TAI LIEU ON THI LOP 10

Ti liệu ôn tập lớp 9 môn toán
Biên soạn: Nguyễn Đức Trờng THCS Đa Tốn, Gia Lâm- H Nội Trang
1






Chỉ có sự nỗ lực của chính bạn mới đem lại thnh công
Bài 1: Cho biểu thức : M =










+


+

xx
x
xx
x
x
x
x 2
1
11
:
1

a) Rút gọn M.
b) Tính giá trị của M khi x = 7 + 4
3
c) Tìm x sao cho M = 2
Bài 2: Cho biểu thức : P =

+












2
2
:
2
3
2
4
x
x
x
x
xxx
x

a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi x =
53

8
+

c) Tìm các giá trị của n để có x thoả mãn ( 1+x ).P > x + n
Bài 3: Cho biểu thức :
1
2
1
2
1
42


++
+
+

+
=
aaa
a
aa
a
P
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi
223 =a
.
c) Chứng minh rằng P < 1/3 .
Bài 3: Cho biểu thức : B =

++











+

+
1
2
1:
1
1
1
12

xx
x
xxx
x

a) Rút gọn B.
b) Tìm x để : 2.B < 1
c) Với giá trị nào của x thì B.
x = 4/5
Bài 4: Cho biểu thức : M =










+

+

+
1
1
3
1
:
3
1
9
72
xxx
x
x
xx

a) Rút gọn M.
b) Tìm các số nguyên của x để M là số nguyên.
c) Tìm x sao cho : M > 1
Ti liệu ôn tập lớp 9 môn toán
Biên soạn: Nguyễn Đức Trờng THCS Đa Tốn, Gia Lâm- H Nội Trang
2
Bài 5: Cho biểu thức : A = 1 :

+
+
+


+
+
1
1
1
1
1
22
xxx
x
xx
xx

a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A nếu x = 7 - 4 3
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A .
Bài 6: Cho biểu thức : P =

+


+








+



+
1
2
11
1
:
1
1
1
1

x
x
x
xx
x
x
x

a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi x =
2
347

c) Tìm x sao cho P = 1/2
Bài 7: Cho biểu thức : A =








+
+

++


+
x
xx
x
xx
x
x
x
1
1
:
1
1
12
3

a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A nếu x =
2
32

c) Xét dấu của tích A. x1
Bài 8: Cho biểu thức : A =

+
+










+
1
1:
1
1
1
2
x
x
xxxxx

x

a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < 0
Bài 9: Cho biểu thức : B =








+










+++

+
1
2
2:

1
2
1
1
x
xx
xxxxx

a) Rút gọn B.
b) Tính giá trị của B khi x = 6 + 2
5
c) Tìm x nguyên để B nguyên.
Bài 10: Cho biểu thức : A =









+
+

+
+
xxxx
x
2

1
6
5
3
2

a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A nếu x =
32
2
+

c) Tìm x nguyên để A nguyên
Ti liệu ôn tập lớp 9 môn toán
Biên soạn: Nguyễn Đức Trờng THCS Đa Tốn, Gia Lâm- H Nội Trang
Bài 11: Cho biểu thức : M =









+


+

+

x
x
x
x
xx
x
3
12
2
3
65
92

a) Rút gọn M.
b) Tìm x để M < 1
c) Tìm các số tự nhiên x để M nguyên.
Bài 12: Cho biểu thức : A =

+

+
2
3
1:
3
1
32
4
x
x
x
x
xx
xx

a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A > 1
c) Tìm m để có số x sao cho: ( x + 1).A = m.(x+1) -2

Bài 13: Cho biểu thức : P =
3
2
3
:
2
2
4
4
2
2
xx
xx
x
x
x
x
x
x










+

+

a) Rút gọn P.
b) Tìm các số nguyên của x để P chia hết cho 4.
c) Tìm x sao cho P = -1
Bài 14: Cho biểu thức : M =








+
+

+

+

xx
x
x
x
x
x
x
x
141
:
1
13
1

a) Rút gọn M.
b) Tìm các số tự nhiên x để M là số nguyên
c) Tìm x thoả mãn M < 0
Bài 15: Cho biểu thức : P =

+
+









++


+
x
x
xxx
x
x
x
1
52
1
3
:
1
1

12
3

a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi x =
53
8


c) Tìm x nguyên để P là số tự nhiên
d) Tìm x để P < -1
Bài 16: Cho biểu thức : B =









+

+

+


+
xx
x
x
x
x
x
xx
x
2
2
2
3
:
4
23
2
3
2

a) Rút gọn B.
b) Tính giá trị của B khi x = 9 - 4
5

c) Tìm x sao cho B.( x 1 ) = 3 x
3
Ti liệu ôn tập lớp 9 môn toán
Biên soạn: Nguyễn Đức Trờng THCS Đa Tốn, Gia Lâm- H Nội Trang
Bài 17: Cho biểu thức : M =








+

+

+
+










+

+
+
+
1
11
1
:1
11
1
xy
xxy
xy
x
xy
xxy
xy
x

a) Rút gọn M
b) Tính giá trị của M khi x = 2 - 3 và y =
31
13
+


c) Tìm giá trị nhỏ nhất của M nếu :
4=+ yx

Bài 18: Cho biểu thức : B =

+++


+
+
632
6
632
32
yxxy
xy
yxxy
yx

a) Rút gọn B.
b) Cho B=
).10(
10
10


+
y

y
y
Chứng minh :
10
9
=
y
x

Bi 19 : Cho biu thc :








+










+

+

+
+
=
1
2:
3
2
2
3
65
2
x
x
x
x
x
x
xx
x
P

a) Rút gọn P.
b) Tìm x để
2
51

P

( THI VO LP 10 THPT Chu Văn An, Amterdam, HN. Khúa thi : 2001-2002 )
Bi 20 : Cho biu thc :
vi x 0 ; x 1.
1) Rỳt gn P.
2) Tìm x sao cho P < 0.
( THI VO LP 10 H CHUYấN TNH H TY.Mụn : Toỏn (chung)Khúa thi : 2003 2004)
Bi 21 : Cho biu thc :
(
)
1
122
1
2


+
+

++

=
x
x
x
xx
xx
xx
P

a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
c) Tìm x để biểu thức
P
x
Q
2
=
nhận giá trị là số nguyên
( THI VO LP 10 THPT Chu Văn An, Amterdam, HN. Khúa thi : 20-6-2003 )
Bi 22 : Cho biu thc :
2
2
2
1
1
1
1
1

+

+

=
x
xx
x
x
x
P

4
Ti liệu ôn tập lớp 9 môn toán
Biên soạn: Nguyễn Đức Trờng THCS Đa Tốn, Gia Lâm- H Nội Trang
5
a) Rút gọn P
b) Tìm x để 2>
x
P

( THI VO LP 10 THPT Chu Văn An, Amterdam, HN. Khúa thi : 18-6-2004 )
Bi 23 : Cho biu thc :

+










+

=
2
2
:
2
45
2

1
x
x
x
x
xx
x
x
P

a) Rút gọn P
b) Tìm m để có x thoả mãn : 12 += mxxmxP
( THI Tốt nghiệp trung học cơ sở, HN. Khúa thi : 26-5-2005 )
Bài 24 : Cho biểu thức :
()()









+
+

+

+
++
=
1
1
1
1
:
1
12
23
aa
a
aa
aa
aa
P

1) Rút gọn biểu thức P.
2) Tìm a để :
.1
8
11

+

a
P

(Thi tuyển sinh v o lớp 10 THPT- H Nội 16- 6 - 2006)
Bài 25 : Cho biểu thức :
1
46
1
3
1



+
+

=
x
x
xx
x
P

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x để
2
1
<P

(Thi tuyển sinh vo lớp 10 THPT- H Nội 20- 6 - 2007)
Bài 26 : Cho biểu thức :
xx
x
x
x
x
P
+








+
+= :
1
1

1) Rút gọn P.
2) Tìm giá trị của P khi x = 4.
3) Tìm x để
3
13
=P

(Thi tuyển sinh vo lớp 10 THPT- H Nội 18- 6 - 2008)

Ước mơ chính l bánh lái của con tầu, để ớc mơ thnh công bạn cần có nghị lực
Ti liệu ôn tập lớp 9 môn toán
Biên soạn: Nguyễn Đức Trờng THCS Đa Tốn, Gia Lâm- H Nội Trang
6
Bài 1: Một xe tải đi từ A đến B cách nhau 214,5 km . Cùng lúc đó một xe khách đi từ B trở về A.
Tìm vận tốc của mỗi xe, biết rằng xe khách đi nhanh hơn xe tải 4km mỗi giờ nên đã đến A trớc
khi xe tải đến B 1 giờ 30 phút.
Bài 2: Một xe tải đi từ A đến B cách nhau 120 km .Nửa giờ sau một xe máy chạy từ A để đến B
chạy chậm hơn xe tải 6km/h nên đến B chậm hơn 70 phút so với xe tải.Tính vận tốc mỗi xe ?
Bài 3: Hai bến sông AB cách nhau 80km. Hai ca nô khởi hành cùng một lúc từ A đến B , ca nô thứ
nhất chạy chậm hơn ô tô thứ hai 4km/h . Trên đờng đi ca nô thứ hai dừng lại nghỉ 1giờ rồi chạy
tiếp đến B. Tính vận tốc của mỗi ca nô , biết rằng ca nô thứ nhất đến B trớc ca nô thứ hai 20 phút.
Bài 4: Một ca nô xuôi dòng 90km, rồi ngợc dòng 36 km. Biết thời gian xuôi dòng nhiều hơn
ngợc dòng là 2 giờ và vận tốc xuôi dòng lớn hơn ngợc dòng là 6km/h. Tính vận tốc thực của
canô .
Bài 5: Một ca nô đi xuôi dòng 48 km rồi đi ngợc dòng 22 km. Biết rằng thời
gian đi xuôi dòng lớn hơn thời gian đi ng ợc dòng là 1giờ và vận tốc đi xuôi lớn
hơn vận tốc đi ngợc là 5 km/h. Tính vận tốc ca nô đi ng ợc dòng.
(Thi tuyển sinh v o lớp 10 THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm- Vĩnh long 2005 -2006)
Bài 6: Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 54km. Cả đi lẫn về mất 5 giờ 15 phút .Tính vận
tốc của dòng nớc , biết vận tốc riêng của tàu khi nớc yên lặng là 21km/h.
Bài 7: Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 60km đi ngợc chiều nhau. Sau 1giờ
20 phút gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô , biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn vận

tốc ca nô đi ngợc là 9km/h và vận tốc dòng nớc là 3km/h.
Bài 8: Một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 24km, cùng lúc đó có một chiếc bè trôi theo
dòng nớc từ A về hớng B. Sau khi ca nô đến B quay trở lại thì gặp chiếc bè đã trôi đợc 8km.
Tính vận tốc riêng của ca nô, biết rằng vận tốc của bè bằng vận tốc dòng nớc bằng 4km/h.
Bài 9: Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian đã định. Khi đi đợc
nửa quãng đờng xe bị chắn bởi xe hoả 3 phút .Vì vậy để đến B đúng hạn xe phải tăng tốc 2km/h
trên quãng đờng còn lại. Tính vận tốc dự định.
Bài 10: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ C đến D. Xe tải đi với vận tốc 30km/h, xe con
đi với vận tốc 45km/h .Sau khi đã đi đợc 3/4 quãng đờng CD, xe con tăng vận tốc thêm 5km/h
trên quãng đờng còn lại vì vậy đã đến D sớm hơn xe tải 2giờ 20 phút.Tính quãng đờng CD.
Bài 11: Một ngời đi xe đạp dự định đi hết quãng đờng AB dài 20km trong thời gian đã định.
Nhng thực tế , sau khi đi đợc 1 giờ với vận tốc dự định, ngời đó đã giảm vận tốc đi 2km/h trên
quãng đờng còn lại. Vì vậy đã đến B chậm hơn dự kiến 15 phút.Tính vận tốc dự định và thời gian
lăn bánh trên đờng.
Bài 12: Một ô tô dự định đi hết quãng đờng AB dài 150 km trong thời gian đã định. Sau khi đi
đợc 2 giờ , ngời lái xe quyết định tăng tốc thêm 2km/h trên quãng đờng còn lại .Do đó đã đến B
sớm hơn dự kiến 30 phút. Tính vận tốc ô tô đi ở đoạn đờng đầu ?
Bài 13: Một ngời dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km trong thời gian đã định.Sau khi
đi đợc nửa quãng đờng , ngời đó dừng lại nghỉ 30 phút . Vì vậy mặc dù trên quãng đờng còn
lại đã tăng tốc thêm 2km/h song vẫn đến đến B chậm hơn dự kiến 12phút. Tính vận tốc của ngời
đi xe đạp trên đoạn đờng cuối của đoạn AB.

Bài 14: Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 120 km. Cùng lúc đó có một xe máy chạy từ B
trở về A và gặp xe ô tô tại một tỉnh C cách một trong hai điểm khởi hành 75km. Tính vận tốc của
mỗi xe ,biết rằng nếu vận tốc của hai xe không đổi và xe máy khởi hành trớc ô tô 48 phút thì sẽ
gặp nhau ở giữa quãng đờng.
Ti liệu ôn tập lớp 9 môn toán
Biên soạn: Nguyễn Đức Trờng THCS Đa Tốn, Gia Lâm- H Nội Trang
7
Bài 15: Một ô tô đi từ địa điểm A đến điểm B với vận tốc xác định . Nếu vận tốc

tăng 20km/h so với dự định thì thời gian đến B sẽ giảm 1giờ, nh ng nếu vận tốc
giảm 10km/h thì thời gian đến B sẽ tăng thêm 1 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự
định của ôtô.
Bi 16 : Mt bố na trụi t do (vi vn tc bng vn tc ca dũng nc) v mt
ca nụ cựng di bn A xuụi dũng sụng. Ca nụ xuụi dũng c 144 km thỡ quay
tr v bn A ngay, c i ln v ht 21 gi. Trờn ng ca nụ tr v bn A, khi
cũn cỏch bn A 36 km thỡ gp bố na núi trờn. Tỡm vn tc riờng ca ca nụ v
vn tc ca dũng nc.
( THI VO LP 10 H CHUYấN TNH H TY.Mụn : Toỏn (chung)Khúa thi : 2003 2004)

Bài 17: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24 km. Khi từ B trở về A ngời
đó tăng vận tốc thêm 4 km/h so với lúc đi,vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30
phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B.
(Thi tuyển sinh vo lớp 10 THPT- H Nội - 20/ 6 / 2007)
Bài 18: Một ca nô xuôi dòng trên một khúc sông từ bến A đến bến B dài 80 km,
sau đó lại ngợc dòng đến địa điểm C cách bến B 72 km, thời gian xuôi dòng ít
hơn thời gian ng ợc dòng là 15 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết vận tốc
của dòng n ớc là 4 km/h.
(Thi tuyển sinh vo lớp 10 THPT- H Nội - 16/ 6 / 2006)
Bài 19: Một ô tô đi quãng đờng dài 80 km trong một thời gian đã định. Ba phần
t quãng đ ờng đầu ô tô chạy với vận tốc nhanh hơn hơn vận tốc dự định là 10
km/h, quãng đờng còn lại ô tô chạy chậm hơn dự định 10 km/h. Biết rằng ô tô
đến đúng giờ đã định. Tính thời gian ô tô đi hết quãng đờng AB.
(Thi tuyển sinh lớp 10 THPT Quảng Ngãi, Khoá thi: 2008 - 2009)
Bài 20: Theo dự kiến , một công nhân dự định làm 70 sản phẩm trong thời gian đã định. Nhng
thực tế , do áp dụng khoa học kỹ thuật nên đã tăng năng suất 5 sản phẩm mỗi giờ .Do đó không
những hoàn thành trớc thời hạn 40 phút mà còn vợt mức 10 sản phẩm. Tính năng suất dự kiến.
Bài 21. Một ngời dự định sản xuất 120 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do tăng năng
suất 4 sản phẩm mỗi giờ, nên đã hoàn thành sớm hơn dự định 1 giờ. Hãy tính năng suất dự định
của ngời đó.

Bài 21: Một công nhân dự định làm 33 sản phẩm trong thời gian đã định . Trớc khi làm việc xí
nghiệp giao thêm cho 29 sản phẩm nữa . Do vậy mặc dù ngời đó đã làm tăng mỗi giờ 3 sản phẩm
song vẫn hoàn thành chậm hơn dự kiến 1 giờ 30 phút. Tính năng suất dự kiến.
Bài 22: Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào một bể chứa trong thời gian đã định thì mỗi giờ
phải bơm đợc 10 m
3
. Sau khi bơm đợc 1/3 thể tích bể chứa , ngời công nhân vận hành
cho máy hoạt động với công suất lớn hơn 5m
3
mỗi giờ so với ban đầu. Do vậy , so với qui
định bể chứa đợc bơm đầy trớc 48 phút . Tính thể tích bể chứa .
Bài 23: Một xí nghiệp giao cho một công nhân làm 120 sản phẩm trong thời gian qui định. Sau khi
làm đợc 2 giờ , ngời đó cải tiến kỹ thuật nên đã tăng đợc 4sản phẩm/ giờ so với dự kiến . Vì vậy
trong thời gian qui định không những hoàn thành kế hoạch mà còn vợt mức 16 sản phẩm. Tính
năng suất làm lúc đầu.
Bài 24: Một công nhân dự định làm 36 sản phẩm trong thời gian đã định.Sau khi đi đợc nửa số
lợng đợc giao , ngời đó dừng lại nghỉ 30 phút . Vì vậy mặc dù làm thêm 2 sản phẩm mỗi giờ
với nửa số sản phẩm còn lại song vẫn hoàn thành công việc chậm hơn dự kiến 12phút. Tính năng
suất dự kiến .
Ti liệu ôn tập lớp 9 môn toán
Biên soạn: Nguyễn Đức Trờng THCS Đa Tốn, Gia Lâm- H Nội Trang
Bài 25: Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể chứa không có nớc thì sau 1 giờ 30 phút đầy bể. Nếu
mở vòi thứ nhất chảy 15 phút rồi khoá lại, rồi mở tiếp vòi thứ hai chảy 20 phút thì đợc 20% bể.
Hỏi nếu để từng vòi chảy một thì sau bao lâu bể đầy.
Bài 26: Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể chứa không có nớc thì sau 2 giờ 40 phút đầy bể. Tính
xem nếu để từng vòi chảy thì mỗi vòi cần bao lâu, biết rằng để chảy đầy bể thì vòi thứ nhất cần
nhiều hơn vòi thứ hai là 4 giờ.
Bài 27: Hai công nhân cùng làm một công việc sau 4 ngày hoàn thành . Biết rằng nếu làm một
mình xong việc thì ngời thứ nhất làm nhanh hơn ngời thứ hai là 6 ngày .Tính thời gian mỗi
ngời làm một mình xong công việc trên.

Bài 28: Trong buổi liên hoan, một lớp học sinh mời 15 khách tới dự . Vì lớp đã có 40 học sinh nên
phải kê thêm 1 dãy ghế nữa và mỗi dãy ghế phải xếp thêm 1 ngời nữa mới đủ chỗ ngồi.Hỏi ban
đầu lớp học có bao nhiêu dãy ghế, biết mỗi dãy có số ngời ngồi nh nhau và không quá 5 ngời.
Bài 29: Trong một trang sách nếu thêm 2 dòng và mỗi dòng bớt đi 1chữ thì số chữ trong trang
tăng thêm 4 chữ. Nhng nếu bớt đi 3 dòng và mỗi dòng thêm 2 chữ thì số chữ trong trang vẫn
không thay đổi. Tính số chữ , số dòng trong trang sách lúc đầu.
Bài 30: Theo dự kiến, một đội xe đự định điều động một số lợng xe để chuyên chở 420 tấn hàng .
Nhng thực tế đội đã điêù động thêm 5 xe nữa . Do vậy mỗi xe chuyên chở ít hơn ban đầu 7 tấn so
với dự kiến. Tính số lợng xe mà đội đã điều động chuyên chở.
Bài 31: Tổng của chữ số hàng đơn vị và hai lần chữ số hàng chục của một số có hai chữ số là 10.
Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì sẽ đợc số mới nhỏ hơn số ban đầu 18
đơn vị. Tìm số có hai chữ số.
Bài 32: Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi 280m . Ngời ta làm một lối đi xung quanh vờn
thuộc đất của vờn rộng 2m , diện tích đất còn lại để trồng trọt là 4256m
2
. Tính kích thớc của
vờn
Bài 33:Trên một miếng đất hình thang cân chiều cao 35m, hai đáy lần lợt bằng 30m, 50m ngời
ta làm hai đoạn đờng có cùng chiều rộng. Các tim đờng lần lợt là đờng trung bình của hình
thang và các đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai đáy.Tính chiều rộng các đoạn đờng đó biết
rằng diện tích làm đờng chiếm 0,25 diện tích hình thang.
Bài 34:Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất đợc 900 chi tiết máy. Tháng thứ hai tổ I vợt mức 15% và
tổ II vợt mức 10% so với tháng thứ nhất. Vì vậy hai tổ đã sản xuất đợc1010 chi tiết máy. Hỏi
tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy ?
(Thi tuyển sinh v o lớp 10 THPT- H Nội 18- 6 - 2008)

Học vấn luôn đem đến cho bạn niềm vui thực sự
Bài 1: Cho đờng tròn tâm O, bán kính OA=R. Vẽ dây BC vuông góc với OA tại
trung điểm H của OA.
a) Tứ giác ABOC là hình gì ?
8
Ti liệu ôn tập lớp 9 môn toán
Biên soạn: Nguyễn Đức Trờng THCS Đa Tốn, Gia Lâm- H Nội Trang
9
b) Gọi K là điểm đối xứng với O qua A. Chứng minh rằng:KBOC tứ giác nội
tiếp và KB,KC là tiếp tuyến của (O)
c) Tam giác KBC là tam giác gì?
d) Trực tâm tam giác ABC là điểm nào trên hình vẽ ?
e) Tính độ dài BC.
f) Tính diện tích phần trung của hình tròn(O;R) và hình tròn ngoại tiếp tứ giác
KBOC.
Bài 2: Cho (O;R) và dây AB<2R. Trên tia AB lấy C sao cho AC>AB.Từ C kẻ hai
tiếp tuyến với (o)tại P,K. Gọi I là trung điểm của AB
a) Chứng minh rằng Tứ giác CPOK nội tiếp
b) Chứng minh rằng: C,P, I, O, K cùng nằm trên một đ ờng tròn
c) Chứng minh rằng ACP đồng dạng với PCB suy ra CP
2
=CB.CA.
d) Gọi H trực tâm tam giác CPK.Tính PH theo R.
e) Giả sử PA//CK. Chứng minh tia đối của tia BK là phân giác của góc CBP.
Bài 3 : Cho ABC nhọn, nội tiếp đờng tròn tâm O. Từ B, C kẻ tiếp tuyến với
đ ờng tròn, chúng cắt nhau tại D. Từ D kẻ cát tuyến song song với AB cắt đờng
tròn tại E, F và cắt AC tại I.
a) Chứng minh góc DOC bằng góc BAC.

b) Chứng minh bốn điểm O, I, D, C nằm trên một đờng tròn .
c) Chứng minh IE=IF .
d) Chứng minh ID là phân giác góc BIC.
e) Cho B,C cố định , khi A chu
y
ển độn
g
trên cun
g
BC lớn thì I di chu
y
ển trên
đ ờng nào ?
Bài 4: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB, kẻ tia tiếp tuyến Ax và trên đó lấy
điểm P sao cho AP>R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đờng tròn tại M.
a) Chứng minh APMO nội tiếp.
b) Chứng minh rằng BM//OP.
c) Đ ờng thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác
OBNP là hình bình hành .
d) Chứng minh rằng PNMO là hình thang cân.
e) Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I, PN và OM kéo dài cắt nhau tại J.
Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
Bi 5 : Cho ng trũn (O) cú bỏn kớnh R v mt im S ngoi ng trũn (O).
T S v hai tip tuyn SA, SB vi ng trũn (O) (A, B l hai tip im). V
ng thng a i qua S ct ng trũn (O) ti hai im M, N vi M nm gia hai
im S v N (ng thng a khụng i qua tõm O).
a) Chng minh SO vuụng gúc vi AB.
Ti liệu ôn tập lớp 9 môn toán
Biên soạn: Nguyễn Đức Trờng THCS Đa Tốn, Gia Lâm- H Nội Trang
10

b) Gi H l giao im ca SO v AB, gi I l trung im ca MN. Hai ng
thng OI v AB ct nhau ti im E. Chng minh IHSE l mt t giỏc ni tip.
c) Chng minh OI.OE = R
2
.
d) Cho bit SO = 2R v MN = Tớnh din tớch tam giỏc ESM theo R.
( THI TT NGHIP TRUNG HC C S TP. H CH MINH Khúa thi : 2002 2003)
Bi 6 : Cho na ng trũn tõm O ng kớnh AB = 2R. C l trung im ca on
thng AO, ng thng Cx vuụng gúc vi ng thng AB, Cx ct na ng
trũn trờn ti I. K l mt im bt kỡ nm trờn on thng CI (K khỏc C ; K khỏc
I), tia AK ct na ng trũn ó cho ti M. Tip tuyn vi na ng trũn tõm O
ti im M ct Cx ti N, tia BM ct Cx ti D.
1) Chng minh rng bn im A, C, M, D cựng nm trờn mt ng trũn.
2) Chng minh MNK cõn.
3) Tớnh din tớch ABD khi K l trung im ca on thng CI.
4) Chng minh rng : Khi K di ng trờn on thng CI thỡ tõm ca ng trũn
ngoi tip AKD nm trờn mt ng thng c nh.
( THI VO LP 10 H CHUYấN TNH H TY.Mụn : Toỏn (chung)Khúa thi : 2003 2004)
Bài 7 : Cho đờng tròn (O; R) tiếp xúc với đờng thẳng d tại A. Trên d lấy điểm
H không trùng với điểm A và AH < R . Qua H kẻ đờng thẳng vuông góc với d
, đờng thẳng này cắt đ ờng tròn tại hai điểm E và B (E nằm giữa B và H).
a) Chứng minh góc ABE bằng góc EHA và AHB đồng dạng EAH.
b) Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn AC, đ ờng thẳng CE
cắt AB tại K. Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp.
c) Xác định vị trí điểm H để AB =
3R

(Thi tuyển sinh v o lớp 10 THPT- H Nội - 20/ 6 / 2007)
Bài 8: Cho đoạn AB và M nằm giữa A, B. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng
hình vuông AMCD, MBEF. AF cắt BC tại N

a)Chứng minh rằng:AF vuông góc với BC,suy ra N nằm trên hai đờng tròn
ngoại tiếp AMCD, MBEF.
b) Chứng minh: D, N,E thẳng hàng và MN vuông góc với DE.
c)Cho AB cố định M di động. Chứng minh:MN luôn đi qua điểm cố định,
Bài 9:Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn(O). D, E là điểm chính giữa của
cung AB, AC. DE cắt AB và AC tại H, K.
a) Chứng minh rằng: tam giácAHK cân
b) BE cắt CD tại I, Chứng minh rằng AI vuông góc với DE.
c) Chứng minh rằng:CEKI nội tiếp.
d) Chứng minh rằng IK//AB.
e) tam giác ABC có thêm điều kiện gì ? thì AI//EC.
Ti liệu ôn tập lớp 9 môn toán
Biên soạn: Nguyễn Đức Trờng THCS Đa Tốn, Gia Lâm- H Nội Trang
11
Bài 10:Cho đờng tròn (O) đờng kính AB=2R và một điểm M di động trên một
nửa đờng tròn. Ngời ta vẽ một đờng tròn tâm E tiếp xúc với nửa đờng tròn
(O) tại M và tiếp xúc với đờng kính AB tại N. Đờng này cắt MA, MB lần lợt
tại các điểm thứ hai C, D.
a) Chứng minh CD//AB.
b) Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đ ờng thẳng MN luôn đi
qua một điểm K cố định.
c) Chứng minh:tích KM.KN không đổi.
d) Gọi giao điểm của các tia CN,DN với KB,KA lần l ợt là C
/
, D
/
.Tìm vị trí của
M để chu vi tam giác NC
/
D

/
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 11: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB=2R và E là điểm bất kì trên đờng
tròn đó ( E khác A và B). Đờng phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB tại F và
cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai K khác A.
1) Chứng minh rằng KAF đồng dạng với KEA.
2) Gọi I là giao điểm của đ ờng trung trực đoạn EF với OE. Chứng minh rằng
đ ờng tròn (I; IE) tiếp xúc với đờng tròn (O) tại E và tiếp xúc với đờng
thẳng AB tại F.
3) Gọi M và N lần l ợt là giao điểm thứ hai của AE, BE với đờng tròn (I; IE).
Chứng minh rằng MN // AB.
4) Gọi P là giao điểm của NF và AK; Q là giao điểm của MF và BK. Tìm giá
trị nhỏ nhất của chu vi KPQ theo R khi E chuyển động trên (O).
(Thi tuyển sinh vo lớp 10 THPT- H Nội 18- 6 - 2008)
Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đờng cao AH. Đờng tròn đ ờng kính
AH cắt các cạnh AB,AC, lần lợt tại E, F.
a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
b) Chứng minhAE.AB=AF.AC.
c) Chứng minh rằng BEFC nội tiếp.
d)
Đ ờng thẳng qua Avuông góc với EF cắt BC tại I, Chứng minh I là trung điểm
của đoạn BC.
e) Chứng minh rằng nếu diện tích của ABC gấp đôi diện tích hình chữ nhật
AEHF thì tam giác ABC vuông cân.
Bài 13: Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong đờng tròn (O). Tiếp tuyến tại C
với đờng tròn cắt AB,AD kéo dài lần lợt tại E và F.
a) Chứng minh AB.AE=AD.AF bằng hai phơng pháp.
b) Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh AM vuông góc với BD.
c) Tiếp tuyến tại B và D với đờng tròn (O) cắt EF lần lợt tại I, J. Chứng
minh I và J lần l ợt là trung điểm của CE và CF.

d) Tính diện tích phần hình tròn giới hạn bởi dây AD và cung nhỏ AD, biết
AB=6 và AD=6
3
.
Ti liệu ôn tập lớp 9 môn toán
Biên soạn: Nguyễn Đức Trờng THCS Đa Tốn, Gia Lâm- H Nội Trang
12
Bài 14: Cho tam giác vuông cân ABC (góc C=90),E là một điểm tuỳ ý trên cạnh
BC . Qua B kẻ một tia vuông góc với tia AE tại H và cắt tia AC tại K. Chứng minh
rằng:
a) Tứ giác BHCA nội tiếp
b) KC. KA=KH.KB .
c) Độ lớn của góc CHK không phụ thuộc vào vị trí điểm E
d) Khi E di chuyển trên cạnh BC thì BE.BC+ AE. AH không đổi
Bài 15: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đ ờng tròn. P là điểm chính giữa
của cung AB( phần không chứa C,D). Hai dây PC, PD lần lợt cắt dây AB tại E
và F. Các dây AD, PC kéo dài cắt nhau tại I. Các dây BC,PD kéo dài cắt nhau tại
K. Chứng minhrằng:
a) Góc CID bằng góc CKD.
b) Tứ giác CDFE nội tiếp đ ợc.
c) PC.PE = PD.PF.
d) IKCD nội tiếp.
e) IK//AB.
f) PA là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác AFD.
Bài 16 : cho đờng tròn tâm O và dây AB. Gọi M là điểm chính giữa cuả cung nhỏ
AB và C là một điểm nằm giữa đoạn AB. Tia MC cắt đờng tròn tại điểm th hai
D. Chứng minh :
a) MA
2
= MC.MD.

b) MB.BD = BC.MD.
c) Đ ờng tròn ngoại tiếp BCD tiếp xúc với MB tại B.
d) Tổng bán kính của hai đ ờng tròn ngoại tiếp BCD và ACD không đổi khi
C di động trên đoạn AB.
Bài 17: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB=2R và một điểm M bất kì nằm
trên nửa đờng tròn (M khác A và B). Đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn
tại M và cắt đờng trung trực của đoạn AB tại I.Đờng tròn tâm I tiếp xúc với AB
cắt đờng thẳng d tại C và D (D nằm trong góc BOM).
a) Chứng minh các tia OC,OD là các tia phân giác của các góc AOM và BOM.
b) Chứng minh CA và DB vuông góc với AB.
c) Chứng minh AC.BD=R
2

d) Tìm một vị trí của M trên nửa đ ờng tròn (O) để tổng AC+BD đạt giá trị
nhỏ nhất? Tìm giá trị đó theo R.
Bài 18:Cho đờng tròn tâm (O;R), hai đờng kính AB,CD vuông góc với nhau.
Trong đoạn AB lấy một điểm M( khác O). Đờng thẳng CM cắt đờng tròn (O) tại
điểm thứ hai là N. Đờng thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N với
đ ờng tròn ở điểm P. Chứng minh rằng:
a) tứ giác OMNP nội tiếp đợc.
Ti liệu ôn tập lớp 9 môn toán
Biên soạn: Nguyễn Đức Trờng THCS Đa Tốn, Gia Lâm- H Nội Trang
1
b) Tứ giác CMPO là hình bình hành.
c) O, M, N, P , D cùng nằm trên một đờng tròn
d) Tích CM.CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
e) Khi M di động trên đoạn AB thì P chạy trên một đoạn thẳng cố định.
Bài 19: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn đờng kính BD(AC cắt BO).
Kéo dài AB và DC cắt nhau ở E;CB và DA cắt nhau tại F.
a) Chứng minh DB vuông góc với EF( gọi chân đờng vuông góc là G)

b) Chứng minh BCEG , ABGF, ACEF nội tiếp.
c) Chứng minh:BA.BE=BC.BF=BD.BG .
d) Chứng minh B là tâm đ ờng tròn nội tiếp tam giác ACG.
e) Cho góc ABC bằng 135
0
, hãy tính độ dài AC theo BD.
Bài 20 : Cho ba điểm A, B, C trên một đờng thẳng theo thứ tự ấy và một đờng
thẳng d vuông góc với AC tại A. Vẽ đờng tròn đờng kính BC và trên đó lấy một
điểm M bất kì. Tia CM cắt đ ờng thẳng d tại D; Tia AM cắt đ ờng tròn tại điểm
thứ hai tại N; tia DB cắt đờng tròn tại điểm thứ hai P.
a) Chứng minh ABMD nội tiếp.
b) Chứng minh tích CM.CD không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
c) Tứ giác APND là hình gì ?tại sao ?
d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAC chạy trên một đờng tròn cố
định khi M di động.
e) Xác định vị trí M để APND là hình bình hành.
Bài 21: Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B. Đờng
tròn đờng kính BD cắt BC tại E.Các đờng thẳngCD, AE lần lợt cắt đờng tròn
tại các điểm thứ hai F, G. Chứng minh:
a) tam giácABC đồng dạng với tam giácEBD.
b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đ ợc.
c) Chứng minh AD.AB = AG.AE
d) AC//FG.
e) Các đờng thẳng AC, DE, BF đồng quy.
Bài 22: Cho ABC có góc A > 90
o
. Đờng tròn (O), đ ờng kính AB cắt đ ờng
tròn (O
/
) đờng kính AC tại giao điểm thứ hai là H. Một đ ờng thẳng (d) quay

quanh A cắt Đờng tròn (O), đờng tròn (O
/
) lần lợt tại M, N sao cho A nằm
giữa M và N.
a) Chứng minh H thuộc cạnh BC và tứ giác BCNM là hình thang vuông.
b) Chứng minh tỷ số
HN
HM
không đổi.
3
Ti liệu ôn tập lớp 9 môn toán
Biên soạn: Nguyễn Đức Trờng THCS Đa Tốn, Gia Lâm- H Nội Trang
1
4
c) Gọi I là trung điểm của MN, K là trung điểm của BC. Chứng minh bốn điểm
A, H, K, I thuộc một đ ờng tròn và I di chuyển trên một cung tròn cố định.
d) Xác định vị trí của đ ờng thẳng (d) để diện tích HMN lớn nhất.
( THI VO LP 10 THPT Chu Văn An, Amterdam, HN. Khúa thi : 1999- 2000 )
Bài 23: Cho đoạn thẳng AB và một điểm P nằm giữa A và B.Trên nửa mặt phẳng
bờ AB kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB và lần lợt trên hai tia đó lấy hai điểm
C và D sao cho : AC.BD=AP.PB (1)
a) Chứng minh tam giác ACP đồng dạng với tam giác BPD.
b) Chứng minh gócCPD = 90
0
. Từ đó suy ra cách dựng hai điểm C;D thoả mãn (1)
c) Gọi M là hình chiếu của P trên CD, chứng minh góc AMB bằng 90
0

d) Gọi AM cắt CP tại I, BM cắt PD tại K. Chứng minh IK // AB.
e) Chứng minh điểm M chạy trên nửa đờng tròn cố định khi C;D lần lợt di động

trên Ax, By nhng vẫn thoả mãn (1).
Bài 24: Cho tam giácABC cân tại A( góc A<90
0
) nội tiếp đờng tròn (O). Một
điểm M tuỳ ý trên cung nhỏ AC. Tia Bx vuông góc với AM cắt tia CM tại D.
Chứng minh rằng:
a) Góc AMD bằng góc ABC.
b) Tam giác BMD cân.
c) Khi M di động trên cung nhỏ AC thì D chạy trên một cung tròn cố định và
độ lớn của góc BDC không đổi .
Bài 25: Cho hai đờng tròn (O
1
),(O
2
) tiếp xúc ngoài tại A. Một đ ờng thẳng (d)
tiếp xúc với (O
1
),(O
2
) lần lợt tại B, C.
a) Chứng minh tam giác ABC vuông.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia tiếp tuyến chung của
hai đờng tròn.
c) Chứng minh góc O
1
MO
2
bằng 90
0

d) Các tia BA, CA lần lợt cắt (O
1
),(O
2
) tại các giao điểm thứ hai D, E. Chứng
minh diện tích tam giácADE bằng diện tích tam giác ABC .
Bài 26: Cho đờng tròn (O)đờng kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây
MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM, H là giao
điểm của AK và MN.
1) Chứng minh BCHK là tứ giác nội tiếp.
2) Tính AH.AK theo R.
3) Xác định vị trí của điểm K để tổng (KM + KN + KB) đạt giá trị lớn nhất và
tính giá trị lớn nhất đó.
(Thi tuyển sinh vo lớp 10 THPT- H Nội - 16/ 6 / 2006)
Bài 27 : Từ điểm M ngoài đờng tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và một
đ ờng thẳng qua M cắt đ ờng tròn tại C và D. Gọi I là trung điểm của CD. Gọi E,
F, K lần lợt là giao điểm của đ ờng thẳng AB với các đờng thẳng MO, MD, OI.
Ti liệu ôn tập lớp 9 môn toán
Biên soạn: Nguyễn Đức Trờng THCS Đa Tốn, Gia Lâm- H Nội Trang
15
1. Chứng minh rằng R
2
= OE.OM = OI.OK.
2. Chứng minh rằng 5 điểm M, A, B, O, I cùng thuộc một đ ờng tròn.
3. Khi cung CAD nhỏ hơn cung CBD. Chứng minh rằng góc DEC = 2.gócDBC.
(Thi tuyển sinh vo lớp 10 BC ĐH S Phạm TP.Hải Phòng Khoá thi 2003 -2004)

Không bao giờ có thang máy đi tới thành công,
bạn luôn phải đi cầu thang bộ.
THI TT NGHIP TRUNG HC C S THNH PH H NI
* Mụn : Toỏn * Thi gian : 120 phỳt * Khúa thi : 2002 - 2003
A. Lớ thuyt (2 im) Thớ sinh chn mt trong hai sau :
1. Phỏt biu v vit dng tng quỏt ca quy tc khai phng mt tớch.ỏp dng
tớnh :

2. nh ngha ng trũn.
Chng minh rng ng kớnh l dõy cung ln nht
ca ng trũn.
B. Bi tp bt buc (8 im)
Bi 1 : (2,5 im) Cho biu thc :

+
+
=
xxx
x
x
x
x
x
P
2
2
1
:
4
8
2
4

a) Rỳt gn P.
b) Tỡm giỏ tr ca x P = -1.
c) Tỡm m vi mi giỏ tr x > 9 ta cú :
Bi 2 : (2 im): Theo k hoch hai t sn xut 600 sn phm trong mt thi gian

nht nh. Do ỏp dng k thut mi nờn t I ó vt mc 18% v t II ó vt
mc 21%. Vỡ vy trong thi gian quy nh h ó hon thnh vt mc 120 sn
phm. Hi s sn phm c giao ca mi t theo k hoch ?
Tμi liÖu «n tËp líp 9 – m«n to¸n
Biªn so¹n: NguyÔn §øc Tr−êng – THCS §a Tèn, Gia L©m- Hμ Néi Trang
1
Bài 3 : (3,5 điểm) Cho đường tròn (O), một đường kính AB cố định, một điểm I
nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3AO . Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C
là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN, sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC
cắt MN tại E.
a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong đường tròn.
b) Chứng minh ΔAME đồng dạng với ΔACM và AM
2
= AE.AC.
c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI
2
.
d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THCS TỈNH BẮC GIANG
* Môn thi : Toán * Thời gian : 120 phút * Khóa thi : 2002 - 2003
A. Lí thuyết : (2 điểm) Thí sinh chọn một trong hai đề sau :
Đề 1 : Nêu quy tắc nhân các căn thức bậc hai. áp dụng tính :

Đề 2 : Chứng minh định lí : “Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại
một điểm thì giao điểm này cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua
tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến”.
B. Bài tập : (8 điểm) Bắt buộc
Bài 1 : (2 điểm)
a) Thực hiện phép tính :

c) Giải hệ phương trình :

Bài 2 : (2 điểm) Hai ôtô khởi hành cùng một lúc trên quãng đường từ A đến B dài
120 km. Mỗi giờ ôtô thứ nhất chạy nhanh hơn ôtô thứ hai là 10 km nên đến B
trước ôtô thứ hai là 2/5 giờ. Tính vận tốc của mỗi ôtô ?
Bài 3 : (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), đường cao AH. Trên
nửa mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E và
nửa đường tròn đường kính CH cắt AC tại F. Chứng minh rằng :
a) Tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
b) EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đường kính BH và CH.
c) Tứ giác BCFE nội tiếp.
Bài 4 : (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
6
Tμi liÖu «n tËp líp 9 – m«n to¸n
Biªn so¹n: NguyÔn §øc Tr−êng – THCS §a Tèn, Gia L©m- Hμ Néi Trang
17

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TỈNH BẮC GIANG
* Môn thi : Toán * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004
Bài 1 : (2 điểm)
a) Tính :
b) Giải hệ phương trình :


Bài 2 : (2 điểm) Cho biểu thức :

a) Rút gọn A.
b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên.
Bài 3 : (2 điểm) Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24

km ; cùng lúc đó, cũng từ A về B một bè nứa trôi với vận tốc dòng nước là 4
km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa tại địa điểm C cách A là 8
km. Tính vận tốc thực của ca nô.
Bài 4 : (3 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đường
tròn, B là trung điểm của cung nhỏ CD. Kẻ đường kính BA ; trên tia đối của tia
AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) tại M ; MD cắt AB tại K ; MB cắt AC tại H.
a) Chứng minh ∠ BMD = ∠ BAC, từ đó => tứ giác AMHK nội tiếp.
b) Chứng minh : HK // CD.
c) Chứng minh : OK.OS = R
2
.
Bài 5 : (1 điểm) Cho hai số a và b khác 0 thỏa mãn : 1/a + 1/b = 1/2
Chứng minh phương trình ẩn x luôn có nghiệm: (x
2
+ ax + b)(x
2
+ bx + a) = 0.
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THCS HÀ NỘI NĂM HỌC 2003 - 2004
A- Lí thuyết : (2 điểm) Thí sinh chọn một trong hai đề sau :
Đề 1. Định nghĩa phương trình bậc nhất hai ẩn số và nghiệm của nó. Hãy tìm
nghiệm chung của hai phương trình : x + 4y = 3 và x - 3y = -4.
Đề 2. Phát biểu định lí góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn. Chứng minh định lí
trong trường hợp hai cạnh của góc cắt đường tròn.
Tμi liÖu «n tËp líp 9 – m«n to¸n
Biªn so¹n: NguyÔn §øc Tr−êng – THCS §a Tèn, Gia L©m- Hμ Néi Trang
1
B- Bài tập bắt buộc : (8 điểm)
Bài 1 : (2,5 điểm) Cho biểu thức
⎟
⎟

⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
xx
x
x
x
x
xP
11
:
1

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của P, biết
32
2
+
=x

c) Tìm giá trị của x thỏa mãn :
43.6. −−−= xxxP

Bài 2 : (2 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình : Để hoàn thành
một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ hai
được điều đi làm việc khác, tổ một đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ.
Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ làm xong công việc đó ?
Bài 3 : (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) bán kính R, đường thẳng d không qua O và
cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Từ một điểm C trên d (C nằm ngoài đường
tròn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đường tròn (M, N thuộc (O)). Gọi H là trung
điểm của AB, đường thẳng OH cắt tia CN tại K.
a) Chứng minh bốn điểm C, O, H, N cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh KN.KC = KH.KO.
c) Đoạn thẳng CO cắt (O) tại I, chứng minh I cách đều CM, CN và MN.
d) Một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM, CN lần lượt
tại E và F. Xác định vị trí của C trên d sao cho diện tích ΔCEF là nhỏ nhất.

ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THCS
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2003 - 2004
Lí thuyết : (2 điểm) Chọn một trong hai câu sau :
1/ Phát biểu và chứng minh định lí Vi-ét (hệ thức Vi-ét) phần thuận.
Áp dụng : Cho phương trình 7x
2
+ 31x - 24 = 0.

a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b)Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình,
hãy tính x
1
+ x
2
+ x
1
.x
2
.
2/ Viết công thức tính độ dài của một đường tròn, một cung tròn (có ghi chú các
kí hiệu trong các công thức).
Áp dụng : Tính độ dài một cung 90
o
của một đường tròn đường kính bằng 6dm.
Bài tập bắt buộc : (8 điểm)
Bài 1 : (1 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình :
8
Tμi liÖu «n tËp líp 9 – m«n to¸n
Biªn so¹n: NguyÔn §øc Tr−êng – THCS §a Tèn, Gia L©m- Hμ Néi Trang
1
a) 9x
4
+ 2x
2

– 32 = 0
b)
⎩
⎨
⎧
=+
=+
825
734
yx
yx
Bài 2 : (1,5 điểm) Vẽ parabol y = - x
2
/2 (P) : và đường thẳng (D) : y = 3x trên
cùng một hệ trục tọa độ. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D) bằng phép tính.
Bài 3 : (1 điểm) Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài bằng 7/4 chiều rộng và
có diện tích bằng 1792m
2
. Tính chu vi của khu vườn ấy.
Bài 4 : (1 điểm) Thu gọn các biểu thức sau :
()
21
2
2
232
23
228
26.32
−
+

+
−
−
+
=
+−=
B
A

Bài 5 : (3,5 điểm)Trên đường tròn (O, R) đường kính AB, lấy hai điểm M, E theo
thứ tự A, M, E, B (hai điểm M, E khác hai điểm A, B). AM cắt BE tại C; AE cắt
BM tại D.
a) Chứng minh MCED là một tứ giác nội tiếp và CD vuông góc với AB.
b) Gọi H là giao điểm của CD và AB. Chứng minh BE.BC = BH.BA.
c) Chứng minh các tiếp tuyến tại M và E của đường tròn (O) cắt nhau tại
một điểm nằm trên đường thẳng CD.

ĐỀ THI TỐT NGHIỆP PHỔ THÔNG THCS HẢI PHÒNG
Môn thi : Toán - Năm học 1999 – 2000 Thời gian làm bài : 120 phút
A. Lý thuyết : (2 điểm) Học sinh chọn 1 trong 2 câu sau :
Câu 1 : a) Hãy viết định nghĩa căn bậc hai số học của một số a ≥ 0. Tính:

b) Hãy viết định nghĩa về đường thẳng song song với mặt phẳng.
Câu 2 : a) Hãy viết dạng tổng quát hệ hai phưng trình bậc nhất hai ẩn số.
b) Chứng minh : “Mọi góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đều là góc
vuông”.
B. Bài toán : (8 điểm) Bắt buộc cho mọi học sinh.
Bài 1 : (2 điểm).
a) Cho :
Tính M + N và M x N.

b) Tìm tập xác định của hàm số :
9
Ti liệu ôn tập lớp 9 môn toán
Biên soạn: Nguyễn Đức Trờng THCS Đa Tốn, Gia Lâm- H Nội Trang
20

c) Cho ng thng (d) cú phơng trỡnh . Hóy tỡm ta cỏc giao im ca ng
thng (d) vi cỏc trc ta .
Bi 2 : (2 im). Trong mt phũng cú 288 gh c xp thnh cỏc dóy, mi dóy
u cú s gh nh nhau. Nu ta bt i 2 dóy v mi dóy cũn li thờm 2 gh thỡ
va cho 288 ngi hp (mi ngi ngi mt gh). Hi trong phũng ú cú my
dóy gh v mi dóy cú bao nhiờu gh ?
Bi 3 : (4 im). Cho na ng trũn ng kớnh AB, K tip tuyn Bx vi na
ng trũn. C l im trờn na ng trũn sao cho cung AC bng cung CB. Trờn
cung CB ly im D tựy ý (D khỏc C v B). Cỏc tia AC, AD ct Bx ln lt ti E
v F.
a) Chng minh ABE vuụng cõn.
b) Chng minh ABF ~ BDF.
c) Chng minh t giỏc CEFD ni tip.
d) Cho im C di ng trờn na ng trũn (C khỏc A v B) v D di ng trờn
cung CB (D khỏc C v B). Chng minh: AC x AE = AD x AF v cú giỏ tr
khụng i.

K THI TT NGHIP TRUNG HC C S TNH THI BèNH
* Mụn thi : Toỏn * Thi gian : 120 phỳt * Khúa thi : 2001-2002
A. Lớ thuyt (2 im) Thớ sinh chn mt trong hai :
th nht : a) Nờu nh ngha phng trỡnh bc hai mt n s. Cho vớ d.
b) Gii phng trỡnh : x
2
- 2x - 8 = 0.

th hai : Nờu nh lớ v gúc cú nh bờn ngoi ng trũn. V hỡnh, ghi gi
thit, kt lun cho cỏc trng hp xy ra.
B. Bi toỏn bt buc (8 im)
Bi 1 : (2 im) Cho biu thc :

a) Rỳt gn biu thc K.
b) Tớnh giỏ tr ca K khi .
c) Tỡm cỏc giỏ tr ca a sao cho K < 0.
Bi 2 : (2 im) Cho h phng trỡnh :
Ti liệu ôn tập lớp 9 môn toán
Biên soạn: Nguyễn Đức Trờng THCS Đa Tốn, Gia Lâm- H Nội Trang
21

a) Gii h phng trỡnh khi cho m = 1.
b) Tỡm giỏ tr ca m h phng trỡnh vụ nghim.
Bi 3 : (4 im) Cho na ng trũn (O) ng kớnh AB. T A v B k hai tip
tuyn Ax v By. Qua mt im M thuc na ng trũn ny, k tip tuyn th ba
ct cỏc tip tuyn Ax v By ln lt E v F.
a) Chng minh AEMO l t giỏc ni tip.
b) AM ct OE ti P, BM ct OF ti Q. T giỏc MPOQ l hỡnh gỡ ? Ti sao ?
c) K MH vuụng gúc vi AB (H thuc AB). Gi K l giao im ca MH v
EB. So sỏnh MK vi KH.
d) Cho AB = 2R v gi r l bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc EOF.
Chng minh rng :

Bài 1 : Cho hàm số y = (m + 5)x+ 2m 10 (d)
Khát vọng vơn lên phía trớc l mục đích của cuộc sống
a) Với giá trị nào của m thì y là hàm số bậc nhất
b) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến.
c) Tìm m để đồ thị hàm số qua A(2; 3)
d) Tìm m để đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9.
e) Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 10.
f) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ thị y = 2x -1
g) Chứng minh đồ thị hàm số (d) luôn đi qua điểm cố định với mọi m.
h) Tìm m để khoảng cách từ O tới (d) là lớn nhất.
Bài 2: Cho hàm số y=( 2m-1).x +3-m (d) . Xác định m để:
Ti liệu ôn tập lớp 9 môn toán
Biên soạn: Nguyễn Đức Trờng THCS Đa Tốn, Gia Lâm- H Nội Trang
22
a) Đồ thị đi qua gốc toạ độ .
b) Đờng thẳng d song song với y=2x+5.
c) Đ ờng thẳng d tạo với Ox một góc nhọn.
d) Đờng thẳng d tạo với Ox một góc tù.
e) Đ ờng thẳng d cắt Ox tại điểm có hoành độ 2 .
Bài 3
: Cho hàm số y=( m-3).x+m-5
a) Vẽ đồ thị với m=6.
b) Tìm điều kiện m để hàm số đồng biến, nghịch biến.
c) Chứng minh, họ đờng thẳng luôn đi qua điểm cố định.
d) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến hàm số là lớn nhất.
Bài 4

:Cho (d
1
) y=4mx- ( m+5)
(d
2
) y=( 3m
2
+1).x + m
2
-4
a) Tìm m để đồ thị (d
1
)đi qua M(2;3).
a) Chứng minh khi m thay đổi thì (d
1
)luôn đi qua một điểm A cố định, (d
2
)
luôn đi qua B cố định.
b) Tính khoảng cách AB.
c) Tìm m để d
1
song song với d
2

d) Tìm m để d
1
cắt d
2
. Tìm giao điểm khi m=2.

Bài 5:Cho
(
)
2
.25 xmy =

a) Vẽ đồ thị hàm số với m=6.
b) Tìm m để hàm số đồng biến với x< 0.
c) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua A( -2:12).
Bài 6: Cho ( P): y=-x
2
. Đờng thẳng y =m cắt ( P) tại A; B. Tìm m để tam giác
AOB đều và tính diện tích tam giác ABO.
Bài 7: Cho Parabol ( P) :
2
4
1
xy =
và đờng thẳng(d):
2
2
1
+= xy

a) Vẽ ( P) và ( d) trên cùng hệ trục toạ độ.
b) Gọi A, B là các giao điểm của ( P) và ( d). Tìm M trên cung AB của ( P)
sao cho S
MAB
lớn nhất. B
c) Tìm N trên trục hoành sao cho NA+NB nhỏ nhất

Bài 8
: Cho Parabol ( P): y=3x
2
trong hệ trục toạ độ Oxy. Tìm m để đờng thẳng
y=x+m cắt ( P

) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA vuông góc với OB
Bài 9: Cho hàm số
x
xx
y

++
=
1
32
2
.
Chứng minh rằng hàm số đồng biến trong khoảng ( 1945; 2010).
Ti liệu ôn tập lớp 9 môn toán
Biên soạn: Nguyễn Đức Trờng THCS Đa Tốn, Gia Lâm- H Nội Trang
2
Bài 10: Cho hàm số y=ax
2
+bx+c (a0)
a) Xác định các hệ số a, b, c biết giá trị của hàm số bằng 1 khi x=0 và x=1 đồng
thời đồ thị của hàm số đi qua điểm (-1;3) .
b) Gọi (d ) là đờng thẳng đi qua gốc toạ độ có phơng trình y=mx. Với giá trị
nào của m thì (d ) tiếp xúc với đồ thị hàm số y=x
2

-x+1.
c) Gọi M và M

là giao điểm của đồ thị y=x
2
-x+1 với đờng thẳng (d).Tìm tập
hợp điểm I của đoạn MM

khi m thay đổi.


Bài 11: Vẽ trên cùng hệ trục toạ độ Oxy đồ thị:
y=x-1 (d)
1
2
1
+

= xy
(d

)
đ ờng thẳng d

cắt 0y tại B, d cắt d

, Oy, Ox lần l ợt tại A, C, D.
a) Tính OA.
b) Tính khoảng cách từ D đến OA.
c) Tính chu vi tam giác ABC.

d) Tính khoảng cách từ D đến d


e) Tính khoảng cách từ B đến d.
Bi 12 : V th hm s : y = - x
2
/4 (P) v ng thng (D) : y = 2x + 3 trờn
cựng mt h trc ta . Tỡm ta cỏc giao im ca (P) v (D) bng phộp tớnh.
THI TT NGHIP TRUNG HC C S TP. H CH MINH Khúa thi : 2002 - 2003
Bài 13 : Tìm toạ độ giao điểm A và B của đồ thị hai hàm số y = 2x + 3 và y = x
2
.
Gọi D và C lần lợt là hình chiếu vuông góc của A và B trên trục hoành. Tính diện
tích tứ giác ABCD.

(Thi tuyển sinh vo lớp 10 THPT- H Nội - 16/ 6 / 2006)
Bài 14 : Cho đờng thẳng y = (m - 1)x + 2. Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ
đến đờng thẳng đó là lớn nhất.
(Thi tuyển sinh vo lớp 10 THPT- H Nội - 20/ 6 / 2007)
Bài 15 : Cho Parabol (P):
2
4
1
xy =
và đờng thẳng y = mx + 1.
1) Chứng minh rằng đ ờng thẳng d luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt
với mọi giá trị của m.
2) Gọi A và B là hai giao điểm của d và (P). Tính diện tích OAB theo m ( O
là gốc toạ độ). (Thi tuyển sinh v o lớp 10 THPT- H Nội - 18/ 6 / 2008)
Bài 16 : Cho hàm số y = x

2
có đồ thị (P) và hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ
lần lợt là - 1 và 2.
a) Viết phơng trình đờng thẳng AB.
b) Vẽ đồ thị (P) và tìm toạ độ điểm M thuộc cung AB của đồ thị (P) sao cho
tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
3
Ti liệu ôn tập lớp 9 môn toán
Biên soạn: Nguyễn Đức Trờng THCS Đa Tốn, Gia Lâm- H Nội Trang
2
(Thi tuyển sinh vo lớp 10 THPT Chuyên Lê Quý Đôn- Bình Định Khoá thi 2005 - 2006)








Bài 1:Cho phơng trình mx
2
+(2m-1)x+(m-2)=0

Ruộn
g
vờn chăm bón doanh thu lớn - Sách vở dùi mi đỗ đạt cao
1. Giải phơng trình với m = 3
2. Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x
1
,x

2
thoả mãn
x
1
2
+x
2
2
=2006.
3. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m.
Bài 2: Cho phơng trình (m-1)x
2
+ 2mx + m 2 = 0.
a) Giải ph ơng trình khi m = 1.
b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = 16, và tìm nghiệm còn lại.
Bài 3 : Cho phơng trình: x
2
-(m+1)x + m = 0
a) giải phơng trình với m = 3.
b) Tìm m để tổng bình phơng các nghiệm bằng 17.
c) Lập hệ thức độc lập giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m.
d) Giải phơng trình trong trờng hợp tổng bình ph ơng các nghiệm đạt giá
trị nhỏ nhất.
Bài 4 : Cho phơng trình: x
2
- 2mx + 2m 1 = 0
a) Giải phơng trình với m= 4.
b) Tìm m để tổng bình ph ơng các nghiệm bằng 10.
c) lập hệ thức độc lập giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m.

d) Tìm m sao cho : 2(x
1
2
+x
2
2
)- 8x
1
x
2
= 65.
Bài 5
: Cho phơng trình : x
2
-(2k+1)x +k
2
+2 = 0
a) Tìm k để phơng trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
b) Tìm k để phơng trình có x
1
2
+x
2
2
nhỏ nhất .
Bài6
: Cho phơng trình x
2
+mx+m-1=0
a) Giải phơng trình với m=3.

4
Ti liệu ôn tập lớp 9 môn toán
Biên soạn: Nguyễn Đức Trờng THCS Đa Tốn, Gia Lâm- H Nội Trang
25
b) Chứng minh phơng trình có nghiệm với mọi m.
c) Tính tổng và tích giữa các nghiệm của phơng trình.
Bài 7: Cho phơng trình: x
2
+( 2m+1 ).x+m
2
+m-2=0
a) Giải phơng trình với m= 4.
b) Chứng minh ph ơng trình có nghiệm với mọi m.
c) Gọi x
1
,x
2
là nghiệm của phơng trình. Tính theo m: ( x
1
+1) ( x
2
+1)+ 7x
1
x
2
.
Bài 8
: Cho x
2
-4x-( m

2
+2m)=0
a) Giải phơng trình với m=5.
b) Chứng minh ph ơng trình có nghiệm với mọi m.
c) Tính x
2
1
+x
2
2
+8( x
1
x
2
+1) theo m.
d) Tìm m để x
2
1
+x
2
2
=5( x
1
+x
2
).
Bài 9: Cho phơng trình 2x
2
+6x+m=0
a)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt.

b) Xác định m để phơng trìnhcó 2 nghiệm thoả mãn
5
1
2
2
1
+
x
x
x
x

Bài 10: Cho x
2
-2( m-1)x +m-3=0
a) Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m.
c) Tìm m để x
1
-3x
2
=5.
Bài 11:a) Giải phơng trình : (x
2
3x + 3)(x
2
2x + 3) = 2x
2
b)Cho phơng trình : x
2

(m + 5)x m + 6 = 0, với m là tham số. Tìm m để
giữa hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn : 2x
1
+ 3x
2
= 13.
( THI VO LP 10 THPT Chuyên ngoại ngữ, HN. Khúa thi : 12-6-2005 )
Bài 12: Cho phơng trình : (m
2
+ 1)x
2
+ 2(m
2
+ 1)x m = 0, với m là tham số.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của : A = x
1
2
+x
2
2
với x
1
, x
2
nghiệm của
phơng trình

( THI VO LP 10 THPT Chuyên ngoại ngữ, HN. Khóa thi : 12-6-2005 )
Bài 13:Cho phơng trình :
223
2
mxmx =
(1)
a) Tìm tham số m để ph ơng trình (1) có nghiệm duy nhất, tính nghiêm đó với
12 +=m

b) Tìm các giá trị của m để ph ơng trình (1) nhận
625 =x
là nghiệm.
c) Gọi m
1
, m
2
là hai nghiệm của phơng trình (1) (ẩn m) . Tìm x để m
1
, m
2
là
số đo của hai cạnh góc vuông có cạnh huyền bằng
224