skkn cách tiếp cận bài toán tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

SKKN: Tích phân đổi biến số
MỤC LỤC Trang
1.Đặt vấn đề ( Bối cảnh và lý do chọn đề tài ) 2
2.Giải quyết vấn đề ( Nội dung sáng kiến kinh nghiệm ) 3
2.1 Cơ sở lý luận của vấn đề 3
2.2 Thực trạng của vấn đề 3
2.3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề 4
2.3.1. Kiến thức cơ bản học sinh cần nắm 4
2.3.2. Tiếp cận nhứng bài toán cơ bản 7
a) TÍCH PHÂN DẠNG
( )
2
1
x
n
x
ax b dx+
∫
7
b) TÍCH PHÂN DẠNG
( )
1
b
n
k k
a
x ax b dx
−
+
∫
hoặc

( )
2 1
b
n
k k
a
mx ax b dx
−
+
∫
11
c) TÍCH PHÂN DẠNG
( )
( )
b
a
ku' x
dx
u x
∫
15
d) TÍCH PHÂN DẠNG
( )
b
a
f x
dx
x
ln
∫

17
e) TÍCH PHÂN DẠNG
( )
( )
b
u x
a
e .u' x dx
∫
19
f) TÍCH PHÂN DẠNG
b
n m
a
sin xcos xdx
∫
21
2.4 Hiệu quả của SKKN 23
3. Kết luận 24
Tài liệu tham khảo 25
Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 1
SKKN: Tích phân đổi biến số
.
CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Toán học là môn khoa học cơ bản phục vụ cho nhiều nghành nghề và học tốt
môn toán luôn là một trong những mục tiêu đặt ra của học sinh. Nhất là trong các kỳ
thi thì kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông hằng năm luôn là mục tiêu của nhiều
học sinh và cả phụ huynh. Vì vậy việc vượt qua được kỳ thi này trở thành một vấn

đề quan trọng. Trong đề thi tốt nghiệp hằng năm luôn có bài toán tính tích phân.
Đây là bài toán được coi là khó đối với học sinh nhất là học sinh trung bình – yếu.
Để làm được bài toán này, học sinh cần nắm định nghĩa và các tính chất
nguyên hàm, thuộc các công thức nguyên hàm các hàm số sơ cấp và các phương
pháp tính nguyên hàm.
Để tính được bài toán tích phân học sinh không những phải học thuộc các
kiến thức trên mà còn phải rèn luyện kỷ năng giải toán thường xuyên nữa.
Nhằm giảm bớt sự khó khăn trong quá trình tính toán, và sự khó khăn khi gặp
bài toán tích phân trong các đề thi tốt nghiệp hằng năm, tôi đưa ra cách tiếp cận bài
toán tích phân một cách phù hợp với trình độ của học sinh trung bình yếu đó là
“CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP
ĐỔI BIẾN SỐ”
Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 2
SKKN: Tích phân đổi biến số
Mục đích rõ ràng của đề tài này là nhằm giúp học sinh giải tốt bài toán tích
phân nói riêng và làm tốt bài thi tốt nghiệp THPT nói chung, xa hơn nữa là làm tăng
tỷ lệ bộ môn toán của trường trong kỳ thi tốt nghiệp hằng năm.
2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
2.1. Cơ sở lý luận của đề tài
Hiện thực xung quanh có nhiều cái mà con người chưa biết. Nhiệm vụ của
cuộc sống và hoạt động thực tiễn luôn đòi hỏi con người phải hiểu biết cái chưa biết
đó ngày một sâu sắc, đúng đắn và chính xác hơn, phải vạch ra những cái bản chất và
những quy luật tác động của chúng. Quá trình nhận thức đó gọi là tư duy.
Nhưng để tư duy được thì cần phải nắm được những kiến thức cơ bản, những
kiến thưc nền tảng của vấn đề thì khi đó mới nói đến tuy duy hay sáng tạo.
Cơ sở lý luận của đề tài “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH
PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” là từ những kiến thức cơ bản
nhất của vấn đề nhằm giúp học sinh dần dần tiếp cận với các vấn đề cao hơn trong
một mạch kiến thức.
Cụ thể hóa của vấn đề về mặt lý luận là giúp hoc sinh độc lập trong khi giải

quyết vấn đề mà cụ thể vấn đề đây là bài toán tích phân trong các kỳ thi mà đặc biệt
là các dạng mà đề tài này đã nghiên cứu và đưa ra trong sáng kiến kinh nghiệm dạy
học tại trường phổ thông.
2.2. Thực trạng của đề tài
2.2.1 . Tình hình thực tế của học sinh trường:
- Phần lớn học sinh của trường ở đại bàn các xã lân cận, đi lại khó
khăn. Điểm tuyển sinh vào lớp 10 không cao, năng lực học tập chủ yếu là loại trung
bình, thậm chí một số học sinh khả năng tính toán rất hạn chế
- Học sinh thường ít chịu tìm tòi, khám phá và không thuộc bài (lười
học)

Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 3
SKKN: Tích phân đổi biến số
2.2.2. Thực trạng của đề tài “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH
TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ”
- Đây là đề tài đầu tiên nghiên cứu về phương pháp đổi biến số trong
bài tóan tích phân tại trường THPT Nguyễn Khuyến
- Đề tài này hoàn thành sẽ có ứng dụng rất khả thi cho học sinh, giáo
viên trong tổ toán của trường nhất là trong các kỳ thi.
- Do đây là chương đòi hỏi học sinh phải có kiến thức cơ bản nhiều,
thuôc bài và vận dụng được lý thuyết nên học sinh thường không làm bài được, cụ
thể kết quả kiểm tra chương tích phân trong năm học 2010 – 2011 của lớp 12A4 như
sau:
Điểm 0 đến 3 3.5 đến 4.5 5 đến 6.5 7 đến 8 Trên 8
Số lượng 15 8 5 7 3
- Phân tích kết quả trên: số học sinh dưới trung bình chiếm 60.5% , số
học sinh trên trung bình chiếm tỉ lệ 39.5% nhưng số học sinh đạt điểm trên 8 là khá
ít mặc dù đề kiểm tra ra đảm bảo theo chuẩn kiến thức.
2.2.3. Khó khăn của đề tài:
- Về tâm lý: khi gặp bài toán tích phân học sinh thường ngại suy nghĩ

và cho rằng đây là bài toán khó nên thường bỏ luôn không làm
- Về kiến thức:
+ Học sinh không thuộc bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp,
công thức tính tích phân, các tính chất của nguyên hàm và tích phân
+ Khả năng nhận dạng dạng nguyên hàm hay tích phân còn thấp
+ Khả năng tính toán còn yếu
- Nghiên cứu ứng dụng cho học sinh với tầm kiến thức trung bình yếu
nên về mặt lý luận cũng gặp khó khăn.
- Khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh còn kém nên việc triển khai
đề tài có phần chậm.
Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 4
SKKN: Tích phân đổi biến số
2.2.4. Thuận lợi:
- Trong khi thực hiện đề tài được sự hỗ trợ của bạn đồng nghiệp trong
trường, trong tổ chuyên môn.
- Đa số học sinh có phần hứng thú với cách tiếp cận mạch kiến thức
mới.
- Học sinh chăm chỉ tích cực luyện tập kỹ năng giải toán tích phân
2.3 . Các biện pháp tiến hành để giải quyết vấn đề
2.3.1. Kiến thức cơ bản học sinh cần nắm
* Nguyên hàm
Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng của
¡
Định nghĩa

: Cho hàm số f(x) xác định trên
K
.
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên
K

nếu F '(x) =
f(x) với mọi x ∈
K
.
Định lý 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên
K
thì với mỗi
hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên
K
.
Định lý 2 : Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên
K
thì mọi
nguyên hàm của f(x) trên
K
đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.
Là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K
* Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1:
 
 ÷
 
=
∫
( )d ' ( )f x x f x
và
= +
∫
'( )d ( ) .f x x f x C
Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 5

( ) ( )
f x dx F x C , C= + ∈
∫
¡
SKKN: Tích phân đổi biến số
Ví dụ :
( )
= + =
∫
cos d ' (s in )' cosx x x C x

hay
(cos )' d ( sin )d cos .x x x x x C= − = +
∫ ∫
Tính chất2:
( )d ( )dkf x x k f x x
=
∫ ∫
k: hằng số khác 0

Tính chất 3:
[ ]
± = ±
∫ ∫ ∫
( ) ( ) d ( )d ( )d .f x g x x f x x g x x
Bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp
=
∫
0dx C
= +

∫
d
ln
x
x
a
a x C
a
(a > 0, a ≠ 1)
= +
∫
dx x C
= +
∫
cos d sinx x x C
α α
α
+
= +
+
∫
1
1
d
1
x x x C
(α ≠ 1)
= − +
∫
sin d cosx x x C

= +
∫
1
d lnx x C
x
= +
∫
2
1
d tan
cos
x x C
x
= +
∫
d
x x
e x e C
= − +
∫
2
1
d cot
sin
x x C
x
TÍCH PHÂN
Định nghĩa tích phân
Cho f(x) là hàm số liên tục trên [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên
[a; b]

Hiệu số F(b) – F(a) đươc gọi là tích phân từ a đến b của f(x).
( ) ( ) ( ) ( )
= = −
∫
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 6
SKKN: Tớch phõn i bin s
TNH CHT CA TCH PHN

I) Tớnh cht : Gi s f(x), g(x) liờn tc trờn K; a,b K
1)
( )
a
a
f x dx 0=

2)
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx=

3)
( ) ( )
b b
a a

kf x dx k f x dx=

4)
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx =


5)
( ) ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx c a;b= +


6)
( )
[ ]
( )
b
a
f x 0, x a;b f x dx 0

7)
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
b b
a a

f x g x , x a;b f x dx g x dx

8)
( )
[ ]
( ) ( ) ( )
b
a
m f x M, x a;b m b a f x dx M b a

9)
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
t
a
t bieỏn thieõn treõn ủoaùn a;b G t f x dx laứ 1 nguyeõn haứm cuỷa f t vaứ G a 0 = =

Phng phỏp i bin s
nh lớ 1: Cho hm s f(x) liờn tc trờn [a; b]. Gi s hm s x =

(t) cú o hm
liờn tc trờn on [

;

] sao cho

(

) = a,

(

) = b v a



(t)

b vi

t

[

;

].
Khi ú:
[ ]
b
a
f x dx f t t dt( ) ( ) ( )




=

Ngi vit: Chõu Th Phng Thựy Trang 7

SKKN: Tích phân đổi biến số
Định lí 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b]. Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm liên
tục trên [a; b] và
α

≤
u(x)
≤

β
với mọi x
∈
[a; b] sao cho f(x) = g[u(x)]u
′
(x), g(u)
liên tục trên [
α
;
β
] thì:

u b
b
a u a
f x dx g u du
( )
( )
( ) ( )
=
∫ ∫

2.3.2. Tiếp cận nhứng bài toán cơ bản
a) TÍCH PHÂN DẠNG
( )
2
1
x
n
x
ax b dx+
∫
* Nhận xét
Ta thấy hàm số dưới dấu tích phân là
( )
n
y ax b= +
, đối với hàm số này
không có nguyên hàm trực tiếp, do đó muốn giải được thì ta phải đưa về đa thức
mới lấy nguyên hàm được. Nhưng đưa về đa thức cũng là vấn đề, nếu n là 2 hoặc 3
thì ta áp dụng hằng đẳng thức
( )
2
2 2
2a b a ab b± = ± +
Hay
( )
3
3 2 2 3
3 3a b a a b ab b± = ± + ±
Ví dụ: Tính tích phân
( )

1
2
0
2 1x dx+
∫
Giải:
( )
( )
1
1 1
3
2
2 2
0 0
0
4 13
2 1 4 4 1 2
3 3
x
x dx x x dx x x
 
+ = + + = + + =
 ÷
 ÷
 
∫ ∫
Hoặc tính tích phân
( )
1
3

0
2 1x dx−
∫

Giải:

( )
( ) ( )
2 2
2
3
3 2 4 3 2
0
0 0
2 1 8 12 6 1 2 4 3 10x dx x x x dx x x x x− = − + − = − + − =
∫ ∫
Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 8
SKKN: Tích phân đổi biến số
Nhưng xem ra cách này cũng không khả quan lắm vì đa số học sinh không
nhớ được hằng đẳng thức
( )
3
3 2 2 3
3 3a b a a b ab b± = ± + ±
. Hơn nữa nếu n là số
nguyên âm hay hữu tỷ thì cách này không giải được. Để giải quyết dạng bài tập này
tôi đưa ra cách giải khả thi như sau:
* Phương pháp giải
( )
2

1
x
n
x
ax b dx+
∫
+ Bước 1: Đặt
dt
t ax b dt adx dx
a
= + ⇒ = ⇔ =
+ Bước 2: Đổi cận:
1 1 2 2
x x t ax b; x x t ax b= ⇒ = + = ⇒ = +
+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t
+ Bước 4: Tính tích phân theo t
*Nhận xét:
Như vậy cách giải này tránh được việc phải nhớ hằng đẳng thức. Chỉ cần
thực hiện những thao tác cơ bản như: tính vi phân hàm bậc nhất (việc này rất dễ
dàng). Công việc đổi cận cũng không có gì khó khăn, đây chỉ là việc tính giá trị của
hàm số bậc nhất mà thôi.
* Các ví dụ minh họa:
Tính các tích phân sau:
1)
( )
1
4
0
2 1x dx+
∫

2)
( )
2
4
3
1
3 2x dx−
∫
Giải:
1)
( )
1
4
0
2 1x dx+
∫
. Đặt
2 1 2
2
dt
t x dt dx dx= + ⇒ = ⇔ =
Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 9
SKKN: Tích phân đổi biến số
. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 3
. Do đó ta có:
( )
1 3
4
4
0 1

2 1
2
dt
x dx t+ =
∫ ∫

3
5
1
242 121
10 10 5
= = =
t
2)
( )
2
4
3
1
3 2x dx−
∫
. Đặt
3 2
3
dt
t x dt dx dx= − ⇒ = ⇔ =
. Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1; x = 12 ⇒ t = 4
. Do đó ta có:
( )
2 4 4

4
3
3
1 1
3 2
3
dt
x dx t− =
∫ ∫

4
7
3
3
1
2 2 1
7 7
−
= =
t
* Phân tích ví dụ
Thật vậy đây là cách giải có nhiều ưu điểm hơn các cách giải khác( đã trình
bày ở trên). Nhận xét rằng
( )
1
d ax b dx
a
+ =
nên ta đưa ra các công thức dạng tổng
quát để học sinh có thể áp dụng trực tiếp. Ta có bảng sau

( ) ( )
α α
α
+
+ = + +
+
∫
1
1
a d a
1
x b x x b C
(α ≠ 1)
( ) ( )
+ = + +
∫
1
cos d sinax b x ax b C
a
( )
( )
= + +
+
∫
1 1
d l n a
a
x x b C
a
x b

( ) ( )
+ = − + +
∫
1
sin d cosax b x ax b C
a
+ +
= +
∫
1
d
ax b ax b
e x e C
a
( )
( )
= + +
+
∫
2
1 1
d tan
cos
x x ax b C
a
ax b
+
+
= +
∫

d
ln
mx n
mx n
a
a x C
m a
(a > 0, a ≠ 1)
( )
( )
= − + +
+
∫
2
1 1
d cot
sin
x ax b C
a
ax b
Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 10
SKKN: Tích phân đổi biến số
* Bài toán áp dụng
1)
( )
1
2
0
2 1x dx
−

+
∫
2)
1
0
3 1
dx
x +
∫
3)
2
2
0
ln
x
e dx
∫
4)
1
2
0
3
x
dx
∫

5)
4
0
2

2
cos x dx
π
π
 
+
 ÷
 
∫
6)
4
0
2
2
sin x dx
π
π
 
−
 ÷
 
∫
Hướng dẫn giải
1)
( ) ( )
1
1
2 1
0
0

1
2 1 2 1
2
x dx x
− −
+ = − +
∫
2)
1
1
0
0
1
3 1
3 1 3
dx
ln x
x
= +
+
∫
3)
2
2
2 2
0
0
1
2
ln

ln
x x
e dx e=
∫
4)
1
1
2
2
0
0
3
3
2 3
x
x
dx
ln
=
∫
5)
4
4
0
0
1
2 2
2 2 2
cos x dx sin x
π

π
π π
   
+ = +
 ÷  ÷
   
∫
6)
4
4
0
0
1
2 2
2 2 2
sin x dx cos x
π
π
π π
   
− = −
 ÷  ÷
   
∫
b) TÍCH PHÂN DẠNG
( )
1
b
n
k k

a
x ax b dx
−
+
∫
hoặc
( )
2 1
b
n
k k
a
mx ax b dx
−
+
∫
* Nhận xét
Đối với dạng bài tập này, lại nảy sinh vấn đề nếu k và n là số nhỏ mà cụ thể
là k = 2, n = 2 thì ta làm bằng cách tính tích phân trực tiếp Cụ thể ta xét ví dụ sau:
Tính tích phân:
( )
1
2
2
0
2x x b dx+
∫
ta giải như sau:
Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 11
SKKN: Tích phân đổi biến số

( ) ( )
1
1 1
6 2
2
2 5 3 4
0 0
0
2
2 4 4
3 2
 
+ = + + = + +
 ÷
 ÷
 
∫ ∫
x x
x x b dx x x x dx x
Tuy nhiên nếu k và n lớn hơn thì ta cũng khó thực hiện được cách giải như
trên , do đó ta có phương pháp tổng quát cho bài toán dạng này như sau:
* Phương pháp giải
+ Bước 1: Đặt
1 1k k k
dt
t ax b dt kax dx x dx
ka
− −
= + ⇒ = ⇔ =

+ Bước 2: Đổi cận:
1 1 2 2
k k
x x t ax b; x x t ax b= ⇒ = + = ⇒ = +
+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t
+ Bước 4: Tính tích phân theo t
**** Chú ý đối với dạng:
( )
2 1
b
n
k k
a
mx ax b dx
−
+
∫
cách giải cũng tương tự nhưng
khi đổi biến nhớ suy ra
k
x
theo t
* Ví dụ minh họa
1) Tính tích phân:
( )
1
4
2
0
2 1x x dx−

∫
Giải:
+ Bước 1: Đặt
2
2 1 4
4
= − ⇒ = ⇔ =
dt
t x dt xdx xdx
+ Bước 2: Đổi cận:
0 1 1 1x t ; x t= ⇒ = − = ⇒ =
+ Bước 3:
( )
1 1
4
2 4
0 0
2 1
4
dt
x x dx t− =
∫ ∫
+ Bước 4:
1
1
5
4
0
0
1

4 20 20
dt t
t = =
∫
2) Tính tích phân:
( )
1
3
5 3
0
2x x dx+
∫
Giải:
Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 12
SKKN: Tích phân đổi biến số
+ Bước 1: Đặt
3 2 2
3
2 3
3
2
dt
t x dt x dx x dx
x t
= + ⇒ = ⇔ =
= −
+ Bước 2: Đổi cận:
0 2 1 3x t ; x t= ⇒ = = ⇒ =
+ Bước 3:
( )

( )
3 3
3
3 3 2 3
2 2
2 2
3
dt
x x x dx t t+ = −
∫ ∫
+ Bước 4:
( )
( )
3
3 3
5 4
3 4 3
2 2
2
1 1
2 2
3 3 3 5 2
dt t t
t t t t dt
 
− = − = − =
 ÷
 ÷
 
∫ ∫

* Phân tích ví dụ
Qua ví dụ cho thấy, khi gặp bài toán dạng này (dạng hàm số dưới dấu tích
phân có hai phần mà phần trong dấu ngoặc số mũ của x lớn hơn số mũ của x bên
ngoài 1 đơn vị) Thì ta nên dùng phương pháp đổi biến số.
* Bài tập áp dụng:
1)
( )
1
3
2 3
0
2x x dx+
∫
2)
( )
1
3
5 3
0
2x x dx−
∫
3)
( )
1
2
3
3
0
2
2

x
dx
x +
∫
4)
( )
1
5
4
3
0
2
2 1
x
dx
x +
∫
Hướng dẫn giải:
1)
( )
1
3
2 3
0
2x x dx+
∫
Đặt
3 2 2
2 3
3

dt
t x dt x dx x dx= + ⇒ = ⇔ =
2)
( )
1
3
5 3
0
2x x dx−
∫
Đặt
3 2 2 3
2 3 2
3
dt
t x dt x dx x dx; x t= − ⇒ = ⇔ = = +
3)
( )
1
2
3
3
0
2
2
x
dx
x +
∫
( gặp bài dạng này không có gì phải băn khoăn mà nên chú ý

rằng ở đây n = - 3 thôi.
HD: Đặt
3 2 2
2 3
3
dt
t x dt x dx x dx= + ⇒ = ⇔ =
,
Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 13
SKKN: Tích phân đổi biến số
Tích phân trở thành:
3
3
2
2
3
dt
t
∫
4)
( )
1
5
4
3
0
2
2 1
x
dx

x +
∫
Tương tự câu 3)
Đặt
3 2 2 3
2 1 6 2
6
dt
t x dt x dx x dx; x t= + ⇒ = ⇔ = = +
***** Mở rộng dạng này, nếu lũy thừa của hàm số dưới dấu tích phân thay bằng
căn thì ta cũng giải tương tự cụ thể ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Tính tích phân:
1
2
0
1x x dx+
∫
Rõ ràng dấu căn đóng vai trò như lũy thừa (thực ra thì căn là lũy thừa với số
mũ hữu tỷ mà thôi) ta giải ví dụ này như sau:
+ Bước 1: Đặt
2 2 2
1 1 2 2t x t x tdt xdx tdt xdx= + ⇔ = + ⇒ = ⇔ =
+ Bước 2: Đổi cận:
0 1 1 2x t ; x t= ⇒ = = ⇒ =
+ Bước 3:
1 2 2
2 2
0 1 1
1 .+ = =
∫ ∫ ∫

x x dx t tdt t dt
+ Bước 4:
2
2
3
2
1
1
8 1
3 3
−
= =
∫
t
t dt
Ví dụ 2: Tính tích phân:
1
3 2
0
1+
∫
x x dx
+ Bước 1: Đặt
2 2 2
1 1 2 2t x t x tdt xdx tdt xdx= + ⇔ = + ⇒ = ⇔ =
2 2 2 2
1 1t x x t= + ⇔ = −
+ Bước 2: Đổi cận:
0 1 1 2x t ; x t= ⇒ = = ⇒ =
+ Bước 3:

( ) ( )
1 2 2
2 2 2 4 2
0 1 1
1. 1 .+ = − = −
∫ ∫ ∫
x x xdx t t tdt t t dt
Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 14
SKKN: Tích phân đổi biến số
+ Bước 4:
( )
2
2
5 3
4 2
1
1

5 3
 
− = − =
 ÷
 
∫
t t
t t dt
***** Như vậy khi day học sinh ta cần chú ý cho học sinh rằng dấu hiệu
nhận biết của dạng này là số mũ của x trong dấu căn hay lũy thừa hơn số mũ
của x bên ngoài 1 đơn vị hay kém hơn k – 1 đơn vị.
* Bài tập áp dụng:

1)
1
3 2
0
1x x dx−
∫
2)
1
2
0
3+
∫
x x dx

3)
1
2
0
1x x dx−
∫
4)
1
3 2
0
1x x dx+
∫
5)
1
2
3

0
1
x
dx
x +
∫
6)
1
3 2
0
1x x dx−
∫

7)
2
3
1
1
1
dx
x x +
∫
8)
1
2
3
0
1
x
dx

x +
∫

9)
1
0
2 1
x
dx
x +
∫
10)
1
0
1x x dx+
∫

11)
3
2
0
1+
∫
x x dx
12)
3
5 2
0
1x x dx+
∫

Hướng dẫn giải: Đặt
t =
c) TÍCH PHÂN DẠNG
( )
( )
b
a
ku' x
dx
u x
∫
* Nhận xét
Đây là dạng đổi biến mà hàm số trên tử là đạo hàm của hàm số dưới mẫu
hoặc hàm số trên tử là hệ số nhân với đạo hàm của hàm số dưới mẫu.

* Phương pháp giải
Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 15
SKKN: Tích phân đổi biến số
+ Bước 1: Đặt
( ) ( )
t u x dt u' x dx= ⇒ =
+ Bước 2: Đổi cận:
( ) ( )
x a t u a ; x b t u b= ⇒ = = ⇒ =
+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t
+ Bước 4: Tính tích phân theo t
* Ví dụ minh họa
1)
1
2

0
2 2
2 3
x
dx
x x
−
− +
∫
2)
1
2
0
4 8
4 5
x
dx
x x
−
− +
∫
Giải:
1)
1
2
0
2 2
2 3
x
dx

x x
+
+ +
∫
+ Bước 1: Đặt
( )
2
2 3 2 2t x x dt x dx= + + ⇒ = +
+ Bước 2: Đổi cận:
0 3 1 6x t ; x t= ⇒ = = ⇒ =
+ Bước 3:
1 6
2
0 3
2 2
2 3
x dt
dx
t
x x
+
=
+ +
∫ ∫

+ Bước 4:
6
6
3
3

2
dt
t
t
= =
∫
ln ln
2)
1
2
0
4 8
4 5
x
dx
x x
+
+ +
∫
+ Bước 1: Đặt
( )
2
4 5 2 4t x x dt x dx= + + ⇒ = +
+ Bước 2: Đổi cận:
0 5 1 5x t ; x t= ⇒ = = ⇒ =
+ Bước 3:
1 10
2
0 5
4 8 2

4 5
x dt
dx
t
x x
+
=
+ +
∫ ∫

+ Bước 4:
10
10
5
5
2
2 2 2
dt
t
t
= =
∫
ln ln
**** Đối với dạng bài tập này khi dạy cần chú ý cho học sinh là ta thử
tính đạo hàm của hàm số dưới mẫu rồi so sánh với hàm số trên tử.
Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 16
SKKN: Tích phân đổi biến số
* Bài tập áp dụng:
1)
1

2
0
1
2 3
x
dx
x x
+
+ +
∫
HD: Đặt
( )
2
2 3 2 2t x x dt x dx= + + ⇒ = +
2)
2
2
1
2 3
3 5
x
dx
x x
+
+ +
∫
HD: Đặt
( )
2
3 5 2 3t x x dt x dx= + + ⇒ = +

3)
( )
0
2
1
2 2
2 1
x
dx
x
−
−
+ +
∫
HD:
( )
0 0
2 2
1 1
2 4 2 4
4 5
2 1
x x
dx dx
x x
x
− −
+ +
=
+ +

+ +
∫ ∫
Đặt
( )
2
4 5 2 4t x x dt x dx= + + ⇒ = +
4)
( ) ( )
4
3
4 6
1 2
x
dx
x x
−
− −
∫
HD:
( ) ( )
4 4
2
3 3
4 6 4 6
3 2
1 2
x x
dx dx
x x
x x

− −
=
− +
− −
∫ ∫

Đặt
( )
2
3 2 2 3t x x dt x dx= − + ⇒ = −
5)
2
2
3 2
1
3 4
2 1
x x
dx
x x
+
+ −
∫
HD: Đặt
( )
3 2 2
2 1 3 4t x x dt x x dx= + − ⇒ = +
6)
( )
( )

2
1
2
2
0
4 2
2 1
x x
dx
x
−
− +
∫
HD:
( )
( )
2
1 1
3
2 4 2
2
0 0
4 2
4 8
4 5
2 1
x x
x x
dx dx
x x

x
−
−
=
− +
− +
∫ ∫

Đặt
( )
4 2 3
4 5 4 8t x x dt x x dx= − + ⇒ = −
7)
1
2
0
2 1
3
x
dx
x x
−
− +
∫
HD: Đặt
( )
2
3 2 1t x x dt x dx= − + ⇒ = −
10)
4

6
cot gxdx
π
π
∫
HD:
4 4
6 6
cos
cot
sin
π π
π π
=
∫ ∫
x
xdx dx
x

Đặt
t sinx dt cosxdx= ⇒ =
11)
2
0
sin
1 3
x
dx
cosx
π

+
∫
HD: Đặt
1 3 3t cosx dt sinxdx
= + ⇒ = −
Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 17
SKKN: Tích phân đổi biến số
12)
4
2
0
1 sin2x
dx
cos x
π
+
∫
HD:
π π π
+
= + = +
∫ ∫ ∫
4 4 4
1 2
2 2 2
0 0 0
1 sin2x 1 sin2x
dx dx dx I I
cos x cos x cos x
I

1
: tính trực tiếp
I
2
: Đặt
2
2t cos x dt sin xdx= ⇒ = −
d) TÍCH PHÂN DẠNG
( )
b
a
f x
dx
x
ln
∫
* Nhận xét
Dấu hiệu nhận biết của dạng này là hàm số dưới dấu tích phân có
chứa
lnx
và
1
x
. Ta có phương pháp giải như sau:
* Phương pháp giải
+ Bước 1: Đặt
dx
t lnx dt
x
= ⇒ =

+ Bước 2: Đổi cận:
x a t lna; x b t lnb= ⇒ = = ⇒ =
+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t
+ Bước 4: Tính tích phân theo t
* Ví dụ minh họa
Tính tích phân:
1
1 2ln+
∫
e
x
dx
x
Giải
+ Bước 1: Đặt
dx
t lnx dt
x
= ⇒ =
+ Bước 2: Đổi cận:
1 0 1x t ; x e t= ⇒ = = ⇒ =
+ Bước 3:
( )
1
1 0
1 2ln
1 2
+
= +
∫ ∫

e
x
dx t dt
x
+ Bước 4:
( )
( )
1
1
2
0
0
1 2 2+ = + =
∫
t dt t t

Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 18
SKKN: Tích phân đổi biến số
* Bài tập áp dụng:
1)
1
1 3ln ln
e
x x
dx
x
+
∫
HD: Đặt
lnt x

=
2)
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
HD: Đặt
1 lnt x= +
3)
1
sin(ln )
e
x
dx
x
∫
HD: Đặt
lnt x
=
4)
2ln 1
1
e
x
e
dx

x
+
∫
HD: Đặt
2ln 1t x= +

5)
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
x x
+
∫
HD: Đặt
2
1 lnt x= +
6)
e
2
1
1 ln x
dx
x
+
∫

HD: Đặt
2
1 lnt x= +
e) TÍCH PHÂN DẠNG
( )
( )
b
u x
a
e .u' x dx
∫
* Phương pháp giải
+ Bước 1: Đặt
( ) ( )
t u x dt u' x dx= ⇒ =
hay
( )
( )
( )
u x u x
t e dt u' x .e dx= ⇒ =
+ Bước 2: Đổi cận:
( ) ( )
x a t u a ; x b t u b= ⇒ = = ⇒ =
hay
( ) ( )
u a u b
x a t e ; x b t e= ⇒ = = ⇒ =

+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t

+ Bước 4: Tính tích phân theo t
* Ví dụ minh họa
Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 19
SKKN: Tích phân đổi biến số
Tính các tích phân:
1)
2
1
0
x
e xdx
∫
2)
2
1
1
0
x
e xdx
+
∫
Giải
1)
2
1
0
x
e xdx
∫
+ Bước 1: Đặt

2
2
2
dt
t x dt xdx xdx= ⇒ = ⇔ =
+ Bước 2: Đổi cận:
0 0 1 1x t ; x t= ⇒ = = ⇒ =
hay
+ Bước 3:
2
1 1
0 0
2
x t
dt
e xdx e=
∫ ∫
+ Bước 4:
1
1
0
0
1 1
2 2 2
t t
dt e
e e
−
= =
∫

* Bài tập áp dụng:
1)
2
2
2 1
1
x
e xdx
+
∫
HD: Đặt
2
2 1t x= +
2)
( )
2
2
2 1
1
1
x x
e x dx
− +
−
∫
HD: Đặt
2
2 1t x x= − +
3)
4

1
x
e
dx
x
∫
HD: Đặt
t x=
4)
2
0
sinx
e xdxcos
π
∫
HD: Đặt
sint x=
5)
( )
4
2
0
1
tanx
e x dxtan
π
+
∫
HD: Đặt
tant x=

6)
2
2
0
2
sin x
e xdxsin
π
∫
HD: Đặt
2
sint x=
Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 20
SKKN: Tích phân đổi biến số
7)
2
2
0
cos x
e sin2xdx
π
∫
HD: Đặt
2
cost x=
8)
2
sin
4
x

e cosxdx
π
π
∫
HD: Đặt
sint x=
9)
2
4
sin
cosx
e xdx
π
π
∫
HD: Đặt
cost x=
10)
2
1
2
0
x
e xdx
+
∫
HD: Đặt
2
2t x= +
f) TÍCH PHÂN DẠNG

b
n m
a
sin xcos xdx
∫
* Nhận xét
* Nếu n, m ∈ N và cùng lẻ thì đặt t = sinx hoặc t = cosx
* Nếu n, m ∈ N và có số chẵn, lẻ thì đặt t = HSLG có số mũ chẵn (không
có xem như mũ chẵn)
* Nếu n, m ∈ N và cùng chẵn thì áp dụng công thức hạ bậc
* Phương pháp giải
+ Bước 1: Đặt
t sinx dt cosxdx
= ⇒ =
hay
t cosx dt sinxdx
= ⇒ = −
+ Bước 2: Đổi cận:
x a t sina; x b t sinb= ⇒ = = ⇒ =
hay
x a t cosa; x b t cos b= ⇒ = = ⇒ =
+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t
+ Bước 4: Tính tích phân theo t
* Ví dụ minh họa
Tính các tích phân sau:
Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 21
SKKN: Tích phân đổi biến số
1)
2
3 3

0
sin
π
∫
xcos xdx
2)
2
3 2
0
sin
π
∫
xcos xdx
Giải:
1)
2
3 3
0
sin
π
∫
xcos xdx
+ Bước 1: Đặt
t sinx dt cosxdx= ⇒ =

+ Bước 2: Đổi cận:
0 0 1
2
x t ; x t
π

= ⇒ = = ⇒ =

+ Bước 3:
( )
1
2
3 3 3 2
0 0
sin 1
π
= −
∫ ∫
xcos xdx t t dt
+ Bước 4:
( ) ( )
1
1 1
4 6
3 2 3 5
0 0
0
1
1
4 6 12
 
− = − = − =
 ÷
 
∫ ∫
t t

t t dt t t dt
2)
2
3 2
0
sin
π
∫
xcos xdx
+ Bước 1: Đặt
t cosx dt sinxdx= ⇒ = −

+ Bước 2: Đổi cận:
0 1 0
2
x t ; x t
π
= ⇒ = = ⇒ =

+ Bước 3:
( )
( )
( )
0 1
2
3 2 2 2 2 2
0 1 0
sin 1 1
π
= − − = −

∫ ∫ ∫
xcos xdx t t dt t t dt
+ Bước 4:
( ) ( )
1
1 1
3 5
2 2 2 4
0 0
0
2
1
3 5 15
 
− = − = − =
 ÷
 
∫ ∫
t t
t t dt t t dt
* Bài tập áp dụng:
1)
2
2 3
3
sin xcos xdx
π
π
∫
HD: Đặt t = sinx

Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 22
SKKN: Tích phân đổi biến số
2)
4
0
tan xdx
π
∫
HD: Đặt t = cosx
3)
2
3 2
0
cos sinx xdx
π
∫
HD: Đặt t = sinx
4)
2
5
0
cos xdx
π
∫
HD: Đặt t = sinx
5)
2
2 3
0
2 1sin ( sin )x x dx

π
+
∫
HD: Đặt
2
1 sint x= +
6)
( )
2
4
0
sin 1 cos+
∫
x xdx
π
HD: Đặt t = sinx
g) TÍCH PHÂN DẠNG
2
a x dx
β
α
−
∫
Đây là loại tích phân có phương pháp đổi biến giải ngược so với các
cách đổi biến đã trình bày ở trên. Cụ thể ta xét ví dụ:
Tính tích phân :
1
2
0
1 x dx−

∫
Giải: + Đặt :
x sint dx costdt
= ⇒ =
+ Đổi cận :
0 0 1
2
x t ; x t
π
= ⇒ = = ⇒ =
+
1
2
2 2
0 0
1 1x dx sin t costdt
π
− = −
∫ ∫
+
2 2
2
0 0
1 sin t costdt cost costdt
π π
− =
∫ ∫
Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 23
SKKN: Tích phân đổi biến số
2

2
2
0
0
1 1
2
2 2 4
cos tdt x sin x
π
π
π
 
= = + =
 ÷
 
∫
Như vậy ngoài cách đổi biến số thông thường ta còn có một cách khác để
giải quyết bài tóan tích phân bằng phương pháp đổi biến số như trên.
* Phương pháp giải
+ Bước 1: Đặt
( ) ( )
x f t dx f ' t dt= ⇒ =

+ Bước 2: Đổi cận:
( ) ( )
x f t ; x f t
α α β β
= ⇒ = = ⇒ =
hay
+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t

+ Bước 4: Tính tích phân theo t
Những dạng thường gặp:
+ Gặp biểu thức
2 2
a x−
Đặt :
x a sint=
hay
x a cost=
+ Gặp biểu thức
2 2
a x+
Đặt :
x a tant=
hay
x a cott=
+ Gặp biểu thức
2 2
x a−
Đặt :
a
x
cost
=
hay
a
x
sint
=
Ví dụ:

Tính tích phân
1
2
0
1
dx
x+
∫
Giải:
+ Bước 1: Đặt :
( )
2
2
1
dt
x tant dx tan t dt
cos t
= ⇒ = = +
+ Bước 2: Đổi cận :
0 0 0
1 1
4
x tant t
x tant t
π
= ⇒ = ⇔ =
= ⇒ = ⇔ =
Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 24
SKKN: Tích phân đổi biến số
+ Bước 3:

( )
2
1
4
2 2
0 0
1
1 1
tan t dx
dx
x tan t
π
+
=
+ +
∫ ∫
+ Bước 4:
( )
2
4 4
2
0 0
1
4
1
tan t dx
dx
tan t
π π
π

+
= =
+
∫ ∫
Bài tập tương tự:
1)
3
1
+
∫
2
dx
1 x
HD: đặt
x tant=
2)
+
∫
3
3
2
1
3
dx
1 9x
HD: đặt
1
3
x tant=
3)

+
∫
3 3
2
2
3
2
dx
9 4x
HD: đặt
3
2
x tant=
4)
−
−
+ +
∫
3 3
2
2
1
dx
4x 12x 10
HD: đặt
2 3x tant
+ =
2.4 Hiệu quả của SKKN
Với tinh thần thực hiện theo sáng kiến kinh nghiệm trên trong năm qua đạt
được những kết quả như sau:

Với học sinh, cụ thể là lớp phụ trách 12A4 năm học 2010 - 2011
Tỷ lệ chung cuối năm
Tổng số Giỏi Tỷ lệ Khá Tỷ lệ Trung Bình Tỷ lệ
38 7 24,5% 21 50,1% 10 24,5%
Năm học 2011 – 2012: kết quả kiểm tra chương tích phân ( chỉ kiểm tra bài 1
và 2) như sau:
Điểm 0 đến 3 3.5 đến 4.5 5 đến 6.5 7 đến 8 Trên 8
12A4 2 5 23 7 3
12A8 2 2 9 20 9
Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 25