đề thi hsg toan 10 có dap án

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10
Câu 1. 5đ) Cho hµm sè :
( ) ( )
2
5 6 1y f x x x= = − +
a/ Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh
( )
1
0
3 4
f x
x
+
≤
−
.
b/ T×m m ®Ó ®êng th¼ng
: 2d y x m= +
c¾t đồ thị hàm số (1) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt cã hoµnh ®é x
1
, x
2

tho¶ m·n :
1 2
1x x− =
.
Câu 2. 5đ)
1) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, giải bất phương trình sau:

( )

2 2 2 2 2 2
0a x a b c x b+ + − + >
2) Giải phương trình:
2
2 3 1 3 16 2 2 5 3x x x x x+ + + = − + + +
.
3. Giải hệ phương trình:
2
4 2 2 2
4 2 0
8 3 4 0
x xy x y
x x y x y

− + + =

− + + =

.
Câu 3(1 điểm) Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

( )
( )
2
10
3
8 1 3 1
2 2 3 4
x
x

x x
m x m x

> +

+ + +


+ ≤ + −

Câu 4. 6đ)
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(3; 0); B(3; 8) và một điểm M thay đổi luôn thỏa mãn:
2 2
8MA MB+ =
.
a) Tìm tập hợp điểm M.
b) Tìm điểm M sao cho OM ngắn nhất.
2) Cho tam giác ABC có các góc, cạnh thỏa mãn hệ thức:

2 2 2 2
cot cot cot
( ) ( ) 0
A C B
b b a c c a
+ =


− + − =

. Tìm các góc của tam giác ABC.

Câu 5. 2đ)
Cho x, y, z là các số thực dương thõa mãn:
1xyz =
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
3 3 3
2 3 3 5
x y z
P
x y z xy yz zx
+ +
=
+ + + + +
Câu 5'. 2đ). Cho hình vuông ABCD, E là trung điểm AB, F là điểm thỏa mãn
1
3
AF AD
=
uuur uuur
.
Xác định điểm M thuộc đường thẳng BC sao cho MF vuông góc với EF.
*****************HẾT******************
c)
x y z xy yz zx3 2 4 3 5+ + ≥ + +
d) 3) Giải phương trình:
3 4 4 5 3 5x x x x x x x= − − + − − + − −
5) Cho ba số a, b, c khác không thoả mãn đồng thời









>++
>++
<
0
111
0
0
cabcab
cabcab
cba

Chứng minh rằng cả ba số đều âm.
GIẢI
ĐK:
3x ≤
Đặt
3 ; 4 ; 5a x b x c x= − = − = −
Ta có
2 2 2
3 4 5x a b c ab bc ca= − = − = − = + +
Do đó
2
2
2
3

( )( ) 3
4 ( )( ) 4
( )( ) 5
5
a ab bc ca
a b a c
b ab bc ca b c a b
a c b c
c ab bc ca

− = + +
+ + =



− = + + ⇔ + + =
 
 
+ + =
− = + +



Nhân vế với vế các phương trình ta được
( )( )( ) 2 15(*)a b a c b c+ + + =
Thay lần lượt các phương trình của hệ vào phương trình (*) sẽ có:
2 15 2 15
5 5
2 15 2 15 7 15 671
3 3 60 240

2 15 9 15
2
4 10
a b a b
b c b c a x
a c a b c
 
+ = + =
 
 
 
+ = ⇔ + = ⇒ = ⇒ =
 
 
 
+ = + + =
 
 

Do a > 0 nên
( )
0
222222
=+−++ bxcbaxa
(1) là bpt bậc 2. Ta có:
( )( )( )
0)(4)(
222222
<−+−+−+++−=−−+=∆ acbbcacbacbabacba
Vì (a+b+c)>0, (a+b-c)>0, (a+c-b)>0, (b+c-a)>0

vậy bpt (1) nghiệm đúng với mọi x thuộc R.







>++
>++
<
)3(0
111
)2(0
)1(0
cabcab
cabcab
cba
Từ (1) suy ra a,b,c có một số âm.Giả sử a<0, bc >0
Nếu b,c cùng dương,
0
)()()(000
111
22
2
<−−−<++⇔
+−<+⇔+−<⇔<++⇒>
++
⇔>++
cbcbcabcab

cbcbacbacba
abc
cba
cabcab
trái giả thiết (2) nên b,c cùng âm. Vậy a,b,c cùng âm.
3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(3; 0); B(3; 8) và một điểm M thay đổi luôn thỏa mãn:
2 2
8MA MB+ =
.
e) Tìm tập hợp điểm M.
f) Tìm điểm M sao cho OM ngắn nhất.
8.
2 2 2 2 2 2 2 2 2
cot cot 2cot 2
4 4 4
b c a a b c c a b
A C B
s s s
+ − + − + −
+ = ⇔ + =
2 2 2
2a c b⇔ + =
Ta có
2 2 2 2 2
2 1
cos
2 4 4 2
a c b a c ac
B
ac ac ac

+ − +
= = ≥ =
. Suy ra
0
60B ≤
.
Dấu = xảy ra khi tam giác ABC đều
9. Tọa độ hóa
Chọn hệ trục Oxy thỏa mãn D=O, A thuộc Oy, C thuộc Ox
ĐS: M(x; y) với y= -5a/6