Giới Thiệu Phép Tính Vi Tích Phân Trong Mặt Phẳng Và Trong Không Gian Thông Qua Cuốn Sách Calculus Của Mr. Paul Allan Foerster

1
LỜI NÓI ĐẦU
Ở chương 8, bạn sẽ hiểu thuộc tính tích phân xác định giúp bạn tìm chính xác
diện tích, thể tích và độ dài bằng cách tách lớp đối tượng thành những phần nhỏ,
rồi cộng lại và lấy giới hạn. Bạn sẽ sử dụng đạo hàm để tìm cực đại, cực tiểu và
quan tâm đến đường hình dáng hình học bằng 4 cách:
 Bằng đồ thị: Biểu tượng ở đỉnh của mỗi trang số chẵn
của chương này biểu diễn một đối tượng mà bạn có thể tìm độ
dài, diện tích, thể tích và điểm của sự uốn.
 Bằng số liệu:
x
f’ (x)
f (x)
1.8
0.72
13.931
1.9
0.33
13.984
2.0
0
14 _ max
2.1
-0.27
13.987
2.2
-0.48
13.949
.
.
.

.
.
.
.
.
.
 Bằng phương pháp đại số: =
∫
( − ) ,tính thể tích bằng
cách tách lớp thành vùng.
 Bằng lời nói: Tôi nghĩ điều quan trọng nhất tôi học được là tôi có thể sử
dụng các phương pháp giống nhau để tìm độ dài và diện tích bề mặt và tôi cũng
tìm được thể tích và diện tích mặt phẳng. Cách làm là tôi vẽ hình vẽ biểu diễn
từng phần của đối tượng, rồi chọn ra một điểm mẫu của từng phần, tìm vi phân
của chúng. Tôi cố gắng tìm rồi cộng các kết quả đó lại và lấy giới hạn, đây là
phương pháp làm tròn.
8.1 Hàm số bậc ba và đạo hàm của chúng.
- Nhớ lại đồ thị của hàm số bậc 2, f(x) = ax
2
+ bx + c , luôn luôn là một
parabola. Đồ thị của một hàm số bậc 3, f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d , được gọi là
một đường parabola bậc 3. Để bắt đầu ứng dụng của bạn cho việc tính toán biểu
đồ hình học, bạn sẽ học về đạo hàm cấp 2, ở đây nói về tỉ lệ đạo hàm đầu tiên
thay đổi. Từ đạo hàm cấp 2 bạn có thể tìm hiểu về độ cong của một đồ thị và
đường cong đồ thị đó đi lên hoặc đi xuống.
- Phương trình 8.1a biểu diễn đồ thị của các parabola bậc 3. Chúng có hình dạng

khác nhau phụ thuộc vào mối quan hệ của các hệ số a, b và c ( Hệ số d chỉ ảnh
hưởng vị trí thẳng đứng của đồ thị ) một số đồ thị có 2 đỉnh phân biệt, một số lại
không. Khám phá vấn đề phần 8.1, bạn sẽ hình thành các mục tiêu của phần này.
Khám phá phần 8.1
2
1. Trong hình 8.1a,
( )
= −6 + 9 −3
( )
= −6 +15 −9
( )
= −6 +12 −9
Hình 8-1a
Cho các hàm số, tìm một phương trình ứng với đạo hàm đó. Phác hoạ hàm số và
đạo hàm của nó trên một trục toạ độ. Rồi tìm danh sách mối liên hệ mà bạn có
thể tìm thấy giữa đồ thị hàm số và đồ thị đạo hàm. Phác thảo sẽ giúp bạn.
2. Mối liên hệ bạn có thể tìm thấy giữa đồ thị đạo hàm của một hàm số và hàm
số có 2 điểm đỉnh phân biệt ( điểm trên hoặc điểm dưới) là gì ?
3. Đạo hàm cấp 2 của một hàm số là đạo hàm của đạo hàm cấp 1.
Ví dụ: f ”(x)= 6x - 12 . Tìm phương trình cho đạo hàm cấp 2 của g”(x) và h”(x).
Bạn phải chú ý điều gì ?
4. Hình 8.1a minh hoạ đường cong có bề lõm hướng lên và bề lõm hướng
xuống. Bạn có chú ý gì về dấu hiệu của đạo hàm cấp 2 và hướng lõm của đồ thị
?
5. Một đồ thị có một điểm uốn thì tại đó nó sẽ thay đổi từ lõm xuống đến lõm
lên hoặc ngược lại. Đó là 2 cách bạn có thể sử dụng đạo hàm để xác định đúng
điểm uốn.
8.2 Điểm tới hạn và điểm uốn
Nếu một đối tượng di chuyển đến một điểm dừng, một vài thứ có thể xảy ra.
Nó có thể vẫn còn dừng, bắt đầu lần nữa với hướng đó, hoặc bắt đầu lần nữa với

hướng khác. Khi một chiếc xe dừng lại hoặc đi hướng ngược lại, tốc độ đi bằng
0. Khi một quả bóng chày được đánh bởi một vận động viên, tốc độ của nó được
thay đổi một cách đột ngột và không xác định được ngay lập tức của sự tiếp
xúc. Hình 8.2a biểu diễn sự đổi chỗ d, và tốc độ v ( đạo hàm), thay đổi với thời
gian x.
3
Hình 8-2a
Một điểm tại đó đạo hàm bằng 0 không xác định thì được gọi là một điểm tới
hạn, một giới hạn đến từ “ khủng hoảng” ( Khi đạt được một khủng hoảng, mọi
thứ dừng lại và có thể đi theo các hướng khác nhau). Điểm tới hạn thường được
sử dụng cho điểm trên trục x và thường cho điểm trên đồ thị của nó. Bạn phải
quyết định ngữ cảnh mà ở đó là giá trị trung bình.
Giá trị y của một điểm tới hạn có thể là cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa
phương ( Hình 8.2a, ở giữa và bên phải). Từ địa phương chỉ ra rằng f(c) là cực
đại hoặc cực tiểu của f(x) khi x được giữ trong một lân cận của c. Cực đại tổng
thể và cực tiểu tổng thể là lớn nhất và nhỏ nhất tương ứng của cực đại địa
phương và cực tiểu địa phương ( Cực đại và cực tiểu có nhiều dạng). Một điểm
tới hạn với đạo hàm bằng 0 nhưng không phải là cực đại hoặc cực tiểu ( Hình
8.2a, trái) được gọi là một điểm bằng (Mối quan hệ và hình tuyệt đối thường
được sử dụng thay thế cho địa phương và tổng thể khi biểu diễn cực đại và cực
tiểu)
Có tính liên thông giữa một đạo hàm của một hàm số và dáng điệu của một đồ
thị tại một điểm tới hạn. Cho ví dụ, nếu đạo hàm thay đổi từ dương sang âm (
Hình 8.2a, ở giữa), có một điểm cực đại trong đồ thị của hàm số. Bạn xem ở
phần 8.1, đạo hàm cấp 2 của một hàm số cho ta biết hướng mặt lõm của đồ thị.
Một điểm của sự uốn hoặc điểm uốn, xảy ra ở những chỗ mà mặt lõm thay đổi
hướng.
Ví dụ 1: Cho đồ thị hàm số ở hình 8.2b, kéo dãn một đường đẳng số của đồ thị
hàm
f ’ và một đường đẳng số của đồ thị hàm f ” biểu diễn dấu hiệu của mỗi đạo hàm

trong một lân cận của điểm tới hạn tại x = 2. Trên đồ thị đường đẳng số, chứng
4
tỏ rằng f(2) là một cực đại địa phương hoặc một cực tiểu địa phương và ở đó đồ
thị có một điểm uốn tại x = 2.
Hình 8-2b
Lời giải: Kéo dãn đường đẳng số đồ thị hàm f ’và một đường khác của f’’.Mỗi
đồ thị đường đẳng số cần 3 vùng: 1 cho x, 1 cho đạo hàm và 1 cho f(x). Hình
8.2c chỉ ra một cách thích hợp để kéo dãn chúng. Chữ viết tắt “ ep” có nghĩa là
một điểm đầu nút của định ngĩa.
Đồ thị dọc đứng tại x=2, vì f’(2) là vô tận. Chèn kí hiệu vô cùng, trong vùng
f’(x), ở trên x=2,và vẽ một mũi tên thẳng đứng trên nó ở trong vùng f(x).
Đồ thị của f nghiêng cả hai phía tại x=2. Đạo
hàm dương khi hàm số tăng lên, đặt một dấu
cộng trong vùng f’(x) về hai phía đối với x=2.
Biễu diễn mũi tên chỉ hướng nghiêng dưới lên ở
vùng ở vùng f(x) có biễu tượng dấu cộng.
Không có giá trị cực đại và cực tiểu của f(x) tại
x=2, vì thế bạn không cần phải viết ở những
vùng đó.
Đồ thị có bề lõm hướng lên ở vùng x<2 và bề
lõm hướng xuống ở vùng x>2. Vì thế một đạo hàm cấp 2 dương chứng tỏ rằng
bề lõm hướng lên và đạo hàm cấp hai âm chứng tỏ rằng bề lõm hướng xuống,
đặt một dấu cộng ở vùng f’’(x), bên trái x=2 và một dấu trừ ở bên phải. Vẽ cung
ở vùng f(x) chứng tỏ rằng hướng của mặt lõm đồ thị f. Mặt lõm thay đổi (từ đi
lên đến đi xuống ) tại x=2, vì thế đồ thị có một điểm uốn tại đó. Viết “p.i” ở
vùng f(x) tại x=2.
Chú ý về mặt lõm và độ cong
Hình 8-2d Hình 8-2e
Từ mặt lõm đến từ Latin, nghĩa là “chỗ hõm vào”. Nếu đạo hàm cấp hai dương,
đạo hàm cấp một tăng.Hình 8-2d biễu diễn tại sao mặt lõm hướng xuống trong

5
trường này và ngược lạiHình 8-2d. Hinh 8-2eNhư biễu diễn ở hình 8-2e, giá trị
tuyệt đối của f’’(x), nhận thấy rõ ràng hơn độ cong của đồ thị. Tuy nhiên bạn sẽ
học trong bài 10-6, độ cong cũng phụ thuộc vào độ nghiêng của đồ thị. Được
cho bởi giá trị f’’(x), độ nghiêng càng dốc,độ cong càng ít.Ở ví dụ 2, bạn sẽ làm
ngược lại phương pháp của ví dụ 1 và dựng hình đồ thị của hàm số từ đường
đẳng số của đạo hàm cấp 1 và cấp 2.
Ví dụ 2: Hình 8-2f biễu diễn đồ thị đường đẳng số cho đạo hàm cấp một và cấp
hai của một hàm liên tục. Dùng thông tin này để kéo dãn đồ thị của f nếu f(4)=0.
Mô tả dáng điệu của hàm số ở điểm tới hạn.
Hình 8-2f
Lời giải: Kéo dãn đồ thị đường đẳng số. Cộng mũi tên và cung ở vùng f(x), biễu
diễn độ nghiêng và mặt lõm trong các khoảng giữa các điểm tới hạn (Hình 8-
2g). Cộng với thông tin đã có mô tả chức năng của đồ thị sẽ có ở điểm tới hạn
của f và f’. Kéo dãn một hàm số liên tục (không phải là đường tiệm cận )có
đường bao đã cho và cắt trục x tại x=4 (Hình 8-2h).
Đồ thị mà bạn vẽ phải hơi khác, nhưng nó phải có chức năng biễu diễn trên
đường đẳng số đồ thị ở hình 8-2g
Hình 8-2h Hình 8-2g
Ví dụ 3 biễu diễn cách mà bạn kéo dãn đồ thị của một hàm số nếu thực tế đồ thị
của đạo hàm hàm số được cho không phải là đường đẳng số.
Ví dụ 3: ở hình 8-2i biểu diễn đồ thị của đạo hàm một hàm liên tục, từng phần
hàm số f xác định trên khoảng đóng x thuộc [ 0,8 ]. Trên trang giấy vẽ hình, kéo
6
dãn đồ thị của hàm f, điều kiện ban đầu là f(1)=5. Đặt dấu chấm ở phần vị trí của
mỗi điểm tới hạn và mỗi điểm uốn. Hình 8-2i
Lời giải: Hình 8-2j cho ta thấy rằng
. f(1)=5, điều kiện ban đầu là một cực đại địa phương vì f’(x) thay đổi từ dương
sang âm như x tăng từ 1.
. f(0) là một điểm cuối của cực tiểu địa phương vì f(x) tăng lên giữa 0 và 1. Bằng

cách tính bình phương, f(0) ≈5 - 1.3=3.7. Nó xác định vì tập xác định la
[0,8].Hình 8-2j
. f(2) ≈5 - 0.7=4.3 là một điểm uốn vì f’(x)có một cực tiểu địa phương tại x=2.
. f(3) ≈4.3 - 0.7 = 3.6 là một cực tiểu địa phương f’(x) thay đổi từ dương sang
âm tại x=3.
. f(4) ≈ 3.6 + 1.3 = 4.9 tồn tại vì f là liên tục và là một cực đại địa phương vì
f’(x) thay đổi từ dương sang âm tại x = 4. Tại x = 4 vì vì đạo hàm của đồ thị thay
đổi gián đoạn (đạo hàm không liên tục ).
. f(6) ≈ 4.9 - 2.0 = 2.9 là một cực tiểu địa phương vì f’(x) thay đổi từ âm sang
dương tại x = 6.
. f(8) ≈2.9 + 2.0 = 4.9 là một điểm cuối cực đại địa phương vì f(x) tăng từ x =
6 đến x = 8.
Ở ví dụ 4 bạn được cho cả phương trình của hàm số và đồ thị chính xác. Bạn sẽ
được hỏi để tìm chức năng đại số, và có thể gặp một số khó khăn để nhận ra.
Ví dụ 4: Hình 8-2k biểu diễn đồ thị của
( )
=
⁄
+ 4
⁄
a. Kéo dãn đồ thị đường đẳng số của f’ và f’’ để biểu diễn chức năng xuất
hiệ rõ trên đồ thị.
b. Tìm phương trình của f’(x) và f’’(x). Biểu diễn đại số điểm tới hạn bạn sẽ
vẽ ở phần a cho đúng.
7
c. Viết toạ độ x và y của tất cả các điểm cực đại, cực tiểu và điểm uốn.
Hình 8-2k Hinh 8-2l
Lời giải: a. Hình 8-21 biểu diễn đồ thị hai đường đẳng số. Chú ý rằng f’’(x) = 0
tại x = -1 và xác định tại x = 0. Đồ thị có bề lõm hướng lên đối với x < 0 và có
bề lõm hướng xuống đối với x > 0.

b. ′
( )
=
⁄
+
⁄
=
⁄
( +1)
′′
( )
=
4
9
⁄
−
8
9
⁄
=
4
9
⁄
( −2)
Điểm tới hạn xảy ra tại f’(x)=0 hoặc f’(x) không xác định.
f’(x)=0 
⁄
(
+1
)

= 0x
-2/3
= 0 hoặc x +1 = 0
Một tích số bằng không nếu và chỉ nếu một trong các thừa số của nó bằng
không.
x
-2/3
= 1/x
2/3
không thể bằng không, vì vậy thừa số khác phải bằng không
o
-2/3
= 1/0
2/3
, giá trị này không vô hạn
. x=-1
f’’(x) không xác định khi và chỉ khi x=0.
. Điểm tới hạn xảy ra tại x=0 và x=-1, được khảo sát ở phần a. Điểm uốn có thể
xảy ra mà tại đó f’ có điểm tới hạn;f’’(x)=0 hoặc không xác định .
f’’(x)=0 
⁄
(
−2
)
= 0 x
-5/3
= 0 hoặc x - 2 = 0
∴x=2
f’’(x) không xác định khi và chỉ khi x=0.
Tại một điểm của sự uốn, f’’(x) phải thay đổi dấu. Tại x=2, thừa số (x-2) trong

f’’(x) phải thay đổi dấu. Tại x=0, thừa số (4/9)x
-5/3
phải thay đổi dấu.(Luỹ thừa
của một số dương là dương. Nếu x là âm thì x
-5/3
là âm. Căn bậc ba của một số
âm là âm, luỹ thừa bậc 5 của số âm cũng là âm, và nghịch đảo của số âm cũng là
số âm.)
Vì thế điểm uốn là tại x=0 và x=2.
Điểm x=2 không biểu diễn điểm gốc cho đường đẳng số của đồ thị của f’’(x) ở
phần a, vì thế cộng các dấu hiệu phác hoạ biểu diễn ở hình 8-2m.
8
Hình 8-2m
c. Tìm độ y của cực đại và cực tiểu, thấy được từ giá trị x ở phần b thành
phương trình f(x).
f(-1) = (-1)
4/3
+4(-1)
1/3
= 1- 4 = -3
f(0) = 0
f(2) = (2)
4/3
+ 4(2)
1/3
= 7.559…
Cực tiểu địa phương và tổng thể của f(x) đều bằng -3 tại x= -1.
Điểm của sự uốn tại (0,0) và tại (2,7.599 )
Không có cực đại địa phương hoặc tổng thể vì f(x) xấp xỉ vô cùng như x xấp xỉ
cộng trừ vô cùng.

Thỉnh thoảng bạn sẽ tìm điểm tới hạn từ phương trình của một hàm số. Ví dụ 5
cho thấy cách làm này bằng đồ thị và bằng số liệu và cách khẳng định kết quả
bằng phương pháp đại số.
Ví dụ 5: Cho f(x)= -x
3
+ 4x
2
+ 5x + 20, với miền xác định [-2.5, 5].
a. Phác hoạ đồ thị. Dự đoán toạ độ x và y của tất cả cực đại hoặc cực tiểu địa
phương và tất cả điểm uốn, vị trí của cực đại và cực tiểu tổng thể.
b. Viết phương trình f’(x) và f’’(x). Sử dụng chúng để tìm cả về số liệu lãn
phương pháp đại số, giá trị chính xác của toạ độ x ở phần a.
c. Biễu diễn đạo hàm cấp hai âm tại điểm cực đại địa phương và dương tại
điểm cực tiểu địa phương. Giải thích đồ hoạ trên cơ sở lập luận.
d. Giải thích tại sao không có điểm tới hạn khác hoặc điểm uốn khác.
Lời giải:
a. Hình 8-2n biểu diễn đồ thị trên miền xác định. Sử
dụng phác hoạ điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị để
tìm điểm trên và điểm dưới, và xác định để tìm điểm
của sự uốn.
Cực tiểu địa phương của 20 tại điểm cuối x=5, và về
18.625 tại x xáp xỉ - 0.5.
Hình 8-2n
Cưc tiểu tổng thể tại khoảng 18.625.
Cực đại địa phương của 48.125 tại điểm cuối x = -2.5, và khoảng 44.192 tại x
xấp xỉ 3.2.
Cực đại tổng thể tại khoảng 48.125.
Điểm của sự uốn xấp xỉ (1.3, 31)
b. f’(x) = -3x
2

+ 8x +5
f’’(x) = -6x + 8
9
Đồ thị của f’ biểu diễn trên cùng một mặt như f ở hình 8-2n. Đặt chính xác điểm
tới hạn, sử dụng giải pháp là phác hoạ đồ thị để tìm số lượng tại đó f’(x)=0, hoặc
sử dụng phương trình bậc hai. Vì vậy, =
±
( )
( )
( )
= -0.5225… hoặc
3.1892…
Điều này khẳng định dự đoán ở phần a.
Tìm chính xác điểm uốn, đặt f’’(x)=0 và giải quyết. Vì thế, -6x + 8 = 0 khi x=
4/3 tại đó khẳng định dự đoán của x xấp xỉ 1.3 ở phần a.
c. f’’(-0.5225 ) = 11.1355 ,là dương.
f’’(3.1892 ) = -11.1355 , là âm.
Đồ thị có bề lõm hướng lên tại điểm dưới và có bề lõm hướng xuống tại điểm
trên.
d. Vì f’(x) là phương trình bậc hai, nó có thể có hai nghiệm bằng không, đều
được tìm ở phần b. Kể từ f’’(x) là tuyến tính, nó có chính xác một điểm bằng
không, cũng được tìm ra ở phần b. Vì thế không có nhiều điểm tơí hạn hoặc
điểm của sự uốn.
Chú ý về đạo hàm cấp hai
Từ ví dụ 5, bạn thấy điểm uốn xảy ra ở đó đạo hàm ngừng tăng và bắt đầu
giảm, và ngược lại. Bạn có thể kết luận rằng
điểm uốn xảy ra ở đó đạo hàm của hàm số
có một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa
phương. Vì thế đạo hàm của đạo hàm (đạo
hàm cấp hai), nếu nó được xác định, và sẽ

bằng không tại điểm uốn.
Cũng từ ví dụ 5 bạn có thể tìm ra phương
pháp đại số bầng cách xác định điểm tới là
một điểm trên hoặc điểm dưới. Nếu đồ thị có triệt tiêu đạo hàm cấp một (đường
thẳng nằm ngang), rồi có một điểm trên nếu đạo hàm cấp hai là âm(bề lõm
hướng xuống) hoặc một điểm dưới nếu đạo hàm cấp hai là dương( bề lõm hướng
lên). Cơ sở này được gọi là kiểm tra đạo hàm cấp hai cho cực đại và cực tiểu. Nó
được mimh hoạ trong hình 8-2o và tổng kết ở bảng trang 380. Hình dáng được
biểu diễn ở những phép thử cũng chưa đủ để phân biệt giữa cực đại, cực tiểu và
điểm bằng nếu đạo hàm cấp hai bằng không thì tại đó đạo hàm cấp một cũng
bằng không. Hình 8-2p và các bảng đi kèm trình bày các định nghĩa và tính chất
của phần này.
10
Hình 8-2p
Chú ý hình dáng biểu diễn cực đại và cực tiểu địa phương. Tìm cực đại và cực
tiểu tổng thể, bạn phải kiểm tra mỗi điểm địa phương đó và tìm ra điểm lớn nhất
và điểm nhỏ nhất.
Chú ý về điểm lùi và điểm góc đỉnh
Điểm lùi tại x=5 ở hình 8-2p có tính chất rằng độ dốc trở nên vô hạn tại x xấp xỉ
bằng 5 từ các hướng, và vì thế đô thị có một tiếp tuyến thẳng đứng. Tại x=3, có
một bước thay đổi trong đạo hàm cấp một (một hướng thay đổi đột ngột ở
hướng của đồ thị ) nhưng độ dốc xấp xỉ giá trị khác từ mặt dương và âm. Cái tên
điểm góc đỉnh thường được sử dụng như một điểm.
ĐỊNH NGHĨA: Điểm tới hạn và mối liên hệ các chức năng.
. Một điểm tới hạn trên một đồ thị xảy ra tại x=c nếu và chỉ nếu f(c) xác định và
f’(c)=0 hoặc không xác định.
. f(c) là cực đại địa phương (hoặc cực đại tương đối) của f(x) nếu và chỉ nếu
f(c)>f(x) hoặc tất cả x là một lân cận của c (là một khoảng mở chứa c).
. f(c) là một cực tiểu địa phương (hoặc cực tiểu tương đối ) của f(x) nếu và chỉ
nếu f(c)≤f(x) cho tất cả x là một lân cận của c.

. f(c) là một cực đại tổng thể (hoặc cực đại tuyệt đối )của f(x) nếu và chỉ nếu
f(c)≥f(x) cho tất cả x ở trong miền xác định của f.
. f(c) là một cực tiểu tổng thể (cực tiểu tuyệt đối) của f(x) nếu và chỉ nếu
f(c)≤f(x) cho tất cả x ở trong miền xác định của f.
. Đồ thị f có bề lõm hướng lên tại x=c nếu và chỉ nếu tất cả x ở trong lân cận của
c, đồ thị nằm trên đường tiếp tuyến tại điểm (c, f(c)). Đồ thị của f có bề lõm
hướng xuống tại x=c nếu và chỉ nếu tất cả x ở trong lân cận của c, đồ thị nằm
dưới đường tiếp tuyến . Điểm (c, f(c)) là điểm của sự uốn, nếu và chỉ nếu f’’(x)
thay đổi dấu tại x=c.
tại x=c. Giá trị của f’’(c) là mặt lõm của đồ thị f tại x=c.
11
. Điểm (c, f(c)) là một đỉnh nếu và chỉ nếu f không liên tục tại x=c. Nếu mặt lõm
thay đổi tại x=c, đường cát tuyến trên phía c không phải là một đường tiếp tuyến
chung, nhiều góc đỉnh thường đươc sử dụng thay thế cho điểm lùi.
. Điểm (c, f(c)) là một điểm bằng nếu và chỉ nếu f’(c)=0, nhưng f’(x) không thay
đổi dấu tại x=0.
TÍNH CHẤT: Cực đại, cực tiểu và điểm của sự uốn.
. Nếu f’(x) đi từ dương sang âm tại x=c và f liên tục tại x=c, f(c) là một cực đại
địa phương.
. Nếu f’(x) đi từ âm sang dương tại x=c, và f liên tục tại x=c, và f(c) là một cực
tiểu địa phương.
. Nếu f’’(c) là dương, và đồ thị của f có bề lõm hướng lên tại x = c.
. Nếu f’’(c) là âm, và đồ thị của f có bề lõm hướng xuống tại x = c.
. Nếu f’’(x) thay đổi dấu tại x = c và f liên tục tại x = c, và (c, f(c)) là một điểm
của sự uốn.
. Phép thử đạo hàm cấp hai: nếu f’(c) = 0 và f’’(c) dương (đồ thị có bề lõm
hướng lên) và f(c) là một cực tiểu
địa phương. Nếu f’(c) =0 và
f’’(c) là âm (đồ thị có bề lõm
hướng xuống) và f(c) là một cực

đại địa phương. Nếu f’(c) = 0 và
f’’(c) = 0 và phép thử đạo hàm
cấp hai không đủ đẻ phân biệt
điểm cực đại, cực tiểu và điểm
bằng.
. Một điểm cực đại và cực tiểu (
không phải là một điểm của sự
uốn ) có thể xảy ra tại điểm cuối
của tập xác định của một hàm số.
VẤN ĐỀ PHẦN 8-2
Ôn tập nhanh
Phác họa: y = x
2
Phác họa: y = x
3
Phác họa: y = cosx
Phác họa: y = sin
-1
x
Phác họa: y =
Phác họa: y = lnx
Phác họa: y = tanx
Phác họa: y = x
12
Phác họa: y = 1/x
Phác họa: x =2
Đối với vấn đề 1-10, vẽ đường đẳng số cho f’ và f’’ biểu diễn những gì xảy ra
đến giá trị và dấu của mỗi đạo hàm trong một lân cận của x =2.
Vấn đề 11-16, vẽ lại đồ thị đường đẳng số, đánh dấu thông tin về dáng điệu của
đồ thị hàm f. Vẽ một đồ thị của hàm số liên tục f phù hợp với thông tin về đạo

hàm.
13
Vấn đề 17-20, đồ thị của y =f’(x), đạo hàm của một hàm số liên tục f, đã được
cho. Trên một mặt đồ thị, vẽ đồ thị hàm số y =f(x) chứng tỏ rằng miền xác định,
đối tượng là điều kiện cho ban đầu.
17.Điều kiện ban đầu f(2)= -2.
Tập xác định: x ∈[1, 5]
18.Điều kiện ban đầu f(1)= 3
Tập xác định: x ∈[1,9].
14
19.Điều kiện ban đầu f(2)= 4
Tập xác định: x ∈[0,8]
20. Điều kiện ban đầu:Tập xác định: x ∈[-2,4]
Hàm số 21-26, biểu diễn điểm tới hạn xảy ra tại x=2 và sử dụng phép thử đạo
hàm cấp hai để xác định phương pháp đại số, ở đó điểm tới hạn này là cực đại
tương đối hoặc cực tiểu tương đối. Nếu phép thử không đủ, sử dụng dấu của đạo
hàm cấp một để quyết định. Phác thảo đồ thị và vẽ nó trong một lân cận của
x=2, vì thế xác nhận sự kết luận của bạn.
21.f(x) = 3 −
22.f(x) = − sin
15
23.f(x) = (2 – x)
2
+1
24.f(x) = -(x – 2)
2
+1
25.f(x) = (x – 2)
3
+1

26.f(x) = (2- x)
4
+1
27.Đặt f(x)= 6x
5
– 10x
3
Hình 8-2q
Hình 8-2q
a. Sử dụng đạo hàm để tìm toạ độ x cho tất cả điểm tới hạn của f và f’.
b. Giải thích tại sao điểm tới hạn trong phần a không xuất hiện trong đồ thị này.
c. Giải thích tại sao không có điểm cực đại và cực tiểu tại x=0, vì f’(0)=0.
28.Đặt f(x) = 0.1x
4
– 3.2x + 7
Hình 8-2r
a. Sử dụng đạo hàm để tìm toạ độ x của tất cả điểm tới hạn của f và f’.
b. Giải thích tại sao không có điểm của sự uốn tại x=0 vì f’’(0)=0.
c. Dưới điều kiện đã cho, f’(x) và f’’(x) có thể là một đồ thị ‘’thẳng đứng’’ hoặc
đường nằm ngang?
29. Lấy f(x) = x
Hình 8-2s
a. Dùng đạo hàm để tìm tọa độ x của tất cả các điểm tới hạn của f và f’.
b. Làm thế nào bạn có thể nói rằng có một điểm uốn, mặc dù nó không biểu
thị trên đồ thị ?
16
c. Có đồ thị cắt trục x tại bất kỳ điểm nào khác hơn (0, 0 )không ? Biện minh
cho câu trả lời của bạn.
30 . Cho f (x) = xlnx (hình 8-2t)
Hình 8-2t

a. Dùng đạo hàm để tìm tọa độ điểm x của tất cả các điểm tới hạn của f và
f’.
b. Biểu diễn giới hạn của f(x) là số không như x dần đến không từ bên phải,
nhưng không dần đến bên trái. Định lí L’Hospital sẽ giúp làm điều này.
c. Có những điểm tới hạn không biểu diễn trên đồ thị phải không? Nếu có,
thì biểu diễn ở đâu và thuộc loại nào? Nếu không, giải thích làm thế nào bạn biết
được?
31. cho f(x)= x
Hình 8-2u
a. Dùng đạo hàm để tìm tọa độ x của tất cả các điểm tới hạn của f và f’.
b. Giải thích tại sao có một đường tiếp tuyến tại đỉnh, mặc dù f’(x) không
xác định ở đó.
c. Có một điểm uốn ở đỉnh phải không? Có 1 điểm uốn ở đỉnh hay ngược lại
ở bất cứ nơi nào khác?
32. cho f(x)=
17
Hình 8-2v
a. Dùng đạo hàm để tìm tọa độ x của tất cả các điểm tới hạn của f và f’.
b. Tiếp tuyến là đường thẳng tại x=0. Làm thế nào để bạn biết không có
nhiều giá trị khác nhau của y tại x=0?
c. Khi x < -2, đồ thị cong hay thẳng? nếu cong, mặt lõm sẽ hướng theo
hướng nào?
Đối với vấn đề 33-36
a. Vẽ đồ thị. Sử dụng TRACE, và tính năng tối đa và tối thiểu của grapher
của bạn, tìm đồ họa gần đúng tọa độ x và y của tất cả các cực đại địa phương,
cực tiểu, và các điểm uốn. tìm tối đa và tối thiểu toàn cầu.
b. Viết phương trình cho f’(x) và f”(x). sử dụng chúng để tìm số lượng hoặc
giá trị đại số chính xác của tọa độ x trong phần a.
c. Trình bày đạo hàm bậc hai áp dụng
………………………………………………….

d. Giải thích làm thế nào bạn biết rằng không có điểm tới hạn hoặc điểm uốn
nào?
33. f(x)= - + 5 -6x + 7
34. f(x)= - 7 + 9x +10
35. f(x)= 3 + - 6 - 24x + 37, với x [-3, 2]
36. f(x)= ( −1) + 4, với x [-1, 3]
37. điểm uốn của một hàm bậc ba: phương trình tổng quát của hàm bậc hai là
Y= a + bx + c với a 0
Được gọi lại từ đại số học là “trung bình” của đồ thị hàm bậc hai (đó là đỉnh), là
tại x= . “trung bình” của đồ thị hàm bậc ba là tại những điểm uốn. chứng minh
rằng nếu f(x)= a + b + + , tại a 0, thì điểm
uốn được xác định tại x=
38. giá trị cực đaị và cực tiểu của hàm bậc ba: những điểm cực đại và cực tiểu
của một hàm bậc ba được đặt đối xứng ở hai bên điểm uốn. chứng minh rằng
điều này là đúng nói chung cho các hàm bậc ba f(x)= + + + . Đối
18
với điều kiện các hệ số a, b, c, d, hai bên điểm uốn và điểm cực đại cực tiểu cách
xa bao nhiêu?
Đối với vấn đề 39-40, tìm phương trình đặc biệt của hàm bậc ba được mô tả. sử
dụng grapher của bạn để xác nhận kết quả của bạn.
39. cực đại địa phương tai điểm (5, 10) và điểm uốn tại (3, 2)
40. cực đại địa phương tai điểm (-1, 61) và điêm uốn tại (2, 7)
41. khái niệm lõm: hình 8-2w biểu diễn đồ thị hàm f(x)= . Tiếp tuyến được vẽ
tại x= -0.8, -0.5, 0.5, 0.8.
Hình 8-2w
Tính độ dốc cho mỗi tiếp điểm.
a. Điều gì sẽ xảy ra với độ dốc nếu x tăng từ -0.8 đến -0.5? tương tự khi x
tăng từ 0.5 đến 0.8? làm thế nào để xác định được giá trị đạo hàm bậc hai của
những phát hiện này?
b. Về phía nào của tiếp tuyến thì đồ thị của hàm ảo là đồ thị của hàm lõm tại

tiếp điểm?
42. vấn đề gốc tọa độ: Ima Evian vẽ đồ thị của hàm = , dung x= -1, 0, và 1
(hình 8-2x). từ ba điểm đó bà kết luận đồ thị là 1 đường thẳng. giải thích cho
Ima biết làm thế nào bà có thể dùng đạo hàm để tránh đưa ra những kết luận sai
lầm này.
Hình 8-2x
43. Mối quan hệ giữa đạo hàm không đầu tiên và đồ thị: nếu
′
( )
= 0, điều
đầu tiên bạn biết chắc chắn về đồ thị của f là có 1 tiếp tuyến nằm ngang tại x= c.
phác thảo 1 đồ thị biểu diễn những hoạt động này trong lân cận của x= c.
19
a. f(x) ngừng tăng và bắt đầu giảm khi x tăng thông qua c.
b. f(x) ngừng giảm và bắt đầu tăng khi x tăng thông qua c.
c. f(x) ngừng tăng nhưng bắt đầu giảm 1 lần nữa khi x tăng thông qua c
d. b. f(x) ngừng giảm nhưng bắt đầu tăng 1 lần nữa khi x tăng thông qua c.
e. f(x) vẫn liên tục tại địa phương khi x tăng qua c.
44. vấn đề độ cong vô hạn: biểu diễn đồ thị hàm f(x)= 10( −1)
⁄
+ 2 được
xác định và khả vi tại x= 1, nhưng đạo hàm cấp hai là không xác định. Khám
phá những hoạt động của f(x) gần x= 1 bằng cách phóng to điểm đó trên đồ thị
bằng cách xây dựng một bảng giá trị. Mô tả những gì bạn khám phá.
45. vấn đề hàm mũ và hàm đa thức tương tự nhau: hình 8-2y biểu diễn đồ thị
hàm f(x)=
.
và g(x)= 1 + 0.06x + 0.0018 + 0.000036
Hình 8-2y
Thấy rằng mặc dù các đồ thị trông giống như f và g có giá trị hàm bằng nhau và

đạo hàm cấp một, cấp hai và đạp hàm cấp ba tại x= 0, nhưng chúng không phải
là những hàm đồng nhất.
46. một hàm không khống chế được: xem xét các hàm piecewise:
Vẽ đồ thị của hàm f dùng 1 cửa sổ với [0, 2] cho x và [1.99, 2.01] cho y. cho f
xác định và lien tục và có đạo hàm cấp không tại x= 1, mặc dù đồ thị làm cho
một số vô hạn chu kì như x gần đến 1 từ hai phía.
47. vấn đề ghi chép hằng ngày: cập nhật ghi chép của bạn với những gì bạn đã
học được từ mục cuối cùng. Bao gồm những điều như:
- một trong những điều quan trọng nhất mà bạn đã học được từ mục cuối cùng
của bạn.
- các mối quan hệ giữa các dấu hiệu của đạo hàm cấp một và cấp hai và hoạt
động của đồ thị hàm số.
- làm thế nào các đạo hàm cấp một và hai được sử dụng để xác định vị trí cực
đại, cực tiểu, và các điểm uốn đại số.
- làm thế nào để trau dồi các kiến thức về đạo hàm của bạn.
20
- bất cứ kĩ năng hay ý tưởng gì về hoạt động của đồ thị vẫn chưa rõ ràng.
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………….
8.3 Những trị số cực đại và cực tiểu trong mặt phẳng và hình khối.
Trong mục 8-2, bạn đã tìm được giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số đã cho.
Vấn đề của phần này yêu cầu bạn đầu tiên tìm phương trình tính diện tích, thể
tích, hoặc chu vi của một hình hình học, sau đó sử dụng các phương pháp quen
thuộc để tìm giá trị cực trị. Kết quả là bạn có thể điều tra các tình huống thực tế
như thế nào ngành công nghiệp đóng hộp tiết kiệm tiền bằng cách đóng gói khối
lượng tối đa của sản phẩm với mức tối thiểu lượng kim loại.
Mục tiêu: cho một mặt phẳng hoặc một hình khối, tìm giá trị cực đại và cực tiểu
của chu vi, diện tích, khối lượng ( thể tích ).
Ví dụ 1:
Giả sử bạn cần phải xây dựng một bãi quây súc vật hình chữ

nhật dọc bờ sông. Ba mặt của bãi quây súc vật sẽ được rào
chắn với dây thép gai . Sông hình thành bên thứ tư bãi quây
súc vật (hình 8 - 3a) . Tổng chiều dài của hàng rào có sẵn là
1000 ft. diện tích tối đa bãi quay súc vật có thể có? Làm thế
nào các hàng rào được xây dựng để kèm theo diện tích tối đa
điều này? Biện minh cho câu trả lời của bạn .
Giải pháp:
Hình 8-3a
Điều đầu tiên cần lưu ý là vấn đề yêu cầu bạn để tối đa hóa khu vực. Vì vậy, bạn
cần một phương trình cho khu vực như một chức năng của một hay nhiều biến.
cho A ứng với diện tích và x, y ứng với độ dài của hàng rào song song với và
vuông góc sông, tương ứng, bạn có thể viết A = xy.
Tiếp theo bạn phải tìm thấy một trong các điều kiện của một biến . Bởi vì có
tổng cộng 1000 ft
hàng rào , bạn có thể viết một phương trình liên quan x và y .
x + 2n = 1000 x = 1000 - 2n , trong đó y [ 0 , 500 ] Nếu x = 0, sau đó
y = 500 .
A = ( 1000 - 2n ) (y) = 1000y - 2 .
Như hình 8 - 3b cho thấy, đồ thị của A so với y là một parabol mở xuống , với
điểm tối đa của nó nằm giữa hai y chặn . vì các điểm chặn là y = 0 và y = 500 ,
và những điểm này là đầu của tên miền, điểm tối đa là
21
y = 250
Hình 8 - 3b
Xác nhận thực tế này bằng cách đạo hàm:
A’ = 1000 - 4y
A’ = 0 khi và chỉ khi
1000 - 4y = 0 y = 250
x = 1000 - 2 ( 250 ) = 500
A = ( 500 ) (250) = 125.000

Bạn nên xây dựng bãi quây súc 250 ft vuông góc với sông và 500 ft song song
với sông. Bãi quây súc vật thể có diện tích tối đa 125.000 .
Ví dụ 2:
Hình 8 - 3c
Trong hình 8 -3c, một phần của parabol = 4− từ x = 0 đến x = 2 là quay
quanh trục y để tạo thành một bề mặt . Một hình nón được vẽ nội tiếp trong
parabol với đỉnh của nó tại gốc và đáy của nó tiếp xúc với parabol. Bán kính và
chiều cao đạt bao nhiêu thì thể tích cực đại? thể tích cực đại là bao nhiêu? Biện
minh cho câu trả lời của bạn.
Giải pháp:
chọn một điểm mẫu ( x, y) trên parabol trong góc phần tư thứ nhất , nơi hình nón
tiếp xúc với nó . Kể từ khi bạn được yêu cầu tối đa hóa thể tích , tìm một
phương trình cho thể tích V trong điều kiện của x và y.
V=
=
(
4−
)
, ∈
[
0,2
]
22
= (4 − )
V’ =
(
8 −4
)
= (2− )
V’ = 0 ⇔x= 0 hoặc 2- = 0

x= 0 hoặc x= ±
√
2.
Chọn điểm ví dụ (x, y). Để có được V theo x và y , sử dụng V = ( diện tích đáy )
( chiều cao). Đưa V về một biến, và chỉ định một miền .
Phép cộng dễ hơn phép lấy vi phân hơn phép nhân.
Phép nhân dễ hơn đặt phương trình bằng không hơn phép cộng.
-−
√
2không thuộc miền xác định.
Hình 8-3d
Hình 8-3d biểu diễn giá trị lớn nhất tại x≈1.4. tại điểm uốn x= 0. Thể tích là
nhỏ nhất. tại các điểm dừng khác, thể tích cũng đạt giá trị nhỏ nhất.
Thể tích lớn nhất tại x=
√
2. Thể tích tại điểm này là
V = (2)(4- 2) =
4
3
= 4.18879…
Có những bước quan trọng trong ví dụ 1 và 2 sẽ giúp bạn thành công trong vấn
đề max- min . Các bước được liệt kê trong bảng này:
Phương pháp: phân tích các vấn đề của giá trị cực đại- cực tiểu
1. Làm 1 bản phác thảo nếu không có hình sẵn.
2. Viết phương trình cho biến bạn đang cố tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất.
3. Đưa phương trình về theo điều kiện của một biến và tìm miền xác định.
4. Tìm gần đúng giá trị cực đại hay cực tiểu bằng đồ thị.
5. Tìm giá trị cực đại hay cực tiểu chính xác tại những nơi thấy đạo hàm
bằng không hoặc không xác định. Kiểm tra bất cứ điểm dừng nào của miền xác
định.

6. Trả lời câu hỏi bằng cách viết những yêu cầu cho câu hỏi.
Đặt vấn đề 8-3:
Q1 . đạo hàm : y =
(
3 +5
)
23
Q2 . Tích phân:
∫
( +6)
Q3. Đạo hàm: y=
⁄
Q4. Tích phân:
∫
Q5. Tích phân:
∫
Q6. Tích phân:
∫
Q7.
∫
cot = ?
Q8. Phác thảo đồ thị: y =
⁄
Q9. Phác thảo đồ thị của y’’ cho hàm bậc ba trong hình 8-3e
Hình 8-3e
Q10. (
⁄
)(cos )dx = ?
A. sin B. -sin
D.

√
C.
√
……………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………
Bài toán tách, chia kho đựng hàng: giả sử bạn đang xây dựng 1 kho đựng hang
hình chữ nhật (hình 8-3f) sử dụng 600 ft rào . Bạn sẽ sử dụng một phần của
hàng rào này để xây dựng một hàng rào trên giữa của các hình chữ nhật ( xem sơ
đồ ) . Tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó, đưa ra tổng diện tích
lớn nhất. Biện minh cho câu trả lời của bạn .
Hình 8 - 3F
2. bài toán nhà nghỉ: một nhà trọ sáu phòng sẽ được xây dựng với sàn nhà
được thể hiện trong hình 8 -3g . mỗi phòng sẽ có 350 không gian sàn.
Hình 8-3g
24
a. Những kích thước nào nên được sử dụng cho các phòng để giảm thiểu
tổng chiều dài các bức tường ? Biện minh cho câu trả lời của bạn .
b. Câu trả lời sẽ thay đổi như thế nào nếu khách sạn bên đường có mười
phòng ? Nếu nó chỉ có ba phòng ?
3. bài toán 2 cánh đồng: Ella Mentary có 600 ft hang rào cho 2 cánh đồng.
cánh đồng thứ nhất là hình chữ nhật có chiều dài rộng gấp đôi chiều rộng, và cái
còn lại hình vuông (hình 98-3h). cánh đồng hình vuông phải có ít nhất 100 .
Cái hình chữ nhật có ít nhất 800 .
Hình 8-3h
Nếu x là chiều rộng mảnh hình chữ nhật, thì giới hạn của x là gì?
a. Vẽ đồ thị của tổng diện tích chứa trong 2 cánh đồng như 1 hàm của x.
b. Diện tích lớn nhất có thể đạt được trong 2 cánh đồng?
4. bài toán hai đảo san hô: bạn làm việc trên trang trại của Bill Spender. Bill
nói với bạn xây dựng một hang rào tròn xung quanh hồ và sử dụng phần còn lại
của 1000 yards của bạn để xây hàng rào quanh hồ hình vuông (hình 8-3i). để giữ

cho hang rào ra khỏi nước, đường kính của vòng tròn bao vây phải có ít nhất 50
yards.
Hình 8-3i
Nếu bạn sử dụng tất cả 1000 yards rào, làm thế nào bạn có thể xây dựng hàng
rào để có thể có tổng diện tích nhỏ nhất? biện minh cho câu trả lời của bạn/
a. Bạn sẽ nói với Bill những gì nếu anh ấy yêu cầu bạn xây hang rào để
dựng xung quanh với tổng diện tích tối đa?
5. mở hộp I: 1 hộp hình chữ nhật với một đáy hình vuông và không có mặt trên (
hình 8-3j) được dựng và sử dụng tổng cộng 120 bìa các- tong.
25
Hình 8-3j
a. Tìm kích thước của hộp để có thể tích lớn nhất.
b. Mô phỏng độ sâu của hộp khi thể tích lớn nhất đó trong quan hệ với chiều
dài đáy của hộp nếu hộp có diện tích bề mặt cố định.
6. Mở hộp II (dự án ): đối với dự án này, bạn sẽ điều tra thể tích của 1 hộp.
hình thành các hộp, sẽ không có mặt trên, bằng cách cắt ra hình vuông từ 4 góc
của 1 đoạn 20*12 đơn vị giấy đồ thị (hình 8-3k) nà gấp lên cạnh.
hình 8-3k
a. Mỗi nhóm phải chọn 1 giá trị x khác nhau như 1, 2, 3, 4,…. Sau đó cắt ra
hình vuông từ giấy biểu đồ, và gấp và buộc lại tạo thành hình dáng chiếc hộp.
giá trị lớn nhất có thể của x là bao nhiêu?
b. Tính thể tích của mỗi hộp. với giá trị nguyên nào của x thì hộp có thể tích
lớn nhất?
c. Tìm giá trị của x để hộp có thể tích lớn nhất? thể tích đó là bao nhiêu?
d. Hãy dựng hộp có thể tích lớn nhất đó.
7. Mở hộp III: bạn phải xây dựng 1 bể cá thủy tinh giữ được 72 nước.
bạn muốn đáy và cạnh của nó là hình chữ nhật, và mặt trên của nố, dĩ nhiên là
mở. bạn muốn bể cá có chiều rộng 5 ft nhưng chiều dài và chiều sâu là biến. vật
liệu xây dựng cho bể giá 10 mỗi foot vuông cho đáy và 5$ mỗi foot vuông cho
mặt bên. Giá rẻ nhất của cái bể là bao nhiêu? Biện minh cho câu trả lời của bạn.

8. Mở hộp IV ( dự án): hình 8-3l cho thấy 1 hộp hở đầu có đáy là hình chữ
nhật cạnh x*y đơn vị và hai mặt bên là hình chữ nhật.