SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM dạy học “GIẢI bài tập TOÁN”

Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DẠY HỌC
“GIẢI BÀI TẬP TOÁN”
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Q
ua quá trình học toán, rồi dạy toán tôi đã cảm nhận ở học sinh và học sinh
của mình nhiều khi rất vất vả trong việc giải toán. Nhiều em học sinh đã rất
khổ tâm khi không giải được những bài toán mà thầy cô cho về nhà, nhất là
những bài toán trong các kì thi, kiểm tra vì thời gian có hạn.Tự kiểm điểm
thấy những em đó đã cố gắng học toán và nắm chắc kiến thức và cũng đã
“xoay” đủ mọi cách nhưng cuối cùng vẫ bế tắc không tìm ra lời giải. Khi
được xem lời giải của sách giáo khoa hoặc thầy cô giáo thì các em cảm thấy
rất tiếc vì bài toán không phải là khó.Về nguyên tắc thì các kiến thức cần
vận dụng đều là kiến thức cơ bản đôi khi bài toán rất đơn giản ngoài sức
tưởng tượng của các em. Nguyên nhân của sự bế tắc đó là người giải toán
chưa có kinh nghiệm phân tích suy nghĩ tìm lời giải bài toán. Như vậy thuộc
lý thuyết hoàn toàn chưa đủ mà phải vận dụng các kiến thức đó như thế nào
để có hiệu quả.Vì vậy người “ giải toán” cần nắm được phương pháp chung
tìm lời giải bài toán. Biết vận dụng linh hoạt phương pháp đó. Rồi mỗi bài
toán lại có cách giải riêng muôn hình muôn vẻ. Thời gian học thì hạn chế
nên người học toán cần phải biết rèn luyện phương pháp suy nghĩ đúng đắn
và biết đúc rút ra kinh nghiệm. Sau đây tôi xin nêu một vài kinh nghiệm dạy
học: “ Giải bài tập toán ”.
Thật ra kinh nghiệm giải toán vô cùng phong phú song trong phạm vi nhỏ
hẹp tôi chỉ xin nêu ra một số khía cạnh:
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 1 -
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
 Cách học, ghi nhớ, vận dụng kiến thức cơ bản

 Có phương pháp tìm lời giải bài toán
 Rèn luyện óc phân tích bài toán
 Biết nắm đặc thù bài toán
Những vấn đề này nêu ra thật hiển nhiên, song vận dụng vào từng bài
thì không phải là dễ.
Tôi có dùng ví dụ minh hoạ và thực nghiệm giảng dạy. Chắc rằng
không tránh khỏi khiếm khuyết rất mong được sự góp ý của đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 2 -
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
A. NỘI DUNG CỤ THỂ
I , CÁCH HỌC, GHI NHỚ, VẬN DỤNG KIẾN CƠ BẢN NHƯ THẾ NÀO
Theo tôi vấn đề này cũng rất quan trọng làm bước đệm làm nền cho
việc giải toán. Bởi vì nếu “ người học toán ” không nắm được lý thuyết cơ
bản, không biết vận dụng kiến thức đó như thế nào thì “người thầy” có thể
“xoay ” các phương pháp khác nhau mà “trò” vẫn không hiểu bài. Do đó
yêu cầu rất cần thiết đối với “người học toán” là “ nắm chắc kiến thức cơ
bản”. Vấn đề đặt ra là “ dạy ” và “ học ” như thế nào? Theo tôi:
1, * Khi dạy định nghĩa, khái niệm, định lý … áp dụng tốt phương pháp
bộ môn. Chẳng hạn khi dạy khái niệm toán học thì lưu ý các bưới hình
thành khái niệm:
Bước 1: Hình thành biểu tượng về khái niệm
Bước 2: Khám phá dấu hiệu bản chất của khái niệm
Bước 3: Khái quát hoá: Phát biểu định nghĩa, khái niệm
Bước 4: Củng cố khái niệm gồm:
- Hình ảnh để minh hoạ cho khái niệm
- Các hình thức biểu hiện
Ví dụ khi dạy khái niệm: “ Hình chữ nhật” ta giới thiệu mô hình vật xung

quanh có dạng hình chữ nhật
* Khi dạy về định lý cần nắm vững 4 bước:
Bước 1: Hình thành biểu tượng < khái niệm phải chứng minh >
Bước 2: Khái niệm được chứng minh được giới thiệu rõ ràng có hệ thống
dưới dạng giả thiết, kết luận.
Bước 3: Dùng phân tích đi lên để tìm đường lối chứng minh
Bước 4: Sử dụng các phương pháp chứng minh và quy tắc suy luận để
chứng minh.
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 3 -
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
* Khi dạy học giải bài tập toán (4 bước)
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Bước 2: Xây dựng chương trình giải toán
Bước 3: Thực hiện chương trình
Bước 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải gồm:
- Kiểm tra các bước giải
- Khai thác các cách giải dẫn đến bài toán mới
- Đặc biệt hoá, khái quát hoá
Nếu như giáo viên áp dụng tốt các phương pháp này một cách sáng tạo
và phù hợp với từng đối tượng học sinh thì sẽ thu được hiệu quả cao.
2, Để khắc sâu định nghĩa khái niệm, định lý, ta cần lưu ý:
- Đơn giản hoá khái niệm, định nghĩa, định lý để học sinh hiểu
bản chất.
- Hướng dẫn học sinh cách nhớ qua từng khái niệm, từng bài
( nhớ dạng tổng quát phát biểu thành lời )
- Dùng minh hoạ hình ảnh, liên hệ thực tế sinh động.
Tôi xin nêu một vài ví dụ dạy Đại số lớp 8 phần hằng đẳng thức I
Bước 1: Giáo viên (GV) khẳng định cho học sinh (HS) sự tồn tại của hằng

đẳng thức (HĐT).
HS ghi nhớ dạng tổng quát: A
2
+ 2AB + B
2
= (A + B)
2
Từ dạng tổng quát đó cho học sinh phát biểu thành lời: “ Bình phương
của biểu thức thứ nhất cộng hai lần tích của biểu thức thứ nhất với biểu
thức thứ hai cộng với bình phương biểu thức thứ hai”.
? Đâu là biểu thức 1 (A); đâu là biểu thức 2 (B).
Bước 2: Cho HS làm bài tập để phát triển tư duy theo chiều thuận.
Bài 1: Điền đúng (Đ) sai (S)
1, ( m+1)
2
= m
2
+ 2m + 1
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 4 -
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
2, ( m+n)
2
= m
2
+ 2mn + n
2
3, ( a + 1)
2

= a
2
+ 2a + 1
4, ( a + )
2
= a
2
+ a +
5, ( 2m+n)
2
= 4m
2
+ 2mn + n
2
6, ( 3x+y)
2
= 9x
2
+ 6xy + y
2
Bài 2: Khai triển tiếp (nâmg cao)
1, ( a+b+1)
2
= ? a
2
+ b
2
+2ab + 2a + 2b tại sao?
2, ( a + b+ c)
2

= a
2
+ b
2
+ c
2
+2ab + 2bc + 2ac
Bước 3: Giúp HS hoàn thiện tư duy theo chiều ngược lại.
Bài 1: Viết tiếp các hằng đẳng thức (hoàn thiện)
1, a
2
+ 2ab + b
2
= ?
2, a
2
+ 25 + 10a = ?
3, 2a + a
2
+ 1 = ?
4, b
2
+ b + = ?
5, 4a
2
+ 4a + 1
2
= ?
6, 25a
2

+ 10a +1 = ?
7, m
2
+n
2
–2mn - a
2
+ 2ab - b
2
= ?
Bước 4: Củng cố, liên hệ thực tế, ích lợi của hằng đẳng thức 1
Bài 1: Tính nhanh
1, 51
2
+2.49.51+ 49
2
= ?
2, 23
2
+ 17
2
+ 46.17 = ?
3, 273
2
+454.273 + 227
2
= ?
5, 2004
2
+12.2004 + 36

= ?
6, 105
2
=(100+5)
2

BP một số có tận cùng là 5, có 2 chữ
số tận cùng là 25
Rồi các bài tập vận dụng khác: gpt, chứng minh ….
Đối với môn hình khi dạy mỗi định nghĩa, khái niệm ngoài việc cho HS
nắm vững dấu hiệu bản chất cách vẽ hình ta cần khai thác mở rộng gắn các
khác niệm đó với các bài tập liên quan, cung cấp cho HS phương pháp làm
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 5 -
2
1
2
1
4
1
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
các dạng bài tập đó lấy ví dụ bài tập cụ thể minh hoạ cho phương pháp ( có
thể bài tập sách giáo khoa, sách bài tập, ôn tập kiểm tra …)
VDụ 1: Khi dạy bài: “ Đường tròn ” ngoài việc cho HS nắm vững định
nghĩa đường tròn, các cách xác định đường tròn….ta gắn luôn bài tập thứ
nhất.
Dạng 1: Phương pháp chứng minh điểm thuộc đường tròn ? Có những
phương pháp nào? ( HS sẽ nêu 3 phương pháp GV bổ xung )

Phương pháp 1: Điểm đó (các điểm đó) cách đều 1 điểm cố định, một
khoảng không đổi. ( Dựa vào định nghĩa đường tròn )
Phương pháp 2: Điểm cách tâm của đường tròn 1 khoảng đúng bằng bán
kính ( d = R)
Phương pháp 3: Điểm nhìn 1 đoạn thẳng dưới một góc vuông ( quỹ tích )
Phương pháp 4: Tứ giác chứa 4 điểm nội tiếp đường tròn ( chương 2 ) mới
áp dụng.
Phần minh hoạ bài tập. Bài tập SGK:
Ngoài ra có thể bổ xung 1 số bài tập khác như sau:
Bài 1:

Khai thác:
- Tìm hiểu bài toán: cho gì? c/m?
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 6 -
∆ ABC Có MB= MC; MD AB;
ME AC, I ε AB/ DB = DI
K ε AC/ EK = EC
Gt
Kl
4 điểm B, I, K, C ε 1 đtròn
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
- Xác định dạng toán c/m gì? Dạng 1
- Nêu các phương pháp c/m
- Chọn phương pháp nào? <p1> Tức là cần c/m gì
MB = MI = MK = MC = BC không đổi
- C/m như thế nào?
∆ MBI cân tại M ?
∆ CMR cân tại M ?

Việc chứng minh là dễ dàng
Câu a:? Xác định dạng toán:
? Chọn phương pháp chứng minh: Tại sao chọn phương
pháp đó (giả thiết cho đường cao góc vuông )
- Phương pháp 3: Chỉ ra BEC = 1v ⇒ E ∈ đtròn đường kính BC
(Quỹ Tích)
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 7 -
2
1
∆ ABC nhọn BE AC; CF AB
BE CF tại H
Gt
Kl
1, AH BC
2, 4 điểm B, F, E, C ε đtròn
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
BFC = 1v ⇒ F ∈ đtròn đường kính BC
(Quỹ tích)
⇒ 4 đỉnh B,F,E,C ∈ 1 ĐTròn có đường kính BC hay (O; )
- Phương pháp 1: OB = OF = OE = OC = BC ( Bài 1)
(cách này dài hơn)
Hay khi dạy bài “ tiếp tuyến của đường tròn” ngoài việc
giúp HS nắm vững định gnhĩa, tính chất tiếp tuyến ta gắn dạng bài
tập:
Dạng 2: “ Chứng minh một đường thẳng a là tiếp tuyến của một
đường tròn (O;R) ”
Gọi HS nêu các phương pháp chứng minh: GV phân tích
phương pháp này cơ sở từ định nghĩa, từ tính chất, hay từ vị trí

tương đối.
Phương pháp 1: Đường thẳng a và đường tròn (O;R) có một điểm
chung nhất.
Phương pháp 2: Khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a đúng
bằng bán kính (d = R)
Phương pháp 3: Đường thẳng a vuông góc với bán kính tại mút
thuộc đường tròn.
Phương pháp 4: Hệ thức MT
2
= MA. MB < đối với HS giỏi> có
hình vẽ minh hoạ.
Các phương pháp này GV thường xuyên kiểm tra. Sau đó nên
có các bài tập củng cố minh hoạ cho các dạng GV phân tích tìm
đường lối, giải mẫu, HS áp dụng GV lại sửa sai.
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 8 -
2
BC
2
1
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
Bài 1:
2. Tìm hiểu bài toán: Cho gì ? C/M gì ?
Câu a:
? Xác định dạng toán: c/m đthẳng là tiếp tuyến
? Chon phương pháp c/m : phương pháp 3 (đthẳng bkính tại mút
ε đtròn )
? Tức là cần c/m gì?
? C/m như thế nào Khi đó - HS trình bày (lớ chọn)

- GV hướng dẫn phân tích (lớp
B,C)
Câu c: ? Xác định: cũng là dạng 1
? Chọn phương pháp nào để c/m: HS nêu GV phân tích
lựa chọn phương pháp 2 (d = R)
# Câu a: Bởi vì chưa có bán kính tạo ra bằng cách kẻ thêm
đường (OH MN) Rồi ta c/m (OH = OA)
tức là c/m: d = R
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 9 -
[AB] ; OA = OB
Ax, By AB; M Ax; N By
Sao cho MON = 90
0;
IM = IN
Gt
Kl
a, AB là tiếp tuyến của (I;IO)
b, MO là tia p/giác của AMN
c, MN là t
2
của đtròn đkính AB
d, M,N thay đổi tích AM.BN k
0

đổi
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
GV nhấn mạnh: Các em cần biết lựa chọn phương pháp c/m phù
hợp cho mỗi bài toán ( tuỳ theo giả thiết của bài )

Ở đây tôi chỉ muốn nhấn mạnh việc áp dụng lý thuyết vào giải
toán như thế nào chứ không trình bày cách giải. Với phương châm
dạy như vậy các định nghĩa, khái niệm, định lí gắn với các dạng
toán, và trong mỗi dạng lại củng cố đến các định nghĩa, định lí liên
quan. Nếu rèn HS liên tục trong các giờ học, các em học tập sẽ tiến
bộ hơn. Nhất là môn hình học mà đa số HS thường sợ học hơn, kĩ
năng kém hơn.
II. CÓ PHƯƠNG PHÁP TÌM LỜI GIẢI
Theo tôi đây là một khâu quan trọng của việc giải toán như tôi
trình bày ở phần I. Khâu này có 4 bước:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
HS cần phải đặt ra câu hỏi : “Bài toán cho cái gì ? ” , “Cần cái
gì ? ” , “Mối liên quan giữa cái đã cho và cái phải tìm như thế
nào”. Nếu HS cứ đọc đề bài một cách tràn lan, không có điểm nhấn
về các đơn vị kiến thức thì dễ dẫn việc lựa chọn lời giải sai.
Qua thực tế giảng dạy, dự giờ tôi đã gặp rất nhiều trường hợp
xin lấy một số ví dụ như sau: Khi dạy đại số lớp 9 phần “ giải bài
toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ” là bài toán
rất khó với HS đặc biệt HS trung bình, yếu. GV cần hướng dẫn cho
các em cách tìm hiểu, tóm tắt bài toán nhằm nêu bật các biểu thức
toán học mà trên cơ sở đó HS có thể lập được phương trình, hệ
phương trình.
Ví dụ 1: Bài 2 (Tr 68) Đại số 9
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 10 -
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
Đề bài: “Hai số hơn kém nhau là 12 đv, nếu chia số nhỏ cho 7, chia
số lớn cho 5 thì được thương thứ 1 kém thương thứ 2 là 4 đv. Tìm 2
số đó.”

Ta có thể hướng dẫn HS tìm hiểu bài toán như sau:? Thế nào là
2 số hơn kém nhau 12 đơn vị.
Chuyển thành phép toán: Số lớn – số bé = 12
? Chia số nhỏ cho 7 ta có thương là gì: thương 1
? Chia số lớn cho 5 ta có thương là gì thương 2
so sánh 2 thương này chuyển thành phép toán - = 4
Từ đó GV hướng dẫn HS chọn ẩn, lập phương trình, hệ phương
trình dễ dàng.
Ví dụ 2: Tiết 35 - Đại số 9 “giải bài toán bằng cách lập hệ
phương trình”
Đề bài: “Hai ô tô khởi hành từ 2 đỉnh A và B cách nhau 150 km,
đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô
biết rằng nếu vận tốc của mỗi ô tôA tăng thêm 15 km sẽ bằng 2 lần
vận tốc của ô tô B”.
GV cho HS đọc kĩ, tìm hiểu bài toán, phân tích bài toán
? Bài toán cho gì
- S
AB
= 150 km S
AC
+ S
BC
= 150 km
- t
A
= t
B
= 2 giờ 150
gặp
- v

A
+ 15= 2.v
B

v
A
= ?
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 11 -
7
sonho
5
solon
7
sonho
5
solon
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
? Bài toán hỏi gì ( Tách câu hỏi )
v
B
= ?
? Chọn ẩn như thế nào ( trực tiếp )
Gọi v
A,
v
B
lần lượt là x, y (đv, đk)
? Lập phương trình (1) x + 15 = 2y (1) ? Tại sao (tóm tắt)

GV: Biết vận tốc của ô tô (A) là x, thời gian của ô tô A đi là 2 giờ ?
? Quãng đường ô tô đi là 2x (km)
? Tương tự quãng đường ô tô B đi là 2y (km)
? Lập ptrình (2): 2x + 2y = 150 (2)
x + 15 = 2y
? Lập hệ phương trình
2x + 2y = 150
Dù là mất thời gian thì GV cũng nên làm kĩ bước phân tích rèn
cho HS thói quen phân tích, qua nhiều bài các em cảm thấy hiểu
bài, tự tin hơn, và có sự say mê hơn.
Đối với môn “ Hình học ” việc phân tích đề bài (đọc, vẽ, ghi
giả thiết, kết luận) ta cũng không thể coi nhẹ, không nên bỏ bước
đó. Bởi vì tôi đã gặp rất nhiều trường hợp: HS khi giải bài hình câu
a, b dễ làm nhanh song đến câu c là bế tắc khi cô giáo hỏi: “ Bài
toán còn cho gì nữa? ”. Cho cái này thì suy ra cái gì khi đó các em
mới đi tìm phát hiện ra. Nêú bước phân tích đề tốt giúp cho các em
có định hướng vẽ hình và chọn phương pháp giải.
Ví dụ 2: Bài 12 T
4
– H
2
8
Đề bài: “ Cho hình vuông ABCD. Trên các tia AB, BC, CD, DA lấy
các điểm A’, B’, C’, D’ sao cho AA’ = BB’ = CC’ = DD’. Chứng
minh tứ giác A’B’C’D’ là hình vuông. ”
GV: Cho HS đọc đề bài và có định hướng cho HS
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 12 -
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *

? Nêu cách vẽ hình vuông ( GV vẽ )
? Lấy các điểm A’, B’, C’, D’ như thế nào ( có 2 cách )
- Điểm thuộc cạnh hình vuông
- Điểm nằm ngoài cạnh hình vuông (thuộc phần kéo dài)

Bài toán cho các đoạn bằng nhau ta nghĩ đến điều gì? (c/m
các tam giác bằng nhau suy ra các đoạn thẳng = nhau, góc =
nhau )
Nêu p
2
c/m tứ giác là hình vuông ? Chọn phương pháp nào?
- Hình thoi có một góc vuông Tứ giác có 4 cạnh bằng
nhau
Có 1 góc vuông
Khi trình bày c/m chỉ xét 1 hình vẽ a ( ở hình vẽ b tương tự )
Ví dụ 4: Bài 2 – TR 19 – Hình học 9
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 13 -
Nửa (O; ) Ax AB tại A
By AB tại B
M ε ; OM CD tại M; BC x
AD tại N
Gt
Kl
1, MN AC
2, CD.MN = CM.DB
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
H/S đọc, nêu cách vẽ hình (hoặc gọi HS vẽ)? Ghi gt, kl
Câu 1: ? Xác định dạng toán: C/m 2 đường thẳng song song

? Nêu các phương pháp chứng minh 2 đường thẳng song
song
? Em chọn phương pháp nào? Tại sao? Định lí Talét đảo
(Nếu HS yếu GV phân tích kĩ từng phương pháp không sử dụng
được: cặp góc so le trong = nhau, đvị, 2đt cùng song song, cùng
vuông góc với đường thẳng thứ 3)
? Áp dụng phương pháp đó để chứng minh MN AC ta cần
c/m gì?
Lập sơ đồ phân tích
Câu 2: ? Xác định toán: c/minh đẳng thức tính
? Phương pháp chung: c/m 2∆ ∼ ; 2 tỉ số = nhau ( tỉ lệ
thức )
Tóm lại : Một bài toán có thể có nhiều hướng suy nghĩ khác
nhau. Song việc xác định đúng phương pháp giúp HS có lời giải
hay, ngắn gọn đúng yêu cầu và tốn ít công sức.
Bước 2: Xây dựng chương trình giải
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 14 -
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
Sau khi tìm hiểu kĩ bài toán cần phải biết huy động kiến
thức cần thiết phục vụ cho việc giải toán. Ta có thể dùng
“phương pháp suy diễn” hoặc “phương pháp phân tích đi
lên” để xây dựng chương trình lựa chọn phương pháp phù hợp
cho từng bài.
Ví dụ 3: Bài 13 Tr 37 – Hình học 8 (vừa nêu bước 1)
Khi HS xác định phương pháp hình thoi có một góc vuông
GV cùng HS lập sơ đồ phân tích đi lên với hệ thống câu hỏi?
Muốn chứng minh A’B’C’D’ là hình vuông ta cần chứng minh
gì?

? C/m A’B’C’D’ là hình thoi ta cần chứng minh gì
? Sơ đồ như sau (ghi từ dưới lên)
Xét ∆A’BB’; ∆B’CC’; ∆C’DD’; ∆D’AA’
Có
AA’ = BB’ = CC’ = DD’ (gt) Theo chứng minh trên
B = C = D = A = 1v (gt)
A’B = B’C = C’D = D’A ∆ C’DD’ = ∆ D’AA’
∆A’BB’ = ∆ B’CC’ = ∆ C’DD’ = ∆ D’AA’ D’
3
= A’
1
; A’
1
+ D’
1
=
1v
A’B’ = B’C’ = C’D’ = D’A’ D’
1
+ D
3
= 1v
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 15 -
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
A’B’C’D’ là hình thoi A’D’C’ = 1v (D’
2
= 1
v)

A’B’C’D’ là hình vuông
Ví dụ 4: Bài 2 – Tr19. Sơ đồ tìm lời giải
Câu a:
Theo tính chất 2 tiếp tuyến giao nhau tại D, C
gt
MD = BD
MC = AC ∆NDB ∼ ∆ NAC

MN AC
Câu b:
MN AC (câu a)
AC BD (cmt)
MN BD
CD.MN = CM . DB
Đối với đại số cũng tuỳ từng dạng. Song ta nên rèn cho HS
hình thành các bước. Nhiều HS khi làm bài tập đại số chỉ có thói
quen giải để tìm ra kết quả không chú ý đối chiếu điều kiện, trả
lời bài toán.
Bước 3: Thực hiện chương trình giải (Trình bày lời giải)
Từ chương trình vừa xây dựng GV phải hướng dẫn cho các
em cách trình bày lời giải. Trình bày vấn đề nào trước, sau, dẫn
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 16 -
AC
DB
MC
MD
=
AC

DB
NA
ND
=
NA
ND
MC
MD
=
BD
MN
CD
CM
=
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
dắt như thế nào, lập luận ra sao. Giáo viên làm mẫu một số ý, bài
với lời giải chuẩn mực ngắn gọn đủ ý, lập luận chặt chẽ, chính
xác.
Nếu là bài hình sơ đồ đánh số thứ tự từ trên xuống dưới gọi
HS tự trình bày GV bổ xung, sửa chữa, rèn lập luận chứng minh,
hoặc gọi HS lên bảng trình bày, cô giáo tổ chức sửa sai ( gọi HS
nhận xét sửa bài cho bạn, cho bài tương tự để HS luyện củng cố
kĩ năng, kiểm tra ngắn, kiểm tra giấy nháp ).
Có nhiều em HS tìm ra lời giải rất nhanh. Nhưng kĩ năng
trình bày hạn chế do vậy thi cử, kiểm tra điểm sẽ không cao.
Còn có HS trung bình, yếu thì khâu này càng khó chẳng biết bắt
đầu từ đâu. Do vậy tôi rất chú ý đến việc trình bày lời giải. Cần
dạy cho các em từng kĩ năng nhỏ nhặt nhất vẽ hình vào vị trí nào
? To hay nhỏ ( tuỳ theo bài toán ). Ví dụ nếu bài toán cho đtròn

nội tiếp tam giác mà vẽ đường tròn quá to thì tam giác ngoại
tiếp khó vẽ phù hợp sẽ mất cân đối, nên vẽ hình bằng bút chì
(ban đầu ) nếu cần điều chỉnh dễ làm. Rồi những từ ngữ dẫn dắt
trong hình học. Nối hình vẽ, kẻ thêm đường, …
Vì vậy, do đó, mặt khác dùng như thế nào cho hợp lí. Tôi
thường hay nhắc nhở HS rằng: “Các em trình bày bài cho một
người khác đọc (nghe) nên nói (viết) như thế nào cho hấp dẫn
nhất, nhìn vào bài của mình người chấm đã có cảm tình rồi”
Đối với môn đại số dạng “giải bài toán bằng cách lập
phương trình, hệ phương trình”. Ta có thể hướng dẫn các em:
1, Về kĩ năng chọn ẩn
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 17 -
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
- Nếu chọn cách gọi trực tiếp: Bài toán hỏi gì em gọi cái gì đó là
ẩn ( thêm đơn vị, điều kiện ) bắt đầu là từ “gọi” …… … x
(đv)? (đk ) ?
- Nếu chọn ẩn gián tiếp: Lựa chọn ẩn nào và làm như thế nào ?
2, Kĩ năng biểu thị số liệu qua ẩn, lập phương trình
Các em chú ý đến các từ ngữ, mối liên quan. Ví dụ2
Vì vận tốc ô tô A tăng thêm 15 km/h thì bằng vận tốc ô tô B
nên ta có phương trình:
x + 15 = 2 y (1)
3, Kĩ năng giải phương trình, hệ phương trình
? Chọn phương pháp nào (giải hệ bằng phương pháp cộng, thế)
lưu ý các hệ phương trình là tương đương
4, Kĩ năng trả lời
Thay từ “Gọi” ở phần đầu bằng từ “Vậy”
Thay các chữ x, y bởi các giá trị vừa tìm được ta có câu trả lời.

Bước 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải gồm các công việc sau:
1, Kiểm tra các bước giải
2, Khai thác các cách giải
3, Đặc biệt hoá nội dung bài toán
Ví dụ 4: “Cho tứ giác ABCDcó M, N là trung điểmcủa các
cạnh AB, CD Chứng minh rằng MN ≤ ”
? Phân tích tìm lời giải
? Kiểm tra các bước giải
? Từ điều cần chứng minh biến đổi một chút ta được gì: MN ≤
? Chứng minh MN ≤ tổng của 2 đoạn thẳng ta nghĩ đến cách
chứng minh nào ?
- So sánh1 cạnh của tam giác với 2 cạnh kia
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 18 -
2
BCAD
+
2
BCAD
+
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
? ∆ đó như thế nào: Tạo ra 1 ∆ có 1 cạnh là MN
và 2 cạnh kia bằng một nửa canh AD, BC
? Cạnh có độ dài bằng nửa AD, BC
là đường nào (đường trung bình của ∆ ACD, ABC)
? Hãy tạo ra đường trung bình của ∆. Lấy I là trung
điểm của AC nối MI, NI
? Trình bày lời giải như thế nào (GV hướng dẫn) HS tự trình bày.
Khi HS trình bày xong cách giải, GV khích lệ các em tìm cách khai

thác bài toán này để tạo ra bài toán mới.
Từ MN ≤ . Ta đổi thành 2MN ≤ AD + BC
Từ đó vẽ hình mới và chọn phương pháp khác để chứng minh


Vì N là trung điểm của CD. Nối BN kéo dài cắt đường thẳng
qua A song song với MN tại E. Suy ra BN = NE (tính chất
đường trung bình của ∆ )
Nối DE ta có ∆BNC = ∆ END (c.g.c)
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 19 -
2
BCAD
+
2
BCAD
+
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
Suy ra: BC = DE (1)
Xét ∆ADE có AE ≤ AD + DE (2)
Mà AE = 2MN (3) (t/c đường trung bình)
Từ (1), (2), (3) suy ra MN ≤ AD + BC MN ≤
Hoặc trong quá trình GV có thể thay đổi đề bài bằng các
mệnh đề tương đương mà cách giải không thay đổi. Ví dụ ở Đại
số loại bài tập “Tìm tập xác định” có thể thay là “ Tìm điều
kiện để biểu thức có nghĩa ”.
Hoặc dạng “giải phương trình” có thể thay là “ tìm x ”.
Ví dụ 2: Bài 7 – Tr 36 – Hình học lớp 8
? Khai thác cách c/ minh - hbh + 1 đ/c là p/giác 1 góc (c1)

1 tứ giác là hình thoi - hbh + 2 cạnh kề = nhau (c2)
- hbh có 2 đ/c vuông góc (c3)
- tứ giác có 4 cạnh = nhau (c4)
? So sánh cách nào ngắn nhất,, hay nhất ()c1
? Khai thác thêm bài toán: c/ minh
1, ED BC
2, ED AM
3, Tứ giác ADME có là hình vuông không?
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 20 -
gt
kl
∆ABC (AB = AC); MB = MC
ME AC ; MD AB
E ε AB ; D ε AC
Tứ giác ADME là hình thoi
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
4, Nếu có cần thêm điều kiện gì? Hoặc
∆
ABC cần có điều kiện
để tứ giác ADME là hình vuông? Ta thay đổi điều kiện bài toán
như thế nào?
- Cho ∆ABC vuông cân tại A
Ví dụ 3: Khi dạy toán phân tích đa thức thành nhân tử ở lớp 8 (HS
đã quen). Sang lớp 9 ta có thể liên hệ dẫn dắt chuyển dạng bài tập
để HS vận dụng nhanh, dễ hiểu.
Lớp 8
1, x
2

+ 2x + 1 = (x +1)
2
2, xy + x + y + 1 = ( x+ 1)(y + 1)
3, x
2
+ 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Lớp 9


(x, y ] 0)
với x ] 0
Hoặc
Trong một số bài toán sử dụng phương pháp đặc biệt hoá là vô cùng
quan trọng. Ta xét các ví dục sau:
Ví dụ 4: “ Cho đường (O) ngoại tiếp
∆
ABC nhọn có H là trực tâm. Hạ OK
vuông góc BC. So sánh AH và OK ”.
Giải bài toán này khi giải cho HS ta không thể áp đặt AH = 2 OK. Mà
giúp HS tự tìm ra đường lối giải bằng cách vẽ các trường hợp đặc biệt. Từ
đó HS sẽ tự rút ra biểu thức AH = 2 OK
Vẽ hình 3 trường hợp:
1,
∆
ABC là tam giác vuông (h.a)
2,
∆
ABC là tam giác đều (h.b)
3,
∆

ABC là tam giác thường (h.c)
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 21 -
2
)1(12 +=++ xxx
)1)(1(1 ++=+++ yxyxxy
2
)1(12 +=++ xxx
)3)(2(65
2
yxyxyxyx ++=++
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
(h.a) (h.b) (h.c)
Trực tâm trùng với
đỉnh B OK là
đường TB. ∆ABC
OK =
Điểm O H
∆ABC đều O là trọng tâm

OK =
Tạo ra ∆AFH có OK là
đường trung bình
OK =
Ví dụ 5 : “Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì của
một tam giác đều tới các cạnh của nó là một số không đổi”.
Sử dụng phương pháp đặc biệt hoá chọn 3 vị trí điểm M.
1, M trùng với đỉnh A của tam giác
Khi đó khoảng cách từ M tới 2 cạnh AB, AC bằng 0

Khoảng cách từ M tới BC chính là AH ( đ/cao tương ứng )
K/c = 0 + 0 + AH = AH (không đổi)
2, M thuộc 1 cạnh của
∆
khi đó K/c = MI + MJ
Từ M kẻ ML BC ∆ALM đều
( vì M = A = 60
0
L = 60
0
)
Suy ra MI = AN (2 đ/cao ∆ đều )
MJ = HN ( t/c đoạn chắn )
Do đó MI + MJ = AN + NH = AH ( k
o
đổi )
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 22 -
AH
2
1
AH
2
1
AH
2
1
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
3, M thuộc miền trong của

∆
ABC: Ta cần chứng minh
MI + MK + MJ Là không đổi
Qua M kẻ đường thẳng BC cắt AH tại N
AB, AC tại Q, R ∆ABC đều
Khi đó suy ra M ε 1 cạnh của ∆ AQR
Ta có: MI + MJ = AN; MK = NH
Nên MI + MJ + MK = AN + NH = AH
Tóm lại: K/cách từ 1 điểm bất kì của 1 ∆ đều tới các cạnh của nó
là một số không đổi đúng bằng độ dài đường cao.
III, RÈN LUYỆN ÓC PHÂN TÍCH MỘT BÀI TOÁN
Gặp một bài toán điều trước tiên đặt ra là nên dùng phương pháp nào để
giải nó. Muốn vậy phải biết cách phân tích bài toán. Xác định xem bài toán
ấy thuộc loại toán nào, có liên quan gì tới các bài toán đã biết. Từ đó mới
quyết định sẽ sử dụng những kiến thức nào để giải nó. Nhất là với những bài
toán có ý nghĩa thực tế ta có cách phân tích bài toán khéo léo mới tìm ra lời
giải đúng.
Ví dụ 1: “Một bức tường cao 10 mét. Một con sên bò từ dưới chân tường
lên. Ban ngày nó lên cao được 3 mét, ban đêm nó lại tụt xuống 2 mét. Hỏi
con sên leo hết bức tường đó mất mấy ngày, mấy đêm ? ”
? Khi phân tích bài toán ta cần chú ý dữ kiện gì
? “ Ban ngày nó leo cao 3 m, ban đêm nó lại tụt xuống 2 m ”. Như vậy 1
ngày ? 1 đêm con sên leo được bao nhiêu (1 mét)
? 7 ngày, 7 đêm con sên leo lên được bao nhiêu (7m)
? Còn 3 mét nữa con sên leo mất bao lâu 1 ngày
? Tổng cộng là mấy ngày? Mấy đêm? (8 ngày, 7 đêm)
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 23 -
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *

? Trả lời bài toán như thế nào
HS trình bày cách giải
Ví dụ 2: “Tôi có một tờ giấy to và xé nó thành 9 mảnh. Sau đó lấy một số
mảnh xé tiếp mỗi mảnh thành 9 mảnh nhỏ, rồi trộn vào các mảnh cũ. Tôi lại
lấy một số mảnh trong đống ấy xé mỗi mảnh thành 9 mảnh khác rồi lại trộn
vào các mảnh cũ, cứ như thế tiếp tục. Một lúc sau tôi dừng lại và nhờ một
người bạn đếm giúp số mảnh giấy có được. Anh ấy nói 1968. Hãy chứng
minh rằng anh ấy đếm sai!”
Có rất nhiều bài toán kiểu như thế này. Ta hay gặp ở trong một số các
cuộc thi tài của HS trên vô tuyến. Thoạt đầu nghe bài toán có vẻ rắc rối. Bởi
vì không cho biết “ xé bao nhiêu lần ”, “ mỗi lần xé bao nhiêu mảnh ”. Làm
sao có thể tính được số mảnh để mà khẳng định anh ấy đếm đúng hay sai…
Qủa thật là khó song người giải toán phải hết sức bình tĩnh “ phân tích ” quá
trình “ Xé giấy ” trong bài toán. Mỗi lần lấy từ đống giấy lên “ 1 mảnh ” xé
thành “ 9 mảnh ” rồi lại bỏ vào đống. Vậy sau “ 1 lần ” xé giấy số mảnh
giấy tăng lên là “ 8 mảnh ”. Ban đầu có “ 1 tờ giấy to ”. Vậy số mảnh cuối
cùng phải là bội của 8 cộng với 1 hay số đó có dạng 8k +1 bởi vì
1968 – 1 = 1967/ 8
Chứng tỏ anh bạn kia đêm sai!
Hay có thể lấy ví dụ phần giải toán bằng cách lập hệ phương trình ở
lớp 9. Nhiều em HS khá giỏi vội vàng không “ phân tích ” kĩ bài toán dễ bị
hiểu sai, giải sai bài toán. Có thể các em lại biến vẫn đề đơn giản thành phức
tạp.
Ví dụ 3: “ Một hình chữ nhật có chu vi là 216 m. Nếu giảm chiều dài đi
20% và tăng chiều rộng thêm 25% thì chu vi hình chữ nhật không thay đổi.
Tính chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật đó. ”
Tôi đã cho HS giải bài toán này và thấy các em suy nghĩ phân tích như
sau: “ Giảm chiều dài đi 20 % suy ra tìm chiều dài sau khi giảm.Tăng
chiều rộng lên 25 % suy ra tìm chiều rộng sau khi tăng”
Loay hoay mãi mà chưa lập được hệ phương trình. Sai lầm ở chỗ chưa

phân tích thấy: “Mấu chốt của bài toán ở chỗ nào? ” Đó là: “ Chu vi HCN
không đổi ” do đó suy ra lượng tăng và lương giảm phải bằng nhau.
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 24 -
45
yx
=
Sáng kiến kinh nghiệm dạy học: * Giải
bài tập toán *
? Gọi ẩn như thế nào:
- Gọi chiều dài của HCN là x (m)
- Chiều rộng của HCN là y (m) (đk: x,y> 0;x,y <108)
? Tính lượng giảm:
- Vì chiều dài giảm đi 20 % nên lượng giảm là x/5 (m)
? Tính lượng tăng:
- Tăng chiều rộng lên 25 % thì lượng tăng là y/4 (m)
? Lập phương trình (1):
2 (x + y ) = 216 (1)
? Lập phương trình (2):
Mà chu vi HCN không đổi nên lượng tăng và lượng giảm bằng nhau ta
có phương trình:

(2)

? Lập hệ phương trình: Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phương trình
2( x + y ) = 216

Đến đây HS giải dễ dàng.Vì vậy ta cần lưu ý cho HS đọc kĩ, dạy các
em tóm tắt bài toán, phân tích dữ kiện bài toán, liên tục đặt ra các câu hỏi
kích thích tư duy: “Cho cái này tìm được cái gì?”

“Muốn chứng minh vấn đề này ta làm như thế nào? ”
Họ và tên: n Tổ: Khoa học tự nhiên
- 25 -
45
yx
=