phương trình quy về phương trình bậc hai toán lớp 9

TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249
E mail:


-
Trang
1

-


PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Tiết 17: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI KHUYẾT
(CÓ HỆ SỐ b = 0 HOẶC c = 0)

I. Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa:
Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình
bậc hai ) là phương trình có dạng :
2
ax0
bxc
++=

Với x là ẩn, a, b, c là các số cho trước gọi là các hệ
số và
0
a
≠
.

Ví dụ: Các phương trình sau là phương trình bậc hai :
a) 5x
2
- 3x - 2 = 0 có a = 5, b = - 3, c = - 2
b) 7x
2
- 7 = 0 có a = 7, b = 0, c = -7
c) 9x
2
- 9x = 0 có a = 9, b = -9, c = 0
2. Một số ví dụ về giải phương trình bậc hai có hệ số b =
0 hoặc c = 0
* Trường hợp c = 0, phương trình có dạng: ax
2
+ bx = 0
Phương pháp giải: Đặt thừa số chung ñể ñưa về phương trình
tích: A.B = 0
0
0
A
B
=

⇔

=


Ta có: ax
2

+ bx = 0
0
x=0
(+b)=0
ax+b=0
x
xax
b
x
a
=



⇔⇔⇔


=−



Ví dụ 1: Giải phương trình: 4x
2
– 8x = 0

Giải 4x
2
– 8x = 0
⇔
4x( x-2) = 0

⇔
40
20
x
x
=


−=


⇔



=
=
2
0
x
x

Vậy phương trình có hai nghiệm x
1
= 0; x
2
= 2
*Trường hợp b = 0, phương trình có dạng: ax
2
+ c=0

• Nếu a.c > 0 thì phương trình vô nghiệm.
• Nếu a.c < 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt áp
dụng quy tắc chuyển vế và ñưa phương trình về dạng x
2

=
a
c
rồi giải.
Ví dụ 2: Phương trình x
2
+ 2 = 0 vô nghiệm vì a = 1, c = 2;
1.2 = 2 > 0
TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249
E mail:


-
Trang
2

-

Ví dụ 3: Giải phương trình: 5x
2
– 100 = 0
Giải: 5x
2
– 100 = 0
⇔

5x
2
= 100
⇔
x
2
= 20
⇔
x = 52±
Vậy phương trình có hai nghiệm x
1
=
52 ; x
2
= - 52
II. Bài tập áp dụng
Dạng 1: Nhận biết phương trình bậc hai và các hệ số a, b, c
Bài tập 1: Trong các phương trình sau phương trình nào là
phương trình bậc hai ? Xác ñịnh các hệ số a, b, c của
phương trình ñó:
a)4x
3
+ 2x
2
+ 7x - 9 = 0
b) 6x
2
+ 2x - 3 = 4x
2
+ 3

c) 7x
2
+ 2x = 3 + 2x
d)
88222
2
=++− xx
Giải :
a) Phương trình 4x
3
+ 2x
2
+ 7x - 9 = 0 không phải là phương
trình bậc hai
b) Phương trình 6x
2
+ 2x - 3 = 4x
2
+ 3

⇔
6x
2
+ 2x – 3 - 4x
2
- 3
= 0

⇔
2x

2
+ 2x - 6 = 0
Là phương trình bậc hai có a = 2, b = 2, c = - 6
c) Phương trình 7x
2
+ 2x = 3 + 2x

⇔
7x
2
+2x -3 -2x = 0

⇔
7x
2
– 3 = 0
Là phương trình bậc hai có a = 7, b = 0 , c = -3
d) Phương trình
88222
2
=++− xx

⇔
088222
2
=−++− xx

⇔
- 2 2 x
2

+ 2 x = 0
Là phương trình bậc hai có a = -2
2
, b =
2
, c = 0
Dạng 2: Giải phương trình:
Bài tập 2:Giải các phương trình sau:
a) 2x
2
+ 5x = 0, b) 5x
2
- 15 = 0, c) x
2
+ 2010 = 0
Giải
a) 2x
2
+ 5x = 0

⇔
x (2x + 5 ) = 0

⇔




−=
=

2
5
0
x
x

Vậy phương trình có hai nghiệm : x = 0 và x =
5
2
−

b) 5x
2
- 15 = 0
⇔
5x
2
= 15
⇔
x
2
= 3
⇔
x = 3±
Vậy phương trình có hai nghiệm : x =
3 và x = - 3
c) x
2
+ 2010 = 0 Có a = 1, c = 2010, a.c = 2010 > 0.
TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249

E mail:


-
Trang
3

-

Vậy phương trình vô nghiệm.
III. Bài tập ñề nghị
Bài 1: Các phương trình sau ñây ñâu là phương trình bậc
hai, chỉ rõ các hệ số a, b, c của chúng.
a) 2x
2
+ 5x + 1 = 0, b) 2x
2
– 2x = 0
c)
2
3x− = 0, d) 4x + 5 = 0
Giải
a, 2x
2
+ 5x + 1 = 0 là phương trình bậc hai có a = 2, b
= 5, c = 1.
b) 2x
2
– 2x = 0 là phương trình bậc hai có a = 2, b = -2,
c = 0.

c)
2
3x−
= 0 là phương trình bậc hai có a = -
3
, b = 0, c =
0.
d) 4x + 5 = 0 không phải là phương trình bậc hai.
Bài 2: Đưa các phương trình sau về phương trình dạng
2
ax0
bxc
++=
và giải các phương trình ñó:
a) 5x
2
+
x8 =
2(42)
x +
, b)
(
)
868677
2
+−=−+ xxx

Giải
2
2

2
)5882
58820
520
2
5
axxx
xxx
x
x
+=+
⇔+−−=
⇔−=
⇔=±

Vậy phương trình có hai nghiệm
2
5
x = và
2
5
x =−
b,
(
)
868677
2
+−=−+ xxx
()
2

2
2
778686
7786860
780
780
0
0
8
780
7
xxx
xxx
xx
xx
x
x
x
x
⇔+−=−−
⇔+−++=
⇔+=
⇔+=
=

=


⇔⇔



=−
+=




Vậy phương trình có hai nghiệm
0
x
=
và
8
7
x =−


Tiết 18: CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

I. Kiến thức cơ bản
Công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249
E mail:


-
Trang
4

-

Đối với phương trình
2
ax0
bxc
++=
,
0
a
≠
và biệt thức
2
4
bac
∆=−
- Nếu
0
∆<
thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu
0
∆>
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:


1
2
b
x
a

−+∆
=
và
2
2
b
x
a
−−∆
=

- Nếu
0
∆=
thì phương trình có nghiệm kép:

12
2
b
xx
a
==−

Ví dụ: Giải phương trình
2
2510
xx
−+=

Giải

Phương trình
2
2510
xx
−+=
Có a = 2, b = - 5, c = 1

(
)
2
2
454.2.125817
170
bac
∆=−=−−=−=
∆=>

Phương trình có hai nghiệm phân biệt
(
)
1
517
517
22.24
b
x
a
−−+
−+∆+
===

(
)
2
517
517
22.24
b
x
a
−−−
−−∆−
===
Chú ý: Nếu phương trình
2
ax0
bxc
++=
,
0
a
≠
có a và c trái dấu,
tức là a.c < 0 thì
2
40
bac
∆=−>
khi ñó phương trình có hai
nghiệm phân biệt.
II. Bài tập áp dụng

Bài 1: Giải phương trình sau:
2
22210
xx
−+=

Giải
2
22210
xx
−+=
(a = 2, b =
22
− , c = 1)

(
)
2
2
4224.2.14.24.20
bac
∆=−=−−=−=

Vậy phương trình có nghiệm kép:
12
222
22.22
b
xx
a

−
==−=−=

Bài 2: Cho phương trình
(
)
2
240
xmxm
−++=

a) Tìm m biết x = 3 là một nghiệm của phương trình ?
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m?
Giải:
a) Phương pháp: Vì x
0
là một nghiệm của phương trình nên
2
00
ax
bxc
++
phải bằng 0
Vì phương trình nhận x=3 là một nghiệm nên:

(
)
2
2.34.30
183120

26
3
mm
mm
m
m
−++=
⇔−−+=
⇔−=−
⇔=

Vậy với m = 3 phương trình ñã cho nhận x = 3 là một nghiệm.
TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249
E mail:


-
Trang
5

-

b) Để phương trình
2
ax0
bxc
++=
luôn có nghiệm thì
0
∆≥

Ta có:

()
2
2
2
44.2.
8168
16
mm
mmm
m
∆=−+−

=++−
=+

Vì
2
0
m
≥
với mọi m do ñó
2
160
m
∆=+>
với mọi m
Vậy phương trình ñã cho luôn có nghiệm với mọi m.

III. Bài tập ñề nghị
Bài 1: Giải các phương trình sau
(
)
2
2
,212220
12
,20
33
axx
bxx
−−−=
−−=
Bài 2: Tìm m ñể các phương trình sau có nghiệm, tính nghiệm
ñó
(
)
()
2
22
,2120
,243210
amxmxm
bxmxm
+−++=
−++−=

Tiết 19: CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN
I. Kiến thức cơ bản
* Công thức nghiệm thu gọn:
Cho phương trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a
0
≠
) (1) Đặt b
= 2b'.
Ta có:
'
∆
= b’
2
– ac
(1) vô nghiệm <=>
'
∆
< 0.
(1) có nghiệm kép <=>
'
∆
= 0; x
1
= x
2
=
a

b'
−

(1) có hai nghiệm phân biệt <=>
'
∆
> 0
x
1
=
a
b '' ∆+−
; x
2
=
a
b '' ∆−−

(1) có nghiệm <=>
'
∆
≥
0
Ví dụ 1: Giải phương trình sau:
10x
2
+ 6x + 1 = 0 (2)
Giải: Ta có:
∆
' = 3

2
- 10.1 = - 1.

∆
' < 0 => phương trình (2) vô nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình sau:
5x
2
- 6x + 1 = 0 (3)
Giải: Ta có:
∆
' = (-3)
2
- 5.1 = 4 ; 24' ==∆ .
TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249
E mail:


-
Trang
6

-


∆
' > 0 => phương trình (3) có hai nghiệm phân
biệt.
x
1

=
1
5
2)3(
=
+
−
−
; x
2
=
5
1
5
2)3(
=
−
−
−

Ví dụ 3: Giải phương trình sau:
x
2
- 10x + 25 = 0 (4)
Giải: Ta có:
∆
' = (-5)
2
- 1. 25 = 0.

∆
' = 0 => phương trình (4) có nghiệm kép:
x
1
= x
2
=
5
1
)5(
=
−
−
;
II. Bài tập áp dụng:
Bài 1: Xác ñịnh hệ số a, b', c trong các phương trình sau:
a) 12x
2
- 8x + 1 = 0 b) x
2
- 2
3 x - 3 = 0
c)
5 x
2
- 4 ( 3 - 1)x - 2 = 0 d) x
2
- 55 x - 7 = 6
-
53 x

Giải:
a) 12x
2
- 8x + 1 = 0 Ta có: a = 12; b' =
4
2
8
−=
−
; c = 1.
b) x
2
- 2
3
x - 3 = 0 Ta có: a = 1; b' =
3
2
32
−=
−
; c = -3.
c)
5 x
2
- 4 ( 3 - 1)x - 2 = 0
Ta có: a =
5 ; b' =
)31(2)13(2
2
)13(4

−=−−=
−−
;c = -2.
d) x
2
-
55 x - 7 = 6 - 53 x
⇔
x
2
- 55 x + 53 x - 7 - 6 =
0
⇔
x
2
-
52
x - 13 = 0
Ta có: a = 1; b' =
5
2
52
−=
−
; c = -13.
Bài 2: Giải các phương trình sau.
a) -16x
2
- 10x - 1 = 0 (5); b) 2x
2

+ 4x + 1
= 0 ( 6)
c) 2
3 x
2
- 4 ( 3 - 1)x - (2 3 + 4) = 0 (7);
Giải:
a) -16x
2
- 10x - 1 = 0 ( 5) Ta có:
∆
' = (-5)
2
- (-16).(-1)
= 25 - 16 = 9;
39' ==∆ .

∆
' > 0 => phương trình ( 5) có hai nghiệm phân biệt:
x
1
=
2
1
16
8
16
3)5(
−
=

−
=
−
+
−
−
; x
2
=
8
1
16
2
16
3)5(
−
=
−
=
−
−
−
−

b) 4x
2
+ 4x + 1 = 0 ( 6) Ta có:
∆
' = 2
2

- 4 .1 = 0.
∆
' = 0 => phương trình (6) có nghiệm kép: x
1
= x
2

=
2
1
4
2
−
=
−
.
c) 2
3 x
2
- 4 ( 3 - 1)x + (2 3 + 4) = 0 (7)
TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249
E mail:


-
Trang
7

-

Ta có:
∆
' = {2(1 -
3
)}
2
- 2
3
. (2
3
+ 4) = 4 - 4
3
+ 12 -
12 - 8
3
= 4 - 12
3
< 0.

∆
' < 0 => phương trình (7) vô nghiệm.
Chú ý: Giáo viên dạy cần hướng dẫn học sinh biết kiểm tra
kết quả bằng máy tính cầm tay.
Bài 3: Cho phương trình: ( m +1)x
2
+ 4mx + 4m - 1 = 0 (8).
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Với giá trị nào của m thì phương trình (8) có hai
nghiệm phân biệt?
Giải:

a) Với m = 1 thì phương trình (8) trở thành: 2x
2
+ 4x + 3 =
0. (8’)
2
'22.320
∆=−=−<⇒
phương trình (8’) vô nghiệm.
b) Phương trình (8) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

∆
' > 0
⇔
(2m)
2
- (m + 1)(4m - 1) > 0
⇔
4m
2
- 4m
2
+ m
- 4m + 1 > 0
⇔
3m < 1
⇔
m <
3
1
.

Bài 4: Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm
kép?
5x
2
+ 2mx - 2m + 15 = 0 (9)
Giải:
Phương trình (9) có nghiệm kép khi và chỉ khi:

∆
' = 0
⇔
m
2
- 5. ( 15 - 2m) = 0

⇔
m
2
+ 10m - 75 = 0

⇔
∆
'
m
= 5
2
- 1.(-75) = 100 => 10' =∆

⇔
m

1
= 5
1
105
=
+
−
; m
2
= 15
1
105
−=
−
−
.
Vậy m =5 hoặc m = -15 thì phương trình (9) có nghiệm
kép.
III. Bài tập ñề nghị:
Bài 1: Xác ñịnh hệ số a, b', c trong mỗi phương trình, rồi
giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn:
a) -x
2
- 6(
)23 −
x + 2-
3
= 0; b) - 5x
2
-

(2
)23 −
x +
3 - 1 = 0;
c) -x
2
- 8(
)23 −
x + 3-
5 = (2
)43 −
x; d) x
2
+ (
)47−
x +
7 - 1 = (
)74 −
x.

Bài 2: Giải các phương trình sau.
a) - x
2
- 4x + 5 = 0 (6); b) 25x
2
- 16 = 0 (7)

Giải:
a) - x
2

- 4x + 5 = 0 (6) Ta có:
∆
' = (-2)
2
- (-1).5 = 4 +
5 = 9; 39' ==∆ .
TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249
E mail:


-
Trang
8

-


∆
' > 0 => phương trình (6) có hai nghiệm phân biệt:
x
1
=
5
1
5
1
3)2(
−=
−
=

−
+
−
−
; x
2
=
1
1
1
1
3)2(
=
−
−
=
−
−
−
−

b) 25x
2
- 16 = 0; (7) Ta có:
∆
' = 0
2
- 25.(-16) = 400 > 0.
Vậy phương trình (7) có hai nghiệm: x
1

=
5
4
25
200
=
+
; x
2
=
5
4
25
200
−
=
−
.
Bài 3:
Tìm ñiều kiện của m ñể phương trình mx
2
- 4(m - 1)x - 8
= 0 (12) có nghiệm kép.
Giải:
Phương trình (12) có nghiệm kép khi và chỉ khi:

∆
' = 0
⇔
{-2(m - 1)}

2
- m.(-8) = 0

⇔
4m
2
- 8m + 4 + 8m = 0

⇔
4m
2
+ 4 = 0 ñiều này vô lý vì: 4m
2
+ 4 > 0
Vậy phương trình (12) không có nghiệm kép với mọi m
∈
R.

Tiết 20: HỆ THỨC VI-Ðt
I. Kiến thức cơ bản:
* Định lý Vi-ét:
Nếu x
1
và x
2
là hai nghiệm (nghiệm kép hoặc hai nghiệm
phân biệt) của phương trình:
ax
2
+ bx + c = 0 ( a

≠
0) thì:







=
−=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21

Ví dụ1: Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các
nghiệm (nếu có) của các phương trình sau:
a) 4x
2
+ 2 x - 5 = 0, b) 9x
2
- 12x + 4 = 0
Giải:
a) 4x
2

+ 2 x - 5 = 0 (a = 4; b = 2; c = -5)
Do a, c trái dấu PT chắc chắn có hai nghiệm phân biệt,
gọi x
1
, x
2
là nghiệm của PT ñã cho, theo ñịnh lý Vi-ét ta
có:
TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249
E mail:


-
Trang
9

-

x
1
+ x
2
=
2
1
4
2
a
b
−=

−
=
−

x
1
. x
2
=
4
5
a
c
−=

b) 9x
2
- 12x + 4 = 0 (a = 9; b = -12; c = 4)
Có
0
36
36
'
=
−
=
∆
=> PT có nghiệm kép x
1
= x

2

x
1
+ x
2
=
3
4
9
12
=

x
1
. x
2
=
9
4

Ví dụ 2: Dùng hệ thức Vi-ét tính nhẩm các nghiệm của phương
trình:
x
2
– 7x + 12 = 0 (a = 1; b = -7; c = 12)
Giải:
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
12
12

7
7
1
12
.12
1
xx
xx
−

+=−=




==



Suy ra x
1
= 4; x
2
= 3 hoặc x
1
= 3; x
2
= 4
* Trường hợp ñặc biệt:
- Nếu phương trình ax

2
+ bx + c = 0 ( a
≠
0)
có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x
1
=
1, còn nghiệm kia là x
2
=
a
c

- Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a
≠
0)
có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x
1
=-
1, còn nghiệm kia là x
2
= -
a
c

Ví dụ 3: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) 2x
2

– 5x + 3 = 0; b) x
2
- 49x - 50 = 0.
Giải:
a) 2x
2
– 5x + 3 = 0 (a = 2; b = -5; c = 3)
TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249
E mail:


-
Trang
10

-

Vì a + b + c = 2 + (-5) + 3 = 0 nên PT có nghiệm x
1
= 1
và x
2
=
a
c
=
2
3

b) x

2
- 49x - 50 = 0 (a = 1; b = -49; c = -50)
Vì a - b + c = 1 – (-49) + (-50) = 1 + 49 – 50 = 0
Nên PT có nghiệm x
1
= - 1 và x
2
= -
a
c
=
1
50
= 50
II. Bài tập áp dụng:
Bài 1: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau :
a) x
2
+ 7x + 12 = 0; b) x
2
+ 3x - 10 = 0.
Giải:
a) x
2
+ 7x + 12 = 0 (a = 1; b = 7; c = 12)
Ta có:
2
74.1210
∆=−=>⇒
phương trình có hai nghiệm phân

biệt. Theo hệ thức Vi-ét ta có:
x
1
+ x
2
= -7 ;

x
1
.x
2
= 12 => x
1
= - 4; x
2
= -3 hoặc
x
1
= - 3; x
2
= -4
b) x
2
+ 3x - 10 = 0 (a = 1; b = 3; c = -10). Do a, c trái
dấu PT chắc chắn có hai nghiệm phân biệt. Theo hệ thức Vi-
ét ta có:
x
1
+ x
2

=

-3 ; x
1
.x
2
= -1 0 => x
1
= - 5; x
2
= 2 hoặc
x
1
= 2; x
2
= -5
Bài 2: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) 7x
2
- 9x + 2 = 0; b) 23x
2
- 9x - 32 = 0.
Giải
a) 7x
2
- 9x + 2 = 0 (a = 7; b = -9; c = 2)
Vì a + b + c = 7 + (-9) + 2 = 0 nên PT có nghiệm x
1
= 1 và
x

2
=
a
c
=
7
2

b) 23x
2
- 9x - 32 = 0 (a = 23; b = -9; c = -32)
Vì a - b + c = 23 – (-9) + (-32) = 23 + 9 – 32 = 0
Nên PT có nghiệm x
1
= - 1 và x
2
= -
a
c
=
23
32
23
32
=
−
−

Bài 3: Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét hãy tính
tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các phương trình sau:

TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249
E mail:


-
Trang
11

-

a) 2x
2
– 7x + 2 = 0; b) 5x
2
+ x + 2 = 0; c) 16x
2
- 8x
+ 1 = 0
Giải:
a) 2x
2
– 7x + 2 = 0 (a = 2; b = -7; c = 2)
∆
= b
2
- 4ac =
(-7)
2
– 4.2.2 = 33 >0
=> x

1
+ x
2
=
2
7
2
)7(
=
−
−
=
−
a
b
; x
1
.x
2
=
1=
a
c

b) 5x
2
+ x + 2 = 0 (a = 5; b = 1; c = 2)
∆
= b
2

- 4ac =
1
2
– 4.5.2 = - 39 < 0
Vậy phương trình vô nghiệm => không tồn tại x
1
+ x
2

và x
1
.x
2

c) 16x
2
- 8x + 1 = 0 (a = 16; b = -8; c = 1)
∆
= b
2
- 4ac =
(-8)
2
– 4.16.1 = 0
=> x
1
+ x
2
=
2

1
16
)8(
=
−
−
=
−
a
b
, x
1
.x
2
=
16
1
=
a
c

III. Bài tập ñề nghị:
Bài 1: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) x
2
- 10x + 21 = 0; b) x
2
+ x - 12 = 0
c) x
2

+ 7x + 12 = 0 d) x
2
- 2x + m= 0
Hướng dẫn: Xác ñịnh a = ?; b = ?; c = ? . Theo hệ thức Vi-
ét ta tính:
x
1
+ x
2
= ? ;

x
1
.x
2
= ? => x
1
=?; x
2
= ?
Bài 2: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) x
2
- 6x + 5 = 0; b) 4x
2
- 3x - 7 = 0
c) - 3x
2
+ 12x + 15 = 0; d) 1,2x
2

+ 1,6 x – 2,8 =
0
Hướng dẫn: Xác ñịnh a = ?; b = ?; c = ?
Tính a + b + c = ? nếu a + b + c = 0 => x
1
= 1, x
2
=
a
c

Hoặc a – b + c = ? nếu a - b + c = 0 => x
1
= -1,
x
2
= -
a
c

Bài 3: Biết x
1
là nghiệm của phương trình, tìm x
2
?
TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249
E mail:


-

Trang
12

-

a) x
2
+ 2x – 35 = 0 ; x
1
= 2; b) x
2
- 7x – 144 = 0 ;
x
1
= - 9
Hướng dẫn: Xác ñịnh a = ?; b = ?; c = ?
Theo hệ thức Vi-ét x
1
.x
2
=
a
c
=> x
2
=
1
x
a
c

= ?

Hoặc theo hệ thức Vi-ét x
1
+ x
2
=
a
b
−
=> x
2
=
a
b
−
-
x
1
= ?
Tiết 21: ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT GIẢI BÀI TOÁN
TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH

I. Tóm tắt kiến thức cơ bản :
Nếu hai số u và v có tổng là S và có tích là P thì ta
tìm u và v theo các bước sau:
Bước 1: Điều kiện ñể tồn tại hai số u và v là S
2
– 4P
≥

0.
Bước 2: Giải phương trình x
2
- Sx + P= 0
Tính
∆
= S
2
- 4P
x
1
=
2
∆−− S

x
2
=
2
∆+− S

.
Bước 3: Hai số cần tìm là x
1
, x
2
Ví dụ 1: Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = 3 và
tích là P = 2.
Giải
Bước 1: S

2
- 4P = 3
2
- 4.2 = 9 – 8 = 1>0 => tồn tại hai số.
Bước 2: Gọi hai số cần tìm là u và v và nó là nghiệm của
phương trình:
x
2
- 3x + 2 = 0. Ta có:
∆
= S
2
- 4P = 3
2
- 4.2 = 9 – 8 = 1
x
1
=
2
1)3(
−
−
−
=1; x
2
=
2
1)3(
+
−

−
= 2
Bước 3 :Vậy hai số cần tìm là 1 và 2.

Ví dụ 2: Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = 4 và
tích là P = 5.
Giải
S
2
- 4P = 4
2
- 4.5= 16 – 20 = - 4 < 0 => không tồn tại
hai số.
II. Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm hai số u và v trong các trường hợp sau:
TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249
E mail:


-
Trang
13

-

a) u + v = 1, uv = -6; b) u + v = -5, uv = 6 c) u + v =
2, uv = 2
Giải:
a) Ta có: S
2

- 4P = 1
2
- 4.(-6) = 25 > 0 => tồn tại hai số.
Gọi hai số cần tìm là u và v, u và v là nghiệm của phương
trình:
x
2
- x - 6 = 0. Ta có:
∆
= S
2
- 4P = (-1)
2
- 4.1.(-6) = 25;
x
1
=
15
3
2
+
=
; x
2
=
15
2
2
−
=−

Vậy hai số cần tìm là 3 và -2.
b) Ta có: S
2
- 4P = (-5)
2
- 4.6 = 1>0 => tồn tại hai số.
Gọi hai số cần tìm là u và v, u và v là nghiệm của phương
trình:
x
2
+ 5x + 6 = 0.
Ta có:
∆
= S
2
- 4P = 5
2
- 4.1.6 = 1;
x
1
=
51
2
2
−+
=−
; x
2
=

51
3
2
−−
=−

Vậy hai số cần tìm là -2 và -3.
c) Ta có: S
2
- 4P = 2
2
- 4.2 = -4 < 0 => không tồn tại hai
số u và v.
III. Bài tập ñề nghị:
Bài tập 1:
a) Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = 32 và tích là
P = 231.
b) Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = -8 và tích là
P = -105.
c) Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = 2 và tích là P
= 9.
Hướng dẫn:
a) Tìm ñiều kiện ñể hai số tồn tại S
2
- 4P = 32
2
– 4.231=…
Tính
∆
=……… x

1
= …… x
2
=……
Vậy hai số cần tìm là……….
b) Tìm ñiêu kiện ñể hai số tồn tại S
2
- 4P = (-8)
2
– 4.(-
105)=…
Tính
∆
=……… x
1
= …… x
2
=……
Vậy hai số cần tìm là……….
c) Tìm ñiêu kiện ñể hai số tồn tại S
2
- 4P = 2
2
– 4.9 =…
Vậy có tồn tại hai số không ?………


Tiết 22: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH

I. Kiến thức cơ bản.

TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249
E mail:


-
Trang
14

-

- Phân số có dạng
b
a
trong ñó a, b
∈
N và b
≠
0.
Ví dụ:
5
1
;
3
14
; 8 là các phân số.
- Phân thức ñại số là biểu thức dạng
)(
)(
xB
xA

, trong ñó A,B là
những ña thức và B(x)
≠
0.
Ví dụ :
x
3
;
yx
xyx
−
− 2
2
;
xyz
ba
7
5
2
là các phân thức.
- Điều kiện xác ñịnh (ĐKXĐ) của một phân thức là tập các
giá trị của biến làm cho mẫu thức khác 0.
- Phân thức
)(
)(
xB
xA
có ĐKXĐ là tập các giá trị của x sao cho
B(x)
≠

0.
- ĐKXĐ của một phương trình là tập các giá trị của biến làm
cho tất cả các mẫu trong phương trình ñều khác 0.
Ví dụ 1: Tìm ñiều kiện xác ñịnh của phân thức:
a)
5
2
−
x
x
b)
916
23
2
2
−
−
y
y

Giải:
a) Phân thức
5
2
−
x
x
có nghĩa khi x - 5 0
≠
hay x 5

≠


b) Phân thức
916
23
2
2
−
−
y
y
có nghĩa khi 16 y
2
- 9
0
≠

hay ( 4y + 3) (4y – 3) 0
≠

Suy ra y
≠
4
3
±
Ví dụ 2: Tìm ñiều kiện xác ñịnh của mỗi phương trình sau:
a)
1
4

1
+
+
=
−
x
x
x
x
b)
x
x
x
x
−
−
−
=
−
2
12
2
3

Giải:
a) Ta thấy x - 1
0
≠
khi x
1

≠
và x + 1
0
≠
khi x
≠
-1. Vậy
ĐKXĐ của phương trình
1
4
1
+
+
=
−
x
x
x
x
là x
1
±
≠
.
b) Vì x- 2
0
≠

⇔
x

≠
2 nên ĐKXĐ của phương trình
x
x
x
x
−
−
−
=
−
2
12
2
3

là x
2
≠

II. Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm ñiều kiện xác ñịnh của phân thức.
TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249
E mail:


-
Trang
15

-

a)
1
3
13
+
−
a
a
( ĐKXĐ của phân thức
1
3
13
+
−
a
a
là 3a + 1
0
≠
 a
≠
-
3
1
)
b)
18
6

27
+
+
x
x
( Phân thức
18
6
27
+
+
x
x
xác ñịnh khi 6x + 18
0
≠
hay x
≠
-
3)

Bài 2: Tìm ñiều kiện xác ñịnh của mỗi phương trình sau:
a)
3
2
16
7
23
−
+

=
+
−
x
x
x
x

ĐKXĐ:



≠−
≠+
032
07
x
x





≠
−≠
⇔
2
3
7
x

x

b)
1
4
1
1
1
1
2
−
=
+
−
−
−
+
x
x
x
x
x

ĐKXĐ:





≠−

≠+
≠−
01
01
01
2
x
x
x

⇔





±≠
−≠
≠
1
1
1
x
x
x
x
1
±
≠

c)
x
x
−
−=
−
3
1
1
9
14
2

ĐKXĐ:



≠−
≠−
03
09
2
x
x
⇔
3
03
03
03
03

0)3)(3(
±≠<=>





≠−
≠+
≠−
<=>



≠−
≠+−
x
x
x
x
x
xx

III. Bài tập ñề nghị
Bài 1: Tìm ñiều kiện xác ñịnh của phân thức
a)
x
x 32
−
b)

1
15
−
+
x
x
c)
)2)(1(
63
4
−−
+−
xx
xx


Bài 2: Tìm ñiều kiện xác ñịnh của mỗi phương trình sau:
a)
3
5
52
=
+
−
x
x
b)
2
36
2

+=
−
x
x
x

c)
1
1
12
=
−
x
d) 3
1
30
3
16
=
−
+
−
x
x

Hướng dẫn:
Bài 1 :
a) x 0
≠

b) x
≠
1,
c) Ta có: (x - 1)(x - 2) ≠ 0  x – 1 ≠ 0 và x – 2
≠
0
Vậy với ñiều kiện x ≠ 1 và x
≠
2 thì M xác ñịnh.
Bài 2:
a) ĐKXĐ: x
≠
-5 b) ĐKXĐ: x
≠
0
TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249
E mail:


-
Trang
16

-

c) ĐKXĐ: x
1
±
≠
d) ĐKXĐ: x

,3
≠
x
≠
1

Tiết 23: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU
I. Kiến thức cơ bản:
1. Một số kiến thức liên quan:
- Quy tắc chuyển vế;
- Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình
bậc hai một ẩn;
- Cách giải phương trình tích;
- Cách tìm ñiều kiện xác ñịnh của phương trình.
2. Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:
+ Bước 1: Tìm ñiều kiện xác ñịnh của phương trình;
+ Bước 2: Quy ñồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức;
+ Bước 3: Giải phương trình vừa nhận ñược;
+ Bước 4: Trong các giá trị tìm ñược của ẩn, loại các
giá trị không thỏa mãn ñiều kiện xác ñịnh, các giá trị thỏa
mãn ñiều kiện xác ñịnh là nghiệm của phương trình ñã cho.
3. Các dạng phương trình chứa ẩn ở mẫu:
Dạng 1: Phương trình ñưa ñược về dạng phương trình bậc nhất
một ẩn:
ax + b = 0 ( a 0
≠
)
⇔
x = -
a

b

Ví dụ: Giải phương trình:

2
4
8
=
+
−
x
x

(1)
Giải: Điều kiện xác ñịnh của phương trình (1) là: x + 4
≠
0
⇔
x
≠
-4
Quy ñồng mẫu thức ở hai vế ta ñược:
x - 8 = 2(x + 4)

⇔
x - 8 = 2x + 8

⇔
x - 2x = 8 + 8

⇔
-x = 16

⇔
x = -16 ( Thoả mãn
ĐKXĐ)
Vậy: x = -16 là nghiệm của phương trình ñã cho.
Dạng 2: Phương trình ñưa ñược về dạng phương trình bậc hai
một ẩn: ax
2
+ bx + c = 0 (a 0
≠
)

∆
= b
2
- 4ac
+
∆
> 0 : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
+
∆
< 0: Phương trình vô nghiệm
+
∆
= 0: Phương trình có nghiệm kép
TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249
E mail:

-
Trang
17

-

Ví dụ: Giải phương trình:
2
2
361
93
xx
xx
−+
=
−−

Giải: Điều kiện
3
x
≠±

Quy ñồng mẫu thức ở hai vế ta ñược:
2
2
2
363
3630
430

xxx
xxx
xx
−+=+
⇔−+−−=
⇔−+=

Giải ra ta có
1
1
x
=
(thỏa mãn ñiều kiện)

2
3
x
=
(không thỏa mãn ñiều kiện)
Vậy phương trình có một nghiệm là
1
x
=

II. Bài tập áp dụng:
Bài 1: Giải phương trình:
4
1
2
=

−
+
x
x
(1)
Giải: Điều kiện xác ñịnh của phương trình (1) là: x - 1
≠
0
⇔

x
1
≠

Quy ñồng, khử mẫu hai vế ta ñược:
x + 2 = 4(x – 1)

⇔
x + 2 = 4x - 4

⇔
x - 4x = -4 - 2

⇔
- 3x = -6

⇔
x = 2 ( Thoả mãn
ĐKXĐ)
Vậy: x = 2 là nghiệm của phương trình ñã cho.

Bài 2: Giải phương trình:
12
2
3
2
−=
+
−
x
x

Giải: Điều kiện xác ñịnh của phương trình là: x
≠
3
2
−

Quy ñồng mẫu thức ở hai vế ta ñược:
- 2 = ( 2x - 1)( 3x + 2)

⇔
-2 = 6x
2
+ 4x – 3x - 2

⇔
6x
2
+ x = 0

⇔
x( 6x + 1) = 0

⇔
x = 0 ( thoả mãn ĐKXĐ)
hoặc x =
6
1
−
( Thoả mãn ĐKXĐ)
Vậy: Phương trình ñã cho có 2 nghiệm:
0
1
=
x
;
2
x
=
6
1
−

Bài 3: Giải phương trình:
TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249
E mail:


-
Trang

18

-

x
x
−
−=
−
3
1
1
9
14
2

Giải
x
x
−
−=
−
3
1
1
9
14
2
⇔
3

1
1
9
14
2
−
+=
−
x
x

Điều kiện xác ñịnh: x
3
≠
; x
3
−
≠

Quy ñồng mẫu thức ở hai vế ta ñược:
4 = x
2
– 9 + x +3
⇔
x
2
+ x - 20 = 0

∆
= 81 > 0; ∆ = 9.

⇒
x
1
= 4 ( thoả mãn ĐKXĐ)
x
2
= -5 ( thoả mãn ĐKXĐ)
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x
1
= 4; x
2
= - 5
III. Bài tập ñề nghị:
Bài 1: Giải phương trình:
5
3
1
2
32
+
−
=
−
+
x
x
x
x

Hướng dẫn:
- Tìm ĐKXĐ: 2x – 1
0
≠

x + 5
0
≠

- Quy ñồng mẫu và khử mẫu ñưa phương trình về dạng ax =
-b
⇒
x = ?
( ñối chiếu ĐKXĐ) rồi kết luận nghiệm của phương
trình.
Bài 2: Giải phương trình:
2
3
3
2
1
−
+
=−
+
x
x
x

Hướng dẫn:

- Tìm ĐKXĐ.
- Quy ñồng mẫu và khử mẫu, ñưa phương trình về dạng ax
2
+ bx + c = 0
- Giải phương trình;
- Đối chiếu giá trị tìm ñược của x với ĐKXĐ. Có nhận
xét gì về nghiệm của phương trình ñã cho.


Tiết 24: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG

I. Kiến thức cơ bản.
1. Khái niệm:
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng
42
0 (0).
axbxca
++=≠

Ví dụ:
42
42
13360 (1,13,36)
90 (1,9,0)
xxabc
xxabc
−+===−=
−===−=

TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249

E mail:


-
Trang
19

-

2. Cách giải (Bằng cách ñặt ẩn số phụ):
- Đặt x
2
= t. Điều kiện
0
t
≥
, ta ñược phương trình bậc hai
ñối với t:

2
0 .
atbtc
++=

- Giải phương trình này ñể tìm t (chỉ nhận những giá trị
0
t
≥
). Sau ñó tìm
xt

=±
.
Ví dụ: Giải phương trình:
01109
24
=+− xx
(1)
Giải:
- Đặt
2
xt
=
. Điều kiện:
0
t
≥
. Ta ñược một phương trình bậc
hai ñối với ẩn t:
2
91010
tt
−+=
(2)
- Giải phương trình (2):
Ta có: 9 + (-10) + 1 = 0
9
1
;1
21
==⇒ tt

Cả hai giá trị
12
1
1;
9
tt
==
ñều thỏa mãn ñiều kiện
0
t
≥

* Với t = t
1
= 1 ta cóx
2
= 1
12
1,1
xx
⇒=−=

* Với t =
9
1
2
=t ta có
2
34
111

,
933
xxx
=⇒=−=

Vậy phương trình (1) có bốn nghiệm:

1234
11
1;1;;
33
xxxx
=−==−=

II. Bài tập áp dụng:
Bài 1: Giải phương trình:
0,3x
4
+ 1,8x
2
+ 1,5 = 0 (3)
Giải:
Đặt
2
xt
=
. Điều kiện:
0
t
≥

. Ta ñược một phương trình bậc hai
ñối với ẩn t:
0,3t
2
+ 1,8t

+ 1,5 = 0 (4)
- Giải phương trình (4):
Ta có: 0,3 - 1,8 + 1,5 = 0
12
1;5
tt
⇒=−=−

Cả hai giá trị
12
1;5
tt
=−=−
ñều không thỏa mãn ñiều kiện
0
t
≥

Vậy phương trình (3) vô nghiệm.
Chú ý : Có thể giải bài toán trên bằng cách ñưa ra nhận
xét:
Vế trái 0,3x
4
+ 1,8x

2
+ 1,5
≥
1,5, còn vế phải bằng 0.
Vậy phương trình (3) vô nghiệm.
Bài 2: Giải phương trình:
422
521610
xxx
+−=−
(5)
Giải:
422
42
521610
53260
xxx
xx
+−=−
⇔+−=

TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249
E mail:


-
Trang
20

-

- Đặt
2
xt
=
. Điều kiện:
0
t
≥
.
Ta ñược một phương trình bậc hai ñối với ẩn t:
2
53260
tt
+−=

(6)
- Giải phương trình (6):
Ta có:
2
34.5.(26)529;52923
∆=−−=∆==
12
323323
2;2,6
2.52.5
tt
−+−−
⇒===−=−
Giá trị t

1
= 2 thỏa mãn ñiều kiện
0
t
≥

Giá trị t
2
= -2 không thỏa mãn ñiều kiện
0
t
≥

* Với t = t
1
= 2, ta có x
2
= 2
12
2, 2
xx⇒=−=.
Vậy phương trình (5) có hai nghiệm:
12
2, 2
xx=−=
III. Bài tập ñề nghị:
Bài 1: Giải phương trình:
0143
24
=++ xx

(1)
Giải:
- Đặt
2
xt
=
. Điều kiện:
0
t
≥
.
Ta ñược một phương trình bậc hai ñối với ẩn t:
2
3410
tt
++=

(2)
- Giải phương trình (2): Ta có: 3 – 4 + 1=0
3
1
;1
21
−=−=⇒ tt
Cả hai giá trị
12
1
1;
3
tt

=−=−
ñều không thỏa mãn ñiều kiện.
0
t
≥

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.
Bài 2: Giải phương trình:
42
540
xx
−+=
(3)
Giải:
- Đặt
2
xt
=
. Điều kiện:
0
t
≥
.
Ta ñược một phương trình bậc hai ñối với ẩn t:
2
540
tt
−+=

(4)

- Giải phương trình (4): Ta có: 1+(-5)+4=0
12
1;4
tt
⇒==

Cả hai giá trị
12
1;4
tt
==
ñều thỏa mãn ñiều kiện
0
t
≥

* Với t = t
1
= 1 ta cóx
2
=1
12
1,1
xx
⇒=−=

* Với t =
2
4
t

=
ta có
2
34
42,2
xxx
=⇒=−=

Vậy phương trình (3) có bốn nghiệm:
1234
1;1;2;2
xxxx
=−==−=

Bài 3: Giải phương trình:
2x
4
+ 5x
2
– 1 = 0 (5)
- Đặt
2
xt
=
. Điều kiện:
0
t
≥
.
Ta ñược một phương trình bậc hai ñối với ẩn t: 2t

2
+ 5t – 1
= 0 (6)
- Giải phương trình (6):
TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249
E mail:


-
Trang
21

-

Ta có:
2
12
54.2.(1)25833;
533533
,
44
tt
∆=−−=+=
−+−−
==

Giá trị
1
533
4

t
−+
=
thỏa mãn ñiều kiện
0
t
≥

Giá trị
2
533
4
t
−−
= không thỏa mãn ñiều kiện
0
t
≥

*Với t =
1
533
4
t
−+
=
, ta có x
2
=
12

533533533
,
422
xx
−+−+−+
⇒==−

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm:
12
533533
,
22
xx
−+−+
==−



Tiết 25: Kiểm tra
Đề số 1
Bài 1 : Giải phương trình:
a)
022
2
=+− x b) 2x
4
- 7x
2
- 4 = 0
c) 1

1
1
2
−=
+
−
x
x
d) 4
3
5
2
4
31
=
+
−−+
−
x
x
x

e)
5−x = 3
Bài 2: Cho phương trình: x
2
+ 4(m - 1)x – 4m +10 = 0.
a) Tìm m ñể phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm m ñể phương trình có nghiệm kép.
Bài 3: Cho phương trình x

2
- 6x – 16 = 0. Biết x
1
= -2 là
một nghiệm của phương trình. Tìm x
2
?

Đề số 2
Bài 1 : Giải phương trình:
a) 8x
2
– 7 = 0 b)
42
31030
xx
++=

c)
5
3
6
2
4
=
−
−
+
x
x

d) x – ( 2x + 3x) - 19
= 3
e) 1−x = 2
Bài 2: Cho phương trình: x
2
– 6x + m + 5 = 0.
a) Giải phương trình với m = 3.
b) Tìm m ñể phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 3: Cho phương trình 4x
2
+ 4x + 1 = 0. Biết x
1
= -0,5 là
một nghiệm của phương trình. Tìm x
2
?


TT iŸo vi˚n & Gi s i TP Hu - T: 2207027 989 249
E mail:


-
Trang
22

-