Chương 4 Đặc trưng hình học mặt cắt ngang

Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 1
1
BÀI GiẢNG MÔN HỌC
SỨC BỀN VẬT LiỆU
GV: TRẦN HỮU HUY
Tp.HCM, tháng 10 năm 2009
(Lưu hành nội bộ)
2
ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
 ĐỊNH NGHĨA
 CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
CHƯƠNG 4:
 MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐƠN GiẢN
 CÁC CÔNG THỨC BiẾN ĐỔI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
 VÒNG TRÒN MOHR QUÁN TÍNH.
 BÀI TẬP
Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 2
3
ĐỊNH NGHĨA
Trong những trường hợp như thanh chịu uốn, xoắn… thì
ứng suất trong thanh không chỉ phụ thuộc vào diện tích A
mà còn phụ thuộc vào hình dáng, cách bố trí mặt cắt…
nghĩa là phụ thuộc vào các yếu tố khác gọi chung là đặc
trưng hình học của mặt cắt ngang.
y
P
z
y
P

z
4
CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
Mômen tĩnh của diện tích A đối
với trục x (hay y) nào đócủa mặt
cắt là biểu thức tích phân sau:
Mômen tĩnh
x
y
y
x
M
dA
A
xy
AA
S ydA;S xdA==
∫∫
Trong đó:
-x, y tọa độ của điểm M – tâm của phân tố diện tích dA.
Mômen tĩnh có thứ nguyên là [chiều dài
3
]. Mômen tĩnh có
thể có giá trị âm, dương hoặc bằng không.
Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 3
5
CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
-Trục trung tâm là trục có mômen tĩnh của diện tích A đối
với trục đóbằng không.

Mômen tĩnh
Từ đó suy ra cách xác định trọng tâm đối với diện tích A
như sau:
-Trọng tâm là giao điểm của hai trục trung tâm của mặt cắt.
- Như vậy, mômen tĩnh đối với trục đi qua trọng tâm là bằng
không.
6
CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
Mômen tĩnh
co
co
xx x
yy y
=+
=+
Gọi C là trọng tâm của tiết diện cần tìm. Qua C dựng hệ
trục tọa độ x
0
Cy
0
song song với hệ trục tọa độ oxy ban đầu
0
0
0
C
C
0
A
dA
M

y
x
X
Y
y
X
Y
C
x
y
x
Ta có được quan hệ sau:
Thay vào công thức tính
mômen tĩnh
()
()
Xco
A
Yco
A
SyydA
SxxdA
=+
=+
∫
∫
Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 4
7
CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG

Mômen tĩnh
()
()
xco c ocxo
AAA
yco c ocyo
AAA
S y ydAy dA ydAyAS
SxydAxdAxdAxAS
=+ = + =+
=+ = + =+
∫∫∫
∫∫∫
Triển khai biểu thức trên:
Vì x
0
và y
0
là trục trung tâm nên
00
xy
S= S 0
=
Từ đó ta có:
xcyc
SyA;SxA==
Tọa độ của điểm C là (x
C
,y
C

) được xác định như sau:
y
x
cc
S
S
y;x
AA
==
8
CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
Mômen tĩnh
Nếu mặt cắt có một trục đối xứng, trọng tâm của tiết diện
sẽ nằm trên trục này vì mômen tỉnh của tiết diện đối với
trục này bằng không. Nếu mặt cắt có hai trục đối xứng,
trọng tâm sẽ nằm ở giao điểm hai trục đối xứng.
xii112y nn
yii112y nn
SAyAyAy Ay
SAxAxAx Ax
==+++
==+++
∑
∑
Trong thực tế, ta hay gặp những mặt cắt ngang có hình
dáng phức tạp được ghép từ nhiều hình đơn giản. Ta có
thể tính mômen tỉnh của hình phức tạp bằng tổng mômen
tĩnh của các hình đơn giản.
Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 5

9
CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
Mômen quán tính
Mômen quán tính của diện tích
A đối với trục x (hay y) là các
biểu thức tích phân sau:
22
xy
AA
IydA;IxdA==
∫∫
- Mômen quán tính có thứ nguyên
là [chiều dài
4
].
- Mômen quán tính luôn mang giá
trị dương.
x
y
y
x
M
dA
A
10
CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
Bán kính quán tính
Một đặc trưng hình học hay được dùng để tính toán kết
cấu đó là bán kính quán tính được xác định như sau:
y

x
xy
I
I
i;i
AA
==
Bán kính quán tính đối với các trục chính được gọi là bán
kính quán tính chính và có thứ nguyên là [chiều dài].
Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 6
11
CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
Mômen quán tính độc cực
Mômen quán tính độc cực của diện tích A đối với góc tọa
độ 0 là biểu thức tích phân sau:
2
p
A
IdA=ρ
∫
Trong đó, ρ là khoảng cách từ
điểm M – tâm của phân tố diện
tích dA đến góc tọa độ 0.
A
dA
M
x
y
y

x
ρ
Từ đó ta có quan hệ:
222
pxy
xy
III
ρ= +
=+
12
CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
Mômen quán tính ly tâm
Mômen quán tính ly tâm của diện tích A đối với hệ trục xoy
là biểu thức tích phân sau:
xy
A
IxydA=
∫
Mômen quán tính ly tâm có thứ
nguyên là [chiều dài
4
]. Và có
giá trị âm, dương hoặc bằng
không.
A
dA
M
x
y
y

x
ρ
Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 7
13
CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
Hệ trục quán tính chính
Hệ trục quán tính chính là hệ trục có mômen quán tính ly
tâm bằng không.
Một hệ trục tọa độ bất kỳ trong đócómột trục nào đólà
trục đối xứng của diện tích A là hệ trục quán tính chính của
mặt cắt đó. Vì mômen quán tính ly tâm của hai nữa diện
tích đối xứng với trục đối xứng có giá trị bằng nhau nhưng
ngược dấu nhau nên mômen quán tính của cả hình bằng
không.
Hệ trục quán tính chính trung tâm là hệ trục quán tính
chính có gốc tọa độ đặt tại trọng tâm của tiết diện.
14
MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH
ĐƠN GiẢN
Hình chữ nhật
Cho hình chữ nhật b x h. Xác định các mômen quán tính I
x
,
I
y
đối với trục đối xứng x và y
Ta có:
Tương tự:
dy

y
dA
y
x
b
h
dA b.dy=
h2
h2
33
22
x
Ah2
h2
b
ybh
I y dA y bdy
312
−
−
⇒= = = =
∫∫
3
y
hb
I
12
=
Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 8

15
MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH
ĐƠN GiẢN
Hình tam giác
Ta có:
y
hy
bb
h
−
=
h
22
xy
A0
hhh
223
x
000
hh
34 3
x
00
IydAybdy
hy b
Iyb dybydy ydy
hh
by by bh
I
34h12

==
−
==−
=−=
∫∫
∫∫∫
y
b
x
y
dA
dy
y
h
b
16
MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH
ĐƠN GiẢN
Hình tròn
Ta có:
dA 2 .d=πρρ
R
R
4
2
p
0
0
44
4

p
2
I2d
4
RD
I0,1D
232
π
ρ
=ρ πρρ=
ππ
==≈
∫
Cho hình tròn bán kính R (D=2R). Xác định mômen quán
tính độc cực I
p
của hình tròn.
ρ
ρ
d
d
A
0
Vì tính chất đối xứng nên:
4
p
4
xy
I
D

II 0,05D
264
π
=== ≈
Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 9
17
MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH
ĐƠN GiẢN
Hình vành khăn
()
4
44 4
p
4
4
p
DdD d
I1
32 32 32 D
D
I1
32
⎛⎞
πππ
⎛⎞
=−= −
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟

⎝⎠
⎝⎠
π
=−η
Coi diện tích hình vành khăn bằng diện tích hình tròn lớn
trừ diện tích hình tròn nhỏ, ta được:
Với:
dD
η
=
0
d
D
() ()
4
p
444
xy
I
D
II 1 0,05D1
264
π
=== −η≈ −η
18
CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Công thức chuyển trục song song
Xxa;Yyb=+ =+
-Biết I
x

, I
y
, I
xy
.
-Tìm I
X
, I
Y
, I
XY
Ta có các liên hệ sau:
()
()
2
2
X
AA
22
X
A
22
X
AAA
I Y dA y b dA
Iy2bybdA
IydA2bydAbdA
==+
=++
=+ +

∫∫
∫
∫∫∫
A
dA
M
y
x
X
Y
y
x
Y
X
0
a
b
Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 10
19
CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Công thức chuyển trục song song
2
Xx x
2
Yy y
XY xy x y
II2bSbA
II2aSaA
I I aS bS abA

=+ +
=+ +
=+ + +
-Vậy ta có:
A
dA
M
y
x
X
Y
y
x
Y
X
0
a
b
Trong đóa, b làtọa độ của
gốc tọa độ ban đầu trong hệ
trục tọa độ mới XOY.
20
CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Công thức chuyển trục song song
xy
SS0==
Trong trường hợp đặc biệt
khi gốc tọa độ ban đầu nằm
tại trọng tâm mặt cắt.
A

dA
M
y
x
X
Y
y
x
Y
X
0
a
b
Ta có các công thức sau:
2
Xx
2
Yy
XY xy
IIbA
IIaA
IIabA
=+
=+
=+
Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 11
21
CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Công thức xoay trục

Xét hệ trục uov xoay
từ hệ trục ban đầu
một góc α
Ta có liên hệ tọa độ:
uxcos ysin
vycos xsin
=α+α
⎧
⎨
=α−α
⎩
-Biết I
x
, I
y
, I
xy
.
-Tìm I
u
, I
v
, I
uv
x
y
u
v
x
.s

i
n
a
y
.
c
o
s
a
x
.c
o
s
a
y
.
s
i
n
a
α
A
dA
M
y
x
v
α
u
22

CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Công thức xoay trục
Thay vào công thức I
u
()
2
u
A
22
22
u
AA A
22
ux y xy
IycosxsindA
Icos ydAsin xdA2sin.cosxydA
IIcos Isin 2Isin.cos
=α−α
=α +α − αα
=α+ α− αα
∫
∫∫ ∫
Sử dụng các công thức lượng giác:
() ()
22
11
cos 1 cos2 ;sin 1 cos2 ;2sin .cos sin 2
22
α= + α α= − α α α= α
Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy

ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 12
23
CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Công thức xoay trục
Triển khai và thu gọn ta được:
xy xy
uxy
xy xy
vxy
xy
uv xy
IIII
Icos2Isin2
22
IIII
Icos2Isin2
22
II
Isin2Icos2
2
+−
=+ α−α
+−
=− α+ α
−
=α+α
24
CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Công thức xoay trục
Các công thức trên có dạng tương tự với công thức ứng

suất trên mặt cắt nghiêng. Nên:
2
xy xy
2
max xy
2
xy xy
2
min xy
II II
II
22
II II
II
22
+−
⎛⎞
=+ +
⎜⎟
⎝⎠
+−
⎛⎞
=− +
⎜⎟
⎝⎠
Với phương quán tính chính:
xy
xy
2I
tg2

II
α=−
−
Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 13
25
VÒNG TRÒN MOHR QUÁN TÍNH
Công thức xoay trục
Về toán học ta nhận thấy có sự tương đồng giữa phương
trình chuyển đổi mômen quán tính và phương trình chuyển
đổi ứng suất.
- I
u
tương đương σ
u
- I
v
với tương đương σ
v
- I
x
tương đương σ
x
- I
y
với tương đương σ
y
- I
xy
với tương đương τ

xy
Vì vậy, nếu dùng một hệ trục tọa độ với trục hoành biểu
diễn I
u
và trục tung biểu diễn I
uv
thì quan hệ giữa I
u
và I
uv
là
tương quan của một vòng tròn gọi là vòng tròn Mohr quán
tính.
26
VÒNG TRÒN MOHR QUÁN TÍNH
Công thức xoay trục
Ở đây, vòng tròn Mohr luôn
nằm ở bên phải trục tung vì
các giá trị I
u
là luôn dương
y
Ι
B
Ι
x
xy
Ι
Ι
min

max
Ι
Ι
uv
A
D
P
FCE
Ι
uv
Ι
u
α
u
Ι
max
Ι
min
Ι
Ι
u
M
G
α
α
1
2
Bài giảng Sức bền vật liệuGV Trần Hữu Huy
ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 14
27

Cách xác định hệ trục QTCTT của một hình phẳng
bất kỳ:
Trong trường hợp tổng quát, khi hình phẳng A không có
trục đối xứng, hệ trục QTCTT được xác định theo trình tự
như sau:
-Chọn hệ trục Oxy bất kỳ ban đầu. Xác định trọng tâm của
hình trong hệ trục này.
- Chuyển trục song song về trọng tâm của hình. Tính các
mômen quán tính đối với hệ trục trung tâm.
- Xoay trục để tìm phương chính đi qua trọng tâm.