
u
= ω(R, u, G).
Nhận xét: Nếu u(x) là hàm lõm trên G thỏa mãn các điều kiện a) và b). Khi
đó bất đẳng thức (1.20) có dạng
h ≤ u(x) ≤ h + T
R
(ω
u
)d(G) (1.21)
khắp nơi trong G.
Định lý 1.1.4. Cho G là một tập lồi bị chặn trong E
n
và V (ω
0
) = {z(x
0
)} là
tập tất cả các hàm lồi, lõm thuộc W (G) thỏa mãn các điều kiện sau
1. − ∞ < m ≤ z|

∂G
≤ M < +∞. (1.22)
2. ω(R, z, G) ≤ ω
0
< B(R). (1.23)
Khi đó bất đẳng thức
m − T
R
(ω
0
)d(G) ≤ z(x) ≤ M (1.24)
đúng nếu z(x) là hàm lồi. Tương tự bất đẳng thức
M ≤ z(x) ≤ M + T
R
(ω
0
)d(G) (1.25)
đúng nếu z(x) là hàm lõm.
1.2 Phiếm hàm của bài toán Dirichlet biến dạng
1.2.1 Phiếm hàm I
H
(u)
Trong mục này chúng ta xây dựng mở rộng I
H
(u) của phiếm hàm I
n
(u) tới
tập tất cả các hàm liên tục, không dương triệt tiêu trên ∂G và thiết lập tính
12
liên tục của I

H
(u). Ở đây H là một tập con lồi nào đó của G, khoảng cách của
nó tới ∂G là một số dương (h
H
= dist(H, ∂G) > 0) và G là một tập lồi bị chặn
trong E
n
.
a. Toán tử F
H
và các tính chất của nó.
Cho G là một tập lồi mở, bị chặn trong E
n
và H là tập con lồi của G có
khoảng cách đến ∂G là một số dương h
H
. H, G là bao đóng của H và G. Ký
hiệu C
−
0
(G) là tập con đóng của không gian C(G) bao gồm tất cả các hàm liên
tục không dương triệt tiêu trên ∂G. Toán tử F
H
biến tập C
−
0
(G) thành lớp các
hàm lồi đặc biệt mà sẽ được giới thiệu dưới đây. Toán tử này sẽ được dùng cho
mở rộng phiếm hàm I
n

(u) tới tập C
−
0
(G).
Định nghĩa 1.2.1. Cho
v(x) =

u(x) nếu x ∈ H
0 nếu x ∈ G | H
(1.26)
với u(x) ∈ C
−
0
(G). v(x) = u(x)ϕ
H
(x) với ϕ
H
(x) là hàm đặc trưng của tập H.
Nếu S
v
là đồ thị của v(x) thì biên của bao lồi đóng C
0
(S
v
) gồm có G và đồ thị
S
w
của hàm lồi w(x) nào đó. Rõ ràng w(x) ∈ W
+
(G) ∩ C

−
0
(G).
Trong trường hợp này chúng ta nói w(x) là mở rộng của u(x) trên tập H từ
phía dưới và kí hiệu F
H
là toán tử biến hàm u(x) ∈ C
0
(G) thành hàm lồi w(x)
tương ứng.
Các tính chất của F
H
:
(1). Mọi siêu phẳng tựa β tới S
w
qua điểm (x
0
, w(x
0
)) với x
0
∈ G | H chứa ít
nhất một đoạn AB sao cho AB ⊂ β ∩ S
w
.
Việc chứng minh được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của S
w
và từ những
tính chất đã biết của một bao lồi.
(2). Đẳng thức

mesχ
w
(G | H) = 0 (1.27)
đúng với mọi hàm w(x) = F
H
(u(x)).
13
Cho β là một siêu phẳng tựa nào đó của S
w
tại điểm (x
0
, w(x
0
)) với x
0
∈
G | H. Khi đó từ tính chất (1), suy ra β là một siêu phẳng tựa kỳ dị của S
w
vì ảnh chuẩn tắc của mọi siêu phẳng tựa kỳ dị của mọi siêu mặt lồi có độ đo
không, nên
mesχ
w
(G | H) = 0. (1.28)
Bây giờ chúng ta ký hiệu W
+
H
(G) là tập F
H
(C
−

0
(G)). Rõ ràng là
W
+
H
(G) ⊂ W
+
(G) ∩ C
−
0
(G)
và tập
W
+
H
(G) ⊂ C
−
0
(G) ∩ W
+
(G)
là không rỗng.
(3). Đẳng thức
χ
w
(G) = χ
w
(H) (1.29)
đúng với mọi hàm w(x) ∈ W
+

H
(G).
Chứng minh được suy trực tiếp từ tính chất (1).
(4). Đẳng thức
w(x) = F
H
(w(x)) (1.30)
đúng nếu và chỉ nếu w(x) ∈ W
+
H
(G).
Chứng minh. Nếu hàm w(x) ∈ C
−
0
(G) thỏa mãn phương trình (1.30) thì từ
định nghĩa của toán tử F
H
suy ra w(x) ∈ W
+
H
(G). Điều ngược lại suy ra từ tính
chất của bao lồi.
(5). Tập W
+
H
(G) là một tập con đóng của không gian C(G).
Chứng minh. Giả sử w(x) là giới hạn của dãy các hàm w
1
(x), w
2

(x), , w
m
(x),
thuộc vào W
+
H
(G) trong không gian C(G). Rõ ràng w(x) là một hàm lồi trong
C
−
0
(G). Tính chất đang xét sẽ được chứng minh nếu ta thiết lập được đẳng thức
w(x) = F
H
(w(x)) (xem tính chất (4)). (1.31)
14
Ta có
v(x) = w(x)ϕ
H
(x), v
m
(x) = w
m
(x)ϕ
H
(x). (1.32)
Hạn chế v
m
(x) và v(x) trên tập lồi compact H là các hàm lồi và
lim
m→∞

v
m
(x) = v(x)
với mọi x ∈ H và v
m
(x) = v(x) = 0 với mọi x ∈ G | H.
Do đó
C
0
{S
w
} = lim
m→∞
C
0
{S
w
m
} = lim
m→∞
C
0
{S
v
m
} = C
0
{S
v
}, (1.33)

bởi vì đẳng thức
C
0
{S
w
m
} = C
0
{S
v
m
}
suy ra từ điều kiện w
m
(x) ∈ W
+
H
(G) với mọi số nguyên dương m. Vì (1.33) là
tương đương với đẳng thức (1.31) suy ra tính chất (5) được chứng minh.
(6). Tập χ
w
(G) được chứa trong hình cầu n-chiều |P | ≤
||w(x)||
h
H
với mọi hàm
w(x) ∈ W
+
H
(G).

Chứng minh. Cho α là một siêu phẳng tựa của đồ thị S
w
của hàm w(x) ∈
W
+
H
(G) nào đó. Khi đó tồn tại một điểm x
0
∈ H sao cho điểm (x
0
, w(x
0
)) nằm
trong α. Chú ý là dist(x
0
, ∂G) không nhỏ hơn h
H
= dist(H, ∂G) > 0.
Cho K
x
0
là một nón lồi với đỉnh (x
0
, w(x
0
)) và đáy U(x
0
, h
H
), với U(x

0
, h
H
)
là một n-cầu đóng với tâm x
0
và bán kính h
H
. Cho k
x
0
là một hàm lồi hạn chế
trên K
x
0
.
Khi đó:
χ
w
(α) ⊂ χ
k
x
0
(U(x
0
, h
H
)).
Tập χ
k

x
0
(U(x
0
, h
H
)) là một hình cầu n-chiều tâm 0(0, 0, , 0) và bán kính
ρ =
||w(x)||
h
H
. Do đó χ
w
(G) được chứa trong hình cầu n-chiều ρ ≤
||w(x)||
h
H
trong
R
n
với mọi hàm w(x) ∈ W
+
H
(G).
15
(7). Từ (6) suy ra trực tiếp hàm w(x) ∈ W
+
H
(G) bất kì thỏa mãn điều kiện
Lipschitz với hằng số ||w(x)||/h

H
|w(x + q) − w(x)| ≤
||w(x)||
h
H
|q|
với x và x + q là các điểm bất kỳ của G.
(8). Toán tử F
H
: C
−
0
(G) → W
+
H
(G) là liên tục.
Chứng minh. Cho dãy hàm u
n
(x) ∈ C
−
0
(G) hội tụ đều tới hàm u(x) ∈ C
−
0
(G).
Lấy số ε > 0, xét hai hàm
v
(1)
ε
(x) =


0 nếu x ∈ G | H hoặc nếu u(x) ≥ −ε
u(x) + ε nếu u(x) < −ε
và hàm
v
(2)
ε
(x) =

0 nếu x ∈ G |H
u(x) − ε nếu x ∈ H.
Cho v(x) = u(x)ϕ
H
(x) và v
n
(x) = u
n
(x)ϕ
H
(x) là các hàm đã được xét
trong định nghĩa toán tử F
H
(Chú ý ϕ
H
(x) là hàm đặc trưng của tập H). Khi
đó v
(2)
ε
(x) = v(x) − ε với mọi x ∈ H và
v

(1)
ε
(x) =

v(x) + ε nếu u(x) < −ε
0 nếu x ∈ G | H và u(x) ≥ −ε
cũng với mọi x ∈ H.
Vì v
n
(x) hội tụ đến v(x) trên G, tồn tại số tự nhiên N sao cho
v
(2)
ε
(x) ≤ v
n
(x) ≤ v
(1)
ε
(x) ∀n ≥ N và x ∈ G.
Từ định nghĩa của toán tử F
H
suy ra
F
H
(v
(2)
ε
(x)) ≤ w
n
(x) ≤ F

H
(u
n
(x)) ≤ F
H
(v
(1)
ε
(x)) ∀n ≥ N và x ∈ G.
Từ
lim
ε→0
F
H
(v
(2)
ε
(x)) = lim
ε→0
F
H
(v
(1)
ε
(x)) = w(x)
16
chúng ta có
F
H
(u(x)) = w(x) = lim

n→∞
w
n
(x) = lim
n→∞
F (u
n
(x)).
Tính chất (8) được chứng minh.
b. Phiếm hàm I
H
(u)
Cho H là một tập con lồi của tập lồi bị chặn G trong E
n
sao cho h
H
=
dist(H, ∂G) > 0. Cho u(x) ∈ C
−
0
(G) và w(x) là hàm lồi được xây dựng ở trên
theo cách của u(x).
Ta định nghĩa phiếm hàm
Φ
H
(u) = −

G
uω(w, de) (1.34)
trên tập C

−
0
(G) với ω(w, e) là độ đo Lebesgue của ánh xạ chuẩn tắc của hàm
lồi w(x) = F
H
(u(x)). Từ tính chất (2) suy ra
ω(w, G | H) = 0 (1.35)
với mọi hàm w(x) = F
H
(u(x)).
Cho ψ(e) là một hàm tập hợp cộng tính hoàn toàn không âm trên các tập
con Borel của G và ψ(G) < +∞, ta định nghĩa một hàm tập mới
ψ
H
(e) = ψ(e ∩ H). (1.36)
Rõ ràng ψ
H
(e) là một hàm tập cộng tính hoàn toàn không âm trên tập con
Borel G và
ψ
H
(G|H) = 0. (1.37)
Bây giờ ta có phiếm hàm:
τ
H
(u) =

G
uψ
H

(de) (1.38)
và
I
H
(u) = Φ
H
(u) + (n + 1)τ
H
(u) (1.39)
trên tập C
−
0
(G).
17
1.2.2 Các tính chất của các phiếm hàm Φ
H
, τ
H
và I
H
Định lý 1.2.1. Các bất đẳng thức và đẳng thức
Φ
H
(w) = Φ
H
(u) (1.40)
τ
H
(w) ≤ τ
H

(u) (1.41)
I
H
(w) ≤ I
H
(u) (1.42)
đúng với mọi hàm u(x) ∈ C
−
0
(G) và hàm lồi w(x) = F
H
(u(x)).
Nhận xét: Giả sử ψ(e) ≥ C
0
mes(e) với mọi tập con Borel e ⊂ G, ở đây
C
0
= const > 0. Khi đó đẳng thức có thể đạt được trong (1.41) và (1.42) khi
và chỉ khi hạn chế của u(x) trên tập H lồi n-chiều là một hàm lồi
u(x)|
H
= w(x)|
H
(1.43)
trong đó w(x) = F
H
(u(x)).
Chứng minh. Từ đẳng thức (1.35) và (1.37) suy ra:
Φ
H

(u) = −

H
u(x)ω(w(x), de), (1.44)
τ
H
(u) =

H
u(x)ψ
H
(de). (1.45)
Từ u(x) ≥ w(x) với mọi x ∈ H, khi đó từ (1.45) ta thu được
τ
H
(u) ≥

H
w(x)ψ
H
(de) =

G
w(x)ψ
H
(de) = τ
H
(w).
Rõ ràng
τ

H
(u(x)) = τ
H
(w(x)) (1.46)
nếu u(x) và w(x) trùng nhau trên tập H. Ngược lại điều kiện ψ(e) ≥ C
0
mes(e)
(xem nhận xét) và đẳng thức (1.46) cho ta u(x) = w(x) với mọi x ∈ H.
Ta kí hiệu H
u
là tập gồm các điểm x ∈ H với u(x) = w(x) và S
H
u
là phần
18
đồ thị của u(x) với x ∈ H
u
. Mọi siêu phẳng tựa α của đồ thị hàm w(x) có ít
nhất một điểm chung với tập S
H
u
. Do đó χ
w
(G|H
u
) chỉ gồm ảnh của các siêu
phẳng tựa kì dị tới đồ thị của w(x). Vì vậy từ tính chất (2) suy ra là
ω(w, G|H
u
) = 0.

Vì thế
Φ
H
(u) =

G
uω(w, de) =

H
u
uω(w, de)
=

H
u
wω(w, de) =

G
wω(w, de)
= Φ
H
(w).
Bất đẳng thức (1.42) bây giờ suy ra trực tiếp từ (1.41) và (1.40). Định lý
được chứng minh.
Định lý 1.2.2. Các phiếm hàm Φ
H
(u), τ
H
(u) và I
H

(u) là liên tục trên tập
C
−
0
(G).
Cho các hàm u
1
(x), u
2
(x), , u
n
(x) trong C
−
0
(G) và hội tụ đều tới hàm
u(x) ∈ C
−
0
(G). Khi đó các hàm tập ω(w
n
, e) hội tụ yếu tới hàm tập ω(w, e) với
w
n
= F
H
(u
n
) và w = F
H
(u) là các hàm lồi trong W

+
H
(G). Bây giờ sử dụng các
kết quả đã nói ở trên và tính chất (2) chúng ta thu được chứng minh của định
lý 1.2.2.
Vậy chúng ta có thể tìm được các hàm làm cực tiểu tuyệt đối các hàm liên
tục I
H
(u) chỉ trên tập các hàm lồi W
+
H
(G).
1.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán biến phân
Từ phần 1.2 suy ra cực tiểu tuyệt đối của phiếm hàm I
H
(u) chỉ có thể đạt
được tại hàm lồi w(x) ∈ W
+
H
(G). Trong phần này ta thiết lập sự tồn tại của
cực tiểu tuyệt đối w(x) cho phiếm hàm I
H
(u) với w(x) ∈ W
+
H
(G).
19
1.3.1 Ước lượng hai chiều cho I
H
(u)

Bổ đề 1.3.1. Bất đẳng thức:
|w(x)| ≥
h
H
diamG
||w(x)|| (1.47)
đúng cho mọi hàm lồi w(x) ∈ W
+
H
(G), ∀x ∈ H.
Chứng minh. Bất đẳng thức (1.47) đúng cho trường hợp tầm thường w(x) = 0
trong G. Do đó chúng ta giả sử ||w(x)|| > 0. Cho w(x) ∈ W
+
H
(G) bất kỳ. Từ
tính chất (1) suy ra tồn tại điểm x
0
∈ H sao cho
||w(x)|| = |w(x
0
)|. (1.48)
Bây giờ ta xem xét nón lồi K với đỉnh (x
0
, w(x
0
)) và đáy G. Giả sử K là đồ
thị của hàm lồi k(x). Khi đó
w(x) < k(x) < 0 (1.49)
với mọi x ∈ G và
w(x)|

∂G
= k(x)|
∂G
= 0. (1.50)
Đẳng thức
|k(x)| =
|xx

|
|x
0
x

|
|k(x
0
)| (1.51)
đúng cho điểm x ∈ H nào đó, với x

là giao điểm của tia x
0
x và ∂G (gốc x
0
) và
|xx

| = dist(x, x

), |x
0

x

| = dist(x
0
, x

).
Từ
|xx

| ≥ h
H
(1.52)
|x
0
x

| ≤ diamG (1.53)
khi đó ta có
|k(x)| ≥
h
H
diamG
|k(x
0
)|. (1.54)
20
Nhưng
|k(x
0

)| = |w(x
0
)| = ||ω||, (1.55)
vì nón K có đỉnh tại điểm (x
0
, w(x
0
)) và
||w(x)|| = |w(x
0
)|. (1.56)
Từ (1.49), (1.54) và (1.55) ta thu được bất đẳng thức (1.47).
Bổ đề 1.3.2. Bất đẳng thức
||w(x)|| ≤

ω(w, G)
µ
n

1/n
(diamG) (1.57)
đúng với mọi hàm lồi w(x) ∈ W
+
(G) ∩ C
−
0
(G) với µ
n
là thể tích của hình cầu
đơn vị n chiều.

Bổ đề này là một trường hợp đặc biệt của Định lý 1.1.3.
Định lý 1.3.1. Bất đẳng thức
I
H
(w) ≥
µ
n
h
H
(diamG)
n+1
||w(x)||
n+1
− ψ
H
(G)(n + 1)||w(x)|| (1.58)
đúng với mọi hàm w(x) ∈ W
+
H
(G).
Chứng minh. Từ Bổ đề 1.3.1, ta có

G
[−w(x)]ω(w, de) ≥
h
H
diamG
||w(x)||ω(w, H). (1.59)
Nhưng từ tính chất (3) suy ra ω(w, H) = ω(w, G). Bây giờ từ Bổ đề 1.3.2,
ta có

ω(w, G) ≥
µ
n
(diamG)
n
||w(x)||
n
. (1.60)
Vậy bất đẳng thức (1.59) và (1.60) dẫn đến bất đẳng thức

G
[−w(x)]ω(w, de) ≥
µ
n
h
H
(diamG)
n+1
||w(x)||
n+1
. (1.61)
21
Từ (1.61) ta có bất đẳng thức cuối cùng (1.58) với
I
H
(w) = −

G
w(x)ω(w, de) + (n + 1)


G
w(x)ψ
H
(de).
Định lý được chứng minh.
Định lý 1.3.2. Bất đẳng thức
I
H
(w) ≤
µ
n
h
n
H
||w||
n+1
−
(n + 1)h
H
diamG
ψ
H
(G)||w|| (1.62)
đúng với mọi hàm lồi w(x) ∈ W
+
H
(G).
Chứng minh. Đầu tiên ta ước lượng phía trên tích phân

G

[−w(x)]ω(w, de). Ta
có
0 ≤

G
[−w(x)]ω(w, de) ≤ ||w||ω(w, G).
Từ tính chất (6) ta có:
0 ≤

G
[−w(x)]ω(w, de) ≤
µ
n
h
n
H
||w||
n+1
. (1.63)
Bây giờ ta ước lượng phía dưới cho

G
|w(x)|ψ
H
(de). Từ ψ
H
(G| H) = 0 khi
đó

G

|w(x)|ψ
H
(de) =

H
|w(x)|ψ
H
(de).
Bây giờ từ Bổ đề 1.3.1 suy ra

G
|w(x)|ψ
H
(de) ≥
h
H
diamG
||w(x)||ψ
H
(G). (1.64)
Vậy từ (1.63), (1.64) ta thu được kết quả cuối cùng
I
H
(w) = −

G
wω(w, de) + (n + 1)

G
wψ

H
(de)
≤
µ
n
h
n
H
||w||
n+1
−
(n + 1)h
H
ψ
H
(G)||w||
diamG
,
bởi vì w(x) ≤ 0 trong G. Định lý 1.3.2 được chứng minh.
22
1.3.2 Định lý chính về phiếm hàm I
H
(u)
Cho U(H, m, M) là tập con các hàm w(x) ∈ W
+
H
(G) thỏa mãn điều kiện
m ≤ ||w(x)|| ≤ M, (1.65)
ở đây 0 ≤ m < M < +∞ là các hằng số. Nếu m = 0 thì U(H, m, M) gồm các
hàm w(x) ∈ W

+
H
(G) thỏa mãn bất đẳng thức
||w(x)|| ≤ M. (1.66)
Bổ đề 1.3.3. Mọi tập U(H, m, M) là compact trong C(G).
Chứng minh. Tập U(H, m, M) là đóng và bị chặn trong C(G) và với hàm w(x) ∈
U(H, m, M) thỏa mãn điều kiện Lipschitz bậc một với hằng số Mµ
1/n
n
(h
H
)
−1
.
Vậy U(H, m, M ) là compact trong C(G). Bổ đề 1.3.3 được chứng minh.
Định lý 1.3.3. (Định lý chính về cực tiểu tuyệt đối cho I
H
(u))
Phiếm hàm I
H
(u) có ít nhất một cực tiểu tuyệt đối là một hàm u = w
0
(x)
chứa trong W
+
H
(G) và cực tiểu này thỏa mãn bất đẳng thức m
0
≤ ||w(x)|| ≤ M
0

với
m
0
=
1
2

h
n+1
H
ψ
H
(G)
µ
n
(diamG)

1/n
,
M
0
= max

I,
(n + 1)ψ
H
(G) + I
µ
n
h

H
(diamG)
n+1

.
Chứng minh. Từ Định lý 1.3.1 suy ra lim
k→∞
I
H
(w
k
) = +∞ nếu w
k
(x) ∈ W
+
H
(G)
và ||w
k
(x)|| → +∞. Do đó ta có thể tìm được một số dương M
0
sao cho
I
H
(w) > 1 nếu ||w(x)|| > M
0
. Ví dụ ta có thể lấy M
0
là số M
0

nói đến trong
Định lý 1.3.3. Bây giờ từ biểu thức của I
H
(u) và Định lý 1.3.2 ta thấy I
H
(0) = 0
và I
H
(w) < 0 nếu w ∈ W
+
H
(G), ||w|| > 0 và ||w|| là đủ nhỏ. Do đó I
H
(u) là bị
chặn dưới và I
H
(u) nhận giá trị âm.
Bây giờ ta xét hàm
ϕ(t) =
µ
n
h
n
H
t
n+1
−
(n + 1)h
H
diamG

ψ
H
(G)t, với t ∈ [0, +∞).
23