skkn lớp 8 vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán TH cơ sở

SKKN: VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI TOÁN
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học 2014 - 2015
I. Sơ yếu lý lịch
- Họ và tên: LÊ MAI PHƯƠNG
- Ngày tháng năm sinh: 27/07/1990
- Trình độ chuyên môn: Cao đẳng Sư phạm, ngành Toán; chức vụ: Giáo viên.
- Tổ chuyên môn: Tự nhiên
- Trường: THCS Phương Trung- Thanh Oai- Hà Nội.
- Nhiệm vụ được phân công: Giảng dạy môn Toán.
A. Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài:
a. Cơ sở lí luận
Phân tích đa thức thành nhân tử là một chuyên đề khó và rộng, chiếm một vị trí
quan trọng trong chương trình phổ thông cùng như bồi dưỡng HSG với các dạng toán
như: Phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu phân thức, tìm
giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức, tìm nghiệm nguyên của phương trình,
giải phương trình, chứng minh chia hết… Do đó việc tìm ra các phương pháp phân tích
đa thức thành nhân tử nhanh chóng, thông minh, chính xác là rất cần thiết đối với cả
giáo viên và học sinh.
Vì vậy tôi chọn đề tài này nhằm mục đích giúp cho học sinh hiểu sâu sắc và thực
hành thành thạo dạng toán trên giúp HS có thể đạt được kết quả như mong muốn
b. Cơ sở thực tế
Chuyên đề “ Phân tích đa thức thành nhân tử” được học khá kĩ ở học kì I lớp 8,
nó có rất nhiều bài tập và cũng được ứng dụng rất nhiều để giải bài tập trong chương
trình Đại số 8 cũng như các lớp sau này. Vì vậy, yêu cầu học sinh phải nắm chắc và vận
dụng linh hoạt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là vấn đề rất quan
trọng. Nắm được yêu cầu này trong quá trình giảng dạy toán 8 tôi đã tìm tòi và nghiên
cứu tìm ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đa dạng và dễ hiểu giúp

học sinh phát triển năng lực tư duy logic,sáng tạo trong giải bài tập. Trong chuyên đề
này tôi giới thiệu thêm các phương pháp sau:Phương pháp thêm bớt hạng tử, đặt ẩn
phụ, tìm nghiệm của đa thức
2. Giải quyết vấn đề
a. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:
1/20
SKKN: VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI
TỐN
Để việc bồi dưỡng đạt kết quả thì giáo viên phải hiểu sâu rộng vấn đề cần truyền
đạt, kết hợp tốt phương pháp truyền thống và phương pháp hiện đại; lấy học sinh làm
trung tâm của q trình dạy và học; phát huy khả năng tự học, tính tích cực, sáng tạo và
tự giác của học sinh.
Muốn phân tích đa thức thành nhân tử một cách thành thạo và nhanh chóng thì
trước tiên phải hiểu phân tích đa thức thành nhân tử là phân tích đa thức đã cho thành
tích của những đa thức, sau đó nắm chắc những phương pháp cơ bản và các phương
pháp nâng cao để phân tích, đó là:
1) Phương pháp đặt nhân tử chung: A.B + A.C = A ( B + C).
2) Phương pháp dùng hằng đẳng thức:
Dùng khi các hạng tử của đa thức có dạng hằng đẳng thức.
1.( A + B )
2
= A
2
+ 2AB + B
2
2.( A - B )
2
= A
2
- 2AB + B

2
3.A
2
- B
2
= ( A + B )( A - B )
4.( A + B )
3
= A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
5.( A - B )
3
= A
3
– 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
6.A
3
- B
3

= ( A - B )( A
2
+ AB + B
2
)
7.A
3
+ B
3
= ( A + B )( A
2
- AB + B
2
)
3) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử:
Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp của đa thức khi đa thức chưa có nhân tử chung
hoặc chưa áp dụng được hằng đẳng thức nhằm mục đích:
+ Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm.
+ Nhóm để áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
+ Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức.
4) Phối hợp các phương pháp cơ bản: Vận dụng và phát triển kỹ năng
là sự kết hợp nhuần nhuyễn các phương pháp cơ bản:
+ Phương pháp đặt nhân tử chung
+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức
2/ 19
SKKN: VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI
TỐN
+ Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
5)Phương pháp tìm mghi ệm c ủa đa thức: Cần sử dụng định lí bổ sung sau:
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là

ước dương của hệ số cao nhất
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng
tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1
+ Nếu a là nghiệm ngun của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì
f(1)
a - 1
và
f(-1)
a + 1
đều là số
ngun. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do
6)Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử:
Sử dụng cho các bài tập không thể áp dụng ngay được ba phương pháp cơ bản
đã học để giải.
7) Ph ương pháp tách hạng tử:
8) Ph ương pháp đặt biến phụ:
9)Phương pháp hệ số bất định: Đó là sự đồng nhất về hệ số của hai vế để từ đó suy
ra các hệ số cần tìm trong sự phân tích đa thức thành nhân tử.
b) Thực trạng của vấn đề:
-Học sinh chưa hiểu sâu rộng các bài tốn về phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt là
các bài tốn khó, do các em chưa có điều kiện đọc nhiều sách tham khảo.
- Khi gặp một bài toán học sinh không biết làm gì? Không biết đi theo hướng nào ?
Không biết liên hệ những gì đã cho trong đề bài với các kiến thức đã học.
-Suy luận kém, chưa biết vận dụng các phương pháp đã học vào từng dạng toán
khác nhau.
-Trình bày không rõ ràng, thiếu khoa học, lôgic.
-Các em chưa có phương pháp học tập tốt thường học vẹt, học máy móc thiếu nhẫn
nại khi gặp bài toán khó.
c) Các giải pháp thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:

* Quy trình và cách thức:
- Xây dựng kế hoạch thực hiện ngay từ đâu năm học
- Tổ chức thi tuyển chọn các em có năng khiếu về bộ mơn. Đặc biệt là phải học
được mơn Tốn.
3/ 19
SKKN: VN DNG PHN TCH A THC THNH NHN T VO GII
TON
- T chc cho hc ụn luyn theo chuyờn , trao i trc tip. Sau mi chuyờn
ra mt bi kim tra kin thc ca hc sinh ( ra dng nh thi hc sinh lm
quen dn )
- Giỏo viờn say mờ, tớch cc, ging dy v t hc; tỡm tũi nhiu dng bi tp
phong phỳ cho hc sinh luyn tp khụng ch trờn lp m c nh.
- Thi vo hc sinh s t tin, nim tin chin thng, ý chớ kiờn cng v quyt tõm
thi t gii cao trong k thi chn hc sinh nng khiu. ng viờn, khớch l hc sinh
thng xuyờn v liờn tc. ng thi kt hp tt vi vic un nn hng dn c th hc
sinh trong tng bui hc.
- Mi dng toỏn cn hng dn hc sinh phng phỏp gii mt cỏch t m, khai
thỏc trit phng phỏp gii v cho cỏc em luyn tp ớt nht l 2 ln bng nhng bi
toỏn tng t trờn lp. Sau mi bui hc Giỏo viờn giao bi tp v nh cho cỏc em
luyn tp cỏc em c khc sõu hn v cỏc dng toỏn ó c ụn tõp.
Trong việc giảng dạy bộ môn toán giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh tính
t duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt, tự mình tìm tòi ra kiến thức mới, ra phơng
pháp làm toán ở dạng cơ bản nh các phơng pháp thông thờng mà còn phải dùng một số
phơng pháp khó hơn đó là phải có thủ thuật riêng đặc trng, từ đó giúp các em có hứng
thú học tập, ham mê học toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng toán khó.
Ngời thầy giáo trong khi giảng dạy cần rèn luyện cho học sinh của mình với khả
năng sáng tạo, ham thích học bộ môn toán và giải đợc các dạng bài tập mà cần phải
thông qua phân tích đa thức thành nhân tử, nâng cao chất lợng học tập, đạt kết quả tốt
trong các kỳ thi. Từ đó tôi mạnh dạn chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm " Phơng pháp
phân tích đa thức thành nhân tử" nhằm giúp giúp học sinh của mình nắm vững các

phơng pháp phân tích đa thức thành phân tử, giúp học sinh phát hiện phơng pháp giải
phù hợp với từng bài cụ thể ở các dạng khác nhau.
* Kho sỏt thc tin
Khi cha thc hin ti ny, thỡ hu ht cỏc em lm bi tp rt lỳng tỳng, thi gian
lm mt nhiu, thm chớ khụng tỡm ra cỏch gii. thc hin ti ny tụi ó tin hnh
kho sỏt nng lc ca hc sinh thụng qua mt s bi kim tra kt qu nh sau:
Tổng số HS
Xếp loại
Giỏi Khá Trung bình Yếu
SL % SL % SL % SL %
2 0 0 1 50 1 50 0 0
Thụng qua kt qu kho sỏt tụi ó suy ngh cn phi cú bin phỏp thớch hp ging
dy, truyn t cho hc sinh nm vng nhng yờu cu trong quỏ trỡnh gii nhng bi
toỏn v phõn tớch a thc thnh nhõn t. Tụi mnh dn nờu ra mt s bin phỏp di
õy:
4/ 19
SKKN: VN DNG PHN TCH A THC THNH NHN T VO GII
TON
* Mt s bin phỏp
1) Biện pháp thứ nhất.
Giáo viên phải trang bị cho học sinh của mình các đơn vị kiến thức cơ bản nh các
quy tắc, thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, phép chia
đơn thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa thức đã sắp xếp, các
quy tắc đổi dấu đa thức, thật thuộc và vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức đáng
nhớ.
2) Biện pháp thứ hai.
Giáo viên cho học sinh nắm vững bản chất của việc phân tích đa thức thành nhân tử.
Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức thành tích
của nhiều đơn thức và đa thức khác.
Ví dụ: y

m+3
- y
m
= y
m
(y
3
- 1) = y
m
(y - 1) (y
2
+ y + 1)
2.1) Các ph ơng pháp thông th ờng.
+ Đặt nhân tử chung.
+ Dùng hằng đẳng thức.
+ Nhóm nhiều hạng tử.
Trong thực hành giải toán thờng phải phối hợp cả ba phơng pháp kể trên để có thể
phân tích đa thớc thành nhân tử.
Ví dụ1: Phân tích thành nhân tử.
M
1
= 3a - 3b + a
2
- 2ab + b
2
= (3a - 3b) + (a
2
- 2ab + b
2
) (Nhóm các hạng tử)

= 3(a - b) + (a - b)
2
(đặt NTC và dùng hằng đẳng thức)
= (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung)
Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử.
M
2
= a
2
- b
2
- 2a + 2b
= (a
2
- b
2
) - (3a - 2b) (Nhóm các hạng tử)
= (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
= (a -b) (a + b - 2) (Đặt NTC)
Để phối hợp nhiều phơng pháp trên để phân tích đa thức thành nhân tử cần chú ý
các bớc sau đây:
+ Đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể từ đó làm đơn giản đa thức.
+ Xét xem đa thức có dạng bằng đẳng thức nào không ?
+ Nếu không có nhân tử chung, hoặc không có hằng đẳng thức thì phải nhóm các
hạng tử vào từng nhóm thoả mãn điều kiện mỗi nhóm có nhân tử chung, làm xuất hiện
nhân tử chung của các
nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳng thức. Cụ thể các ví dụ sau:
Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
M
3

= 5a
2
+ 3(a + b)
2
- 5b
2
5/ 19
SKKN: VN DNG PHN TCH A THC THNH NHN T VO GII
TON
Ta thấy M
3
không có dạng hằng đẳng thức, các hạng tử cũng không có nhân tử chung,
vậy làm gì để phân tích đợc. Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a
2
- 5b
2
có nhân tử chung. Vì
vậy ta dùng phơng pháp nhóm các hạng tử đầu tiên:
M
3
= (5a
2
- 5b
2
) + 3(a + b)
2
.
Sau đó đặt nhân tử chung của nhóm thứ nhất để làm xuất hiện hằng đẳng thức:
M
3

= 5(a
2
- b
2
) + 3 (a + b)
2
Sử dụng hằng đẳng thức ở nhóm đầu làm xuất hiện nhân tử chung của cả hai
nhóm là (a + b):
M
3
= 5(a + b) (a - b) + 3 (a + b)
2
.
M
3
đã có nhân tử chung là: (a + b). Ta tiếp tục đặt nhân tử chung.
M
3
= (a + b)[5(a - b) + 3(a + b)]
M
3
= (a + b)(8a 2b)
Nh vậy M
3
đã đợc phân tích thành tích của hai nhân tử (a + b) và (8a - 2b).
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.
M
4
= 3x
3

y - 6x
2
y - 3xy
3
- 6xy
2
z - 3xyz
2
+ 3xy.
Trớc hết hãy xác định xem dùng phơng pháp nào trớc ?
Ta thấy các hạng tử đều chứa nhân tử chung 3xy.
+ Đặt nhân tử chung.
M
4
= 3xy (x
2
- 2x - y
2
- 2yz - z
2
+ 1)
Trong ngoặc có 6 hạng tử hãy xét xem có hằng đẳng thức nào không?

+ Nhóm hạng tử: M
4
= 3 xy[(x
2
- 2x + 1 ) - (y
2
+ 2y z + z

2
)]
+ Dùng hằng đẳng thức: M
4
= 3xy [( x - 1)
2
- ( y + z)
2
] xem xét hai hạng tử trong
ngoặc có dạng hằng đẳng thức nào?
+ Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phơng ta có:
M
4
= 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1)
Vậy: M
4
đã đợc phân tích các đa thức thành nhân tử.
Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần chú ý quan sát đa thức, linh hoạt phối hợp
sử dụng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học để các bớc phân tích đợc rõ
ràng, mạch lạc và triệt để (đa thức không thể phân tích đợc nữa).
2.2) Một số ph ơng pháp phân tích đa thức khác.
Giáo viên trớc hết cần cho học sinh sử dụng thành thạo các phơng pháp phân tích
thành nhân tử thông thờng (đã học trong SGK) và kết hợp các phơng pháp sau để làm
các bài toán khó.
+ Phơng pháp tách hạng tử.
+ Phơng pháp thêm, bớt cùng một hạng tử.
+ Phơng pháp đặt ẩn phụ.
+ Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức.
6/ 19
SKKN: VN DNG PHN TCH A THC THNH NHN T VO GII

TON
+ Phơng pháp dùng hệ số bất định.
a) Ph ơng pháp tách hạng tử.
Vớ d 5. Phõn tớch a thc thnh nhõn t: 3x
2
8x + 4
Cỏch 1: Tỏch hng t th 2
3x
2
8x + 4 = 3x
2
6x 2x + 4 = 3x(x 2) 2(x 2) = (x 2)(3x 2)
Cỏch 2: Tỏch hng t th nht:
3x
2
8x + 4 = (4x
2
8x + 4) - x
2
= (2x 2)
2
x
2
= (2x 2 + x)(2x 2 x)
= (x 2)(3x 2)
Ví dụ 6: Phân tích thành nhân tử đa thức sau:
N = a
2
- 6a + 8.
Cách 1: a

2
- 4a - 2a + 8 (Tách - 6a = (- 4a) + (-2a)
= (a
2
- 4a) - (2a - 8) (Nhóm hạng tử)
= a (a - 4) - 2 (a - 4) (Đặt nhân tử chung)
= (a - 4) (a - 2) (Đặt nhân tử chung)
Có thể tách hạng tử tự do tạo thành một đa thức mới có nhiều hạng tử trong đó có thể
kết hợp làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung với các hạng tử còn lại.
Cách 2: N = a
2
- 6a + 9 - 1 (Tách 8 = 9 - 1)
= (a
2
- 6a + 9) - 1 (nhóm hạng tử - xuất hiện hằng đẳng thức)
= (a - 3)
2
- 1 (Sử dụng hằng đẳng thức)
= (a - 2) (a + 2) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
= (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC)
Cách 3:
N = a
2
- 4a + 4 - 2a + 4 (Tách 8 = 4 + 4, - 6x = - 4a + ( - 2a)
= ( a
2
- 4a + 4) - ( 2a - 4) (Nhóm hạng tử)
= (a - 2)
2
- 2(a -2) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)

= (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC - biến thàng 2 nhân tử)
Ta thấy có để tách một hạng tử thành 2 hạng tử khác trong đó 2 cách tách sau là
thông dụng nhất;
- Phơng pháp tách 1: Tách hạng tử tự do thành 2 hạng tử sao cho đa thức mới đợc
đa về hiệu hai bình phơng (cách 2) hoặc làm xuất hiện hằng đẳng thức và có nhân tử
chung với hạng tử còn lại (cách 3).
- Phơng pháp tách 2: Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phơng pháp
nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung làm xuất hiện nhân tử chung mới (cách 1)
7/ 19
SKKN: VN DNG PHN TCH A THC THNH NHN T VO GII
TON
Ví dụ 7: Phân tích tam thức bậc hai: ax
2
+ bx + c thành nhân tử.
Tách hệ số b = b
1
+ b
2
sao cho b
1
. b
2
= a.c
Trong thực hành ta làm nh sau;
+ Tìm tích a.c
+ Phân tích a.c ra thừa số nguyên với mọi cách
+ Chọn 2 thừa số mà tổng bằng b
Ngoài ra có thể tách đồng thời cả hai hạng tử (hạng tử tự do và hạng tử bậc nhất)
(nh cách 3)
b) Ph ơng pháp thêm bớt hạng tử.

1. Thờm, bt cựng mt s hng t xut hin hiu hai bỡnh phng:
Ví dụ 8: 4x
4
+ 81 = 4x
4
+ 36x
2
+ 81 - 36x
2
= (2x
2
+ 9)
2
36x
2

= (2x
2
+ 9)
2
(6x)
2
= (2x
2
+ 9 + 6x)(2x
2
+ 9 6x)
= (2x
2
+ 6x + 9 )(2x

2
6x + 9)
Ví dụ 9: x
8
+ 98x
4
+ 1 = (x
8
+ 2x
4
+ 1 ) + 96x
4

= (x
4
+ 1)
2
+ 16x
2
(x
4
+ 1) + 64x
4
- 16x
2
(x
4
+ 1) + 32x
4
= (x

4
+ 1 + 8x
2
)
2
16x
2
(x
4
+ 1 2x
2
) = (x
4
+ 8x
2
+ 1)
2
- 16x
2
(x
2
1)
2
= (x
4
+ 8x
2
+ 1)
2
- (4x

3
4x )
2

= (x
4
+ 4x
3
+ 8x
2
4x + 1)(x
4
- 4x
3
+ 8x
2
+ 4x + 1)
Ví dụ 10: Phân tích đa thức P
1
= x
4
+ 4 thành nhân tử
P
1
= x
4
+ 4
= x
4
+ 4x

2
+ 4 - 4x
2
(thêm 4x
2
, bớt 4x
2
)
= (x
4
+ 4x
2
+ 4) - 4x
2
(nhóm hạng tử)
= (x
2
+ 2)
2
- (2x)
2
(dùng hằng đẳng thức)
= (x
2
+ 2x + 2) (x
2
- 2x + 2)
Ví dụ 11: Phân tích đa thức : P
2
= a

4
+ 64 thành nhân tử.
P
2
= (a
4
+ 16a
2
+64) - 16a
2
(thêm 16a
2
, bớt 16a
2
)
= (a
2
+ 8)
2
- (4a)
2
= (a
2
+ 4a + 8) (a
2
- 4a + 8)
Nh vây việc thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức rất tiện lợi,
song ta cần xem xét thêm, bớt hạng tử nào? để xuất hiện hằng đẳng thức nào? bình ph-
ơng của 1 tổng hay hiệu hai bình phơng thì mới phân tích triệt để đợc.
8/ 19

SKKN: VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI
TOÁN
2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung
VÝ dô 12: x
7
+ x
2
+ 1 = (x
7
– x) + (x
2
+ x + 1 ) = x(x
6
– 1) + (x
2
+ x + 1 )
= x(x
3

- 1)(x
3
+ 1) + (x
2
+ x + 1 ) = x(x – 1)(x
2
+ x + 1 ) (x
3
+ 1) + (x
2
+ x + 1)

= (x
2
+ x + 1)[x(x – 1)(x
3
+ 1) + 1] = (x
2
+ x + 1)(x
5
– x
4
+

x
2
- x + 1)
VÝ dô 13: x
7
+ x
5
+ 1 = (x
7
– x ) + (x
5
– x
2
) + (x
2

+ x + 1)
= x(x

3
– 1)(x
3
+ 1) + x
2
(x
3
– 1) + (x
2

+ x + 1)
= (x
2

+ x + 1)(x – 1)(x
4
+ x) + x
2
(x – 1)(x
2

+ x + 1) + (x
2

+ x + 1)
= (x
2

+ x + 1)[(x
5

– x
4
+ x
2
– x) + (x
3
– x
2
) + 1] = (x
2

+ x + 1)(x
5
– x
4
+ x
3
– x + 1)
c) Ph ¬ng ph¸p ®Æt Èn phô
VÝ dô 14: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128
= (x
2
+ 10x) + (x
2
+ 10x + 24) + 128
Đặt x
2
+ 10x + 12 = y, đa thức có dạng
(y – 12)(y + 12) + 128 = y
2

– 144 + 128 = y
2
– 16 = (y + 4)(y – 4)
= ( x
2
+ 10x + 8 )(x
2
+ 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x
2
+ 10x + 8 )
VÝ dô 15: A = x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
– 6x + 1
Giả sử x
≠
0 ta viết
x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
– 6x + 1 = x
2
( x
2

+ 6x + 7 –
6 1
+
2
x
x
) = x
2
[(x
2
+
1
2
x
) + 6(x -
1
x
) + 7 ]
Đặt x -
1
x
= y thì x
2
+
1
2
x
= y
2
+ 2, do đó

A = x
2
(y
2
+ 2 + 6y + 7) = x
2
(y + 3)
2
= (xy + 3x)
2

= [x(x -
1
x
)
2
+ 3x]
2
= (x
2
+ 3x – 1)
2

Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:
A = x
4
+ 6x
3
+ 7x
2

– 6x + 1 = x
4
+ (6x
3
– 2x
2
) + (9x
2
– 6x + 1 )
= x
4
+ 2x
2
(3x – 1) + (3x – 1)
2
= (x
2
+ 3x – 1)
2

VÝ dô 16: A =
2 2 2 2 2
( )( ) ( +zx)x y z x y z xy yz+ + + + + +
=
2 2 2 2 2 2 2
( ) 2( +zx) ( ) ( +zx)x y z xy yz x y z xy yz
 
 
 
+ + + + + + + +

9/ 19
SKKN: VN DNG PHN TCH A THC THNH NHN T VO GII
TON
t
2 2 2
x y z+ +
= a, xy + yz + zx = b ta cú
A = a(a + 2b) + b
2
= a
2
+ 2ab + b
2
= (a + b)
2
= (
2 2 2
x y z+ +
+ xy + yz + zx)
2
Ví dụ 17:
B =
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4
2( ) ( ) 2( )( ) ( )x y z x y z x y z x y z x y z+ + + + + + + + + + +
t x
4
+ y
4
+ z
4

= a, x
2
+ y
2
+ z
2
= b, x + y + z = c ta cú:
B = 2a b
2
2bc
2
+ c
4
= 2a 2b
2
+ b
2
- 2bc
2
+ c
4
= 2(a b
2
) + (b c
2
)
2
Ta li cú: a b
2
= - 2(

2 2 2 2 2 2
x y y z z x+ +
) v b c
2
= - 2(xy + yz + zx) Do ú;
B = - 4(
2 2 2 2 2 2
x y y z z x+ +
) + 4 (xy + yz + zx)
2
=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 4 4 4 8 8 8
8 ( )
x y y z z x x y y z z x x yz xy z xyz
xyz x y z
+ + + + + +
= + +
Ví dụ 18:
3 3 3 3
( ) 4( ) 12a b c a b c abc+ + + +
t a + b = m, a b = n thỡ 4ab = m
2
n
2
a
3
+ b
3
= (a + b)[(a b)

2
+ ab] = m(n
2
+
2 2
m - n
4
). Ta cú:
C = (m + c)
3
4.
3 2
m + 3mn
3 2 2
4c 3c(m - n )
4

= 3( - c
3
+mc
2
mn
2
+ cn
2
)
= 3[c
2
(m - c) - n
2

(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)
Ví dụ 19: Phân tích thành nhân tử:
D = (x
2
+ x)
2
+ 4x
2
+ 4x - 12
D = (x
2
+ x)
2
+ 4(x
2
+ x) - 12 (nhóm - làm xuất hiện nhân tử chung)
Ta thấy 2 hạng tử đầu có nhân tử chung là (x
2
+ x), ta có thể đặt
y = x
2
+ x = x(x + 1) (đổi biến). Khi đó ta có:
D
1
= y
2
+ 4y - 12
Ta có thể dùng phơng pháp tách hoặc thêm bớt
D
1

= (y
2
- 2y) + (6y - 12) (Tách 4y = 6y - 2y)
D
1
= y (y - 2) + 6(y - 2) (đặt nhân tử chung)
D
1
= (y 2)(y + 6) (đặt nhân tử chung)
Hay D = (x
2
+ x - 2) (x
2
+ x + 6) thay lại biến x
D đã phân tích thành 2 nhân tử (x
2
+ x- 2) và (x
2
+ x+ 6)
10/ 19
SKKN: VN DNG PHN TCH A THC THNH NHN T VO GII
TON
Việc phân tích tiếp các nhân tử cho triệt để có thể dựa vào các phơng pháp
đã nêu ở trên. Chú ý có những tam thức không thể phân tích tiếp đợc nh :
x
2
+ x + 6 = (x +
2
1
)

2
+ 5
4
3
. Do vậy không phân tích tiếp đợc nữa
Còn x
2
+ x - 2 = (x
2
- 1) + (x - 1) = (x - 1) (x + 2)
Khi đó D = (x
2
+ x + 6) (x - 1) (x + 2).
d) Ph ơng pháp tìm nghiệm của đa thức.
Nguyên tắc: Nếu đa thức ax
3
+ bx
2
+ cx+ d (1) có nghiệm thì theo định lý Bơ du
ta có: Nếu m là nghiệm của (1) thì m chứa nhân tử (x - m), khi đó dùng phép chia đa
thức ta có:
ax
3
+ bx
2
+ cx + d = (x - m) (a'x
2
+ b'x + c'), nhân tử bậc hai có thể phân tích tiếp
đợc dựa vào các phơng pháp nêu ở trên.
Các phơng pháp tìm nghiệm của đa thức bậc 3:

+ Nếu tổng các hệ số: a + b + c + d = 0 đa thức có nghiệm x = 1.
đa thức chứa nhân tử chung (x - 1)
+ Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ tức là a - c = b +d đa thức có x = -1.
đa thức chứa nhân tử chung (x + 1)
+ Nếu không xét đợc tổng các hệ số nh trên thì ta xét các ớc của hệ số tự do d
(hệ số không đổi). Nếu ớc nào của d làm cho đa thức có giá trị bằng 0 thì ớc đó là nghiệ
Vớ d 20. Phõn tớch a thc thnh nhõn t: x
3
x
2
- 4
Ta nhõn thy nghim ca f(x) nu cú thỡ x =
1; 2; 4
, ch cú f(2) = 0 nờn x = 2 l
nghim ca f(x) nờn f(x) cú mt nhõn t l x 2. Do ú ta tỏch f(x) thnh cỏc nhúm cú
xut hin mt nhõn t l x 2
Cỏch 1:
x
3
x
2
4 =
( ) ( )
( ) ( )
3 2 2 2
2 2 2 4 2 ( 2) 2( 2)x x x x x x x x x x + + = + +
=
( )
( )
2

2 2x x x + +
Cỏch 2:
( ) ( )
3 2 3 2 3 2 2
4 8 4 8 4 ( 2)( 2 4) ( 2)( 2)x x x x x x x x x x x = + = = + + +
=
( )
( )
2 2
2 2 4 ( 2) ( 2)( 2)x x x x x x x



+ + + = + +
11/ 19
SKKN: VN DNG PHN TCH A THC THNH NHN T VO GII
TON
Vớ d 21. Phõn tớch a thc thnh nhõn t:f(x) = 3x
3
7x
2
+ 17x 5
Nhn xột:
1, 5
khụng l nghim ca f(x), nh vy f(x) khụng cú nghim nguyờn.
Nờn f(x) nu cú nghim thỡ l nghim hu t
Ta nhn thy x =
1
3
l nghim ca f(x) do ú f(x) cú mt nhõn t l 3x 1. Nờn

f(x) = 3x
3
7x
2
+ 17x 5 =
( ) ( )
( )
3 2 2 3 2 2
3 6 2 15 5 3 6 2 15 5x x x x x x x x x x + + = +
=
2 2
(3 1) 2 (3 1) 5(3 1) (3 1)( 2 5)x x x x x x x x + = +
Vỡ
2 2 2
2 5 ( 2 1) 4 ( 1) 4 0x x x x x + = + + = + >
vi mi x nờn khụng phõn tớch c
thnh nhõn t na
Vớ d 22. Phõn tớch a thc thnh nhõn t: x
3
+ 5x
2
+ 8x + 4
Nhn xột: Tng cỏc h s ca cỏc hng t bc chn bng tng cỏc h s ca cỏc hng t
bc l nờn a thc cú mt nhõn t l x + 1
x
3
+ 5x
2
+ 8x + 4 = (x
3

+ x
2
) + (4x
2
+ 4x) + (4x + 4) = x
2
(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1)
= (x + 1)(x
2
+ 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)
2
Vớ d 23. Phõn tớch a thc thnh nhõn t:f(x) = x
5
2x
4
+ 3x
3
4x
2
+ 2
Tng cỏc h s bng 0 thỡ nờn a thc cú mt nhõn t l x 1, chia f(x) cho (x 1) ta
cú:
x
5
2x
4
+ 3x
3
4x
2

+ 2 = (x 1)(x
4
- x
3
+ 2

x
2
- 2

x

- 2)
Vỡ x
4
- x
3
+ 2

x
2
- 2

x

- 2 khụng cú nghim nguyờn cng khụng cú nghim hu t nờn
khụng phõn tớch c na
Ví dụ 24: Phân tích đa thức thành nhân tử.
E
1

= x
3
+ 3x
2
- 4 xét tổng các hệ số ta thấy.
a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0 x
1
= 1
E
1
= (x - 1) (x
2
+ 4x + 4) (chia E
1
Cho (x - 1) )
Sau đó dùng các phơng pháp đã học để phân tích tiếp
E
1
= (x - 1) (x + 2)
2
Ví dụ 25: Phân tích đa thức thành nhân tử.
E
2
= x
3
- 3x + 2
12/ 19
SKKN: VN DNG PHN TCH A THC THNH NHN T VO GII
TON
Ta thấy tổng và hiệu các hệ số của E

2
0 do đó loại x = 1
Xét các Ư
(2)
= 2 có x = -2 là nghiệm của E
2
E
2
= (x + 2)(x
2
- 2x + 1) (Chia E
2
cho(x - 2))
E
2
= (x + 2) (x -1)
2
Các ví dụ trên đây là một số phơng pháp để phối kết hợp với các phơng
pháp thông thờng giúp học sinh phân tích đợc các bài toán khó thành nhân tử
giúp cho quá trình rút gọn phân thức cũng nh giải phơng trình.
e) Ph

ng ph

ỏp h s bt nh

:
+ a thc f(x) cú nghim hu t thỡ cú dng p/q trong ú p l c ca h s t do, q l
c dng ca h s cao nht
+ Nu f(x) cú tng cỏc h s bng 0 thỡ f(x) cú mt nhõn t l x 1

+ Nu f(x) cú tng cỏc h s ca cỏc hng t bc chn bng tng cỏc h s ca cỏc hng
t bc l thỡ f(x) cú mt nhõn t l x + 1
+ Nu a l nghim nguyờn ca f(x) v f(1); f(- 1) khỏc 0 thỡ
f(1)
a - 1
v
f(-1)
a + 1
u l s
nguyờn. nhanh chúng loi tr nghim l c ca h s t do
Ví dụ 26. x
4
- 6x
3
+ 12x
2
- 14x + 3
Nhn xột: cỏc s

1,

3 khụng l nghim ca a thc, a thc khụng cú nghim
nguyờn cng khụng cú nghim hu t
Nh vy nu a thc phõn tớch c thnh nhõn t thỡ phi cú dng
(x
2
+ ax + b)(x
2
+ cx + d) = x
4

+ (a + c)x
3
+ (ac + b + d)x
2
+ (ad + bc)x + bd
ng nht a thc ny vi a thc ó cho ta cú:
6
12
14
3
a c
ac b d
ad bc
bd
+ =


+ + =


+ =


=

Xột bd = 3 vi b, d

Z, b

{ }
1, 3
vi b = 3 thỡ d = 1 h iu kin trờn tr thnh
6
8 2 8 4
3 14 8 2
3
a c
ac c c
a c ac a
bd
+ =


= = =




+ = = =



=

13/ 19
SKKN: VN DNG PHN TCH A THC THNH NHN T VO GII
TON
Vy: x
4

- 6x
3
+ 12x
2
- 14x + 3 = (x
2
- 2x + 3)(x
2
- 4x + 1)
Ví dụ 27 2x
4
- 3x
3
- 7x
2
+ 6x + 8
Nhn xột: a thc cú 1 nghim l x = 2 nờn cú tha s l x - 2 do ú ta cú:
2x
4
- 3x
3
- 7x
2
+ 6x + 8 = (x - 2)(2x
3
+ ax
2
+ bx + c)
= 2x
4

+ (a - 4)x
3
+ (b - 2a)x
2
+ (c - 2b)x - 2c


4 3
1
2 7
5
2 6
4
2 8
a
a
b a
b
c b
c
c
=

=


=

=

=

=


=


Suy ra: 2x
4
- 3x
3
- 7x
2
+ 6x + 8 = (x - 2)(2x
3
+ x
2
- 5x - 4)
Ta li cú 2x
3
+ x
2
- 5x - 4 l a thc cú tng h s ca cỏc hng t bc l v bc chn
bng nhau nờn cú 1 nhõn t l x + 1 nờn
2x
3
+ x
2
- 5x - 4 = (x + 1)(2x

2

- x - 4)
Vy: 2x
4
- 3x
3
- 7x
2
+ 6x + 8 = (x - 2)(x + 1)(2x
2

- x - 4)
Ví dụ 28 12x
2
+ 5x - 12y
2
+ 12y - 10xy - 3 = (a x + by + 3)(cx + dy - 1)
= acx
2

+ (3c - a)x + bdy
2
+ (3d - b)y + (bc + ad)xy 3

12
4
10
3
3 5

6
12
2
3 12
ac
a
bc ad
c
c a
b
bd
d
d b
=

=


+ =


=

=

=

=

=

=



12x
2
+ 5x - 12y
2
+ 12y - 10xy - 3 = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1)
3) Một số bài tập áp dụng.
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
1a. x
2
- 4x + 3 bằng 4 cách (phơng pháp tách).
Gợi ý 4 cách làm.
C
1
: Tách - 4x = - 3x + (-x)
C
2
: Tách 3 = 4 - 1.
C
3
: Tách 3 = 12 - 9
C
4
: Tách -4x = -2x + (-2x) và 3 = 2 + 1
Sau đó có thể nhóm làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung.
1b. 81a

4
+ 4 (thêm bớt hạng tử)
14/ 19
SKKN: VN DNG PHN TCH A THC THNH NHN T VO GII
TON
Gợi ý:Thêm 2 lần tích của 9a
2
và 2 Hằng đẳng thức. Cụ thể: 36x
2
1c: (x
2
+ x)
2
+ 9x
2
+ 9x + 14 (phơng pháp đổi biến).
Gợi ý: đặt (x
2
+x ) = y
1d: x
3
- 2x
2
- x + 2 (phơng pháp tìm nghiệm).
Gợi ý: Xét tổng các hệ số a + b + c = 0
Ngoài ra có thể sử dụng các phơng pháp khác để phân tích các bài tập trên thành
nhân tử.
Bài tập 2 : Rút gọn và tính giá trị của biểu thức.
M =
8147

44
3
23
+
+
aaa
aaa
với a = 102
Gợi ý:
+ Phân tích tử thức a
3
- 4a
2
- a+ 4 bằng phơng pháp nhóm hằng đẳng thức đa tử thành
nhân tử.
+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung,
tách hạng tử.
+ Rút gọn nhân tử chung của tử thứcvà mẫu thức.
+ Thay a = 102 vào M đã rút gọn.
Bài tập 3: Giải các phơng trình sau:
3.a) y
2
- 5y + 4 = 0.
Gợi ý: Phân tích vế trái thành các nhân tử phơng trình trở về phơng trình tích.
3b: y
3
- 2y
2
- 9y + 18 = 0.
Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử, đa phơng trình đã cho thành phơng trình

tích giải phơng trình tích.
Bài tập 4: Chứng minh rằng đa thức sau.
a) A = (a
2
+ 3a + 1)
2
- 1 chia hết cho 24.
Với a là một số tự nhiên.
Gợi ý:
+ Trớc hết phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.
A = (a
2
+ 3a + 2) (a
2
+ 2a) (Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phơng)
15/ 19
SKKN: VN DNG PHN TCH A THC THNH NHN T VO GII
TON
A = (a + 2) (a + 1) (a + 3)a = a (a + 1) (a + 2) (a + 3)
(Sử dụng phơng pháp tách hạng tử 3a = 2a + a)
* Lập luận:
+ A đã cho là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chứng tỏ trong ba số tự nhiên liên
tiếp ắt phải có một số chia hết cho 3 vậy: A 3
+ Trong 4 số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có 2 số chẵn liên tiếp nên mộc trong
hai số đó chia hết cho 2 và số còn lại sẽ chia hết cho 4. Vậy A 8
+ Nhng (3 ; 8) = 1 nên tích của 4 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 24.
b) B = 25m
4
+ 50m
3

- n
2
- 2n chia hết cho 24.
Với n là số nguyên dơng tuỳ ý.
Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
A = x
2
- 4x + y
2
+ 2y + 12
Gợi ý:
+ Trớc hết sử dụng các phơng pháp của phân tích đa thức thành nhân tử để phân
tích A.
A = x
2
- 4x + 4 + y
2
+2y + 1 + 7 (tách 12 = 7 + 4 + 1)
A = (x
2
- 4x + 4) + (y
2
+ 2y + 1) + 7 (nhóm hạng tử)
A = (x- 2)
2
+ (y + 1)
2
+ 7
* Lập luận.
Vì (x - 2)

2
o và (y + 1)
2
0, dấu " = "xảy ra khi a = 2 và y = - 1 nên A = (x - 2)
2
+
(y + 1)
2
+ 7 7
Vậy A
Min

= 7 khi x = 2; y = -1
d) Kết quả đạt đợc:
p dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy ở trờng THCS Đại Phú trong
năm học 2011 - 2012 đã thu đợc các kết quả khả quan .
16/ 19
SKKN: VN DNG PHN TCH A THC THNH NHN T VO GII
TON
Kết quả học tập của học sinh đợc nâng lên rõ rệt qua các giờ học, qua mỗi kỳ thi,
đặc biệt là các em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo các thủ thuật phân tích đa
thức thành nhân tử để làm các dạng toán có liên quan đến việc phân tích đa thức đạt kết
quả tốt. Bên cạnh đó các phơng pháp này giúp các em dễ dàng tiếp cận với các dạng
toán khó và các kiến thức mới cũng nh việc hình thành một số kỹ năng trong quá trình
học tập và giải toán khi học bộ môn toán.
HS 1 :Đạt 13,5/20 điểm- Đạt giải khuyến khích HSG Toán cấp huyện.
HS2 : Đạt 15,5/20 điểm - Đạt giải ba HSG Toán cấp huyện
3. Kết luận.
a)Bài học kinh nghiệm:
Trải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm trên đây có kết quả

hữu hiệu cho việc học tập và giải toán. Rất nhiều học sinh chủ động tìm tòi và định h-
ớng phơng pháp làm bài khi cha có sự gợi ý của giáo viên, mang lại nhiều sáng tạo và
kết quả tốt từ việc giải toán rút ra các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Vì lẽ đó vơí mỗi giáo viên nói chung và bản thân tôi nói riêng cần hiểu rõ khả
năng tiếp thu bài của các đối tợng học sinh để từ đó đa ra những bài tập và phơng pháp
giải toán cho phù hợp giúp học sinh làm đợc các bài tập, gây hứng thú học tập, say sa
giải toán, yêu thích học toán. Từ đó dần dần nâng cao từ dễ đến khó, có đợc nh vậy thì
ngời thầy giáo cần phải tìm tòi nhiều phơng pháp giải toán, có nhiều bài toán hay để h-
ớng dẫn học sinh làm, đa ra cho học sinh cùng làm, cùng phát hiện ra các cách giải
khác nhau cũng nh cách giải hay, tính tự giác trong học toán, phơng pháp giải toán
nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các
cách giải: Một số kinh nghiệm trong phân tích đa thức thành nhân tử ở trên đây giúp
học sinh rất nhiều trong quá trình giải toán có sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử.
Các kinh nghiệm về phân tích đa thức thành nhân tử mà tôi đã viết trên đây có lẽ sẽ còn
rất nhiều hạn chế. Mong tổ chuyên môn trong trờng, đồng nghiệp góp ý chân thành để
tôi có nhiều sáng kiến kinh nghiệm tốt hơn phục vụ tích cực cho việc giảng dạy nhằm
thực hiện tốt chơng trình mới THCS.
b) Kin ngh, xut:
i vi Ban Giỏm Hiu nh trng:
17/ 19
SKKN: VN DNG PHN TCH A THC THNH NHN T VO GII
TON
Nhà trờng sắp xếp đảm bảo hợp lý, khoa học và hiệu quả thời gian bồi dỡng cùng
các cơ sở vật chất phục vụ cho việc dạy và học của các môn.
Chế độ thởng đợc nhà trờng thực hiện kịp thời ngay sau khi có thông báo kết quả
các cuộc thi học sinh giỏi các cấp, t gii.
Nhà trờng nên tập trung xây dựng kế hoạch bồi dỡng, chọn lọc qua các năm và
chỉ đạo các tổ chuyên môn, các giáo viên xây dựng kế hoạch bồi dỡng cụ thể, có tính
chất tạo nguồn cho những năm tiếp theo.
Nh tr ng nên xây dựng một cơ chế hỗ trợ xứng đáng tạo điều kiện cho giáo

viên tham gia bồi dỡng đội tuyển phấn đấu, an tâm hơn trong giảng dạy
XC NHN CA T CHUYấN MễN





T TRNG

NGI VIT SNG KIN
(ký v ghi h , tờn)
Nguyễn Lộc Văn Hà
Phn ỏnh giỏ ca Ban giỏm kho Hi thi giỏo viờn gii cp trng
Giỏm kho th nht Giỏm kho th hai
18/ 19
SKKN: VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀO GIẢI
TOÁN
c. Giới hạn (phạm vi) nghiên cứu:
-Nhóm Học sinh giỏi Toán lớp 8 Trường THCS
19/ 19