Sáng tạo cách giải hệ phương trình hay và khó
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (137.17 KB, 10 trang )
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ
Ý tưởng: biến đổi một phương trình của hệ để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) tức là tìm
mối liên hệ giữa hai ẩn x và y rồi thế vào phương trình còn lại để giải phương trình mới.
Một số phương pháp biến đổi thường gặp:
Biến đổi cơ bản (khử căn thức, nhân chia đa thức, ).
Đưa về phương trình tích nhờ vào định lý Viet đảo, phương trình đẳng cấp,
Kĩ thuật nhân liên hợp.
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
A-PHƯƠNG PHÁP THẾ VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
ĐK:
, thế vào (2) ta được:
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm: x=3; y=1.
♣Nhận xét: đây là một hệ hoàn toàn cơ bản, chỉ cần biểu diễn y theo x rồi thế vào phương
trình còn lại, đưa về phương trình bậc cao giải được.
Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình
Ví dụ 2: Giải hệ phương
trình:
ĐK:
, thế vào (1) ta được:
Xét hàm số:
hàm số đồng biến trên
khoảng .
Phương trình trở thành f(x)=9
và có không quá 1 nghiệm, suy ra x=2.
Tóm lại, hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm: x=2; y=1.
Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
Đk: x>0. Từ (2) suy ra y<0 vì
nếu thì VT(2)>0
=−
=−−
)2(6516
)1(312
24
yx
yx
1;0
≥≥
yx
4
136
1
4
)3(
)1(
22
+−
=+
−
=⇔
xxx
y
( ) ( )
30782612)3(0234156621265136
223
2
24
=⇒=+−−⇔=−+−⇔=+−− xxxxxxxxxx
=++−−+−
=+−
05248914
312
23
xyyxyxx
yx
=−
=−+−
)2()1(
)1(18
4
3
yx
yxx
0;1
≥≥
yx
2
)1()2( −=⇔ xy
912
)1(18
23
23
=−++−⇔
−=−+−
xxxx
xxx
);1[:12)(
23
+∞=−++−== DTXDxxxxxfy
1,0
12
1
223'
2
>∀>
−
++−= x
x
xxy
);1( +∞
( )
=
=
yx
ye
x
lglg
ln
=+++
=
+
)2(0414
)1(2log
2
2
2
yxyx
x
y
0≥y
Ta biến đổi phương trình (2):
Thay vào
phương
trình (1)
ta được:
(vì y<0)
Xét hàm số: , dễ thấy
hàm số đồng biến trên
TXĐ, lập luận để đưa tới kết quả phương trình f(y)=0 có 1 nghiệm y=-1
Suy ra: x=4. Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm: x=4; y=-1.
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
, với điều kiện đó, ta chia 2
vế của phương trình (1) cho
x-y
Thế vào phương trình (2) và biến đổi:
.
So điều kiện, kết luận hệ phương trình có 1 nghiệm: (x;y)=(25;16).
Bài tập tương tự: Giải các hệ phương trình sau.
Gợi ý: đặt , sau đó bình phương
phương trình thứ hai của hệ.
B- ĐƯA VỀ
PHƯƠNG TRÌNH
TÍCH NHỜ ĐỊNH
LÝ VIET ĐẢO, PHƯƠNG
TRÌNH ĐẲNG CẤP,
Cách biến đổi này rất thông dụng trong một số trường hợp phương trình của hệ
có dạng phương trình đa thức bậc hai, bậc ba, Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
( )
( )( )
2
2224222
222
2
4
040444016164
4)1(16
0414
y
xxyxyxxyyxxyx
yyxx
yxyx
=⇔=−⇔=++−⇔=−+−⇔
+=+⇔
>+−=+
02)(log22.42
4
log
2
2
2
2
=−−+⇔=
+
y
y
yy
)0;(:2)(log22.4)(
2
−∞=−−+== DTXDyyfy
y
( )
=−
−=−+−
)2(369
)1(3
22
22
yx
yxyxyxyx
0: >− yxĐk
yx
yx
y
yx
x
yx
y
yx
x
yx
y
yx
x
yx
y
yx
x
2516
3
4
;
3
5
3
1
3
1
3
=⇒=
−
=
−
⇒
=
−
−
−
⇔=
−
−
−
⇔=
−
+
−
25625
2
±=⇔= xx
=+−
=+
442
24
4
21
)1
xyxy
yx
4
xt =
=−
=+−−
04
222
)2
23
yx
yxyx
−
+
=
=
−−
−+
y
x
y
x
x
yxx
yxx
630
35
5
9
)3
22
22
+=+
+−=−
3
)32)((92
)4
22
33
xyyx
xyyxyx
( )
=+
+−=−−−
1log
83
19
22.543
)5
2
xy
x
x
xx
y
Đk:
Nhận xét: khi gặp 1 phương
trình bậc 2 đối với x (hoặc y) nên thử đưa phương trình đó về phương trình tích:
Nháp: ta xem đây như phương
trình bậc 2 có:
Từ đây ta đưa (1) về phương
trình tích như sau:
Từ (3) & (2) ta có:
x=y=1.
Từ (4) & (2) ta có:
Kết luận hệ có 3 nghiệm.
♣Nhận xét: cách biến đổi này
khá quen thuộc với người
làm, tuy nhiên trong một số trường hợp phương trình của hệ sẽ biến hóa, nghĩa là nó
không giữ nguyên dạng phương trình đa thức thì ta vẫn có thể đặt ẩn phụ để đưa về
phương trình đa thức dạng tổng quát.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
Từ phương trình (1) gợi cho
ta nhớ tới việc dùng định lý
Viet. Thật vậy:
Thế vào phương trình
còn lại của hệ và biến
đổi, ta được:
Kết luận hệ có 2 nghiệm.
Bài tập tương tự: Giải phương trình
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
2 2
2 2 2 (1)
1 2. (2)
x xy y y x
y x y x
+ + = +
− + + =
1 0.x y− + ≥
022)2()1(
22
=−+−+⇔ yyxyx
222
)23()22(4)2( −=−−−=∆ yyyy
=+
=
⇔=−+−⇔
)4(22
)3(
0)22)(()1(
yx
yx
yxyx
0; 2
2 2
1 8
; .
3 3 2
3 3
y x
x y
y x
y y y
= =
= −
⇔
= − =
− =
=+++−
=+−+−+
)2(025124
)1(01421228
2
24
xxy
xxyy
( )
( )
( )
312
514
314
115216'
012;01528)1(
2
2
2
2
2
224
−+=⇔
−−=−−−=
−=++−=
⇒
+=−++=∆
≥+==+−−+⇒
xy
vvy
vvy
vvv
xvvvyy
=→=
=→=
⇔=+−⇔−=+
1
2
15
04
06023211212
2
yx
yx
xxxx
( ) ( )
++=+
=+
yxyxyxx
yx
222
3
5
4
Vì y=0 không là nghiệm của hệ
nên:
Ngoài cách
trên ta còn
có thể bình
phương 2
vế của (1):
-Khi thay vào (2):
vô nghiệm.
-Khi thay vào
(2): , suy ra:
Thử lại ta thấy hệ
phương trình đã cho có 1 nghiệm:
♣Nhận xét: đây là một cách biến đổi
rất hay và rất phổ biến, tức là biến
đổi để đưa về phương trình giải được rồi sau đó thế vào phương trình còn lại. Thử xét tiếp ví
dụ tương tự.
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
Vì y=0 không là nghiệm
của hệ nên ta chia phương
trình thứ hai của hệ cho và
biến đổi,ta được:
Thế vào phương trình
còn lại, giải tìm x:
Kết luận hệ có 4 nghiệm.
Ví dụ 5: Giải hệ phương
trình:
Đk:x>0.
=−+−
−=−
)2(152
)1(232
22
22
yxyx
xyyxy
=
=
⇔
−=
−
=
−
⇒=
−
+
−
⇔=
−
+⇔
=−+⇔
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
52
2
2
1
2
2
2
2
3
2
2
322)1(
yx
yx
y
yx
y
yx
y
yx
y
yx
y
yx
y
x
yyxyx
( ) ( )
( )( )
=
=
⇒=−−⇔=+−⇔
+−=−⇔
−=−⇔
2
2
22224
22442
2
222
52
0252041410
41292
232)1(
yx
yx
xyxyxxyy
xxyyyxy
xyyxy
2
yx =
13
2
=− y
2
52 yx =
3
2
=y
3
5
=x
( )
−=
3
2
;
3
5
;
11
yx
( )
−−=+−+−
=+−
xyyxyyx
xyx
232122
3
24242
2
1,0
12
1
223'
2
>∀>
−
++−= x
x
xxy
3
1
2261
11
2
2
2
22
=+⇒−=−
+−
+
y
x
y
x
y
x
+±=−=
±==
⇒
−=
=
21;24
1;2
24
2
yx
yx
x
x
=−++
=++
)2(22
4
)1(32
2
2
2
4
yx
x
y
x
xyx
−
=−+⇔
2
2
22
2
22)2(
x
yx
yxx
Đặt , (2) trở thành:
, thế vào (1):
Kết luận hệ có 1 nghiệm:
.
Bài tập tương tự: Giải các hệ phương trình
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình:
Chia 2 vế của phương
trình đầu cho ta được:
Thế vào phương trình còn lại và biến đổi:
Kết luận hệ có 1 nghiệm:
Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình
Bài tập rèn luyện:
Giải các hệ phương trình sau
Gợi ý: chú ý
phương trình thứ
nhất là phương trình đẳng cấp.
Gợi ý: đặt suy ra y, rồi thế vào
0
2
2
≥
−
=
x
yx
u
( )( )
2422
20202 xyxuxuxuxuuxx =+⇔=⇒=+−⇔=−+
2
13105384
2
137
3
+−
=⇒
−
=⇔=+ yxxx
( )
+−−
=
2
13105384
;
2
137
; yx
−=
=+
−+=−+
−−=+
yx
x
y
yx
b
yxyxx
yx
y
x
y
a
4
2
32
2
0loglog
)
232
262
)
=−+−+−
++=−+−+−
y
x
yyxyx
yxxyxyxyx
3
2
1
13343
7237
1: ≥≥ yxĐK
x
4
3
03
2
3
7
2
5
1
2
1
2
5
71
0;0371712
7
12371
=⇒=
−−+
−−+
−−+
−+⇔
>==−−−−−−++⇒
++=−+−+−
ttttt
x
y
ttttt
x
y
x
y
x
y
x
y
3
4
111 =⇒=⇔=−+ xyyy
1;
3
4
== yx
−+=−+−+−
−=+−
3
3
333
2
3
51622537210
142
xyxyxyxyx
xyyx
( )
( )
( )
−+−++=+−−+
−=+
217112228
42
)1
2
yxxxyyxy
xxyyxyyx
( )
( )
+
−
=+
−
=−
1
47
82
14
2
)2
3
2
3
xx
y
yx
xx
y
yx
yxt −=
3
phương trình đầu tiên của hệ, đưa về phương trình tích.
4)
5)
C-BIẾN ĐỔI NHỜ KĨ
THUẬT NHÂN LIÊN HỢP.
Mục đích của cách biến đổi này là
đưa một phương trình của hệ về phương trình tích, kĩ thuật phân tích cũng giống như
trong phương trình vô tỷ.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
Thế vào phương
trình (1):
So điều kiện, kết
luận hệ có 1 nghiệm:
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
Biến đổi phương trình thứ hai của hệ:
Thế vào phương trình
còn lại:
Thử lại ta thấy hai nghiệm trên đều thỏa mãn. Kết luận hệ có 2 nghiệm.
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
Thế vào (1):
( )
( )
( )
( )
( )
+=++−
−=+++
15477232
)1(47232
)3
2
2
2
xxyx
xxy
2
3 1 2 4 2 0
1 2 2.
x x y y
x y x
− − − + =
− − + =
( )
−=+−+
++=−
42414
23422
xyx
yxyx
+=+++
=+
)2(52347
)1(
4
13
24
yxyxyx
yx
( ) ( )
( )
2
3
0
534
23
57
232
053457)2(
x
y
yxyx
yx
yxyx
yx
yxyxyxyx
=⇔=
+++
−
+
+++
−
⇔
=+−+++−+⇔
11
4
13
4
9
2
2
4
±=⇔=⇒=+ xx
x
x
( )
=
2
3
;1; yx
−=−+−−
−=−
xyyxyxyx
yx
22
4
222
12
1;2: ≥≥ yxĐk
( )( )
yxyx
xyyxyx
yxyx
yx
xyyxyx
xyyxyx
yxxyyxyx
202
22
12
02
22
22
0222
22
22
22
22
=⇒=−+
−+−−
++−
⇔
=−+
−+−−
+−−−
⇔
=−+−−−−
( )
==
==
⇒
=
=
⇔−=−⇔−=−
4
5
;
2
5
1;2
4
5
1
114122
2
4
yx
yx
y
y
yyyy
+=−++++
=+
)2(1123.2
)1(17
3
32
yyxyxyx
yx
( ) ( )
( )
12012
13
12
122
12
.3
01213123
1123.2)2(
3
3
2
3
3
=+⇒=−+
+++
−+
+
++++
−+
+⇔
=−+++−++−++⇔
+=−++++⇔
yxyx
yyx
yx
yxyx
yx
yx
yxyyxyxyx
yyxyxyx
. Kết luận hệ có 1 nghiệm:
(x;y)=(-3;2).
Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình:
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
Nhận xét: về hình thức, đây là
hệ vô tỷ quen thuộc, giải được
bằng cách phá căn, tuy nhiên
phương pháp biến đổi đó không thể áp dụng cho bài này vì sẽ rất cồng kềnh, phức tạp. Ta sẽ
giải như sau:
Lấy (1)x3 rồi trừ cho (2)x2:
Thế vào phương
trình (1):
Vậy hệ đã cho có 1
nghiệm:
Bài tập rèn luyện: Giải
các hệ phương trình:
1)
Gợi ý: từ phương
trình đầu ta chứng
minh x=1 (dùng kỹ thuật nhân liên hợp), sau đó thế vào phương trình còn lại.
2)
Gợi ý: chứng minh từ
phương trình đầu của hệ.
3)
Gợi ý: chứng minh
x+y=2y-1 từ phương trình thứ hai.
3201644
23
−=⇒=⇒=−−+ xyyyy
=−−+−−−
=−+
012.
14
2
3
2
yxyxxyx
yyx
=+++
=++−
)2(3
8
31
22
)1(222
y
xyx
yxyx
( )
13
10
0
8
31
23
1310
2223
1310
0
8
31
462223
0
8
31
422623
x
y
y
xyx
yx
yxyx
yx
y
xyxyxyx
y
xyxyxyx
=⇔=
+++
−
+
++−
−
⇔
=
+−+++−−⇔
=+−+−++−
2
19
132299
2
13
10
2
13
10
2
−
=⇒=++− x
x
x
x
x
22
19
132299
13
10
;
19
132299
−
=
−
= yx
=
−+−
−++−
=+−+−−+
11212
2
2
x
x
y
xxx
x
y
x
xxyyxyyxxx
( ) ( )
( )( )
+
=−−−+
=−−+−+
1
2
11
01221
3
222
x
x
xxxy
yxxyxx
2
xy
=
( )
( )
( ) ( )
+−=−−+
+−+=−
yxyyyx
yyyx
12121
11201392
2
4)
Gợi ý: chứng minh
x=2y từ phương trình đầu.
D-ÁP DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
*Định nghĩa:
Cho hàm số y=f(x) và khoảng K. Khi đó:
+Hàm số f(x) đồng biến
trên K
+Hàm số f(x) nghịch
biến trên K
Ta áp dụng tích chất này của hàm số đơn điệu để đưa một phương trình của hệ
về hàm đặt trưng, sau đó chứng minh hàm số này đơn điệu (nếu được) để suy ra
mối liên hệ x,y.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
Rõ ràng nếu xét hàm số: thì pt(1)
có dạng f(x)=f(y), do đó: là hàm đặc
trưng của phương trình (1). Thật vậy:
Xét hàm số:
, suy ra hàm số đồng biến
trong khoảng .
+Nếu x>y thì f(x)>f(y), vô lí.
+Nếu x<y thì f(x)<f(y), vô lí.
Vậy x=y, thế vào pt(2) ta được: .
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
Ta có:
Xét hàm số: , từ đó dễ dàng suy
ra:
Thế vào pt(2) và biến đổi ta được:
Kết luận hệ
có 2 nghiệm:
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
(vì x=0 không là nghiệm).
=+−
=+++−+−
1log
25.332.3
2
4
44
yyx
yxyxyxyxyx
( ) ( )
212121
,; xfxfxxKxx <⇒<∈∀⇔
( ) ( )
212121
,; xfxfxxKxx >⇒<∈∀⇔
=+
−=−
)2(2
)1(
44
yx
xeye
yx
0,: ≥yxĐk
yexe
yx
+=+⇔)1(
tetf
t
+=)( tetf
t
+=)(
);0[:)( +∞=+= DTXĐtetf
t
0;0
2
1
)(' >∀>+= t
t
etf
t
( )
+∞;0
11
4
==⇒=
yxx
=++
=−−+−
yxx
yxyx
32
03392
2236
( ) ( )
3232
03392
3
26
2236
+++=+⇔
=−−+−
yyxx
yxyx
023)(';2)(
23
>+=+= ttftttf
3
2
+=
yx
−=
=
⇒
±=
=−=
⇔
+=−−
+=
⇔
++=
+
2
3
2
3;1
321
32
2
1
32
2
1
22
x
x
x
xx
xx
xx
xx
( ) ( ) ( )
( )
1;2;;0;3; −−== yxyx
( )
( ) ( )
=+++
++=++
)2(61214
)1(11422
223
222
xxyx
xxyyx
0: >xĐk
2
x
Ta chia 2 vế của pt(1) cho
Hàm đặc trưng:
Suy ra: , thế vào (2):
Phương trình này cũng được giải
bằng phương pháp hàm số: x=1
Vậy hệ đã cho có 1 nghiệm:
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
Hàm đặc trưng của phương
trình (1) là:
Suy ra:
thế vào phương trình (2) ta được phương trình:
(vì y>0)
Vậy hệ phương trình đã cho có 1
nghiệm:
*Lưu ý: ngoài ra ta có thể làm như sau:
Đặt: thế vào phương trình (1) ta
được:
Đến đây ta dễ dàng chứng minh
được: u=v.
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:
Ta có:
Hàm đặc trưng:
Suy ra: , thế vào phương trình còn lại:
Xét hàm số:
nên hàm số đồng
biến, phương trình có 1 nghiệm: x=2.
Từ đó kết luận hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm: (x;y)=(2;5).
Bài tập rèn luyện: Giải các hệ phương trình sau
(
)
++=++
2
2
1
11
1
1412
xx
yy
(
)
RDTXĐtttf =++= :11)(
2
0
1
11)('
2
2
2
>
+
+++=
t
t
ttf
x
y
1
2 =
( )
612
23
=+++ xxxx
( )
=
2
1
;1; yx
=+
−−=−−
)2(13
13
2
)1(313)526(32)54(
2
y
y
x
yyxx
( )
tttf 12)(
2
+=
yxyx 13231332 =⇔−=−
3212
2
=⇒= yy
32;313 == yx
+
=
+
=
⇒
−=
−=
13
3
2
3
313
32
2
2
v
y
u
x
yv
xu
vvuu +=+
33
22
( )
=+++−
=+++
6)2(log43log
3)2(log
3
3
2
3
yxxy
yxyx
x
x
( ) ( )
xx
xyxyxyxyx 322log32log
33
+=+++⇔=+++
tttf
+=
3
log)(
x
yx 32
=+
( )
642log
3
2
=++ xxx
( )
);0(:;0642log)(
3
2
+∞==−++= DTXĐxxxxf
0)(' >xf
=−++
=−−++
74324
025)3()14(
)1
22
2
xyx
yyxx
=+−+
−+=+−−
2
1
932293
)2
22
2323
yxyx
yyyxxx
( )( )
( )
+=++
−+=−−
xxyxy
yxyx
2
3
22
2820122
)3
( )( )
+++=++−
=++++++
xyyxyy
yyxxx
20134220129
11221
)4
2
22
( ) ( )
+−=−−+
=+
yxyyyx
yx
211
5
)5
22
( )
+−−=+
−−=−+−
3
323
123142
23221342
)6
yxx
yyxxxx
( )
+++=++−−
+−=+
221212523
3422
)7
222
22
yyyxxxx
yxyx
