DE THI CHON HSG HUYEN TOAN 7 NAM 2012 - 2013

TRƯỜNG THCS MỸ THÀNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC
2012 – 1013
MÔN: TOÁN 7
(Thời gian 120 phút)
Bài 1 a. Tính giá trị biểu thức
7 5 5 2 5 18
13 9 9 13 9 13
 
× − × − − ×
 ÷
 
b. Cho
1 1 1 1 2011 2011 2011 2011
&
1.2 3.4 5.6 99.100 51 52 53 100
A B= + + + + = + + + +
Chứng minh rằng :
B
A
là một số nguyên .
Bài 2 Cho biểu thức
2
x 3
A
x 2
+
=
−
.
a. Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A không xác định được.
b. Với những giá trị nào của x thì biểu thức A nhận giá trị là số âm ?

c. Tính A khi /x - 3 /= 5
Bài 3 a. Cho 3 số x; y; z thỏa mãn các điều kiện sau:

5z 6y 6x 4z 4y 5x
4 5 6
− − −
= =
và
3x 2y 5z 96− + =
. Tìm x; y; z.
b. Cho đa thức f(x) = ax
2
+ bx + c
. Biết f(0) = 0, f(1) = 2013 và f(-1) = 2012. Tính a; b ; c
Bài 4: Cho tam giác ABC, vuông cân tại A. D là một điểm bất kì trên BC. Vẽ hai
tia Bx và Cy cùng vuông góc với BC và nằm cùng một nữa mặt phẳng chúa điểm
A bờ là đường thẳng BC. Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AD cắt Bx và
Cy theo thứ tự tại M và N. Chứng minh:
a. AM = AD
b. A là trung điểm MN
c. BC = BM + CN
d. Tam giác DMN vuông cân.
Bài 1:
A =
1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6 99 100
− + − + − + + −

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2
1 2 3 4 5 6 99 100 2 4 6 100
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6 99 100 1 2 3 4 5 6 49 50
1 1 1 1 1

51 52 53 99 100
   
= + + + + + + + + − + + + +
 ÷  ÷
   
 
= + + + + + + + + − + + + + + + + +
 ÷
 
= + + + + +
B = 2011
1 1 1 1 1 1

51 52 53 54 99 100
 
+ + + + + +
 ÷
 
= 2011A. Suy ra
B
2011 Z
A
= ∈

Cho 3 số x; y; z thỏa mãn các điều kiện sau:

5z 6y 6x 4z 4y 5x
4 5 6
− − −
= =
và
3x 2y 5z 96− + =
.
Tìm x; y; z. Từ
5z 6y 6x 4z 4y 5x
4 5 6
− − −
= =
⇒
20z 24y 30x 20z 24y 30x
16 25 36
− − −
= =
20 24 30 20 24 30
0
10 25 36
z y x z y x− + − + −
= =
+ +

⇒
20z –
24y = 30x -20z = 24y -30x = 0
⇒

20z = 24y = 30x

⇒
10z = 12y = 15x
⇒

3 2 5 3 2 5 96
3
4 5 6 12 10 30 12 10 30 32
x y z x y z x y z− +
= = ⇒ = = = = =
− +
Giải ra và kết luận : x = 12 ; y = 15 và z = 18
Cho đa thức f(x) = ax
2
+ bx + c
a. Biết f(0) = 0, f(1) = 2013 và f(-1) = 2012. Tính a; b ; c
Tính được 0 = f(0) = c ; 2013 = f(1) = a+b+c và 2012 = f(-1) = a-b+c
Tính được: a + b = 2013 và a - b = 2012
Tính được: 2a = 4025 và tính được a
4025
2
=
; b
1
2
=

Kết luận : a
4025

2
=
; b
1
2
=
và c = 0
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho
AD = AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và BD.

A C
M
E
B
D
N

a. Tam giác BDC là tam giác gì ? Vì sao ? So sánh DM và CN
* Chứng minh được:
∆
BAD =
∆
BAC (c.g.c) suy ra BD = BC và
·
·
·
DBC DBA ABC= +
= 45
0
+ 45

0
= 90
0
Kết luận
∆
BDC vuông cân tại B.
* Chứng minh được
∆
BDM =
∆
BCN
⇒
DM = CN
b. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với CN cắt tia BA tại K.
Chứng minh
BMK CMD∆ = ∆
.
Vì
∆
BDM =
∆
BCN suy ra
·
·
BNC BMD=
∆
BNC vuông tại B nên
·
·
0

BNC BCN 90+ =
∆
CME vuông tại E nên
·
·
0
MCE CME 90+ =
Từ đó suy ra
·
·
CME BMD=
Vì
·
·
·
·
CME BMD BMK CMD= ⇒ =
Chứng minh
∆
BMK =
∆
CMD (g.c.g)
c. Biết AB = a , tính chu vi tam giác DMK
* AB = a, tính được BC = a
2
do áp dụng định lý Pitago với tam giác ABC
Và cũng tính được BD = BC = a
2
; BM =
1

2
BC =

2
2
a
* Vì
∆
BMK =
∆
CMD suy ra MD = MK.
Vậy chu vi
∆
DMK bằng 2MD + DK
Tính được
a 5
DM
2
=
do áp dụng định lý Pitago với tam giác vuông BDM
K
Chứng ming được
DB K∆
=
BCK
∆

⇒

DK BC a 2= =

Chu vi tam giác DMK bằng

( )
5
2DM DK 2a a 2 a 10 a 2 a 10 2
2
+ = + = + = +