Giáo án ĐS & GT 11CB Kỳ II đã chỉnh sửa

Giáo án ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH 11 CB GV: Phạm Thị Hồng-Trường THPT Lương Tài 1- BN
Chương IV: GIỚI HẠN ( 14 tiết)
Ngày soạn: 2/1/2013 Tiết 49 : GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I. Mục tiêu :
Qua bài học HS cần :
1. Về kiến thức :
-Khái niệm giới hạn của dãy số thông qua ví dụ cụ thể, các định nghĩa và một vài giới hạn
đặc biệt.
-Biết không chứng minh :
+ Nếu
lim , 0 víi mäi n th× L 0 vµ lim
n n n
u L u u L= ≥ ≥ =
;
2. Về kỹ năng :
-Biết vận dụng
1 1
lim 0; lim 0; limq 0 víi 1
n
q
n
n
= = = <
- Hiểu và nắm được cách giải các dạng toán cơ bản.
3. Về thái độ:
- Phát triển tư duy trừu tượng, khái quát hóa, tư duy lôgic,…
- Học sinh có thái độ nghiêm túc, say mê trong học tập, biết quan sát và phán đoán chính
xác, biết quy lạ về quen.
II. Chuẩn bị :
1. GV: Giáo án, các dụng cụ học tập,…
2. HS: Soạn bài trước khi đến lớp, chuẩn bị bảng phụ (nếu cần), …

III. Tiến trình bài học:
1. Kiểm tra bài cũ: *Kiểm tra bài cũ: Cho dãy số (u
n
) với u
n
=
n
1
. Viết các số hạng u
10
,
u
20
, u
30
, u
40
, u
50
,u
60
u
70
, u
80,
u
90
, u
100
?

2. Bài mới:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung
HĐ1: Hình thành khái
niệm giới hạn của dãy số.
HĐTP1:
GV yêu cầu HS các nhóm
xem nội dung ví dụ hoạt
động 1 trong SGK và gọi
HS đại diện lên bảng trình
bày lời giải. Gọi HS nhận
xét bổ sung (nếu cần)
Lập bảng giá trị của u
n
khi
n nhận các giá trị 10, 20,
30, 40, 50, 60, 70, 80, 90.
(viết u
n
dưới dạng số thập
phân, lấy bốn chữ số thập
phân)
GV: Treo bảng phụ hình
biểu diễn (u
n
) trên trục số
HS các nhóm xem đề và thảo
luận để tìm lời giải sau đó
cử đại diện lên bảng trình
bày lời giải.
HS nhận xét, bổ sung và sửa

chữa ghi chép.
n 10 20 30
u
n
0,1 0,05 0,033
3
n 40 50 60
u
u
0,02
5
0,02 0,016
7
n 70 80 90
u
n
0,01
4
0,012
5
0,011
1
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN
CỦA DÃY SỐ
1) Định nghĩa:
HĐ1:
Cho dãy số (u
n
) với u
n

=
n
1
a) Nhận xét xem khoảng
cách từ u
n
tới 0 thay đổi như
thế nào khi trở nên rất lớn.
b) Bắt đầu từ số hạng u
n
nào
đó của dãy số thì khoảng
cách từ u
n
đến 0 nhỏ hơn
0,01? 0,001?
TLời
a) Khoảng cách từ u
n
tới 0
càng rất nhỏ.
b) Bắt đầu từ số hạng u
100

1
Giáo án ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH 11 CB GV: Phạm Thị Hồng-Trường THPT Lương Tài 1- BN
(như ở SGK)
Cho học sinh thảo luận và
trả lời câu a)

01,0〈
n
u
?
Ta cũng chứng minh được
rằng
n
u
n
1
=
có thể nhỏ
hơn một số dương bé tuỳ ý,
kể từ một số hạng nào đó
trở đi, nghĩa là
n
u
có
thể nhỏ hơn bao nhiêu
cũng được miễn là chọn n
đủ lớn. Khi đó ta nói dãy
số (u
n
) với u
n
=
n
1
có giới
hạn là 0 khi n dần tới

dương vô cực.
Từ đó cho học sinh nêu đ/n
dãy số có giới hạn là 0.
G/v chốt lại đ/n
Giải thích thêm để học
sinh hiểu VD1. Và nhấn
mạnh: “
n
u
có thể hơn
một số dương bé tuỳ ý, kể
từ một số hạng nào đó trở
đi.
Có nhận xét gì về tính
tăng, giảm và bị chặn của
dãy số ở HĐ1 và ở VD1?
HĐTP2:
Cho dãy số (u
n
) với
n
u
n
1
2
+=
Dãy số này có giới hạn
như thế nào?
Để giải bài toán này ta
nghiên cứu ĐN2

GV giải thích thêm sự vận
dụng Đ/n 2 trong c/m của
ví dụ 2
Cho dãy số (u
n
) với u
n
=
Khi n trở nên rất lớn thì
khoảng cách từ u
n
tới 0 càng
rất nhỏ.
10001,0
1
〉⇔〈⇔
n
n
Bắt đầu từ số hạng u
100
trở
đi thì khoảng cách từ u
n
đến
0 nhỏ hơn 0,01
Tương tự
001,0〈
n
u
1000

〉⇔
n
H/s trả lời có thể thiếu chính
xác
Đọc hiểu Ví dụ 1 (SGK)
Dãy số ở HĐ1 là dãy giảm
và bị chặn, còn dãy số ở
VD1 là dãy không tăng,
không giảm và bị chặn
Dãy số này có giới hạn là 2
Đọc hiểu Ví dụ 2 (SGK)
Ta có:
*
11
Nn
n
n
u
k
n
∈∀〈=
Do đó dãy số này có giới
hạn là 0
Lúc này dãy có giới hạn là c
Vì
*
0 Nncu
n
∈∀=−
trở đi thì khoảng cách từ u

n
đến 0 nhỏ hơn 0,01
Bắt đầu từ số hạng u
1000
trở
đi thì khoảng cách từ u
n
đến
0 nhỏ hơn 0,001
*ĐỊNH NGHĨA 1:
Ta nói dãy số (u
n
) có giới
hạn là 0 khi n dần tới dương
vô cực nếu
n
u
có thể hơn
một số dương bé tuỳ ý, kể từ
một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu:
0lim =
+∞→
n
n
u
hay
+∞→→ nkhiu
n
0

*ĐỊNH NGHĨA 2:
Ta nói dãy số (v
n
) có giới
hạn là số a (hay v
n
dần tới
a) khi
+∞→
n
, nếu
( )
0lim
=−
+∞→
av
n
n
Kí hiệu:
av
n
n
=
+∞→
lim
hay
+∞→→
nkhiav
n
2. Một vài giới hạn đặc biệt

a)
;0
1
lim
=
+∞→
n
n

+
+∞→
∈∀=
Zko
n
k
n
,
1
lim
b)
0lim
=
+∞→
n
n
q
nếu
1
〈
q

c) Nếu u
n
= c (c là hằng số)
thì
ccau
n
n
n
===
+∞→+∞→
limlim
CHÚ Ý
Từ nay về sau thay cho

2
Giáo án ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH 11 CB GV: Phạm Thị Hồng-Trường THPT Lương Tài 1- BN
k
n
1
,
+
∈
Zk
Dãy số này có giới
hạn ntn?
Nếu u
n
= c (c là hằng số)?
au
n

n
=
+∞→
lim
, ta viết tắt là
lim u
n
= a
3. Củng cố và hướng dẫn học ở nhà:
Định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số: “|u
n
| có thể nhỏ hơn một số dương tuỳ ý, kể từ một
số hạng nào đó trở đi”.
Nắm chắc các tính chất về giới hạn hữu hạn.
Ôn tập kiến thức và làm bài tập SGK.

Ngày soạn: 9/1/2013 Tiết 50 : GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I. Mục tiêu :
Qua bài học , học sinh cần nắm :
1. Về kiến thức :
- Một số định lí về giới hạn dãy số hữu hạn .Tính tổng của cấp nhân lùi vô hạn .
-Biết không chứng minh định lí:
lim( ), lim( . ), lim
n
n n n n
n
u
u v u v
v
 

±
 ÷
 
2. Về kỹ năng :
- Cách tính giới hạn dãy số , tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn .
3. Về thái độ
- Tư duy chứng minh , tư duy lập luận chặc chẻ lôgic . khả năng phân tích , tổng hợp
: Đảm bảo tính chính xác , tính khoa học .
II. Chuẩn bị :
1. GV: Giáo án , phiếu học tập .
2. HS: Chuẫn bị bài học cũ , bài tập , tham khảo bài học .
III. Tiến trình bài học :
1. Kiểm tra bài cũ : Định nghĩa giới hạn dãy số , công thức các giới hạn đặc biệt .
Chứng minh rằng :
2 1 2
lim
3 4 3
n
n
n
→∞
+
=
+

2. Bài mới :
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung
HĐ1 :
GV giới thiệu các định lí
HĐ2 :

GV cho học sinh thảo
luận ,trao đổi các ví dụ sgk
GV phát phiếu học tập số 1
HS nắm các định lí .
HS trao đổi nhóm và trình
bày bài giải
a/
2
2
2 1
1
lim
n
n n
n
→+∞
− +
+
II. Định lí về giới hạn hữu
hạn
1. Định lí 1:( Sgk )
2. Ví dụ :Tính các giới
hạn sau
a/
2
2
2 1
1
lim
n

n n
n
→+∞
− +
+

3
Giáo án ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH 11 CB GV: Phạm Thị Hồng-Trường THPT Lương Tài 1- BN
GV cho học sinh thực hành
theo nhóm trên cơ sở các ví
dụ sgk
Phương pháp giải :
+ Chia cả tử và mẫu cho n
2
+ Áp dụng các định lí và
suy ra kết quả
Tương tự ta có cách giải
thế nào ở câu b.
HĐ 3:
GV giới thiệu các ví dụ ,
các em có nhận xét gì về
công bội q của
Các dãy số này .
Từ đó GV cho HS nắm
định nghĩa
+ GV cho tính
( )
1 2 3
lim
n

n
u u u u
→+∞
+ + + +
+ GV cho học nhắc công
thức
cần áp dụng .
HĐ 4 :
+ GV phát phiếu học tập
và cho học sinh thảo luận
theo nhóm
+ GV hướng dẫn :
Tham khảo ví dụ sgk , cần
xác định u
1
và công bội q

=
2
2
1 3
2
lim 2
1
1
n
n n
n
→∞
− +

=
+
b/ Chia cả tử và mẫu cho n
:

2
1 3
lim
1 5
n
n
n
→+∞
+
−
=
2
1
3
3
lim
1
5
5
n
n
n
→+∞
+
−

=
−
+ Dãy số thứ nhất có công
bội

1
2
q
=
+ Dãy số thứ hai có công
bội

1
3
q = −
+ Cả hai dãy số đều có
công
bội q thoả :
1 1q
−〈 〈
+ HS thảo luận theo nhóm
.
+ Tổng cấp nhân

1
(1 )
1
n
n
u q

S
q
−
=
−

lim 0, 1
n
q q
= 〈
+ Tính được :

1
lim
1
n
u
S S
q
= =
−

+ Các nhóm hoạt động
trao đổi , và trình bày bài
giải
Câu a.
1
1 1
,
3 3

u q
= =
b/
2
1 3
lim
1 5
n
n
n
→+∞
+
−
( Phiếu học tập số 1 )
+ Phuơng pháp giải :
III. Tổng cấp số nhân lùi vô
hạn.
1. Định nghĩa (sgk )
2. Các ví dụ :
+ Dãy số
1 1 1 1
, , , , ,
2 4 8 2
n

+ Dãy số
1
1 1 1 1
1, , , , ,( ) ,
3 9 27 3

n
−
− − −
3. Tổng cấp nhân lùi vô
hạn :

1
,( 1)
1
u
S q
q
= 〈
−
4.Ví dụ : Tính tổng của cấp
số nhân lùi vô hạn .
a/
1
3
n
n
u
=
b/ Tính tổng
1
1 1 1 1
1
2 4 8 2
n
−

 
− + − + + −
 ÷
 
( Phiếu học tập số 2 )

4
Giáo án ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH 11 CB GV: Phạm Thị Hồng-Trường THPT Lương Tài 1- BN
Nên
1
1
3
1
2
1
3
S
= =
−
Câu b.
1
1
1,
2
u q
= =−
Nên
1 2
1
3

1
2
S
= =
+
3. Củng cố :
- GV dùng bảng phụ hoặc máy chiếu (nếu có ) để tóm tắt bài học .
- Các bài tập trắc nghiệm để tóm tắc bài học ( tự biên soạn ) để kiểm tra học sinh
4. Hướng dẫn học ở nhà:
-Xem lại và học lí thuyết theo SGK.
-Làm các bài tập 2 và 3 SGK trang 121.

Ngày soạn: 15/1/2013 :Tiết 51 : GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I. Mục tiêu :
Qua bài học , học sinh cần nắm :
1. Về kiến thức :
- Định nghĩa, các giới hạn đặc biệt, một số định lí về giới hạn dãy số hữu hạn .Tính tổng
của cấp nhân lùi vô hạn,…
2. Về kỹ năng :
- Vận dụng được lý thuyết vào giải các bài tập cơ bản trong SGK, biết cách tính giới hạn
dãy số , tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn,…
3. Về thái độ :
- Tư duy chứng minh , tư duy lập luận chặc chẻ lôgic . khả năng phân tích , tổng hợp
- Đảm bảo tính chính xác , tính khoa học , cẩn thận trong tính toán,…
II. Chuẩn bị :
1. GV: Giáo án , phiếu học tập .
2. HS: Chuẫn bị bài học cũ , bài tập , tham khảo bài học .
III. Tiến trình bài học :
1. Kiểm tra bài cũ : Định lí giới hạn hữu hạn , các giới hạn đặc biệt, công thức các giới
hạn đặc biệt, công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn .

Tính :
2
2
2 3 1
lim
3 4
→∞
+ +
+
n
n n
n

2. Bài mới :
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung
HĐ1: Giới hạn vô cực:
HĐTP1:
GV cho HS các nhóm xem
nội dung ví dụ hoạt động 2
HS các nhóm thảo luận để tìn
lời giải và cử đại diện lên
bảng trình bày (có giải thích).
IV. Giới hạn vô cực:
Ví dụ HĐ2: (xem SGK)
1. Định nghĩa: (Xem SGK)

5
Giáo án ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH 11 CB GV: Phạm Thị Hồng-Trường THPT Lương Tài 1- BN
trong SGK và cho HS các
nhóm thảo luận để tìm lời

giải, gọi HS đại diện nhóm
lên bảng trình bày lời giải.
Gọi HS nhận xét, bổ sung
(nếu cần).
GV nhận xét, bổ sung và
nêu lời giải đúng (nếu HS
không trình bày đúng lời
giải).
GV : Ta cũng chứng minh
được rằng
10
n
n
u
=
có thể
lớn hơn một số dương bất
kì, kể từ một số hạn nào đó
trở đi. Khi đó, dãy số (u
n
)
nói trên được gọi là dần tới
dương vô cực, khi
n → +∞
)
GV nêu định nghĩa và yêu
cầu HS xem ở SGK.
HĐTP2:
GV cho HS xem ví dụ 6
trong SGK và GV phân

tích để tìm lời giải tương tự
SGK.
HĐTP3: (Một vài giới
hạn đặc biệt)
GV nêu các giới hạn đặc
biệt và ghi lên bảng…
GV lấy ví dụ minh họa và
ra bài tập áp dụng, cho HS
các nhóm thảo luận để tìm
lời giải, gọi HS đại diện lên
bảng trình bày.
Gọi HS nhận xét, bổ sung
(nếu cần).
GV nhận xét và nêu lời
giải đúng (nếu HS không
trình bày đúng lời giải)
HS nhận xét, bổ sung và sửa
chữa ghi chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả:
a)Khi n tăng lên vô hạn thì u
n

cũng tăng lên vô hạn.
b)n > 384.10
10
HS chú ý theo dõi để lĩnh hội
kiến thức…
HS chú ý theo dõi trên bảng
…
HS các nhóm thảo luận để tìm

lời giải và cử đại diện lên
bảng trình bày (có giải thích).
HS nhận xét, bổ sung và sửa
chữa ghi chép.
HS trao đổi để rút ra kết quả:
Dãy số (u
n
) có giới hạn
+∞
khi
n → +∞
, nếu u
n
có thể
lớn hơn một số dương bất
kì, kể từ một số hạng nào
đó trở đi.
Kí hiệu:
lim hay u khi n +
n n
u
= +∞ → +∞ → ∞
Dãy số (u
n
) được gọi là có
giới hạn
−∞
khi
→ + ∞ = + ∞
nÕu lim(-u )

n
n
Kí hiệu:
lim hay u khi n +
n n
u
= −∞ → −∞ → ∞
Nhận xét: SGK
2. Vài giới hạn đặc biệt:
a)lim n
k
=
+∞
với k nguyên
dương;
b)lim q
n
=
+∞
nếu q>1.
Ví dụ: Tìm:
( )
2
lim 3 2n n
− +
HĐ2:
HĐTP1:Bài tập ứng dụng
thực tế:
GV gọi HS nêu đề bài tập
1 trong SGK.

HS các nhóm thảo luận để tìm
lời giải và cử đại diện lên
bảng trình bày lời giải (có giải
thích).
Bài tập 1: (SGK)

6
Giáo án ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH 11 CB GV: Phạm Thị Hồng-Trường THPT Lương Tài 1- BN
GV cho HS các nhóm thảo
luận nhận xét để tìm lời
giải và gọi HS đại diện các
nhóm lên bảng trình bày
lời giải.
Gọi HS nhận xét, bổ sung
(nếu cần).
GV nhận xét và nêu lời
giải đúng (nếu HS không
trình bày đúng lời giải).
HĐTP2:
GV nêu và chiếu lên bảng
nội dung định lí 2.
GV lấy ví dụ minh họa(bài
tập 8b) và cho HS các
nhóm thảo luận để tìm lời
giải, gọi HS đại diện lên
bảng trình bày lời giải.
GV gọi HS nhận xét, bổ
sung (nếu cần)
GV nhận xét, bổ sung và
nêu lời giải đúng (nếu HS

không trình bày đúng lời
giải).
HĐTP3: Ví dụ áp dụng:
GV cho HS các nhóm xem
nội dung bài tập 8a) và
cho HS thảo luận theo
nhoma để tìm lời giải, gọi
HS đại diện lên bảng trình
bày lời giải.
Gọi HS nhận xét, bổ sung
(nếu cần)
GV nhận xét, bổ sung và
nêu lời giải đúng (nếu HS
không trình bày đúng lời
giải).
HS nhận xét, bổ sung và sửa
chữa ghi chép.
HS các nhóm trao đổi và đưa
ra kết quả:
ĐS:
1 2 3
1 1 1
) ; ; ;
2 4 8
B»ng quy n¹p ta chøng minh ® îc:
1
.
2
n
n

a u u u
u
= = =
=
( ) ( ) ( )
6 6 3 9
1
)lim lim 0
2
1 1 1 1
) .
10 10 10 10
n
n
b u
c g kg kg
 
= =
 ÷
 
= =
HS chú ý và theo dõi trên
bảng…
HS các nhóm thảo luận để tìm
lời giải và cử đại diện lên
bảng trình bày (có giải thích)
HS nhận xét, bổ sung và sửa
chữa ghi chép.
HS trao đổi để rút ra kết quả:
2

2
1
2
lim lim
1
1
2
1 lim
0
1
lim lim
n n
n
n
n
n
n
n
v v
v
v
v
v
v
v
+
+
=
−
−

+
= =
−
3 1 3.lim 1
8 )lim 2
1 lim 1
n n
n n
u u
a
u u
− −
= =
+ +
3. Định lí:
Định lí 2: (SGK)
a)Nếu lim u
n
= a và lim v
n
=
±∞
thì
lim 0
n
n
u
v
=
.

b)Nếu lim u
n
=a>0, lim
v
n
=0 và v
n
>0 với mọi n thì
lim
n
n
u
v
= +∞
c)Nếu lim u
n
=
+∞
và
lim v
n
=a>0 thì lim u
n
v
n
=
+∞
Ví dụ: (Bài tập 8b
SGK).Cho dãy số (v
n

). Biết
lim v
n
=
+∞
Tính giới hạn:

2
2
lim
1
n
n
v
v
+
−
Bài tập 8a): (SGK)
Cho dãy số (u
n
). Biết lim
u
n
=3.
Tính giới hạn:

3 1
lim
1
n

n
u
u
−
+
3. Củng cố:
-Nhắc lại các định lí và các giới hạn đặc biệt.
-Áp dụng : Giải bài tập 7a) c) SGK trang 122.
GV cho HS thảo luận theo nhóm để tìm lời giải và gọi đại diện lên bảng trình bày.
GV gọi HS nhận xét, bổ sung và nêu lời giải đúng (nếu HS không trình bày đúng lời giải).
4. Hướng dẫn học ở nhà:

7
Giáo án ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH 11 CB GV: Phạm Thị Hồng-Trường THPT Lương Tài 1- BN
-Xem lại và học lí thuyết theo SGK.
-Xem lại các ví dụ và bài tập đã giải.
-làm thêm các bài tập còn lại trong SGK trang 121 và 122.


Ngày soạn: 20/1/2013 Tiết 52 : GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I. Mục tiêu :
Qua bài học, học sinh cần nắm :
1. Về kiến thức :
- Củng cố lại định nghĩa, các giới hạn đặc biệt, một số định lí về giới hạn dãy số hữu hạn
.Tính tổng của cấp nhân lùi vô hạn,…
2. Về kỹ năng :
- Vận dụng được lý thuyết vào giải các bài tập cơ bản trong SGK, biết cách tính giới hạn
dãy số , tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn,…
3. Về thái độ :
- Tư duy chứng minh , tư duy lập luận chặc chẻ lôgic . khả năng phân tích , tổng hợp

- Đảm bảo tính chính xác , tính khoa học , cẩn thận trong tính toán,…
II. Chuẩn bị :
1. GV: Giáo án , phiếu học tập .
2. HS: Chuẫn bị bài học cũ , bài tập , tham khảo bài học .
III. Tiến trình bài học :
1. Kiểm tra bài cũ:
Tính :
3
3 1
lim
3 4
+
+
n
n

2. Bài mới :
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung
HĐ1: Giải bài tập 2:
GV cho HS các nhóm thảo
luận tìm lời giải bài tập 2
SGK và gọi đại diện nhóm
lên bảng trình bày lời giải.
GV gọi HS nhận xét, bổ
sung (nếu cần).
GV nhận xét, bổ sung và
nêu lời giải đúng (nếu HS
không trình bày đúng lời
giải ).
HS các nhóm thảo luận để tìm

lời giải và cử đại diện lên
bảng trình bày lời giải (có giải
thích)
HS nhận xét, bổ sung và sửa
chữa ghi chép.
HS trao đổi và rút ra kết quả:
Vì
3
1
lim 0
n
=
nên
3
1
n
có thể nhỏ
hơn một số dương bé tùy ý, kể
từ một số hạng nào đó trở đi,
nghĩa là
lim (u
n
-1)=0. Do đó, lim u
n
=1
Bài tập 2: (SGK)
Biết dãy số (u
n
) thỏa mãn
3

1
1
n
u
n
− <
với mọi n.
Chứng minh rằng: lim u
n
=
1.
HĐ2: Giải bài tập 3:
GV phân công nhiệm vụ
cho các nhóm và cho các
nhóm thảo luận để tìm lời
HS các nhóm xem đề bài tập 2
và thảo luận tìm lời giải như
đã phân công, cử đại diện lên
Bài tập 3: (xem SGK)

8
Giáo án ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH 11 CB GV: Phạm Thị Hồng-Trường THPT Lương Tài 1- BN
giải, gọi HS đại diện lên
bảng trình bày lời giải.
Gọi HS nhận xét, bổ sung
(nếu cần).
GV nhận xét, bổ sung và
nêu lời giải đúng (nếu HS
không trình bày đúng lời
giải ).

bảng trình bày lời giải (có giải
thích).
HS nhận xét, bổ sung và sửa
chữa ghi chép.
HS trao đổi để rút ra kết quả:
KQ:
a)2; b)
3
2
; c)5; d)
3
4
.
HĐ3: Giải bài tập 7:
GV yêu cầu HS thảo luận
theo nhóm để tìm lời giải
bài tập 7, gọi HS đại diện
lên bảng trình bày lời giải.
Gọi HS nhận xét, bổ sung
(nếu cần)
GV nhận xét, bổ sung và
nêu lời giải đúng (nếu HS
không trình bày đúng lời
giải).
HS thảo luận để tìm lời giải
và cử đại diện lên bảng trình
bày (có giải thích).
HS nhận xét, bổ sung và sửa
chữa ghi chép.
HS trao đổi để rút ra kết quả:

KQ:
a)
+∞
; b)
−∞
; c)
1
2
−
; d)
+∞
.
Bài tập 7: (SGK)
3. Củng cố:
-Gọi HS nhắc lại tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
-Áp dụng : Giải bài tập 5.
GV cho HS thảo luận theo nhóm để tìm lời giải và gọi đại diện lên bảng trình bày.
GV gọi HS nhận xét, bổ sung và nêu lời giải đúng (nếu HS không trình bày đúng lời giải).
4. Hướng dẫn học ở nhà:
-Xem lại và học lí thuyết theo SGK.
-Xem lại các ví dụ và bài tập đã giải.
-Đọc trước và soạn bài mới : « Giới hạn của hàm số »

Ngày soạn: 25/1/2013Tiết 53: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I. Mục tiêu :
Qua bài này học sinh cần :
1. Về kiến thức :
- Khái niệm giới hạn của hàm số và định nghĩa của nó.
- Nắm được định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số.
2. Về kỹ năng :

-Biết vận dụng định nghĩa vào việc giải một số bài toán đơn giản về giới hạn của hàm số.
- Biết cách vận dụng định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số để giải toán.
3. Về thái độ :
- Rèn luyện tư duy logic , tích cực hoạt động , trả lời câu hỏi.
II. Chuẩn bị :
1. GV : phiếu học tập

9
Giáo án ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH 11 CB GV: Phạm Thị Hồng-Trường THPT Lương Tài 1- BN
2. HS : Nắm vững định nghĩa và định lý về giới hạn của dãy số.
III. Tiến trình bài học :
1. Kiểm tra bài cũ:
2.Bài mới:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung
HĐ1: Hình thành định
nghĩa
HĐTP1: Hoạt động 1
sgk.
Cho HS hoạt động theo 4
nhóm.
- Cho nhóm 1,2 trình bày,
nhóm 3,4 nhận xét.
HĐTP2: Thảo luận về
định nghĩa.
-Với tính chất trên, ta nói
hàm số
1
22
)(
2

−
−
=
x
xx
xf
có giới hạn là 2 khi x dần
tới 1. Vậy giới hạn của
hàm số là gì ?
-Chính xác hoá định
nghĩa và ký hiệu. Lưu ý
HS khoảng K có thể là
các khoảng (a;b) ,
);(),;(),;(
+∞−∞+∞−∞
ab
HĐ2:
HĐTP1: Củng cố định
nghĩa.
-Cho HS nêu tập xác định
của hàm số và hướng dẫn
HS dựa vào định nghĩa
để chứng minh bài toán
trên.
-Lưu ý HS hàm số có thể
không xác định tại
0
x
nhưng lại có thể có giới
hạn tại điểm này.

HĐTP2: Cho hàm số f(x)
= x.
- Chia nhóm hoạt động ,
trả lời trên phiếu học
tập.
- Đại diện nhóm 1,2
trình bày, nhóm 3,4
nhận xét, bổ sung.
-Thảo luận và trình bày
phát thảo định nghĩa.
-TXĐ : D = R\
{ }
3−
Giả sử
)(
n
x
là dãy số bất
kỳ sao cho
3
−≠
n
x
và
3
−→
n
x
khi
+∞→n

Ta có :

6)3lim(
3
)3)(3(
lim
3
9
lim)(lim
2
−=−=
+
−+
=
+
−
=
n
n
nn
n
x
x
xx
x
x
xf
Vậy
6)(
lim

3
−=
−→
xf
x
-HS dựa vào định nghĩa
và bài toán trên để
chứng minh và rút ra
nhận xét:
c
x
xx
xx
=
=
→
→
lim
lim
0
0
0
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số
tại một điểm:
1. Định nghĩa : (sgk)
VD1:
Cho hàm số
3
9
)(

2
+
−
=
x
x
xf
. CMR:
6)(
lim
3
−=
−→
xf
x
*Nhận xét:

10
Giáo án ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH 11 CB GV: Phạm Thị Hồng-Trường THPT Lương Tài 1- BN
CMR:
0
)(
lim
0
xxf
xx
=
→
HĐ3: Giới thiệu định lý
(tương tự hoá)

-Nhắc lại định lý về giới
hạn hữu hạn của dãy số.
-Giới hạn hữu hạn của
hàm số cũng có các tính
chất tương tự như giới
hạn hữu hạn của dãy số.
HĐ4: Khắc sâu định lý.
-HS vận dụng định lý 1 để
giải.
-Lưu ý HS chưa áp dụng
ngay được định lý 1 vì
0)1(lim
1
=−
→
x
x
. Với x
≠
1:

2
1
)2)(1(
1
2
2
+=
−
+−

=
−
−+
x
x
xx
x
xx
- Trả lời.
-HS làm theo hướng dẫn
của GV.
3)2(lim
1
)2)(1(
lim
1
2
lim
1
1
2
1
=+=
−
+−
=
−
−+
→
→

→
x
x
xx
x
xx
x
x
x
c
x
xx
xx
=
=
→
→
lim
lim
0
0
0
(c: hằng số)
2. Định lý về giới hạn hữu hạn:
*Định lý 1: (sgk)
VD2: Cho hàm số
x
x
xf
2

1
)(
2
+
=
Tìm
)(
lim
3
xf
x
→
.
VD3: Tính
1
2
lim
2
1
−
−+
→
x
xx
x
3. Củng cố:
1. Qua bài học các em cần:
- Nắm vững định nghĩa giới hạn hàm số.
- Biết vận dụng định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số để giải toán.
2. Một số câu hỏi trắc nghiệm khách quan khắc sâu nội dung bài học.

3. BTVN : Bài tập 1,2 sgk trang 132.

Ngày soạn: 25/1/2013 Tiết 54. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

I. Mục tiêu:
Qua bài học học sinh cần hiểu được:
1. Về kiến thức:
- Biết định nghĩa giới hạn một bên của hàm số và định lý của nó .
- Biết định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực.
2. Về kỹ năng:
- Biết vận dụng định nghĩa vào việc giải một số bài toán đơn giản về giới hạn của hàm
số.
- Biết vận dụng các định lý về giới hạn của hàm số để tính các giới hạn đơn giản.
3. Về thái độ :
- Rèn luyện tư duy logic , tích cực hoạt động , trả lời câu hỏi.
II. Chuẩn bị :
1. GV : phiếu học tập

11
Giáo án ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH 11 CB GV: Phạm Thị Hồng-Trường THPT Lương Tài 1- BN
2. HS : Nắm vững định nghĩa và định lý về giới hạn của dãy số.
III. Tiến trình bài học:
1. Kiểm tra bài cũ: Thông qua các hoạt động trong giờ học.
2. Bài mới
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung
GV giới thiệu giới hạn một
bên.
H: Khi
−
→

2x
thì sử dụng
công thức nào ?
H:
−
→
2
)(lim
x
xf
= ?
H: Khi
+
→
2x
thì sử dụng
công thức nào ?
H:
+
→
2
)(lim
x
xf
= ?
H: Vậy
)(lim
2
xf
x

→
= ?
H: Trong biểu thức (1) xác
định hàm số
)(xfy
=
ở ví dụ
trên cần thay số 4 bằng số
nào để hàm số có giới hạn là
-1 khi
2
→
x
?
Cho hàm số
2
1
)(
−
=
x
xf
có
đồ thị như hvẽ
6
4
2
-2
-4
-5

5
H: Khi biến
x
dần tới dương
vô cực, thì
)(xf
dần tới giá trị
nào ?
H: Khi biến
x
dần tới âm vô
cực, thì
)(xf
dần tới giá trị
nào ?
GV vào phần mới
H: Tìm tập xác định của hàm
số trên ?
Nghe và chép bài
H: Sử dụng công thức
(2)
152
)5(lim)(lim
2
2
2
2
−=−=
−=
−

−
→
→
xxf
x
x
H: Sử dụng công thức
(1)
1042.3
)43(lim)(lim
2
2
=+=
+=
+
+
→
→
xxf
x
x
Vậy
)(lim
2
xf
x
→
không
tồn tại vì
−

→
2
)(lim
x
xf

≠
+
→
2
)(lim
x
xf
1)(lim)(lim
1)(lim
22
2
−==⇔
−=
+−
→→
→
xfxf
xf
xx
x
Do đó cần thay số 4
bằng số -7
)(xf
dần tới 0

)(xf
dần tới 0
Hàm số trên xác định
trê n (-
∞
; 1) và trên
(1; +
∞
).
HS nêu hướng giải và
lên bảng làm.
3. Giới hạn một bên:
ĐN2: SGK
ĐL2: SGK
Ví dụ: Cho hàm số



<−
≥+
=
)2(25
)1(243
)(
2
xkhix
xkhix
xf
Tìm
−

→
2
)(lim
x
xf
,
+
→
2
)(lim
x
xf
,
)(lim
2
xf
x
→

( nếu có ).
Giải:
1042.3
)43(lim)(lim
2
2
=+=
+=
+
+
→

→
xxf
x
x
1042.3
)43(lim)(lim
2
2
=+=
+=
+
+
→
→
xxf
x
x
Vậy
)(lim
2
xf
x
→
không tồn tại vì
−
→
2
)(lim
x
xf

≠
+
→
2
)(lim
x
xf
II. Giới hạn hữu hạn của hàm số
tại vô cực:
ĐN 3: SGK
Ví dụ: Cho hàm số
1
23
)(
−
+
=
x
x
xf
.
Tìm
)(lim xf
x
−∞→
và
)(lim xf
x
+∞→

.
Giải:
Hàm số đã cho xác định trên (-
∞
;
1) và trên (1; +
∞
).
Giả sử (
n
x
) là một dãy số bất kỳ,
thoả mãn
n
x
< 1 và
∞−→
n
x
.
Ta có
3
1
1
2
3
lim
1
23
lim)(lim

=
−
+
=
−
+
=
n
n
n
n
n
x
x
x
x
xf
Vậy
3
1
23
lim)(lim
=
−
+
=
−∞→−∞→
x
x
xf

xx
Giả sử (
n
x
) là một dãy số bất kỳ,

12
Giáo án ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH 11 CB GV: Phạm Thị Hồng-Trường THPT Lương Tài 1- BN
H: Giải như thế nào ?
Với c, k là các hằng số và k
nguyên dương,
=
±∞→
c
x
lim
?
=
±∞→
k
x
x
c
lim
?
H: Khi
+∞→x
hoặc
−∞→
x

thì có nhận xét gì về định lý 1
?
H: Giải như thế nào?
H: Chia cả tử và mẫu cho
2
x
,
ta được gì?
Kết quả ?
Gọi HS lên bảng làm
cc
x
=
±∞→
lim
0lim
=
±∞→
k
x
x
c
Định lý 1 vẫn còn
đúng.
Chia cả tử và mẫu cho
2
x
2
35

lim
2
2
+
−
+∞→
x
xx
x
=
2
2
1
3
5
lim
x
x
x
+
−
+∞→
=
2
2
lim1lim
3
lim5lim
x
x

xx
xx
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+
−
= 5
HS lên bảng trình bày
thoả mãn
n
x
> 1 và
∞+→
n
x
.
Ta có:
3
1
1
2
3
lim
1
23
lim)(lim
=
−
+
=

−
+
=
n
n
n
n
n
x
x
x
x
xf
Vậy
3
1
23
lim)(lim =
−
+
=
+∞→+∞→
x
x
xf
xx
Chú ý:
a) Với c, k là các hằng số và k
nguyên dương, ta luôn có :

cc
x
=
±∞→
lim
;
0lim
=
±∞→
k
x
x
c
.
b) Định lý 1 về giới hạn hữu hạn
của hàm số khi
0
xx
→
vẫn còn
đúng khi
+∞→x
hoặc
−∞→
x
Ví dụ: Tìm
2
35
lim
2

2
+
−
+∞→
x
xx
x
Giải: Chia cả tử và mẫu cho
2
x
,
ta có:
2
35
lim
2
2
+
−
+∞→
x
xx
x
=
2
2
1
3
5
lim

x
x
x
+
−
+∞→
=
)
2
1(lim
)
3
5(lim
2
x
x
x
x
+
−
+∞→
+∞→
=
2
2
lim1lim
3
lim5lim
x
x

xx
xx
+∞→+∞→
+∞→+∞→
+
−
=
5
01
05
=
+
−
3. Củng cố và hướng dẫn học ở nhà :
-Xem lại và học lí thuyết theo SGK.
-Xem lại các ví dụ và bài tập đã giải.
-Xem lại giới hạn một bên, giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực.

13
Giáo án ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH 11 CB GV: Phạm Thị Hồng-Trường THPT Lương Tài 1- BN
-Làm bài tập 2, 3 SGK

Ngày soạn1/02/2013 Tiết 55: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I. Mục tiêu:
1. Về kiến thức:
- Giúp học sinh nắm được định nghĩa giới hạn vô cực.
2. Về kĩ năng:
- Nắm được các qui tắc tính các giới hạn liên quan đến loại giới hạn này thông qua các
ví dụ.
3. Về thái độ:

- Rèn luyện kỹ năng xác định giới hạn cụ thể thông qua bài tập.
II. Chuẩn bị:
1. GV: Chuẩn bị các phiếu học tập.
2. HS: Đọc qua nội dung bài mới.
III. Tiến trình tiết học:
1. Kiểm tra bài cũ:
- Nêu định nghĩa giới hạn hữu hạn tại một điểm, tại ± ∞.
2. Bài mới :
Hoạt động 1: Giới hạn vô cực
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung
- Giáo viên : gọi học sinh
đứng tại chỗ đọc định
nghĩa 4 SGK
- Giáo viên hướng dẫn học
sinh ghi định nghĩa bằng kí
hiệu.
-
+∞=
+∞→
)(lim xf
x
thì
?))((lim
=−
+∞→
xf
x
- Giáo viên đưa đến nhận
xét.
- Học sinh đọc định nghĩa

4
- Học sinh tiếp thu và ghi
nhớ.
- Học sinh:

−∞=−
+∞→
))((lim xf
x
- Học sinh tiếp thu và ghi
nhớ.
III. Giới hạn vô cực của hàm
số :
1. Giới hạn vô cực:
Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) xác định
trên khoảng (a; +∞).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới
hạn là - ∞ khi
+∞→
x
nếu với
dãy số (x
n
) bất kì, x
n
> a và
+∞→
n
x

, ta có
−∞→
)(
n
xf
.
Kí hiệu:
−∞=
+∞→
)(lim xf
x
hay
−∞→
)(xf
khi
+∞→
x
.
Nhận xét :
−∞=−⇔+∞=
+∞→+∞→
))((lim)(lim xfxf
xx
Hoạt động 2: Một vài giới hạn đắc biệt
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung

14
Giáo án ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH 11 CB GV: Phạm Thị Hồng-Trường THPT Lương Tài 1- BN
- Giáo viên gọi học sinh
tính các gới hạn sau:

*
5
lim x
c
+∞→
,
5
lim x
c
−∞→
,
6
lim x
c −∞→
- Giáo viên đưa đến một
vài gới hạn đặc biệt.
- Học sinh lên bảng tính các
giới hạn.
- Học sinh lắng nghe và tiếp
thu
2. Một vài giới hạn đắc biệt:
a)
+∞=
+∞→
k
x
xlim
với k nguyên
dương.
b)

−∞=
−∞→
k
x
xlim
nếu k là số lẻ
c)
+∞=
−∞→
k
x
xlim
nếu k là số
chẵn.
Hoạt động 3: Một vài qui tắc về giới hạn vô cực
Phiếu học tập số 01:
- Nêu nội dung qui tắc tìm giới hạn tích f(x).g(x).
- Tìm giới hạn
)2(lim
3
xx
x
−
+∞→
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung
- Giáo viên hướng dẫn
học sinh phát biểu quy
tắc tìm giới hạn của tích
.
- Vận dụng tìm giới hạn

ở phiếu học tập số 01
- Học sinh tiếp thu và
ghi nhớ.
- Học sinh tính giới
hạn.
3. Một vài qui tắc về giới hạn vô
cực:
a. Quy tắc tìm giới hạn của tích
f(x).g(x)
Nếu
0)(lim
0
≠=
→
Lxf
xx
và
+∞=
→
)(lim
0
xg
xx
( hoặc - ∞ ) thì
)().(lim
0
xgxf
xx
→
được

tính theo quy tắc cho trong bảng
sau:
)(lim
0
xf
xx
→
)(lim
0
xg
xx
→
)().(lim
0
xgxf
xx
→
L > 0
+ ∞ + ∞
- ∞ - ∞
L < 0
+ ∞ - ∞
- ∞ + ∞
Phiếu học tập số 02
- Nêu nội dung quy tắc tìm giới hạn của thương.
- Xác định giới hạn
2
2
)2(
12

lim
+
+
−→
x
x
x
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung
- Giáo viên hướng dẫn
học sinh phát biểu quy
tắc tìm giới hạn thương.
- Giáo viên yêu cầu học
sinh cả lớp làm ví dụ 7
theo nhóm.
- Gọi học sinh đại diện
cho nhóm trả lời các kết
quả cảu mình.
- Học sinh tiếp thu và
ghi nhớ.
- Học sinh cả lớp giải
các ví dụ ở SGK.
- Học sinh đại diện
nhóm mình lên trình
bày kết quả.
b. Quy tắc tìm giới hạn của thương
)(
)(
xg
xf
)(lim

0
xf
xx
→
)(lim
0
xg
xx
→
Dấ
u
của
g(x)
)(
)(
lim
0
xg
xf
xx→
L ± ∞
Tuỳ
ý
0

15
Giáo án ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH 11 CB GV: Phạm Thị Hồng-Trường THPT Lương Tài 1- BN
- Giáo viên yêu cầu học
sinh cả lớp giải ví dụ 8
vào giấy nháp và gọi

một học sinh trình bày
để kiểm tra mức độ hiểu
bài của các em.
- Học sinh trả lời vào
phiếu học tập theo yêu
cầu của câu hỏi trong
phiếu
L > 0
0
+ + ∞
- - ∞
L < 0
+ - ∞
- + ∞
Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng
cho các trường hợp
−+
→→
00
, xxxx
,
−∞→+∞→
xx ,

3. Củng cố:
- Nắm các quy tắc xác định giá trị giới hạn của các hàm số tại vô cực .
- Tính các giới hạn sau:
32
23
2

2
1
52
lim;
2
22
lim;
1
54
lim
xx
xx
x
x
x
xx
xxx
−
−+
−
−+
+
−−
+∞→→−→
*. Hướng dẫn học ở nhà:
- Nắm vững quy tắc tìm giới hạn của tích và thương.
- Giải bài tập SGK

Ngày soạn: 1/02/2013 Tiết 56. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I. Mục Tiêu:

Qua bài học HS cần:
1. Về kiến thức:
- Nắm được định nghĩa và các tính chất về giới hạn của hàm số
2. Về kĩ năng:
- Biết áp dụng định nghĩa và các tính chất về giới hạn của hàm số để làm các bài tập như:
Chứng minh hàm số có giới hạn tại một điểm, tìm giới hạn của các hàm số.
3. Về thái độ:
- áp dụng thành thạo định nghĩa và các định lý về giới hạn hàm số trong việc tìm giới hạn
của hàm số
- Biết quan sát và phán đoán chính xác
- cẩn thận, chính xác, nghiêm túc, tích cực họat động
II. Chuẩn Bị:
1. GV: - Hệ thống bài tập, bài tập trắc nghiệm và phiếu học tập, bút lông
- bảng phụ hệ thống định nghĩa và các tính chất về giới hạn của hàm số
2. HS: Nắm vững định nghĩa và các tính chất về giới hạn của hàm số, làm bài tập ở
nhà,vở bài tập
III. Tiến Trình Bài Học:
1. Kiểm tra bài cũ:
1: Hệ thống kiến thức ( đưa trên bảng phụ)
: Bài tập áp dụng định nghĩa để tìm giới hạn của hàm số, chứng minh hàm số có giới hạn.
3: Bài tập áp dụng các định lí để tìm giới hạn của hàm số
4: Bài tập trắc nghiệm củng cố, ra bài tập thêm (nếu còn thời gian)
2. Bài mới:

16
Giáo án ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH 11 CB GV: Phạm Thị Hồng-Trường THPT Lương Tài 1- BN
HĐ1: gọi HS nêu định nghĩa về giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm, giới hạn một bên
và các định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số.
- Gv hệ thống lại các kiến thức treo bảng phụ lên và đi vào bài mới.
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung

HĐ2: áp dụng định nghĩa
tìm giới hạn các hàm số:
- Chia nhóm HS ( 4 nhóm)
- Phát phiếu học tập cho
HS.
- Quan sát hoạt động của
học sinh, hướng dẫn khi
cần thiết .
Lưu ý cho HS:
- sử dụng định nghĩa giới
hạn hạn hữu hạn của hàm
số tại một điểm.
- Gọi đại diện nhóm trình
bày.
- Gọi các nhóm còn lại
nhận xét.
- GV nhận xét, sữa sai
( nếu có) và đưa ra đáp
án đúng.
HĐ3: áp dụng định lý tìm
giới hạn các hàm số:
- Chia nhóm HS ( 4 nhóm)
- HS lắng nghe và tìm hiểu
nhiệm vụ.
- HS nhận phiếu học tập và
tìm phương án trả lời.
- thông báo kết quả khi
hoàn thành.
- Đại diện các nhóm lên
trình bày

- HS nhận xét
- HS ghi nhận đáp án
2 a/ xét hai dãy số:
n
b
n
a
nn
1
;
1
−==
. Ta có:
+∞→→→
nkhiba
nx
0;0
( )
11
1
limlim
=









+=
+∞→+∞→
n
af
n
n
n
( )
0
2
limlim
==
+∞→
+∞→
n
bf
n
n
n
Suy ra: hàm số đã cho
không có giới hạn khi
0
→
x
.
b/ Tương tự: hàm số cũng
không có giới hạn khi
0
→
x

Phiếu học tập số 1:
Áp dụng định nghĩa tìm giới
hạn các hàm số sau:
a/
23
1
lim
4
−
+
→
x
x
x
b/
x
x
x
−
+
→
3
3
lim
5
phiếu học tập số 2:
cho các hàm số:




<
≥+
02
01
/
xkhix
xkhix
a



<−
≥
01
0
/
2
2
xkhix
xkhix
b
Xét tính giới hạn của các hàm
số trên khi
0
→
x
.
Đáp án:
1a/ TXĐ:







+∞∪






∞−=






= ;
3
2
3
2
;
3
2
\RD







+∞∈= ;
3
2
4x
giả sử (x
n
) là dãy số bất kì,
4;;
3
2
≠






+∞∈
nn
xx
và
+∞→→
nkhix
n
4
Ta có:

( )
2
1
212
14
23
1
limlim
=
−
+
=
−
+
=
n
n
n
x
x
xf
Vậy
2
1
23
1
lim
4
=
−

+
→
x
x
x
b/ TXĐ:
( ) ( )
+∞∪∞−=
;33;D
,
( )
+∞∈= ;35x
Giả sử {x
n
} là dãy số bất kì,
( )
3;;3 ≠+∞∈
nn
xx
và
+∞→→
nkhix
n
5
Ta có:
( )
4
2
8
3

3
limlim
−=
−
=
−
+
=
n
x
x
x
xf

17
Giáo án ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH 11 CB GV: Phạm Thị Hồng-Trường THPT Lương Tài 1- BN
- Phát phiếu học tập cho
HS.
- Quan sát hoạt động của
học sinh, hướng dẫn khi
cần thiết .
Lưu ý cho HS:
- sử dụng định nghĩa giới
hạn hạn hữu hạn của hàm
số tại một điểm.
- Gọi đại diện nhóm trình
bày.
- Gọi các nhóm còn lại
nhận xét.
- GV nhận xét, sữa sai

( nếu có) và đưa ra đáp
án đúng.
- HS lắng nghe và tìm hiểu
nhiệm vụ.
- HS nhận phiếu học tập và
tìm phương án trả lời.
- thông báo kết quả khi
hoàn thành.
- Đại diện các nhóm lên
trình bày
- HS nhận xét
- HS ghi nhận đáp án
Phiếu học tập số 3:
Tìm giới hạn các hàm số sau:
a/
2
4
lim
2
2
+
−
−→
x
x
x
b/
6
33
lim

6
−
−+
→
x
x
x
c/
1
72
lim
1
−
−
−
→
x
x
x
d/
1
72
lim
1
−
−
+
→
x
x

x
Đáp án:
a/
( )( )
( )
42lim
2
22
lim
22
=−=
+
+−
=
−→−→
x
x
xx
xx

( )( )
( )
( )
( )
( )
6
1
33
1
lim

336
6
lim
336
3333
lim/
66
6
=
++
=
++−
−
=
++−
++−+
=
→→
→
xxx
x
xx
xx
b
xx
x
c/Ta có:
( )
01lim
1

=−
−
→
x
x
, x -1 < 0
với mọi x<1
và
( )
0572lim
1
<−=−
−
→
x
x
Vậy:
+∞=
−
−
−
→
1
72
lim
1
x
x
x
d/ tương tự :

−∞=
−
−
+
→
1
72
lim
1
x
x
x
3. Củng Cố: Bài tập trắc nghiệm:
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
1/
2
1
lim
2
−
−
−
→
x
x
x
bằng:

∞+∞−
.1.

4
1
DCBA
2/
( )
32lim
2
1
+−
−→
xx
x
. Có giá trị là bao nhiêu?
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6
3/
5
3
lim
4
52
1
++
−
−→
xx
xx
x
.Có giá trị là bao nhiêu?
A.
5

4
B.
7
4
C.
5
2
D.
7
2
Đáp án: 1.A; 2. D; 3.A

Ngày soạn: 9/02/2013 Tiết 57. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

18
Giáo án ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH 11 CB GV: Phạm Thị Hồng-Trường THPT Lương Tài 1- BN
I. Mục tiêu:
Qua bài này học sinh cần:
1. Về kiến thức
- Hiểu sâu hơn định nghĩa về giới hạn của hàm số ,nắm chắc các phép toán về giới hạn
của hàm số ,áp dụng vào giải toán. Vận dụng vào thực tế,thấy mối quan hệ với bộ môn khác.
2. Về kĩ năng:
- Dùng định nghỉa để tìm giới hạn của hàm số,một số thuật tìm giới hạn của một số hàm
số đặc biệt .Rèn kĩ năng tìm giới hạn của hàm số.
3. Về thái độ:
- Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng.,áp dụng vào thực tế.
- Nghiêm túc trong học tập,cẩn thận chính xác,
II. Chuẩn bị:
1. GV: Chọn bài tập thích hợp,chuẩn bị bảng phụ (hình 53 và hình 54,các trường hợp riêng
của nó),phiếu học tập.

2. HS: Học bài và làm bài ở nhà, tổng hợp phương pháp làm các dạng bài tập.
III. Tiến trình bài học:.
1. Kiểm tra bài cũ: 1) Tính các giới hạn sau: Bài tập 6 a/, b.
2) Định nghĩa giới hạn một bên? Điều kiệncần và đủ để hàm số có giới
hạn là L?
*Bài tập áp dụng:

2
2
9
:
lim
x
x
x
TÝnh
→−∞
+
−
;
9
2
2
3
lim
−
+
−
→
x

x
x
;
9
2
2
3
lim
−
+
+
→
x
x
x
;
3. Bài mới:
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung
HĐ1:
Cùng với kiểm tra bài cũ
giáo viên phát phiếu học
tập và giao nhiệm vụ cho
các tổ cùng thảo luận bài
tập đã ra về nhà.Gọi đại
diện nhóm nhận xét bài làm
của bạn ,sữa chữa những
sai sót ,bổ sung rồi hoàn
chỉnh bài giải (nếu cần).
HĐ2: Giáo viên treo hình
53 quan sát đồ thị và nêu

nhận xétvề giá trị hàm số đã
cho khi
x
→
-
∞
;x
→
+
∞
;x
→
3
-
;x
→
3

+
So sánh với kết quả nhậ
được ở trên (kiểm tra bài cũ
).Cho 2nhóm làm bằng trực
Các nhóm cùng nhau thảo
luận tìm ra lời giải bài
toán.cùng trao đổi thảo
luận với bạn và các nhóm
bạn để được đáp án đúng.từ
đó rút ra phương pháp làm
bài tập dạng này.
Các nhóm cùng trao đổi

thảo luận tìm ra lời giải bài
toán.
9
2
2
lim
−
+
−∞→
x
x
x
= 0
9
2
2
lim
−
+
+∞→
x
x
x
=0

9
2
2
3
lim

−
+
−
→
x
x
x
= -
∞
Bài tập6.Tính các giới hạn
sau:
b/
)532(lim
23
−+−
−∞→
xx
x
d/
x
xx
x
25
1
2
lim
−
++
+∞→
.

Kết quả: b/ =
∞+
d/ =-1.
Bài tập 5:Bằng hình ảnh trực
quan tìm các giới hạn của
hàm số, so sánh với kết quả
tìm được bằng cách giải ở
trên.

19
Giáo án ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH 11 CB GV: Phạm Thị Hồng-Trường THPT Lương Tài 1- BN
quan ,2 nhóm làm bằng giải
tích.
HĐ3:Cho hình vẽ 54 (Treo
bảng phụ ) .Phát phiếu học
tập cho các nhóm.cho các
nhóm thảo luận.đại diện
nhóm trình bày bài giải của
nhóm mình.Đại diện các
nhóm thảo luận ( nhận xét
bổ sung ,đưa ra kết quả
đúng).
H
1:
fd
df
fd
−
+
→

.
lim

= ? Kết quả
này nghĩa là gì?

H
2
:
fd
df
fd
−
−
→
.
lim

= ? Kết quả
này nghĩa là gì?
9
2
2
3
lim
−
+
+
→
x

x
x
= +
∞
Các nhóm cùng thảo luận
tìm ra lời giải của bài
toán .Cùng nhau trao đổi
thảo luận .
TL :
fd
df
fd
−
+
→
.
lim
= +
∞
.Nghĩa
là Nếu vật thật AB tiến dần
về tiêu điểm F sao cho d
luôn lớn hơn f thì ảnh của
nó dần tới dương vô cực

B F’
A F 0
TL:
fd
df

fd
−
−
→
.
lim
= -
∞
. Nghĩa
là Nếu vật thật AB tiến dần
về tiêu điểm F sao cho d
luôn nhỏ hơn f thì ảnh của
nó dần tới âm vô cực.

B
F
F A O
TL:
fd
df
d
−
+∞→
.
lim
= f . Nghĩa là
vật thật AB ở xa vô cực so
với thấu kính thì ảnh của nó
ở ngay trên tiêu diện ảnh
(mặt phẳng qua tiêu điểm

ảnh F
’
và vuông góc với
4
2
-2
-4
-5
5
-2
j
Bài tập 7
Một thấu kính hội tụ có tiêu
cự f. Gọi d và d
’
lần lượt là
khoảng cách từ một vật thật
AB và từ ảnh A
’
B
’
của nó tới
quang tâm 0 của thấu kính
.Công thức thấu kính là;

f
d
d
111
'

=+
a/ Tìm biểu thức xác định
hàm số d
’
=
( )
d
ϕ
.
b/ Tìm giới hạn của
( )
d
ϕ
khi
d tiến bên trái ,bên phải điểm
f . khi d tiến tới dương vô
cực.Giải thích ý nghĩa của
các kết quả tìm được.
Kết quả:
a/ d
’
=
( )
d
ϕ
.=
fd
df
−
.

b/ *
fd
df
fd
−
+
→
.
lim
= +
∞

*
fd
df
fd
−
−
→
.
lim
= -
∞
*
fd
df
d
−
+∞→
.

lim
= f

20
Giáo án ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH 11 CB GV: Phạm Thị Hồng-Trường THPT Lương Tài 1- BN
H
3
:
fd
df
d
−
+∞→
.
lim
= f ? kết quả
này nghĩa là gì ?
trục chính.

F
’
F O
3. Cũng cố hướng dẫn học ở nhà :Xem lại các bài tập đã chữa Ôn lại định nghĩa giới hạn
của hàm số. xem lại cách tìm 1 số giới hạn của hàm số có tính chất đặc biệt.
Làm thêm các bài tập sau: 1/
( )
( )
1
1
2

3
1
lim
−
+
+
−→
x
x
x
x
2/
(
)
xx
x
−+
+∞→
1lim
2

Ngày soạn: 16/02/2013 Tiết 58: HÀM SỐ LIÊN TỤC
I. Mục tiêu:
Qua bài học HS cần:
1. Về kiến thức :
- Khái niệm hàm số liên tục tại 1điểm ,hàm số liên tục trên 1 khoảng và các định lí cơ
bản.
2. Về kỹ năng:
- Rèn luyện kỹ năng xác định xét tính liên tục của hàm số.
3. Về thái độ:

- Vận dụng định nghĩa vào việc nghiên cứu tính liên tục của hàm số và sự tồn tại nghiệm
của phương trình dạng đơn giản.
- Cẩn thận ,chính xác.
II. Chuẩn bị:
1.GV: Giáo án , phiếu học tập, bảng phụ.
2. HS: Ôn tập các kiến thức cũ về giới hạn của hàm số.
III. Tiến trình dạy học:
1. Kiểm tra bài cũ:
Cho 2 hàm số f(x) = x
2
và g(x) =





≥+−
<<−
−≤+−
1,2
11,2
1,2
2
2
khixx
xkhi
khixx

a, Tính giá trị hàm số tại x = 1 và so sánh giới hạn (nếu có) của hàm số khi x
→

1
b, Nêu nhận xét về đồ thị của mỗi hàm số tại điểm có hoành độ x = 1 (GV treo bảng phụ)
2. Bài mới:
Hoạt động của HS Hoạt động của GV Nội dung
HS nêu Định nghĩa về
GV nêu câu hỏi:
Thế nào là hàm số liên tục
I. Hàm số liên tục tại một điểm
*Định nghĩa1:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên
khoảng K và x
0

K
∈
.Hàm số y = f(x)

21
Giáo án ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH 11 CB GV: Phạm Thị Hồng-Trường THPT Lương Tài 1- BN
hàm số liên tục tại 1
điểm

TXĐ D = R\ {3}

?)2()(lim
2
fxf
x
=
→

4)(lim
2
−=
→
xf
x
f(2) = -4
Hàm số liên tục tại x
0
=
2



+ TXĐ: D = R
+ f(1) = a
+
2)(lim
1
=
→
xf
x
+hàm số liên tục tại x
0
=
1
⇔
)1()(lim

1
fxf
x
=
→
⇔
a =
2.
+ a
2
≠
thì hàm số gián
đoạn tại x
0
=1

tại 1 điểm?

Tìm TXĐ của hàm số?
Xét tính liên tục của hàm
số tại x
0
= 2 ta kiểm tra
điều gì?
Hãy tính
)(lim
2
xf
x
→

?
f(2)=?
Kết luận gì về tính liên tục
của hàm số tại x
0
= 2?

+ Tìm TXĐ ?
+Tính f(1)?
+Tính
?)(lim
1
xf
x
→
+ a = ? thì hàm số liên
tục tại x
0
=1?
+ a = ? thì hàm số gián
đoạn tại x
0
= 1?
Tìm TXĐ?
Hàm số liên tục tại x
0
= 0
khi nào?
Tính f(0)?
được gọi là liên tục tại x

0
nếu
)()(lim
0
0
xfxf
xx
=
→
* Hàm số y = f(x) không liên tục tại
x
0
được gọi là gián đoạn tại điểm
đó.
Ví dụ:
1.Xét tính liên tục của hàm số:
f(x)=
3
2
−
x
x
tại x
0
= 2
TXĐ : D = R\{3}
4
32
2.2
3

2
lim)(lim
22
−=
−
=
−
=
→→
x
x
xf
xx
f(2) =
4
32
2.2
−=
−
)2()(lim
2
fxf
x
=⇒
→
Vậy hàm số liên tục tại x
0
=2
2.Cho hàm số
f(x) =






=
≠
−
−
1
1
1
1
2
akhix
khix
x
x
Xét tính liên tục của hàm số tại x
0
=
1
TXĐ: D = R
f(1) = a
1
)1)(1(
lim
1
1
lim)(lim

1
2
11
−
+−
=
−
−
=
→→→
x
xx
x
x
xf
xxx
=
2)1(lim
1
=+
→
x
x
+ a =2 thì
)1()(lim
1
fxf
x
=
→

Vậy hàm số liên tục tại x
0
= 1
+ a
2
≠
thì
)1()(lim
1
fxf
x
≠
→
Vậy hàm số gián đoạn tại x
0
=
1
3. Cho hàm số f(x) =



≤
>+
0
01
2
xkhix
khixx
Xét tính liên tục của hàm số tại x =
0

TXĐ: D = R
f(0) = 0
0lim)(lim
00
==
−−
→→
xxf
xx

22
Giáo án ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH 11 CB GV: Phạm Thị Hồng-Trường THPT Lương Tài 1- BN
TXĐ : D = R

)0()(lim)(lim
00
fxfxf
xx
==
+−
→→
f(0) = 0
0lim)(lim
00
==
−−
→→
xxf
xx
1)1(lim)(lim

2
00
=+=
++
→→
xxf
xx
+
−
→
→
≠
0
0
)(lim)(lim
x
x
xfxf
Hàm số không liên tục
tại x
0
= 0

HS định nghĩa tương tự
TXĐ : D = R
Tổng,hiệu ,tích ,thương
các hàm số liên tục tại 1
điểm.
TXĐ:D=R \{ 2;
π

π
k
+
2
,k
Z
∈
}
hàm số liên tục tại mọi
điểm x
2
≠
và x
≠
π
π
k
+
2
( k
)Z
∈
+ x > 1 : f(x) = ax + 2
Hàm số liên tục trên
(1 ; +
)∞
+ x< 1: f(x) = x
2
2
−+

x
Tính
?)(lim
0
xf
x
−
→

Tính
?)(lim
0
xf
x
+
→
Nhận xét
)(lim
0
xf
x
−
→
và
?)(lim
0
xf
x
+
→

Kết luận gì?
Hàm số liên tục trên
nửa khoảng (a ; b ] , [a ;
+
)∞
được định nghĩa như
thế nào?
Các hàm đa thức có TXĐ
là gì?
Các hàm đa thức liên tục
trên R.
Tìm TXĐ?

kết luận gì về tính liên tục
của hàm số ?
+ x > 1 : f(x) = ?
kết luận gì về tính liên tục
của hàm số?
+ x< 1 : f(x) = ?
kết luận gì về tính liên tục
của hàm số?
+ Xét tính liên tục của

1)1(lim)(lim
2
00
=+=
++
→→
xxf

xx

Vì
+
−
→
→
≠
0
0
)(lim)(lim
x
x
xfxf

Nên
)(lim
0
xf
x
→
không tồn tại và do đó
hàm số không liên tục tại x
0
= 0.
II. Hàm số liên tục trên một
khoảng.
* Định nghĩa 2:
Hàm số y = f(x) được gọi là liên
tục trên 1 khoảng nếu nó liên tục tại

mọi điểm của khoảng đó.
+ hàm số y = f(x) được gọi là liên
tục trên [a ; b] nếu nó liên tục trên
(a ;b) và
)()(lim afxf
ax
=
+
→

)()(lim bfxf
bx
=
−
→

Chú ý: đồ thị của 1 hàm số liên tục
trên 1 khoảng là 1 “đường liền”
trên khoảng đó.
III. Một số định lí cơ bản.
* ĐL 1: SGK
* ĐL 2: SGK.
Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số
y =
2
costan)1(
−
−+
x
xxx

TXĐ : D = R \{ 2;
π
π
k
+
2
,k
Z
∈
}
Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm x
2
≠
và x
≠
π
π
k
+
2
( k
)Z
∈
Ví dụ: Cho hàm số
f(x) =



<−+
≥+

11
12
2
khixxx
khixax
Xét tính liên tục của hàm số trên
toàn trục số.
+x >1 : f(x) = ax + 2 nên hàm số
liên tục.
+x < 1: f(x) = x
1
2
−+
x
nên hàm số
liên tục.
+tại x = 1:
f(1) = a +2 .

23
Giáo án ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH 11 CB GV: Phạm Thị Hồng-Trường THPT Lương Tài 1- BN
Hàm số liên tục trên (-
)1;
∞
f(1) = a +2 .
2)2(lim)(lim
11
+=+=
++
→→

aaxxf
xx
.
1)1(lim)(lim
2
11
=++=
−−
→→
xxxf
xx
a =-1thì hàm số liên tục
trên R.
a
≠
-1 thì hàm số liên
tục trên
( -
);1()1;
+∞∪∞
.
GV treo bảng phụ hình
59/ SGK và giải thích.
GV nhấn mạnh ĐL 3
được áp dụng đẻ CM sự
tồn tại nghiệm của
phương trình trên
1khoảng.
a = -1 ; b = 1
hàm số f(x) = x

5
+ x -1
liên tục trên R nên liên
tục trên đoạn [-1;1]
f(-1) = -3
f(1) = 1
f( -1) .f(1) = -3 < 0.
hàm số tại x = 1?
Tính f(1)?
?)(lim
1
xf
x
−
→
?)(lim
1
xf
x
+
→
kết luận gì về tính liên tục
của hàm số trên toàn trục
số?
HS quan sát hình vẽ
a = ?, b = ?
hàm số f(x) = x
5
+ x -1
liên tục ko?

Tính f (-1)?
f(1) ?
Kết luận gì về dấu của
f(-1)f(1)?
2)2(lim)(lim
11
+=+=
++
→→
aaxxf
xx
.
1)1(lim)(lim
2
11
=++=
−−
→→
xxxf
xx
a = -1 thì
)1()(lim)(lim
11
fxfxf
xx
==
−+
→→
nên hàm số liên tục tại x = 1.
a

1
−≠
hàm số gián đoạn tại x = 1
Vậy:a = -1 thì hàm số liên tục trên
R.
a
≠
-1 thì hàm số liên tục trên
( -
);1()1;
+∞∪∞
.
* ĐL 3: Nếu hàm số y = f(x) liên
tục trên đoạn [ a; b] và f(a).f(b) < 0
thì tồn tại ít nhất 1 điểm c
∈
( a; b)
sao cho f( c) = 0.
Nói cách khác:
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên
[a ; b] và f(a).f(b) < 0 thì phương
trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm
nằm trong (a ; b).
Ví dụ : Chứng minh rằng phương
trình :x
5
+ x -1 có nghiệm trên(-
1;1).
Giải: Hàm số f(x) = x
5

+ x -1 liên
tục trên R nên f(x) liên tục trên [-1;
1] .
f(-1) = -3
f(1) = 1
do đó f( -1) .f(1) = -3 < 0.
Vậy phương trình có ít nhất 1
nghiệm thuộc ( -1; 1).
3. Củng cố:ĐN hàm số liên tục tại 1 điểm.
ĐN hàm số liên tục trên 1 khoảng.
Một số định lí cơ bản.
* Hướng dẫn học ở nhà: các bài tập SGK.

Ngày soạn: 16/02/2013 Tiết 59: HÀM SỐ LIÊN TỤC
I. Mục tiêu:
Qua bài học HS cần:
1.Về kiến thức:

24
Giáo án ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH 11 CB GV: Phạm Thị Hồng-Trường THPT Lương Tài 1- BN
- Nắm vững khài niệm hàm số liên tục tại một điểm và vận dụng định nghĩa vào việc
nghiên cứu tính liên tục của hàm số
2.Về kĩ năng:
- Vận dụng định nghĩa,các tính chất trong việc xét tính liên tục của các hàm số.
3.Về tư duy thái độ:
- Tích cực hoạt động, giải các bài tập trong sách giáo khoa
II. Chuẩn bị:
1.GV: Giáo án, sách giáo khoa
2. HS: Ôn tập lý thuyết và làm bài tập ở nhà
III. Tiến trình bài học:

1. Kiểm tra bài cũ: Nêu định nghĩa, các định lý của hàm số liên tục ?
Vận dụng: Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số:f(x) =
3
2 1x x
+ −
tại
0
3x
=
2. Bài mới:
Hoạt động củaGV Hoạt động của HS Nội dung
HD: Tìm tập xác định?
Tính
( )
2
lim
x
g x
→
và f ( 2)
rồi so sánh
HD: Thay số 5 bởi số nào
để hàm số liên tục tại
0
2x
=
tức là để
( ) ( )
x 2
limg x 2g

→
=
HD: - Vẽ đồ thị y = 3x + 2
khi
x < - 1 ( là đường thẳng)
- Vẽ đồ thị y =
2
1x
−
nếu
TXD: D = R
( )
2
2
3
8
lim
lim
2
x
x
x
g x
x
→
→
=
−
−
( )

2
2
12
lim 2 4
x
x x
→
=
+ +
g (2) = 5
( )
( )
2
2
lim
x
g
g x
→
⇒ ≠

Hàm số y = g(x) không liên
tục tại
0
2x
=
Học sinh trả lời
- HS vẽ đồ thị
- Dựa vào đồ thị nêu các
khoảng để hàm số y = f(x)

Bài tập 2:
( )
3
8
, 2
2
5 , 2
x
x
g x
x
x

−
≠

=
−


=

a/ Xét tính liên tục của hàm
số
y = g (x) tại
0
2x
=
KL: Hàm số y = g(x) không
liên tục tại

0
2x
=
b/ Thay số 5 bởi số 12
Bài tập 3:
( )
2
3 2 , 1
1 , 1
x x
f x
x x
+ < −

=

− ≥ −

a/ Hàm số y = f(x) liên tục

25