Đề tài: cấu trúc vành_Luận văn tốt nghiệp

Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành
GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang
1


PHẦN MỞ ĐẦU
– o —
I. Lí do chọn đề tài:
Trong môn học “Lí thuyết vành và trường” sinh viên đã được học một số
tính chất của vành giao hoán, vành đòa phương, vành Euclide, vành Gauss .
Tiếp đó, ở môn “Đại số giao hoán” sinh viên tiếp tục được học các loại vành
như vành Artin, vành Noether. Như vậy, lớp các vành rất phong phú.
Để tìm hiểu thêm tính phong phú của các loại vành tôi đã chọn đề tài
“Cấu trúc vành” cho luận văn tốt nghiệâp của mình.
II. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài “Cấu trúc vành” nghiên cứu một số loại vành: vành đơn, vành
nguyên thủy, vành trù mật, radical Jacobson, radical nguyên tố trên vành bất
kì, vành nửa đơn, vành nửa nguyên tố … . Qua đó cho thấy một số tính chất và
mối liên hệ giữa chúng.
Nội dung đề tài được chia thành hai phần:
A. Cơ sở lí thuyết (gồm năm mục). Ở mục một là kiến thức chuẩn bò,
trong phần này trình bày sơ lược các kiến thức liên quan đến vành, module …
để làm cơ sở cho các mục sau. Các mục còn lại nêu lên đònh nghóa và nghiên
cứu một số tính chất của vành đơn, vành nguyên thủy, radical Jacobson, vành
nửa đơn ….
B. Bài tập (gồm 20 bài tập).
III. Mục đích nghiên cứu:
Nhằm giới thiệu một số loại vành và mối liên hệ giữa chúng, qua đó cho
thấy tính phong phú của các loại vành.
IV. Phương pháp nghiên cứu:
Đề tài “Cấu trúc vành” được thực hiện chủ yếu bằng cách dòch từ tiếng

Anh quyển “Algebra” của Thomas W. Hungerford (chương 9, từ trang 414
đến trang 450); bên cạnh có sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp một số
kiến thức có liên quan.
Mặc dù rất cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và kiến thức nên đề
tài khó tránh khỏi những sai sót. Kính mong nhận được những lời góp ý của
q thầy cô và các bạn.
Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành
GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang
2


LỜI CẢM ƠN
– o —

Đề tài “Cấu trúc vành” được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng
dẫn tận tình của thầy Nguyễn Thanh Bình và sự cố gắng, nổ lực của bản
thân.
Em xin chân thành gởi lời cám ơn đến thầy Nguyễn Thanh Bình và các
thầy cô trong bộ môn Toán, khoa Sư Phạm, trường Đại Học Cần Thơ đã tích
lũy cho em những kiến thức cần thiết và tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho em
trong lúc thực hiện và hoàn thành đề tài này.
Xin cám ơn các bạn sinh viên lớp Sư Phạm Toán K25 đã động viên và
giúp đỡ tôi.
Một lần nữa xin gởi đến thầy Nguyễn Thanh Bình và các thầy cô trong
bộ môn Toán lòng biết ơn sâu sắc.

Cần Thơ, tháng 5 năm 2003
Sinh viên thực hiện
Cao Minh Quang.

Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành
GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang
3


MỤC LỤC
– o —
Trang
Phần mở đầu 1
Lời cám ơn 2
Mục lục 3
Phần nội dung 4
A. Cơ sở lí thuyết 4
§1. Kiến thức chuẩn bò 4
§2. Vành đơn và vành nguyên thủy 15
§3. Radical Jacobson 24
§4. Vành nửa đơn 32
§5. Radical nguyên tố – vành nguyên tố và vành nửa nguyên tố 41
B. Bài tập 45
Phần kết luận 57

Tài liệu tham khảo 58














Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành
GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang
4


PHẦN NỘI DUNG
A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT
§1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
– o —

1.1. Đònh nghóa:
Vành là tập hợp R cùng với hai phép toán hai ngôi trên R gồm phép cộng
(+) và phép nhân (.) thỏa các điều kiện sau:
(i) (R, +) là nhóm Abel.
(ii) Phép nhân có tính chất kết hợp, tức là: a(bc) = (ab)c với mọi a, b ,c

∈
R.
(iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là:
a(b + c) = ab + bc
(b + c)a = ba + ca với mọi a, b, c
∈
R.
Vành R được gọi là có đơn vò nếu phép nhân của nó có đơn vò, phần tử
đơn vò của R kí hiệu là 1
R
hay 1 hoặc e.
Vành R được gọi là thể nếu R có đơn vò 1
R
≠
0 và mọi phần tử khác
không của nó đều khả nghòch. Từ đó suy ra thể không có ideal thật sự.
1.2. Đònh lí:
Nếu f: R
→
S là đồng cấu vành và I là ideal của R chứa trong Kerf thì
tồn tại duy nhất đồng cấu vành
f
: R/I
→
S sao cho
f
(a + I) = f(a) với mọi
a
∈
R.

Im
f
= Imf và Ker
f
= Kerf/I.

f
là đẳng cấu khi và chỉ khi f là toàn cấu và I = Kerf.
Chứng minh:
Đònh nghóa ánh xạ
f
: R/I
→
S
a + I
α

f
(a + I) = f(a) với mọi a
∈
R.
Đònh nghóa này được xác đònh đúng đắn.
Thật vậy, nếu a + I = b + I thì a – b
∈
I
⊂
Kerf nên f(a – b) = 0 hay f(a)
= f(b). Dễ thấy
f
là đồng cấu vành thỏa f =

f
g với g: R
→
R/I là đồng
Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành
GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang
5

cấu vành. Giả sử tồn tại đồng cấu vành h: R
→
R/I thỏa mãn f = hg, thế thì
với mọi a
∈
R, ta có:
f
g(a) = hg(a) hay
f
[g(a)] = h[g(a)], suy ra
f
(a + I) = h(a
+ I).
Vậy
f
= h và
f
được xác đònh duy nhất.
Từ đònh nghóa ánh xạ
f
ta suy ra Im
f

= Imf. Ta có:
Ker
f
= {a + I
∈
R/I |
f
(a + I) = 0}
= {a + I
∈
R/I | f(a) = 0}
= {a + I
∈
R/I | a
∈
Kerf }
= Kerf/I.
Ta chứng minh
f
là đẳng cấu khi và chỉ khi f là toàn cấu và I = Kerf.
Giả sử
f
là đẳng cấu. Khi đó
f
là toàn cấu và là đơn cấu. Vì Imf = Im
f

nên f là toàn cấu và Ker
f
= 0 nên Kerf/I = 0 = I, suy ra Kerf = I.

Ngược lại, do Kerf = I nên Ker
f
= Kerf/I = 0 nên
f
là đơn cấu. Dễ thấy
f
là toàn cấu. Vậy
f
là đẳng cấu.
1.3. Đònh lí:
Giả sử I và J là các ideal của vành R sao cho I
⊂
J. Khi đó J/I là ideal
của vành R/I.
Chứng minh:
Đònh nghóa ánh xạ f: R/I
→
R/J
a + I
α
f(a) = a + J với mọi a
∈
R
Đònh nghóa này xác đònh đúng đắn. Thật vậy, giả sử a + I = b + I thì a – b
∈
I
⊂
J, suy ra a + J = b + J. Dễ dàng kiểm tra được rằng f là đồng cấu vành.
Mặt khác, ta có Kerf = {a + I
∈

R/I | f(a + I) = 0}
= {a + I
∈
R/I | a + J = J}
= {a + I
∈
R/I | a
∈
J}
= J/I.
Vì Kerf là ideal của R/I nên J/I là ideal của R/I.
1.4. Đònh nghóa:
Ideal P của vành R được gọi là nguyên tố nếu P
≠
R và với mọi ideal A,
B của R sao cho AB
⊂
P thì A
⊂
P hoặc B
⊂
P.
1.5. Đònh lí:
Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành
GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang
6

(i) Trong vành R khác không, có đơn vò luôn tồn tại ít nhất một ideal tối đại.
(ii) Cho A là ideal của vành R khác không có đơn vò, A khác R. Khi đó tồn
tại ideal tối đại của R chứa A.

Chứng minh:
(i) Gọi S là tập tất cả ideal của R và khác R. Ta có S
≠
Þ vì (0)
∈
S. Xét (S,
⊆
). Gọi (A
i
)
i∈I
là dây xích trong S. Đặt A =
Υ
Ii
i
A
∈
, ta có A là ideal của R và
khác R. Thật vậy, gọi x, y
∈
A thì tồn tại i, j
∈
I sao cho x
∈
A
i
và y
∈
A
j

. Do
(A
i
)
i∈I
là dây xích nên ta có thể giả sử x, y
∈
A
i
. Khi đó x – y
∈
A
i
và ax, xa
∈
A
i
với mọi a
∈
R, suy ra x – y
∈
A và ax, xa
∈
A với mọi a
∈
R, suy ra A là
ideal của R.
Nếu A = R thì 1
∈
A, suy ra tồn tại i

∈
I sao cho 1
∈
A
i
, suy ra A
i
= R (vô
lí). Vậy A
≠
R, do đó A
∈
S. Theo bổ đề Zorn – Kuratowshi thì trong tập S
tồn tại phần tử tối đại. Gọi M là phần tử tối đại trong S. Nếu M không phải
là phần tử tối đại của R thì tồn tại ideal P nào đó của R sao cho M
⊂
P
⊂
R
và M
≠
P
≠
R, suy ra P
∈
S (vô lí) vì M tối đại. Vậy M là ideal tối đại của R.
(ii) Gọi S là tập tất cả các ideal của R chứa A và khác R.
Bằng phương pháp chứng minh tương tự như trên thì trong (S,
⊆
) tồn tại

phần tử tối đại M và M chính là ideal tối đại của R chứa A.
1.6. Đònh lí:
Cho A
1
, A
2
,…, A
n
là các ideal của vành R thỏa R
2
+ A
i
= R với mọi i =
1 n và A
i
+ A
j
= R với mọi i
≠
j; i, j = 1 n.
Nếu b
1
, b
2
, … , b
n

∈
R thì tồn tại b
∈

R sao cho b
≡
b
i
(mod A
i
) (i = 1 n).
Chứng minh:
Vì A
1
+ A
2
= R và A
1
+ A
3
= R nên R
2
= (A
1
+ A
2
)(A
1
+ A
3
) = A
1
2
+ A

1
A
3

+A
2
A
1
+ A
2
A
3

⊂
A
1
+ A
2
A
3

⊂
A
1
+ A
2
∩
A
3
.

Vì R = A
1
+ R
2
nên A
1
+ R
2
⊂
A
1
+(A
1
+ A
2
∩
A
3
) = A
1
+ A
2
∩
A
3

⊂
R
suy ra R = A
1

+ A
2
∩
A
3
.
Giả sử R = A
1
+ A
2
∩
A
3
∩
….
∩
A
k-1
, khi đó:
R
2
= (A
1
+ A
2
∩
A
3
∩
….

∩
A
k-1
)(A
1
+ A
k
)
⊂
A
1
+ A
2
∩
A
3
∩
….
∩
A
k
,
suy ra R = R
2
+ A
1

⊂
A
1

+ A
2
∩
A
3
∩
….
∩
A
k

⊂
R hay R = A
1
+ A
2
∩
A
3
∩

…
∩
A
k
.
Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành
GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang
7

Vậy R = A
1
+
Ι
1i
i
A
≠
. Tương tự, ta có R = A
k
+
Ι
ki
i
A
≠
, k = 1 n. Do đó với
mọi k = 1 n, tồn tại a
k
∈
A
k
, r
k
∈

Ι
ki
i
A

≠
sao cho b
k
= a
k
+ r
k
và r
k
≡
b
k
(mod A
k
)
, r
k
≡
0 (mod A
i
).
Đặt b = r
1
+ r
2
+ …+ r
n
. Khi đó b
≡
b

i
(mod A
i
) với mọi i = 1 n.
1.7. Hệ quả:
Nếu A
1
, A
2
, … , A
n
là các ideal của vành R thì tồn tại đơn cấu vành

φ
: R/(A
1
∩
…
∩
A
n
)
→
R/A
1
x R/A
2
x…xR/A
n
.

Nếu R
2
+ A
i
= R với mọi i = 1 n và A
i
+ A
j
= R với mọi i
≠
j; i, j =1 n thì
φ
là đẳng cấu.
1.8. Đònh lí:
Cho {R
i
| i
∈
I} là họ khác rỗng của các vành và
∏
∈
I

i
i
R
là tích trực tiếp
của các nhóm cộng R
i
. Khi đó:

(i)
∏
∈
I

i
i
R
là vành với phép (.) được đònh nghóa bởi {a
i
}
i
∈
I
{b
i
}
i
∈
I
= {a
i
b
i
}
i
∈
I

(ii) Nếu R

i
có đơn vò thì
∏
∈
I

i
i
R
có đơn vò.
(iii) Với k
∈
I phép chiếu chính tắc
π
k
:
∏
∈
I

i
i
R

→
R
k

{a
i

}
i
∈
I

α
a
k

là toàn cấu vành.
(iv) Với k
∈
I phép nhúngï chính tắc i
k
: R
k

→

∏
∈
I

i
i
R

a
k

α
{a
i
}
i
∈
I

là đơn cấu vành.
1.9. Bổ đề:
Cho S là vành của các ma trận vuông cấp n trên thể D. Khi đó S không
có ideal thật sự.
Chứng minh:
Đặt S = Mat
n
D. Gọi I là một ideal khác không của S. Giả sử A = [a
ij
]
khác không, A
∈
I và a
rs
≠
0. Kí hiệu A
ij
(x) là ma trận có thành phần ij bằng
x, các thành phần còn lại bằng 0. Với mỗi số thực b, tồn tại các số thực x, y
Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành
GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang
8

sao cho ya
rs
x = b, suy ra A
kr
(y)AA
se
(x) = A
ke
(b)
∈
I với 1
≤
k, e
≤
n. Vì mỗi
ma trận của Mat
n
D là tổng của n
2
ma trận dạng A
ke
(b) nên thuộc I, do đó I =
Mat
n
D = S. Vậy S không có ideal thật sự.
1.10. Đònh lí đệ qui:
Cho tập hợp S, a
∈
S, với mỗi n

∈
N, f
n
: S
→
S là một hàm số. Khi
đó tồn tại duy nhất hàm số
ϕ
: N
→
S thỏa
ϕ
(0) = a và
ϕ
(n + 1) = f
n
(
ϕ
(n))
với mọi n
∈
N.
Chứng minh:
Gọi C là tập hợp các tập con Y của NxS sao cho nếu (0, a)
∈
Y và (n, x)
∈
Y thì (n + 1, f
n
(x))

∈
Y với mọi n
∈
N. Khi đó C
≠
∅ vì NxS
∈
C. Đặt R
=
Ι
C Y
Y
∈
thì R
∈
C. Gọi M là tập con của N chứa n
∈
N mà với mỗi n, tồn tại
duy nhất một phần tử x
n

∈
S sao cho (n, x
n
)
∈
R.
Ta chứng minh M = N bằng phương pháp qui nạp.
Nếu 0
∉

M thì tồn tại (0, b)
∈
R với b
≠
a và R\{(0, b)}
⊂
NxS trong C.
Suy ra R =
Ι
C Y
Y
∈
⊂
R\{(0, b)} (vô lí). Vậy 0
∈
M. Giả sử n
∈
M, tức là (n, x
n
)
∈
R với x
n
là duy nhất thuộc S. Khi đó (n + 1, f
n
(x
n
))
∈
R.

Nếu (n + 1, c)
∈
R với c
≠
f
n
(x
n
) thì R\{(n +1, c)}
∈
S (vô lí). Vì vậy x
n+1

= f
n
(x
n
) là phần tử duy nhất thỏa (n + 1, x
n+1
)
∈
R. Do đó N = M. Từ đây ta có
thể đònh nghóa hàm số
ϕ
: N
→
S cho bởi n
α

ϕ

(n) = x
n
. Vì (0, a)
∈
R nên
ta có
ϕ
(0) = 0. Với mọi n
∈
N, ta có (n,x
n
) = (n,
ϕ
(n))
∈
R, vì vậy (n +1,
f
n
(
ϕ
(n)))
∈
R vì R
∈
C. Nhưng (n + 1, x
n+1
)
∈
R và x
n+1

là duy nhất nên
ϕ
(n +
1) = x
n+1
= f
n
(
ϕ
(n)).
1.11. Đònh nghóa:
Cho R là vành. Nhóm Abel (M, +) được gọi là R - module (trái) nếu tồn
tại phép toán ngoài:
RxM
→
M
(r,m)
α
rm thỏa mãn các tính chất sau:
(i) (a + b)m = am + bm.
(ii) a(m
1
+ m
2
) = am
1
+ am
2
.
(iii) (ab)m = a(bm).

Với mọi a, b
∈
R; m, m
1
, m
2

∈
M.
Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành
GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang
9

Nếu R có đơn vò 1
R
và 1
R
a = a với mọi a
∈
M thì M được gọi là R –
module unita. Nếu R là thể thì R – module unita được gọi là không gian
vector (trái). R – module phải được đònh nghóa tương tự.
Trong đề tài này, phần lớn ta xét trên các R – module trái.
1.12. Bổ đề:
Cho R và S là vành và ϕ: R

→

S là đồng cấu vành. Khi đó mọi S –
module A có thể được tạo bởi một R – module với phép toán rx = ϕ(r)x (x

∈

A).
1.13. Đònh lí:
Cho vành R và {A
i
| i
∈
I} là họ các module con của R - module A thỏa:
(i) A là tổng của họ {A
i
| i
∈
I}.
(ii) Với mọi k
∈
I, A
k
∩
A
k
*
= 0, trong đó A
k
*
là tổng của họ {A
i
| i ≠ k}.
Khi đó A
≅

∑
∈I i
i
A
, trong đó
∑
∈I i
i
A
là tổng trực tiếp (ngoài) của họ các R
– module {A
i
| i
∈
I}.
1.14. Đònh nghóa:
Cho dãy đồng cấu R – module …

→

A
n-1

→
n
f
A
n

→
+1n
f
A
n+1


→


… . Ta nói nằng dãy trên là khớp tại A
n
(nửa khớp tại A
n
) nếu Imf
n
= Kerf
n+1

(Imf
n
⊂ Kerf
n+1
). A
n
được gọi là mắt xích thứ n (n
∈
N
*
). Dãy trên được gọi

là khớp (nửa khớp) nếu nó khớp (nửa khớp) tại mỗi mắt xích, trừ mắt xích
đầu và cuối (nếu có).
Chú ý:
Dãy đã cho khớp tại A
n
khi và chỉ khi f
n+1
f
n
= 0 và Kerf
n+1
⊂ Imf
n
.
Dãy đã cho nửa khớp tại A
n
khi và chỉ khi f
n+1
f
n
= 0.
Dãy 0
→
A
→
f
B là khớp khi và chỉ khi f là đơn cấu.
Dãy B
→
g

C
→
0 là khớp khi và chỉ khi g là toàn cấu.
* Dãy 0
→
A
→
f
B
→
g
C
→
0 được gọi là dãy khớp ngắn.
Nếu Imf là hạng tử trực tiếp của B thì dãy khớp này gọi là dãy khớp bò chẻ.
1.15. Bổ đề năm ngắn:
Cho vành R và biểu đồ giao hoán của các R – module và R – đồng cấu
sau:
Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành
GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang
10
0
→
A →
f
B →
g
C

→
0

α

β

γ

0
→
A’
→
f'
B’
→
g'
C’


→
0
trong đó các dòng là khớp. Khi đó:
(i) Nếu
α
,
γ
là đơn cấu thì
β
là đơn cấu.

(ii) Nếu
α
,
γ
là toàn cấu thì
β
là toàn cấu.
(iii) Nếu
α
,
γ
là đẳng cấu thì
β
là đẳng cấu.
Chứng minh:
(i) Lấy b
∈
B, giả sử
β
(b) = 0. Ta có
γ
g(b) = g’
β
(b) = g’(0) = 0. Suy ra
g(b) = 0 vì
γ
là đơn cấu. Do dòng trên khớp tại B nên b
∈
Kerg = Imf, vì vậy
b = f(a) với a

∈
A. Mặt khác f’
α
(a) =
β
f(a) =
β
(b) = 0. Do dòng dưới khớp
tại A’ nên f’ là đơn cấu, do đó
α
(a) = 0. Vì
α
là đơn cấu nên a = 0, suy ra b =
f(a) = f(0) = 0. Vậy
β
là đơn cấu.
(ii) Lấy b’
∈
B’,khi đó g’(b’)
∈
C’. Vì
γ
là toàn cấu nên g’(b’) =
γ
(c) với c
∈
C . Vì dòng trên khớp tại C nên g là toàn cấu, do đó c = g(b) với b
∈
B. Ta
có g’

β
(b) =
γ
g(b) =
γ
(c) = g’(b’), suy ra g’[
β
(b) - b’] = 0 hay
β
(b) - b’
∈

Kerg’ = Imf’, do đó f’(a’) =
β
(b) – b’với a’
∈
A’. Vì
α
là toàn cấu nên a’ =
α
(a) với a
∈
A. Xét b – f(a)
∈
B thì
β
[b – f(a)] =
β
(b) -
β

f(a). Do biểu đồ
giao hoán nên
β
f(a) = f’
α
(a) = f’(a’) =
β
(b) – b’, vì vậy
β
[b – f(a)] =
β
(b)
-
β
f(a) =
β
(b) – (
β
(b) – b’) = b’. Do đó
β
là toàn cấu.
(iii) Suy ra từ (i) và (ii).
1.16 Đònh lí (đặc trưng của dãy khớp bò chẻ):
Cho dãy khớp ngắn các R – module 0
→
A
→
f
B
→

g
C
→
0,
khi đó các khẳng đònh sau là tương đương:
(i) Dãy khớp bò chẻ ra.
(ii) Tồn tại một R – đồng cấu h: B

→

A sao cho hf = 1
A
.
(iii) Tồn tại một R – đồng cấu i: C

→

B sao cho gi = 1
C
.
Khi các điều kiện trên thỏa thì B = A ⊕ C.
1.17. Đònh nghóa:
Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành
GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang
11
Module P trên vành R được gọi là xạ ảnh nếu cho bất kì biểu đồ của các
đồng cấu R – module
P
f
A

→
g
B
→
0
với dòng dưới là khớp (g là toàn cấu) thì tồn tại một đồng cấu R – module h:
P
→
A sao cho biểu đồ
P
h f
A
→
g
B
→
0
là giao hoán (tức là gh = f).
Module J trên vành R được gọi là nội xạ nếu cho bất kì biểu đồ của các
đồng cấu R – module
0
→
A
→
g
B
f
J
với dòng trên là khớp (g là đơn cấu) thì tồn tại một đồng cấu R – module h:
B

→
J sao cho biểu đồ
0
→
A
→
g
B
f h
J
là giao hoán (tức là hg = f).
1.18. Đònh lí:
Cho vành R. Các điều kiện sau trên R – module P là tương tương:
(i) P là xạ ảnh.
(ii) Mọi dãy khớp ngắn 0
→
A
→
f
B
→
g
P
→
0 bò chẻ và B ≅ A ⊕
C.
(iii) Tồn tại module tự do F và một R – module K sao cho F ≅ K ⊕ P.
1.19. Đònh lí:
Cho vành R. Các điều kiện sau trên R – module J là tương tương:
(i) J là nội xạ.

Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành
GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang
12
(ii) Mọi dãy khớp ngắn 0
→
J
→
f
B
→
g
C
→
0 bò chẻ và B ≅ J ⊕
C.
(iii) J là tổng trực tiếp của bất kì R - module con B nào đó.
1.20. Đònh lí:
Mỗi không gian vector trên thể D có một cơ sở và mọi tập con độc lập
tuyến tính của V được chứa trong cơ sở của V.
1.21. Đònh lí:
Cho vành R có đơn vò và E là R - module trái tự do có cơ sở hữu hạn n
phần tử. Khi đó tồn tại đẳng cấu vành Hom
R
(E,E)
≅
Mat
n
(R
op
), trong đó R

op

là vành đối của vành R.
Trong phần sau, ta áp dụng đònh lí này cho không gian vector E n chiều
trên thể R, trong trường hợp đó R
op
cũng là thể.
1.22. Đònh nghóa:
Module A được gọi là thỏa mãn điều kiện dây xích tăng trên các module
con nếu mọi dây xích A
1
⊂ A
2
⊂ A
3
… của các module con của A, tồn tại n
nguyên dương sao cho A
i
= A
n
với mọi i
≥
n.
Module B được gọi là thỏa mãn điều kiện dây xích giảm trên các module
con nếu mọi dây xích B
1
⊃ B
2
⊃ B
3

⊃ … của các module con của B, tồn tại m
nguyên dương sao cho B
i
= B
m
với mọi i
≥
m.
1.23. Đònh nghóa:
Vành R là Noether trái (phải) nếu R thỏa mãn điều kiện dây xích tăng
trên các ideal trái (phải). Vành R là Noether nếu R là Noether trái và phải.
Vành R là Artin trái (phải) nếu R thỏa mãn điều kiện dây xích giảm trên
các ideal trái (phải). Vành R là Artin nếu R là Artin trái và phải.
1.24. Đònh nghóa:
Module A được gọi là thỏa mãn điều kiện tối đại (tối tiểu) trên các
module con nếu mọi tập con khác rỗng của các module con của A chứa một
phần tử tối đại (tối tiểu) (theo quan hệ bao hàm của lí thuyết tập hợp).
1.25. Đònh lí:
Module A thỏa mãn điều kiện dây xích tăng (giảm) trên các module con
khi và chỉ khi A thỏa mãn điều kiện tối đại (tối tiểu) trên các module con.
Chứng minh:
Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành
GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang
13
Giả sử A thỏa mãn điều kiện tối tiểu trên các module con và A
1
⊃ A
2
⊃…
⊃ A

n
là dây xích các module con. Khi đó tập hợp {A
i
| i ≥ 1} có phần tử tối
tiểu là A
n
. Do đó với mọi i ≥ n, ta có A
n
⊃ A
i
(suy ra từ giả thiết) và A
n
⊂ A
i

(do A
n
tối tiểu), vì vậy A
i
= A
n
với mọi i ≥ n. Vậy A thỏa mãn điều kiện dây
xích giảm.
Ngược lại, giả sử A thỏa mãn điều kiện dây xích giảm và S là tập hợp
khác rỗng của các module con của A. Khi đó tồn tại B
o
∈
S. Nếu S không có
phần tử tối tiểu thì với mỗi module con B nằm trong S, tồn tại ít nhất một
module con B’ trong S sao cho B ⊃ B’ và B ≠ B’. Với mỗi B trong S, chọn B’

như trên, khi đó ta đònh nghóa ánh xạ f: S

→

S cho bởi B
α
B’. Theo đònh
lí đệ qui 1.10, tồn tại hàm số ϕ: N

→

S sao cho ϕ(0) = B
o
và ϕ(n +1) =
f(ϕ(n)) = ϕ(n)’. Vì vậy nếu B
n
∈
S, kí hiệu là ϕ(n), thì tồn tại dãy B
o
, B
1
, …
sao cho B
o
⊃ B
1
⊃ B
2
⊃ … và B
o

≠ B
1
≠ B
2
≠ …. Điều này trái với điều kiện dây
xích giảm. Do đó S phải có phần tử tối tiểu, suy ra A thỏa mãn điều kiện tối
tiểu.
Phần chứng minh cho dây xích tăng và điều kiện tối đại tương tự.
1.26. Đònh lí:
Cho 0
→
A
→
f
B
→
g
C
→
0 là dãy khớp ngắn các module.
Khi đó B thỏa mãn điều kiện dây xích tăng (giảm) trên các module con khi
và chỉ khi A và C cũng thỏa mãn điều kiện đó.
Chứng minh:
Ta chỉ chứng minh cho điều kiện dây xích tăng, điều kiện dây xích giảm
chứng minh tương tự.
Nếu B thỏa mãn điều kiện dây xích tăng thì f(A) cũng thỏa mãn điều
kiện đó, do f là đơn cấu nên A đẳng cấu với f(A), vì vậy A thỏa mãn điều
kiện dây xích tăng. Nếu C
1
⊂ C

2
⊂ C
3
… là dây xích của các module con của
C thì g
-1
(

C
1
) ⊂ g
-1
(C
2
) ⊂ g
-1
(

C
3
)

⊂ … là dây xích các module con của B. Do
đó tồn tại n nguyên dương sao cho g
-1
(C
i
) = g
-1
(C

n
) với mọi i
≥
n. Vì g là toàn
cấu nên C
i
= C
n
với mọi i
≥
n. Vậy C thỏa mãn điều kiện dây xích tăng.
Ngược lại, giả sử A và C thỏa mãn điều kiện dây xích tăng và B
1
⊂ B
2
⊂
B
3
là dây xích của các module con của B. Với mỗi i, đặt A
i
= f
-1
(f(A)
∩
B
i

và C
i
= g(B

i
). Gọi f
i
= fA
i
và g
i
= gB
i
. Dễ thấy với mọi i, dãy 0
→
A
i

→
i
f
B
i

→
i
g
C
i
→
0 là khớp và A
1
⊂ A
2

⊂ A
3
… , C
1
⊂ C
2
⊂ C
3
… . Từ
giả thiết, suy ra tồn tại n nguyên dương sao cho A
i
= A
n
và C
i
= C
n
với mọi i
≥
n. Với mọi i
≥
n, tồn tại biểu đồ sau giao hoán với dòng là khớp:
Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành
GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang
14
0
→
A
n

→
n
f
B
n
→
n
g
C
n

→
0

α

i
β

γ

0
→
A
i

→
i
f
B

i
→
i
g
C
i

→
0
trong đó
α
và
γ
là ánh xạ đồng nhất,
i
β
là ánh xạ bao hàm, từ bổ đề năm
ngắn 1.15 suy ra
i
β
là ánh xạ đồng nhất, do đó B thỏa mãn điều kiện dây
xích tăng.
1.27. Hệ quả:
Nếu A là module con của module B thì B thỏa mãn điều kiện dây xích
tăng (giảm) khi và chỉ khi A và B/A thỏa mãn điều kiện đó.
1.28. Hệ quả:
Nếu A
1
, … , A
n

là các module thì tổng trực tiếp A
1
⊕
A
2
⊕
…
⊕
A
n
thỏa
mãn điều kiện dây xích tăng (giảm) trên các module con khi và chỉ khi mỗi
A
i
(i = 1 n) thỏa mãn điều kiện đó.
1.29. Đònh nghóa:
Chuỗi bình thường của module A là dây xích của các module con: A = A
o

⊃ A
1
⊃ … ⊃ A
n
.
Nhân tử của chuỗi là các module thương A
i
/A
i+1
(i = 0 (n – 1)).
Hai chuỗi bình thường là tương đương nếu có sự tương ứng một – một

giữa các nhân tử không tầm thường mà các nhân tử tương ứng đó đẳng cấu
module với nhau.
Chuỗi hợp thành của A là chuỗi bình thường A = A
o
⊃ A
1
⊃ … ⊃ A
n
mà
mỗi nhân tử A
k
/A
k+1
(k = 0 (n – 1)) là các module khác không và không có
module con thật sự.
1.30. Đònh lí Jordan – Holder.
Bất kì hai chuỗi hợp thành nào của module A cũng tương đương.
1.31. Đònh lí:
Module khác không A có chuỗi hợp thành khi và chỉ khi A thỏa mãn cả
hai điều kiện dây xích tăng và dây xích giảm trên các module con.
1.32. Hệ quả:
Nếu D là thể thì vành Mat
n
D của các ma trận vuông cấp n trên D vừa là
vành Artin và vừa là vành Noether.

Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành
GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang
15

§2. VÀNH ĐƠN VÀ VÀNH NGUYÊN THỦY
– o —

2.1. Đònh nghóa:
Module (trái) A trên vành R là đơn (bất khả qui) nếu thỏa RA ≠ 0 và A
không có module con thật sự.
Vành R là đơn nếu R
2
≠ 0 và R không có ideal thật sự.
Chú ý:
(i) Module (vành) đơn thì khác không.
(ii) Mỗi module A trên vành R có đơn vò là unita. Module unita A trên vành
R có đơn vò thì RA ≠ 0, suy ra A đơn khi và chỉ khi A không có module con
thật sự.
(iii) Mỗi module đơn A là cyclic, tức là A = Ra với a là phần tử khác không
thuộc A. Thật vậy, vì A đơn nên Ra (0
≠
a
∈
A) và B = {c
∈
A | Rc = 0} là
các module con của A chỉ có thể bằng 0 hoặc A. Vì RA ≠ 0 (do A đơn ) nên B
≠ A, suy ra B = 0. Vậy A = Ra.
Tuy nhiên một module cyclic thì chưa chắc đơn, chẳng hạn Z – module
cyclic Z
6
.
Ví dụ:
(i) Mỗi thể D là vành đơn (vì nó không có ideal thật sự) và là D – module

đơn.
(ii) Cho D là thể và R = Mat
n
D (n > 1). Với mọi k
∈
[1, n], thì I
k
= {(a
ij
)
∈
R |
a
ij
= 0, j
≠
k} là R – module trái đơn (hệ quả 1.32). Mat
n
D không là R -
module trái đơn nhưng vành Mat
n
D là vành đơn. Do đó vành các tự đồng cấu
của không gian hữu hạn chiều trên thể là vành đơn (đònh lí 1.21).
(iii) Ideal trái I của vành R là tối tiểu nếu I
≠
0 và với mọi ideal trái J sao
cho 0
⊂
J
⊂

I thì J = 0 hoặc J = I. Ideal trái I của vành R thỏa RI
≠
0 là R –
module trái đơn khi và chỉ khi I là ideal tối tiểu.
2.2. Đònh nghóa:
Ideal trái I của vành R là chính qui nếu tồn tại e
∈
R sao cho r – re
∈
I
với mọi r
∈
R. Ideal phải I của vành R là chính qui nếu tồn tại e
∈
R sao cho
Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành
GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang
16

r – er
∈
R với mọi r
∈
R.
Chú ý: Mỗi ideal trái của vành R có đơn vò là chính qui (với e = 1
R
)
2.3. Đònh lí:
Module trái A trên vành R là đơn khi và chỉ khi A đẳng cấu với R/I, trong
đó I là ideal trái tối đại chính qui.

Chứng minh:
Giả sử module trái A đơn, tức là A = Ra (với 0
≠
a
∈
A).
Xét ánh xạ
φ
: R
→
A, xác đònh bởi r
α
ra. Dễ thấy
φ
là toàn cấu,
đặt Ker
φ
= I là ideal (cũng là module con) của R, theo đònh lí 1.2 ta được R/I
≅
A = Ra. Vì A = Ra nên a = ea với e
∈
R, do đó ra = rea với r
∈
R hay (r -
re)a = 0. Vậy r – re
∈
Ker
φ
= I, suy ra I chính qui. Mỗi module con của R/I
có dạng J/I, với J là ideal trái chứa I. Nhưng R/I

≅
A và A đơn nên R/I không
có module con thật sự, suy ra I tối đại.
Ngược lại, giả sử I là ideal trái tối đại chính qui và A
≅
R/I, ta chứng
minh R(R/I) ≠ 0. Thật vậy nếu R(R/I) = 0 thì với mọi r
∈
R ta có r(e + I) = I
(với e
∈
R), do đó re
∈
I. Vì r – re
∈
I nên r – re + re
∈
I, suy ra r
∈
I, tức là I
= R (trái với tính tối đại của I). Vậy R(R/I) ≠ 0 hay RA ≠ 0. Mỗi module con
của R/I có dạng J/I, trong đó J là ideal trái của R chứa I, nhưng vì I tối đại
nên R/I không có module con thực sự. Vì vậy A không có module con thực
sự, do đó A là module trái đơn.
2.4. Đònh lí:
Giả sử B là tập con của module trái A trên vành R, khi đó:
a(B)={r
∈
R | rb = 0,
∀

b
∈
B} là ideal trái của R.
Nếu B là module con của A thì a(B) là ideal của R.
* a(B) gọi là linh hóa tử trái của B. Linh hóa tử phải của module phải được
đònh nghóa tương tự.
Chứng minh:
Dễ thấy a(B) là ideal trái của R. Nếu B là module con của A ,với r
∈
R, s
∈
a(B), với mọi b
∈
B, ta có (sr)b = s(rb) = 0 (vì rb
∈
B), vì vậy sr
∈
a(B), suy
ra a(B) là ideal phải của R. Vậy a(B) là ideal của R.
2.5. Đònh nghóa:
Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành
GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang
17
Module (trái) A là khớp nếu a(A) = 0. Vành R là nguyên thủy (trái) nếu
tồn tại một R-module trái khớp đơn.
Ví dụ:
Cho V là không gian vector trên thể D và R = Hom
D
(V,V) là vành các tự
đồng cấu của V. Khi đó V là một R – module với

θ
v =
θ
(v), với mọi v
∈
V,
θ

∈
R. Nếu u là vector khác không trong V thì tồn tại cơ sở của V chứa u
(đònh lí 1.20). Nếu v
∈
V thì tồn tại
θ
v
∈
R sao cho
θ
v
u = v(theo đònh nghóa
θ
v
(u) = v và
θ
v
(w) = 0 với w là phần tử cơ sở bất kì thì
θ
v
∈
R). Vì vậy Ru =

V, với u là vector khác không trong V, do đó V không có R – module con thật
sự. Vì R có đơn vò nên RV
≠
0, suy ra V là R – module đơn. Nếu
θ
V = 0 với
θ

∈
R thì
θ
= 0, suy ra a(V) = 0, vì vậy V là R – module khớp và R là
nguyên thủy. Nếu V hữu hạn chiều trên D thì R đơn (suy ra từ đònh lí 1.21).
2.6. Mệnh đề:
Vành đơn R có đơn vò là vành nguyên thủy.
Chứng minh:
Vì R là vành có đơn vò nên nó có chứa ít nhất một ideal tối đại I (đònh lí
1.5) và I chính qui, do đó R/I là R-module đơn (đònh lí 2.3). Vì a(R/I) là một
ideal của R và không chứa 1
R
nên a(R/I) = 0 (vì R là vành đơn), suy ra R/I là
khớp. Vậy R nguyên thủy.
2.7. Mệnh đề:
Vành giao hoán R nguyên thủy khi và chỉ khi R là trường.
Chứng minh:
Giả sử R là trường, khi đó R là vành giao hoán có đơn vò và R không có
ideal thật sự, do đó R đơn. Vậy R nguyên thủy (mệnh đề 2.6).
Ngược lại, giả sử A là R - module trái khớp đơn, khi đó A
≅
R/I với I là

ideal trái tối đại chính qui của R. Vì R giao hoán nên I là ideal của R và I
⊂

a(R/I) = a(A) = 0, suy ra I = 0. Vì I là ideal chính qui nên tồn tại e
∈
R sao
cho r – re
∈
I = 0, do đó r = re = er với mọi r
∈
R, suy ra R là vành giao hoán
có đơn vò (e). Vì I = 0 là ideal tối đại nên R là trường.
2.8. Đònh nghóa:
Cho V là một không gian vector (trái) trên thể D. Vành con R của vành
các tự đồng cấu Hom
D
(V,V) được gọi là vành trù mật của các tự đồng cấu
của V (hoặc là vành con trù mật của Hom
D
(V,V)) nếu với mọi số nguyên
Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành
GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang
18
dương n, mọi tập con độc lập tuyến tính {u
1
, u
2
, … , u
n
} của V, mọi tập con bất

kì {v
1
, v
2
, , v
n
} của V, tồn tại
φ

∈
R sao cho
φ
(u
i
) = v
i
(i = 1 n).
Ví dụ:
Hom
D
(V,V) là vành con trù mật của chính nó. Thậy vậy, nếu {u
1
, u
2
, … ,
u
n
} là tập con độc lập tuyến tính của V thì tồn tại cơ sở U của V chứa u
1
, u

2
, …
, u
n
(đònh lí 1.20). Nếu v
1
, v
2
, , v
m
∈
V thì ánh xạ
φ
: V

→

V xác đònh bởi
φ
(u
i
) = v
i
và
φ
(u) = 0 với u
∈
U\{u
1
, u

2
, … , u
n
} là một phần tử của Hom
D
(V,V). Trong trường hợp số chiều hữu hạn, Hom
D
(V,V) là một vành con trù
mật của chính nó.
2.9. Đònh lí:
Giả sử R là vành trù mật của các tự đồng cấu của không gian vector V
trên thể D. Khi đó R là vành Artin trái khi và chỉ khi dim
D
V là hữu hạn, trong
trường hợp này R = Hom
D
(V,V).
Chứng minh:
Nếu R là vành Artin trái và dim
D
V vô hạn thì tồn tại tập con độc lập
tuyến tính vô hạn {u
1
, u
2
, ….} của V. Suy ra V là Hom
D
(V,V) - module trái và
cũng là R - module.Với mọi n
∈

N
*
, đặt I
n
là linh hóa tử trong R của tập {u
1
,
u
2
, … , u
n
}. Từ đònh lí 2.4, ta có I
1
⊃
I
2
⊃
I
3
⊃
… là dây xích giảm các ideal trái
của R. Gọi w là phần tử khác không bất kì của V. Vì {u
1
, u
2
, … , u
n+1
} là tập
độc lập tuyến tính với mọi n và R trù mật nên tồn tại
φ

∈
R sao cho
φ
(u
i
) = 0,
(i = 1 n) và
φ
(u
n+1
) = w
≠
0. Suy ra
φ

∈
I
n
nhưng
φ

∉
I
n+1
. Vì vậy
21
≠≠
⊃
⊃

II là
dây xích giảm thật sự, trái với giả thiết R là vành Artin trái. Vậy dim
D
V là
hữu hạn.
Ngược lại, nếu dim
D
V là hữu hạn thì V có cơ sở hữu hạn {v
1
, v
2
, , v
n
}.
Nếu f là một phần tử bất kì của Hom
D
(V,V) thì f hoàn toàn được xác đònh bởi
v
i
(i = 1 m). Vì R trù mật nên tồn tại
φ

∈
R sao cho
φ
(v
i
) = f(v
i
) (i =1 m),

suy ra f =
φ

∈
R. Vậy Hom
D
(V,V) = R. Mặt khác Hom
D
(V,V) là vành Artin
trái (suy ra từ đònh lí 1.21 và hệ quả 1.32) nên R là vành Artin trái.
2.10. Bổ đề (Schur):
Cho A là module đơn trên vành R và B là R - modul. Khi đó:
(i) Mỗi đồng cấu R-module khác không f : A
→
B là đơn cấu.
(ii) Mỗi đồng cấu R-module khác không g : B
→
A là toàn cấu.
(iii) Vành các tự đồng cấu D = Hom
R
(A,A) là thể.
Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành
GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang
19
Chứng minh:
(i) Kerf là module con của A, Kerf ≠ A vì f ≠ 0, vì A đơn nên Kerf = 0. Vậy f
là đơn cấu.
(ii) Img là module con khác không của A vì g ≠ 0, vì A đơn nên Img = A .
Vậy g là toàn cấu.
(iii) Nếu h

∈
D và h ≠ 0, từ (i) và (ii) suy ra h là đẳng cấu, suy ra h
-1
∈
D. Vậy
mọi phần tử khác không thuộc D đều khả nghòch, suy ra D là thể.
2.11. Bổ đề:
Cho A là module đơn trên vành R. Có thể xem A là không gian vector
trên thể D = Hom
R
(A,A). Nếu V là D - không gian con hữu hạn chiều của D –
không gian vector A và a
∈
A\V thì tồn tại r
∈
R sao cho ra ≠ 0 và rV = 0.
Chứng minh:
Đặt n = dim
D
V.
Nếu n = 0 thì V = 0 và a ≠ 0 (vì a
∈
A\V). Do A đơn nên A = Ra, suy ra
tồn tại r
∈
R sao cho a = ra ≠ 0 và rV = r0 = 0.
Giả sử dim
D
V = n > 0 và bổ đề đúng với số chiều nhỏ hơn n. Đặt {u
1

, u
2
,
… , u
n-1
, u} là một cơ sở của V và W là không gian vector (n -1) chiều sinh bởi
{u
1
, u
2
, … , u
n-1
} (W = 0 nếu n = 1). Khi đó V = W
⊕
Du. W không là R –
module con của A nhưng linh hóa tử trái I = a(W) trong R của V là ideal trái
của R (đònh lí 2.4), do đó Iu là module con của A. Vì u
∈
A\W nên theo giả
thiết qui nạp tồn tại r
∈
R sao cho ru ≠ 0 và rW = 0, tức r
∈
I = a(W), dẫn đến
0
≠
ru
∈
Iu, suy ra Iu ≠ 0. Vì vậy A = Iu (vì A đơn ).
Ta chứng minh tồn tại r

∈
R sao cho ra ≠ 0 và rV = 0. Thật vậy, nếu
không tồn tại r như vậy ta có thể đònh nghóa ánh xạ
φ
: A


→
A như sau.
Vì ru
∈
Iu = A nên ta đặt
φ
(ru) = ra
∈
A. Vậy
φ
được xác đònh tốt. Nếu r
1
u =
r
2
u (r
1
, r
2
∈
I = a(W)) thì (r
1
– r

2
)u = 0, từ đó suy ra (r
1
– r
2
)V = (r
1
– r
2
)(W
⊕

Du) = 0, theo giả thiết ta có (r
1
– r
2
)a = 0, vì vậy
φ
(r
1
u) = r
1
a = r
2
a =
φ
(r
2
u).
Dễ thấy

φ

∈
Hom
R
(A ,A) = D. Với mọi r
∈
I, ta có : 0 =
φ
(ru) – ra = r
φ
(u) –
ra = r(
φ
(u) – a). Vì vậy
φ
(u) – a
∈
W (vì I = a(W)), suy ra a =
φ
u – (
φ
u – a )
∈
Du + W = V hay a
∈
V (vô lí) vì a
∈
A\V.
Vậy với a

∈
A\V, tồn tại r
∈
R sao cho ra ≠ 0 và rV = 0.
2.12. Đònh lí (đònh lí trù mật Jacobson):
Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành
GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang
20
Giả sử R là vành nguyên thủy và A là R – module khớp đơn. Có thể
xem A là một không gian vector trên thể D = Hom
R
(A,A). Khi đó R đẳng cấu
với vành trù mật của các tự đồng cấu của D – không gian vector A.
Chứng minh:
Với mỗi r
∈
R, ánh xạ
α
r
: A
→
A xác đònh bởi
α
r
(a) = ra là một D –
tự đồng cấu của A, tức là
α
r
∈
Hom

R
(A,A). Với r, s
∈
R, ta có:
α
r+s
=
α
r
+
α
s

và
α
rs
=
α
r
α
s
. Do đó ánh xạ
α
: R
→
Hom
D
(A,A) xác đònh bởi
α
(r) =

α
r
là
một đồng cấu vành. Vì A là R – module khớp nên
α
r
= 0 khi và chỉ khi r
∈

a(A) = 0 (vì A khớp). Do đó
α
là đơn cấu, suy ra R đẳng cấu với vành Im
α

của Hom
D
(A,A).
Ta sẽ chứng minh Im
α
là vành con trù mật của Hom
D
(A,A).
Gọi U = {u
1
, u
2
, … , u
n
} là tập con D - độc lập tuyến tính của A,{v
1

, v
2
, ,
v
n
} là tập con bất kì của A. Ta cần tìm
α
r
∈
Im
α
sao cho
α
r
(u
i
) = v
i
, i = 1 n.
Với mỗi i, đặt V
i
là D - không gian con của A sinh bởi {u
1
, , u
i-1
, u
i+1
, ,
u
n

}. Vì U là D - độc lập tuyến tính nên u
i
∉
V
i
. Dùng bổ đề 2.11 ta thấy tồn
tại r
i
∈
R sao cho r
i
u
i
≠ 0 và r
i
V
i
=0. Tiếp tục dùng bổ đề 2.11 cho không gian
con không và phần tử khác không r
i
u
i
ta có s
i
∈
R sao cho s
i
r
i
u

i
≠ 0 và s
i
0 = 0.
Vì s
i
r
i
u
i
≠ 0 nên R – module con Rr
i
u
i
của A khác không, do A đơn nên Rr
i
u
i
=
A .Vì vậy tồn tại t
i
∈
R sao cho t
i
r
i
u
i
= v
i

.
Đặt r = t
1
r
1
+ … + t
n
r
n

∈
R. Với i
≠
j, ta có u
i
∈
V
j
, suy ra t
j
r
j
u
i

∈
t
j
(r
j

V
j
) =
t
j
0 = 0,
α
r
(u
i
) = ru
i
= (t
1
r
1
+ … + t
n
r
n
)u
i
= t
1
r
1
u
i
+ … + t
n

r
n
u
i
= t
i
r
i
u
i
= v
i
(i = 1 n).
Vậy tồn tại
α
r
∈
Im
α
sao cho
α
r
(u
i
) = v
i
(i =1 n) nên Im
α
là vành trù mật
của Hom

D
(A,A).
2.13. Hệ quả:
Nếu R là vành nguyên thủy, D là thể thì hoặc R đẳng cấu với vành các tự
đồng cấu của không gian vector hữu hạn chiều trên D, hoặc với mỗi số
nguyên dương m, tồn tại vành con R
m
của R và một toàn cấu vành R
m

→
Hom
D
(V
m
,V
m
), trong đó V
m
là không gian vector m chiều trên D.
Chứng minh:
Từ đònh lí 2.12 ta có
α
: R
→
Hom
D
(A,A) là đơn cấu thỏa mãn R
≅

Im
α
và Im
α
trù mật trong Hom
D
(A,A). Nếu dim
D
A = n hữu hạn, từ đònh lí
2.9 ta có Im
α
= Hom
D
(A,A), suy ra R
≅
Hom
D
(A,A). Nếu dim
D
A vô hạn và
{u
1
, u
2
, } là tập độc lập tuyến tính vô hạn, gọi V
m
là D - không gian con m
chiều của A sinh bởi {u
1
, u

2
, … , u
m
}. Dễ thấy R
m
= {r
∈
R | rV
m
⊂
V
m
} là
Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành
GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang
21
vành con của R. Từ tính trù mật của R
≅
Im
α
trong Hom
D
(A,A) ta thấy ánh
xạ
ϕ
: R
m

→
Hom

D
(V
m
,V
m
) cho bởi r
α

α
r
V
m
là một toàn cấu.
2.14. Đònh lí (Wedderburn – Artin):
Các điều kiện sau trên vành R – Artin trái là tương đương:
(i) R đơn.
(ii) R nguyên thủy.
(iii) R đẳng cấu với vành các tự đồng cấu của không gian vector hữu hạn
chiều khác không trên thể D.
(iv) Với n nguyên dương, R đẳng cấu với vành các ma trận vuông cấp n trên
thể D.
Chứng minh:
(i)
⇒
(ii)
Ta có I = {r
∈
R | Rr = 0} là ideal của R, vì R đơn nên I = R hoặc I = 0.
Nhưng R
2

≠ 0 nên I = 0 (vì I
2
= 0). Vì R là vành Artin trái nên tập hợp tất cả
các ideal trái khác không của R chứa ideal tối tiểu J. Mỗi R – module con
của J là ideal trái của R nhưng J là ideal tối tiểu nên J không có module con.
Vì J là ideal trái nên J là một R – module trái, do đó a(J) là ideal trái của R.
Vì R là vành đơn nên a(J) = 0 hoặc a(J) = R. Nếu a(J) = R thì Ru = 0 với u là
phần tử khác không thuộc R, suy ra u
∈
I = 0 hay u = 0 (vô lí). Vậy a(J) = 0
và RJ ≠ 0, suy ra J là R – module khớp đơn, suy ra R nguyên thủy (đònh nghóa
2.5).
(ii)
⇒
(iii)
Từ đònh lí 2.12 ta có R đẳng cấu với vành trù mật T của các tự đồng cấu
của không gian vector V trên thể D. Vì R là vành Artin trái nên theo đònh lí
2.9 ta suy ra T = Hom
D
(V,V), do đó R
≅
Hom
D
(V,V).
(iii) ⇔ (iv) suy ra từ đònh lí 1.21.
(iv)
⇒
(i) suy ra từ đònh lí 1.9.
2.15. Bổ đề:
Cho V là không gian vector hữu hạn chiều trên thể D. Nếu A và B là các

module khớp đơn trên vành các tự đồng cấu R = Hom
D
(V,V) thì A và B là
đẳng cấu R – module.
Chứng minh:
Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành
GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang
22
Vành R chứa ít nhất một ideal trái tối tiểu I (suy ra từ đònh lí 1.21, 1.25
và hệ qủa 1.32). Vì A khớp nên tồn tại a
∈
A sao cho Ia
≠
0, suy ra Ia là
module con của A, do A đơn nên Ia = A.
nh xạ
θ
: I
→
Ia, cho bởi i
α
ia là một toàn cấu R – module khác
không, kết hợp bổ đề 2.10, suy ra
θ
là đẳng cấu hay I
≅
Ia = A. Tương tự ta
cũng có I
≅
B. Vậy A

≅
B.
2.16. Bổ đề:
Cho V là không gian vector khác không trên thể D và R là vành các tự
đồng cấu Hom
D
(V,V). Nếu g: V
→
V là đồng cấu của nhóm cộng thỏa gr
= rg với mọi r
∈
R thì tồn tại d
∈
D sao cho g(v) = dv với mọi v
∈
V.
Chứng minh:
Giả sử u là phần tử khác không của V. Khi đó u và g(u) phụ thuộc tuyến
tính trên D. Nếu dim
D
V = 1 thì bổ đề hiển nhiên đúng. Giả sử dim
D
V
≥
2 và
{u, g(u)} độc lập tuyến tính. Vì R trù mật nên tồn tại r
∈
R sao cho r(u) = 0
và r(g(u))
≠

0. Từ giả thiết ta có r(g(u)) = rg(u) = gr(u) = g(r(u)) = g(0) = 0
(vô lí). Vì vậy g(u) = du với d
∈
D. Nếu v
∈
V thì tồn tại s
∈
R sao cho s(u) =
v (do R trù mật). Vì s
∈
R = Hom
D
(V,V) nên g(v) = g(s(u)) = gs(u) = sg(u) =
s(du) = sd(u) = ds(u) = dv.
2.17. Mệnh đề:
Cho V
i
là không gian vector có số chiều hữu hạn n
i
trên thể D
i
(i = 1,2).
Nếu tồn tại một đẳng cấu vành )V,(VHom
11D
1
≅
)V,(VHom
22D
2
thì

1D
Vdim
1

=
2D
Vdim
2
và D
1
≅
D
2
.
Chứng minh:
Ta có V
i
là
i
D
Hom
(V
i
,V
i
) – module khớp đơn. Đặt R =
1
D
Hom
(V

1
,V
1
) và
σ
: R
→

2
D
Hom
(V
2
,V
2
) là đẳng cấu (với phép toán rv =
σ
(r)v với r
∈
R, v
∈
V
2
, bổ đề 1.12). Khi đó V
2
là R – module khớp đơn. Dùng bổ đề 2.15 ta
thấy tồn tại một đẳng cấu R – module
θ
: V
1

→
V
2
. Với v
∈
V
1
, f
∈
R ta
có
θ
(f(v)) = f
θ
(v) = (
σ
f)(
θ
(v)), suy ra
θ
f
θ
-1
=
σ
(f) là đồng cấu nhóm cộng
V
2

→
V
2
. Với d
∈
D
i
, đặt
α
d
: V
i

→
V
i
là đồng cấu nhóm cộng được
xác đònh bởi x
α
dx. Dễ thấy
α
d
= 0 khi và chỉ khi d = 0. Do đó với f
∈
R
=
1
D
Hom (V
1

,V
1
) và d
∈
D
1
thì f
α
d
=
α
d
f. Suy ra:
(
θ
α
d
θ
-1
)(
σ
f) =
θ
α
d
θ
-1
θ
f
θ

-1
=
θ
α
d
f
θ
-1
=
θ
f
α
d
θ
-1

=
θ
f
θ
-1
θ
α
d
θ
-1
= (
σ
f)(
θ

α
d
θ
-1
).
Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành
GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang
23
Vì
σ
là toàn cấu, dùng bổ đề 2.16 (với V = V
2
, g =
θ
α
d
θ
-1
), thì tồn tại d
*
∈
D
2
sao cho
θ
α
d
θ
-1
=

α
d*
. Đặt
β
: D
1


→

D
2
là ánh xạ được xác đònh bởi
β
(d) = d
*
, với d
∈
D
1
thì
θ
α
d
θ
-1
=
)(dβ
α
.

Ta có
β
là đơn cấu. Thật vậy, nếu d
*
=
β
(d) = 0 thì
θ
α
d
θ
-1
=
α
d*
= 0, vì
vậy
α
d
= 0, do đó d = 0. Đổi vai trò của D
1
và D
2
(tương ứng
θ
,
σ
bởi
θ
-1

,
σ
-1
), với k
∈
D
2
, d
∈
D
1
sao cho
θ
-1
α
k
θ
=
α
d
: V
1


→

V
1
thì
α

k
=
θ
α
d
θ
-1

=
)(dβ
α
. Do đó k =
β
(d), suy ra
β
là toàn cấu, vì vậy
β
là đẳng cấu hay D
1
≅
D
2
.
Với d
∈
D
1
và v
∈
V

1
thì
θ
(dv) =
θ
α
d
(v) =
)(dβ
α
θ
(v) =
β
(d)
θ
(v). Do
{u
1
, … , u
k
} là D
1
– độc lập tuyến tính trong V
1
khi và chỉ khi {
θ
(u
1
), … ,
θ

(u
k
)}
là D
2
– độc lập tuyến tính trong V
2
nên ta suy ra
1
D
dim V
1
=
2
D
dim V
2
.

Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành
GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang
24

§3. RADICAL JACOBSON
– o —

3.1. Đònh nghóa:
Ideal P của vành R được gọi là nguyên thủy trái (phải) nếu vành thương
R/P là vành nguyên thủy trái (phải).
Chú ý: Vì vành không không có module đơn nên nó không nguyên thủy
và vì vậy R không là ideal nguyên thủy trái (phải).
3.2. Đònh nghóa:
Phần tử a của R được gọi là tựa chính qui trái (phải) nếu tồn tại r
∈
R sao
cho r + a + ra = 0 (r + a + ar = 0). Phần tử r được gọi là tựa khả nghòch trái
(phải).
Ideal (trái, phải, cả hai phía) I của R được gọi là tựa chính qui trái (phải)
nếu mọi phần tử của I đều là tựa chính qui trái (phải).
Ideal của R được gọi là tựa chính qui nếu nó vừa là ideal tựa chính qui
trái, vừa là ideal tựa chính qui phải.
Chú ý: Kí hiệu roa = r + a + ra.

Nếu R có đơn vò thì a tựa chính qui trái (phải) khi và chỉ khi 1 + a là khả
nghòch trái (phải).
Chứng minh:
Ta chỉ chứng minh tính chất bên trái, tính chất bên phải được chứng minh
tương tự.
Giả sử a tựa chính qui trái, khi đó tồn tại r
∈
R sao cho r + a + ra = 0, suy
ra r + a + ra + 1 = 1 hay r(1 + a) + (1 + a) = 1, do đó (r + 1)(1 + a) = 1. Vậy 1
+ a khả nghòch trái. Ngược lại, nếu 1 + a khả nghòch trái thì tồn tại b
∈
R sao
cho b(1 + a) = 1. Đặt r = b – 1 hay b = r + 1 thì (r + 1)(1 + a) = r + a + ra + 1 =
1, do đó r + a + ra = 0. Vậy a tựa chính qui trái.
3.3. Đònh lí:
Nếu R là vành thì tồn tại ideal J(R) của R sao cho:
(i) J(R) là giao của tất cả các linh hóa tử trái của các R – module trái đơn.
(ii) J(R) là giao của tất cả các ideal trái tối đại chính qui của R.
Luận văn tốt nghiệp Cấu trúc vành
GVHD: Nguyễn Thanh Bình SVTH: Cao Minh Quang
25
(iii) J(R) là giao của tất cả các ideal nguyên thủy trái của R.
(iv) J(R) là ideal trái tựa chính qui trái chứa mọi ideal trái tựa chính qui trái
của R.
(v) Phát biểu (i) –(iv) đúng nếu thay từ “trái” bởi từ “phải”.
Chú ý:
Ideal J(R) được gọi là radical Jacobson của R. Ta qui ước J(R) = R nếu R
không có R – module trái đơn.
Để chứng minh đònh lí 3.3 ta cần dùng một số bổ đề sau:
3.4. Bổ đề:

Nếu I (khác R) là ideal trái chính qui của vành R thì I được chứa trong
ideal trái tối đại chính qui của R.
Chứng minh:
Vì I chính qui nên tồn tại e
∈
R sao cho r – re
∈
I với mọi r
∈
R. Do đó
mọi ideal trái của R chứa I đều chính qui (với phần tử e
∈
R). Gọi S là tập tất
cả các ideal trái của R chứa I và không chứa e. Ta có I ⊂ I và e ∉ I. Thật
vậy, nếu e ∈ I thì re ∈ I với mọi r ∈ R, do đó r = r – re + re ∈ I với mọi r ∈ R,
suy ra I = R (vô lí). Vậy I ∈ S nên S khác rỗng. Xét (S, ⊆). Gọi {I
i
}
i∈A
là dây
xích tăng của S. Đặt J =
Υ
Ai
i
I
∈
, tương tự cách chứng minh đònh lí 1.5, ta có J là
ideal trái của R chứa I. Nếu e ∈ J thì tồn tại i ∈ A sao cho e ∈ I
i
(vô lí), vậy e

∉ J, suy ra J ∈ S. Theo bổ đề Zorn – Kuratowshi thì trong S tồn tại phần tử tối
đại. Gọi I
o
là phần tử tối đại của S, nếu I
o
= R thì e ∈ I
o
(vô lí), do đó I
o
≠ R.
Vậy I
o
là ideal tối đại chính qui của R chứa I.
3.5. Bổ đề:
Cho vành R và K là giao của tất cả các ideal trái tối đại chính qui của R.
Khi đó K là ideal trái tựa chính qui trái của R .
Chứng minh:
Dễ thấy K là ideal trái của R. Gọi a
∈
K, đặt T = {r + ra | r
∈
R}. Khi đó
T là ideal trái chính qui của R (với e = - a). Nếu T = R thì tồn tại r
∈
R sao
cho r + ra = - a hay r + ra + a = 0, suy ra a tựa chính qui trái. Nếu T ≠ R thì T
chứa trong một ideal trái tối đại chính qui I
0
của R (bổ đề 3.4). Vì a
∈

K
⊂
I
o

nên ra
∈
I
o
với mọi r
∈
R. Do r + ra
∈
T
⊂
I
o
nên r
∈
I
o
với mọi r
∈
R, suy ra
R = I
o
(mâu thuẫn tính tối đại của I
o
). Vậy T = R, do đó a tựa chính qui trái,
suy ra K là ideal trái tựa chính qui trái.