Các Công Thức Lượng Giác

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
==================================================================
ÔN TẬP-CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Hệ thức cơ bản
sin
2
α
+ cos
2
α
=1
tan
α
=
α
α
cos
sin







π+
π
≠α k
2
cot
α

=
α
α
sin
cos

( )
π≠α k
tan
α
.cot
α
= 1
1 + tan
2
α
=
α
2
cos
1
1 + cot
2
α
=
α
2
sin
1
I. Giá trị các hàm lượng giác của góc (cung) đặc biệt:

Truc cos
Truc sin
Truc tan
Truc cotan
-
3
2
-
2
2
-1
2
1
2
2
2
3
2
-1
2
-
2
2
-
3
2
2
2
3
2

1
2
-
3
-1
-
3
3
-1
-
3
3
-
3
3
3
3
3
3
3
1
3
π
/2
π
π
/2
5
π
/6

3
π
/4
2
π
/3
π
/3
π
/4
π
/6
A(0;1)

Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
==================================================================
BÀI TẬP:
Bài 1 : Cho biết sinα+cosα=m; tính:
a) sinα.cosα
b) sin
3
α+cos
3
α
Bài 2 : Cho biết sinα.cosα=m; tính:
a) sinα+cosα
b) sin
4
α+cos

4
α
Bài 3:Chứng minh các đẳng thức sau:
2 2 2 2 2 2 2
2
1
a) sin x+tan x= -cos x b) tan x-sin x=tan x.sin x
cos x
Bài 4: Chứng minh các biểu thức sau đây không phụ thuộc x:
a) C=2(sin
6
x+cos
6
x)-3(sin
4
x+cos
4
x)
b)
1+cotx 2
D=
1-cotx tanx-1
−
Bài 5:Tính các GTLG của cung a biết:
π π
π
3
a) sina=- (- <a<0) b) tana=- 2 ( <a< )
5 2 2
Bài 6: Tính giá trị biểu thức

1 tanx
1-tanx
A
+
=
, biết
4
cosx=-
5
và sinx<0.
Bài 7: Xác định cung a thỏa mãn điều kiện:
a)sina=1
b)sina=-1
c)sina=0
d)cosa=1
e)cosa=-1
f)cosa=0

g)tana=1
f)sina+cosa=0
Bài 8: Tính giá trị của biểu thức.
3 2
3 3
cos x+cosx.sin x-sinx
A= khi tanx=2
sin x-cos x
Bài 9: Cho
4 4
98
3sin 2

81
x cos x+ =
. Tính
4 4
2sin 3A x cos x= +

Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
Cung liên kết
1. Hai cung đối nhau (
α
,-
α
)
cos(-
α
) = cos
α
sin(-
α
) = -sin
α
tan(-
α
) = -tan
α
cot(-
α
) = -cot
α
2. Hai cung bù nhau (

α
,
π
-
α
)
sin(
π
-
α
) = sin
α
cos(
π
-
α
) = -cos
α
tan(
π
-
α
) =-tan
α
cot(
π
-
α
) = -cot
α

3. Hai cung phụ nhau:(
α
,
2
π
-
α
)
sin(
2
π
-
α
) = cos
α
cos(
2
π
-
α
) = sin
α
tan(
2
π
-
α
) = cot
α
cot(

2
π
-
α
) = tan
α
4. Hai cung hơn kém nhau
π
(
α
,
π
+
α
)
sin(
π
+
α
) = -sin
α
cos(
π
+
α
) = -cos
α
tan(
π
+

α
) = tan
α
cot(
π
+
α
)= cot
α

5. Hai cung hơn kém nhau
2
π
(
α
,
2
π
+
α
)
sin(
2
π
+
α
) = cos
α
cos(
2

π
+
α
) = -sin
α
tan(
2
π
+
α
) = -cot
α
cot(
2
π
+
α
) = -tan
α
BÀI TẬP:
Dạng 1: Tính giá trị và rút gọn các hàm lượng giác
Bài 1: Tính giá trị
a) Cos120
0
; tan135
0
; sin(-780
0
)
b)

7 11
sin , tan , cot
6 4 6
π π π
     
−
 ÷  ÷  ÷
     
Bài 2: Chứng minh rằng
( )
( )
0 0 0 0
2 0
0 0 0 0
sin515 .cos -475 +cot222 .cot408
1
= cos 25
2
cot415 .cot -505 +tan197 .tan73
Bài 3: Rút gọn biểu thức sau
( )
0 0
0 0 0
2sin2550 .cos -188
1
A= +
tan368 2cos638 +cos98
Bài 4: Rút gọn biểu thức sau
( ) ( )
0 0 0

0 0
0
cot44 +tan226 .cos 406
B= -cot72 .cot18
cos316
Bài 5: Rút gọn biểu thức sau
( )
3π π 3π
C=cosπ-x +sin x- -tan +x cot -x
2 2 2
     
 ÷  ÷  ÷
     
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau
1)
11π 21π 9π 29π 2π
sin +sin +sin - +sin - =-2cos
10 10 10 10 5
         
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
         
2)
( )
0 0
0 0 0
cos -20 .sin70
=1
sin160 .cos340 .tan250
Công thức biến đổi:

1). Công thức cộng:
sin(a+b) = sina.cosb + sin.bcosa
cos(a+b) = cosa.cosb - sina.sinb
sin(a-b) = sina.cosb - sinb.cosa
cos(a-b) = cosa.cosb + sina.sinb
tan(a
±
b) =
btan.atan1
btanatan

±
cot(a+b) =
bcotacot
1bcotacot
+
−
cot(a-b) =
( )
bcotacot
1bcotacot
−
+−
Bài tập:
Dạng 1: Tính giá trị và rút gọn các hàm lượng giác
Bài 1 Tính giá trị các hàm số lượng giác
1)
0
15
α

=
,
7
12
π
α
=
2)
0
285x =
,
103
12
x
π
=
Bài 2 Tính
π
A=tan x-
4
 
 ÷
 
biết
9
cos
41
x = −
với
3π

π<x<
2
 
 ÷
 
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức
Bài 1 Chứng minh rằng
1)
( ) ( )
2 2
2 2
sin a+b sin a-b
tan a-tan b=
cos a.cos b
2)
2 2
2 2
tan 2a-tan a
=tana.tan3a
1-tan 2a.tan a
.
3)
π π
sin +a -sin -a = 2sina
4 4
   
 ÷  ÷
   
Bài 2 Rút gọn biểu thức sau
π π π π

A=sin x- .cos -x +sin -x .cos x-
3 4 4 3
       
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
B=sin4x.cot2x-cos4x
Bài 3 Chứng minh đẳng thức sau không phụ thuộc và x
2 2 2
π π
A=cos x+cos x+ +cos -x
3 3
   
 ÷  ÷
   
2 2 2
2π 2π
B=sin x+sin x+ +sin -x
3 3
   
 ÷  ÷
   
Bài 4: Cho tam giác ABC CMR
1)
sin sin . sin .A B cosC C cosB= +
2)
sin s . sin .sin
2 2 2 2 2
A B C B C
co cos= −
2/ . Công thức nhân đôi:

sin 2a = 2sinacosa
cos 2a = cos
2
a – sin
2
a
= 2cos
2
a - 1
= 1 – 2sin
2
a
tan2a =
atan1
atan2
2
−
cot2a =
acot2
1acot
2
−
3/ . Công thức nhân 3:
sin 3a = 3sina - 4sin
3
a
cos3a = 4cos
3
a – 3cosa
3

3
3tana-tan aπ π
tan 3a =tg -a tana.tan +a
1-3tan a 3 3
   
=
 ÷  ÷
   
cot 3a =
1acot3
acot3acot
2
2
−
−
4/ . Công thức hạ bậc:
sin
2
a =
2
a2cos1−
cos
2
a =
2
a2cos1
+
tan
2
a =

a2cos1
a2cos1
+
−
cot
2
a =
a2cos1
a2cos1
−
+
sin
3
a =
4
1
(3sina - sin3a)
cos
3
a =
4
1
(3cosa + cos3a)
sin
4
a =
8
1
(cos4a - 4cos2a + 3)
cos

4
a =
8
1
(cos4a + 4cos2a + 3)
sin
5
a =
16
1
(sin5a – 3sin3a + 10sina)
cos
5
a =
16
1
(cos5a + 5cos3a + 10cosa)
BÀI TẬP:
Bài 1 Tính sin2a biết
1)
4
sin
5 2
a va a
π
π
= < <
2)
1
s 0

3 2
co a va a
π
= < <
Bài 2 Tính giá trị của các hàm số lượng giác của góc
a)
0
112 30'a =
; b)
7π
α=
24
Bài 3 CMR
1)
3 3
3
3 .sin sin 3 . .sin 4
4
cos x x x cos x x+ =

AD: Tính
0 3 0 0 3 0
B=cos22 30'.sin 172 30'-sin22 30'.cos 172 30'
2)
π π
tanx.tan -x .tan +x =tan3x
3 3
   
 ÷  ÷
   

AD: tính
π 7π 13π
A=tan .tan .tan
18 18 18
Bài 4: Chứng minh rằng:
1)
4
1 3
4. 2 2 4
2 2
cos x cos x cos x− − =
2)
3 3
sin 4
.sin sin .
4
x
cos x x x cosx− =
Bài 5: CMR biểu thức sau không phụ thuộc vào x
( )
2 0
A=sin8x+2cos 45 +4x
3 3
cos x-cos3x sin x+sin3x
B= +
cosx sinx
( ) ( )
4 4 6 6
C=3 sin x+cos x -2 sin x+cos x

6 2 2 6 4
1
D=sin x.cos x+sin x.cos x+ .cos 2x
8
5/ . Công thức chia đôi: Đặt t = tan
2
a
(a
≠
π
+k2
π
)
sina=
2
t1
t2
+
cosa =
2
2
t1
t1
+
−
tana =
2
t1
t2
−

6/.Công thức biến đổi tổng thành tích:
cosa + cosb = 2cos
2
ba +
cos
2
ba −
cosa – cosb = -2sin
2
ba
+
sin
2
ba
−
sina + sina = 2sin
2
ba
+
cos
2
ba
−
sina – sinb = 2cos
2
ba
+
sin
2
ba

−
tana
±
tanb =
( )
bcosacos
basin ±
cota
±
cotb =
( )
bsinasin
basin ±
Đặc biệt: sina + cosa =
2
sin






π
+
4
a
=
2
cos







−
π
a
4
sina – cosa =
2
sin






π
−
4
a
= -
2
cos







π
+
4
a
7/. Công thức biến đổi tích thành tổng:
cosa.cosb =
2
1
[cos(a + b) + cos(a – b)]
sina.sina =
2
1
[cos(a + b) -cos(a – b)]
sina.cosa =
2
1
[sin(a + b) -sin(a – b)]
tana.tanab =
bcotacot
btanatan
+
+
BÀI TẬP:
Bài 1 Biến đổi thành tích
1)
2 2
3A cos a cos a= −
2)
sin 3 sin 2B x x= +

3)
C=1-cotx
4)
( ) ( )
0 0
D=cos 60 +x +cos 60 -x +cos3x
Bài 2 Biến đổi thành tích
1)
0 0 0
sin 70 sin 20 sin 50A = − +
2)
0 0 0
46 22 2 78B cos cos cos= − −
3)
1 2 3C cosx cos x cos x= + + +
4)
( )
cos cos sinD a b a b= + + +
Bài 3 Biến đổi thành tổng
1)
2sinx.sin2x.sin3x
2)
8cos .sin 2 .sin 3x x x
3)
sin .sin . 2
6 6
x x cos x
π π
   
+ −

 ÷  ÷
   
4)
( ) ( ) ( )
4cos a b cos b c cos c a
− − −
Bài 4 Biến đổi thành tích
1)
2 2
3A cos a cos a= −
2)
11 5
sin .
12 12
B cos
π π
=
3)
0 0 0
sin 20 .sin 40 .sin80C =
4)
0 0 0
sin 20 .sin 50 .sin 70D =
Bài 5 Tính gía trị của bểu thức
1)
5
sin .sin
4 4
x x
A =

Biết
0
60x =
2)
2 4
sin 4 sin 2
cos a cos a
B
a a
−
=
−
Biết
0
20a =
3)
0 0 0 0
C=tan20 .tan40 .tan60 .tan80
Bài 6 Chứng minh rằng:
2
1-sin2xπ
=tan -x
1+sin2x 4
 
 ÷
 
Bài 7
1) Cho
a b c+ =
CMR

sin sin sin 4cos .cos .cos
2 2 2
a b c
a b c+ + =
2) Cho
a b c d
π
+ + + =
CMR :
sin sin sin sin 4sin .sin .sin
2 2 2
a b b c c a
a b c d
+ + +
+ + + =
Bài 8: Cho tam giác ABC CMR
1)
sin 2 sin 2 sin 2 4sin .sin .sinA B C A B C+ + =
2)
s cos cos 1 4sin .sin .sin
2 2 2
A B C
co A B C+ + = +
3)
sin sin sin 4. . .
2 2 2
A B C
A B C cos cos cos+ + =
4)
2 2 2

s cos cos 1 2 s . s . sco A B C co A co B co C+ + = −
.