Đề thi + Đáp án Olympic Toán 10 năm 2012-2013

SỞ GD & ĐT HÀ NỘI
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 10
TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC
(Thời gian làm bài 120 phút)
Năm học 2012-2013
Câu 1: (4 điểm)
Cho parabol (P)
2
2
2
x
y x= − +
và họ đường thẳng (dm) có hệ số góc k = m và luôn đi qua gốc
tọa độ.
1). Tìm điều kiện của m để (dm) cắt (P) tại 2 điểm.
2). Khi (dm) cắt (P) tại 2 điểm A và B. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB khi m thay đổi.
Câu 2: (6 điểm)
1). Cho bất phương trình:
a
x2
1
x2
x2
5
x5 ++<+
(a là tham số)
a). Giải bất phương trình với a = 4.
b). Tìm a để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x > 0.
2) Giải hệ phương trình sau:
( ) ( )
2

2 4 1 7 15 6
3 1
x x y x y
x y

− + − = −


− =


Câu 3: (3 điểm)
Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức sau:

3 3 3
2 2 2 2 2 2
3
a b c a b c
a ab b b bc c c ca a
+ +
+ + ≥
+ + + + + +

Câu 4: (3 điểm)
Tính diện tích hình bình hành biết hình bình hành đó có tọa độ một đỉnh là (4 ; -1) và phương
trình các đường thẳng chứa hai cạnh là x -3y = 0 và 2x + 5y + 6 = 0.
Câu 5: (4 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho tam giác

ABC
cân tại
A
có phương trình hai cạnh là
( ) ( )
: 2 2 0, : 2 1 0AB x y AC x y+ − = + + =
, điểm
( )
1;2M
thuộc đoạn thẳng
BC
. Tìm tọa độ điểm
D
sao cho
.DB DC
uuur uuur
có giá trị nhỏ nhất.
Hết
SỞ GD & ĐT HÀ NỘI
ĐÁP ÁN THI OLYMPIC TOÁN LỚP 10
TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC
(Thời gian làm bài 120 phút)
Năm học 2012-2013
Câu 1: (4 điểm)
Cho parabol (P)
2
2
2
x
y x= − +

và họ đường thẳng (dm) có hệ số góc k = m và luôn đi qua gốc
tọa độ.
1). Tìm điều kiện của m để (dm) cắt (P) tại 2 điểm.
2). Khi (dm) cắt (P) tại 2 điểm A và B. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB khi m thay đổi.
1.KL :
(
] [
)
; 3 1; .m = −∞ − ∪ +∞
2.Tọa độ điểm I thỏa mãn
2
1
3
x m
y m m
= +


= + −


KL: Quỹ tích cần tìm là hai phần thuộc hai nhánh parabol
2
3y x x= − −
với
2.x ≥

Câu 2: (6 điểm)
1). Cho bất phương trình:
a

x2
1
x2
x2
5
x5 ++<+
(a là tham số)
a). Giải bất phương trình với a = 4.
b). Tìm a để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x > 0.
2) Giải hệ phương trình sau:
( ) ( )
2
2 4 1 7 15 6
3 1
x x y x y
x y

− + − = −


− =


HDC
1)
Đặt
x2
1
x +
=t . Tìm ra Đk:

2t ≥

Đưa
)1t(2
x2
1
x2
2
−=+

BPT ⇔ 2t
2
-5t+a-2 > 0 (2)
a) Với a = 4: giải 2t
2
-5t+2 > 0 ⇔ t >2; t<1/2 (loại do đk)
Giải
x2
1
x +
>2 ra





+>
−<<
2
2

3
x
2
2
3
x0

b) (1) đúng ∀x>0 ⇔ (2) đúng ∀t
2≥

(2) ⇔2t
2
-5t > 2-a (t
2≥
)
Lập bảng biến tiên tìm ra kết quả: a>
225 −
.
2)
Hệ phương trình có nghiệm
( ) ( )
1;0 , 2; 1 .− −
Câu 3: (3 điểm)
Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức sau:

3 3 3
2 2 2 2 2 2
3
a b c a b c
a ab b b bc c c ca a

+ +
+ + ≥
+ + + + + +
.
HDC
Ta chứng minh được:
3
2 2
2
3
a a b
a ab b
−
≥
+ +
(hs phải Cm)
Lập luận tương tự: … cộng vế với vế ta được ĐCM.
Câu 4: (3 điểm)
Tính diện tích hình bình hành biết hình bình hành đó có tọa độ một đỉnh là (4 ; -1) và phương
trình các đường thẳng chứa hai cạnh là x -3y = 0 và 2x + 5y + 6 = 0.
HDC
Tìm được các đỉnh của HBH là :
( )
9 3 17 20 18 6
4; 1 , ; , ; , ;
11 11 11 11 11 11
     
− − − −
 ÷  ÷  ÷
     

Diện tích cần tìm : S= 63/11.
Câu 5: (4 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
cân tại
A
có phương trình hai cạnh là
( ) ( )
: 2 2 0, : 2 1 0AB x y AC x y+ − = + + =
, điểm
( )
1;2M
thuộc đoạn thẳng
BC
. Tìm tọa độ điểm
D
sao cho
.DB DC
uuur uuur
có giá trị nhỏ nhất.
HDC
Tìm tọa độ điểm
D
sao cho
.DB DC
uuur uuur
có giá trị nhỏ nhất
- Phương trình các đường phân giác góc A là

3 0
2 2 2 1
3 3 1 0
5 5
− + =
+ − + +

= ⇔

+ − =

x y
x y x y
x y
- Do Δ
ABC
cân tại
A
nên phân giác trong (
a
l
)
của góc
A
vuông góc với BC
-
1
:TH
a

(l ): x y 3 0− + =
, khi đó
BC
đi qua
M(3;0)
và có vtpt
1
(1;1)=
ur
n
;
⇒Phương trình cạnh
BC
:
3 0+ − =x y

Tọa độ
B
:
2 2 0 4
(4; 1)
3 0 1
x y x
B
x y y
+ − = =
 
⇔ ⇒ −
 
+ − = = −

 

l
a
C
B
A
M
Tọa độ
C
:
2 1 0 4
( 4;7)
3 0 7
x y x
C
x y y
+ + = = −
 
⇔ ⇒ −
 
+ − = =
 
Khi đó
( )
3; 3MB = −
uuur
;
( )
5;5MC = −

uuuur
ngược hướng ;
B,C
nằm hai phía (
a
l
) ( thỏa mãn)
-
2
:TH
a
(l ):3x 3y 1 0+ − =
, khi đó
BC
đi qua
M(1;2)
và có vtpt
2
(1; 1)= −
uur
n
;BC AD M BC⊥ ∈
⇒Phương trình cạnh
BC
:
1 0x y− + =
Tọa độ
B
:
2 2 0 0

(0;1)
1 0 1
x y x
B
x y y
+ − = =
 
⇔ ⇒
 
− + = =
 

Tọa độ
C
:
2
2 1 0
2 1
3
( ; )
1 0 1
3 3
3
x
x y
C
x y
y

= −


+ + =


⇔ ⇒ −
 
− + =


=



Khi đó
( )
1; 1MB = − −
uuur
;
5 5
;
3 3
MC
 
= − −
 ÷
 
uuuur
cùng hướng (loại)
Với
(4; 1)B −

;
( )
4;7C −
. Đặt
( ) ( ) ( )
; 4 ; 1 , 4 ;7D x y DB x y DC x y⇒ = − − − = − − −
uuur uuur
( )
2
2 2 2
. 6 23 3 32 32DB DC x y y x y⇒ = + − − = + − − ≥ −
uuur uuur
. Dấu
0
'' ''
3
x
y
=

= ⇔

=


Vậy
(0;3)D
thì
.DB DC
uuur uuur

nhỏ nhất bằng -32.
Hết