CỰC TRỊ của hàm số các bài toán liên quan

TRNG THPT LNG TM GV SON: PHM MINH EN
Chuyờn 1: TIP TUYN
A. Cỏc dng c bn:
Dng 1: Bit tip im
( ) ( )
Cyx
00
;

PP:
p dng phng trỡnh tip tuyn vi (C) ti M l:
))(()(
000
xxxfxfy

==
Dng 2: Tip tuyn cú h s gúc k cho trc.
PP:
Cỏch gii 1:
- Gii phng trỡnh f (x) = k tỡm tip im
0
x
, sau ú tớnh f(
0
x
).
- Th
0
x
vo cụng thc ca dng 1.
Cỏch gii 2:

- Tip tuyn cú phng trỡnh dng y = kx + b (T)
- Da vo iu kin (T) tip xỳc vi (C) tỡm b.
Chỳ ý
Tip tuyn song song vi ng thng cho trc: Bc u tỡm h s gúc ca ng thng cho
trc, t ú suy ra h s gúc ca tip tuyn l h s gúc ca ng thng cho trc.
Tip tuyn vuụng gúc vi ng thng cho trc: Bc u tỡm h s gúc ca ng thng cho
trc, ri ỏp dng cụng thc hai ng thng vuụng gúc thỡ
1.
21
=kk
tỡm h s gúc ca
tip tuyn.
Dng 3: Tip tuyn xut phỏt t 1 im M
( )

;
cho trc
PP:
Cỏch gii 1:
- Gi phng trỡnh tip tuyn cú phng trỡnh dng
)(

= xky
(T)
- Da vo iu kin (T) tip xỳc (C) tỡm k.
Cỏch gii 2:
- Gi phng trỡnh tip tuyn cú phng trỡnh dng
)(
00
xxkyy =

(T)
- (T) i qua im M
( )

;
nờn
)(
00
xky =

(*)
- Gii phng trỡnh (*) tỡm
0
x
(S nghim ca (*) l s tip tuyn cn tỡm).
B. Bi tp:
B i 1: Cho hàm số
1
2
2 xy x +=
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.
B i 2: Cho hàm số
1 1
3 2
3 2
y x x= +
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) tại điểm
( )
5
1;

6
B C

ữ

.
B i 3: Cho hàm số
3 2
2 3 12 1y x x x= + - -
, có đồ thị (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại
đó đi qua gốc toạ độ. (ĐH Công Đoàn 01)
B i 4: Cho hàm số
= +
3 2
1y x mx m
. Viết PTTT tại các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua
với mọi giá trị của m. (ĐH AN A00)
B i 5: Cho hàm số
= +
3
3 3 2y x mx m
, có đồ thị
(C )
m
. CMR tiếp tuyến với
(C )
m
tại điểm uốn luôn
đi qua một điểm cố định.
B i 6: Cho hàm số

= + +
3 2
3 3 1y x x x
, có đồ thị (C). Tìm trên (C) những điểm mà tiếp tuyến tại đó
có hệ số góc lớn nhất.
B i 7: Cho hàm số
1
3
1
3
y x x= +
, có đồ thị (C). Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị (C), hãy tìm
tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
B i 8: Cho
2 3
2
x
y
x
-
=
-
, có đồ thị (C). Tìm các điểm có toạ độ nguyên của (C) và viết PTTT tại các điểm
đó. (ĐH
CSNDII 01)
B i 9: Cho hàm số
= + +
4 2
( 1)y x mx m
, có đồ thị

(C )
m
.
TI LIU ễN THI I HC 2009 2010 Trang 1
TRNG THPT LNG TM GV SON: PHM MINH EN
a. Tìm các điểm cố định của
(C )
m
khi m thay đổi.
b. Gọi A là điểm cố định có hoành độ dơng của
(C )
m
. Tìm giá trị của m để tiếp tuyến với
(C )
m
tại A
song song với đờng thẳng y=2x. (ĐH SP Vinh-G99)
B i 10: Cho hàm số
2
2
x
y
x

=
+
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) biết nó song song với phân giác của
góc phần t thứ nhất tạo bởi các trục toạ độ.
B i 11: (ĐH CĐ-D2002) Cho hàm số
2

(2 1)
(C)
1
m x m
y
x
- -
=
-
. Tìm m để đồ thị hàm số (C) tiếp xúc với đờng
thẳng y=x
B i 12: (ĐH Thái Nguyên-D2000) Cho hàm số
3 2
m
3 3 3 4 (C )y x x mx m= + + +
. Với giá trị nào của m thì đ-
ờng
cong (C
m
) tiếp xúc với Ox
B i 13: Cho hàm số
= +
3 2
3 2y x x
, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với
đờng thẳng 5y-3x+4=0. (ĐH Nông NghiệpI-B99)
B i 14: Cho hàm số
= + +
4 2
2 2 1y x mx m

, có đồ thị
(C )
m
.
a. CMR
(C )
m
luôn đi qua hai điểm cố định A, B.
b. Tìm m để tiếp tuyến tại hai điểm A, B vuông góc với nhau. (ĐH Huế 98)
B i 15: Cho hm s
( )
m
C
:
3
x 1y mx m= +
. Vit phng trỡnh tip tuyn ca th
( )
m
C
ti giao
im ca
( )
m
C
vi Oy. Tỡm m tip tuyn núi trờn chn hai trc ta tam giỏc cú din tớch bng 8.
B i 16: Cho
( )
m
C

:
3 2
x 3 1y x mx= + + +
.
a) Tỡm m
( )
m
C
ct ng thng y = 1 ti 3 im phõn bit C(0;1), D, E.
b) Tỡm m cỏc tip tuyn vi
( )
m
C
ti D v E vuụng gúc nhau.
B i 17: Cho hàm số
+ +
=
+
2
2 2
1
x x
y
x
, có đồ thị (C). CMR có hai tiếp tuyến của (C) đi qua A(1;0) và
vuông góc với nhau. (Dợc HN 99)
B i 18: Cho hàm số
2
2 2
1

x x
y
x
+ +
=
+
, có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). CMR
không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua I.
B i 19: Cho
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
+
, có đồ thị (C). Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm M(-1;0) và tiếp xúc
với (C).
B i 20: Cho hàm số
+
=

2
1
x mx m
y
x
, có đồ thị

(C )
m
. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hai tiếp
tuyến với đồ thị
(C )
m
kẻ từ O(0;0) vuông góc với nhau. (ĐH DL Hùng Vơng B00)
B i 21: Cho hàm số
2
x mx m
y
x
- +
=
, có đồ thị
(C )
m
. Tìm các giá trị của m sao cho từ điểm M(2;-1)
có thể kẻ đến
(C )
m
hai tiếp tuyến khác nhau. (CĐ Cộng Đồng Vĩnh Long-A,B05)
Chuyờn 2: CC TR CA HM S
I CC TR CA HM S BC BA V CC BI TON LIấN QUAN:
1 Tỡm iu kin hm s cú cc tr:
Phng phỏp: Cho hm s
3 2
axy bx cx d= + + +

thc hin cỏc yờu cu v iu kin cú cc tr ca hm s ta thc hin theo cỏc bc:

Bc 1:
Ta cú:
- TX: D = R
o hm :
2 2
' '( ) 3 2 , ' 0 3 2 0y f x ax bx c y ax bx c= = + + = + + =
(*)
Bc 2: Vi cỏc yờu cu.
a) Hm s khụng cú cc tr
TI LIU ễN THI I HC 2009 2010 Trang 2
TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÂM GV SOẠN: PHẠM MINH ĐEN
Trường hợp 1: Nếu a = 0, ta có
y
′
= 2bx + c
Hàm số không có cực trị
y
′
⇔
không đổi dấu
0
0
b
c
=

⇔

≠


Trường hợp 2: Nếu
0a
≠
Hàm số không có cực trị
y
′
⇔
không đổi dấu
0
′
⇔ ∆ ≤
b) Hàm số có cực trị:
Trường hợp 1:Nếu a = 0, ta có
y
′
= 2bx + c
Hàm số có cực trị
0b⇔ ≠
Trường hợp 2: Nếu
0a
≠
Hàm số có cực trị
⇔
(*) có hai nghiệm phân biệt
0
0
a ≠

⇔


′
∆ >

c) Hàm số có cực đại, cực tiểu
⇔
(*) có hai nghiệm phân biệt
0
0
a ≠

⇔

′
∆ >

d) Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thỏa mãn điều kiện K.
Ta thực hiện các bước sau:
 Bước 1: Hàm số có cực đại, cực tiểu
⇔
(*) có hai nghiệm phân biệt
0
0
a ≠

⇔

′
∆ >

Khi đó, (*) có hai nghiệm

1 2
,x x
thỏa mãn hệ thức Viét:
1 2
1 2
.
b
x x
a
c
x x
a

+ = −




=


 Bước 2: Kiểm tra điều kiện K.
e) Hàm số có cực đại, cực tiểu và
CĐ CT
x x<
⇔
(*) có hai nghiệm phân biệt và a > 0
0
0
a >


⇔

′
∆ >

f) Hàm số có cực đại, cực tiểu và
CĐ CT
x x>
⇔
(*) có hai nghiệm phân biệt và a < 0
0
0
a <

⇔

′
∆ >

g) Hàm số có cực tiểu tại
0
x
0
0
( ) 0
( ) 0
y x
y x
′

=

⇔

′′
>

h) Hàm số có cực đại tại
0
x
0
0
( ) 0
( ) 0
y x
y x
′
=

⇔

′′
<

Ví dụ 1: Cho hàm số
( )
3 2
1 1
mx 1 3( 2)
3 3

y m x m x= − − + − +
. Tìm m để:
a) Hàm số có cực đại, cực tiểu
1 2
,x x
thỏa mãn
1 2
2 1x x+ =
b) Hàm số có cực đại, cực tiểu có hoành độ dương
c) Hàm số có cực đại, cực tiểu và
CĐ CT
x x<
d) Hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Ví dụ 2: Cho hàm số
( ) ( )
3 2
2x 3 2 6( 2) 1
m
y m x m x C= + − + − −
, m là tham số.
Với giá trị nào của m thì
( )
m
C
có cực đại, cực tiểu thỏa mãn:
2
CĐ CT
x x+ =
2 – Đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số:
Bài toán: Cho hàm số

3 2
axy bx cx d= + + +
. Hãy xác định phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số.
Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau:
 Bước 1:
Ta có:
- TXĐ: D = R
TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC 2009 – 2010 Trang 3
TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÂM GV SOẠN: PHẠM MINH ĐEN
Đạo hàm :
2 2
' '( ) 3 2 , ' 0 3 2 0y f x ax bx c y ax bx c= = + + = ⇔ + + =
(*)
 Bước 2: Hàm số có cực đại, cực tiểu
⇔
(*) có hai nghiệm phân biệt
0
0
a ≠

⇔

′
∆ >

(**)
 Bước 3: Khi đó, tọa độ điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số thỏa mãn hệ:
2
2

0 3 2 0
Ax
( )
( ) (3 2 ). ( ) Ax
y ax bx c
y B
y f x
y f x ax bx c g x B
′ 
= + + =


⇔ ⇒ = +
 
=
= = + + + +



(***)
Tức là, tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu cùng thỏa mãn phương trình (***)
(Chú ý: g(x) là thương của phép chia f(x) cho
( )f x
′
, còn Ax + B là số dư)
 Bước 4: Vậy, phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu hàm số có dạng
y = Ax + B, với điều kiện (**).
Ví dụ 1: Cho hàm số
3 2
x 3 9y x x= − −

. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu
của đồ thị hàm số.
Ví dụ 2: Cho hàm số
3 2
3x 3 2y x x= − − +
. Lập phương trình đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị
hàm số.
Ví dụ 3: Cho hàm số
3 2
2x 3( 1) 6( 2) 1y m x m x= + − + − −
. Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu và
lập phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số.
3) Xác định các thuộc tính của điểm cực trị:
Bài toán: Cho hàm số
3 2
axy bx cx d= + + +
. Xác định m để điểm cực trị của đồ thị hàm số thỏa mãn
điều kiện K.
Phương pháp: ta thực hiện theo các bước sau:
 Bước 1:
Ta có:
- TXĐ: D = R
Đạo hàm :
2 2
' '( ) 3 2 , ' 0 3 2 0y f x ax bx c y ax bx c= = + + = ⇔ + + =
(*)
 Bước 2:Hàm số có cực đại, cực tiểu
⇔
(*) có hai nghiệm phân biệt
0

0
a ≠

⇔

′
∆ >

(**)
Khi đó, (*) có hai nghiệm
1 2
,x x
thỏa mãn hệ thức Viét:
1 2
1 2
2
3
.
3
b
x x
a
c
x x
a
−

+ =





=


 Bước 3: Ta thực hiện phép chia đa thức y cho
y
′
ta được:

1 1 1 2 2 2
. ( ) ( ) ( ) ( ); ( ) ( )y y g x h x y y x h x y y x h x
′
= + ⇒ = = = =
Vậy, tọa độ các điểm cực trị là
1 1 2 2
( , ) à ( , )A x y v B x y
 Bước 4: Kiểm tra A, B thỏa mãn điều kiện K
⇒
m (Kết hợp với (**) )
Ví dụ 1: Cho hàm số
( )
3 2
3
2
m
y x mx m C= − +
. Xác định m để điểm cực đại, cực tiểu của (C
m
) ở về

hai phía đường thẳng y = x.
Ví dụ 2: Cho hàm số
3 2 3
3 4y x mx m= − +
. Xác định m để điểm cực đại, cực tiểu của (C
m
) ở về hai phía
đường thẳng y = x.
Ví dụ 3: Cho hàm số
3 2
1
1
3
y x mx x m= − − + +
. CMR: với mọi m hàm số đã cho luôn có cực đại và cực
tiểu. Hãy xác định m sao cho khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu nhỏ nhất.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm m để hàm số
3 2
3 ( 1) 2y x mx m x= − + − +
đạt cực tiểu tại x = 2.
Bài 2: Tìm điều kiện để tham số m để các hàm số sau có cực trị:
a)
3 2
1
( 2) 1
3
y x mx m x= − + + −
TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC 2009 – 2010 Trang 4
TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÂM GV SOẠN: PHẠM MINH ĐEN

b)
3 2
1y x mx= − +
c)
3 2
( 2) 3 5y m x x mx= + + + −
Bài 3: Tìm các giá trị của m để đồ thị của các hàm số sau có cực đại và cực tiểu. Lập phương trình
đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số.
a)
3 2 2
3( 1) 2( 7 2) 2 ( 2)y x m x m m x m m= − + + + + − +
b)
3 2
3 3( 3) 11 3y x m x m= + − + −
c)
3 2 2
3( 1) (2 3 1) ( 1)y x m x m m x m m= − + + − + − −
d)
3 2
7 3y x mx x= + + +
e)
3 2 2
2 3(3 1) 12( ) 1y x m x m m x= − + + + +
Bài 4: Cho hàm số
3 2
1
( 2) 2( 2) 1
3
y x m x m x= − − + − +
. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại các

điểm
1 2
,x x
thỏa mãn:
1 2
2 1x x+ =
.
Bài 5: Cho hàm số
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= − + + + +
. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có hai
điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng y = x + 2.
Bài 6: Tìm m để:
a)
253
23
+++= xxmxy
đạt cực trị tại x = 2.
b)
132
23
−+−= xxmxy
đạt cực trị tại x = -1
c)
232
22
+−−= mmxxmy
có giá trị cực đại bằng – 3
d)
xxmy 3sin

3
1
sin +=
có giá trị cực trị tại
3
π
=x
.
e)
( )
121
3
+−−= mxxmy
không có cực trị.
Bài 7: Cho hàm số
132
23
−+−= xxaxy
. Tìm a, b, c để hàm số đạt cực trị tại A(-2;16) và B(2;-16).
Bài 8: Cho hàm số
)1()232()1(3
223
−−+−+−−= mmxmmxmxy
(m là tham số).
a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị.
c) Tìm m để đường thẳng nối 2 điểm cực trị song song với đường thẳng:
xy
3
2

−=
Bài 9: Cho hàm số
1)2(6)1(32
23
−−+−−= xmxmxy
. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và viết
phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị.
Bài 10: Tìm m để hàm số
3 2 2 2
1
( 2) (3 1) 5
3
y x m m x m x m= + − + + + + −
đạ cực tiểu tại x = - 2
Bài 11: Tìm m để
3 2
2 3( 1) 6(1 2 )y x m x m x= + − + −
có CĐ, CT nằm trên đường thẳng (d): y = - 4x
Bài 12: Tìm m để
3 2
7 3y x mx x= + + +
có đường thẳng đi qua CĐ, CT vuông góc với đường thẳng
y 3x 7= −
.
Bài 13: Tìm m để hàm số
3 2 2
3y x x m x m= − + +
có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua (d):
1 5
y x -

2 2
=
Bài 14: Cho hàm số
3 2 2
2
( 1) ( 4 3)
3
y x m x m m x= + + + + +
. Gọi các cực trị là
1 2
,x x
, tìm Max của
( )
1 2 1 2
y . 2x x x xΑ = − +
.
Bài 15: Tìm m để hàm số
3 2
1
1
3
y x mx mx= − + −
đạt cực trị tại
1 2
,x x
thỏa mãn điều kiện
1 2
8x x− ≥
.
Bài 16: Tìm m để hàm số

3 2
1
1
3
y x mx x m= − − + +
có khoảng cách giữa các điểm CĐ, CT là nhỏ nhất.
II – CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC BỐN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN:
1 – Tìm điều kiện để hàm số có cực trị:
Phương pháp: Cho hàm số
4 2
ax= + +y bx c

TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC 2009 – 2010 Trang 5
TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÂM GV SOẠN: PHẠM MINH ĐEN
Để thực hiện các yêu cầu về điều kiện có cực trị của hàm số ta thực hiện theo các bước:
 Bước 1:
Ta có:
- TXĐ: D = R
Đạo hàm :
( )
3 3 2
' '( ) 4 2 , ' 0 4 2 0 2 2 0= = + = ⇔ + = ⇔ + =y f x ax bx y ax bx x ax c
(*)
 Bước 2: Với các yêu cầu.
a) Hàm số không có cực trị
y
′
⇔
không đổi dấu
0

0
=

⇔

=

a
c
b) Hàm số có cực đại, cực tiểu (hoặc có 3 cực trị)
0
⇔ <
ac

c) Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thỏa mãn điều kiện K.
Ta thực hiện các bước sau:
 Bước 1: Hàm số có cực đại, cực tiểu
⇔
(*) có ba nghiệm phân biệt
Khi đó, (*) có hai nghiệm
1 2 3
, ,x x x
thỏa mãn hệ thức Viét
 Bước 2: Kiểm tra điều kiện K.
d) Hàm số 1 cực đại và 2 cực tiểu
⇔
(*) có 3 nghiệm phân biệt và a > 0
e) Hàm số 2 cực đại và 1 cực tiểu
⇔
(*) có 3 nghiệm phân biệt và a < 0

f) Hàm số chỉ có một cực trị
Nếu (*)
. ( ) 0⇔ =x g x
thì hàm số chỉ có 1 cực trị
0
⇔ >
ac
g) Hàm số chỉ có cực đại mà không có cực tiểu
Ta thực hiện theo các bước sau:
 Bước 1: Biến đổi (*) về dạng
. ( ) 0=x g x
 Bước 2: Hàm số chỉ có cực đại mà không có cực tiểu
0
0
<

⇔

≤

a
c
h) Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại
Ta thực hiện theo các bước sau:
 Bước 1: Biến đổi (*) về dạng
( )
0
. ( ) 0x x g x− =
 Bước 2: Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại
0

0
>

⇔

≥

a
c
i) Hàm số có cực tiểu tại
0
x
0
0
( ) 0
( ) 0
y x
y x
′
=

⇔

′′
>

j) Hàm số có cực đại tại
0
x
0

0
( ) 0
( ) 0
y x
y x
′
=

⇔

′′
<

Ví dụ 1: Cho hàm số
4 2
x ( 1) 1 2y m m x m= + − + −
. Xác định m hàm số chỉ có một cực trị.
2 – Đường cong đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số:
Bài toán: Cho hàm số
4 3 2
( , ) axy f x m bx cx dx e= = + + + +
(
0a ≠
). Hãy xác định phương trình đường
cong đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Phương pháp:
Ta thực hiện theo các bước sau:
 Bước 1:
- TXĐ: D = R
Đạo hàm :

3 2 3 2
' '( ) 4 3 2 , ' 0 4 3 2 0y f x ax bx cx d y ax bx cx d= = + + + = ⇔ + + + =
(*)
 Bước 2: Hàm số có 3 cực trị
⇔
(*) có 3 nghiệm phân biệt (**)
 Bước 3: Khi đó, tọa độ điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số thỏa mãnhệ:
3 2
2
3 2 2
0 4 3 2 0
Ax
( )
( ) (4 3 2 ). ( ) Ax
y ax bx cx d
y Bx C
y f x
y f x ax bx cx d g x Bx C
′ 
= + + + =


⇔ ⇒ = + +
 
=
= = + + + + + +



(***)

Tức là, tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu cùng thỏa mãn phương trình (***)
(Chú ý: g(x) là thương của phép chia f(x) cho
( )f x
′
, còn
2
Ax Bx C+ +
số dư)
TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC 2009 – 2010 Trang 6
TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÂM GV SOẠN: PHẠM MINH ĐEN
 Bước 4: Vậy, phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu hàm số có dạng
2
Axy Bx C= + +
, với điều kiện (**).
Ví dụ 1: Cho hàm số
4 2
x ( 1) 1y m x= + + +
.
a) Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) Xác định phương trình đường cong đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số.
3 – Xác định các thuộc tính của điểm cực trị:
Bài toán: Cho hàm số
4 3 2
( , ) axy f x m bx cx dx e= = + + + +
(
0a ≠
). Hãy xác định m để các cực điểm
cực trị của đồ thị hàm số thỏa mãn điều kiện K.
Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau:
 Bước 1:

- TXĐ: D = R
Đạo hàm :
3 2 3 2
' '( ) 4 3 2 , ' 0 4 3 2 0y f x ax bx cx d y ax bx cx d= = + + + = ⇔ + + + =
(*)
 Bước 2: Hàm số có 3 cực trị
⇔
(*) có 3 nghiệm phân biệt
Khi đó, (*) có hai nghiệm
1 2 3
, ,x x x
thỏa mãn hệ thức Viét
1 2 3
1 2 1 3 2 3
1 2 3
3
. .
4
2
. . .
4
. .
4
b
x x x
a
c
x x x x x x
a
d

x x x
a

= −



+ + =



= −


Lưu ý: Nếu
y
′
phân tích được thành
2
0
( ).(Ax )y x x Bx C
′
= − + +
, ta có:
2 3
2 3
.
B
x x
A

C
x x
A

+ = −




=


 Bước 3: Thực hiện phép chia đa thức y cho
y
′
ta được: y =
y
′
.g(x) + h(x)
Do đó
1 1 1 2 2 2 3 3 3
( ) ( ); ( ) ( ) ; ( ) ( )y y x h x y y x h x y y x h x= = = = = =
Vậy, tọa độ các điểm cực trị là
1 1 2 2 3 3
( , ), ( , ) à ( , )A x y B x y v C x y
 Bước 4: Kiểm tra A, B và C thỏa mãn điều kiện K
⇒
m (Kết hợp với (**) )
Ví dụ 1: Cho hàm số
4 2 4

x 2 2y mx m m= − + +
.
a) Khảo sát hàm số khi m = 1.
b) Xác định m để hàm số có 3 điểm cực trị là đỉnh của một tam giác đều.
Ví dụ 2: Cho hàm số
4 2 2
x 2 1y m x= − +
.
a) Khảo sát khi m = 1.
b) Xác định m để hàm số có 3 điểm cực trị là đỉnh của một tam giác vuông cân.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm m để hàm số
4 2
x ( 1) 1y m x m= + − + −
chỉ có một cực trị.
Bài 2: Cho hàm số
4 2
x 2 3y mx= + +
.
a) Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) Xác định phương trình đường cong đi qua các điểm cực đại cực tiểu.
Bài 3: Cho hàm số
4 2
x 2y mx m= − +
. Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn:
a) Thành lập một tam giác đều.
b) Lập thành tam giác vuông.
c) Lập thành một tam giác có diện tích bằng 4.
Bài 4: Cho hàm số
10)9(

224
+−+= xmmxy
. Tìm m để hàm số có 3 cực trị.
Bài 5: Tìm m để
4 2 4
2 2y x mx m m= − + +
có CĐ, CT lập thành tam giác đều.
III – CỰC TRỊ CỦA HÀM HỮU TỶ BẬC HAI TRÊN BẬC NHẤT:
1 – Tìm điều kiện để hàm số có cực trị:
TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC 2009 – 2010 Trang 7
TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÂM GV SOẠN: PHẠM MINH ĐEN
Phương pháp: Cho hàm số
2
ax
( , )
bx c
y f x m
dx e
+ +
= =
+
Để thực hiện các yêu cầu về điều kiện có cực trị của hàm số, ta thực hiện:
 Bước 1:
- TXĐ:
\
e
D R
d
 
= −

 
 
- Đạo hàm:
( )
2
2
Ax Bx C
y
dx e
+ +
′
=
+
2
0 ( ) Ax 0y g x Bx C
′
= ⇔ = + + =
(1)
 Bước 2: Với các yêu cầu.
a) Hàm số không có cực trị:
+ Nếu A = 0, ta có
( )
2
Bx C
y
dx e
+
′
=
+

Hàm số không có cực trị
y
′
⇔
không đổi dấu
0
0
B
C
=

⇔

≠

+ Nếu
0A
≠
Hàm số không có cực trị
y
′
⇔
không đổi dấu
0
g
⇔ ∆ ≤
b) Hàm số có cực trị
+ Nếu A = 0, ta có
( )
2

Bx C
y
dx e
+
′
=
+
Hàm số không có cực trị
0B⇔ ≠

+ Nếu
0A
≠
Hàm số không có cực trị
⇔
(1) có 2 nghiệm phân biệt
0
0
g
A ≠

⇔

∆ >

c) Hàm số có cực đại, cực tiểu
⇔
phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác
0
0

0
g
A
e
d
e
g
d


≠


− ⇔ ∆ >


 

− ≠
 ÷

 

d) Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thỏa mãn điều kiện K
Ta thực hiện theo các bước sau:
 Bước 1: Hàm số có cực đại, cực tiểu
⇔
phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác
0
0

0
g
A
e
d
e
g
d


≠


− ⇔ ∆ >


 

− ≠
 ÷

 

Khi đó, (1) có hai nghiệm
1 2
,x x
thỏa mãn hệ thức Viét
 Bước 2: Kiểm tra điều kiện K.
e) Hàm số có cực đại, cực tiểu và
CĐ CT

x x<
TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC 2009 – 2010 Trang 8
TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÂM GV SOẠN: PHẠM MINH ĐEN
⇔
(1) có hai nghiệm phân biệt khác
e
d
−
và A > 0
0
0
0
g
A
e
g
d


>


⇔ ∆ >


 

− ≠
 ÷


 

f) Hàm số có cực đại, cực tiểu và
CĐ CT
x x>
⇔
(*) có hai nghiệm phân biệt khác
e
d
−
và A < 0
0
0
0
g
A
e
g
d


<


⇔ ∆ >


 

− ≠

 ÷

 

g) Hàm số có cực tiểu tại
0
x
0
0
0
( ) 0
( ) 0
x D
y x
y x
∈


′
⇔ =


′′
>

h) Hàm số có cực đại tại
0
x
0
0

0
( ) 0
( ) 0
x D
y x
y x
∈


′
⇔ =


′′
<

Ví dụ 1: Cho hàm số
2
x 2
1
mx
y
mx
+ −
=
−
. Xác định m để:
a) Hàm số có cực trị.
b) Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thỏa
1 2 1 2

4 .x x x x+ =
c) Hàm số có cực đại, cực tiểu có hoành độ dương.
Ví dụ 2: Cho hàm số
2
x 1mx
y
x m
+ +
=
+
. Xác định m đ hàm số đạt cực đại tại x = 2.
2 – Đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số:
Bài toán: Cho hàm số
2
ax bx c
y
dx e
+ +
=
+
. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu
của đồ thị hàm số.
Phương pháp:
 Bước 1:
- TXĐ:
\
e
D R
d
 

= −
 
 
- Đạo hàm:
( )
2
2
Ax Bx C
y
dx e
+ +
′
=
+
2
0 ( ) Ax 0y g x Bx C
′
= ⇔ = + + =
(1)
 Bước 2: Hàm số có cực đại, cực tiểu
⇔
phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác
0
0
0
g
A
e
d
e

g
d


≠


− ⇔ ∆ >


 

− ≠
 ÷

 

(*)
 Bước 3: Khi đó, tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số thỏa mãn hệ:
TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC 2009 – 2010 Trang 9
TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÂM GV SOẠN: PHẠM MINH ĐEN

2
2
2
2
ax 2
0
0
ax

( )
ax
bx c ax b
Ax Bx C
y
dx e d
bx c
y f x
bx c
y
y
dx e
dx e

+ + +

+ + =
=

′
=

 
+
⇔ ⇔
  
+ +
=
+ +
=


 
=
+


+

(**)
Tức là, tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu cùng thỏa mãn phương trình (**).
 Bước 4: Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số có
dạng :
2ax b
y
d
+
=
, với điều kiện (*).
3 – Xác định các thuộc tính của điểm cực trị:
Bài toán: Cho hàm số
2
ax ( )
( )
bx c u x
y
dx e v x
+ +
= =
+
. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn tính

chất K.
Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau:
 Bước 1: Tìm TXĐ
 Bước 2: Tính đạo hàm
y
′
= g(x), thiết lập phương trình
y
′
= g(x) = 0 (1)
 Bước 3: Hàm số có cực đại, cực tiểu
⇔
phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác
0
0
0
g
A
e
d
e
g
d


≠


− ⇔ ∆ >



 

− ≠
 ÷

 

(*)
 Bước 4: Khi đó, (1) có hai nghiệm
1 2
,x x
thỏa mãn hệ thức Viét
 Bước 5: Tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu là:
1 2
1 2
1 2
( ) ( )
, ; ,
( ) ( )
u x u x
A x B x
v x v x
   
′ ′
 ÷  ÷
′ ′
   
 Bước 6: Kiểm tra A, B thỏa mãn tính chất K
⇒

m (kết hợp với (*))
Bài tập : Tìm a, b để hàm số
abx
abbxax
y
+
++
=
2
đạt cực trị tại x = 0 và y = 4.
Chuyên đề 3: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
1 – Biện luận số giao điểm bằng đại số:
Cho hai đồ thị : (
1
C
) : y = f(x) và (
2
C
) : y = g(x) .
 Số giao điểm của (
1
C
) và (
2
C
) chính là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của (
1
C
) và
(

2
C
) : f(x) = g(x) (1) .
• (1) vô nghiệm
⇔
(
1
C
) và (
2
C
) không có điểm chung .
• (1) có n nghiệm
⇔
(
1
C
) và (
2
C
) có n điểm chung .
• (1) có nghiệm nghiệm đơn
0
x

⇔
(
1
C
) và (

2
C
) cắt nhau tại
),(
000
yxM
.
• (1) có nghiệm kép
0
x

⇔
(
1
C
) tiếp xúc (
2
C
) tại
),(
000
yxM
.
Chú ý: Sự tiếp xúc của hai đồ thị (
1
C
) : y = f(x) và (
2
C
) : y = g(x) .

Cách 1 : (
1
C
) tiếp xúc (
2
C
)
⇔
phương trình f(x) = g(x) có nghiệm kép . Khi đó nghiệm kép của
phương trình là hoành độ giao điểm .
Cách 2 : (
1
C
) tiếp xúc (
2
C
)
⇔
hệ



′
=
′
=
)()(
)()(
xgxf
xgxf

có nghiệm . Khi đó nghiệm của hệ là hoành độ tiếp
điểm T
Ví dụ 1: Cho hàm số
( )
2
2 1
2
x
y
x
+ −
=
+
, có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d): mx
– y + 1 = 0.
TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC 2009 – 2010 Trang 10
TRNG THPT LNG TM GV SON: PHM MINH EN
a) Ct th (C) ti hai im phõn bit.
b) Ct th (C) ti hai im phõn bit cú honh dng.
c) Ct th (C) ti hai im phõn bit cú honh õm.
d) Ct th (C) ti hai im phõn bit cú honh khụng dng.
e) Ct th (C) ti hai im phõn bit cú honh khụng õm.
Vớ d 2: Cho hm s
2
3 3
2
x x
y
x
+ +

=
+
. Tỡm m ng thng (d): y = m(x+1) + 1 ct th ti hai im
cú honh trỏi du.
2 Bin lun s nghim ca phng trỡnh y = f(x, m) (1) bng th
Phng phỏp:
+ Bin i phng trỡnh (1) v dng: f(x) = m
+ V th (C) ca hm s y = f(x)
+ S nghim ca phng trỡnh bng s giao im ca dng thng y = m vi th (C).
3 iu kin phng trỡnh bc ba cú 3 nghim phõn bit
Phng phỏp: Cho phng trỡnh :
3 2
axy bx cx d= + + +
(1)
Trng hp 1:
Phng trỡnh (1), bit 1 nghim x =
0
x
Phõn tớch phng trỡnh (1) thnh
( )
( )
2
0
Ax 0x x Bx C + + =
Khi ú, phng trỡnh (1) cú 3 nghim phõn bit

2
2
2
0 0

( ) 0
4 0
0
g x Ax Bx C
B AC
Ax Bx C
= + + =

= >



+ +


Trng hp 2:
Phng trỡnh bc 3:
3 2
ax 0 (1)bx cx d+ + + =
, khụng bit c nghim no
Khi ú, phng trỡnh (1) cú 3 nghim phõn bit

Hm s y =
3 2
ax bx cx d+ + +
cú cc i, cc tiu v y
C
.y
CT
<0.

Vớ d 1: Cho hm s y =
3 2
x 3 1x+ +

a/ Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s ó cho.
b/ Mt ng thng qua A(-3; 1) v cú h s gúc k. Xỏc nh k ng thng ct th ti 3 im
phõn bit
Vớ d 2: Cho hm s y =
3 2
( ) x 3 9f x x x m= +

Vi giỏ tr no ca m thỡ th hm s ct trc honh ti 3 im phõn bit?\
Vớ d 3: Cho hm s y =
( )
2
3x x
, cú th (C)
a/ Kho sỏt hm s (C).
b/ ng thng (d) i qua gc ta cú h s gúc m. Vi giỏ tr no ca m thỡ (d) ct (C) ti 3 im
phõn bit?
3 Phng trỡnh bc ba cú 3 nghim dng 3 nghim õm
Phng phỏp:
Xột hm s y =
3 2
( ) x ( 0)f x a bx cx d a= + + +

Phng trỡnh bc 3:
3 2
x 0a bx cx d+ + + =
cú 3 nghim dng

( )
1 2
f (x) ti
a.f 0 0
0 x x





<


< <

Cẹ CT
coự cửùc ủaùi, cửùc u
y .y < 0
eồ
Phng trỡnh bc 3:
3 2
x 0a bx cx d+ + + =
cú 3 nghim õm
TI LIU ễN THI I HC 2009 2010 Trang 11
TRNG THPT LNG TM GV SON: PHM MINH EN
( )
1 2
f (x) ti
a.f 0 0
x x 0

>


< <

Cẹ CT
coự cửùc ủaùi, cửùc u
y .y < 0
eồ
Vớ d 1: Cho hm s y =
( ) ( )
3 2 2 2
x 3 3 1 1mx m x m +

Tỡm m th hm s ct trc honh ti 3 im cú honh dng
Vớ d 2: Cho hm s y =
( ) ( )
3 2
mx 3m 4 x 3m 7 x m 3 + +
Xỏc nh m th hm s ct trc honh ti 3 im cú honh dng
5 Tỡm iu kin ca tham s hai th (
1
C
) : y = f(x) v (
2

C
) : y = g(x) ct nhau ti n
im phõn bit tha món tớnh cht K.
Phng phỏp: Ta thc hin theo cỏc bc sau.
Bc 1: Thit lp phng trỡnh honh giao im: f(x) = g(x) (1)
Bc 2: xột tớnh cht ca giao im, chỳng ta xột tớnh cht ca phng trỡnh (1).
Thng s dng:
+ nh lớ viets cho phng trỡnh a thc:
- Phng trỡnh bc hai:

1 2
1 2
b
x x
a
c
x .x
a

+ =




=


ngoi ra
1 2
x x

a

=
- Phng trỡnh bc 3:
1 2 3
1 2 2 3 1 3
1 2 3
b
x x x
a
c
x .x x .x x .x
a
d
x .x .x
a

+ + =



+ + =



=


+ nh lớ o ca nh lớ viột.
+ Hm s.

Bc 3: Kim tra tớnh cht K.
Chuyờn 4: TH HM S CHA DU GI TR TUYT I
1. th hm s
( )y f x=
Phng phỏp:
th hm s
( )
C

:
( )y f x=
c suy ra t th hm s
( )
C
: y = f(x).
Ta cú:
( )



<

==
0
0
f(x) - f(x) khi
(x) f(x) khi f
xfy
Do ú, th hm s
( )

C

:
( )y f x=
gm:
Phn t trc honh tr lờn ca th
( )
C
.
i xng phn th phớa di trc honh ca
( )
C
qua trc Ox.
Vớ d: Cho th hm s
4 2
2 1xy x =
, cú th (C).
a) Kho sỏt v v th hm s (C).
b) Xỏc nh m phng trỡnh
4 2
2
2 1 logx mx =
cú 6 nghim phõn bit.
2. th hm s
( )y f x=
Phng phỏp:
TI LIU ễN THI I HC 2009 2010 Trang 12
TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÂM GV SOẠN: PHẠM MINH ĐEN
Đồ thị hàm số
( )

C
′
:
( )y f x=
được suy ra từ đồ thị (C): y = f(x).
Ta có:
0
( )
0
f(x) khi x
y f x
f( x) khi x



≥
= =
− <
và
( )y f x=
là hàm số chẵn nên đồ thị có trục đối xứng là trục Oy.
Do đó, đồ thị
( )
C
′
:
( )y f x=
gồm:
 Phần từ trục Oy trở về bên phải của đồ thị (C).
 Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy.

Ví dụ 1: Cho hàm số
3
1y xx − −=
, có đồ thị (C).
a) Khảo sát và đồ thị (C).
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3
1xx m− − =
.
3. Đồ thị hàm số
( )y f x=
Phương pháp:
Đồ thị hàm số
( )
C
′
:
( )y f x=
được suy ra từ đồ thị hàm số (C): y = f(x).
Nhận xét:
+ Điểm
( )
0 0
;x y
thuộc đồ thị
( )
0 0
;x y⇒ −
cũng thuộc đồ thị, nên đồ thị nhận Ox làm trục đối xứng.
+ Với

0y ≥
thì
( ) ( )y f x y f x= ⇔ =
Do đó, đồ thị
( )y f x=
gồm:
 Phần đồ thị từ trục hoành trở lên của đồ thị
( )y f x=
.
 Đối xứng phần đồ thị trên qua trục hoành được nửa đồ thị còn lại.
Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
4 2
2 1( )y xf x x − += =
. Từ đó suy ra đồ thị hàm số
4 2
2 1y xx − +=
.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
3 2
3 6xy x − −=
. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3 2
3 6xx m− − =

Bài 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
3 2
3 2xy x − +=
. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
( )

2
3x x x m− =
.
Bài 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
3 2
3 1xy x + +=
. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
( )
2
3
1 3 1 1x x m− + − + =
.
Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
3 2
1 3 5
6 2 2
x x
y x
+ +
=
. Từ đó suy ra đồ thị hàm số
3 2
1 3 5
6 2 2
x xy x + +=
.
Bài 5: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
3 2
3 2xy x − −=
. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

3 2
3 2 0x mx − + − =
.
Chuyên đề 5: ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ
1. Điểm nguyên trên đồ thị:
Phương pháp:
Để tìm cá điểm trên (C):
u
v
y =
có tọa độ là những số nguyên, ta thực hiện theo các bước:
+ Phân tích
u a
v v
y A= = +
, A là đa thức, a là số nguyên.
+ Khi đó, x, y nguyên khi v là ước của a
,x y
⇒
.
TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC 2009 – 2010 Trang 13
TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÂM GV SOẠN: PHẠM MINH ĐEN
Ví dụ 1: Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số
2
3
1
x
x
y
+

−
=
mà tọa độ chúng là nguyên.
2. Khoảng cách:
Phương pháp:
 Khoảng cách giữa hai điểm
( )
1 1
;A x y
và
( )
2 2
;B x y
được cho bởi:
( ) ( )
2 2
2 1 2 1
AB x x y y− + −=
 Khoảng cách từ
( )
;
M M
M x y
đến dường thẳng (d): Ax + By + C = 0 được cho bởi:

( )
2 2
,( )
Ax By C
M d

A B
d
+ +
+
=
Đặc biệt:
+ Nếu (d): x – a = 0 thì
( )
,( )
M
M d x ad −=
+ Nếu (d): y – a = 0 thì
( )
,( )
M
M d y a
d
−
=
 Khoảng cách ngắn nhất được xác định bằng việc sử dụng các bất đẳng thức (Côsi,
Bunnhiacốpxki,… ) hoặc dùng đạo hàm.
Ví dụ 1: Cho hàm số , (C)
3
1
2y x
x
= − +
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
b) Tìm trên (C) các điểm cách đều hai trục tọa độ.
Ví dụ 2: Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số

2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
, sao cho khoảng cách từ điểm đó đến trục
hoành bằng hai lần khoảng cách từ đó đến trục tung.
Ví dụ 3: Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+
. Tìm trên đồ thị những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ
nhất.
Ví dụ 4: Cho hàm số
2
2 2
1
x x
y
x
+ −

=
−
. Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ điểm đó
đến đường thẳng (d) y = - 3x – 6 là nhỏ nhất.
Ví dụ 5: Cho hàm số
2
2 2
1
x x
y
x
+ −
=
−
. Tìm hai điểm A, B trên đồ thị hàm số sao cho độ dài AB là ngắn
nhất.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số
3 2
1
x
x
y
+
−
=
mà tọa độ chúng là nguyên.
Bài 2: Cho hàm số
2
3

x
x
y
+
−
=
, có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
b) Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số trên (C) sao cho khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận đứng bằng
khoảng cách từ đó đến đường tiệm cận ngang.
Bài 3: Cho hàm số
2 1
3
x
x
y
+
−
=
. Tìm trên đồ thị những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ
nhất.
Bài 4: Cho hàm số
3
2
x
y
x
−
=
−

. Tìm trên đồ thị những điểm có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ bé
nhất.
Bài : Tìm M
( )
H∈
:
3 5
2
x
y
x
−
=
−
để tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (H) là nhỏ nhất.
Bài : M
( )
H∈
:
1
1
x
y
x
−
=
+
để tổng khoảng cách từ M đến 2 trục Ox, Oy là nhỏ nhất.
TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC 2009 – 2010 Trang 14
TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÂM GV SOẠN: PHẠM MINH ĐEN

Chuyên đề 6: TÍNH ĐỐI XỨNG
1. Tìm hai điểm thuộc đồ thị hàm số đối xứng qua I:
Phương pháp:
Để tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số (C): y = f(x) đối xứng nhau qua I(a;b), ta thực hiện theo các
bước sau:
 Bước 1: Lấy hai điểm
( ) ( )
; ( ) , ; ( )
A A B B
A x f x B x f x
thuộc đồ thị (C).
 Bước 2: Hai điểm A, B đối xứng nhau qua I(a;b)
a
2

2
A B
A B
x x
y y
b
+

=


⇔

+


=


 Bước 3: Từ đó suy ra tọa độ A, B.
Ví dụ 1: Cho hàm số
( )
3 2 2 2
3 3 1 1y x mx m x m= − + − + −
,
( )
m
C
. Tìm tất cả các tham số m để trên đồ thị
( )
m
C
hai điểm phan biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
Ví dụ 2: Cho hàm số
2
2
1
x x
x
y
+ +
−
=
, có đồ thị (C). Tìm A, B trên đồ thị hàm số (C) đối xứng nhau qua
5
0;

2
I
 
 ÷
 
.
Ví dụ 3: Cho hàm số
2 2 2
2
1
x m x m
x
y
+ +
+
=
. Tìm m trên đồ thị hàm số có hai điểm đối xứng qua gốc tọa
độ.
2. Tìm hai điểm thuộc đồ thị hàm số đối xứng nhau qua một đường thẳng
Phương pháp:
Để tìm hai điểm
, ( ) : ( )A B C y f x∈ =
đối xứng nhau qua đường thẳng y = kx + n, ta thực hiện theo các
bước sau:
 Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số.
 Bước 2: Gọi
( )
( ):d y kx n∆ ⊥ = + ⇒
phương trình
( )∆

có dạng:
1
( ) : y x m
k
∆ += −
.
 Bước 3: Giả sử
( )∆
cắt (C) tại hai điểm A, B. Khi đó hoành độ của A, B là nghiệm của phương
trình:
1 1
( ) ( ) 0 (1)f x x m f x x m
k k
+ ⇔ + += − =
 Bước 4: Tìm điều kiện (*) để (1) có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
thuộc D.
 Bước 5: Gọi I là trung điểm của AB, ta có:

1
1 1
2
1
A B
x x
x
y x m
k
+






+


=
= −
Khi đó:
+ Hai điểm A, B đối xứng qua đường thẳng (d)
( )I d m⇔ ∈ ⇒
+ Thay m vào (1) ta tìm được hoành độ của A, B là
,
A B
x x
.
 Bước 6: Kết luận:
1 1
; ; ;
A A B B
A x x m B x x m
k k
   
+ +
 ÷  ÷
   
− −
Ví dụ 1: Cho hàm số

2
1
2
x x
y
x
+ +
−
=
, có đồ thị (C). Tìm hai điểm A, B trên đồ thị (C) đối xứng nhau qua
đường thẳng (d) : y = x.
TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC 2009 – 2010 Trang 15
TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÂM GV SOẠN: PHẠM MINH ĐEN
Ví dụ 2: Cho hàm số
2
3 4
2 2
x x
y
x
− +
−
=
, có đồ thị (C) . Tìm hai điểm A, B trên đ ồ thị (C) đối xứng nhau
qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
Chun đề 7: ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐỒ THỊ
A – Các dạng cơ bản:
Dạng 1: Tìm điểm cố địng của họ đồ thị.
Cho họ đồ thị (C
m

) có phương trình y = f(x,m) với m là tham số. Tìm điểm cố định mà mọi đồ
thị (C
m
) đều phải đi qua .
PP:
- Biến đổi phương trình y = f(x,m) ra dạng một đa thức theo biến m như sau :
0);().;().;(
2
=++ yxCmyxBmyxA
- Giải hệ :





=
=
=
0);(
0);(
0);(
yxC
yxB
yxA
để tìm tọa độ điểm cố định của họ đồ thị.
Dạng 2: Tìm điểm mà có đúng 0, 1, 2, 3,……đồ thị (C
m
) đi qua.
PP:
- Biến đổi phương trình y = f(x,m) ra thành một phương trình mà m là ẩn số.

- Để có đúng một(hai, ba,…) đồ thị đi qua điểm
( )
00
; yxΜ
thì phương trình
),(
00
mxfy =

có đúng một(hai, ba,…) nghiệm (ở đây m là nghiệm số).
Dựa vào lập luận này mà tìm ra điểm
( )
00
; yxΜ
.
B – Bài tập:
Bài tập 1: Tìm điểm cố định của (C
m
):
)2()4(
223
−+−+= xmxmxy
.
Bài tập 2: Tìm điểm cố định của họ
( )
m
Η
:
mx
mx

y
+
+
=
2
2
với
a) Mọi m khác 2 b) Mọi m khác – 2 c) Mọi m.
Bài tập 3: Chứng minh đồ thị
( )
m
Η
:
1
1
+
+
=
mx
x
y
ln đi qua một điểm cố định với mọi m.
Bài tập 4: Tìm điểm cố định của đồ thị (C
m
):
mx
mxmx
y
−
−+

=
22
với mọi
0
≠
m
.
Bài tập 5: Cho (C
m
):
mxmxy 4)1(
223
−++=
. Tìm điểm M trên đường thẳng x = 2 sao cho:
a) qua M có duy nhất một đồ thị (C
m
) đi qua.
b) Qua M có đúng hai đồ thị (C
m
) đi qua.
c) Qua M có đúng ba đồ thị (C
m
) đi qua.
d)
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài tập rèn luyện:
Bài tập 1 : Cho hàm số
3 2
3 2y x x= − +
.

1) Khảo sát và vẽ (C) .
2) Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thò tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất .
3) Tìm các điểm trên (C) vẽ đúng một tiếp tuyến đến (C) .
4) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) .
a) Tại diểm M(-1 ;-2)
b) Qua diểm A( -1;-2)
TÀI LIỆU ƠN THI ĐẠI HỌC 2009 – 2010 Trang 16
TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÂM GV SOẠN: PHẠM MINH ĐEN
c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x+1 .
5) Tìm các điểm trên đường thẳng :y= -2 có thể vẽ đến (C)
a) 3 tiếp tuyến
b) 2 tiếp tuyến vuông góc
6) Biện luận theo m số nghiệm của pt :
a)
3 2 3 2
3 2 3 2x x m m− + = − +
b)
3
2
3 2x x m− + =
7) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M (-1, -2 ) có hệ số góc là m .
Với giá trò nào của m thì d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt có hoành
độ âm .
8)Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M , A , B sao cho tiếp tuyến tại A và B
vuông góc .
10)Giải phương trình
3 2
3 2 1x x− + =
Bài tập 2 : Cho hàm số y =
3 2

2 3( 3) 18 8x m x mx− + + −
. ( Cm )
1) Khảo sát hàm số khi m = 1 .
2) Tìm m để hàm số có cực đại tại x= 1 .
3) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu .
4) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu có hoành độ dương .
5) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu tại
1
x
và
2
x
sao cho

1 2
2 1x x+ =
6)Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu nằm hai phía trục Ox .
7) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trò .
9) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu đối xứng qua đường thẳng x - 4y -18 = 0 .
10) Chứng minh rằng khi m thay đổi (Cm) đi qua hai điểm cố đònh A và B .
11) Tìm m để tiếp tuyến tại hai điểm cố đònh A và B song song với nhau .
12) Tìm m để (Cm ) tiếp xúc với trục Ox .
13) Tìm m để trên (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng qua trục Ox .
15)Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng .
Bài tập 3 : Cho hàm số
4 2 2
( 10) 9y x m x= − + +
.
1) Khảo sát và vẽ (C) khi m= 0 .
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới (C) và đường thẳng y = 9 .

3) Tìm k để phương trình
4 2
10 9x x k− + =
có 8 nghiệm phân biệt
4) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) .
a) Đi qua giao điểm của (C) và trục tung .
b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y= -16x+1 .
5) Tìm các điểm trên (C) vẽ đến (C) ba tiếp tuyến .
6) Tìm n để đường thẳng y = n cắt (C) tại 4 điểm phân biệt A,B,C ,D sao cho AB =BC
= CD .
7) Tìm m để đồ thò (1) có 3 cực trò .Viết phương trình Parabol đi qua 3 điểm cực trò .
8) Tìm m để đồ thò (1) có 3 cực trò là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân .
TÀI LIỆU ƠN THI ĐẠI HỌC 2009 – 2010 Trang 17
TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÂM GV SOẠN: PHẠM MINH ĐEN
9) Gọi M là điểm nằm trên (C) .Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M .Tìm giao
điểm P, Q khác M của d và (C) .Tìm M để M là trung điểm của P, Q .
10)Chứng minh rằng với mọi m để đồ thò (1) luôn cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt
.Chứng minh rằng trong các giao điểm đó có 2 điểm nằm trong khoảng
( 3;3)−
và
hai điểm nằm ngoài
( 3;3)−
.
Bài tập 4 : Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+

=
+
.
1) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số .
2) Tính diện tích giới hạn trục tung trục hoành và (C) .
3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A( -1;3) .
4) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục tung .
5) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng: y + x +5=0
6) Gọi M
∈
(C ) , tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B .Chứng minh rằng
a) M là trung điểm AB
b) Diện tích tam giác IAB là một hằng số
7) Tìm điểm M
∈
( C ) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận nhỏ nhất .
8) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến của ( C ) đi qua giao điểm 2 đường tiệm cận
9) Tính thể tích tạo bởi hình phẳng giới hạn bới (C ) và hai trục tọa độ khi quay quanh
trục Ox .
10) Tìm hai điểm trên hai nhánh của (C) sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất .
11) Tìm hai điểm trên (C) đối xứng qua đường thẳng y =x -1 .
12) Tìm m Để (C) cắt d : y =- x+ m tại hai điểm phân biệt A ; B sao cho
a) AB ngắn nhất
b) AB =
2 2
c) Tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau.
13) Từ dồ thò (C ) suy ra đồ thò các hàm số :
+
+
= =

−
+
2 1
2 1
) )
1
1
x
x
a y b y
x
x
14) tìm m để phương trình
2 1
1
x
x
+
−
= m có 4 nghiệm phân biệt .
Bài tập 5 : Cho hàm số
2
( 2)
.
1
x m x m
y
x
+ + −
=

+
(1) m là tham số
1) Gọi d là đường thẳng đi qua A (1 , 0 ) có hệ số góc k . Tìm k để d cắt ( C ) tại hai
điểm phân biệt sao cho :
a) M , N thuộc cùng một nhánh .
b) M ,N thuộc hai nhánh .
c) Sao cho
2MA MB=
uuur uuur
2) Viết phương trình đường thẳng đi qua O và tiếp xúc ( C ) .
3) Tìm các điểm trên ( C ) có toạ độ nguyên .
4) Tìm M
∈
( C ) sao cho khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của ( C ) nhỏ nhất
5) Tìm m để đồ thò hàm số (1) Cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tiếp
tuyến tại A và B vuông góc với nhau .
6) Tìm m để đường thẳng y = x – 4 cắt đồ thò hàm số ( 1 ) tại hai điểm đối xứng qua
đường thẳng y = x .
TÀI LIỆU ƠN THI ĐẠI HỌC 2009 – 2010 Trang 18
TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÂM GV SOẠN: PHẠM MINH ĐEN
7) Xác đònh m để hàm số có cực đại và cực tiểu . Viết phương trình đường thẳng đi qua
hai điểm cực trò .
8) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu sao cho hai điểm cực đại và cực tiểu .
a) Nằm hai phía của Ox .
b) Nằm hai phía của Oy .
c) Nằm hai phía của đường thẳng y = x .
9) Tìm các điểm trên Oy vẽ được
a)ù ít nhất một tiếp tuyến đến (C)
b) Đúng một tiếp tuyến
c) Tìm trên Oy các điểm vẽ đến ( C ) ù hai tiếp tuyến vuông góc Viết phương

trình tiếp tuyến của (C) .
a. Biết hoành độ tiếp điểm x = 0 .
b. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
x + 2y + 3 = 0
c) Tiếp tuyến đi qua : ( -1 , -2 )
10) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu và ba điểm cực đại, cực tiểu và điểm A ( 0 ,
1 ) thẳng hàng .
11) Gọi ( C’ ) là đồ thò đối xứng của ( C ) qua ( 1 , 1 ) . Tìm giao điểm của ( C ) và ( C’ ) .
Các bài tập dạng thi:
Câu 1: Cho hàm số :
xxxy 44
23
+−=
1) Khảo sát hàm số.
2) Tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số tại gốc tọa độ cắt lại (C) tại A. Tính tọa độ điểm A.
3) Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và dường thẳng d: y = k.x
Câu 2: Cho hàm số
( )
2
3 xxy −=
1) Khảo sát hàm số.
2) Một đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O có hệ số góc m. Với giá trị nào của m thì d cắt
(C) tại ba điểm phân biệt? Gọi ba điểm phân biệt lần lượt là O, A, B. Tìm tập hợp trung
điểm I của đoạn thẳng AB khi m thay đổi.
Câu 3: Cho hàm số
4333
23
+++−= mmxxxy
, đồ thị là (C
m

).
1) Xác định m để hàm số có cực trị.
2) Xác định m để (C
m
) tương ứng tiếp xúc với trục hồnh.
Câu 4: Cho hàm số
12
24
+++−= mmxxy
, m là tham số.
1) Khảo sát hàm số khi m = - 1.
2) Khi m = 1, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0;2].
Câu 5: Cho hàm số
bax
x
xfy +−==
2
4
2
)(
, với a , b là các tham số.
1) Tìm a và b để hàm số đạt cực trị bằng – 2 khi x = 1.
2) Khảo sát hàm số khi a = 1,
2
3
−=b
Câu 6: Cho hàm số
1
2
+

−
=
x
x
y
1) Khảo sát hàm số.
2) M là một điểm có hồnh độ
1−≠a
, thuộc đồ thị. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
tại M
3) Tính khoảng cách từ I(-1;1) đến tiếp tuyến đó. Xác định a để khoảng cách này lớn nhất.
Câu 12: Cho hàm số
323
43 aaxxy +−=
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi a = 1.
TÀI LIỆU ƠN THI ĐẠI HỌC 2009 – 2010 Trang 19
TRNG THPT LNG TM GV SON: PHM MINH EN
2) Xỏc nh a cỏc im cc i v cc tiu ca th l i xng nhau qua ng thng
y = x.
3) Xỏc nh a ng thng y = x ct th ti ba im A, B, C vi AB = BC.
Cõu 13: Cho hm s
818)3(32
23
++= mxxmxy
1) Tỡm giỏ tr ca m th hm s tip xỳc vi trc honh.
2) Chng minh rng trờn ng cong
2
xy =
cú hai im khụng thuc th ca hm s ó
cho vi bt k giỏ tr no ca m.

Cõu 14: Cho hm s
13
23
+++= mxxxy
, cú th
( )
m
C
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 3.
2) Chng minh rng vi mi m th hm s
( )
m
C
ca hm s ó cho luụn ct th hm
s
72
23
++= xxy
ti hai im phõn bit A v B. Tỡm qu tớch trung im I ca on
thng AB.
3) Xỏc nh m th
( )
m
C
ct ng thng y = 1 ti ba im phõn bit C(0;1), D, E. Tỡm
m cỏc tip tuyn ti D v E vi
( )
m
C
vuụng gúc vi nhau.

Cõu 16: Cho hm s
)1(4)14(2)1(3
223
+++++= mmxmmxmxy
1) Chng minh rng khi m thay i th hm s luụn i qua mt im c nh.
2) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 0. Tip tuyn M
( )
C
sao cho
qua M ch v c duy nht mt tip tuyn vi (C).
CC THI TUYN SINH H, C T NM 2002 N 2009
Bi 1: (Tuyn sinh H, C 2002 Khi A)
Cho hàm số
23223
mmx)m1(3mx3xy +++=
(1) (m là tham số).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm k để phơng trình
0k3kx3x
2323
=++
có ba nghiệm phân biệt.
3. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
Bi 2: (Tuyn sinh H, C 2002 Khi B)
Cho hàm số:
10x)9m(mxy
224
++=
(1) (m là tham số).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.

2. Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị.
Bi 3: (Tuyn sinh H, C 2002 Khi D)
Cho hàm số:
1x
mx)1m2(
y
2


=
(1) (m là tham số).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với
m 1=
.
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đờng cong (C) và hai trục toạ độ.
3. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đờng thẳng y = x.
Bi 4: (Tuyn sinh H, C 2003 Khi A)
Cho hàm số
( )
2
mx x m
y
x 1
1
+ +
=

(m là tham số).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
m 1.

=
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có
hoành độ dơng.
Bi 5: (Tuyn sinh H, C 2003 Khi B)
Cho hàm số
( )
3 2
y x 3x m 1= +
(m là tham số).
1. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
m 2.
=
TI LIU ễN THI I HC 2009 2010 Trang 20
TRNG THPT LNG TM GV SON: PHM MINH EN
Bi 6: (Tuyn sinh H, C 2003 Khi D)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
( )
2
x 2x 4
y
x 2
1
+
=

.
2. Tìm m để đờng thẳng
m
d : y mx 2 2m= +

cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm phân
biệt.
Bi 7: (Tuyn sinh H, C 2004 Khi A)
Cho hàm số
( )
( )
2
x 3x 3
y 1
2 x 1

+
=

1. Khảo sát hàm số (1).
2. Tìm m để đờng thẳng
y m=
cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho
AB 1=
.
Bi 8: (Tuyn sinh H, C 2004 Khi B)
Cho hàm số
( )
3 2
1
y x 2x 3x 1
3
= +
có đồ thị (C).
1. Khảo sát hàm số (1).

2. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng là tiếp
tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
Bi 9: (Tuyn sinh H, C 2004 Khi D)
Cho hàm số
( )
3 2
y x 3mx 9x 1 1 = + +
với m là tham số.
1. Khảo sát hàm số (1) khi
m 2.
=
2. Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đờng thẳng
y x 1.= +
Bi 10: (Tuyn sinh H, C 2005 Khi A)
Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số
( )
1
y mx
x
*= +
(m là tham số).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi
1
m
4
=
2. Tìm m để hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C
m

) đến tiệm
cận xiên của (C
m
) bằng
1
2
Bi 11: (Tuyn sinh H, C 2005 Khi B)
Gọi
( )
m
C
là đồ thị của hàm số
( )
2
x m 1 x m 1
y
x 1
+ + + +
=
+
(*) (m là tham số).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi
m 1=
.
2. Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (C
m
) luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu
và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng
20
.

Bi 12: (Tuyn sinh H, C 2005 Khi D)
Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số
( )
3 2
1 m 1
y x x
3 2 3
*= +
(m là tham số).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 2.
2. Gọi M là điểm thuộc (C
m
) có hoành độ bằng
1
. Tìm m để tiếp tuyến của (C
m
) tại
điểm M song song với đờng thẳng
5x y 0. =
Bi 13: (Tuyn sinh H, C 2006 Khi A)
1. Kho sỏt v v th hm s
3 2
2 9 12 4y x x x= +
2. Tỡm m phng trỡnh sau cú 6 nghim phõn bit:
3
2
2 9 12 4x x x m + =
Bi 14: (Tuyn sinh H, C 2006 Khi B)

TI LIU ễN THI I HC 2009 2010 Trang 21
TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÂM GV SOẠN: PHẠM MINH ĐEN
Cho hàm số
2
1
2
x x
y
x
+ −
=
+
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cân xiên
của (C).
Bài 15: (Tuyển sinh ĐH, CĐ 2006 – Khối D)
Cho hàm số
3
3 2y x x= − +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Gọi d là đường thẳng đi qua A(3;20) và có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt (C) tại 3
điểm phân biệt.
Bài 16: (Tuyển sinh ĐH, CĐ 2007 – Khối A)
Cho hàm số
2 2
2( 1) 4
(1)
2
x m x m m
y

x
+ + + +
=
+
, m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = - 1.
2. Tìm m để (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với góc tọa độ
O tạo thành một tam giác vuông tại O.
Bài 17: (Tuyển sinh ĐH, CĐ 2007 – Khối B)
Cho hàm số , m là tham số.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều góc tọa
độ O.
Bài 18: (Tuyển sinh ĐH, CĐ 2007 – Khối D)
Cho hàm số
2
1
x
y
x
=
+
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam
giác OAB có diện tích bằng
1
4
.
Bài 19: (Tuyển sinh ĐH, CĐ 2008 – Khối A)
Cho hàm số

2 2
(3 2) 2
(1)
3
mx m x
y
x m
+ − −
=
+
, m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng
0
45
.
Bài 20: (Tuyển sinh ĐH, CĐ 2008 – Khối B)
Cho hàm số
3 2
4 6 1 (1)y x x= − +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(-1;-9)
Bài 21: (Tuyển sinh ĐH, CĐ 2008 – Khối D)
Cho hàm số
3 2
3 4 (1)y x x= − +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > - 3) đều cắt đồ thị
của hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.

TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC 2009 – 2010 Trang 22
TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÂM GV SOẠN: PHẠM MINH ĐEN
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2009
Môn thi: TOÁN, khối A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2,0 điểm). Cho hàm số
2
2 3
x
y
x
+
=
+
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần
lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.
Câu II (2,0 điểm).
1. Giải phương trình
(1 2sinx)cosx
3
(1 2sinx)(1 sinx)
−
=
+ −
2. Giải phương trình
3

2 3x 2 3 6 5x 8 0 (x R)− + − − = ∈
Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân
2
3 2
0
I (cos x 1 )cos xdx
π
= −
∫
Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D;
AB = AD = 2a; CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60
0
. Gọi I là trung điểm của
cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối
chóp S.ABCD theo a.
Câu V (1, 0 điểm). Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn x (x+y+z) = 3yz, ta có (x
+ y)
3
+ (x + z)
3
+ 3(x + y)(x + z)(y + z) ≤5(y + z)
3
.
PHẦN RIÊNG (3, 0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B
A.Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6, 2) là giao điểm của 2
đường chéo AC và BD. Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc
đường thẳng
∆

: x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x – 2y – z – 4 = 0 và mặt cầu
(S) : x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x – 4y – 6z – 11 = 0. Chứng minh rằng: mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một
đường tròn. Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó.
Câu VII.a (1,0 điểm). Gọi z
1
và z
2
là 2 nghiệm phức của phương trình:
z
2
+2z+10=0. Tính giá trị của biểu thức
2 2
1 2
A z z= +

B. Theo chương trình Nâng Cao
Câu VI.b (2,0 điểm).
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x + 4y + 6 = 0 và đường thẳng
∆
: x + my – 2m + 3 = 0 với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm m để
∆
cắt (C)
tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho diện tích

∆
IAB lớn nhất.
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyzcho mặt phẳng (P) x-2y+2z-1=0 và 2 đường thẳng
1 2
x+1 y z+9 x -1 y - 3 z+1
: = = ; : = =
1 1 6 2 1 -2
∆ ∆
. Xác định tọa độ điểm m thuộc đường thẳng
1
∆
sao cho
khoảng cách từ M đến đường thẳng
2
∆
và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau.
Câu VII.b (1,0 điểm). Giả hệ phương trình
2 2
2 2
2 2
log ( ) 1 log ( )
( , )
3 81
x xy y
x y xy
x y R
− +

+ = +


∈

=



Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ tên thí sinh:……………………………………………… SBD:……………………….
TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC 2009 – 2010 Trang 23
TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÂM GV SOẠN: PHẠM MINH ĐEN
TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC 2009 – 2010 Trang 24