MÔ HÌNH hóa với PHƯƠNG PHÁP TÍCH cực TRONG dạy học TOÁN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM

 



TS. VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG và PGS. TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU





MÔ HÌNH HÓA VỚI PHƯƠNG PHÁP
TÍCH CỰC TRONG DẠY HỌC TOÁN

(TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG GIÁO VIÊN)

KIÊN GIANG - THÁNG 6 -7 NĂM 2013
Tài liệu bồi dưỡng giáo viên, Kiên Giang, Tháng 6 – 7/2013
1

CHƯƠNG 1
MÔ HÌNH HÓA
I. KHÁI NIỆM MÔ HÌNH HÓA
I.1. Toán học hóa các tình huống thực tế (mô hình hóa)
Để vận dụng kiến thức toán học vào việc giải quyết những tình huống của thực tế như trên,
người ta phải toán học hóa tình huống đó, tức là xây dựng một mô hình toán học thích hợp
cho phép tìm câu trả lời cho tình huống. Quá trình này gọi là quá trình mô hình hóa toán học
(mà dưới đây, để ngắn gọn, chúng tôi sẽ gọi là mô hình hóa).
Theo Từ điển bách khoa toàn thư, mô hình hóa toán học là sự giải thích toán học cho
một hệ thống toán học hay ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà người ta đặt ra
trên hệ thống này.
Quá trình mô hình hóa toán học được mô tả qua 4 bước.
Bước 1: Xây dựng mô hình trung gian của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có ý nghĩa quan
trọng nhất trong hệ thống và xác lập các qui luật mà chúng ta phải tuân theo.
Bước 2: Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả lại dưới dạng ngôn

ngữ toán học cho mô hình trung gian. Lưu ý là ứng với vấn đề đang xem xét có thể có nhiều
mô hình toán học khác nhau, tùy theo chỗ các yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ nào giữa
chúng được xem là quan trọng.
Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở bước
hai. Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương pháp giải cho phù
hợp.
Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước ba. Ở đây người ta phải
xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế hoặc áp dụng
phương pháp phân tích chuyên gia.
Ở bước này có thể xảy ra một trong hai khả năng :
Khả năng 1 : Mô hình và các kết quả tính toán phù hợp với thực tế.
Khi đó chỉ cần tổng kết lại cách đặt vấn đề, mô hình toán học đã xây dựng, các thuật toán đã
sử dụng, kết quả thu được.
Khả năng 2 : Mô hình và kết quả không phù hợp với thực tế.
Lúc này phải tìm nguyên nhân. Có thể đặt ra những câu hỏi sau :
- Các kết quả tính ở bước thứ ba có đủ độ chính xác không ?
Để trả lời, người ta phải kiểm tra lại các thuật toán, các quy trình, các tính toán đã sử
dụng. Ở đây, người ta tạm chấp nhận rằng mô hình toán học (và cũng có nghĩa là mô hình
trung gian) xây dựng như vậy là thỏa đáng.
- Mô hình toán học xây dựng như thế đã thỏa đáng chưa ? Nếu chưa thì phải xây dựng
lại. Với loại câu hỏi này, ta tạm chấp nhận mô hình trung gian đã xây dựng, nhưng phải xem
xét lại mô hình toán học đã lựa chọn.
- Mô hình trung gian xây dựng có phản ánh được đầy đủ hiện tượng thực tế không ? Nếu
không thì cần phải rà soát lại bước một xem có yếu tố, qui luật nào bị bỏ sót không.
Tài liệu bồi dưỡng giáo viên, Kiên Giang, Tháng 6 – 7/2013
2

- Các số liệu ban đầu (các thông số, hệ số) có phản ánh đúng thực tế không ? Nếu không
thì phải điều chỉnh lại một cách nghiêm túc và chính xác.
Hai câu hỏi cuối đặt ra cho mô hình trung gian đã được xây dựng.

Quá trình mô hình hóa có thể được tóm lược qua sơ đồ sau :

Như thế, mô hình hóa toán học là quá trình cấu trúc lại vấn đề cần giải quyết nhờ những
khái niệm toán học được lựa chọn một cách phù hợp. Quá trình ấy được thực hiện thông qua
việc xây dựng mô hình phỏng thực tế bằng cách “cắt tỉa” – hay ngược lại, bổ sung thông tin
- để có thể gắn vấn đề ban đầu với các quy trình toán học. Trong bước tìm kiếm mô hình
phỏng thực tế này người ta thường phải thực hiện những việc như đặt giả thuyết, tổng quát
hóa, hình thức hóa,… Bài toán toán học cuối cùng được xây dựng phải đại diện trung thực
cho bối cảnh thực tế.
Trở lại với bài toán nêu trong ví dụ 1 ở trên.
- Bắt đầu bằng một vấn đề thực tế : Đặt cây đèn ở chỗ nào trong công viên?
- Xây dựng mô hình phỏng thực tiễn : Công viên có thể được thể hiện như là một tam
giác. Vùng chiếu sáng của đèn là một hình tròn mà điểm đặt cột đèn là tâm. Vấn đề là
phải đặt cây đèn sao cho toàn bộ tam giác nằm trong hình tròn.
- Chuyển về bài toán toán học : xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Dùng
kiến thức về tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác các đường trung trực để giải bài toán
: dựng hai đường trung trực của hai cạnh tam giác. Giao điểm của hai đường trung trực
là tâm của đường tròn.
- Liên hệ kết quả này với công viên thực tế : Chẳng hạn, nếu một trong ba góc của công
viên là tù, thì lời giải này không hợp lý vì cây đèn sẽ nằm ra ngoài công viên. Nếu ba
góc của tam giác đều nhọn thì vẫn còn phải biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam
giác có vượt quá bán kính chiếu sáng của đèn không.
HỆ THỐNG NGOÀI TOÁN HỌC
Câu hỏi liên quan đến hệ thống Câu trả lời cho câu hỏi ban đầu

Rút gọn hệ thống
(giữ lại những thông tin thỏa đáng)

Mô hình trung gian
(duy trì mối liên hệ về ngữ nghĩa đối với hệ thống mà

ta tìm cách mô hình hóa)

Trình bày lại các câu hỏi

Câu trả lời
cho bài toán toán học
MÔ HÌNH TOÁN HỌC

Giải bài toán

Tài liệu bồi dưỡng giáo viên, Kiên Giang, Tháng 6 – 7/2013
3

Như vậy là cần phải biết hình dạng, các kích thước của tam giác và bán kính chiếu sáng của
đèn. Tìm hiểu những thông tin bổ sung này rồi lại chuyển về bài toán toán học. …
I.2. Dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa
Để nâng cao năng lực hiểu biết toán cho học sinh, không thể coi nhẹ việc dạy học cách thức
xây dựng mô hình toán học để giải quyết một vấn đề nào đó do thực tiễn đặt ra. Đối với các
nhà toán học, mô hình ấy thường là chưa tồn tại, hoặc đã tồn tại nhưng không cho phép giải
quyết mọi trường hợp, hay ngược lại, không mang đến lời giải tối ưu cho một lớp các trường
hợp đặc biệt nào đó. Việc tìm ra mô hình mới của họ thường dẫn đến một phát minh mới (một
khái niệm, một định lý mới). Song đối với giáo viên thì mô hình ấy đã tồn tại. Điều đó dẫn
đến chỗ việc dạy học có thể được tổ chức theo hai tiến trình:
- Trình bày tri thức toán học lý thuyết (giới thiệu định nghĩa khái niệm hay định lý, công thức)
→ Vận dụng tri thức vào việc giải quyết các bài toán thực tiễn, ở đó phải xây dựng mô hình
toán học.
- Xuất phát từ một vấn đề thực tiễn → Xây dựng mô hình toán học → Câu trả lời cho bài toán
thực tiễn → Thể chế hóa tri thức cần giảng dạy bằng cách nêu định nghĩa hay định lý, công
thức → Vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác mà tri thức đó cho phép xây dựng một
mô hình toán học phù hợp.

Tiến trình dạy học thứ nhất, gọi là dạy học mô hình hóa, tiết kiệm được thời gian nhưng lại
làm mất đi nguồn gốc thực tiễn của các tri thức toán học, và do đó làm mất nghĩa của tri thức.
Hơn nữa, trong trường hợp này, một cách rất tự nhiên học sinh sẽ không lưỡng lự gì và hướng
ngay đến việc xây dựng một mô hình toán học phù hợp với tri thức vừa đưa vào. Liệu vượt
ra khỏi bối cảnh ấy, họ có thể xây dựng được mô hình toán học phù hợp hay không ?
Tiến trình thứ hai, bản chất là dạy học toán thông qua dạy học mô hình hóa, cho phép khắc
phục khiếm khuyết này. Ở đây tri thức cần giảng dạy sẽ hình thành từ quá trình nghiên cứu
các vấn đề thực tiễn, nảy sinh với tư cách là kết quả hay phương tiện giải quyết vấn đề. Người
ta gọi đây là dạy học bằng mô hình hóa.
Với những điểm lý luận vừa trình bày trên thì rõ ràng dạy học bằng mô hình hóa và dạy học
mô hình hóa là một con đường để nâng cao năng lực hiểu biết toán cho học sinh. Như vậy, để
đạt được mục đích dạy học toán thì cần thiết phải tính đến vấn đề mô hình hóa trong dạy học.
II. THỰC TẾ GIẢNG DẠY :
Ví dụ 1
1
: Kiểu nhiệm vụ “Tìm biểu thức hàm số”
Bài tập số 3 tr.30 SGK toán 9 tập 2 :
“Lực F của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc
v của gió, tức là F= av
2
(a là hằng số). Biết rằng khi vận tốc gió bằng 2m/s thì lực tác
động lên cánh buồm của một con thuyền bằng 120N (Niu-tơn).
a. Tính hằng số a.
b. Hỏi khi v=10m/s thì lực F bằng bao nhiêu? Cùng câu hỏi này khi v=20m/s = ?

1

Đinh Quốc Khánh (2008), Hàm số và đồ thị trong dạy học toán ở trường phổ thông.
Tài liệu bồi dưỡng giáo viên, Kiên Giang, Tháng 6 – 7/2013
4

c. Biết rằng cánh buồm chỉ có thể chịu được một áp lực tối đa là 12000N. Hỏi con
thuyền có thể đi trong gió bão với vận tốc gió 90km/h hay không ?”
Phân tích:
Kĩ thuật:
- Thay giá trị của F (với F là lực gió tác động lên cánh buồm) và v đã cho ban đầu vào công
thức F=av
2
để tìm a.
- Với a vừa tìm được, lần lượt thay v=10 & v=20 vào công thức ta F = 30v
2
để tìm F.
- Nhận xét gió bão có vận tốc 90 km/h = 25m/s nên so sánh với kết quả đã tìm được ở trên để
kết luận.
Nhận xét :
Kĩ thuật chỉ tương ứng với bước 3, trong bốn bước giải cần tiến hành để thực hiện mô hình
hóa toán học.
 Các bài tập có nội dung thực tiễn được đưa vào SGK toán 9 đều được viết dưới dạng một
bài toán, việc của học sinh chỉ là giải toán. Không có bài tập nào yêu cầu thực hiện bước 1 và
bước 2 - bước chuyển từ hệ thống hay tình huống ngoài toán học vào trong mô hình toán học
Kết luận 1 : Vấn đề mô hình hóa toán học đã không được tính đến ở lớp 9.
Ví dụ 2
2
: Kiểu nhiệm vụ “Tìm biểu thức và tính giá trị hàm số”
Bài tập 25 tr.54 SGK toán 10 nâng cao:
Một hãng taxi quy định giá thuê xe đi mỗi kilômét là 6 nghìn đồng đối với 10km đầu
tiên và 2,5 nghìn đồng đối với các kilômét tiếp theo. Một hành khách thuê taxi đi quãng
đường x kilômét phải trả y nghìn đồng. Khi đó, y là một hàm số đối với x, xác định với
mọi x ≥ 0.
a. Hãy phát biểu y như một hàm số bậc nhất trên từng khoảng ứng với đoạn [0;10], và

khoảng (10; +∞).
b. Tính f(8), f(10), f(18).
Phân tích :
Kĩ thuật:
- Xác định yêu cầu bài toán: Tìm công thức hàm mô tả tổng số tiền cần trả theo quãng
đường đã đi”.
- Tìm các đại lượng liên quan và thiết lập mối liên hệ:
+ Khi quãng đường đã đi nhỏ hơn 10km thì: Tổng số tiển phải trả bằng số
kilômét đã đi×6 ngàn
+ Khi quãng đường đã đi lớn hơn 10km thì số tiền phải trả gồm hai khoản:
Khoản 1: Trong 10km phải trả với giá 6 ngàn đồng cho mỗi kilômét nên
số tiền phải trả cho 10km đầu là 60 ngàn
Khoản 2: Trong (x−10) km tiếp theo phải trả với giá 2,5 ngàn/km.

2

Đinh Quốc Khánh (2008), Hàm số và đồ thị trong dạy học toán ở trường phổ thông.
Tài liệu bồi dưỡng giáo viên, Kiên Giang, Tháng 6 – 7/2013
5

- Tìm công thức mô tả mối liên hệ giữa các đại lượng này:
Gọi f (x) là số tiền phải trả theo quãng đường x.
Khi 0≤ x ≤10 thì số tiền phải trả là : f (x)= 6x.
Khi x >10 thì số tiền phải trả là : f (x)= 60 + 2,5(x−10)= 2,5x+ 35
a. Vậy hàm số phải tìm là :  () =

6 ế 0 ≤  ≤ 10
2,5 + 35 ế  > 10

b. Từ công thức trên suy ra:

f (8)= 6.8= 48; f (10)= 6.10= 60
f (18)= 2,5.18+25= 80
Nhận xét :
Kĩ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ nói trên tương ứng với bước 1, bước 2 và bước 3 của quá
trình mô hình hóa.
Kết luận 2 : Vấn đề mô hình hóa có mặt trong dạy-học hàm số ở lớp 10.
III. MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM
III.1. Mô hình hóa trong dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ở lớp 10
3

Bài toán thực nghiệm 1 :
Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị prôtêin và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi
kg thịt bò chứa 800 đơn vị prôtêin và 200 đơn vị lipit. Mỗi kg thịt lợn (heo) chứa 600 đơn vị
prôtêin và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6 kg thịt bò và 1,1
kg thịt lợn; giá của 1 kg thịt bò là 250 nghìn đồng, 1 kg thịt lợn là 110 nghìn đồng. Hỏi gia
đình đó phải mua bao nhiêu kg thịt mỗi loại để chi phí là thấp nhất mà vẫn đảm bảo dinh
dưỡng trong một ngày.
Mục đích: Việc xây dựng bài toán thực tế này nhằm tìm hiểu xem quá trình mô hình hóa theo
cách trình bày của SGK có thực sự được HS lĩnh hội tốt hay không? Thông qua đó sẽ biết
mức độ thực hành các bài toán dạng này của HS đến đâu? GV, HS có đặt nặng mô hình hóa
trong dạy học hay không?
Bài toán thực nghiệm 2 :
Mỗi tuần, Marry làm vòng cổ và hoa tai để bán. Lợi nhuận thu được từ một vòng cổ là 3 USD, một
đôi hoa tai là 2 USD. Trong quá trình sản xuất, Marry có đặt ra giới hạn về số lượng và lợi nhuận cho
sản phẩm của mình. Có thể xem các điều kiện của Marry đặt ra là một hệ bất phương trình. Dưới đây
là đồ thị biểu thị miền nghiệm của hệ bất phương trình này (đa giác ABCDE):
+ Trục Ox cho biết số lượng vòng cổ, trục Oy cho biết số lượng hoa tai.
+ Hình chữ nhật tạo bởi 4 đường thẳng d
1
, d

2
, d
3
, d
4
cho biết giới hạn về số lượng mỗi sản phẩm mà
Marry sản xuất trong 1 tuần.
+ Đường thẳng d
5
cho biết điều kiện về tổng số lượng sản phẩm mà Marry sản xuất trong 1 tuần.
+ Đường thẳng d
6
cho biết điều kiện về lợi nhuận thu được của Marry.

3
Đỗ Hữu Nhân (2013), Mô hình hóa trong dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ở lớp 10.
Tài liệu bồi dưỡng giáo viên, Kiên Giang, Tháng 6 – 7/2013
6


a/ Cho biết các điều kiện mà Marry đặt ra là gì:
+ Giới hạn mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu?
+ Tổng số lượng sản phẩm Marry có thể sản xuất tối đa trong một tuần là bao nhiêu? +
Lợi nhuận mà Marry đề ra thấp nhất là bao nhiêu?
b/ Hãy lập một hệ bất phương trình biểu diễn tập nghiệm trên đồ thị (đa giác ABCDE).
Mục đích: Dạng toán này không xuất hiện trong SGK ĐS 10 nhưng xuất hiện trong phần thực
hành của “Algebra 2”. Việc xây dựng bài toán này nhằm đánh giá khả năng phân tích các yếu
tố từ mô hình toán học có sẵn (đồ thị) của HS, khả năng thích ứng với dạng toán mới mà HS
chưa gặp bao giờ.
III.2. Mô hình hóa trong dạy học Hàm số và đồ thị ở trường phổ thông4

Bài toán 1.
Trong trận bóng đá, một cầu thủ đá một trái banh từ mặt đất lên độ cao H mét trong thời gian t giây.
Các số liệu được thống kê trong bảng sau:

Tại thời điểm t(giây) 0,25 O,5
Chiều cao của quả bóng đạt đươc
H(m)
1,2 2,2



4
Đinh Quốc Khánh (2011), Hàm số và đồ thị trong dạy học toán ở trường phổ thông.
Tài liệu bồi dưỡng giáo viên, Kiên Giang, Tháng 6 – 7/2013
7


Phiếu số 1:
Câu hỏi 1. Giả sử thủ thành chụp được bóng tại thời điểm t = 0,5giây. Xem chiều cao h là
hàm số của thời gian t. Xác định hàm số mô tả đường đi của quả bóng từ sau khi cầu thủ sút
bóng đến khi thủ thành chụp được?
Phiếu số 2:
Câu hỏi 2
1) Tính chiều cao quả bóng đạt được tại thời điểm 0,3 giây sau cú đá của cầu thủ.
2) Hãy phác thảo đồ thị của hàm số mô tả đường đi của quả bóng, từ lúc được cầu thủ đá
cho đến khi thủ thành chụp được bóng, lên mặt phẳng tọa độ.
Phiếu số 3:
1) Nhóm hãy thảo luận để thống nhất với nhau về câu trả lời cho câu hỏi 1 của bài toán 2.
2) Nhóm hãy nêu lại các bước để tìm biểu thức hàm số trong bài toán 1 và bài toán 2.
Bài toán 2.

Một đường hầm nhân tạo có hình dáng và kích thước được cho biết như hình bên và chỉ cho phép lưu
thông một chiều. Một xe tải chở hàng với chiều cao được tính từ mặt đường đến nóc thùng xe là 4,8m
và bề ngang thùng xe là 3,9m.


8m



Tài liệu bồi dưỡng giáo viên, Kiên Giang, Tháng 6 – 7/2013
8

Phiếu số 1:
Câu hỏi 1. Liệu xe tải có được phép qua đường hầm? Giải thích vì sao?
Phiếu số 2:
Câu hỏi 2. Với bề ngang của thùng xe như trên, hỏi xe tải có chiều cao tối đa là bao nhiêu vẫn
có thể qua đường hầm?
III.3. Mô hình hóa với vấn đề tích hợp trong dạy học thống kê
Tình huống 1: Số trung vị với nghĩa là giá trị làm tối tiểu độ lệch
5


Câu hỏi 1
Cho các biểu thức sau:
A x 1 x 3 x 2
= + + − + −

B x 1 x 3 x 2 x 7 5
,
= + + − + − + −

a) Xác định giá trị của x để các biểu thức A, B đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tính giá trị nhỏ nhất của các biểu thức này.
Các em thử tìm nhiều cách khác nhau để giải quyết bài toán.

Câu hỏi 2
Xác định số
a b
e e
M M
,
lần lượt là số trung vị của mẫu dữ liệu ở câu a, b:
a) -1 2 3
b) -1 2 3 7,5

Câu hỏi 3
Tính giá trị của biểu thức A tại
a
e
M
, biểu thức B tại
b
e
M
:
A x 1 x 3 x 2
= + + − + −

B x 1 x 3 x 2 x 7 5
,

= + + − + − + −


Câu hỏi 4: Thách đố “Ai nhanh hơn”
Cho biểu thức:
M x 7 x 2 x 1 x 1 2 x 2 3 x 3 x 4 x 5 x 7 3
x 8 1 x 9 5 2 x 9 8 x 10 x 11 x 12 x 14 x 15
x 16 x 16 5 6 x 17 2 x 17 5 x 18
,
, , ,
, ,
= + + + + + + − + − + − + − + − + −
+ − + − + − + − + − + − + − + −
+ − + − + − + − + −

a) Hãy chỉ ra giá trị của x để biểu thức trên đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Hãy viết một thông báo (thể hiện các bước mà em đã thực hiện) để giải thích cách tìm x ở
câu a cho một bạn học sinh trong lớp vắng mặt hôm nay.

Câu hỏi 5:
Em hãy thử nêu một vài phát biểu về nghĩa mới của số trung vị?





5
Phạm Thị Tú Hạnh, 2012, Tham số định tâm trong dạy học thống kê ở lớp 10.
Tài liệu bồi dưỡng giáo viên, Kiên Giang, Tháng 6 – 7/2013
9

Tình huống 2 : Tình huống số trung bình với nghĩa vật lý
6

Pha 1 :
Mỗi nhóm sẽ được nhận một tấm bìa cứng và một phiếu có in hình của tấm bìa trên nền giấy
kẻ ô.
Các em hãy tìm cách xác định một vị trí trên cạnh (cạnh này đã được đánh dấu bằng đường
kẻ màu đỏ) sao cho khi đặt một điểm tựa tại vị trí đó thì tấm bìa này sẽ ở trạng thái cân bằng.
a) Hãy đánh dấu vị trí cân bằng đó lên tấm bìa.
b) Hãy trình bày rõ cách thực hiện của các em.

Pha 2 :
Mỗi nhóm sẽ nhận được một phiếu có in hình một biểu đồ hình cột.
Người ta đã thu thập dữ liệu thống kê và biểu diễn dữ liệu này bằng một biểu đồ tần số hình
cột như trong hình vẽ in trên phiếu nhận được.
Em hãy tính số trung bình của tập hợp dữ liệu thống kê.
Em hãy đánh dấu trên trục hoành vị trí của số trung bình vừa tìm được.

Pha 3 :
Mỗi nhóm nhận được một phiếu có in hình một biểu đồ hình cột.
Người ta đã thu thập dữ liệu về cân nặng của một số học sinh (đơn vị tính là kg) và vẽ biểu
đồ để biểu diễn dữ liệu như hình vẽ in trong phiếu nhận được.
Em hãy tìm cách chỉ ra cân nặng trung bình của các học sinh này và trình bày cách thực hiện
của em.


6
Nguyễn Thị Thanh Hoàng, 2011, Biểu đồ trong biểu diễn dự liệu thống kê.
Tài liệu bồi dưỡng giáo viên, Kiên Giang, Tháng 6 – 7/2013

10

Tình huống 3 : Mẫu dữ liệu và chọn mẫu
7

Bài toán 1:
Em hãy tìm số người có mặt trong bức tranh sau :


Bài toán 2:
Đây là bảng thống kê tần suất xuất hiện các chữ cái tiếng anh.

Trong bảng mật thư sau, mỗi kí tự tương ứng với một chữ cái trong tiếng Anh. Hãy đề nghị
cách giải mã mật thư sau:


7
Quách Huỳnh Hạnh (2011), Nghiên cứu thực hành giảng dạy thống kê ở trung học phổ thông.
Tài liệu bồi dưỡng giáo viên, Kiên Giang, Tháng 6 – 7/2013
11


Trong mật thư đã cho hãy dự đoán những kí tự tương ứng với các chữ cái E, T, A, O, N trong
tiếng Anh?
Bài toán 3:
Bảng bên dưới cho thấy phần trăm những loại trái cây khác nhau đã được bán tại một cửa
hàng B trong tháng vừa qua.
Loại trái cây Phần trăm tiêu thụ (%)

Cam 56%

Táo 14%
Nho 6%
Sầu riêng 5%
Các loại trái cây khác

19%

Nếu để chuẩn bị cho tháng tiếp theo, cửa hàng cần nhập vào 500 thùng trái cây thì theo em,
cửa hàng nhập khoảng bao nhiêu thùng cam? Vì sao?


Tài liệu bồi dưỡng giáo viên, Kiên Giang, Tháng 6 – 7/2013
12

CHƯƠNG 2 :
THỰC HÀNH : MỘT SỐ TÌNH HUỐNG MÔ HÌNH HÓA

I. CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ (TÌNH HUỐNG 1)
II.1. Bài toán con thỏ
"Một đôi thỏ (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) cứ mỗi tháng đẻ được một đôi thỏ con (cũng gồm một
thỏ đực và thỏ cái); một đôi thỏ con, khi tròn 2 tháng tuổi, sau mỗi tháng đẻ ra một đôi thỏ con, và
quá trình sinh nở cứ thế tiếp diễn. Hỏi sau n tháng có bao nhiêu đôi thỏ, nếu đầu năm (tháng Giêng)
có một đôi thỏ sơ sinh?


II.2. Bài toán bàn cờ và số hạt gạo
Tương truyền có một vị vua Ấn Ðộ hứa sẽ ban thưởng cho ai phát minh ra một trò vui để ông tiêu
khiển. Cuối cùng có một nhà toán học phát minh ra bàn cờ vua gồm 64 ô. Nhà vua thích thú quá, bèn
hỏi ông ta cần ban thưởng gì. Ông ta tâu: “Thưa Bệ hạ, hạ thần chỉ cần được thưởng một số gạo để
phát cho người nghèo. Xin Bệ hạ cứ cho bỏ gạo vào bàn cờ, ô đầu tiên 1 hạt, ô thứ hai 2 hạt, ô thứ ba

4 hạt v.v ô sau gấp đôi ô trước. Và cứ như thế cho đến hết 64 ô “. Nhà vua cười ngất cho ông là bác
học gàn, vì nhà vua nghĩ rằng chỉ cần một vài bao là đủ. Thế nhưng vào ngày hôm sau, khi vị quan
thủ kho tâu là đã hết gạo trong kho mà bàn cờ chưa được một nửa, thì nhà vua mới sửng sốt. Nhà toán
học vội vàng quì tâu: ”Xin Bê hạ tha cho thần cái tội khi quân vì đã dám đùa với Bệ hạ, cho dẫu đất
nước Bệ hạ có giàu đến cỡ nào đi chăng nữa thì trong vòng 1000 năm cũng không thể cung ứng đủ
s
ố gạo này”
Tài liệu bồi dưỡng giáo viên, Kiên Giang, Tháng 6 – 7/2013
13

II.3. Bài toán lãi suất ngân hàng (đơn, kép)
Một gia đình mới sinh con đầu lòng. Hai bố mẹ bàn bạc với nhau là nếu lãi suất
8
gửi ngân hàng hiện
nay là 6% cho một tháng và đến năm con họ được 18 tuổi, họ muốn cho con mình đi du học ở Pháp
trong 3 năm đại học với chi phí bình quân khoảng 8.000 euros/năm. Hãy cố vấn cho họ là cần gửi
ngân hàng bao nhiêu tiền mỗi tháng (không lấy lãi) từ nay cho đến khi con được 18 tuổi ?
II.4. Bài toán vị trí
Trong một trò chơi, có một người đứng cố định ở vị trí
F, cách bức tường một khoảng 4m. Những người chơi
sẽ thảy bóng chạm tường rồi thảy bóng cho người ở vị
trí F. Nếu người chơi ném bóng vào tường và ném cho
người ở vị trí F với cùng một khoảng cách thì người này
được tính 1 điểm. Hãy chỉ ra những vị trí mà người chơi
luôn được cộng điểm.

II.5. Bài toán qua sông
Trên một dòng sống có vận tốc nước chảy là 2,5km/h. Khi không có nước chảy, một người chèo đò
qua bờ sông bên kia có vận tốc chèo là 4,3k/h. Hãy tính góc xuất phát của người chèo đò để sang bờ
bên kia mà không bị trôi đi xa.

II. TÌNH HUỐNG NGHIÊN CỨU
II.1. Bóng đèn :
Tuổi thọ của bóng đèn loại thường là 1000 giờ. Các bóng đèn này thường được bán theo từng lô 4
bóng loại 100 W, 4 bóng loại 75 W và 2 bóng loại 60 W, có giá là …………………

Nếu trong một gia đình, người ta quyết định thay thế các bóng đèn thường bằng bóng compact thì họ
tiết kiệm được bao nhiêu ?

8
Tham khảo : (ngày 25/6/2013)
bóng đèn tiết kiệm
Osram 12 W có tuổi thọ
8000 giờ
Lô bóng đèn tiết kiệm Osram
21 W tương đương bóng 100 W và có tuổi thọ 8000 giờ
17 W tương đương bóng 75 W và có tuổi thọ 6000 giờ
Tài liệu bồi dưỡng giáo viên, Kiên Giang, Tháng 6 – 7/2013
14


II.2. Thùng rác
Việc tái chế có mục đích chính là chống ô nhiễm môi trường và bảo vệ nguồn tài nguyên thiên nhiên.
Do đó, việc tham gia của các bạn là rất quan trọng ! Đó là lý do vì sao nhiều nước trên thế giới phát
động các chiến dịch khuyến khích người dân thực hiện tái chế.
Một trong các chiến dịch này là làm sao giảm thiểu thể tích các chai, hộp bằng giấy và các đồ chứa
trước khi bỏ vào thùng rác tương ứng.


1) Tính kích thước các vật chứa sau đây sau khi làm dẹp (bẹp) chúng:

a) Một vỏ hộp giấy nước trái cây loại 1 lít.
b) Một vỏ chai nước 1,5 lít.
2) Làm thế nào để đo thể tích một cái hộp giấy 1 lít và 1 cái chai 1,5 lít sau khi làm dẹp (bẹp) đi ?
3) Nếu là dẹp các chai và hộp, hãy cho biết có thể thêm bao nhiêu vỏ vào thùng rác ?
III. TÌNH HUỐNG 3 (GIẢ LẬP)
Môi trường công nghệ thông tin để giả lập tình huống gieo súc sắc không cân đối và tính xác
suất.
(Học viên thực hành nếu có máy tính).


Tài liệu bồi dưỡng giáo viên, Kiên Giang, Tháng 6 – 7/2013
15

Tài liệu tham khảo

[1] Amy Dahan - Dalmedico, Jeanne Peiffer, (1986), Une histoire des mathématiques,
Editions du Seuil, Paris.
[2] Dương Sĩ Tiến, Giảng dạy tích hợp các khoa học nhằm nâng cao chất lượng giáo dục và
đào tạo, Tạp chí Giáo dục, số 9, tháng 7/2000, tr. 27-29)
[3] Dương Sĩ Tiến, Phương thức và nguyên tắc tích hợp các môn học nhằm nâng cao chất
lượng giáo dục và đào tạo, Tạp chí Giáo dục, số 26, tháng 3/2002, tr. 21-22)
[4] Đinh Quốc Khánh (2008), Hàm số và đồ thị trong dạy học toán ở trường phổ thông.
[5] Đỗ Hữu Nhân (2013), Mô hình hóa trong dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ở
lớp 10.
[6] Lê Thị Hoài Châu (2003), Lịch sử khái niệm Hàm số, Toán học và Tuổi trẻ.
[7] Lê Thị Hoài Châu (2005), Khai thác các yếu tố của lịch sử toán vào dạy học khái niệm
tích phân xác định, Tạp chí Nghiên cứu khoa học, ĐHSP TP HCM.
[8] Lê Thị Hoài Châu (2010), Dạy học Thống kê ở trường phổ thông và vấn đề nâng cao năng
lực hiểu biết toán cho học sinh, Tạp chí Nghiên cứu khoa học, ĐHSP TP HCM
[9] Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học toán ở trường phổ thông, NXB ĐHQG HCM.

[10] Nguyễn Thị Thanh Hoàng (2011), Một nghiên cứu didactic về biểu đồ trong biểu diễn
dự liệu thống kê trong dạy học toán ở phổ thông.
[11] Phạm Huy Điển (2006) Bàn về dạy và học toán hiện nay, Tạp chí Dạy và học ngày nay,
số 7/2006, Trung ương Hội khuyến học Việt Nam.
[12] Phạm Thị Tú Hạnh (2012), Tham số định tâm trong dạy học thống kê ở lớp 10.
[13] Quách Huỳnh hạnh (2011), Nghiên cứu thực hành giảng dạy thống kê ở trung học phổ
thông.
Các Sách giáo khoa Giải tích và Đại số 11 Ban cơ bản và Nâng cao, NXB GD 2005.